“PROBABILIDADES”

2012-I

OFICINA ACADEMICA DE INVESTIGACION

SESION 9

MÉTODOS ESTADÍSTICOS

Docente:JAIME ARMANDO PORRAS BRAVO

jporras@ucvlima.edu.pe

PROBABILIDADES¿Cuáles serían

los posibles resultados de ?

Duración de un equipo electrónico

Lanzamiento de una moneda

Lanzamiento de un dado

Cuál es la probabilidad de sacar al azar un As de una baraja de cartas?

Ya que hay 52 cartas en la baraja (resultados posibles), y 4 son Ases (resultados favorables o “éxitos”), la probabilidad es 4/52 = 0.0769.

El mismo principio puede aplicarse al problema de determinar la probabilidad de obtener diferentes totales de suma de un par de dados. Como se muestra, hay 36 resultados posibles cuando se lanza un par de dados.

EVENTO: Para calcular la probabilidad de que la suma de dos dados sea 5, se calcula el número de resultados que suman 5:

1,4; 2,3; 3,2; 4,1

Ya que son 4 “éxitos”, se procede a dividir entre el número total de resultados posibles (36).

Entonces, la PROBABILIDAD de que dos dados sumen 5 al ser lanzados simultáneamente es:

4/36 = 1/9 = 0.1111

CAPACIDADES:

Determina el espacio muestral y eventos en experimentos aleatorios.

Calcula probabilidades de eventos empleando propiedades y axiomas.

CONTENIDO:Probabilidad Básica. Espacio muestral. Probabilidad de un evento. Probabilidad condicional.

ACTIVIDADES

CONTENIDO

PROBABILIDADES

EXPERIMENTO: es cualquier ensayo u observación de un fenómeno.

EXPERIMENTO ALEATORIO( E): es un experimento en que los fenómenos pueden o no ocurrir.

EjemploE: el lanzamiento de una moneda o dado y se

observa lo que cae.CONDICIONES Y CARACTERISTICAS DE UN

EXPERIMENTO (E): 1. Por mas que se repita un experimento un

numero grande de veces las condiciones en que se realiza dicho experimento nunca cambian.

2. Aunque no se conoce el resultado exacto de un experimento si se puede conocer los resultados posibles.

3. En los primeros resultados de un experimento estos se van a manifestar de una manera caprichosa, pero a medida que va repitiendo el experimento un gran numero de veces estos resultados se van a manifestar mediante un modelo teórico, mediante el cual se construye un modelo matemático , con el cual se describe o analiza todo el experimento.

PROBABILIDADES

ESPACIO MUESTRAL: Conjunto de posibles resultados del experimento

INFINITO:

Jugar a la tinka hasta ganar

FINITO:

PROBABILIDADES

EXPERIMENTO ALEATORIO (E)

• Repetible en igualdad de condiciones.

• Se describe todos los resultados posibles.

• Si se repite n veces debe aparecer regularidad.

ESPACIO MUESTRAL (Ω)

• Conjunto de todos los posibles resultados de un E.

SUCESO O EVENTO (S)

• Subconjunto del Ω.

• Posibles• Seguros• Imposibles

Probabilidad

ESPACIO MUESTRAL(S):Es el conjunto de todos los resultados posibles

de un experimento. Para un experimento solo existe un espacio

muestral.Ejemplo:E: lanzamiento de un dado y observar el

numero que cae.S: 1,2,3,4,5,6 E: lanzamiento de tres monedas una sola vezS: ccc,ccs,csc,scc,ssc,scs,css,sssE: lanzar una moneda tres veces.S: ccc,ccs,csc,scc,ssc,scs,css,sss Nota. Si tienen espacios muestrales idénticos

se dice que los experimentos son idénticos.

E. Numero de tiradas de una moneda hasta que aparezca el primer sello.

S: 1,2,3,4,5,6,7,…… S, es infinito

E. Lanzar dos monedas una vez

S: cc, cs, sc, ss

TIPOS DE ESPACIO MUESTRALFINITO:

E: pesos de cierto numero de personas.

INFINITO:

E: los números naturales

SUCESO O EVENTO:

Es cualquier subconjunto del espacio muestral S.

