"Ao de la Promocin de laIndustria Responsable y del Compromiso Climtico"

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA

Facultad de Ingeniera Industrial y de Sistemas

MATEMTICA DISCRETA

INTEGRANTES:CABALLERO HUAMANTALLA , CHRISTIANJULIAN LAIME, LILIANAQUISPE SAAVEDRA, ANTONIOZAMBRANO PATALA, MARLENE

PROFESOR:TOCTO INGA, PAUL

Lima, 9 DE ABRIL DEL 2014

PRACTICA CALIFICADA N1 (2013-I)(Jos Benites)

PROBLEMA 1

Sea 111101010000011011111100

A =000001101111110000000010

011111001000001001111111

Donde: fila uno (a1i) : complemento a 2 fila dos (a2i): complemento a 1 fila tres(a3i): exceso 2n-1Pasando todos al sistema binario: En la fila 1: 11110101 -1 =11110100 cambiando 0 x1 00001011 00000110 = 00000110 11111100- 1=11111011 cambiando 0 x1 00000100 En la fila 2: 00000110 = 00000110 11111100 cambiando 0 x1 00000011 00000010 = 00000010En la fila 3: 01111100 = 26+25+24+23+22-27 = 00000100 10000010 = 27+2-27= 00000010 01111111= 26+25+24+23+22+2+1-27=00000001

La matriz A queda as:

-0000101100000110-00000100

A =00000110-00000011-00000010

-0000010000000010-00000001

Calculando su determinante |A| = 00001011x00000011x00000001 +00000110x00000010x0000100+00000110x00000010x00000100 (00000100x00000011x00000100 +00000010x00000010x00001011+000001101x00000110x00000001)

|A| = -0000001

-00000001-0000001000000000

Adj(A) =-00000010-00000101-00000010

00000000-00000010-00000011

Adj(A)/ Det(A)

000000010000001000000000

A 000000100000010100000010

-1

000000000000001000000011

PROBLEMA 2

dP = 0100 0010 0100 0101 0000 0000 0000 0000 dQ = 0100 0100 0110 1000 1000 0000 0000 0000

Signo:

dP y dQ son positivos , n=8

Exponente en 2n1 1 :

dP = 100 0010 0Se le resta 2n1 1 : 00000101 > 5

dQ = 100 0100 0 Se le resta 2n1 1 : 00001001 > 9

Mantisa:

dP = 100 0101 0000 0000 0000 0000 = 1.1000101 dQ = 110 1000 1000 0000 0000 0000 = 1.11010001

Finalmente:

dP = 1.1000101 x 25dQ = 1.110 1000 1 x 29 = 11101.0001 x 25

dP2+dQ = 11110.1001101 x 24 = 111101001.101

Rpta = 111101001.101

PROBLEMA 3

a) El rango que se pueden codificar en exceso con n bits es 2n1 x 2n1 1

Entonces con 14 bits n esta desde - 8192 a 8191

b) Los nmeros que representa a,b,c,d,e,f,g,h,i , j en ASCII son 97,98,99, 106 y los que corresponden a 0,1,2,3, 9 son 48,49,50, 57

Se podr obtener estos nmeros restando 49 en base 10 a cada uno de los dgitos que representa en ASCII.

c) El nmero mximo que se puede codificar es 011111111111 = 7 F F H

d) Hallar 71 49 en BCD natural 71 = 000001110001 49 = 000001001001 0000 0111 0001 -0000 0100 1001

0000 0010 1000 -se le resta el 6 en BCD (por acarreo)

0110

0000 0010 0010

Respuesta: 00100010

PROBLEMA 4a) Alejandro y Beatriz tienen cuatro hijos: Carmen, Daniel, Enrique y Feliz. Cuando salen a cenar van a un restaurant que solo sirve pollo o a uno que solo sirve comida criolla. Antes de salir la familia vota para elegir al restaurante. Gana la mayora excepto cuando los padres y Carmen (la hija mayor) estn de acuerdo en cuyo caso, ellos ganan. Cualquier otro empate implica ir al restaurante que sirve comida criolla. Construir una funcin lgica que permita seleccionar en forma automtica el restaurante elegido por toda la familia.SOLUCIN:Consideremos todos los casos posibles:abcDefresultado

