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Barranquilla, 6 de noviembre de 2014

UNIVERSIDAD DEL NORTE

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADISTICAS

ECUACIONES DIFERENCIALES - TALLER 14

Tabla 1: Tabla de Transformada de Laplace

L

eat

=1

s− a, s > a L cos at =

s

s2 + a2, s > 0

L tn =n!

sn+1, s > 0 L sin at =

a

s2 + a2, s > 0

L

f ′(t)

= sF (s)− f(0+) L

eatf(t)

= F (s− a)

L f(t− a)U (t− a) = e−asF (s), a > 0

dondeL f(t) = F (s)

GRUPO I

Asuma (la constante de gravedad) g = 10 m/s2

Una masa m2 extiende un resorte una longitud s . A este resorte se le colocauna masa m y se sumerge en un medio que imparte una fuerza viscosa Fβ

cuando la velocidad de la masa es vβ . Si en el instante inicial t = 0 la masase pone en marcha con una velocidad v0 desde una posición x0 y sobre estesistema masa-resorte actúa una fuerza externa F(t) (en N) . Formular el pro-blema de valor inicial que describe el movimiento de la masa y utilizando

únicamente argumentos de transformada de Laplace determine la solucióndel mismo para cada uno de los siguientes casos:

Masa

F(t)

Ejercicios E1

m2 = 0,5 Kg, s = 1 m, m = 5 Kg, Fβ = 4 N, vβ = 2

5, x0 = 0 m, v0 = 1 m/seg

F(t) =

5 cos (t) , 0 ≤ t < π2

5 sin (t) + 5 cos (t) , t ≥ π2

Solución

x (t) =1

2te−t +

1

2sin (t)−

1

4

(

2 cos (t) + e−t+π

2 (−π + 2 t))

U

(

t−π

2

)

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Ejercicios E2

m2 =3

10Kg, s = 1

5m, m = 3 Kg, Fβ = 2 N, vβ = 1

3, x0 = 0 m, v0 = 0 m/seg

F(t) =

90 cos (t) , 0 ≤ t < 1

90 t+ 90 cos (t) , t ≥ 1

Solución

x (t) = 6 cos (t) + 3 sin (t)−3

2e−t (4 cos (2 t) + 3 sin (2 t))

+6

5

(

−2 + 5 t− e1−t (3 cos (2 t− 2) + 4 sin (2 t− 2)))

U (t− 1)

Ejercicios E3

m2 =1

5Kg, s = 1

4m, m = 4 Kg, Fβ = 4 N, vβ = 1

3, x0 = 0 m, v0 = −1 m/seg

F(t) =

120 cos (t) , 0 ≤ t < 2

120 t+ 240 + 120 cos (t) , t ≥ 2

Solución

x (t) = −16 e−t + 3 cos (t) + 9 sin (t) + 13 e−2 t +15

2U (t− 2)

(

1− 12 e2−t + 2 t+ 7e−2 t+4)

Ejercicios E4

m2 =2

5Kg, s = 1

5m, m = 4 Kg, Fβ = 4 N, vβ = 1

4, x0 = 0 m, v0 = 0 m/seg

F(t) =

40 t2 − 40 t, 0 ≤ t < 1

40 t2 − 40, t ≥ 1

Solución

x (t) =84

25−

26 t

5+ 2 t2 −

2

25e−2 t (42 cos (t) + 19 sin (t))

+2

5

(

−9 + 5 t+ e−2 t+2 (4 cos (t− 1) + 3 sin (t− 1)))

U (t− 1)

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GRUPO II

Asuma (la constante de gravedad) g = 10 m/s2

Una masa m2 extiende un resorte una longitud s . A este resorte se le colocauna masa m. Si en el instante inicial t = 0 la masa se pone en marcha con unavelocidad v0 desde una posición x0 y sobre este sistema masa-resorte actúauna fuerza externa F(t) (en N) . Formular el problema de valor inicial quedescribe el movimiento de la masa y utilizando únicamente argumentos de

transformada de Laplace determine la solución del mismo para cada uno delos siguientes casos:

Masa

F(t)

Ejercicios E5

m2 =8

5Kg, s = 1

4m, m = 4 Kg, x0 = 1 m, v0 = 0 m/seg

F(t) =

192 t2 − 192 t, 0 ≤ t < 2

192 t2 − 192, t ≥ 2

Solución

x (t) = −3

8+

11

8cos (4 t) + 3 t2 +

3

4sin (4 t)− 3 t

+3

8U (t− 2)

(

−8 + 8 sin2 (2 t− 4)− sin (4 t− 8) + 4 t)

Ejercicios E6

m2 =9

10Kg, s = 1

3m, m = 3 Kg, x0 = 1 m, v0 = 1 m/seg

F(t) =

15 sin (2 t) 0 ≤ t < π

15 sin (2 t) + 45 cos (2 t) , t ≥ π

Solución

x (t) = sin (2 t)−1

3sin (3 t) + cos (3 t) + 3U (t− π) (cos (2 t) + cos (3 t))

