UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS

PRIMERAS PRATICAS DESARROLLADAS

Curso: Matemática Discreta CB112W

Alumnos:

Alvarado Villaverde, Jose Antonio

Soldevilla Cardenas, Temis Alejandro

Teran Rios, Juan Francisco

Violeta Gil, Patrick Joel

Docente:

Paul Tocto

2014PRUEBA DE ENTRADA TOCTO 2013-2

PREGUNTA 1

Debido a los constantes robos ocurridos en la FIIS, se desea crear un sistema de seguridad en la FIIS, con las siguientes condiciones:

a. Sensores de seguridad en todas las puertas de las aulas(n aulas)b. Si la puerta de un aula es abierta en forma indebida, se activara el sonido de una

sirena.

Identificar las variables independientes, variables dependientes y cuantas funciones se debe definir.

SOLUCION.

a. Se tiene n aulas1 Aula 1 Sensor2 Aulas 2 Sensores3 Aulas 3 Sensores. …………………………….-.-....n Aulas n Sensores

Función Lineal.

La cual definimos: C: Constante

En el problema: , C=0. ,

Variable Independiente: =n aulas. (Dominio de la función)

Variable Dependiente: y= n sensores. (Rango de la función)

b. Si una puerta es abierta se activara el sonido de una alarma, entonces:

Funcion Lineal

La cual definimos: , C: Constante

En el problema: ,C=-1, Ya que se activó una alarma.

Variable Independiente: = n Aulas. (Dominio de la función)

Variable Dependiente: sensores. (Rango de la función).

1. Para otorgar un préstamo para Estudios en el Banco de la Nación se tienen los siguientes requisitos: Formato de “Pre Matricula” otorgado por la Institución Educativa, debidamente

visado. Tarjeta Multired Clásica o Tarjeta Multired Global Debito afiliada a Visa. Original y Copia de DNI, última boleta de pago y último recibo de agua, luz o

teléfono fijo. Si el Cliente Mantiene Créditos en otras entidades financieras, no necesita

presentar los documentos que sustenten la cuota mensual que cancela, ya que el Banco calcula de forma automática el valor aproximado de dichas cuotas.

a. Utilizando proposiciones lógicas, hallar una única expresión lógica que permita evaluar si procede o no el préstamo solicitado por un cliente del Banco de la Nación.

b. Evaluar la expresión hallada con un ejemplo.

SOLUCION.

Representando la proposición:

Agrupamos los requisitos en una Proposicion:

Requisitos Cumplidos.

Cliente mantiene créditos en otras entidades financieras.

Entonces:

Requisitos no cumplidos.

Cliente no mantiene créditos en otras entidades financieras.

a. Si V entonces procede el préstamo; también si V procede el préstamo,

entonces la expresión seria ( v , solo bastará que uno de ellos cumpla para

que proceda el préstamo.b. Viendo la tabla de verdad de la expresión:

V V V

V F V

F V V

F F F

Como se puede ver basta que uno de ellos sea V para que la expresión sea verdadera, ya que esto apelaría a que se proceda con el préstamo, y un único caso en que ambas sean falsas y en este caso no se procedería con el préstamo.

2. Una empresa de turismo tiene oficinas en las siguientes ciudades: Lima, Arequipa, Trujillo, Chiclayo, Tumbes, Huanuco y Cuzco. Considerando que la sede central está en Lima, desde donde se interconectará una red de fibra óptica a las ciudades al sur y al norte de Lima.Utilizar una matriz para representar las posibles interconexiones de acuerdo a las condiciones dadas.

SOLUCION.

Tumbes

Chiclayo

/

///LIMA

Trujillo

Huánuco

Matriz: 1x6.

3. Probar que dado tres conjuntos: A,B Y C, se cumple:

SOLUCION.

Para un x arbitrario tenemos la siguiente cadena de equivalencias:

….(i)

….(ii)

…(iii)

….(iv)

Arequipa

Cuzco

….(v)

En los pasos (i) y (iv) se usa la definición de la unión.

En los pasos (ii) y (v) se usa la definición de la intersección.

Y en el paso (iii) se aplica la propiedad distributiva de la disyunción sobre conjunción:

4. a. Crear un manual de ayuda, para realizar una llamada en un teléfono particular fijo.b. ¿El manual creado en a) es un algoritmo? Justifique.

SOLUCION.

a. Manual para usar un teléfono público. Los pasos pueden expresarse así: Descolgar el teléfono. Introducir las monedas. Marcar el número. Colgar el teléfono.

