sesion no 05conjuntos

Matemtica y Lgica

Ing. Julio Nez Cheng 1

SESIN No 05

CONJUNTOS

Es uno de los temas ms fciles de entender debido a su

simplicidad y a la disponibilidad de aplicaciones para la ilustracin

de la teora.

ELEMENTO Y CONJUNTO

En Matemtica hay incontables casos donde los conceptos de elemento

y conjuntos de elementos tienen un papel decisivo.

Todo principiante est familiarizado con el conjunto de los nmeros

enteros, el conjunto de tringulos, el conjunto de lneas perpendiculares a

un plano dado y el conjunto de puntos sobre una lnea.

En cualquier materia de Matemtica hay ciertos trminos tan bsicos que

es imposible definirlos. En geometra plana, los trminos punto y lnea no

se definen, aunque se alienta al estudiante para formarse una nocin

intuitiva del significado de estas palabras.

CONJUNTO

Los objetos que forman al conjunto son nombrados elementos de

conjuntos.

Ejemplos: A = {a, e, i, o, u}

B = {matemtica, lenguaje, ingls} C = {x/x es un nmero real}

Ud. Proponga tres ejemplos de conjuntos!

Es la Coleccin de cualquier tipo de objetos considerada como un TODO.

El desarrollo es enteramente intuitivo, pues las demostraciones dadas

estn basadas en conceptos intuitivos ms que en axiomas formales.

Matemtica y Lgica


DIAGRAMAS DE VENN DETERMINACIN DE CONJUNTOS:

Los conjuntos pueden determinarse por extensin y comprensin.

POR EXTENSIN

Cuando se nombra uno a uno sus elementos

POR COMPRENSIN

Cuando se establece una propiedad que cumplen todos sus

elementos

Ejemplo: Indicar la determinacin por extensin o comprensin de los

conjuntos:

A = {a, e, i, o, u} B = {matemtica, lenguaje, ingls}

C = {x/x es un nmero real} D = {0, 1, 2, 3}

E = {x/x es un alumno de la Uladech} F = {x/x es un Dpto. del Per}

CLASES DE CONJUNTOS

FINITO

Ejemplo:

A = {x/x es un da de la semana}

B = {1, 2, 3, 4}

INFINITO

Son curvas simples cerradas, las cuales encierran los elementos de un conjunto.

Dos conjuntos son iguales si contienen los mismos elementos.

Cuando el conjunto tiene un determinado nmero de elementos.

Cuando tiene una cantidad ilimitado de elementos y cuyo ltimo elemento no se puede sealar.

Recuerda Ud. estos conceptos de determinacin?

Matemtica y Lgica


CONJUNTOS NUMRICOS

Son los nmeros naturales, los nmeros enteros, los nmeros racionales,

los nmeros irracionales, los nmeros reales y los nmeros complejos.

CONJUNTO DE NMEROS NATURALES

N = { 1, 2, 3, 4, . . . . . . ., n }

CONJUNTO DE NMEROS ENTEROS

Z = {. . . . ., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . . . .}

Cuando se desea designar a los enteros positivos o negativos, se designa

por:

+ = { 1, 2, 3, 4, . . . . . .} - = { . . . . , - 5, - 4, -3, - 2, - 1}

CONJUNTO DE LOS NMEROS RACIONALES

Q = {x/ax + b = 0 a, b Z} o bien

Q = { - b/a .... - 1, - 1/2, 0, 1/2, 1, b/a}

Todo nmero racional puede tambin ser representado mediante una

expresin decimal exacto o peridico.

Ejemplo:

1

2

3

4

2

3

Es el conjunto denotado por N y cuyos elementos son empleados para realizar las operaciones de contar.

Es una extensin del conjunto de los nmeros naturales, se denota por .

Es el conjunto que se denota por Q y que es la solucin de la ecuacin ax + b = 0, donde a y b son enteros, con a 0.

