1

Universidad de los Andes Departamento de Ingeniería Industrial Probabilidad y Estadística I (IIND2106) Profesores: Mario Castillo, Hernando Mutis, Gonzalo Torres Instructores: Astrid Bernal, Carlos Castellanos, Alejandra López y Fabio Lagos. Segundo Semestre 2015

TAREA 2 Normas para la presentación de la Tarea

La tarea puede realizarse en parejas de cualquier sección.

La presente tarea puede realizarla a computador o a mano. Debe tener en cuenta que la presentación del informe puede influir en la calificación final.

El informe debe ser presentado en hojas blancas, numeradas, impresión por ambos lados y en la parte superior de cada hoja se debe especificar el nombre y código de cada estudiante.

La primera hoja de su tarea debe contener el formato que se presenta en la siguiente página. Las tareas que no tengan este formato tendrán una penalización de cero punto cinco (0.5) sobre la nota final de la tarea.

Será responsabilidad de los integrantes del grupo verificar el contenido de la tarea antes de la entrega. Luego de entregado el documento, no se recibirán adiciones por motivos de problemas de impresión en fórmulas o ecuaciones.

Debe respetar el horario y el lugar de entrega de las tareas. Las tareas entregadas después de este plazo no serán recibidas y su calificación será de cero (0).

Por ningún motivo la tarea será recibida por correo electrónico.

El incumplimiento de alguna de las anteriores instrucciones tendrá un impacto negativo en la nota de la tarea.

Cualquier sospecha de fraude será tratada de acuerdo con el reglamento de la Universidad.

Si usted encuentra algún GAZAPO1 en la solución correspondiente a esta tarea por favor comuníquelo a ma.galvis138. Si su observación es válida, se verá recompensado con un incremento del 5% en la nota de la tarea.

Forma de entrega

El informe de la tarea debe ser entregado en los casilleros de Ingeniería Industrial, en el séptimo piso del ML, antes de la fecha límite de entrega. El casillero será habilitado el día anterior a la entrega de la tarea.

Adicionalmente, el informe de la tarea junto a sus archivos de soporte deberán ser colgados en el link habilitado en Sicua Plus, antes de la fecha límite de entrega. Por lo tanto, si usted realizó su tarea a mano, debe escanear el documento y subirlo al link correspondiente.

Fecha de entrega

La fecha límite de entrega es el miércoles 2 de septiembre de 2015, antes de las 5:00 p.m.

1 Yerro que por inadvertencia deja escapar quien escribe o habla. (Definición según La Real Academia de la Lengua Española)

2

Integrante 1: Código: Sección:

Integrante 2: Código: Sección:

Numeral Puntaje

1

a) /5

b) /5

c) /5

d) /8

e) /5

f) /5

g) /5

h) /2

2

a) /5

b) /2

c) /4

d) /4

e) /8

f) /10

g) /5

h) /4

i) /2

j) /4

3

a) /4

b) /4

c) /4

d) /4

e) /6

4

a) /3

b) /3

c) /4

TOTAL /120

NOTA /5

3

Punto 1. VA Discretas de Mayor Aplicación – (40 puntos)

La empresa Tygol, dedicada a la fabricación de implementos deportivos, es uno de los

patrocinadores oficiales del Fútbol Profesional Colombiano (FPC). La Dimenor tiene establecido que,

dentro de las responsabilidades de Tygol como patrocinador, la empresa debe diseñar el balón oficial

con el cual se disputarán todos los partidos de los diferentes torneos del FPC de cada año. Para esta

temporada, la empresa presentó su nuevo balón oficial Tygol Inficty, caracterizado por un vistoso

diseño y por su rapidez en el campo de juego. Durante la pasada temporada, la empresa tuvo varias

quejas por parte de los clubes, dado que algunos de los balones de entrenamiento se desinflaban

debido a fallas en las válvulas. El gerente de Tygol teme que ocurra algo similar a esto con el balón

que diseñaron para esta temporada, y que se generen sobrecostos al tener que reemplazar dichos

balones.

