ING. ORLANDO POMALAZA ROMEROINTEGRACION POR SUSTITUCIN O CAMBIO DE VARIABLEIdentifica el proceso de integracin por sustitucin o camio de !arialeIdentifica el proceso de integracin por sustitucin o camio de !arialePROP"#I$OINTEGRACIN POR CAMBIO DE VARIABLE. INTEGRACIN POR CAMBIO DE VARIABLE. Estemtodoesunaconsecuenciadeladerivacindefunciones compuestas. Como su nombre indica, se trata de sustituir la variable xporotravariabletmedianteunanuevafuncingtalquex=g(t), paratransformarelintegrandof(x)dxenotromssencillo.eesta manera, dx=g!(t)dt, con lo que quedar"a que En la prctica se suele #acer de la siguiente manera$%e #ace t=u(t), de donde dt=u!(x)dx & se despe'an a continuacin x & dx, sustitu&ndolos en el integrando.%ielcambiodevariable#asidobienelegido,la(ltimaexpresin ser ms fcil de integrar que la primera. )na ve* calculada sta, se des#ace el cambio & tendremos as" la integral pedida.Estemtodoesunaconsecuenciadeladerivacindefunciones compuestas. Como su nombre indica, se trata de sustituir la variable xporotravariabletmedianteunanuevafuncingtalquex=g(t), paratransformarelintegrandof(x)dxenotromssencillo.eesta manera, dx=g!(t)dt, con lo que quedar"a que En la prctica se suele #acer de la siguiente manera$%e #ace t=u(t), de donde dt=u!(x)dx & se despe'an a continuacin x & dx, sustitu&ndolos en el integrando.%ielcambiodevariable#asidobienelegido,la(ltimaexpresin ser ms fcil de integrar que la primera. )na ve* calculada sta, se des#ace el cambio & tendremos as" la integral pedida. dt t g t g f dx x f ) ( ' )) ( ( ) (INTEGRACIN POR CAMBIO DE VARIABLE. INTEGRACIN POR CAMBIO DE VARIABLE. +Cundo es aconse'able utili*ar este mtodo, a)Cuandoapare*caenelintegrandounproductoouncocientede funcionesdemodoqueunadeellas-recuerda.aladerivadadela otra.E'emplo /0acemoselcambiox123x=t&nosquedar"a(1x23)dx=dt. Entonces+Cundo es aconse'able utili*ar este mtodo, a)Cuandoapare*caenelintegrandounproductoouncocientede funcionesdemodoqueunadeellas-recuerda.aladerivadadela otra.E'emplo /0acemoselcambiox123x=t&nosquedar"a(1x23)dx=dt. Entonces. ) 2 ( ) 4 sen(2+ + dx x xK x xK t dt t dx x x dx x x+ + + + + + + ) 4 cos(21) cos (21sen21) 2 ( 2 ) 4 sen(21) 2 ( ) 4 sen(22 2INTEGRACIN POR CAMBIO DE VARIABLE. INTEGRACIN POR CAMBIO DE VARIABLE. E'emplo 10acemos la sustitucin Calculamos la diferencial de x$ 4 sustituimos en la integral que deseamos calcularE'emplo 10acemos la sustitucin Calculamos la diferencial de x$ 4 sustituimos en la integral que deseamos calcular dxx xI11112 2+ t x t x2 dx t dt 2 22 21 1 1 12 . 2 . 2 2arctg( 1). ( 1)1( 1).I dx t dt t dt dt t Kt t tx xt t + + ++ {deshaciendoelcambiodevariable} 2arctg 1 x K +INTEGRACIN POR CAMBIO DE VARIABLE INTEGRACIN POR CAMBIO DE VARIABLE b)Cuandoelintegrandoguardaciertoparecidoconunaintegral inmediata.E'emplo$ Esta integral guarda cierto parecido conqueesinmediata.ividiendoennuestraintegralnumerador& denominador por 5 nos queda$6#ora #acemos el cambio de variablecon lo que b)Cuandoelintegrandoguardaciertoparecidoconunaintegral inmediata.E'emplo$ Esta integral guarda cierto parecido conqueesinmediata.ividiendoennuestraintegralnumerador& denominador por 5 nos queda$6#ora #acemos el cambio de variablecon lo que +dxx 9 412+dxx 112(*)194191194919 412 22+++ dxxdxxdxxdt dx dt dx t x233232 Kxtan arc K t tan arc dttdttdtt+

