Unidad I

UNIVERSIDAD FERMIN TOROVICERECTORADO ACADEMICO

DECANATO DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA EN MANTENIMIENTO MECANICO

Gernaldo Castillo 18.736.466

Profesor Domingo Méndez

Estructura Discreta Saia B

Objetivos Específicos

Que es una proposición.

Conectivos lógicos de una proposición.

Distintas formas proposicionales.

Leyes del Álgebra proposicional.

Métodos de demostración en Matemática e

Ingeniería.

Red de circuitos lógicos de una forma

proposicional.

¿Que es una proposición?

Una proposición es un juicio declarativo del cual tiene sentido decir que es verdadero (V) o que es falso (F), pero no ambas cosas simultáneamente. No es necesario saber de antemano que el juicio es verdadero o es falso, lo único que requerimos es que sea lo uno o lo otro, aunque no se conozca cual de los dos casos es.

Toda proposición tiene una y solamente una alternativa.

1: Verdadero0: Falso

Ejemplos

Los siguientes enunciados son proposiciones:

Coro es un municipio de Miranda (falso). Los estudiantes de UFT son aplicados (verdadero). El hidrógeno es un gas (verdadero). Algunos estudiantes son universitarios (verdadero). Todo estudiante es universitario (falso).

Conectivos lógicos de una proposición

Es aquel que une dos proposiciones atómicas para formar una molecular.

La Negación La Conjunción

La negación de p es la proposición de p que se lee “no p”, “no es el caso que p” y cuyo valor lógico esta dado por la siguiente tabla de verdad:

La conjunción de p y q es la proposición pq, que se lee “p y q”, y cuyo valor lógico esta dado por la siguiente tabla de verdad:

La Disyunción

La disyunción de p y q es la proposición pq, que se lee “p o q”, y cuyo valor lógico esta dado por la tabla:

La Disyunción Exclusiva

La disyunción exclusiva de p y q es la proposición pq, que se lee “o p o q”, y cuyo valor lógico esta dado por la siguiente tabla:

El Condicional

El condicional con antecedente p y consecuente q es la proposición pq, que se lee “si p, entonces q”, y cuyo valor lógico esta dado por la siguiente tabla:

El Bicondicional

Se llama bicondicional de p y q a la proposición pq que se lee “p si y solo si q”, o “p es condición necesaria y suficiente para q”, y cuyo valor lógico es dado por la siguiente tabla:

Distintas formas proposicionales

A las expresiones que se obtienen a partir de variables proposicionales: p, q, r, etc., mediante aplicaciones de los conectivos lógicos se llaman formas proposicionales. A las formas proposicionales las denotaremos con letras mayúsculas A, B, C, etc. En caso de que queramos enfatizar las variables que intervienen en las funciones proposicionales escribiremos así : A( p, q ), B( p1, p2, p3 ), etc.

Ejemplo Son formas proposicionales las siguientes expresiones:

1. A( p, q ) = [ p (q ) ]2. B( p, q, r ) = p ( q r )3. C( p1, p2, p3) = p1 [ p2 (p3 (p1) ) ]

Para ser precisos, definimos forma proposicional como una expresión que se obtiene siguiendo estas reglas:

1. Todas las variables proposicionales son formas proposicionales. A estas llamaremos formas proposicionales atómicas.

2. Si A y B son formas proposicionales, entonces también lo son:

A, A B, A B, A B, A B y A B

Leyes del Álgebra Proposicional

Leyes Idempotentes

1a. pp = p 1b. pp = p

Leyes Asociativas

2a. (pq) r = p (q r) 2b. (pq) r = p (q r)

Leyes Conmutativas

3a. pq = qp 3b. pq = qp

Leyes Distributivas

4a. p (q r) (p q) (p r) 4b. p (q r) (p q) (p r)

