tp discreta 2014

Universidad Tecnolgica Nacional Facultad Regional Buenos Aires

Ingeniera en Sistemas de Informacin

Matemtica Discreta

Nro. Curso K1045

Turno T

Ao 2014

Docente a Cargo: Maria Del Carmen Lucotti Jefe de TP: Daniel Alejandro Monteros

Trabajo Practico: Matemtica Discreta TP Anual

NOMBRE Y APELLIDO Leandro Duarte 153.602-3

Lucas Lenci 153.776-3

Ivo Jose Bisceglia 153.392-7

Santiago Flynn 153.778-7

Agustin Priegue 153.828-7

Fecha de entrega: 09/02/2015

Fecha de devolucin:

Matemtica Discreta Curso: K1045-2014

SECCIONES 1, 2 , 3 y 4

UTN Facultad Regional Buenos Aires

Ingeniera en Sistemas de Informacin Pgina 2 de 15

1.1 a- Si llueve uso paraguas. b- Si uso paraguas no me mojo. c- Si llueve no me mojo. p = llueve q = uso paraguas r = me mojo a- Si salgo 1* gano la carrera. b- Si gano la carrera me dan un trofeo. c- Si salgo 1* me dan un trofeo. p = salgo 1* q = gano la carrera r = me dan un trofeo 1.3 Mtodos de deduccin basados directamente En el teorema de Herbrand Teorema de Herbrand En lo que sigue, L es un lenguaje de primer orden cuyo conjunto De constantes es no vaco (en caso contrario, se le aade una constante, a). Definicin: 1. El universo de Herbrand U(L) de L es el conjunto de los trminos Cerrados de L. 2. La base de Herbrand de L, B(L), es el conjunto de los tomos Cerrados de L. Definicin 2.2.1.3 Una L estructura M es una estructura de Herbrand De L si: 1. El universo de M es el universo de Herbrand de L; es decir, M = U (L) 2. Para toda constante c de L, cM = c 3. Para todo simbolo de funcin f de aridad n > 0, y todo t1; : : : ; tn 2 U(L), fM(t1; : : : ; tn) = ft1 : : : tn Definicin Una interpretacin de Herbrand de L es un subconjunto De la base de Herbrand de L.

q => p -r => q

-r => p

p => q q => r

p => r





Nota: Usaremos los smbolos I; I1; I2; : : : para representar interpretaciones de Herbrand. Nota: Los conceptos de universo, base, estructuras, interpretaciones Y modelos de Herbrand definidos anteriormente para el lenguaje L se aplican A frmulas, conjuntos de frmulas, clausulas y conjuntos de clausulas, Considerando en cada caso el lenguaje formado a partir de sus smbolos de Funciones y predicados. Lema Sea I una interpretacin de Herbrand y C = fA1; : : : ;An;:B1; : : : ; :Bmg Una clusula. Son equivalentes: 1. I j= C 2. Para toda sustitucin : V ! U(C), f(B1); : : : ; (Bm)g I =) f(A1); : : : ; (Am)g \ I 6= ; Lema Sea M una Lestructura de Herbrand y una asignacin. Entonces, (F[x=t]) = [x=t](F) Teorema Si un conjunto de clusulas S es consistente, entonces Tiene un modelo de Herbrand. Teorema (de Herbrand) Sea S un conjunto finito de clusulas. Entonces S es inconsistente syss E(S) contiene un subconjunto finito inconsistente (En el sentido de la lgica proposicional).

El inicio de la demostracin automtica de teoremas En 1930 J. Herbrand, en su artculo `` Investigations in proof theory, propone un muy importante mtodo mecnico para probar teoremas. A partir de este, se derivaron una serie de procedimientos modernos de prueba de teoremas, que han dado origen a toda una teora de prueba automtica de teoremas. Demostracin Automtica de Teoremas (DAT), significa el uso de la computadora para probar resultados no-numricos, es decir, determinar su verdad (validez). Casi, 30 aos despus, de los trabajos de Herbrand, realmente inicia la DAT. Por un lado, basndose en los teoremas fundamentales de Herbrand concerniente a la lgica de primer orden, se tiene el trabajo de Martin Davis y Hillary Putnam. Por el otro lado, se tienen las contribuciones de P. C. Gilmore y; Hao Wang, que independientemente, desarrollaron los primeros procedimientos de prueba de teoremas derivados de los procedimientos de pruebas clsicas de la lgica.