Ejemplo: sean los experimentos

Experimento: lanzar una moneda 3 veces.

Espacio muestral S: S: ccc,ccs,csc,scc,ssc,scs,css,sss

Suceso o evento A: segunda tirada de la moneda cae cara

A: ccc,ccs,scc, scs

Ejemplo: 1.Experimento: se hace rodar un dado y

se observa el numero que aparece en la parte superior.

Espacio muestral: S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Evento A: A: obtener un numero par

A= 2, 4, 6 2.Experimento: arrojar una moneda

cuatro veces y contar el numero de total de sellos obtenidos

Espacio muestral: S = 0, 1, 2, 3, 4 Suceso o evento B: B : obtener mas de

dos sellos B = 3, 4

ALGEBRA DE CONJUNTOS

1. CONJUNTO: Colección de objetos bien definidos 2. CONJUNTO NULO O VACÍO:

Conjunto que no tiene elementos 3. CONJUNTO UNIVERSAL:

Conjunto que contiene todos los elementos del mismo tipo 4. COMPLEMENTO DE A (con respecto a ): AC

Conjunto de elementos que están en pero no en A. 5. UNIÓN DE A y B: A B

Es el conjunto de los elementos que están en A o B o ambos 6. INTERSECCIÓN DE A y B: A B

Es el conjunto de los elementos que están en A y B

Propiedades elementales de probabilidad1. Dado algún proceso con n resultados mutuamente

excluyentes, E1, E2, ..., En la probabilidad de cualquier evento Ei, es un número entre 0 y 1. Es decir:

0 P (Ei) 1

Un valor de 0 significa que el evento es imposible, no puede ocurrir

Un valor de 1 significa que el evento es seguro, definitivamente ocurrirá

2. La suma de las probabilidades de todos los resultados mutuamente excluyentes es igual a 1.

P (E1) + ... + P (En) = 1

Esta es la propiedad de exhaustividad.

PROBABILIDADES1. la teoría clásica

Definición:

La probabilidad de un evento es el número de resultados favorables (éxitos) dividido entre el número total de resultados posibles.

Esta definición de probabilidad está dada en términos de una Frecuencia Relativa (es decir, es una proporción).

NUMERO DE CASOS FAVORABLES AL EVENTO

P (E) = ---------------------------------------------------------

NUMERO DE CASO POSIBLES

Ejemplo1:se tiene el siguiente experimento aleatorioE: lanzamiento de dos monedas al aire.a) Calcule el espacio muestralb) plantee el evento A si sale solo una cara c) cual es la probabilidad de que salga una

caraEjemplo2: halle la probabilidad de sacar un REY al

extraer una carta de una baraja de 52 cartas.

Ejemplo3: Si se lanza una moneda tres veces. Calcular

la probabilidad que ocurran: a) solo dos caras b) dos caras consecutivas.

2. La teoría de la frecuencia relativa

fi hi = ---------

nComo: 0<= fi<= n

0<=fi/n<=1

0<=hi<=1

Ejemplo1:Se tiene información acerca de los cargos y el sexo

del personal de cierta empresa.

Cual es la probabilidad de que al seleccionar un trabajador, este sea:

a) Contador y sea hombre

b) Abogado y mujer

c) Mujer

d) Sabiendo que el trabajador es ingeniero, ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre?

e) Sabiendo que el trabajador sea mujer, ¿Cuál es la probabilidad de que sea abogado?

Sexo Abogado

Contador

Ingeniero

Total

Hombres

10 5 6

Mujeres 15 4 7

total

Ejemplo2:Localice todos los valores de probabilidad

asociados a la siguiente tabla que ofrece información sobre hipertensión y el habito de fumar.

Si se selecciona aleatoriamente uno de los pacientes, encuentre la probabilidad de que la persona sea:

a) Fumadora moderada. b) no hipertensa. c) no hipertensa ni fumadora. d) hipertensa y fumadora empedernida. e)sabiendo que el paciente no fuma ¿Cuál es la probabilidad de que sea hipertensa. f) sabiendo que el paciente es hipertenso ¿Cuál es la probabilidad de que sea fumador empedernido

No fumador

Fumadores moderados

Fumador empedernido

Hipertensos

10 20 15

No hipertensos

30 15 10

3. La teoría subjetiva

Se refiere a la posibilidad de que un evento particular ocurra, que es asignada por un individuo basándose en la información que tenga disponible y en su propia experiencia o presentimientos. Como ejemplo son las apuestas en eventos atléticos o deportivos o la estimación del futuro de una acción.