Matemtica y Lgica


CONJUNTO DE LOS NMEROS IRRACIONALES

I = { -, -5, 3, 2, , 7 }

CONJUNTO DE NMEROS REALES

R = { . . . , -, -5, -1/2, 0, 3/2, , 7, . . . . . }

CONJUNTO DE LOS NMEROS COMPLEJOS

C = { a + b i/ a, b R, i = -1 }

Ejemplo:

5 + 3i , 6 2i , 10 + 7i

Es conveniente introducir los nombres de los dos conjuntos especiales

que sern importantes en toda aplicacin.

CONJUNTO UNIVERSAL

El conjunto universal se designar con el smbolo 1.- Debe notarse que

todo conjunto es sub conjunto del conjunto universal.

El segundo conjunto especial, llamado conjunto vaco.

CONJUNTO VACO

Es el conjunto que se denota por I y est formado por los nmeros que no son racionales, es decir, aquellos que no pueden expresarse en la

forma b/a.

Es el conjunto que se denota por R y est formado por los conjuntos Q I.

Es el conjunto que se denota por C y cuyos elementos son de la forma a + b i, donde: a, b R, i = -1

Es el conjunto que se denota por U y que contiene a todos los conjuntos que podemos mencionar.

Es el conjunto sin elementos, se denota por la letra griega (Phi).

Matemtica y Lgica


Por Definicin, el conjunto vaco es subconjunto de todo conjunto.

El conjunto vaco se designar con el smbolo 0 (cero).

El lgebra que se estudiar mas adelante, es un lgebra para conjuntos,

no para elementos de conjuntos.

CONJUNTO UNITARIO

Ejemplo:

A = {x/x vocales de la palabra vals}

B = {x/x capital del Per}

C = {x/x nmeros impares entre 6 y 8}

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

DIFERENCIA DE CONJUNTOS

Se Denota: A B

A B = {x/x A x B}

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO

Es importante mencionar que los smbolos 0, 1 son usados no como nmeros, sino como los nombres de los conjuntos especiales.

Es el que contiene uno y slo un elemento.

La diferencia de dos conjuntos A y B, se define como el conjunto de todos los elementos del conjunto A que no pertenecen al conjunto B.

Dados los conjuntos A y B, tal que A es un subconjunto de B, se define el complemento de A respecto a B, a la diferencia de B A.

Despus de haber revisado los fundamentos y clasificacin de los

conjuntos, ahora se revisarn las operaciones y problemas de

conjuntos.

Matemtica y Lgica


El caso particular del complemento de A respecto del universal U, se

denota por:

DEMOSTRACIN:

Sea el Conjunto: X

Por Definicin de Complemento de X

X = U X

Ahora el Complemento del Complemento de X ser

(X) = U - X Reemplazando

(X) = U (U X) = U U + X

(X) = X L. Q. Q. D.

Tambin se puede usar los diagramas de Venn para realizar est

demostracin. DEMUESTRELO!

UNIN

Se denota: A B

INTERSECCIN

Se denota: A B

DIFERENCIA SIMTRICA

CA = A = AC

Es el conjunto de todos los elementos que pertenecen tanto al conjunto A como al conjunto B.

Se define como el conjunto de los elementos que son comunes a A y B.

Dado los conjuntos A y B, se define la diferencia simtrica y se simboliza por A B, al conjunto:

Un ejercicio sencillo de demostrar: Usar la definicin de complemento de

un conjunto para demostrar que:

(X) = X Para cualquier conjunto X

Matemtica y Lgica


Se denota: A B = A B B A

LEYES FUNDAMENTALES DEL ALGEBRA DE CONJUNTOS

A continuacin se presentan algunas de las identidades bsicas que

son vlidas en el lgebra de conjuntos y en el lgebra booleana.

Como se ha mencionado anteriormente se designa 1 al conjunto

universal y 0 designa al conjunto vaco; las siguientes identidades son

vlidas en el lgebra de conjuntos X, Y, Z.