El proceso de control de calidad de una válvula se realiza 24 horas después de haber inflado un

balón de prueba, bajo condiciones controladas de temperatura y de humedad relativa. Luego de

varios experimentos realizados por el proveedor de las válvulas, este determinó que la presión, en

psi, que mantienen sus válvulas en un balón 24 horas luego de ser inflado se comporta como una

variable aleatoria triangular (8.05, 9.17 y 17.06).

a. (5 puntos) Según estándares FIFA, un balón oficial debe de tener una presión de aire entre 8.5

y 15.6 psi. Si la empresa Tygol establece que una válvula es defectuosa si no logra mantener

dicho estándar de presión, calcule la probabilidad de que una válvula fabricada por el proveedor

sea defectuosa.

La función acumulada de una distribución triangular es:

𝐹𝑋(𝑥) =

{

0(𝑥 − 𝑎)2

(𝑏 − 𝑎)(𝑐 − 𝑎)

1 −(𝑏 − 𝑥)2

(𝑏 − 𝑎)(𝑏 − 𝑐)1

𝑥 ≤ 𝑎𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑐𝑐 < 𝑥 < 𝑏𝑏 ≤ 𝑥

De esta forma, se tendría:

𝐹𝑋(𝑥) =

{

0(𝑥 − 8.05)2

(17.06 − 8.05)(9.17 − 8.05)

1 −(17.06 − 𝑥)2

(17.06 − 8.05)(17.06 − 9.17)1

𝑥 ≤ 8.058.05 < 𝑥 ≤ 9.179.17 < 𝑥 < 17.06

17.06 ≤ 𝑥

La probabilidad de que un balón no cumpla con los estándares FIFA de presión de aires sería:

𝑃(𝑋 ≤ 8.5) + 𝑃(𝑋 ≥ 15.6) = 𝑃(𝑋 ≤ 8.5) + 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 15.6) = 1 + 𝐹𝑋(8.5) − 𝐹𝑋(15.6)

𝐹𝑋(8.5) =(8.5 − 8.05)2

(17.06 − 8.05)(9.17 − 8.05)= 0.02

𝐹𝑋(15.6) = 1 −(17.06 − 15.6)2

(17.06 − 8.05)(17.06 − 9.17)= 0.97

4

𝑃(𝑋 ≤ 8.5) + 𝑃(𝑋 ≥ 15.6) = 1 + 0.02 − 0.97 = 0.05

Teniendo en cuenta la probabilidad calculada anteriormente, la empresa ha decidido realizar una

producción preliminar de 500 balones para realizar un control de calidad previo al inicio de la

producción total de esta temporada. El control de calidad se diseñó en las dos etapas que se

describen a continuación:

Etapa 1: se toma una muestra aleatoria de 50 balones. Si se encuentra un máximo de 2 balones que

presenten fallas en las válvulas, se decide iniciar la producción sin pasar a la Etapa 2; si se

encuentran al menos 6 balones que presenten fallas en las válvulas, se pospone la producción; de

lo contrario, se realiza la Etapa 2 de control de calidad.

Etapa 2: se toma una segunda muestra aleatoria de 100 balones. Si el número de balones que

presentan fallas de esta segunda muestra más el número de balones defectuosos de la primera

muestra aleatoria no superan las 6 unidades, se da inicio a la producción. De lo contrario, se decide

posponer la producción hasta llegar a un acuerdo de garantía con el proveedor de las válvulas.

Teniendo en cuenta esta información y asumiendo independencia entre las muestras aleatorias

seleccionadas en cada una de las etapas, responda los siguientes literales. No olvide hacer explícita

la variable aleatoria, la distribución de probabilidad y los parámetros correspondientes.

b. (5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que se decida iniciar la producción de los nuevos balones

en la Etapa 1, sin pasar a la Etapa 2?

X: número de balones con fallas en las válvulas de una muestra de 50 balones seleccionados

al azar (Etapa 1).

𝑋~𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 ( 𝑛 = 50, 𝑝 = 0.05)

𝑃(𝑋 ≤ 2) =∑(50𝑥) (0.05)𝑥(1 − 0.05)50−𝑥

2

𝑥=0

𝑃(𝑋 ≤ 2) = 0.5405

c. (5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que se deba posponer la producción en la Etapa 1, sin

pasar a la Etapa 2?

