tarea 1 tdc francisco mora 201141552-3
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Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Ingeniería Mecánica
Transferencia de calor
Tarea 1: Convección IWM 175-Profesor Mauricio Osses
Francisco Mora
13/11/2014
1. Problema a) Realice una investigación respecto a los requerimientos de la convección natural, sus
condiciones, capa límite, números adimensionales, entre otros. Además describa brevemente
las simplificaciones y suposiciones que se deben realizar en cada ejercicio, y las correlaciones
a usar. Apóyese con gráficos y diagramas.(30 ptos)
En la convección natural se estudia la transferencia de calor de una superficie en contacto con un
fluido en reposo. Existirá siempre un cuerpo caliente que transferirá el calor y uno frío que lo
recibirá, y puede suceder desde la superficie al fluido o viceversa. Sin embargo si se transmite calor
desde la superficie al fluido se generará un cambio de densidad en el fluido, lo que se manifiesta
normalmente como movimientos de éste a bajas velocidades. Así, en la convección natural el fluido
se mueve debido a cambios de densidad por el calentamiento o enfriamiento del fluido, y no por
acción de fuerzas externas
En este caso se puede representar lo que sucede con una placa plana vertical, en la cual se pueden
superponer para graficar las capas límites de velocidad y de temperatura. Para la capa límite se
observa que ésta va en aumento en la dirección del flujo.
Se observa en la imagen que al desplazarse en el eje x perpendicularmente a la pared, la capa límite
de velocidad parte desde cero, alcanza un máximo y luego vuelve a cero en la capa límite. Esto
sucede porque el fluido más allá de la capa límite está estático. Por su parte, la temperatura del
fluido en la superficie es igual a la de la placa, y al irse alejando va disminuyendo hasta alcanzar la
temperatura del medio al terminar la capa límite. Si la superficie fuese fría, los perfiles de velocidad
y temperatura serían igual a los antes descritos pero con la dirección invertida.
Aquí las tasas de transferencias de calor son menores porque la velocidad de los flujos en
convección natural son mucho menores. En comparación con la convección forzada, para la
convección natural los flujos no se definirán como turbulentos o laminares en función del número
de Reynolds, sino que ahora se usa el número adimensional de Grasshof GR, cuya expresión está
definida como:
𝐺𝑅𝑙 =𝑔𝛽(𝑇𝑠 − 𝑇∞)𝐿𝑐
3
𝑣2
Donde:
g : Aceleración de gravedad 𝑚
𝑠2
𝛽: Coeficiente de expansión volumétrica1
𝐾
𝑇𝑠: Temperatura de la superficie °𝐶
𝑇∞: Temperatura del fluido alejado de la superficie °𝐶
𝐿𝑐: Longitud característica del cuerpo m
v : Viscosidad cinemática del fluido 𝑚2
𝑠
El número de grasshof representa la razón entre la fuerza boyante debido a la convección natural y