LEYES CONMUTATIVAS

1a XY = YX

1b X + Y = Y + X

SIMBOLOGA SIGNIFICADO TRADICIONAL ALGEBRA

Unin de los conjuntos X, Y X U Y X + Y Interseccin de los Conjuntos X, Y X Y XY Complemento del Conjunto X X X

Hasta ahora, se ha revisado los conceptos bsicos estudiados en conjuntos, veremos una comparacin de la simbologa que se

usa en el lgebra de conjuntos.

La expresin x + y representa la unin de los conjuntos x, y.

Asimismo x y nos representa la interseccin de los referidos

conjuntos.

Las demostraciones de estas leyes no estn dadas, pero puede

realizarse mediante el uso de los diagramas de Venn.

Matemtica y Lgica


LEYES ASOCIATIVAS

2a X (YZ) = (XY) Z

2b X + (Y + Z) = (X + Y) + Z

LEYES DISTRIBUTIVAS

3a X (Y + Z) = XY + XZ

3b X + YZ = (X + Y) (X + Z)

LEYES DE TAUTOLOGA

4a XX = X

4b X + X = X

LEYES DE ABSORCIN

5a X (X + Y) = X

5b X + XY = X

LEYES DE COMPLEMENTACIN

6a X X = 0

6b X + X = 1

LEY DE COMPLEMENTACIN DE DOBLE

7 (X ) = X

LEYES DE MORGAN

8a (X Y ) = X + Y

8b (X + Y ) = X Y

OPERACIONES CON 0 Y 1

9a 0X = 0

9b 1 + X = 1

10a 1X = X

0 + X = X

11a 0 = 1

11b 1 = 0

Anotar estas

propiedades

Que se usarn en

la simplificacin

de conjuntos.

Matemtica y Lgica


FACTORIZAR Y SIMPLIFICAR

Muchas expresiones algebraicas del lgebra de conjuntos estn sujetas a

simplificaciones notables.

En toda expresin se pueden realizar operaciones, de desarrollo de

productos y de factorizacin, basados en la ley distributiva 3a:

1. Factorizar el Polinomio: XZ + XW + YZ + YW

SOLUCIN:

XZ + XW + YZ + YW = X (Z + W) + Y (Z + W) Segn 3a

= (X + Y) (Z + W) Segn 1a y 3a

2. Factorizar: XY + ZW en factores lineales.

SOLUCION:

XY + ZW = (XY + Z) (XY + W) Segn 3b

= (Z + XY) (W + XY) Segn 1b

= (Z + X) (Z + Y) (W + X) (W + Y) Segn 3b

Se pueden obtener simplificaciones usando las otras leyes, tal como el

ejemplo dado a continuacin:

3. Simplificar la expresin: ( ' ) ( ' )x x xy x x x y+ + +

Efectuando operaciones y aplicando las propiedades

( ' ) ( ' ) ' '

0 0 6 , 4

5

x x xy x x x y xx xxy xx xx y

xy x y propiedades a a

xy x

x propiedad b

+ + + = + + +

= + + +

= +

=

4. Simplificar la expresin: ( ')( )xy x x y+ +

La factorizacin se ha realizado como el lgebra de nmeros.

Verificar la propiedad aplicada en cada operacin

Matemtica y Lgica


( ')( ) ' '

0 ' 4 , 6

' 4

( ')

(1) Pr 6

xy x x y xxy xyy x x x y Efectuando operaciones

xy xy x y propiedades a a

xy x y propiedad b

y x x Factorizando

y opiedad b

y

+ + = + + +

= + + +

= +

= +

=

=

5. Simplificar la expresin: ( )( ' )( ')( ')x y x xy x y x xy+ + + +

:

( )( ' )( ')( ') ' ' ' ' ' '

0 ' ' ' '

' '

' '

'

( ')( )

(1)( )

( )

