ejercitacion matematica discreta

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Ejercicios de matematica discreta

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Relaciones

Matemtica Discreta

1er. Cuatrimestre 2007

Matemtica Discreta

1 Cuatrimestre 2007

Facultad de Ingeniera

Universidad de Buenos Aires

PRCTICA N1: Lgica y teora de conjuntos.

EJERCICIO 1: Analice si las siguientes expresiones son proposiciones o no:

a) El sol gira alrededor de la tierra.

b) Existe un nmero racional cuyo cuadrado es igual a dos.

c) Habr vida en Marte?d) Visite el glaciar Perito Moreno.

e) Suiza es un pas europeo.

f) Ven aqu.

g) x+1=8

h) Hay nmeros enteros que satisfacen x+1=8.

i) Visit el glaciar Perito Moreno.

j) Prolog es un lenguaje declarativo basado en las reglas de la lgica.

EJERCICIO 2:

a) Dadoanalice el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

b) Sea

EMBED Equation.3 ] = (conjunto de partes). Escriba el conjunto A por extensin y analice el valor de verdad de las siguientes proposiciones

EJERCICIO 3: Escriba en lenguaje simblico las siguientes proposiciones

a) Aprobar el examen o ser aplazado.

b) Aprobar el examen o bien ser aplazadoc) Aprobar el examen si y slo si estudia mucho.

d) Ir a lo del mdico aunque me siento bien.

e) No cometi el crimen si no pudo comprar un revolver.

f) Viajar a Jujuy o bien a Salta.

g) Cuando tu cantas me duelen los odos.

h) Si no me llamas entonces no ir.

i) No vino ni llam.

j) Con el dinero del plazo fijo me compar o una heladera o un televisor.

k) Vendr maana salvo que haya paro de trenes.

l) Slo si vienes te enterars de lo ocurrido.

m) Las plantas, como los animales, son seres vivos.

n) Esta planta florecer a menos que haga calor y no la riegues.

EJERCICIO 4: Tengo 3 amigos: Rodrigo, Gonzalo y Fernando. A cada uno de ellos el pap le dijo:

A Rodrigo: Te llevar al partido si y slo si apruebas Matemtica DiscretaA Gonzalo: Te llevar al partido si apruebas Matemtica DiscretaA Fernando: Te llevar al partido slo si apruebas Matemtica Discreta

Voy al partido y me encuentro con mis tres amigos.

Si sus padres cumplieron con su palabra, puedo saber quienes aprobaron Matemtica Discreta?

EJERCICIO 5: Indique antecedente y consecuente de las siguiente implicaciones escribiendo la misma de la forma si p entonces q

a) Slo si vienes a buscarme te acompaar.

b) Si vienes a buscarme, te acompaar.

c) Aprobars el examen si estudias.

d) Es necesario tener dinero para comprarse un auto.

e) Es suficiente sentirse mal para no ir a trabajar.

f) Sers feliz si cantas.

EJERCICIO 6:

a) Justifique si la informacin sobre los valores de verdad de algunas proposiciones que se dan en cada caso es suficiente o no para determinar el valor de verdad de la proposicin compuesta indicada:

b) Si . qu valores de verdad deben tener las proposiciones para que la siguiente proposicin resulte verdadera?:

EJERCICIO 7: Pruebe las siguientes equivalencias:

a)

b)

c)

d)

e)

EJERCICIO 8: Indique, sin utilizar tabla de verdad, cules de las siguientes formas proposicionales son tautologas , cules contradicciones y cules contingencia. En tres de ellas verifique el resultado obtenido efectuando la tabla de verdad correspondiente.

EJERCICIO 9: Escriba frmulas equivalentes a las siguientes usando solamente . Simplifique cada frmula obtenida.

EJERCICIO 10:

a) Analice si son ambiguas o no las siguientes expresiones:

i)

ii)

b) Es posible ubicar parntesis en la expresin como para que la misma resulte equivalente a la expresin de se deduce y de se deduce ?

c) Determine si la siguiente proposicin es tautolgica:

EJERCICIO 11: Se define el conectivo tridico de la siguiente forma: si entonces ; si no, (esto es: si p es verdadero el valor de verdad es el de q, si p es falso el valor de verdad es el de r).

a) Escriba su tabla de verdad

b)Utilizando esta operacin tridica exprese todos los conectivos didicos (puede hacer uso de las constantes lgicas y ).

EJERCICIO 12 (lgicas trivalentes):

a) Si se considera que la evaluacin computacional del valor de verdad de una proposicin puede conducir a un error o a un resultado incierto, se justifica la existencia de un valor de verdad intermedio: I (incierto). Considerando estos tres valores de verdad posibles (V, I, F)

a1) Confeccione las tablas de valores de verdad de los conectivos didicos considerando estos tres valores de verdad.

a2) Realice la tabla de verdad del conectivo tridico de Mc. Carthy para esta lgica trivalente, definido como: si p es verdadero, entonces el valor de verdad es el de q, si p es falso el valor de verdad es el de r y si es incierto, el valor de verdad es incierto.

b) El lgico polaco Lukasiewicz defini los valores de verdad correspondientes a una lgica trivalente a travs de las siguientes funciones, identificando V con 1, I con 1/2 y F con 0:

Confeccione la tabla de verdad de cada uno de los conectivos anteriores.