Ejercicios E7

m2 =8

5Kg, s = 1

3m, m = 3 Kg, x0 = 0 m, v0 = −1 m/seg

F(t) =

21 sin (3 t) 0 ≤ t < π

21 sin (3 t) + 63 cos (2 t) , t ≥ π

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Solución

x (t) = sin (3 t)− sin (4 t) +7

4U (t− π) (cos (2 t)− cos (4 t))

Ejercicios E8

m2 =8

5Kg, s = 1 m, m = 4 Kg, x0 = 1 m, v0 = −1 m/seg

F(t) =

80 sin (3 t) 0 ≤ t < π

80 sin (3 t) + 240 cos (2 t) , t ≥ π

Solución

x (t) = −4 sin (3 t) + cos (2 t) +1

2(11 + 30U (t− π) (t− π)) sin (2 t)

GRUPO III

Un circuito en serie RLC consiste de una resistencia R

, un inductor (con inductancia) L, un condensador (concapacitancia) C , y una fuerza electromotriz E(t) (en V).Si en el tiempo t = 0 la carga es q0 = 0 C y la corrientees i0 = 0 A , encontrar la carga y la corriente en cualquiermomento t en cada uno de los siguientes casos:

E

R

L

C

Ejercicios E9

L = 2 H, R = 4Ω y C = 1

4F

E(t) =

10 cos (2 t) 0 ≤ t < π

10 cos (2 t) + 10 sin (2 t) , π ≤ t < 2π

10 cos (2 t) + 10 sin (2 t) + 10 sin (t) , t ≥ 2π

Solución

x (t) = −1

2cos (2 t) + sin (2 t) +

1

2(cos (t)− 3 sin (t)) e−t

+(

sin (t)− 2 cos (t) + e−t+2 π (sin (t) + 2 cos (t)))

U (t− 2π)

−1

2

(

2 cos (2 t) + sin (2 t) + 2 e−t+π (cos (t) + 2 sin (t)))

U (t− π)

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Ejercicios E10

L = 2 H, R = 8Ω y C = 1

10F

E(t) =

50 0 ≤ t < 1

50 t, 1 ≤ t < 2

100 t− 100 t ≥ 2

Solución

x (t) = 5− 5 e−2 t (cos (t) + 2 sin (t))

+(

−14 + 5 t+ e−2 t+4 (3 sin (t− 2) + 4 cos (t− 2)))

U (t− 2)

+(

−9 + 5 t+ e−2 t+2 (3 sin (t− 1) + 4 cos (t− 1)))

U (t− 1)

Ejercicios E11

L = 3 H, R = 12Ω y C = 1

24F

E(t) =

48 t− 48 0 ≤ t < 1

96 t− 96, 1 ≤ t < 2

144 t− 192 t ≥ 2

Solución

x (t) = −3 + 2 t+ e−2 t (3 cos (2 t) + 2 sin (2 t))

+ U (t− 2)(

−5 + e−2 t+4 cos (2 t− 4) + 2 t)

+ U (t− 1)(

−3 + e−2 t+2 cos (2 t− 2) + 2 t)

Ejercicios E12

L = 2 H, R = 8Ω y C = 1

26F

E(t) =

338 t2 0 ≤ t < 1

338 t2 + 338 t − 338, 1 ≤ t < 2

338 t2 + 676 t − 1014 t ≥ 2

Solución

x (t) =6

13− 8 t+ 13 t2 +

2

39(−9 cos (3 t) + 46 sin (3 t)) e−2 t

+1

3

(

−90 + 39 t+ (−5 sin (3 t− 6) + 12 cos (3 t− 6)) e−2 t+4)

U (t− 2)

+1

3

(

−51 + 39 t+ (−5 sin (3 t− 3) + 12 cos (3 t− 3)) e−2 t+2)

U (t− 1)

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GRUPO IV

Ejercicios E13

Calcule la transformada de laplace de las siguientes funciones periódicas

1.1

1 2 3 4 5 6 7

2.1

1 2 3 4 5 6 7

3.1

−1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

4.1

−1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

5.1

−1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

f(t) = 2t2 − 1, t ∈ [0, 1] f(t) = −2t2 + 8t− 7, t ∈ [2, 3]

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Respuestas Ejercicios E13

1. F (s) = −1

1− e−2 s·−1 + e−s + e−ss

s2

2. F (s) =1

1− e−2 s·1− 2 e−s + e−2 s

s2

3. F (s) =1

1− e−3 s·−2 s+ 4− 5 e−s + e−3 s

2s2

4. F (s) =e−s

(

2 s+ 4− 5 e−ss− 5 e−s + e−2 s)

2(1 − e−3 s)s2

5.

F (s) =1

1− e−3 s·

[

(

s2 + 4 + 4 s)

e−3 s

s3

+

(

s2 − 4)

e−2 s

s3

−s2 − 4

s3−

(

s2 + 4 + 4 s)

e−s

s3

]

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