AXIOMAS DE PROBABILIDAD1. 0 <= P(Ai) <= 1 , AI : Eventos2. P(S) = 13. Si A1 excluye a A2 entonces A1 A2 = Ф

p( A1 A2) = P(A1) + P(A2)PROPIEDADES DE PROBABILIDADES1. P(A Ф) = P(A) probabilidad de una suceso

imposible es cero P(Ф) = 0.

2. P(AC ) = 1-P(A)

3. Si A y B son sucesos en S no necesariamente excluyentes entonces

P(A B) = P(A) + P(B) – P(AB)

Ejemplo:

Si se toma una sola carta de una baraja encuentre la probabilidad de que sea roja o figura( jota, reina y rey).

PROBABILIDAD DE LA ADICION DE SUCESOS

Si A y B son dos sucesos que se definen en el mismo espacio muestral y AUB diferente de 0, entonces la probabilidad que A ó B o ambos ocurran, es la suma de sus probabilidades menos la probabilidad de su ocurrencia conjunta.

P(A B) = P(A) + P(B) – P(AB)

Ejemplo: en una empresa comercial trabajan 8 hombres y 18 mujeres, de las cuales la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres han nacido en lima. Hallar la probabilidad de que un trabajador elegido al azar sea hombre o que haya nacido en lima.

PROBABILIDAD CONDICIONAL

5. propiedad:

sean A y B dos sucesos en S. indicaremos con P(B/A) la probabilidad condicional del suceso B, dado que A ha ocurrido, así:

P(A B)

P(B/A) = ------------- , 0 < P(A)<= 1

P(A)

Ejemplo1:

En una poblacion de pacientes hospitalizados, la probabilidad de que uno de ellos, elegidos aleatoriamente, tenga problemas cardiacos es de 0.35. la probabilidad de que un paciente sea fumador dado que sufre problemas cardiacos es de 0.86. ¿Cuál es la probabilidad de que el paciente elegido al azar de entre la poblacion sea fumador y tenga problemas cardiacos?

Ejemplo2:

Durante un estudio de accidentes automovilísticos, la PNP encontró que el 60% de los accidentes sucede de noche, 52% están relacionados con conductores alcohólicos y 37% se presentan de noche y con conductores ebrios. ¿ cual es la probabilidad de que un accidente este relacionado con un conductor alcoholizado dado que sucedió de noche?.

Ejemplo3:En un sistema de alarma, la probabilidad que se produzca un peligro es 0.10. si este se produce, la probabilidad que la alarma funcione es de 0.95, la probabilidad que funcione la alarma sin haber peligro es 0.03. determine la probabilidad que haya un peligro y la alarma no funcione.

Ejemplo4:En una universidad el 70% de los estudiantes son de ciencias y el 30% de letras; de los estudiantes de ciencias el 60% son varones y los de letras son varones el 40%, si se elige aleatoriamente un estudiante, calcular la probabilidad que:

a) Sea un estudiante varónb) Sea un estudiante varón, si es de ciencias.c) Sea un estudiante de ciencias, si es varón.d) Sea un estudiante de ciencias y varón

PROBABILIDAD DE EVENTOS INDEPENDIENTESDos eventos son independientes si el resultado de uno no afecta al otro.

1. Propiedad ley de la multiplicación.

P(A B) = P(A) . P(B) si y solo si A y B son eventos independientes. Con P(A) y P(B) diferentes de cero

2. P(B/A) = P(B)

3. P(A/B) = P(A)

Ejemplo1:

La probabilidad de que un comerciante venda dentro de un mes un lote de refrigeradoras es 1/4 y la probabilidad de vender un lote de cocinas dentro de un mes es de1/3. hallar la probabilidad de:

a)Venda los dos lotes de artículos dentro de un mes

b)Venda ninguno de los artículos dentro de un mes

c)Solamente venda el lote de refrigeradoras dentro de un mes

La probabilidad de que un hombre viva dentro de 25 años es 3/5 y la probabilidad de que su esposa viva dentro de 25 años es 2/3. halle la probabilidad de que :

a) Ambos vivan

b) Viva solamente el hombre

c) Viva solamente la mujer

Ejemplo2:Sean A y B dos eventos independientes, tales que la probabilidad que ocurran simultáneamente es de 1/6 y la probabilidad que ninguno ocurra es de 1/3. encuentre P(A) y P(B).