Efectuando operaciones de dos en dos

x y x xy x y x xy xx xxy x y xyy xx xxy xy xy y

xy x y xy x xy xy xy

xy xy x y x xy

xy xy xy x x y

x x y

x x x y

x y

x y

+ + + + = + + + + + + +

= + + + + + + +

= + + + +

= + + + +

= +

= + +

= +

= +

6. Simplificar la expresin: X (X + Y) + Y (Y + Z) + Y

SOLUCIN:

Por intuicin se podr deducir de dicha expresin de conjuntos, equivale

simplemente a: y

X (X + Y) + Y (Y + Z) + Y = X X + XY + Y (Y + Z) + Y Segn 3a

= 0 + XY + Y (Y + Z) + Y Segn 6a

= XY + Y (Y + Z) + Y Segn 10b

= XY + Y + Y Segn 5a

= XY + Y Segn 4b

= Y Segn 5b

Tener las leyes de conjuntos en sus apuntes, a fin de verificar

las simplificaciones correspondientes

Matemtica y Lgica


Existe una identidad usada con frecuencia en la simplificacin de

problemas, cuyo enunciado es:

SOLUCIN: X + X Y = (X + X ) (X + Y) Segn 3b

= 1 (X + Y) Segn 6b

= X + Y Segn 10a

7. Resolucin de Problemas con Conjuntos

a. De 30 alumnos se obtuvo la siguiente informacin: 12 de ellos practican el voley, 20 practican el ftbol y 14 practican bsquet; adems 8 practican voley y bsquet, 9 practican ftbol y bsquet, 7 practican ftbol y voley y 5 practican los 3 deportes. Cuntos alumnos no practican ningn deporte?

A) 2 B) 4 C) 3 D) 5 E) 7

En el cuadro se han colocado los datos: Considerando que como 5 practican los tres deportes se ha colocado: 3, como diferencia de 8 que practican voley y basket. 2, como diferencia de 7 que practican ftbol y voley. 4, como diferencia de 9 que practican ftbol y basket. Los que practican solo voley ser: 12 - (3+5+2) = 2 Los que practican solo ftbol ser: 20 - (2+5+4) = 9 Los que practican solo Basket ser: 14 - (3+5+4) = 2 Entonces los que practican un solo deporte ser: 2 + 9 + 2 = 13 Los que no practican ningn deporte ser: 30-(3 + 5 + 2 + 4 +13) = 30- 27 = 3

Para los Conjuntos X, Y se cumple que: X + X Y = X + Y.

30

Voley: 12 Ftbol

20

Basket 14

3 4

2

5

Matemtica y Lgica


b. En una competencia participaron 42 atletas, siendo los resultados: 4 conquistaron medallas de oro, plata y bronce; 6 de oro y plata, 8 de plata y bronce y 7 de oro y bronce. Cuantos atletas conquistaron al menos dos medallas

A) 10 B ) 11 C ) 12 D) 25 E) 13

Por un procedimiento similar al anterior problema: 4, representa la interseccin, es decir el nmero de atletas que consiguieron las tres medallas de oro, plata y bronce. Cmo sale 2, 3, y 4 por diferencia con la interseccin 4, pues : 6, conquistaron medallas de oro y plata. 8, conquistaron medallas de plata y bronce. 7, de oro y bronce. La pregunta cuntos conquistaron al menos dos medallas? Ser la suma de: 3 + 4 + 2 + 4 = 13 En este caso se considera, la interseccin, pues no limita a que puedan ser mas de dos.

Una aclaracin y si la pregunta hubiera sido:

Cuntos conquistaron solo dos medallas? La respuesta sera: 3 + 2 + 4 = 9 sin considerar la interseccin

AUTOEVALUACIN

1. Qu se entiende por producto cartesiano de conjuntos?

2. Cul es el significado de axioma?

42

4

Oro

Bronce

2

4 3

Plata

Matemtica y Lgica


3. Cules son las operaciones bsicas entre conjuntos?

4. Elaborar un cuadro general de las diferentes clases de conjuntos.

5. El infinito dentro que conjunto estar ubicado?

6. Factorizar las siguientes expresiones en factores lineales

a) X + YZ SOLUCIN: ( X + Y) ( X + Z )

b) XY + ZW SOLUCIN: (Z + X) (Z + Y) (W + X) (W + Y)

c) X + Y ( Z + W ) SOLUCIN: (X + Y) (X +Z + W)