X: número de balones con fallas en las válvulas de 50 balones seleccionados al azar (Etapa 1).

𝑋~𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 ( 𝑛 = 50, 𝑝 = 0.05)

𝑃(𝑋 ≥ 6) = 1 − 𝑃(𝑋 < 6) = 1 −∑(50𝑥) (0.05)𝑥(1 − 0.05)50−𝑥

5

𝑥=0

𝑃(𝑋 ≥ 6) = 0.0378

d. (8 puntos) Si luego de la primera etapa se sabe que es necesario realizar la Etapa 2 de control

de calidad, ¿cuál es la probabilidad de que se acepte la producción bajo los criterios de esta

etapa?

X: número de balones con fallas en las válvulas de 50 balones seleccionados al azar (Etapa 1).

𝑋~𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 ( 𝑛 = 50, 𝑝 = 0.05)

5

Y: número de balones con fallas en las válvulas de 100 balones seleccionados al azar (Etapa 2).

𝑌~𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 ( 𝑛 = 100, 𝑝 = 0.05)

𝑃[𝑋 + 𝑌 ≤ 6|3 ≤ 𝑋 ≤ 5] =𝑃[𝑋 + 𝑌 ≤ 6, 3 ≤ 𝑋 ≤ 5]

𝑃[3 ≤ 𝑋 ≤ 5]

𝑃[𝑋 + 𝑌 ≤ 6, 3 ≤ 𝑋 ≤ 5] =∑[𝑔𝑋(𝑥) ∗∑𝑔𝑌(𝑦)

6−𝑥

𝑦=0

]

5

𝑥=3

𝑃[𝑋 + 𝑌 ≤ 6, 3 ≤ 𝑋 ≤ 5] =∑[(50𝑥) (0.05)𝑥(1 − 0.05)50−𝑥 ∗∑(

100𝑦) (0.05)𝑦(1 − 0.05)100−𝑦

6−𝑥

𝑦=0

]

5

𝑥=3

𝑃[𝑋 + 𝑌 ≤ 6, 3 ≤ 𝑋 ≤ 5] = 0.075

𝑃[3 ≤ 𝑋 ≤ 5] =∑𝑔𝑋(𝑥)

5

𝑥=3

=∑(50𝑥) (0.05)𝑥(1 − 0.05)50−𝑥

5

𝑥=3

𝑃[3 ≤ 𝑋 ≤ 5] = 0.422

𝑃[𝑋 + 𝑌 ≤ 6|3 ≤ 𝑋 ≤ 5] =0.075

0.422= 0.178

e. (5 puntos) El gerente del área de control de calidad ha decidido recolectar una muestra aleatoria

de 5 balones que presenten fallas en las válvulas, para inspeccionar los aspectos específicos

que ocasionan las fallas. Si el gerente inspecciona uno a uno los balones que salen de la línea

de producción, ¿cuál es la probabilidad de que deban inspeccionar 80 balones hasta completar

la muestra requerida?

X: número de balones inspeccionados hasta completar una muestra de 5 que no cumplan con

las especificaciones.

𝑋~𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 𝑁𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎(𝑝 = 0.05, 𝑘 = 5)

𝑃(𝑋 = 80) = (80 − 15 − 1

) (0.05)5(1 − 0.05)80−5 = 0.01

f. (5 puntos) Calcule la probabilidad de que el décimo y el onceavo balón que inspecciona el

gerente sean los dos primeros balones que presenten fallas.

X: número de balones inspeccionados hasta encontrar el primero que no cumpla las

especificaciones.

Y: un balón seleccionado al azar no cumple con las especificaciones establecidas.

𝑋~𝐺𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎(𝑝 = 0.05)

𝑌~𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖(𝑝 = 0.05)

𝑃(𝑋 = 10) ∗ 𝑃(𝑌 = 1) = (0.05)(1 − 0.05)9 ∗ (0.05) = 0.0016

6

g. (5 puntos) Bajo el contexto del literal e ¿cuál es el número esperado de balones que no

presentan fallas en las válvulas, que el gerente esperaría encontrar antes de completar su

muestra de 5 balones defectuosos?

