sesion 11 distribuciones muestrales ii
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DISTRIBUCIONES MUESTRALES
Juan Carlos Colonia
DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE
MEDIAS MUESTRALES
CASO 1: VARIANZAS POBLACIONALES
CONOCIDAS
Sean y las medias muestrales de dos muestras aleatorias de tamaños y extraídas de dos poblaciones independientes con medias y y varianzas y respectivamente; la diferencia de medias se distribuye:
Por tanto:
2 2
1 21 2 1 2
1 2
x x N ,n n
1 2 1 2
2 2
1 2
1 2
x xN 0 ,1
n n
1n 2n
1 22
12
2
1 2x x
1x2x
CASO 1: VARIANZAS POBLACIONALES
CONOCIDAS
Ejemplo:
Se tiene dos tipos de acero A y B. Suponga que para el acero tipo A que la resistencia esperada a la tensión es 105 Klb y la desviación estándar 8 Klb. Para el acero tipo B suponga que la resistencia esperada a la tensión y la desviación estándar son de 100 Klb y 6 Klb respectivamente. Sea la resistencia promedio a la tensión de una muestra aleatoria de 40 barras de acero tipo A y sea la resistencia promedio a la tensión de una muestra aleatoria de 35 barras de acero tipo B. Calcular la probabilidad de que la media muestral de la resistencia a la tensión del acero tipo A sea mayor en 10 Klb a la del acero tipo B.
x
y
CASO 1: VARIANZAS POBLACIONALES
CONOCIDAS
Solución:
: Resistencia a la tensión del acero A
: Resistencia a la tensión del acero B
: Resistencia promedio a la tensión del acero A
: Resistencia promedio a la tensión del acero B
x y N 5 , 2.6285
2
X X X105 y 64 y n 40
2
Y Y Y100 y 36 y n 35
P x y 7 P Z 1.2335 0.1087
x
y
X
Y
CASO 2: VARIANZAS POBLACIONALES
DESCONOCIDAS
Sean y dos muestras aleatorias
de tamaño y extraídas respectivamente de dos poblaciones
independientes y , cuando las dos varianzas
poblacionales son desconocidas la distribución de la media
muestral presenta tres situaciones:
Muestras grandes
Muestras pequeñas y varianzas poblacionales
desconocidas pero iguales
Muestras pequeñas y varianzas poblacionales
desconocidas pero diferentes
1n 2n
2
1 1N ,
11 21 n1X , X , ..., X12 22 n2X , X , ..., X
2
2 2N ,
1 2n n 30
1 2n n 30
1 2n n 30
CASO 2: MUESTRAS GRANDES
La diferencia de medias muestrales se distribuye:
Por tanto:
2 2
1 21 2 1 2
1 2
s sx x N ,
n n
1 2 1 2
2 2
1 2
1 2
x xN 0 ,1
s s
n n
1 2x x
1 2n n 30
CASO 2: MUESTRAS PEQUEÑAS
Y VARIANZAS DESCONOCIDAS PERO IGUALES
La diferencia de medias muestrales se distribuye:
: varianza pooled
1 2
1 2 1 2
n n 22 2
1 1 2 2
1 2 1 2
x xt
n 1 s n 1 s 1 1
n n 2 n n
1 2x x
1 2n n 30
2 2
1 1 2 22
p
1 2
n 1 s n 1 ss
n n 2
CASO 2: MUESTRAS PEQUEÑAS
Y VARIANZAS DESCONOCIDAS PERO IGUALES
Ejemplo:
Se realiza un estudio sobre la calidad del aire en dos zonas A y B. Un indicador de la calidad es el número de microgr. de partículas en suspensión por m3 de aire, que se supone siguen distribuciones Normales independientes de media 62.237 en A, 61.022 en B y varianzas iguales. En la zona A se realizan 12 mediciones, obteniéndose una varianza de 8.44 microgr2 y en la B 15 mediciones, con una varianza de 9.44 microgr2. Obtener la probabilidad de que la media muestral de A sea como mínimo tres unidades superior a la media muestral de B.
