matematica discreta diapositivas nº 1

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MATEMÁTICA DISCRETA Ing. Ofelia Nazario Bao

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Page 1: Matematica discreta   diapositivas nº 1

MATEMÁTICA DISCRETA

Ing. Ofelia Nazario Bao

Page 2: Matematica discreta   diapositivas nº 1

¿Qué es Matemática Discreta?

En matemática: “discreto” es lo contrario de “continuo”

continuo discreto

La matemática discreta se trata de números enteros, conjuntos finitos, objetos geométricos discretos

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¿Es una disciplina nueva ?

Desde luego que no, veremos teoremas descubiertos por Leonard Euler (1707 -1783)

………. Pero la matemática discreta ha tenido un renacer (¿revolución?) en el siglo XX, una de las razones:La matemática discreta es la parte de las matemáticas más cercana a las computadoras, y tiene una relación

bidireccional con ellas : Las computadoras son discretas

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¿De cuántas formas se puede elegir una clave de acceso a un equipo informático?

¿Cuál es la probabilidad de que te toque la lotería?

¿Cuál es el camino más corto entre dos ciudades usando un sistema de transporte?

¿Cómo se puede optimizar los sistemas de producción en los que estamos estructurando l órdenes de producción?

¿Cuántas direcciones válidas de Internet existen?

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Objetivo Principal

Proporcionar los conocimientos, desarrollar la habilidades y destrezas que permitan al estudiante plantear y resolver situaciones lógicas y prácticas relacionadas directamente con su profesión

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MATEMATICA DISCRETA

Unidad I: Sistemas numéricos y códigos del computador

Unidad II: Lógica Proposicional

Unidad III: Conjuntos y Relaciones

Unidad IV: Algebra de Boole y Compuertas lógicas

Unidad V: Grafos

Unidad VI: Árboles

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Sistemas numéricos y códigos del computador

UNIDAD I

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Sistemas de numeración

Los sistemas de numeración son conjuntos ordenados de símbolos, denominados dígitos, cuyas reglas permiten representar datos numéricos.

La norma principal en un sistema de numeración posicional es que el mismo símbolo tiene distinto valor según la posición que ocupe.

Los sistemas de uso común en el diseño de sistemas digitales son: el decimal, el binario, el octal y hexadecimal.

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Los números se pueden representar en distintos sistemas de numeración que se diferencian entre si por su base.

Cualquier número de cualquier base se puede representar mediante la siguiente ecuación polinómica:

Siendo b la base del sistema de numeración. Se cumplirá que b>1; ai es un número perteneciente al sistema que cumple la siguiente condición: 0 ≤ ai <b.

...... 11

00

23

121

bababababaN nnn

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SISTEMA BINARIO

Sistema de numeración que utiliza sólo dos dígitos, el cero (0 ) y el uno (1) , donde estos tienen distinto valor dependiendo de la posición que ocupen. Usando la potencia de base 2.

El sistema binario permite que la computadora represente número y lleve a cabo operaciones aritméticas, así como las personas utilizan el sistema decimal. También se puede usar este sistema para representar letras del alfabeto y otros símbolos

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A cada dígito binario se denomina BIT.(BIT: binary digit)

Unidades de medidas

1 Byte = 8 Bit1 Kilobyte (KB) = 210 bytes = 1024 byte1 Megabyte (MB) = 220 bytes = 210 KB = 1024 KB1 Gigabyte (GB) = 230 bytes = 210 MB = 1024 MB1 Terabyte (TB) = 240 bytes = 210 GB = 1024 GB1 Petabyte (PB) = 250 bytes = 210 TB = 1024 TB

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Cada peso tiene asociado una potencia de 2. En el primer número (de derecha a izquierda) la potencia de dos 20, en el segundo número la potencia de dos es 21 y así hasta el último número del lado izquierdo.

Un número en el sistema binario se divide en cifras con diferente peso: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,.... etc. 