X: número de balones inspeccionados hasta completar una muestra de 5 que no cumplen con

las especificaciones.

𝑋~𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 𝑁𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎(𝑝 = 0.05, 𝑘 = 5)

𝐸[𝑋] =𝑘

𝑝=

5

0.05= 100

Se espera que el gerente deba inspeccionar en promedio 100 balones antes de encontrar el

quinto que presente fallas. De estos 100 balones, hay 5 que presentan fallas y en consecuencia,

el número esperado de balones que sí cumplen con las especificaciones es en promedio

de 95 balones.

h. (2 puntos) Se envían 100 balones al proveedor de válvulas para que realice otras pruebas

relacionadas al desgaste de las mismas. Se sabe de antemano que entre los balones enviados

hay 30 que presentan fallas. Calcule la probabilidad de que, si el proveedor toma una muestra

aleatoria de 20 de estos 100 balones, encuentre a lo sumo 6 que presenten fallas.

X: número de balones que presentan fallas si se extraen 𝑛 = 20 balones de una muestra de 𝑁 =

100 balones en la cual hay 𝑘 = 30 que presentan fallas.

𝑋~𝐻𝑖𝑝𝑒𝑟𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎(𝑁 = 100, 𝑛 = 20, 𝑘 = 30)

𝑃(𝑋 ≤ 6) = ∑(30𝑥) (

7020 − 𝑥

)

(10020

)

6

𝑥=0

= 0.615

Punto 2. Proceso de Poisson y Distribución Exponencial – (48 puntos)

Los directivos del Hospital Santa Concepción están interesados en analizar el tiempo que transcurre

entre el ingreso de un paciente a la Central de Urgencias y el ingreso del próximo paciente (cada

una de estas personas llega al Centro de Urgencias de forma independiente). Luego de una

evaluación que contó con un grupo de investigadores de una reconocida universidad, se determinó

que la variable aleatoria que representa el tiempo que transcurre entre la llegada de dos pacientes a

urgencias se distribuye exponencial con una media de 20 minutos entre las 5:00 a.m. y la 1:00 p.m

(hora pico de urgencias); mientras que para el resto del día, la media de dicha variable es de 45

minutos. Tenga en cuenta que la Central de Urgencias del hospital está abierta las 24 horas del día,

los 7 días de la semana.

Con base en la información anterior, de solución a los siguientes literales.

a. (5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que en la hora pico de urgencias lleguen a lo sumo 20

pacientes?

i. Defina la variable aleatoria en términos del problema.

ii. Identifique la distribución y los parámetros correspondientes.

7

iii. Calcule la probabilidad solicitada.

X: número de pacientes que llegan entre las 5:00 a.m. y la 1:00 p.m.

𝑋~Poisson (𝜆 =1

20)

𝑃(𝑋 ≤ 20) = ∑(120∗ 480)

𝑥

𝑥!

20

𝑥=0

𝑒−120∗480 = 0.2426

b. (2 puntos) ¿Cuál es el valor esperado y la varianza del número de pacientes que son atendidos

durante la hora pico en urgencias?

𝐸(𝑋) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝜆𝑡 =1

20∗ 480 = 24

c. (4 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente 15 pacientes entre las 7:00

a.m. y las 10:00 a.m.?

𝑃(𝑋 = 15) =(120∗ 180)

15

15!𝑒−

120∗180 = 0.019

d. (4 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen por lo menos 6 pacientes entre las 12:00

a.m. y las 5:00 a.m.?

𝑃(𝑋 ≥ 6) = 1 − 𝑃(𝑋 < 6) = 1 −∑(145∗ 300)

𝑖

𝑖!

5

𝑖=0

𝑒−145∗300 = 0.6547

e. (8 puntos) Si entre las 4:00 a.m. y las 10:00 a.m. llegaron 25 pacientes, ¿cuál es la probabilidad

de que entre las 10:00 a.m. y las 12:00 p.m. lleguen menos de 3 pacientes? Por otro lado ¿cuál

es la probabilidad de que lleguen 28 pacientes entre las 4:00 a.m. y las 11:00 a.m.?