Leyes de Identidad

5.1. P Ú F º P 5.2. P Ù F º F5.3. P Ú V º V 5.4. P Ù V º P

Leyes de Complementación

6.1. P Ú ~ P º V (tercio excluido) 6.2. P Ù ~ P º F (contradicción)6.3. ~ ~ P º P (doble negación) 6.4. ~ V º F, ~ F º V

Leyes de Morgan

7.1. ~ ( P Ú q ) º ~ P Ù ~ q 7.2. ~ ( P Ù q ) º ~ P Ú ~ q

Otras Equivalencias Notables

a. p® q º ~ p Ú q (Ley del condicional)b. p« q º (p® q) Ù (q® p) (Ley del bicondicional)c. p Ú q º ( p Ù ~ q ) Ú ( q Ù ~ p ) (Ley de disyunción exclusiva)d. p® q º ~ q® ~ p (Ley del contrarrecíproco)e. p Ù q º ~ ( ~ p Ú ~ q )f. ( (p Ú q ) ® r ) º ( p ® r ) Ù (q ® r ) (Ley de demostración por casos)g. (p® q) º (p Ù ~ q® F) (Ley de reducción al absurdo)

Métodos de Demostración

La demostración de un razonamiento válido se reduce a probar la implicación

P1 P2 P3 … Pn C, Donde P1, P2, P3,… y Pn son premisas y C es la conclusión. Para la demostración puede usarse el método directo o un método indirecto.

Sea n un número entero. Demostrar, en forma directa, el siguiente teorema:

Si n es par, entonces n² es par.Simbólicamente ,

n es par n² es par.Demostración

1. n es par hipótesis2. n = 2k, para algún entero k definición de numero par.3. n² = ( 2k )² de 2, elevado al cuadrado.4. n² = 4K² de 3, potencia de un producto.5. n² = 2( 2k² ) de 4, por descomposición en factores.6. n² = 2 de 5, haciendo = 2k² 7. n² es par de 6, definición de número par.

Método Directo:

Método Indirecto:

Dentro de este método se pueden ver dos formas de demostración:

• Método del Contrarrecíproco.• Reducción al Absurdo.

Método del Contrarrecíproco

Si tenemos que demostrar que una proposición p implica una proposición q), a veces es más sencillo demostrar que si no se da q, entonces no puede cumplirse p. Esto se conoce como demostración por contrarrecíproco o contraposición. Nótese que "p implica q" y "no q implica no p" son proposiciones equivalentes.

Ejemplo “Demuéstrese que todos los números primos mayores que 2 son impares".

Aquí, la proposición p es "n es un número primo mayor que 2" y la proposición q es "n es un número impar".

Demostrar que todo número primo mayor que 2 es impar (p -> q) es lo mismo que demostrar que no existe un número par que sea número primo mayor que 2, o equivalentemente, que el único número primo par es 2 (no q -> no p).Esto es más fácil de demostrar, ya que todo número par se puede escribir como n = 2 × k, donde k es mayor o igual que 1 (la idea de número primo tiene sentido sólo en los números naturales). Si k es igual a 1, tenemos n = 2, número primo. Si, por el contrario, k es mayor que 1, entonces n es mayor que 2, pero no es primo ya que tiene algún factor que no es ni 1 ni él mismo. Así que 2 es el único número primo par, por lo que se ha demostrado que todos los números primos mayores que 2 son impares.

La demostración por reducción al absurdo es un tipo de argumento lógico muy empleado en demostraciones matemáticas.

Consiste en demostrar que una proposición matemática es verdadera probando que si no lo fuera conduciría a una contradicción.

Ejemplo

Supóngase que se desea demostrar una proposición P. El procedimiento consiste en demostrar que asumiendo como cierta la falsedad de P (o sea P negada) conduce a una contradicción lógica. Esta P debería no ser falsa. Por lo tanto habría de ser verdadera.

Reducción al Absurdo

Circuitos LógicosLos circuitos lógicos o redes de conmutación los podemos identificar con una forma proposicional. Es decir, dada una forma proposicional, podemos asociarle un circuito; o dado un circuito podemos asociarle la forma proposicional correspondiente. Además, usando las leyes del álgebra proposicional podemos simplificar los circuitos en otros más sencillos, pero que cumplen la misma función que el original. Veamos los siguientes interruptores en conexión:

Conexión en serie : p q pq la cual se representa como p q

p

Conexión en paralelo: a la cual se representa como p q

q

Estas representaciones nos servirán de base para la correspondencia entre los circuitos y las proposiciones.

Red de Circuitos Lógicos de una forma Proposicional.

“Si A es el éxito en la vida, entonces A = X + Y + Z. Donde X es trabajo, Y es placer y Z es

mantener la boca cerrada.”

Albert Einstein