la fuerza viscosa. Se requiere un indicador para saber si el flujo está gobernada por convección
forzada, natural o si ambas tienen influencia importante. Para esto se emplea la relación 𝐺𝑅
𝑅𝐸2:
𝐺𝑅
𝑅𝐸2 ≪ 1: El efecto predominante es el de la convección forzada 𝐺𝑅
𝑅𝐸2 ≫ 1: El efecto predominante es el de la convección natural 𝐺𝑅
𝑅𝐸2 ≈ 1: Ambas convecciones deben considerarse
También se define el número de Rayleigh RA:
𝑅𝐴 = 𝐺𝑅 ∙ 𝑃𝑅 =𝑔𝛽(𝑇𝑠 − 𝑇∞)𝐿𝑐
3
𝑣𝛼
Este número conceptualmente representa la razón entre la convección natural y el transporte de
calor difusivo. Los grupos adimensionales relevantes son entonces GR y PR, donde GR se
caracteriza por ser el cuociente de las fuerzas de empuje sobre las fuerzas viscosas. En cada
geometría debe ser especificado la longitud significativa para formar los números de Grasshof y
Nusselt y Rayleigh. Para analizar el paso de flujo laminar a turbulento, se analiza el intervalo de
valores obtenidos del número de Rayleigh según la geometría:
A) Placa vertical:
A.1 Temperatura de pared uniforme:
𝑁𝑢𝑚 = 𝐶(𝑅𝑎)𝑛
Con 𝑁𝑢𝑚 =ℎ𝑚𝑙
𝑘 y con propiedades fijadas a 𝑇𝑓𝑖𝑙𝑚 =
1
2(𝑇𝑠 + 𝑇∞)
Tipo de flujo Rango de Ra c n
Laminar 104 𝑎 109 0,59 0,25
Turbulento 109 𝑎 1013 0,10 1/3
A.2 Flujo de calor uniforme:
𝑁𝑢𝑚 = 0,75(𝑅𝑎)15, 𝑝𝑎𝑟𝑎 105 < 𝑅𝑎 < 1011, 𝑅𝑎 𝑙𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟
𝑁𝑢𝑚 = 0,645(𝑅𝑎)0,22, 𝑝𝑎𝑟𝑎 2 ∙ 1013 < 𝑅𝑎 < 1016, 𝑅𝑎 𝑡𝑢𝑟𝑏𝑢𝑙𝑒𝑛𝑡𝑜
Para este caso Ra se calcula como:
𝑅𝑎 =𝑔𝛽𝑞𝑠𝑙4
𝑘𝑣2
B) Placa Horizontal:
B.1 Temperatura de pared uniforme
𝑁𝑢𝑚 = 𝐶(𝑅𝑎)𝑛
Orientación
placa
Rango de Ra c n Tipo de flujo
Superficie
caliente hacia
arriba o fría
mirando hacia
abajo
105 𝑎 2 ∙ 1013
2 ∙ 107 𝑎 3 ∙ 1010
0,54
0,14
1
4
1
3
L
T
Superficie
caliente mirando
hacia abajo o
fría mirando
hacia arriba
3 ∙ 105 𝑎 3 ∙ 1010 0,27 1
4
L
B.1 Flujo de calor constante:
Correlaciones de Fuji e Imura:
- Superficie caliente orientada hacia arriba:
𝑁𝑢𝑚 = 0,13(𝑅𝑎)13, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑅𝑎 ∙ 𝑃𝑟 < 2 ∙ 108
𝑁𝑢𝑚 = 0,16(𝑅𝑎)13, 𝑝𝑎𝑟𝑎 5 ∙ 108 < 𝑅𝑎 ∙ 𝑃𝑟 < 1011
- Superficie caliente orientada hacia abajo:
𝑁𝑢𝑚 = 0,58(𝑅𝑎)15, 𝑝𝑎𝑟𝑎 106 < 𝑅𝑎 ∙ 𝑃𝑟 < 1011
𝑅𝑎 =𝑔𝛽(𝑇𝑠 − 𝑇∞)𝐿𝑐
3
𝑣2
𝑁𝑢𝑚 =ℎ𝑚𝑙
𝑘= 𝑁𝑢𝑚 =
𝑞𝑠𝑙
(𝑇𝑠 − 𝑇∞)𝑘 , 𝑐𝑜𝑛 𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
C) Placas inclinadas a temperatura constante:
C.1 Superficie caliente orientada hacia arriba:
𝑁𝑢𝑚 = 0,145 ((𝐺𝑟𝑙𝑃𝑟)13 − (𝐺𝑟𝑐𝑃𝑟)
13) + 0,56(𝐺𝑟𝑐 Pr 𝑐𝑜𝑠𝜃)
13
En que se debe considerar:
𝐺𝑟𝑙𝑃𝑟 < 1011
𝐺𝑟𝑙 > 𝐺𝑟𝑐 𝑦 𝜃 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 − 15° 𝑦 − 75°
𝜽 𝑮𝒓𝒄
-15 5 ∙ 109
-30 109
-60 108
-75 106
C.2 Superficie caliente orientada hacia abajo:
𝑁𝑢𝑚 = 0,56(𝐺𝑟𝑐 Pr 𝑐𝑜𝑠𝜃)13
En que se debe considerar:
105 < 𝐺𝑟𝑙𝑃𝑟 < 1011
𝜃 < 88° Para los ejercicios:
- Se debe trabajar con la temperatura promedio 𝑇𝑓𝑖𝑙𝑚 , que corresponde a un valor
estimado de temperatura en la capa límite térmica.