Introducción

Una de las herramientas de mayor uso en las empresas es la utilización de la curva normal para describir situaciones donde podemos recopilar datos. Esto nos permite tomar decisiones que vayan a la par con las metas y objetivos de la organización.

En este sesión se describe la relación de la Distribución normal con la Distribución normal estándar. Se utilizan ejemplos y ejercicios donde se enseña sobre la determinación de probabilidades y sus aplicaciones. La distribución normal fue reconocida por primera vez por el francés Abraham de Moivre (1667-1754). 

Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) realizó estudios más a fondo donde formula la ecuación de la curva conocida comúnmente, como la “Campana de Gauss". 

.

DISTRIBUCION NORMAL

Distribución Normal

CARACTERISTICAS DE LA DISTRIBUCION NORMAL

La curva de la distribución normal tiene forma de campana.

El área bajo la curva es igual a 1Es simétrica con respecto a la

media de la distribución. Es mesocrática Decrece uniformemente en

ambas direcciones

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD CONTINUA

INTRODUCCION:La distribución de una variable continua esta relacionado con el histograma y polígono de frecuencias, es decir esta relacionado con su forma. En este capitulo veremos la distribución de probabilidades, es decir el espacio de probabilidades de una variable.

DISTRIBUCION NORMAL DE PROBABILIDAD El modelo de probabilidad mas frecuentemente usado en el analisis económico y comercial, es la distribución normal que puede expresarse en forma general y estandarizada.

se dice que una variable x tiene una distribución normal general si es continua, si existen las constantes (-oo<<+oo) y σ (σ>0) y si su función de densidad es dada por la siguiente expresión.

X N (, ) y σ es la media y la desviación estándar de la variable normal, e = 2.718 π= 3.142.

Características:1. Es simétrica con respecto a la media de la

distribución. Si se corta la curva normal verticalmente en este valor central, ambas mitades serán como imágenes en el espejo.

2. El área total bajo la curva normal es igual a uno

3. La media, mediana y la moda son iguales y están localizados al centro de la curva.

2

4. La curva se extiende indefinidamente en ambas direcciones, nunca llega a tocar el eje x.

5. Cada distribución es especificada por su media y su desviación estándar

x N(, )AREAS BAJO LA CURVA6. Aproximadamente el 68% del área bajo la

curva normal esta entre la media mas una desviación estándar y menos una desviación estándar(+- σ)

7. Aproximadamente el 95% el área bajo la curva esta entre (+- 2σ).

8. Aproximadamente el 99% del área bajo la curva esta entre (+- 3σ).

2

1 2

2

1 z

Ejemplo1:En una poblacion la estatura media es 70pulg

y la desviación estándar es 3 pulg con distribución normal. Calcular:

a. Que porcentaje miden mas de 70pulg.b. Cual es la probabilidad que la estatura sea

mayor que 70 pulgc. Que probabilidad es que sea menor a 70

pulg.d. Que probabilidad es de que la estatura este

entre 70 y 76 pulg

DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAREs un caso particular de la distribución normal y que se obtiene mediante el cambio de variable.

x- Z= -------- , z N (0 , 1)

σ Y su función de densidad reducida es:

f(z) = , -oo< Z<+oo

Ejemplos1:

Calcular a) P( z < 1.25) b) P(z < 0) c) P( z > 2.43 )

d) P( 0 < z < 2.5) e) P( z > -1.25) f) P(-2.45 < z < -0.25)

Solución:

2

1 2

2

1 z

Ejemplo2:Cual es la probabilidad de que la estatura este entre 70 y 76 pulgadas (caso d) del ejemplo anterior).