Estos son los pasos para utilizar correctamente el teléfono público, pero suponiendo que la persona nunca ha utilizado un teléfono público, se puede ver que no podrá realizar una llamada satisfactoriamente, y hay varios aspectos que se tiene que ver como que pasa si el número marcado puede estar ocupado, el teléfono no sirve, o si se agota el tiempo. Se puede apreciar que los pasos son poco específicos y no cubre todas las situaciones previstas; por todo esto es posible que no puede completarse una llamada telefónica satisfactoriamente siguiendo estos pasos. Por tal razón es proceso descrito es un manual poco efectivo para usar un teléfono público.

Por todo esto, mejoraremos el proceso anterior:

Primero: Descolgar el Teléfono, si no se oye un tono entonces colgar el teléfono, Fin.Segundo: Introducir las monedas, Fin.Tercero: Marcar el número, si se oyen varios tonos cortos seguidos es posible que el número este ocupado entonces colgar el teléfono, recoger las monedas, Fin. Cuarto: Si se oyen varios tonos largos el número está timbrando, si alguien contesta hablar, cada vez que se escuche un tono mientras está hablando introducir monedas, seguir hablando, terminada la llamada colgar el teléfono, Fin.

b. Si se puede apreciar que es un algoritmo ya que es una secuencia de acciones, donde hay decisión de acciones y ciclos de acciones, por esto lo haremos en forma sintetizada y enumerada:

1. Descolgar el teléfono.2. Si no se oye un tono entonces

2.1. Colgar el teléfono.2.2. Fin.

3. Marcar el número 4. Si se oyen varios tonos cortos seguidos

4.1. Colgar el teléfono.4.2. Recoger las monedas.4.3. Fin.

5. Si se oyen varios tonos largos.6. Si alguien contesta.

6.1. Hablar.6.2. Cada vez que se escuche un tono mientras este hablando.

6.2.1. Introducir monedas.6.2.2. Seguir Hablando.

6.3. Colgar el teléfono6.4. Recoger las monedas no usadas.6.5. Fin.

7. Si nadie contesta.7.1. Colgar el teléfono.7.2. Recoger las monedas.7.3. Fin.

PRIMERA PRACTICA CALIFICADA BENITES 2013 -2

1.-

a)los siguientes datos A: 62548000H y B:53D48000H corresponden a números reales en notación científica binaria de precisión sencilla( 1 bit para el signo, 8 bits para el exponente y el resto para la mantisa) hallar (A+B) y dar resultado en precisión sencilla

Realice todas las operaciones en binario.

b) los siguientes datos:

A: 01000000101100100000000000000000

B: 11000001010000000000000000000000

Corresponden a números reales en formato IEEE 754. Hallar AxB y dar resultado en el mismo formato. Realice todas las operaciones en binarios.

SOLUCION:

a)

A: 0 11000100 10101001000000000000000 B: 0 10100111 10101101000000000000000

Exponente: 27 + 26 +22 = 68 +27 exponente: 27 + 25 +22 + 2+1= 39 +27

A: 0,10101001 x 268 B: 0,000..000 10101001 x 268

29 ceros

Sumando A+B tenemos:

= 0,10101001 0000…00 10101001 x 268

A precisión simple

= 01100010010101001000000000000000000

= 62548000H

b) A: 01000000101100100000000000000000

B: 11000001010000000000000000000000

Formato IEEE 754

A: 1,011001 x 22

B: - 1,1 x 23

Efectuamos AxB

1,011001 x

-1,1

1,011001

1,011001

-10, 0001011

AxB= -1,00001011 x 26

- Al formato IEEE

= 110000101000101010000000000000000000000

= C2858000H

2. a)Calcular la siguiente suma en BCD:

a) 0001 + 0100 + 1001 +…+ 011000100101b) Calcular el valor de la determinante, cuyos elementos están en exceso 2n-1

12 + 22 + 32 + 42 + … + 252

1 + 4 + 9 + 16 + … + 625

En el cual aplicamos la fórmula n(n+1)(2n+1) , para calcular la suma.