,_

+ + + + 3261611118311239112391(*)2 2 2INTEGRACIN POR CAMBIO DE VARIABLE INTEGRACIN POR CAMBIO DE VARIABLE c)Enalgunoscasosesnecesariocomen*arreali*andouna transformacin previa para despus aplicar un cambio de variable.E'emplo$ En la segunda integral (7), #acemos el cambio de variable / 8 x1 = t,conloque 81xdx=dt & entonces9or lo tanto, c)Enalgunoscasosesnecesariocomen*arreali*andouna transformacin previa para despus aplicar un cambio de variable.E'emplo$ En la segunda integral (7), #acemos el cambio de variable / 8 x1 = t,conloque 81xdx=dt & entonces9or lo tanto, +dxxx11(*) sen1 11111 11 1112 2 2++++ + ++ x arcdxxxdxxdxxxdxx xx xdxxx. 12211221(*)22K x K ttdttdtdxxx+ + . 1 sen112K x x arc dxxx+ +/. Calcula la integral$ ( )2 2(1 ) 1dxx Ln x x + + +1. Calcula la integral$ 1(2 !) x x dx +:. Calcula la integral$ 2 ( )dxsen x Ln tgx:. Calcula la integral$ 21xxa Lnadxa +3. Calcula la integral$ 2 1xdxx + +;. Calcula la integral$ 2 2 3( 1) ( 1)xdxx x + + +. Calcula la integral$ (3 ). (! )Ln x dxx Ln x5. Calcula la integral$ 2 22cos ( 1)( cos )x tg x dxsenx x++/?. Calcula la integral$ 2" 32( 1)( 1) x x dx 1 + ] //. Calcula la integral$ 3.cosdxsenx x/1. Calcula la integral$ 99cos 1tgx dxx +/:. Calcula la integral$ 1" 3 13" 3.cos sen x xdx/3. Calcula la integral$ ( ) Ln Lnx dxxLnx/;. Calcula la integral$ 22( ( 1)1arctgxe xLn xdxx+ ++/. Calcula la integral$ 933ln (1 ) x xdxe 1+ ]/5. Calcula la integral$ 32 2.cos2cossenx xdxsen x x _ + ,1?. Calcula la integral$ 9 3 12 11(1 ) ( 1)dx dxx x x x++ + ING. ORLANDO POMALAZA ROMEROINTEGRACION POR PARTESAplica la integracin pr parte! a "i#er!a! $%ncine!. Aplica la integracin pr parte! a "i#er!a! $%ncine!. PROP"#I$OINTEGRACIN POR PARTESINTEGRACIN POR PARTES)nadelastcnicasdeintegracinmsampliamenteusadaesla integracin por partes.Elmtododeintegracinporpartessebasaenladerivadadel producto de funciones. 6 partir de l trataremos de buscar una regla que nos permita calcular la integral de un producto de funciones. Consideremos dos funciones & de variable x, ambas derivables. @adiferencial del producto ser$ espe'ando integrando m.a.m Armula para Bntegracin por partes)nadelastcnicasdeintegracinmsampliamenteusadaesla integracin por partes.Elmtododeintegracinporpartessebasaenladerivadadel producto de funciones. 6 partir de l trataremos de buscar una regla que nos permita calcular la integral de un producto de funciones. Consideremos dos funciones & de variable x, ambas derivables. @adiferencial del producto ser$ espe'ando integrando m.a.m Armula para Bntegracin por partes) (x u u ) (x v v v u.( ) d uv udv vdu +udv( ) udv d uv vdu ( ) udv d uv vdu udv uv vdu INTEGRACIN POR PARTESINTEGRACIN POR PARTES6laplicarestafrmuladeintegracinporpartesdebemosde tenercuidado en el momento de elegir a qu llamamos CuC& a quCdvC.%ilaintegralquequeda,despusdeaplicardic#a frmula,esmscomplicadaqueladepartida,significaque #abr que cambiar nuestra eleccin. Enalgunasocasioneslaintegralquequedadespusdeaplicar la frmula de integracinpor partes, es del mismo tipo que la de partida & tendr"amos que volver a aplicar el mtodo. En otras ocasiones, despus de aplicar la integracin por partes unaodosveces,puedeocurrirqueobtengamoslamisma integral de partida. En este caso, basta despe'ar la integral para obtener la primitiva. 6laplicarestafrmuladeintegracinporpartesdebemosde tenercuidado en el momento de elegir a qu llamamos CuC& a quCdvC.%ilaintegralquequeda,despusdeaplicardic#a frmula,esmscomplicadaqueladepartida,significaque #abr que cambiar nuestra eleccin. Enalgunasocasioneslaintegralquequedadespusdeaplicar la frmula de integracinpor partes, es del mismo tipo que la de partida & tendr"amos que volver a aplicar el mtodo. En otras ocasiones, despus de aplicar la integracin por partes unaodosveces,puedeocurrirqueobtengamoslamisma integral de partida. En este caso, basta despe'ar la integral para obtener la primitiva. INTEGRACIN POR PARTESINTEGRACIN POR PARTESConsideraciones6. Bntegramos por partes cuando.@as diferenciales contienen producto@as diferenciales contiene funciones trigonomtricas inversas (arcos)D. Eeneralmente se considera$u, cuando son circulares inversas o logar"tmicasdv, cuando son algebraicas o circulares directas@a funcin dv debe ser fcilmente integrableen un mismo e'ercicio, a veces se tiene que integrar por partes ms de una ve*%e puede asumir$ Consideraciones6. Bntegramos por partes cuando.@as diferenciales contienen producto@as diferenciales contiene funciones trigonomtricas inversas (arcos)D. Eeneralmente se considera$u, cuando son circulares inversas o logar"tmicasdv, cuando son algebraicas o circulares directas@a funcin dv debe ser fcilmente integrableen un mismo e'ercicio, a veces se tiene que integrar por partes ms de una ve*%e puede asumir$ {( )nUdVu fx du14243 { {n uU dVu e du{dVUarctg u du14243 {{lndVUu du {lnUdVu senu du142 43{uUdVe senu du142 43INTEGRACIN POR PARTESINTEGRACIN POR PARTES EFEG9@H%EFEG9@H%INTEGRACIN POR PARTESINTEGRACIN POR PARTES1.Si hacemosobtenemos:Aplicando la frmula de integracin por partes, resulta: Enocasioneselmtododeintegracinporpartesnoestandirecto comopodraparecerobservandoelejemploanterior,sinoque llegamos al resultado final despus de aplicar dos o ms veces dicho mtodo:I Lx dx dx dv Lx u # x v dxxdu # 11I Lx dx x Lx x dx x Lx dx x Lx x Kx + INTEGRACIN POR PARTESINTEGRACIN POR PARTES2.acemos el cambio%ustitu&endo en la frmula de integracin por partes nos queda$En la nueva integral que nos #a resultado, volvemos a aplicar el mtodo de partesI #acemos$& sustituimos ,2sen I x x dx 22 .cossendu x dxu xv xdv x dx ' ) ' 2 2 2sen cos cos (2 ) cos 2 cos x x dx x x x x dx x x x x dx + cos senu x du dxdv x dx v x ' ) ' 2 2 2sen cos 2 cos cos 2 .sen sen . x x dx x x x x dx x x x x x dx 1 + + 1 ] [ ]2 2cos 2 sen ( cos ) .cos 2 .sen 2cos x x x x x K x x x x x K + + + + +INTEGRACIN POR PARTESINTEGRACIN POR PARTES3.acemos el cambio%ustitu&endo $@aintegralquenosqueda,despusdeaplicarpartes,esdel mismotipoquelaquequeremoscalcular.Enconsecuencia, volvemos a aplicar el mismo procedimiento. En ella #acemos$ & sustituimos Jos #avuelto aquedar lamisma integraldel principio.Entonces, pasando al primer miembro nos queda$ ,sen( ) Lx dx ' )'x vdxxLx dudx dvLx u1) cos(