El problema fundamental de validacin de una frmula de clculo de predicados puede ser reducido a unas series de cuestiones de validacin acerca de siempre-expandibles frmulas preposicionales. El teorema de Herbrand establece que a cada frmula vlida de primer orden C hay una frmula proposicional (funcionalmente verdadera) vlida si C es vlida. Las esencialmente son instancias de substitucin sobre un trmino del alfabeto expandido en C con cuantificadores removidos. Entonces uno puede probar siempre incrementando i, por tablas de verdad si uno lo desea y, uno podr proclamar el original teorema si una tautologa fue demostrada que existe. Las tablas de verdad en realidad son ineficientes. 1.4 La deduccin natural se utiliza para demostrar la validez de razonamientos deductivos, este mtodo consiste en la construccin de deducciones por medio de reglas de inferencia. Una demostracin se construye partiendo de supuestos y aplicando las reglas para llegar a la conclusin deseada. Hay que tener en cuenta que la deduccin natural sirve nicamente para demostrar la validez de los razonamientos, si uno tratase de demostrar la invalidez mediante deduccin natural se dara cuenta de que aquello no es posible. Existen 8 tipos de reglas de inferencia conectivas que son la introduccin y la eliminacin de la negacin, la conjuncin, la disyuncin y del condicional material. Estas reglas emulan de alguna manera la forma de razonamiento del ser humano. Adems existen dos cuantificadores, el universal y el existencial. Ejemplos de cmo se utilizan algunas de estas reglas - Negacin: P = Esta soleado -p = No esta soleado - Conjuncin: p = Es lunes q = Voy a la facultad p ^q = Es lunes y voy a la facultad - Disyuncin: P = Voy a la facultad q = Voy a trabajar

p v q = Voy a trabajar o voy a la facultad - Modus ponens: p = uso paraguas q = est lloviendo

p -p

V F

F V

p q

P ^ q

p q

p v q

p -> q p

q





2.1 Encriptar en cesar. A=0, B=1, C=2, D=3, E=4, F=5, G=6, H=7, I=8, J=9, K=10, L=11, M=12, N=13, =14, O=15, P=16, Q=17, R=18, S=19, T=20, U=21, V=22, W=23, X=24, Y=25, Z=26 Mensaje original: La letra ms usada en el idioma espaol es la letra e y la menos es la k. Encriptacin En(x)= x + 3 (27) Mensaje encriptado: d hwud odv xvdgd hp h lglrod hvsdqr hv d hwud h b d ohprv hv d n Desencriptacin De(x)= x - 3 (27) Mensaje desencriptado: La letra ms usada en el idioma espaol es la letra e y la menos es la k. Ventajas:

- Fcil encriptacin Desventajas:

- Poco seguro, ya que se repiten algunos patrones. - Descifrarlo no puede llevar ms de 27 intentos

2.2 P=3 q=13 N=33 n=20 e coprimo con 20 =7 d = d.7 = 1 (20) d = 3 clave pblica (33,7) clave privada (33,3) Cod C=m^7 (33) Dec M=c^3 (33) = 00, A = 01,B = 02,C = 03,D = 04,E= 05,F = 06,G = 07,H = 08, I = 09 , J = 10, K = 11, L = 12, M = 13, N = 14, O = 15, P = 16, Q = 17, R = 18, S = 19, T = 20, U = 21, V = 22, W = 23, X = 24, Y = 25, Z = 26 Mensaje original: Hala Madrid Mensaje codificado: 0201120100070116131516 02 = H, 01 = A, 12 = L, 00 = , 07 = M, 16 = D, 13 = R, 15 = I. 2.4 El Bubble Sort es un mtodo de ordenamiento algortmico que trabaja comparando los elementos adyacentes de una lista. El primer elemento y el segundo son comparados y, dependiendo de si se busca un orden creciente o decreciente, intercambian su posicin o no. Luego se comparan el segundo con el tercero y se realiza el intercambio de ser necesario, este proceso se repite hasta comparar los dos ltimos





elementos. Cuando termina la primer pasada el algoritmo vuelve a realizar otra pasada comparando el primer elemento con el segundo, el segundo con el tercero y as sucesivamente hasta el anteltimo elemento de la pasada anterior. El Bubble Sort finaliza cuando compara, en una pasada, nicamente al primero con el segundo. Algunas variantes de este algoritmo se detienen cuando comprueban que en una pasada no se realizaron cambios.

Lista de elementos

35 21 29 40 47 39

1 pasada 35 29 40 47 39 21

2 pasada 35 40 47 39 29 21

3 pasada 40 47 39 35 29 21

4 pasada 47 40 39 35 29 21

5 pasada 47 40 39 35 29 21

A = conjunto formado por los elementos de la lista

- (A, ) Reflexividad, antisimetria y transitividad se cumplen para la relacin de orden dada.