Ver el siguiente gráfico

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Entonces para formar el número 1010(2): (el número 10 en binario)

1 x 23 = 1 x 8 = 8   8

0 x 22 = 0 x 4 = 0 + 0

1 x 21 = 1 x 2 = 2 + 2

0 x 20 = 0 x 1 = 0 + 0

 equivalente

decimal ------>

= 10

Los pesos fraccionarios son 1/2,1/4,1/8, etc., que corresponden a 2-1, 2-2, 2-3,etc.

Page 15: Matematica discreta   diapositivas nº 1

Ejemplo 1:

Para transformar 1101011(2), escriba el valor posición sobre cada bit, y luego sume aquellas potencias que están ponderadas por 1:

26 25 24 23 22 21 20

64 32 16 8 4 2 1

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26 25 24 23 22 21 20

64 32 16 8 4 2 1

1 1 0 1 0 1 1

64+32+8+2+1=107(10)

1101011

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Ejemplo 2:

Convertir 101.1101(2) a su equivalente decimal

22 21 20 2-1 2-2 2-3 2-4

4 2 1 0.5 0.25 0.125 0.0625

1 0 1 1 1 0 1

4+1+0.5+0.25+0.0625= 5.8125

Page 18: Matematica discreta   diapositivas nº 1

Ejercicios:

1. Convertir los siguientes números binarios al sistema decimal:

a. 11001 e) 1001.011

b. 0.10101 f) 11101.1011

c. 11.0101 g) 10101011

d. 11011011 h) 10.0011

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128 64 32 16 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125

1 1 0 0 1

1 0 1 0 1

1 1 0 1 0 1

1 1 0 1 1 0 1 1

a. 16+8+1 =25(10)

b. 0.5+0.125+0.03125 =0.65625(10)

c. 2+1+.025+0.0625 =3.3125(10)

d. 128+64+16+8+2+1 = 219(10)

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Conversión de decimal a binario

Seguidamente realizaremos la operación inversa, es decir, convertir un número perteneciente al sistema numérico decimal (base 10) a un número binario (base 2). Para la conversión de decimal a binario se emplean dos métodos. El primero es divisiones sucesivas y el segundo es suma de potencias de 2.

•Por divisiones sucesivas

Se va dividiendo la cantidad decimal por 2, apuntando los residuos, hasta obtener un cociente cero. El último residuo obtenido es el bit más significativo (MSB) y el primero es el bit menos significativo (LSB).

Page 21: Matematica discreta   diapositivas nº 1

                                                       

Convertir: el número 15310 a binario.

El resultado en binario de 15310 es 10011001

Page 22: Matematica discreta   diapositivas nº 1

Ejemplo: Convertir el número 428(10) en correspondiente binario.

Por tanto, 428(10)= = 110101100(2)

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Si el número decimal tiene parte fraccionaria, la parte entera se convierte de la misma manera que se ha expuesto anteriormente y la parte fraccionaria se multiplica por 2; la parte entera obtenida es la cifra más significativa del número. Si la parte fraccionaria restante se vuelve a multiplicar por 2, la nueva parte entera será la siguiente cifra más significativa, y así sucesivamente.

EJEMPLO:

Convertir el número 327,625(10) en binario. 327,625(10) = 327(10) + 0,625(10)

La parte entera es 327 (10) que pasándola al binario, resulta

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Page 25: Matematica discreta   diapositivas nº 1

Para obtener la parte fraccionaria se procede de la siguiente manera:

Por tanto, la parte fraccionaria será

0,625 (10) = 0,101 (2)

Entonces: 327,625 (10)= 101000111,101 (2)

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•Suma de potencia de 2

Ejercicio: Convertir 13.6875(10) a sistema binario

23 22 21 20 2-1 2-2 2-3 2-4

8 4 2 1 0.5 0.25 0.125 0.0625

1 1 0 1

8+4+1=13

1 1 1

Page 27: Matematica discreta   diapositivas nº 1

1 0 1 1

1 1 0 1 1 0 1 1

8 4 2 1 0.5 0.25 0.125 0.0625

0.5+0.125+0.0625= 0.6875

Luego:13.6875(10)=1101.1011(2)

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Ejercicios:

Convertir los siguientes números decimales al sistema binario

a) 49 e) 125.4

b) 0.375 f) 0.716

c) 75.125 g) 88.0625

d) 158 h) 256