Debido a la propiedad de no memoria, la probabilidad de que entre las 10:00 a.m. y las 12:00

p.m. lleguen menos de 3 pacientes es:

𝑃(𝑋 < 3) =∑(120∗ 120)

𝑖

𝑖!𝑒−

120∗120

2

𝑖=0

= 0.062

La probabilidad de que lleguen 28 pacientes entre las 4:00 a.m. y las 11:00 a.m. sabiendo que

entre las 4:00 a.m. y las 10:00 a.m. llegaron 25 es:

X: número de pacientes que llegan entre las 4:00 a.m. y la 10:00 a.m.

Y: número de pacientes que llegan entre las 10:00 a.m. y la 11:00 a.m.

𝑃(𝑋 + 𝑌 = 28|𝑋 = 25) =𝑃(𝑋 + 𝑌 = 28 ∩ 𝑋 = 25)

𝑃(𝑋 = 25)=𝑃(𝑋 = 25) ∗ 𝑃(𝑌 = 3)

𝑃(𝑋 = 25)= 𝑃(𝑌 = 3)

8

𝑃(𝑌 = 3) =(120∗ 60)

3

3!𝑒−

120∗60 = 0.224

f. (10 puntos) Si se sabe que llegaron 30 pacientes entre las 10:00 p.m. y las 4:00 a.m., ¿cuál es

la probabilidad de que 20 pacientes hayan llegado entre la 1:30 a.m. y las 3:15 a.m.?

Nota: una respuesta suficiente corresponde a la expresión con la que la calcularía la

probabilidad.

X1: número de pacientes que llegan entre las 10:00 p.m. y la 1:30 a.m. (t = 210 minutos)

X2: número de pacientes que llegan entre la 1:30 a.m. y las 3:15 a.m. (t = 105 minutos)

X3: número de pacientes que llegan entre las 3:15 a.m. y las 4:00 a.m. (t = 45 minutos)

𝑋1, 𝑋2, 𝑋3~Poisson (𝜆 =1

45)

La probabilidad solicitada se puede representar como:

𝑃(𝑋2 = 20|𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 = 30) =𝑃(𝑋2 = 20 ∩ 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 = 30)

𝑃(𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 = 30)

𝑃(𝑋2 = 20|𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 = 30) =𝑃(𝑋2 = 20 ∩ 𝑋1 + 𝑋3 = 10)

𝑃(𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 = 30)

=𝑃(𝑋2 = 20) ∙ [𝑃(𝑋1 = 0) ∗ 𝑃(𝑋3 = 10) + 𝑃(𝑋1 = 1) ∗ 𝑃(𝑋3 = 9) + ⋯+ 𝑃(𝑋1 = 10) ∗ 𝑃(𝑋3 = 0)]

𝑃(𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 = 30)

𝑃(𝑋2 = 20|𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 = 30) =𝑃(𝑋2 = 20) ∙ ∑ 𝑃(𝑋1 = 𝑖) ∗ 𝑃(𝑋3 = 10 − 𝑖)10

𝑖=0

𝑃(𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 = 30)

De lo anterior se obtiene como resultado:

𝑃(𝑋2 = 20|𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 = 30) =

[(145∗ 105)

20

20!𝑒−

145∗105]∑ [

(145∗ 210)

𝑖

𝑖!𝑒−

145∗210] ∗∗ [

(145∗ 45)

10−𝑖

𝑖!𝑒−

145∗45]10

𝑖=0

[(145∗ 360)

30

30!𝑒−

145∗360]

g. (5 puntos) Si a las 5:15 a.m. llega el primer paciente de la hora pico a urgencias ¿cuál es la

probabilidad de que el próxima paciente en llegar se demoré más de media hora?

i. Defina la variable aleatoria en términos del problema.

ii. Identifique su distribución y sus parámetros.

iii. Calcule la probabilidad solicitada.

9

X: tiempo que transcurre entre la llegada de un paciente y el siguiente a la sala de urgencias

(durante la hora pico).