Ejemplo3:Sea x una v.a. con distribución N( 5 , 4). Cuál es la probabilidad

a) de que x tome valores entre 4 y 7b) De que x tome valores mayores que 10.Ejemplo4:Sea x una v.a. N( , 25). Calcular P(Іx- І> 3)Ejemplo5:Si x es una v.a. N(650,625) hallar la constante

c>0 tal que P(Іx- 650І<= c) = 0.9544

INFERENCIA ESTADISTICA

Es el proceso por medio del cual se obtienen conclusiones probabilísticas en relación a una poblacion al valerse de la información proporcionada por una muestra de esa poblacion.

Inferencia Estadística

Estimación

Prueba de Hipótesis

Puntual

Por Intervalos

INFERENCIA ESTADISTICA

ESTIMACION DE PARAMETROSAquí estudiaremos la manera de estimar parámetros de la distribución de una variable aleatoria a partir de una muestra aleatoria de esta.Veremos dos formas de estimar parámetros:

I. puntualmente II. por intervalos

POBLACIÓN MUESTR

A

Parámetros

p

2

Estadísticos

p

s

xfX

ˆ

,,2

2Inferencia Estimación

xe

pp

s

X

ˆ

22

Técnicas de muestreo

ESTIMACIÓN

ESTIMACION

ESTIMACION PUNTUAL

INSESGADO

EFICIENTE

CONSISTENTE

SUFICIENTE

I. ESTIMACION PUNTUALEs un solo valor numérico que proporciona sus respectivos estimadores de punto que se calcula considerando los datos muestrales, es decir, se usan las medidas de la muestra para calcular un único valor numérico que es la estimación del parámetro poblacional.

Parametro Estimador puntual media

aritmética

varianza

proporción

n

xx

n

ii

1_

na

p

n

xxs

n

ii

1

)(1

_2

2

p

2

Sin embargo es necesario que cada estimador puntual cumpla con algunos requisitos deseables como ser:

INSESGADO.- Es decir, la media aritmética de todas las posibles estimaciones puntuales del estimador del parámetro que pueden obtenerse debe ser igual al parámetro de la poblacion.

CONSISTENTE.- nos indica que conforme se incrementa el tamaño de muestra la estimación puntual del estimador se acerca cada vez mas al parámetro de la poblacion.

EFICIENTE.- el estimador debe tener varianza mínima.

SUFICIENTE.- El estimador debe contener toda la información de la muestra.

Ejemplo1:Se tiene el interés de estimar el gasto promedio

mensual en movilidad del personal auxiliar de enfermería del hospital Cayetano Heredia. Para tal efecto se recurre a una muestra aleatoria de 15 auxiliares de enfermería y se obtiene los siguientes resultados:

100, 150, 200, 160, 180, 200, 120, 160, 180,

200, 180, 120, 170, 190, 180.

Solución:

u : gasto promedio mensual en movilidad de todas las auxiliares de enfermería(parametro poblacional).

: estimador puntual del parámetro

Calculando:

= 166; entonces podemos decir que el gasto promedio mensual en movilidad de todas las auxiliares de enfermería es de 166.

_

X

n

xx

n

ii

1_

Nota:Sin embargo, este valor no se considera estable porque si sacamos otras muestras del mismo tamaño se van a obtener resultados diferentes. Por consiguiente, la alternativa es construir un intervalo de tal manera que el parámetro se encuentre dentro de dicho intervalo con un grado de seguridad (nivel de confianza).

Ejemplo2:Se desea estimar la proporción de desnutridos

menores de 5 años de una determinada comunidad. Para tal efecto se selecciona una muestra de 100 niños menores de 5 años y se determina que 45 están desnutridos.

Solución:En este caso estamos interesados en estimar

una proporción poblacional.

A: numero de niños desnutridos <5 años en la poblacion.

N: numero de niños < 5 años en la poblacion.

El estimador que proporciona buenas estimaciones de este parámetro esta dada por

a : numero de niños desnutridos < 5 años en la muestran: tamaño de la muestra

Calculando: p = 45/100 = 0.45Este valor nos indica que la proporción

estimada de niños desnutridos <5 años en la comunidad es de 0.45

NA

P

na

p

II. ESTIMACION INTERVALICAConsiste en encontrar dos valores(con datos

muestrales) L1 y L2 que definen un intervalo y se espera con un cierto grado de seguridad que dicho intervalo contenga al parámetro poblacional.

