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Metodos de Conteo y Principio del Palomar

Matematica Discreta

Agustın G. Bonifacio

UNSL

Metodos de Conteo y Principio del Palomar

Agustın G. Bonifacio Matematica Discreta

Metodos de Conteo y Principio del PalomarPrincipios BasicosPermutaciones y CombinacionesPrincipio del Palomar

Ejemplos

(a) ¿Cuantas cadenas de longitud 4 se pueden formar usando lasletras A,B,C,D y E si no se aceptan repeticiones?

5 . 4 . 3 . 2 = 120.

(b) ¿Cuantas cadenas del inciso (a) comienzan con la letra B?

1 . 4 . 3 . 2 = 24.

(c) ¿Cuantas cadenas del inciso (a) no comienzan con B?

120 − 24 = 96

o4 . 4 . 3 . 2 = 96.



Principio de la Multiplicacion

Si una actividad se puede construir en t pasos sucesivos y el paso 1se puede hacer de n1 maneras, el paso 2 de n2 maneras, . . . , y elpaso t de nt maneras, entonces el numero de actividades posiblesdiferentes es n1.n2 . . . nt.

Ejemplo

Use el Principio de la Multiplicacion para demostrar que unconjunto de n elementos {x1, . . . , xn} tiene 2n subconjuntos.

Respuesta. Un subconjunto se puede construir en n pasossucesivos: se elige o no x1, se elige o no x2, . . . , se elige o no xn.

Entonces, el numero de subconjuntos posibles es

2 . . . 2︸︷︷︸

n veces

= 2n.



Ejemplo

Sea X un conjunto de n elementos. ¿Cuantos pares ordenados(A,B) satisfacen A ⊆ B ⊆ X?

Respuesta. El numero de estos pares es igual al numero demaneras de asignar los elementos de X a los tres conjuntosA,B −A y X −B. Por lo tanto, el numero de pares es

3 . . . 3︸︷︷︸

n veces

= 3n.



Principio de la Suma

Supongamos que X1, . . . ,Xt son conjuntos y que el i-esimo deellos, Xi, tiene ni elementos. Si {X1, . . . ,Xt} es una familiadisjunta de a pares (esto es, Xi ∩Xj = ∅ si i 6= j), entonces elnumero de elementos posibles que se puede seleccionar de X1 oX2 o . . . o Xt es:

n1 + n2 + . . .+ nt.

(Esto es analogo a decir que la union⋃t

i=1Xi tiene

n1 + n2 + . . . + nt elementos).



Ejemplo

¿De cuantas maneras se pueden seleccionar dos libros de temasdiferentes entre cinco de computacion, tres de matematicas y dosde arte?

Respuesta. Por el Principio de la Multiplicacion,

computacion - matematicas: 5 · 3 = 15,

computacion - arte: 5 · 2 = 10,

matematicas - arte: 3 · 2 = 6.

Como estos conjuntos de selecciones son disjuntos de a pares, porel Principio de la Suma podemos seleccionar los libros de

15 + 10 + 6 = 31

maneras diferentes.



Ejemplo

Un comite de 6 personas, A,B,C,D,E y F, debe seleccionar unpresidente, un secretario y un tesorero.

(a) ¿De cuantas maneras puede hacer esto? Por el Principio de la

Multiplicacion,

6 . 5 . 4 = 120.

(b) ¿De cuantas maneras puede hacerlo si A o B debe ser elpresidente?

1 Si A es presidente, hay 5 · 4 maneras de elegir el resto,2 Si B es presidente, hay 5 · 4 maneras de elegir el resto.

Entonces, por el Principio de la Suma, se puede hacer de20 + 20 = 40 maneras.



(c) ¿De cuantas maneras pueden hacerlo si E debe ocupar uno delos puestos?

1 Si E es presidente, hay 5 · 4 maneras de elegir el resto,2 Si E es secretario, hay 5 · 4 maneras de elegir el resto.3 Si E es tesorero, hay 5 · 4 maneras de elegir el resto.