7. Simplificar las siguientes expresiones, cada expresin se reduce a

un solo smbolo.

a) AB A B Solucin: 0

b) AB + AB + AB + AB Segn 6b AB + AB= 1 Luego

ordenando AB + AB + AB + AB = 1 + AB + AB = 1 [aplicando 9b]

c) AC + ABC + AC Solucin: A

d) ( A + B ) ( A + B ) Solucin: B

e) ( A + AB + ABC ) ( A + B + C )

SOLUCIN:

( A + AB + ABC ) ( A + B + C ) = A ( A + B + C ) Segn 5b

= AA + AB + AC Segn 3a

= A + AB + AC Segn 4a

= A Segn 5b

Problemas de conjuntos

1) De 120 alumnos se obtuvo lo siguiente: 45 aprobaron lenguaje, 46 ingls y 38 matemtica; adems 7 aprobaron lenguaje e ingls, 8 ingls y matemtica,

10 matemtica y lenguaje y 4 aprobaron las 3 asignaturas. Cuntos no

aprobaron ninguna asignatura? Cuntos aprobaron solo dos asignaturas?

A) 12 y 15 B) 13 y 14 C) 12 y 13 D) 12 y 12

2) De un grupo de turistas: 26 visitaron Ancash, 8 visitaron solo el Cuzco y 2 visitaron solo Cajamarca. Adems 13 visitaron Ancash y Cuzco, 20 visitaron

Cuzco y Cajamarca, 16 visitaron Ancash y Cajamarca y 6 visitaron las 3

ciudades. Cuntos visitaron solo Ancash?

A) 3 B ) 2 C) 8 D) 4 E) 5

Matemtica y Lgica


3) De un grupo de 65 alumnos: 30 prefieren lenguaje, 40 prefieren Matemtica y 5 prefieren otros cursos Cuntos prefieren Matemtica y Lenguaje?

A)12 B) 5 C) 15 D) 10 E) 8

4) De una encuesta a 50 estudiantes: de los cuales 20 practican solo ftbol, 12 practican ftbol y bsquet y 10 no practican ninguno de estos deportes

Cuntos practican bsquet?

A) 8 B) 12 C) 32 D) 18 E) 20

5) En un fundo hay 93 agricultores que cultivan uvas y pltanos, 55 cultivan uvas, 10 cultivan uvas y pltanos Cuntos agricultores cultivan solo una de

las dos frutas?

6) En una encuesta a 500 amas de casa sobre el consumo de pollo y pescado, se obtuvo que: 100 no consumen ninguno de estos productos, 250 no consumen

pollo, 300 no consumen pescado Cuntos consumen pescado y pollo?

7) 60 alumnos rinden un examen que consta de 3 partes, se sabe que: 10 aprobaron solo la primera parte, 20 aprobaron la primera parte, 25

aprobaron la segunda parte, 21 aprobaron la tercera parte, 6 aprobaron la

segunda y tercera parte, pero no la primera, 7 aprobaron las dos primeras

partes y 3 aprobaron las tres partes Cuntos desaprobaron en las tres

partes?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

8) 150 alumnos salen al recreo, 45 bebieron Inka kola, 30 bebieron Coca Cola y 10 bebieron ambas bebidas Cuntos alumnos bebieron solo una de estas

bebidas?

9) De 60 alumnos se obtuvo la siguiente informacin: 30 de ellos practican el voley, 37 practican el ftbol y 25 practican bsquet; adems 12 practican

voley y bsquet, 15 practican ftbol y bsquet, 20 practican ftbol y voley y

8 practican los 3 deportes. Cuntos alumnos no practican ningn deporte?

Fin de la sesin

9624946

[email protected]

Julio Nez Cheng

sesion no 05conjuntos

Documents