- Temperatura de la superficie es constante
- Aire se considera gas ideal
- Identificar la geometría del cuerpo a estudiar
- En el análisis de flujo o balance energético, no hay generación de calor
- Sin radiación (a menos que se mencionen valores de emisividad u otra especificación)
- Al momento de calcular 𝛽 debe tenerse en cuenta que:
Si el fluido circundante es aire:
𝛽 =1
𝑇𝑓, 𝑐𝑜𝑛 𝑇𝑓 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝐾𝑒𝑙𝑣𝑖𝑛
Si el fluido circundante es agua: Utilizar valores tabulados
B) Una placa cuadrada de aluminio puro de 0,5 m por lado y 16 mm de espesor, está
inicialmente a 300 ◦ C y suspendida en una cámara grande. La temperatura del ambiente es
igual y constante a 27 ◦ C. Cuál es la velocidad de enfriamiento inicial? Es razonable suponer
una temperatura de la placa uniforme durante el proceso de enfriamiento? Realice un cálculo
”Aproximado” del valor del enfriamiento a lo largo del tiempo, con la temperatura de la
superficie de la placa NO uniforme en función del tiempo.(40 ptos).
Supuestos: - No hay radiación
- Temperatura de la placa uniforme para el cálculo de velocidad de enfriamiento
inicial
- El aire de la cámara está estático (v = 0)
- Se desprecia el espesor para efectos de la transferencia de calor. Por lo que será
modelada como una placa plana
Los datos son: 𝑇𝑖 = 300 °𝐶, 𝑙 = 0,5, 𝐴𝑠 = 0,25 𝑚2, 𝑇∞ = 27°𝐶, 𝑒 = 0,016 𝑚. Además, para el
aluminio a 300°C se tienen los siguientes datos: 𝜌 = 2702𝑘𝑔
𝑚3 𝑐𝑝 = 1022𝐽 𝑘𝑔
𝐾 y 𝑘 = 232
𝑊
𝑚 𝐾
Como la placa está a temperatura mayor que el ambiente, se enfriará y la variación de temperatura
respecto al tiempo será negativa. Por tanto, considerando sólo el efecto de convección se tendrá la
siguiente ecuación:
−𝑑𝑄
𝑑𝑡= −𝐴𝑠ℎ(𝑇 − 𝑇∞) = 𝑚𝑐𝑝
𝑑𝑇
𝑑𝑡
De donde despejando la velocidad de enfriamiento vamos a obtener:
𝑑𝑇
𝑑𝑡=
−ℎ(𝑇 − 𝑇∞)
𝜌𝑒𝑐𝑝
Y para obtener la tasa de enfriamiento inicial, debemos reemplazar T por 𝑇𝑖 = 300 °𝐶, y determinar
el valor del coeficiente de convección h, el cual dependerá de la geometría de la figura y su
orientación especial. En este caso se modela como una placa plana dispuesta horizontalmente.