Entonces, por el Principio de la Suma, se puede hacer de20 + 20 + 20 = 60 maneras.Otra forma: Por el Principio de la Multiplicacion,

3 . 5 . 4 = 60.

(d) ¿De cuantas maneras pueden hacerlo si tanto A como F

deben ocupar un puesto? Tres pasos sucesivos: asignar a A,

asignar a F, asignar el lugar que queda:

3 . 2 . 4 = 24.



Ejemplo

¿Cuantas cadenas de ocho bits comienzan con 101 o 111?

1 Con 101 : 101 . 2 . . . 2︸︷︷︸

5 lugares

= 25 = 32,

2 Con 111: 111 . 2 . . . 2︸︷︷︸

5 lugares

= 25 = 32,

Por el Principio de la Suma, 32 + 32 = 64.



Definicion

Una permutacion de n elementos diferentes x1, . . . , xn es unordenamiento de los n elementos en cuestion.

Ejemplo

Existen 6 permutaciones de 3 elementos A,B,C.

Teorema

Existen n! permutaciones de n elementos.

Prueba. Una permutacion de n elementos se construye en n pasossucesivos. . . �



Ejemplo

(a) ¿Cuantas permutaciones de la cadena ABCDEF contienenla subcadena DEF? Tomo a DEF como un objeto: hay 4!permutaciones.

(b) ¿Cuantas permutaciones de la cadena ABCDEF contienenDEF pero en cualquier orden? Dos pasos:

1 DEF en cualquier orden: 3!,2 Permutacion con DEF como un objeto: 4!

Por el Principio de la Multiplicacion, hay 4! · 3! = 6 · 24 = 144permutaciones de este tipo.



A veces se desea considerar un orden de r elementos seleccionadosentre n elementos.

Definicion

Una permutacion r de n elementos x1, . . . , xn es un ordenamientode r elementos de x1, . . . , xn. El numero de permutaciones r de unconjunto de n elementos se denota por P (n, r) o Pn

r .

Ejemplo

Ejemplos de permutaciones 2 de a, b, c son:

ab, ba, ca.

Teorema

Pnr = n(n− 1)(n − 2) . . . (n− r + 1), r ≤ n.

Prueba. Por el Principio de la Multiplicacion. �



Ejemplos

(a) El numero de permutaciones 2 de X = {a, b, c} esPnr = 3 · 2 = 6. Estas 6 permutaciones son:

ab, ac, ba, bc, ca, cb.

(b) ¿De cuantas maneras se puede seleccionar presidente,vicepresidente, secretario y tesorero de un grupo de 10personas? P 10

4= 10 · 9 · 8 · 7 = 5040.

Observacion

Pnr = n(n− 1)(n− 2) . . . (n− r + 1) =

=n(n− 1)(n− 2) . . . (n− r + 1)(n− r) . . . 21

(n− r) · . . . · 2 · 1=

n!

(n− r)!.

Por lo tanto, Pnr = n!

(n−r)! .



Ejemplo

¿De cuantas maneras pueden hacer cola 7 marcianos y 5 venusinossi ningun par de venusinos se paran juntos? Proceso de dos pasos:

M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7

1 Formar marcianos: 7! = 5040 formas,

2 Formar venusinos: P 8

5= 8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 6720 formas

Por el Principio de la Multiplicacion, el numero de maneras es5040 · 6720 = 33868800.



Definicion

1 Una combinacion r de n elementos es una seleccion no

ordenada de r de esos n elementos.

2 El numero de combinaciones r de n elementos se denotaC(n, r) o

(nr

).

Ejemplo

Un grupo de 5 estudiantes A,B,C,D y E ha decidido hablar conel director de departamento de matematicas para que ofrezcan mascursos de Discreta. El director dijo que hablara, pero solo con 3.¿De cuantas maneras se pueden elegir 3 estudiantes de un grupode 5? NO TOMAR EN CUENTA EL ORDEN!