6 Donde: n = 2525 = 11001S = (11001)(11001+1)(10x11001+1) 110 11001 x 11010 00000 11001 00000 11001 11001 1010001010 1010001010 x 110011 1010001010 1010001010 0000000000 0000000000 1010001010 10100010101000000101111110

1000000101111110 110 110 1010110010101 1000 110 1001 110 110 110 111 110 111 110 110 110

S = 1010110010101 (2) = 5525

Sistema BCD:

S = 5 5 2 5 S = 0101 0101 0010 0101

b) Elementos en exceso

En binario

3.-Cuatro personas A, B, C, D cuyos votos valen respectivamente 1,4,6,9 puntos, votan sobre distintos proyectos. Ninguna de las cuatro personas se abstiene, ni vota en blanco o nulo. Se denotan a,b,c,d las variables que toman el valor 1 cuando las personas A,B,C,D respectivamente, votan a favor del proyecto y toman el valor 0 cuando las personas A,B,C,D respectivamente, votan en contra del mismo.

Obtener una función f(a,b,c,d) que toma el valor 1 cuando el proyecto es aceptado con mayoría absoluta de puntos (11 puntos) y 0 en caso contrario.

SOLUCION:

f(a,b,c,d) = a +4b+6c +9d

A B C d Aceptacion

1 1 1 1 1

1 1 1 0 1

1 1 0 1 1

1 1 0 0 0

1 0 1 1 1

1 0 1 0 0

1 0 0 1 0

1 0 0 0 0

0 1 1 1 1

0 1 1 0 0

0 1 0 1 1

0 1 0 0 0

0 0 1 1 1

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 0

0: desaprobada --- 1: aprobada

Función lógica: a’b’c’d’ , a’b’c’d, a’b’cd’, a’bc’d’, ab’c’d’, ab’cd’ abc’d’

4.-Justificando su respuesta, determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

a) Existen infinitos primos

b)

c) A es invertible si y solo si det (A) =/ 0

d) si [a-5] <2 entonces 1/9 < 1/a+2 <1/5

SOLUCION:

a) Por método del absurdo demostraremos que los números primeros son infinitos o lo mismo que demostrar que no existe un numero primo mayor que todos.

P:Existe un primo mayor que todos los números primos

Pi :P1,P2,P3….Pn ,

Donde Pn: El máximo numero primo

-Q: puede ser un numero primo o compuesto. Si se demuestra que Q es un numero primo entonces estaríamos negando lo que se planteo(Los números son primos son infinitos); demostraremos esto por método del absurdo suponiendo que R es compuesto

i)

N

Se concluye mediante el método del absurdo que R no es compuesto y por ende es R es primo .

Si R es primo entonces existe una contradicción con lo afirmado de P ya que existe un primo(R) mayor que Pn .

Quedando demostrado entonces por el método de absurdo que no existe un primo mayor ya que siempre habrá uno mayor que otro.

B)

Por el método del absurdo demostraremos P

-

C)

A es invertible A-1= M

P = 3° , P=3n.k ˰ n N (r)

q≠ 3°

M existe

d) Si |a-5|<2

PRACTICA CALIFICADA TOCTO 2013-1

1. La municipalidad de Lima está realizando un censo de los árboles que fueron plantados desde el 2010, a la fecha se han llegado a plantar más de 300 mil árboles, como también se han realizado la tala de más de mil arboles

a) ¿Cuál sería el mejor formato para trabajar esta información? Justifique.b) Si cada año se puede plantar aproximadamente 100 mil árboles. Hallar en el

formato definido en a) el número de árboles en el 2050.SOLUCION

#aprox. De árboles plantados(a partir del 2010): P=300000#aprox. De árboles talados(a partir del 2010): P=1000

- Usamos el formato de representación sin signo.Nos piden el total de árboles plantados hasta el 2050.

- Dato:Cada año se plantan aprox. 100000 y se talan 1000.

- Calculo:

Total de árboles:N= (2050-2013)(100000-1000)+300000-1000=3962000

Pasamos N a base binaria.N=1111000111010010010000

Convirtiendo al formato (con 32 bits).N=00000000001111000111010010010000

Por lo tanto pasando al formato Hexadecimal:003C7490H.

2. Se tiene la siguiente información financiera del PERÚ:

Perú: PBI trimestral y anualizado

TrimestresBCR

millones US$

INEI

Millones S/. Tipo de cambio

Millones US$

2011-III 44,819 125,964 2,741 45,9552011-IV 46,321 128,714 2,710 47,4962012-I 46,645 127,454 2,682 47,5222012-II 56,100 136,327 2,282 51,212TOTAL 187,855 518,459 2,698 192,164Hallar en el formato IEEE adecuado el error existente del PBI, entre la información proporcionada por el BCR y el INEI, con respecto al

valor del BCR, que se asume que es el valor más exacto.