Además se debe especificar que en la placa estudiada presentará el perfil de corrientes por
convección natural para una placa más caliente que el medio exterior, pero caliente en ambas caras:
Considerando sólo convección natural, procedemos a calcular el coeficiente:
𝑙𝑐 =𝑎
4=
0,5
4= 0,125 𝑚
𝐴 = 0,5 ∗ 0,5 = 0,25 𝑚2
𝑇𝑓 =300 + 27
2= 163,5 °𝐶 = 436,65 𝐾
Propiedades termofísicas interpoladas para T@163,5 °𝐶: 𝑘 = 232𝑊
𝑚 𝐾, 𝑣 = 3,016 ∙ 10−5, 𝑃𝑟 =
0,701. Con estos valores calculamos el número de Grasshof:
𝐺𝑟 =𝑔𝛽(𝑇𝑠 − 𝑇∞)𝐿𝑐
3
𝑣2=
9,81 ∙1
436,65∙ (300 − 27) ∙ 0,1253
(3,016 ∙ 10−5)2
𝐺𝑟 = 13169386,83
Luego calculamos el número de Rayleigh:
𝑅𝑎 = 𝐺𝑟 ∙ 𝑃𝑟 = 9231740,167
Como la placa es más caliente que el ambiente, la fuerza resultante actúa hacia arriba forzando al
fluido a ascender, generando corrientes en ascenso tanto en la cara de arriba de la placa como en la
de abajo. Sin embargo, las corrientes más fuertes están en la cara superior puesto que la placa no
estorba en su ascenso, como sucede en las capas inferiores. Por tanto, se espera una menor
convección abajo (porque las capas de fluido permanecen más tiempo en contacto con la placa) y
por tanto una tasa de enfriamiento más lenta también. Así para cada cara de la placa se tienen los
siguientes valores de convección natural:
Arriba: El número de Rayleigh obtenido se encuentra dentro del intervalo [105 𝑎 2 ∙ 109], por tanto
la placa presenta flujo laminar, siendo C=0,54 y n=0,25:
𝑁𝑢 = 0,54𝑅𝑎0,25 = 29,7656
ℎ =𝑁𝑢 ∙ 𝑘
𝑙𝑐=
29,7656 ∙ 35,5 ∙ 10−3
0,125= 8,4534
𝑊
𝑚2°𝐶
Abajo: El número de Rayleigh obtenido se encuentra dentro del intervalo [3 ∙ 105 𝑎 3 ∙ 1010], por
tanto la placa presenta flujo laminar, siendo C=0,27 y n=0,25:
𝑁𝑢 = 0,27𝑅𝑎0,25 = 14,8828
ℎ =𝑁𝑢 ∙ 𝑘
𝑙𝑐=
14,8828 ∙ 35,5 ∙ 10−3
0,125= 4,2267
𝑊
𝑚2°𝐶
Ahora podemos determinar la velocidad de enfriamiento inicial para ambas caras de la placa:
Arriba: 𝑑𝑇
𝑑𝑡=
−8,4534 ∙ (300 − 27)
2702 ∙ 0,016 ∙ 1022= −0,05223
°𝐶
𝑠
Abajo: 𝑑𝑇
𝑑𝑡=
−4,2267 ∙ (300 − 27)
2702 ∙ 0,016 ∙ 1022= −0,02612
°𝐶
𝑠
Es razonable suponer una T° de placa uniforme durante el proceso de enfriamiento? Para esto es
necesario conocer si es que la placa en estas circunstancias puede modelarse como un cuerpo
concentrado (es decir, con una despreciable resistencia a la conducción). Para ello, se comparará la
resistencia a la conducción con la resistencia a la convección por medio del número de Biot Bi:
Arriba:
𝐵𝑖 = ℎ𝑙𝑐
𝑘=
8,4534 ∙ 0,125
232= 0,004555
Abajo:
𝐵𝑖 = ℎ𝑙𝑐
𝑘=
4,2267 ∙ 0,125
232= 0,002277
Para ambos casos se obtuvo que 𝐵𝑖 < 0,1, por tanto el cuerpo puede considerarse como
concentrado (Cambio de temperatura uniforme), por tanto los gradientes de temperatura a causa del
espesor son despreciables.