) sen( dx Lx Lx x dxxLx x Lx x dx Lx ) cos( ) sen( .1) cos( . ) sen( . ) sen(' )'x vdxxLx dudx dvLx u1) sen(

) cos(1sen( ) .sen( ) cos( ) .sen( ) .cos( ) .sen( ) Lx dx x Lx Lx dx x Lx x Lx x Lx dxx 1 1 ] .sen( ) .cos( ) sen( ). x Lx x Lx Lx dx [ ]12 sen( ) .sen( ) .cos( ) sen( ) .sen( ) .cos( )2Lx dx x Lx x Lx Lx dx x Lx x Lx K + INTEGRACIN POR PARTESINTEGRACIN POR PARTES4.acemos el cambio%ustitu&endo en la frmula de integracin por partes $,arcsen x dx ')'x vdxxdudx dvx u211arcsenK x x xKxx x dx x x x xdx x x x x dxxx x x dx x+ + + + + 221221221221 arcsen .21) 1 (21arcsen . . ) 1 .( 221arcsen .. ) 1 .( arcsen .11arcsen . . arcsen/. Calcula la integral$ (1 )1Ln xdxx++1. Calcula la integral$ 1" 21" 211xLn dxx+ _ ,:. Calcula la integral$ 2" 2

cos 2xdx3. Calcula la integral$ 2 21 2 x Ln x dx +;. Calcula la integral$ . (1 ) senx Ln senx dx +. Calcula la integral$ 2arcsen xdx5. Calcula la integral$ 2( ) x arctgx dx/?. Calcula la integral$ 1arcsen xdxx //. Calcula la integral$ 221 xarctgx dxx +/1. Calcula la integral$ ( )3" 221arctgxxedxx +/:. Calcula la integral$ 2 2(1 )xLnxdxx +/3. Calcula la integral$ 2ln (ln )xx exe dx 1+ ]/;. Calcula la integral$ 1xarc sen dxx _ + ,/