3.1)

Para averiguar el camino ms corto desde un punto especfico a los dems se puede utilizar el algoritmo de Dijkstra, este algoritmo compara el camino ms corto encontrado hasta el momento con los posibles caminos a seguir. Buscamos llegar desde el Nuevo Gasometro (5) hasta el Monumental (1). Notacion : [Distancia hasta el momento , el vrtice desde donde se viene]

Vrtices Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4 Paso 5 Paso 6 Paso 7 Paso8

1 [17.2, 9] [16.5 , 2] [16.5 , 2]

2 [19.5, 3] [19.5, 3] [19.5, 3] [15 , 9] [15 , 9] x

3 [6.5 , 4] [6.5 , 4] x x x x x

4 [3.5 ,5] [3.5 , 5] x x x x x x





5 [0,-] x x x x x x

6 [6.5 ,5] [6.5 ,5] [6.5 ,5] x x x x x

7 [11.8, 6] [9.2 , 8] [9.2 , 8] x x x

8 [7 ,5] [7 ,5] [7 ,5] [7 ,5] x x x x

9 [9 ,8] [9 ,8] [9 ,8] x x

Luego de realizar el algoritmo llegamos al resultado siguiente: el camino ms corto es: 5 8 - 9 - 2 1

3.2)





1-

Abierta Cerrada

5 (F=11)

2- =>

3-

4- =>

5-

6- =>

Abierta Cerrada

5 (F=11)

Nodo Ante G H F=G+H

4 5 3.5 13 16.5

6 5 6.5 14 20.5

8 5 7 9 16

Abierta Cerrada

4(F=16.5)

6(F=20.5)

8(F=16) 5 (F=11)

Abierta Cerrada

6(F=20.5) 8(F=16)

4(F=16.5) 5 (F=11)

Nodo Ante G H F=G+H

7 8 9.2 11 20.2

9 8 9 8 17

Abierta Cerrada

9(F=17)

7(F=20.2)

6(F=20.5) 8(F=16)

4(F=16.5) 5 (F=11)

Abierta Cerrada

7(F=20.2) 4(F=16.5)

6(F=20.5) 8(F=16)

9(F=17) 5 (F=11)

Nodo Ante G H F=G+H

3 4 6.5 14 20.5





7-

8-

=>

9-

10- =>

11- => nodo a analizar es el nodo fin, por lo tanto se encontr camino

El camino hallado con el algoritmo A* es el siguiente = 5 8 9 2 1

Abierta Cerrada

3(F=20.5)

7(F=20.2) 4(F=16.5)

6(F=20.5) 8(F=16)

9(F=17) 5 (F=11)

Abierta Cerrada

9(F=17)

7(F=20.2) 4(F=16.5)

6(F=20.5) 8(F=16)

3(F=20.5) 5 (F=11)

Nodo Ante G H F=G+H

2 9 15 2 17

1 9 17.2 0 17.2

Abierta Cerrada

1(F=17.2)

2(F=17) 9(F=17)

7(F=20.2) 4(F=16.5)

6(F=20.5) 8(F=16)

3(F=20.5) 5 (F=11)

Abierta Cerrada

2(F=17)

1(F=17.2) 9(F=17)

7(F=20.2) 4(F=16.5)

6(F=20.5) 8(F=16)

3(F=20.5) 5 (F=11)

Nodo Ante G H F=G+H

1 2 16.5 0 16.5

Abierta Cerrada

1(F=16.5) 2(F=17)

1(F=17.2) 9(F=17)

7(F=20.2) 4(F=16.5)

6(F=20.5) 8(F=16)

3(F=20.5) 5 (F=11)





3.4

Sabiendo que un HOP es un salto de un router a otro y que el TTL (time to live) es la cantidad mxima de saltos que puede dar un mensaje antes de ser eliminado; definir cuantas conexiones (vistas como si fueran cables) debera haber como mnimo para que una red de 6 routers reciba todos los mensajes enviados por otro router, si el TTL vale 3.

Se arma un rbol de altura 3 con 6 vrtices que en este caso seran los routers y 5 cables que tomaran el rol de aristas

Por lo tanto la menor cantidad de cables para que un mensaje llegue a todos los routers es de 5





4.1

Esta Gramtica genera contraseas de 6 a 8 caracteres, con el primero una mayscula y el ltimo una minscula,

adems contiene por lo menos 1 numero.