1111111

1111101

1111011

1111001

1110111

1110101

1110011

1110000

1101111

1101101

1101011

1101001

1100111

1100101

1100011

1100000

1011111

1011101

1011011

1011001

1010111

1010101

1010011

1010000

1001111

1001101

1001011

1001000

1000111

1000100

1000010

1000000

0111111

0111101

0111011

0111001

0110111

0110101

0110011

0110000

0101111

0101101

0101011

0101000

0100111

0100100

0100010

0100000

0011111

0011101

0011011

0011000

0010111

0010100

0010010

0010000

0001111

0001100

0001010

0001000

0000110

0000100

0000010

0000000

0: Pollo1: Comida Criolla

Por ello para lograr obtener todos los casos que podran darse, la funcin a considerar es:

F(A,B,C,D,E,F) = ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF

b) Demuestre :

i) x R+ ,

SOLUCIN:

Partimos de x R+ Tenemos que x > 0Por ello:2x > 02x + 1 > 0 Luego sumamos una expresin positiva: x22x + x2 + 1 > x2 (X+1)2 > x2I X+1 I > I x IYa que son dos expresiones positivas, puede elevarse a la 1/2

ii) La condicin necesaria y suficiente para que una matriz A sea involutiva es que (I - A)(I + A)

SOLUCIN:Una condicin necesaria y suficiente hace referencia a proposiciones que cumplen una bicondicional, por ello es necesario abordar el problema por partes: Si suponemos que se cumple: (I A)(I + A) = 0, entonces la matriz debe ser necesariamente cuadrada y (I A2)= 0 => A2= I

Como A2= I, entonces la matriz es involutiva.

Si suponemos que la matriz es involutiva, entonces la matriz debe ser necesariamente cuadrada y cumplir A2= I => (I A2)= 0 => (I A)(I + A) = 0

Por lo tanto la expresin es verdadera

PRIMERA PRCTICA CALIFICADA 2013-II JOS BENITES.

PROBLEMA 1a) Los siguientes datos A: 62548000H y B: 53D48000H corresponden a nmeros reales en notacin cientfica binaria de precisin sencilla (1 bit para el signo, 8 bits para el exponente y el resto para la mantisa) hallar (A+B) y dar resultado en precisin sencillaRealice todas las operaciones en binario.b) los siguientes datos:A: 01000000101100100000000000000000B: 11000001010000000000000000000000Corresponden a nmeros reales en formato IEEE 754. Hallar AxB y dar resultado en el mismo formato. Realice todas las operaciones en binarios.SOLUCION:a) A: 0 11000100 10101001000000000000000 exponente: 27 + 25 +22 + 2+1= 39 +27A: 0,10101001 x 268 B: 0 10100111 10101101000000000000000Exponente: 27 + 26 +22 = 68 +27B: 0,000..000 10101001 x 26829 ceros

Sumando A+B tenemos:A + B = 0,10101001 000000 10101001 x 268Trabajando en precisin simple:= 01100010010101001000000000000000000= 62548000Hb) A: 01000000101100100000000000000000 B: 11000001010000000000000000000000Formato IEEE 754A: 1,011001 x 22B: - 1,1 x 23

Efectuamos AxB1,011001 x -1,11,011001 1,011001 -10, 0001011AxB= -1,00001011 x 26 Al formato IEEEAxB = 110000101000101010000000000000000000000AxB = C2858000H

PROBLEMA 2a) Calcular la siguiente suma en BCD:

0001 + 0100 + 1001 ++ 011000100101SOLUCIN1 + 4 + 9 + 16 + + 62512 + 22 + 32 + 42 + + 252En el cual aplicamos la frmula n(n+1)(2n+1) , para calcular la suma. 6 Donde: n = 2525 = 11001S = (11001)(11001+1)(10x11001+1) 110

