resumen libro de trabajo i.. ok

EJEMPLOS

Si a un número se le suman 14 y el resultado se divide entre 5 obtiene 6 ¿Cuál es el número?Se deben realizar las operaciones inversas a partir del resultado para obtener el número que se pide:

(6)(5) – 14 = 30 – 14 = 16

La diferencia de dos números es 43. Si el mayor de ellos es 62 ¿Cuál es le producto de los números?De acuerdo con el problema tenemos:

62 – (No. Menor) = 43Para conocer el valor de No. Menor, debemos despejarlo a fin de que quede “solo” de algún lado de la ecuación

– (No. Menor) = 43 – 62

Acomodando la ecuación para que el No. Menor quede positivos tendríamos

(No. Menor) = 62 – 43 (No. Menor) = 19

Por lo tanto el producto de los números será:(62)(19) = 1 178

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Una bolsa de dulces cuesta $35.48 ¿Cuánto cuestan 12 bolsas?

Una botella tiene 1.45litros y la otra 0.85litros ¿Cuántos litros hay entre las dos?

¿Cuánto pagaré por dos pantalones y una camisa si cada pantalón cuesta $299.00 y cada camisa $159.60

Un padre tenía 29 años al nacer su hijo. ¿Cuál será la edad del hijo cuando el padre cumpla 68 años?

Una persona compra 5Kg de manteca la cual cuesta $18.50 el Kg, ¿Cuánto le devolverán si entrega un billete de $200.00?

Un contratista ocupa a 28 obreros de los cuales 9 ganan $120 a la jornada, 12 reciben $80 y los demás $55, ¿Qué cantidad necesita para pagarles 12 días de trabajo?

Un comerciante compra 45 docenas de platos al precio de $22 la docena; rompe 10 platos y vende los restantes a $2.20 cada uno ¿Cuál fue su ganancia?

OPERACIONES CON PARENTESIS DE NUMEROS ENTEROSEJEMPLOS

8(3+2-1+13-6)1º METODO.- SUMAR Y/O RESTAR LO QUE ESTA ENCERRADO DENTRO DEL PARENTESIS.

8(5-1+13-6)=8(4+13-6)=

8(17-6)=8(11)= 88

2º METODO.- MULTIPLICAR EL NÚMERO AFUERA DEL PARENTESIS POR CADA UNA DE LOS ELEMENTOS DENTRO DEL PARENTESIS.

8(3+2-1+13-6)24+16-8+104-48

40-8+104-4832+104-48

136-48 = 88

((21-34)(18-4+3-6+12)÷ (3+4-2+1)=((-13)(23))÷ 6- 299/6

(-6+2)-(4+5)-(7-8)=(-4)-(9)-(-1)=-4-9+1= -12

((10-14+4)(4-6-5+1))/ (10+9-18) =

0/1= DIVISIÓN NO DEFINIDA

EJERCICIOS DE APLICACIÓN28+(5-4)-13=

((32-18+14)-(24-13+2-1))(4)=

((10-14+4)(4-6-5+1))/(10+9-18) =

42(10-5+3)+8(5-3+2)(4-2²)=

(16-24+32)(2-6+3-1)+(2x3)²=

((5)(4)(6))-(3+10-5)-(24(2(5))=

(8+3²-9+4²)=

(24-12+3)(8(4))-3(2(1))=

RAZONES Y PROPORCIONES

EJEMPLOSUn automóvil viaja a 200Km por hora y una avioneta comercial a 1000 km por hora. Si ambos tienen una rapidez constante ¿Cuántas veces es más rápido el avión que el automóvil?Como las unidades de las velocidades son iguales, entonces se establece la razón para determinar cuántas veces es más rápido la avioneta al automóvil.