(5

3

)= 10



Teorema

El numero de combinaciones r de n objetos es

(n

r

)

=Pnr

r!=

n(n− 1) . . . (n− r + 1)

r!=

n!

(n − r)!r!, r ≤ n.

Prueba. Podemos construir permutaciones r de n elementos en 2pasos:

1 elegimos una combinacion r de n : hay(nr

),

2 ordenamos: hay r!

Entonces, por el Principio de la Multiplicacion, Pnr =

(nr

)r!. �



Teorema (Binomial)

Si a, b ∈ R y n ∈ N, entonces

(a+ b)n =n∑

k=0

(n

k

)

an−kbk.

Observacionn∑

k=0

(n

k

)

= 2n



Principio del Palomar (Primera Forma)

Si n palomas vuelan a k palomares y k < n, entonces algunospalomares contienen al menos 2 palomas.

Ejemplo

10 personas tienen por nombre Alicia, Bernardo o Carlos y porapellido Lopez, Maza o Noriega. Demuestre que al menos 2 tienenel mismo nombre y apellido.

Personas = palomas = 10,

Nombre y Apellido = palomares = 9.



Principio del Palomar (Segunda Forma)

Si f es una funcion de un conjunto finito X a un conjunto finito Y

y ademas |X| > |Y |, entonces f(x1) = f(x2) para algun parx1, x2 ∈ X con x1 6= x2. (Es decir, f no puede ser inyectiva).



Ejemplo

Demuestre que si se seleccionan 151 cursos diferentes de Computacionnumerados entre 1 y 300, inclusive, al menos 2 tienen numerosconsecutivos.Sean los numeros de los cursos seleccionados

c1, c2, . . . , c150. (1)

Los 302 numeros que consisten en los numeros de (1) mas sus sucesores

c1 + 1, c2 + 1, . . . , c150 + 1 (2)

tienen valores que van del 1 al 301. Como los numeros en (1) son todosdistintos y los numeros en (2) tambien, por el Principio del Palomar, almenos dos coinciden. Entonces existen i, j tales que

ci = cj + 1,

lo que implica que el curso ci es sucesor de cj .



Principio del Palomar (Tercera Forma)

Sea f una funcion de un conjunto finito X a un conjunto finito Y.

Supongamos que |X | = n, |Y | = m y sea k = ⌈ nm⌉. Entonces, hay al

menos k valores x1, x2, . . . , xk ∈ X tales quef(x1) = f(x2) = . . . = f(xk).

Prueba. Sea Y = {y1, . . . , ym} y supongamos que la conclusion es falsa.Entonces:

existen a lo sumo k − 1 valores x ∈ X tales que f(x) = y1;existen a lo sumo k − 1 valores x ∈ X tales que f(x) = y2;

......

existen a lo sumo k − 1 valores x ∈ X tales que f(x) = ym;

Esto implica que |X | ≤ m(k − 1). Como ademas, k − 1 < nm

(Probar!!!),tenemos que

n = |X | ≤ m(k − 1) < mn

m= n.

�



Ejemplo

Una caracterıstica util de las fotos en blanco y negro es el brillo

promedio. Digamos que 2 fotos son similares si su brillo promedio

difiere en a lo sumo un cierto valor fijo. Demuestre que entre 6

fotos, hay o bien 3 mutuamente similares o bien 3 mutuamente no

similares.

Sean P1, . . . , P6 las 6 fotos. Cada uno de los 5 pares

{P1, P2}, {P1, P3}, . . . , {P1, P6}

son similares (S) o no similares (NS). Tomando como X el conjunto depares anterior y a Y = {S,NS}, el Principio del Palomar nos dice queexisten ⌈ 5

2⌉ = 3 pares con el mismo valor. Es decir, existen i, j, k talesque {P1, Pi}, {P1, Pj}, {P1, Pk} son todos S o todos NS. Consideremosahora los pares

{Pi, Pj}, {Pj, Pk}, {Pi, Pk}

(continuar)


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