EJERCICIO 13: Traduzca las siguientes proposiciones a lenguaje de predicados de primer orden:

a) La ballena no es un mamfero.

b) No todas las aves saben volar.

c) Todo el mundo puede hacer eso.

d) Algunas personas no son calladas.

e) Existe un entero que es mayor que cualquier otro entero.

f) La mariposa slo vuela de da.

g) Algn nieto de Mara estudia matemticas.

h) Si todos los aviones llegan a Buenos Aires, alguno viene de Mxico.

i) Existe una funcin que es continua pero que no tiene derivada.

j) Los elefantes son ms pesados que los ratones.

k) Excepto los reptiles, a Mara le gustan todos los animales.

l) Todos tienen abuelo pero no todos son abuelos.

m) Slo los perros son ms juguetones que los gatos.

n) Algunas plantas slo tiene flores en primavera y en verano.

o) Algunos libros slo se conseguirn en 2020.

EJERCICIO 14: Sea y sean las funciones proposicionales P(x): x empieza con consonante

Q(x): x termina en vocal

R(x): x limita con Chile.

Halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

EJERCICIO 15: Considere los siguientes funciones proposicionales:

P(x) : x es un cuadriltero

S(x) : x es un cuadrado

Q(x) : x es un rectngulo

T(x) : x es un paralelogramo

R(x) : x es un rombo

Traduzca las siguientes proposiciones:

a) Los rectngulos son cuadrilteros.

b) Si un rectngulo es rombo, entonces es cuadrado.

c) No todo rectngulo es cuadrado.

d) Los cuadrados no son todos rombos.

e) Los rectngulos y los rombos no son todos los paralelogramos.

EJERCICIO 16: Demuestre las siguientes implicaciones indicando el mtodo de demostracin utilizado (directo, indirecto o por el absurdo):

a) Si n es un nmero entero entonces n(n-1) es un nmero entero par.

b) Si n es un nmero natural impar entonces n2 es un nmero natural impar.

c) Si n es un nmero entero y n2 es un nmero par entonces n es un nmero par.

d) Si n es un entero divisible por 10, lo es tambin por 5.

e) Si el producto de dos nmeros enteros es impar, cada uno de ellos tambin lo es.

f) Si el cociente entre dos nmeros reales da por resultado entonces el dividendo o el divisor es un nmero irracional.

g) Si x e y son nmeros reales tales que entonces .

EJERCICIO 17: Indique cules de los siguientes enunciados corresponden a verdades matemticas, dentro del conjunto de los nmeros naturales. Justifique sus respuestas.

a) (x(y ( x+y = y+x)

b) (x(y ( x+y = 0)

c) (x(y ( y(x) ( ( (x(y ( y( x)d) (x(y ( x+y = 0)

e) (x(y ( x+y = 3( 0=1)f) (x(y ( x.y = x)g) (x(y ( x.y = y)

h) (x(y (x.y = x+ y)

EJERCICIO 18: Escriba en lenguaje simblico las siguientes proposiciones y analice su valor de verdad. Considere que el dominio son los nmeros reales.

a) Para cada

b) Para alguna

c) Para cada entonces

d) Para cada , para cada , si entonces

e) Para cada , para alguna , si entonces

f) Para alguna , para cada , si entonces

g) Para alguna , para alguna , si entonces

EJERCICIO 19: Escriba la negacin de las siguientes proposiciones:

EJERCICIO 20: Exprese en lenguaje de lgica de predicados de primer orden las siguientes proposiciones, en el dominio de las personas:

a) Hay polticos y adems hay corruptos.

b) Hay corruptos que son polticos.

c) Todos los polticos son corruptos.

d) Todos son polticos y corruptos.

e) No todos los polticos son corruptos.

f) Todos son polticos y todos son corruptos.

g) Hay polticos o hay corruptos.

h) Hay individuos que son corruptos o son polticos.

i) No todos son polticos.

j) Todos no son polticos.

k) No hay corruptos.

l) Hay polticos.

m) Todos los corruptos son polticos.

n) Todos los que no son polticos no son corruptos.

o) Todos son corruptos si todos son polticos.

EJERCICIO 21: En referencia a las proposiciones del ejercicio anterior:

a) Demuestre que las proposiciones a) y b) no son equivalentes.

b) Qu diferencias se advierten entre las proposiciones c) y d)?

c) Es la proposicin i) la negacin de la j)? Y la j) de la l)?

d) Reemplace en las siguientes expresiones los signos por segn corresponda. Justifique cada respuesta.

EMBED Equation.3