En horas normas, la Oruga en la Ciudad de León, Gto., viaja a una velocidad de 70 Km/h y una motocicleta recorre 150 metros en 5 segundos. Si ambas tienen un rapidez constante, ¿Cuántas veces es más rápido la motocicleta que la Oruga?Primero debemos transformar las velocidades a la misma unidad, entonces:Para la Oruga

Para la motocicleta

Entonces , las veces que la motocicleta es más rápida que la oruga es :

PROPORCION Ejemplos

Susy compró 15 Paletas por 60 pesos, ¿cuánto le costarán a Miguel 25 paletas? Si por 15 paletas pagamos 60 pesos por 25 paletas pagaremos x pesos. La relación de proporción que se plantea será entonces:

Para resolver multiplicamos "en cruz"

Y tenemos que (25) (60) = 1500 (producto) entre 15 = 100 pesos

lo que Indica que 25 paletas costarán $100 pesos

El valor de A varia en proporción directa con B, entonces, cuando A = 12, B = 36 ¿Cuál será el valor de A si B = 21?Se establece la proporción directa: 12 es a 36 como A es a 21, la cual se resuelve:

Sabemos que una hora tiene 60 minutos, un minuto tiene 60 segundos por lo tanto, ¿Cuántos minutos hay en 7 horas?

1 hora - 60min 7 Hrs - x X = la cantidad de minutos

(7 horas)(60 min.) X = = 420 min. 7 horas equivalen a 420 minutos

1 hora 2

También utilizamos la regla de tres para conversiones de diferentes monedas, o de unidades de medida, longitud, etc.

Por ejemplo:

Si el dólar está a la compra en $ 11. 45 pesos y una persona quiere cambiar $ 245.23 dólares a pesos, ¿Cuánto le deben de dar en la casa de cambio?

1 dólar - 11.45 pesos 245.23 dólares - X

X = cantidad en pesos

(245.23)(11.45) X = = $2, 807.8835 Pesos 1Un tinaco es llenado por dos mangueras, la primera lo llena en 1h y la segunda tarda media hora. ¿Cuánto tiempo tardarán ambas mangueras en llenar el tinaco si este se encuentra totalmente vacío?

La primer manguera tarda una hora (60min) en llenar el tinaco y la segunda ½ hora (30min), entonces:

Este resultado indica que las dos mangueras llenan 3 tinacos de 60 en un minuto, por lo tanto simplificando tendríamos

Por lo tanto, un tinaco es llenado por las dos mangueras en 20 min

PROPORCIÓN INVERSA O REGLA DE TRES INVERSAEJEMPLOSDos camiones de carga transportan papelería de una ciudad a otra en 6 dias,¿Cuántos días se tardan en transportar el mismo producto 3 camionetas?

Entre más camionetas se utilicen para trasportar la papelería, el número de días es menor, por lo tanto, se trata de una proporción inversa

Número de camionetas Días

2 6

3 X

Lo cual se lee; 2 es a 6 como 3 es a x:

Si se tienen 40 bolsas de chocolates de 150g, con la misma cantidad se desea obtener bolsas de 250g ¿Cuántas bolsas se obtendrán?La proporción es inversa, ya que aumentan los gramos, pero el número de bolsas que se obtiene disminuye, por lo que la proporción se establece de la siguiente manera

Número de Bolsas Días

40 150

X 250

Lo cual se lee; 40 es a 150 como x es a 250, entonces

EJERCICIOS DE APLICACIÓNEmanuel corre 0.5m en un segundo y una Manuel en su bicicleta recorre 50km en una hora, ambos con una velocidad constante, ¿Cuántas veces es Manuel más rápido en su bicicleta que Emanuel corriendo?

El valor A varía en proporción directa con el de B; cuando A = 25, B = 100 ¿Cuál será el valor de A si B = 280?

Si 8 estudiantes pueden terminar un trabajo de jardinería en 6 horas, ¿Cuántos estudiantes más se necesitan para concluir en 4 horas?

Un estanque es llenado por dos llaves, la primera lo llena en 6 h y la segunda lo llena en 4 h ¿Cuántas veces es más rápida la primera que la segunda?