L1 < u < L2

A. ESTIMACION INTERVALICA PARA LA MEDIA

POBLACIONAL (u)

L1: ; k: coeficiente de confiabilidad

L2 :

Entonces:

L1 < u < L2

_

_

XkX

_

_

XkX

_

_

XkX

a) CUANDO EL MUESTREO SE REALIZA A PARTIR DE UNA DISTRIBUCION NORMAL CON VARIANZA CONOCIDA.

; se sabe que

Entonces:

L1:

L2:

Por tanto el parámetro u estará entre: L1 < u < L2

_

21

_

XZX

nX

_

nZX

2

1

_

nZX

2

1

_

nZX

2

1

_

Notaciones: α : probabilidad 0< α < 1( 1- α) : coeficiente de confianza

Equivalencias:

( 1- α) α

0.90 0.10 1.65

0.95 0.05 1.96

0.99 0.01 2.58

21

Z

ejemplo1:Un fisioterapeuta desea estimar con 99% de

confianza, la media de fuerza máxima de un musculo particular en cierto grupo de individuos. Se inclina a suponer que los valores de dicha fuerza muestran una distribución aprox. normal con una varianza de 144. Una muestra de 15 individuos que participaron en el experimento presentó una media de 84.3

Solución:Interpretación de resultados:Practica: con el 99% de confiabilidad estará

la media poblacional entre L1 y L2.Probabilística: de 100% de los intervalos

que se han estimado el 99% de los intervalos contiene la media poblacional.

PRECISION - MARGEN DE ERROR - ERROR DE ESTIMACION. La precisión o el error de estimación se calcula mediante este algoritmo.

Ejemplo 2:Un equipo de investigadores esta interesado en la

puntualidad de los pacientes en las citas concertadas. En un estudio de flujo de pacientes en consultorios de médicos generales se encontró que una muestra de 35 pacientes llegaba 17.2 minutos tarde a las citas en promedio. Una investigación previa había demostrado que la desviación estandar era de 8 minutos aproximadamente. Se tuvo una sensación de la distribución de la poblacion no era normal. ¿cual es el intervalo con 90% de confianza para el promedio real de impuntualidad en las citas?

nZ

2

1

B.- CON VARIANZA DESCONOCIDA (σ NO SE CONOCE Y n >= 30)

s : estimador de la varianza σEntonces:L1:

L2:ejemplo 3:

Se pretende estimar la concentración media de bilirrubina indirecta en el suero en niños de cuatro días de nacidos. La media para una muestra de 49 niños es de 5.98 mg/100cc y una desviación estándar de 3.5mg/100cc. Construya los intervalos de confianza para 90%, 95% y 99%.

Solución:

n

sZX

21

_

n

sZX

21

_

n

sZX

21

_

C.- CON VARIANZA DESCONOCIDA y n < 30

Entonces:L1 : L2 : ;

donde sigue la distribución t-student con n-1 grados de libertad.

Ejemplo 4:

El diámetro final de un cable eléctrico blindado es distribuido normalmente. Una muestra de tamaño 20 produce una media 0.790 y una desviación típica muestral 0.010 . Encontrar el intervalo de confianza del 95% para μ.

Solución:

n

stX n 1

_

n

stX n 1

_

n

stX n 1

_

1nt

B. ESTIMACION INTERVALICA PARA UNA PROPORCION POBLACIONAL

L1 < P < L2

L1:

L2:

npp

Zp)1(

21

npp

Zp)1(

21

npp

Zp)1(

21

Ejemplo 5:Se desea estimar la proporción de niños desnutridos menores de 5 años de una determinada comunidad, para tal efecto se selecciona una muestra de 100 niños menores de 5 años y se determina que 45 están desnutridos. ¿Cuál es el intervalo de confianza del 95% para la proporción proporcional?

Solución:

Práctica dirigidaResolver los problemas propuestos

del “Manual de Estadística”

ActividadGrupos (máximo de 4

alumnos)