𝑋~Exponencial (𝜆 =1

20)

𝑃(𝑋 > 30) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 30) = 1 − (1 − 𝑒−120∗30) = 0.223

h. (4 puntos) Si a las 12:30 p.m. llega un paciente ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo que

se demora el siguiente paciente en llegar al centro de urgencias esté entre 15 y 30 minutos?

𝑃(15 ≤ 𝑋 ≤ 30) = ∫1

20𝑒−

120𝑡𝑑𝑡

30

15

𝑃(15 ≤ 𝑋 ≤ 30) = 𝑃(𝑋 ≤ 30) − 𝑃(𝑋 ≤ 15) = (1 − 𝑒−120∗30) − (1 − 𝑒−

120∗15) = 0.2492

i. (2 puntos) Si a las 12:00 p.m. han llegado 5 pacientes ¿cuál es la probabilidad de que el próximo

paciente llegue exactamente en 20 minutos?

𝑃(𝑋 = 20) = 0

j. (4 puntos) Si a las 8:00 p.m. se sabe que el último paciente llegó hace media hora, ¿cuál es la

probabilidad de que el tiempo de llegada del siguiente paciente a urgencias sea mayor a una

hora?

Aplicando la propiedad de no memoria, esta probabilidad se puede calcular como:

𝑃(𝑋 > 60|𝑌 > 30) = 𝑃(𝑋 > 30)

= 𝑃(𝑋 > 30) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 30) = 1 − (1 − 𝑒−145∗30)

𝑃(𝑋 > 30) = 0.513

Punto 3. Distribución Normal – (22 puntos)

A finales de julio del año pasado, la alcaldía decretó la implementación de un carril exclusivo para el

transporte público en una de las avenidas más importantes de Bogotá, la carrera séptima. Después

de casi un año desde la entrada en vigencia de la medida, la Secretaría de Movilidad dio a conocer

el reporte final de un estudio que inició a principios de enero de 2015, sobre los tiempos de recorrido

en dicha avenida. En el reporte se establece que el tiempo que un bus híbrido o del SITP le toma

recorrer el trayecto entre las calles 34 y 100, durante las horas pico (6:00 a.m. – 8:30 a.m. y 5:00

p.m. – 7:30 p.m.), se comporta como una variable aleatoria con distribución normal cuya media y

desviación estándar son de 1.25 y 0.2 horas respectivamente.

Con base en la información anterior, de solución a los siguientes literales.

a. (4 puntos) Si se aborda un bus híbrido o del SITP al azar durante hora pico ¿cuál es la

probabilidad de que en un día seleccionado al azar el tiempo de trayecto sea mayor a 1.5 horas?

10

𝑃(𝑋 > 1.5) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 1.5) = 1 − 𝑃 (𝑍 ≤1.5 − 1.25

0.2)

= 1 − 𝑃(𝑍 ≤ −0.273) = 1 − 0.894 = 0.106

b. (4 puntos) Bibiana va tarde a su trabajo y le indicará a su jefe el tiempo máximo que se tardará

en llegar a la oficina. Ella quiere indicarle un tiempo que, con una probabilidad de 0.9, no exceda el tiempo de recorrido del SITP que acaba de abordar.

𝑃(𝑋 < 𝑥) = 𝑃(𝑍 < 𝑧) = 0.9

𝑧 = 1.282

𝑧 =𝑥 − 𝜇

𝜎⟶ 𝑥 = 𝑧𝜎 + 𝜇

𝑧 = (1.282 ∗ 0.2) + 1.25 = 1.506 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

Con una probabilidad de 0.9, Bibiana no se demorará más de 1.506 horas en llegar a la oficina, por lo tanto este debería ser el tiempo que ella debería indicarle a su jefe.

c. (4 puntos) Calcule la probabilidad de que un bus seleccionado al azar tenga un tiempo de trayecto de exactamente una hora.

𝑃(𝑋 = 1) = 0

d. (4 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que en un trayecto seleccionado al azar haya tenido un tiempo de recorrido entre 45 minutos y 1 hora?

