Departamento de Matemáticas I.E.S. Juan García Valdemora

4ºA E.S.O. Febrero de 2012 2ª Evaluación

RESUMEN POLINOMIOS

Monomio: conjunto de números (incluidas fracciones) y letras multiplicadas entre sí.

Ejemplos: 22 cba ⋅⋅⋅ 272210 tzyx ⋅⋅⋅⋅− 45

9

2yx ⋅⋅−

Coeficiente del monomio: 2 10− 9

2−

Parte literal del monomio: 2cba ⋅⋅ 2722 tzyx ⋅⋅⋅ 45 yx ⋅

Grado del monomio: número de factores que tiene su parte literal. 4 13 9

Polinomio: suma de dos o más monomios. Ejemplo: 4527222

9

2102 yxtzyxcba ⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅

OPERACIONES BÁSICAS CON POLINOMIOS Suma: solamente se pueden sumar monomios semejantes (con la misma parte literal). El resultado de la suma es otro monomio cuya parte literal no varía, y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes de los monomios (estamos sacando factor común en realidad). Ejemplos de sumas de monomios: xxx 862 =+ 222 275 xxx =+− ( ) 555 972 xxx −=−+−

Ejemplo de suma de polinomios: ( ) 5264 23 −−+= xxxxR , ( ) 1274 35 −−+−= xxxxS

( ) ( ) ( ) ( ) 6467412745264 3353523 −−++−=−−+−+−−+=+ xxxxxxxxxxxSxR Resta: mismas reglas que para la suma. Ejemplos de restas de monomios: xxx 462 −=− ( ) 222 1275 xxx −=−− ( ) 555 572 xxx =−−−

Ejemplo de resta de polinomios: ( ) 5264 23 −−+= xxxxR , ( ) 1274 35 −−+−= xxxxS

( ) ( ) ( ) ( ) 463412745264 3353523 −+−=−−+−−−−+=− xxxxxxxxxxSxR Multiplicación : aplicamos la propiedad distributiva, debemos multiplicar todos los monomios del primer polinomio por todos los monomios del segundo polinomio, y finalmente sumar. Ejemplo de producto de polinomios: ( ) 526 2 −−= xxxP , ( ) 52 −= xxQ

( ) ( ) ( ) ( ) 2534122510104301252526 232232 +−=+−+−−=−⋅−−=⋅ xxxxxxxxxxxQxP División: se parece mucho a la división de números de varias cifras. Ejemplo de división de polinomios: ( ) 536 2 −−= xxxP , ( ) 52 −= xxQ

( ) ( ) =÷ xQxP 52536 2 −−− xxx

63156 2 +−− xxx 512 −+ x

3012 −− x Cociente: ( ) 63 += xxC 250 + Resto: ( ) 25=xR

Regla de Ruffini para la división de polinomios: cuando el divisor sea de la forma ax − , por ejemplo 6+x , 4−x . En el primer caso 6−=a y en el segundo caso 4=a .

Ejemplo de división mediante la regla de Ruffini: ( ) 5264 23 −−+= xxxxP , ( ) 2−= xxT .

( ) ( ) =÷ xTxP

4726144

52288

5264

2 ↓−−

Cociente: ( ) 26144 2 ++= xxxC Resto: ( ) 47=xR

RAÍCES DE UN POLINOMIO Valores de la variable x para los que, al sustituirla, el polinomio vale cero. Se calculan resolviendo la ecuación que resulta de igualar el polinomio a cero. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Conversión de sumas en productos, convertimos un polinomio de grado grande en producto de dos o más polinomios de menor grado. Método 1: SACAR FACTOR COMÚN Podremos sacar factor común cuando tengamos varios sumandos (en este caso varios monomios sumados o restados), que compartan algún factor entre ellos. Sacar factor común es aplicar la propiedad distributiva en sentido inverso, para comprobar si hemos sacado bien factor común, deshacemos el paréntesis y verificamos. Ejemplo de factorización sacando factor común: ( )6231863 223 −+⋅=−+ xxxxxx Método 2: IDENTIDADES NOTABLES Las tres identidades notables que vamos a utilizar son:

- Cuadrado de una suma: por ejemplo ( ) 1684 22 ++=+ xxx

- Cuadrado de una resta: por ejemplo ( ) 25105 22 +−=− xxx

- Suma por diferencia: por ejemplo ( ) ( ) 933 2 −=−⋅+ xxx Ejemplos de factorización mediante identidades notables:

( )22 1010020 +=++ xxx ( )22 98118 −=+− xxx ( ) ( )66362 −⋅+=− xxx Método 3: DIVISIÓN MEDIANTE LA REGLA DE RUFFINI Utilizaremos la regla de Ruffini para buscar divisiones exactas, de modo que podamos expresar dividendo como divisor por cociente (la prueba de la división). Los candidatos son los divisores del término independiente del polinomio que tenemos que factorizar. Ejemplo de factorización mediante la regla de Ruffini: 452 +− xx Los candidatos son los divisores de 4, es decir, +1 –1 +2 –2 +4 –4. Probamos hasta que encontremos el primer resto cero. En este caso, ocurre a la primera.

041

41

451

1

−

−↓−

La prueba de la división nos factoriza el polinomio: ( ) ( )41452 −⋅−=+− xxxx Método 4: CÁLCULO DE LAS RAÍCES En la factorización de un polinomio aparecen, precisamente, sus raíces. Si conseguimos encontrar las raíces, inmediatamente lo podemos factorizar. Ejemplo de factorización mediante el cálculo de las raíces: 452 +− xx Calculamos las raíces, igualando a cero y resolviendo la ecuación de segundo grado. En este caso, las raíces son 11 =x y 42 =x . Inmediatamente podemos escribir ( ) ( )41452 −⋅−=+− xxxx