Solución

- PBI (BCR) = 187,885

187,885=128 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1+ 0,88 27+25+24+23+21+20+2-1+2-2+2-3

En binario tenemos:187,885 » 10111011,111000 = 1,0111011111000 x 27... (I)

- PBI (INEI) = 192,164

192,164 = 128 + 64 + 0,164 » 27+26+2-3+2-5

En binario tenemos:192,164 = 11000000,00101 =1,100000000101 x 27... (II)

- El error existente se calculará de la siguiente forma:

- Codificando el exponente:

- Mantisa:

01110000…000 (23 bits)

- Codificacion en IEEE 754 de 32 bits:

001111001011100…000 (32 bits)= 3CB80000H

3. Dadas las siguientes proposiciones verdaderas:

a) A Diana le gusta tener como amiga a Carmen.b) A nadie le gusta tener alguien como amiga, si esta persona no quiere tenerla como amiga.c) Ana quiere tener como amiga a todos los que quieren tener como amiga a Betty.d) Todo quieren tener al menos una amiga.

SOLUCION

Con las proposiciones dadas anteriormente llenar la siguiente matriz que indica que una persona “x” le gusta tener como amiga a otra persona “y”.

- 1er caso: Betty tiene como amiga a diana

x/y Ana Betty Carmen DianaAna x x vBetty x x vCarmen x x vDiana v v v

- 2do caso: Betty tiene como amiga a Carmen

x/y Ana Betty Carmen DianaAna x v xBetty x v xCarmen v v vDiana x x v

- 3er caso: Betty tiene como amiga a Carmen y Diana.

x/y Ana Betty Carmen DianaAna v v vBetty v v vCarmen v v vDiana v v v

4. Probar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas:

a) Sean a,b,c,d números reales cualesquiera:

a=minb,c ^ d<=a d<=b ^ d<=c a<b a<c

V V V V V V V d<=a<b d<=a<c

b) Para todos los números reales a y b, si a+b>=2, entonces a>=1 o b>=1

(a + b >= 2) --> (a>=1 v b>=1) a + b >=2

v v v v v 1 1v v v v f 2 0v v f v v 0 2

-1 3… …

Entonces siempre será verdadero (tautología)

PRIMERA PRACTICA CALIFICADA BENITES 2013-I

1. Sea:

11110101 00000110 11111100

A = 00000110 11111100 00000010

01111100 10000010 01111111Donde:1ra fila > Complemento a 2 2da fila > Complemento a 13ra fila > Exceso en 2n−1

det(A) = a11 * a22 * a33 + a21 * a32 * a13 + a31 * a12 * a23 − a13 * a22 * a31 − a23 * a32 * a11 − a33 * a12 * a21

Pasando todo a binario:

00001011 00000110 0000100

A = 00000110 00000011 00000010

00000100 00000010 00000001

det(A) = − 00100001 − 00110000 − 00110000 − (− 00110000 − 00101100 − 00011000) =− 00001101

00000001 00000010 00000000

Adj(A) = 00000010 00000101 00000010

00000000 00000010 00000011

00000001 00000010 00000000

Adj(A)t = 00000010 00000101 00000010

00000000 00000010 00000011

00000001 00000010 00000000

A1

00000010 00000101 00000010-1 −00001101

00000000 00000010 00000011

2. Sean las distancias en punto flotante:

dP = 0100 0010 0100 0101 0000 0000 0000 000 dQ = 0100 0100 0110 1000 1000 0000 0000 0000

Signo:

dP = 0 PositivodQ = 0 Positivo

Exponente en 2n−1 − 1 :

dP = 100 0010 0 > quitandole el 2n−1 − 1 : 00000101 −> 5

dQ = 100 0100 0 > quitandole el 2n−1 − 1 : 00001001 −> 9

Mantisa:

dP = 100 0101 0000 0000 0000 0000 −>

1.1000101 dQ = 110 1000 1000 0000 0000 0000 −>

1.11010001

Finalmente:

dP = 1.1000101 * 25

dQ = 1.110 1000 1 * 29 = 11101.0001 * 25

dP2+dQ = 11110.1001101 * 24 = 111101001.101

Rpta = 111101001.101

3.a) El rango de números que se pueden codificar en exceso con n bits es

− 2n−1 ≤ x ≤ 2n−1 − 1

rpta con 14 bits 8192 a 8191

b) Si se observan los números que representa a a,b,c,d,e,f,g,h,i , j en ascii son 97,98,99, … 106 y los que corresponden a 0,1,2,3, …9 son 48,49,50, … 57Lo cual se obtendría simplemente restando 49 en base 10 a cada uno de los dígitos que representa en ascii.