𝑃(0.75 ≤ 𝑋 ≤ 1) = 𝑃 (0.75 − 1.25

0.2≤ 𝑍 ≤

1 − 1.25

0.2)

= 𝑃 (𝑍 ≤1 − 1.25

0.2) − 𝑃 (𝑍 ≤

0.75 − 1.25

0.2) = 𝑃(𝑍 ≤ −1.25) − 𝑃(𝑍 ≤ −2.5) = 0.099

e. (6 puntos) Calcule el valor de la constante 𝒄 que garantiza que, con probabilidad de 0.90, el

tiempo de recorrido de un bus seleccionado al azar estará intervalo [1.25 − 𝒄 ; 1.25 + 𝒄].

𝑃(1.25 − 𝑐 ≤ 𝑋 ≤ 1.25 + 𝑐) = 0.9

𝑃(𝑋 ≤ 1.25 + 𝑐) − 𝑃(𝑋 ≤ 1.25 − 𝑐) = 0.9

𝑃 (𝑍 ≤1.25 + 𝑐 − 1.25

0.2) − 𝑃 (𝑍 ≤

1.25 − 𝑐 − 1.25

0.2) = 0.9

𝑃 (𝑍 ≤𝑐

0.2) − 𝑃 (𝑍 ≤ −

𝑐

0.2) = 0.9

𝑃 (𝑍 ≤𝑐

0.2) − [1 − 𝑃 (𝑍 ≤

𝑐

0.2)] = 0.9

2 [𝑃 (𝑍 ≤𝑐

0.2)] = 1.9

𝑃(𝑍 < 𝑧) = 𝑃 (𝑍 ≤𝑐

0.2) = 0.95

11

𝑧0.95 = 1.645 ⟶𝑐

0.2= 1.645

Por lo tanto:

𝑐 = 0.329

Punto 4. Función Generatriz de Momentos – (10 puntos)

El gerente de una empresa manufacturera ha realizado un estudio en su planta de producción, ya

que quiere analizar el comportamiento de la variable aleatoria que representa el número de fallas

mensuales que tienen las máquinas. De la variable aleatoria se conoce su Función Generatriz de

Momentos, la cual está dada por:

𝜓𝑋(𝑡) = 𝑒6(𝑒𝑡−1)

Con base en la información anterior, de solución a los siguientes literales.

a. (3 puntos) ¿Cuál es el número esperado de fallas en las máquinas durante un mes? Para calcular el valor esperado de X se debe calcular el momento de orden 1 de la siguiente manera:

𝜓′𝑋(𝑡) = 6𝑒𝑡𝑒6(𝑒

𝑡−1)

Se reemplaza a t=0

𝐸[𝑋] = 𝜓′𝑋(𝑡 = 0) = 6𝑒0𝑒6(𝑒0−1) = 6 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑎𝑠

b. (3 puntos) ¿Cuál es la varianza del número de fallas en las máquinas durante un mes?

𝜓′′𝑋(𝑡) = 6𝑒𝑡𝑒𝑡𝑒6(𝑒

𝑡−1) + 36𝑒2𝑡𝑒6(𝑒𝑡−1)

𝐸[𝑋2] = 𝜓′′𝑋(𝑡 = 0) = 6𝑒0𝑒0𝑒6(𝑒0−1) + 36𝑒2(0)𝑒6(𝑒

0−1) = 6 + 36 = 42

𝑉𝑎𝑟[𝑋] = 𝐸[𝑋2] − (𝐸[𝑋])2 = 42 − 62 = 6

Se sabe adicionalmente que el tiempo en minutos que se demora una falla en una máquina en ser

corregida se distribuye según la siguiente función de densidad de probabilidad:

𝑓𝑌(𝑦) = {1/20 0 < 𝑦 < 200 𝑑. 𝑙. 𝑐

c. (4 puntos) Halle su función generatriz de momentos. Muestre todo el procedimiento.

𝜓𝑌(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑦)

𝜓𝑌(𝑡) = ∫ 𝑒𝑦𝑡𝑓𝑌(𝑦)𝑑𝑦20

0

= ∫𝑒𝑦𝑡

20𝑑𝑦

20

0

=𝑒𝑦𝑡

20𝑡|0

20

12

𝜓𝑌(𝑡) = 𝑒20𝑡 − 1

20𝑡