Un automóvil viaja a 60 Km/h y un avión viaja a 40 km/h. Si ambos tienen una rapidez constante ¿Cuántas veces es más rápido el avión al automóvil?

TANTO POR CIENTOUna tienda tiene el 35% de descuento en el departamento de Salchichóneria, 30% en el departamento de Lácteos, 25% en el departamento de Línea blanca y el 50% en Zapatería, Si vas al supermercado y compras, $17.50 de salchichas, $16 de jamón, una lavadora de $3,599, 3 litros de leche y dos quesos de $24 y $17.50 respectivamente, y dos pares de zapatos de $ 135, y $ 405 respectivamente

a) ¿Cuánto es lo que pagarías sin los descuentos? b) ¿Cuánto pagaste por departamento tomando en cuenta los descuentos ofrecidos?c) ¿Cuánto es el total a pagar?

a) SALCHICHONERIA LACTEOS LINEA BLANCA ZAPATERIASalchichas $ 17.50 Leche 3x 9 = $ 27.00 Lavadora $ 3, 599.00 Zapatos $ 135 Jamón $ 16.00 Quesos $ 24.00 Zapatos $ 405 $ 17.50 TOTAL $ 33.50 TOTAL $68.50 TOTAL $ 3,599.00 TOTAL $ 540b) COSTOS POR DEPARTAMENTOc) SALCHICHONERIA $ 33.50 con descuento del 35%

Aplicamos una regla de tres de la siguiente manera:

33.50 - 100% $ 33.50 equivale al costo real, es decir al 100% X - 35% X = es el descuento

($ 33.50)(35 %) X = = $11.725 Cantidad a descontar al precio real 100% El total a pagar en SALCHICHONERIA será $33.50 - $11.725 = $ 21.775

LACTEOS $ 68.50 con el 30% de descuento68.50 - 100% $ 68.50 equivale al costo real, es decir al 100% X - 30% X = es el descuento

($ 68.50)(30 %) X = = $ 20.55 Cantidad a descontar al precio real 100% El total a pagar en LACTEOS será $68.50 - $20.55 = $ 47.95

LINEA BLANCA $3, 599.00 con un descuento del 25%3 599 - 100% $ 3, 599 equivale al costo real, es decir al 100% X - 25% X = es el descuento

($ 3599)(25 %) X = = $ 899.75 Cantidad a descontar al precio real 100%

El total a pagar en LINEA BLANCA será $3, 599.00 - $899.75 = $ 2, 699.25

ZAPATERIA $ 540 con el 50% de descuento 540 - 100% $ 540 equivale al costo real, es decir al 100% X - 50% X = es el descuento

($ 540)(50 %) X = = $ 270 Cantidad a descontar al precio real 100%

El total a pagar en LACTEOS será $540 - $270 = $ 270.00d) COSTO TOTALSALCHICHONERIA $ 21.775LACTEOS $ 47.95LINEA BLANCA $ 2, 699.25ZAPATERIA $ 270.00 TOTAL A PAGAR $ 3, 038.975

Deseas pagar con tarjeta de crédito y la cajera te informa que se aumentará un 5% ¿Cual es el gasto total?

3, 038.975 - 100% $3, 038.975 equivale al costo real, es decir al 100% X - 5% X = es el descuento (3, 038.975)(5 %) X = = $ 151.9475 cantidad que se aumenta al precio real 100% El total a pagar será $3, 038.975 - $151.9475 = $ 3, 190.92375

Al vender un teléfono celular de $ 5, 500.00 se tiene una ganancia de 16% de su costo. ¿Cuál es el costo del teléfono celular?El costo de la computadora es 100%, al momento de venderla se le gana 16%, entonces los $ 5, 500 representan el 116%, por lo que es necesario utilizar una regla de tres.