B) Realice el mismo ejercicio anterior asumiendo una velocidad del fluido igual a 10 m/s
(Solo la parte de temperatura de placa constante). Comente los resultados, y contra
ejemple con una aplicación de ingeniería, donde sea más útil la convección natural
frente a convección forzada externa. (30 ptos)
Supuestos: - Condiciones operativas estacionarias (del flujo de aire)
- Propiedades termofísicas constantes
- T° superficial es constante
- Aire es gas ideal
- Tdc por radiación es despreciable
Para ponderar la influencia de las convecciones forzada y natural, analizamos los números de
Reynolds y de Grasshof:
𝑅𝑒 = 𝑉𝑙𝑐
𝑣=
10 ∙ 0,125
3,016 ∙ 10−5= 41445,62
Ahora calcularemos el número de Grasshof:
𝑇𝑓 =300 + 27
2= 163,5 °𝐶 = 436,65 𝐾
Propiedades termofísicas interpoladas para T@163,5 °𝐶: 𝑘 = 232𝑊
𝑚 𝐾, 𝑣 = 3,016 ∙ 10−5, 𝑃𝑟 =
0,701. Con estos valores calculamos el número de Grasshof:
𝐺𝑟 =𝑔𝛽(𝑇𝑠 − 𝑇∞)𝐿𝑐
3
𝑣2=
9,81 ∙1
436,65∙ (300 − 27) ∙ 0,1253
(3,016 ∙ 10−5)2
𝐺𝑟 = 13169386,83
A continuación emplearemos la relación: 𝐺𝑟
𝑅𝑒2=
13169386,83
41445,622= 7,667 ∙ 10−3 ≪ 1
Por tanto el flujo es dominado por convección forzada. Por ende, emplearemos las correlaciones de
convección forzada para placa plana y flujo laminar, dado que:
𝑅𝑒 = 41445,62 < 5 ∙ 10−5
Se calculará el número de Nusselt:
𝑁𝑢 = 0,664(𝑅𝑒)0,5(Pr )13
= 0,664(41445,62)0,5(0,701)13
= 120,08 Luego:
ℎ =𝑁𝑢 ∙ 𝑘
𝑙𝑐=
120,08 ∙ 35,35 ∙ 10−3
0,125= 33,959
𝑊
𝑚2°𝐶
Finalmente:
𝑑𝑇
𝑑𝑡=
−ℎ(𝑇 − 𝑇∞)
𝜌𝑒𝑐𝑝
=−33,969 ∙ (300 − 27)
2702 ∙ 0,016 ∙ 1022= −0,2098
°𝐶
𝑠
Esta es la tasa general de enfriamiento de la placa, y no importa el sentido de circulación del flujo
de aire porque ya sea que esté a favor o en oposición al flujo natural inducido por flotabilidad, el
efecto del último no es considerable, por tanto si se sumara la contribución de ese flujo, se tendrían
valores de Nusselt muy poco variables, por ende coeficientes de tdc poco variables, y finalmente
tasas de enfriamiento poco variables.
La convección natural presenta variadas aplicaciones y utilidad tanto en flujos externos e internos
como en el medioambiente. Algunas de ellas son:
- Externos: Pérdidas o ganancias térmicas desde equipos, calefacción de ambientes por
medio de radiadores, y aletas de enfriamiento
- Internos: Ventanas dobles Termopanel, enfriamiento de componentes electrónicos,
colectores solares y pérdidas o ganancias de calor en frigoríficos
- En el medioambiente: Es importante y considerable en las corrientes térmicas
generadas en el suelo, y para flujos geofísicos
Instrucciones: • La tarea debe ser entregada impresa en formato PDF en el buzón de secretaria mecánica el d´ ıa Mi´ ercoles 24 de Junio, con hora l´ ımite 17:00 • Pueden trabajar en grupo, pero deben entregar informes individuales. • No se aceptarán tareas atrasadas, el atraso implicará nota 0 (cero) • Tareas en las que se detecte copia, implicará nota 0 (cero) • Los datos de propiedades termo f´ ısicas de los materiales y fluidos deben ser buscadas por usted. • Para obtener cálculos mas exactos, DEBE interpolar todos los valores que sean necesarios interpolar.