G (Vt; Vn; P; S)

Vt: {Ini, Fin, Med, Var1, Var2, May, Min, Num, MN}

Vn: {o, 1, 2, .. , 9, A, B, C, . , Z, a, b, c, . , z}

S: Ini

P:

Ini => MayMedVar1Var2Fin

Med => MNMNMNNum / MNMNNumMN / MNNumMNMN / NumMNMNMN

MedVar1 => MedMN / MNMNMNMNNum

MedVar2 => MedVar1MN / MNMNMNMNMNNum\

Fin => Min

Var1 => nulo

Var2 => nulo

May => A / B / C / . / Z

Min => a / b / c / . / z

Num => 0 / 1 / 2 / . / 9

MN => 0 / 1 / 2 / . / 9 / a / b / c / . / z

4.3

Una mquina de Turing es un modelo computacional que realiza una lectura/escritura de manera automtica sobre una entrada llamada cinta, generando una salida en esta misma.

Este modelo est formado por un alfabeto de entrada y uno de salida, un smbolo especial llamado blanco (normalmente b, o 0), un conjunto de estados finitos y un conjunto de transiciones entre dichos estados. Su funcionamiento se basa en una funcin de transicin, que recibe un estado inicial y una cadena de caracteres (la cinta, la cual puede ser infinita) pertenecientes al alfabeto de entrada. La mquina va leyendo una celda de la cinta en cada paso, borrando el smbolo en el que se encuentra posicionado su cabezal y escribiendo un nuevo smbolo perteneciente al alfabeto de salida, para luego desplazar el cabezal a la izquierda o a la derecha (solo una celda a la vez). Esto se repite segn se indique en la funcin de transicin, para finalmente detenerse en un estado final o de aceptacin, representando as la salida.





Una mquina de Turing con una sola cinta puede definirse como una 7-tupla

dnde:

es un conjunto finito de estados. es un conjunto finito de smbolos distinto del espacio en blanco, denominado alfabeto de mquina o de

entrada.

es un conjunto finito de smbolos de cinta, denominado alfabeto de cinta ( ).

es el estado inicial.

es un smbolo denominado blanco, y es el nico smbolo que se puede repetir un nmero infinito de veces.

es el conjunto de estados finales de aceptacin.

es una funcin parcial denominada funcin de transicin, donde es un movimiento a la izquierda y es el movimiento a la derecha.

Existen en la literatura un abundante nmero de definiciones alternativas, pero todas ellas tienen el mismo poder computacional, por ejemplo se puede aadir el smbolo como smbolo de "no movimiento" en un paso de cmputo.

Funcionamiento

La mquina de Turing consta de un cabezal lector/escritor y una cinta infinita en la que el cabezal lee el contenido, borra el contenido anterior y escribe un nuevo valor. Las operaciones que se pueden realizar en esta mquina se limitan a:

- Mover el cabezal lector/escritor hacia la derecha.

- Mover el cabezal lector/escritor hacia la izquierda.

El cmputo se determina a partir de una tabla de estados de la forma:

(estado, valor) (nuevo estado, nuevo valor, direccin)

Esta tabla toma como parmetros el estado actual de la mquina y el carcter ledo de la cinta, dando la direccin para mover el cabezal, el nuevo estado de la mquina y el valor a escribir en la cinta.

La memoria es la cinta de la mquina que se divide en espacios de trabajo denominados celdas, donde se pueden escribir y leer smbolos. Inicialmente todas las celdas contienen un smbolo especial denominado "blanco". Las instrucciones que determinan el funcionamiento de la mquina tienen la forma, "si estamos en el estado x leyendo la posicin y, donde hay escrito el smbolo z, entonces este smbolo debe ser reemplazado por este otro smbolo, y pasar a leer la celda siguiente, bien a la izquierda o bien a la derecha".





La mquina de Turing puede considerarse como un autmata capaz de reconocer lenguajes formales. En ese sentido, es capaz de reconocer los lenguajes recursivamente enumerables, de acuerdo a la jerarqua de Chomsky. Su potencia es, por tanto, superior a otros tipos de autmatas, como el autmata finito, o el autmata con pila, o igual a otros modelos con la misma potencia computacional.

Ejemplo:

Esta mquina de Turing est definida sobre el alfabeto , posee el conjunto de estados

, con las transiciones que se pueden ver. Su estado inicial es y el estado final es , el lenguaje de salida

siendo el smbolo denominado "blanco". Esta mquina reconoce la expresin regular de

la forma con . 4.5 Automata finito no deterministico





Todo AFND (QN, , q0, N, FN) puede convertirse en un AFD (QD, , q0, D, FD) equivalente, que mantiene el alfabeto y el estado inicial q0 originales. La conversin implica pasar por un AFD intermedio con estados y transiciones redundantes, que al no ser accesibles a partir del estado inicial, son eliminados para obtener el AFD definitivo.

0 1

A = q0 A B, A D, A

B, A = q1 B B, A C, D, A

D, A = q2 D B, A D, A

C, D, A = q3 C B, A D, A

Automata finito determinstico resultante de la transformacin del AFND.

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