1 2n n 30
CASO 2: MUESTRAS PEQUEÑAS
Y VARIANZAS DESCONOCIDAS PERO IGUALES
Solución:
1 2n n 30
2
A A A62.237 y n 12 y s 8.44
2
B B B61.022 y n 15 y s 9.44
A B 25P x x 3 P t 1.708 0.05
2 2
1 1 2 22
p
1 2
n 1 s n 1 ss 9
n n 2
CASO 2: MUESTRAS PEQUEÑAS
Y VARIANZAS DESCONOCIDAS PERO DIFERENTES
La diferencia de medias muestrales se distribuye:
Donde los grados de libertad esta dado por:
1 2 1 2
g2 2
1 2
1 2
x xt
s s
n n
1 2x x
22 2
1 2
1 2
2 22 2
1 2
1 1 2 2
s s
n ng
s 1 s 1
n n 1 n n 1
1 2n n 30
g
DISTRIBUCIÓN DEL COCIENTE DE
VARIANZAS MUESTRALES
DISTRIBUCIÓN DEL COCIENTE DE VARIANZAS
MUESTRALES
Sean y dos muestras
aleatorias de tamaño y extraídas de dos
poblaciones independientes y , la
distribución de cociente de varianzas tiene
distribución:
1n 2n
2
1 1N ,
11 21 n1X , X , ..., X12 22 n2X , X , ..., X
2
2 2N ,
1 2
2 21 1 1
1 2 22 2
1 21 1
2 n 1, n 12 22 2 2 1
2 22
22
n 1 s sn 1
sF
n 1 s sn 1
DISTRIBUCIÓN DEL COCIENTE DE VARIANZAS
MUESTRALES
Ejemplo:
Se está comparando la variabilidad de dos procesos
de producción: A y B, los dos procesos siguen
distribuciones Normales. Se realizan 16 mediciones
del proceso A y se obtiene una varianza de 9.52, y
18 mediciones proceso B y se obtiene una varianza
de 7. ¿Cuál es la probabilidad de que la varianza del
proceso B sea como mínimo el doble de la varianza
del proceso A?
DISTRIBUCIÓN DEL COCIENTE DE VARIANZAS
MUESTRALES
Solución:
2
A An 16 y s 9.52
2
B Bn 18 y s 7.00
2 2 2
2 2 B A BB A 2 2 2
A B A
s 9.52P 2 P 2 P 2
s 7.00
2 2
B A 15 ,17P 2 P F 2.72 0.025
DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE
PROPORCIONES MUESTRALES
DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE
PROPORCIONES
Sean y las proporciones muestrales de dos muestras aleatorias de tamaños y extraídas de dos poblaciones independientes con proporciones poblacionales respectivas y ; la distribución de la diferencia de proporciones esta dada por:
Por tanto:
1n 2n
1 2
1p2p
1 2p p
1 1 2 2
1 2 1 2
1 2
1 1p p N ,
n n
1 2 1 2
1 1 2 2
1 2
p pN 0 ,1
1 1
n n
DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE
PROPORCIONES
Ejemplo:
Dos máquinas A y B, producen un mismo artículo. La máquina A produce como término medio una proporción de 14% de artículos defectuosos, mientras que la máquina B, produce en término medio una proporción de 20% de artículos defectuosos. Si se obtiene una muestra aleatoria de 200 unidades del artículo que provengan de la máquina A y una muestra aleatoria de 100 unidades provenientes de la máquina B, calcular la probabilidad de que B tenga una proporción de defectuosos 8% o más que A.
DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE
PROPORCIONES
Solución:
A A0.14 y n 200
B B0.20 y n 100
B AP p p 0.08 P Z 0.43 1 P Z 0.43
B AP p p 0.08 0.3336