11001 x 11010 00000 11001 00000 11001 11001 1010001010

1010001010 x 110011 1010001010 1010001010 0000000000 0000000000 1010001010 10100010101000000101111110

10000001011111 10 110 110 1010110010101 1000 110 1001 110 110 110 111 110 111 110 110 1100

S = 10101100101012 = 552510

Sistema BCD:

S = 5 5 2 5 S = 0101 0101 0010 0101

b) Calcular el valor de la determinante, cuyos elementos estn en exceso 2n-1SOLUCINElementos con exceso 0Entonces a cada elemento de la matriz se le restar 10000:A==

A= A= 001x0101x1001 + 0010x0110x0111 + 0100x1000x0011 (0111x0101x0011+ 0100x0010x1001 + 1000x0110x0001)M=0001x0101x1001 + 0010x0110x0111 + 0100x1000x0011 = 11100001N = 0111x0101x0011+ 0100x0010x1001 + 1000x0110x0001= 11100001A = M-N = 11100001- 11100001 = 0

PROBLEMA 3Cuatro personas A, B, C y D cuyos votos valen respectivamente 1, 4, 6 y 9 puntos, votan sobre distintos proyectos. Ninguna de las cuatro personas se abstiene, ni vota en blanco o nulo. Se denota a, b, c, d las variables que toman el valor 1 cuando las personas A, B, C, D, respectivamente, votan a favor del proyecto y toman el valor 0 cuando las personas A, B, C, D, respectivamente, votan en contra del mismo. Obtener una funcin f(a, b, c, d) que toma el valor 1 cuando el proyecto es aceptado con mayora absoluta de puntos (al menos 11 puntos), y 0 en caso contrario. Simplifique.

SOLUCIN:Para crear dicha funcin, deben verificarse todos los casos sin excepcin; por ello se tabulan los valores para considerar todos los posibles casos: abcdAceptacin

11111

11101

11011

11000

10111

10100

10010

10000

01111

01100

01010

01000

00110

00100

00010

00000

1: a favor del proyecto 0: en contra del proyecto

Funcin lgica: abcd , abcd, abcd, abcd, abcd, abcd abcd

Por ello la funcin ser f(a, b, c, d) = a + 4b + 6c + 9dPROBLEMA 4SOLUCIN:1. Por mtodo del absurdo demostraremos que los nmeros primeros son infinitos o lo mismo que demostrar que no existe un numero primo mayor que todos.

P:Existe un primo mayor que todos los nmeros primosPi :P1,P2,P3.Pn , Donde Pn: El mximo numero primo

-Q: puede ser un numero primo o compuesto. Si se demuestra que Q es un numero primo entonces estaramos negando lo que se planteo(Los nmeros son primos son infinitos); demostraremos esto por mtodo del absurdo suponiendo que R es compuestoi)

N

Se concluye mediante el mtodo del absurdo que R no es compuesto y por ende es R es primo .

Si R es primo entonces existe una contradiccin con lo afirmado de P ya que existe un primo(R) mayor que Pn .Quedando demostrado entonces por el mtodo de absurdo que no existe un primo mayor ya que siempre habr uno mayor que otro.

b) Por el mtodo del absurdo demostraremos PSupongamos que 3 es racional y se puede escribir como la razn de dos nmeros naturales primos entre s, sin factores primos comunes; esto nos llevara a que:

.. (a)Podemos deducir de (a) que 3 divide a p2, pero como 3 es primo tambin divide a p mismo, eso llevara a que p tenga la siguiente forma:p = 3k, (b)(b) en (a)(3k)2 = 3qq2 = 3k2Siguiendo la misma deduccin, q2 es mltiplo de 3 y por ser primo tambin de q mismo.Se desprende entonces que p y q tienen a 3 como factor comn, pero desde un inicio se defini a p y q como PESI 3 es irracional

C)

A es invertible A-1= M

M existe

4)d Si |a-5|