c) El número máximo que se puede codificar es 011111111111 = 7 F F H

d) Hallar 71 – 49 en BCD natural 71 = 000001110001 49 = 000001001001 51 = 000001010001

51 en bcd = 100101010001

000001110001+100101010001

11000010

0110

10100110

000000100010

respuesta: 00100010

4.a) Alejandro y Beatriz tienen cuatro hijos : Carmen ,Daniel , Enrique y Felix. Cuando salen a cenar van a un restaurante que solo sirve pollo o a uno que solo sirve comida criolla. Antes de salir la familia vota para elegir el restaurante. Gana la mayoría excepto cuando los padres y Carmen(La hija mayor) están de acuerdo en cuyo caso, ellos ganan. Cualquier otro empate implica ir al restaurante que sirve comida criolla. Contruir una función lógica que permita seleccionar en forma automática el restaurante elegido por toda la familia.

SOLUCION

A B C D E F VOTOS

0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0 0

0 1 1 0 0 0 0

1 1 1 0 0 0 1

0 0 0 1 0 0 0

1 0 0 1 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0

1 1 0 1 0 0 1

0 0 1 1 0 0 0

1 0 1 1 0 0 1

0 1 1 1 0 0 1

1 1 1 1 0 0 1

0 0 0 0 1 0 0

1 0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 0 0

1 1 0 0 1 0 1

0 0 1 0 1 0 0

1 0 1 0 1 0 1

0 1 1 0 1 0 1

1 1 1 0 1 0 1

0 0 0 1 1 0 0

1 0 0 1 1 0 1

0 1 0 1 1 0 1

1 1 0 1 1 0 1

0 0 1 1 1 0 1

1 0 1 1 1 0 1

0 1 1 1 1 0 1

1 1 1 1 1 0 1

0 0 0 0 0 1 0

1 0 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 1 0

1 1 0 0 0 1 1

0 0 1 0 0 1 0

1 0 1 0 0 1 1

0 1 1 0 0 1 1

1 1 1 0 0 1 1

0 0 0 1 0 1 0

1 0 0 1 0 1 1

0 1 0 1 0 1 1

1 1 0 1 0 1 1

0 0 1 1 0 1 1

1 0 1 1 0 1 1

0 1 1 1 0 1 1

1 1 1 1 0 1 1

0 0 0 0 1 1 0

1 0 0 0 1 1 1

0 1 0 0 1 1 1

1 1 0 0 1 1 1

0 0 1 0 1 1 1

1 0 1 0 1 1 1

0 1 1 0 1 1 1

1 1 1 0 1 1 1

0 0 0 1 1 1 0

1 0 0 1 1 1 1

0 1 0 1 1 1 1

1 1 0 1 1 1 1

0 0 1 1 1 1 1

1 0 1 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

0:Pollo 1 : Comida criolla

Función lógica

F(A,B,C,D,E,F)=ABC’DE’F’+ABC’D’E’F+ABC’D’E’F+ABC’D’E’F’+AB’CDE’F’+AB’CD’EF’+AB’CD’E’F+AB’CD’E’F’+AB’C’DEF’+AB’C’DE’F+AB’C’DE’F’+AB’C’D’EF+AB’C’D’EF’+AB’C’D’E’F+AB’C’D’E’F’+A’BCDE’F’+A’BCD’EF’+A’BCD’E’+A’BCD’E’F’+A’BC’DEF’+A’BC’DE’F+A’BC’D’EF+A’BC’D’EF’+A’BC’D’E’F+A’BC’D’E’F’+A’B’CDEF’+A’B’CDE’F+A’B’CDE’F’+A’B’CD’EF+A’B’CD’EF’+A’B’CD’EF’+A’B’CD’E’F+A’B’CD’E’F’+A’B’C’DEF+A’B’C’DEF’+A’B’C’DE’F+A’B’C’DE’F’+A’B’C’D’EF+A’B’C’D’EF’+A’B’C’D’E’F+A’B’C’D’E’F’

b) Demuestre

i) Para todo x perteneciente R+, √x < √x + 1

Partimos de : x > 0

2x > 0

2x + 1 > 1 > 0

2x + 1 > 0

x2 + 2x + 1 > x2

(x + 1)2 > x2

|x + 1| > |x|

x + 1 > x

√x + 1 > √x

ii) Supongamos que (IA)(I+A) =I –A2 = 0 , luego A2 = I, entonces A es

involutiva Supongamos que A es involutiva ; entonces A2= I, y (IA)(I+A) = I-

A2 = II = 0 lqqd