EJERCICIOS DE APLICACIÓNEn un examen de matemáticas hay 50 alumnos, el 70% son varones ¿Cuál es el número de mujeres?

Miguel vendió su automóvil en $ 32, 200 ganando el 15% de lo que le había costado. ¿En cuánto compró el automóvil Miguel?

Don Héctor compro un motor en $ 15, 000. Si este tenía un 20% de descuento incluido y Don Héctor quiere poner a la venta el motor pero con el precio original, ¿A qué precio lo debe de dar?

En un grupo de 40 trabajadores el 60% son mujeres, la mitad de los hombres y la tercera parte de las mujeres se inscriben al seguro popular ¿Cuántos tendrán seguro popular?

Un alumno está contestando un examen de 20 preguntas, hasta el momento lleva contestado 10, de los cuales 4 son respuestas erróneas; si le faltan por contesta 6 preguntas y las contesta correctamente ¿Cuál será el porcentaje del examen que contesto correctamente?

FRACCIONESLOCALIZACIÓN DE LAS FRACCIONES COMUNES EN LA RECTA NÚMERICAEJEMPLOUbica en la recta númerica la fracción 2/5Solución por el método 1: Cada entero se divide en 5 partes iguales de las cuales se toman 2

Solución por el método 2: Se expresa la fracción en su forma decimal, realizando la división 0.4

5 2.0 0El resultado (0.4) se ubican en la recta numérica

OPERACIONES CON FRACCIONESEJEMPLOS

((3/4+2/3–5/2) + (1/2-2/4-1/10+3/2)=

MCD4 3 2 2 2 4 10 2 22 3 1 2 1 2 5 1 21 1 1 3 1 1 5 1 5

1 1 1 1

2X2X3 = 12 2X2X5 = 20 3(3)+2(4)-5(6) + 1(10)-2(5)-1(2)+3(10)

12 20

9+8-30 + 10-10-2+30 = 28/20= 7/5 12 20

(-13/12)+(7/5)= -13(5)+7(12)= 65+84 = 19/6060 60

12 5 12 12x5= 60 1 5 51 1

((18+2/4-3/2+1/4)(2/3-3/4+8/3-4))-3/4= mcd 4 mcd 12

18(4)+2(1)-3(2)+1(1) = 72+2-6+1 = 69/4 4 4

2(4)-3(3)+8(4)-4(12) = 8-9+32-48 = -17/12

13 12

(69/4)(-17/12)-(3/4) =(69)(-17)/(4)(12)-(3/4)=(-1173/48)-(3/4) =

mcd 48 (-1173)-(3)(12) = 48

(-1209/48)= -403/16

(-7/8)(-3)(-1/9)÷(-5/7)(-1/2)(-2/3)

(-7)(-3)(-1) (-5)(-1)(-2) ÷(8)(-1)(9) (7)(2)(3)

- 21 -10 882 ÷ =

72 42 72073

-21 72 -882 441 = = -10 -720 360 42

(12/3)÷(2/5)+ (1/8) ÷(9/4)+(-1/4)÷ (-5/6)=12/3÷2/5= ((12)(5))/((3)(2))= 60/6 = 101/8÷9/4= ((1)(4))/((8)(9))= 4/72 = 1/18

-1/4÷-5/6= ((-1)(6))/((4)(-5)) = -6/-20 =3/10

10 + (1/18) + (3/10) =

MCD = 180

10(180) + 1(10) +3(18) 1800 + 10 + 54 1864 466 = = = 180 180 180 45

Carlos acumulo harina de la siguiente manera durante una semana, un 1 ½ Kg. Lunes, 3 4/ 5 martes, 2/4kg miércoles, 2 2/3 jueves y 3 1/5Kg viernes. Pero utilizó para hornear el pan lo siguiente;5 3/2kg Sábado y 7/9Kg el domingo. ¿Cuánta harina le sobro?

Acumulo1 ½ + 3 4/5 + 2/4 + 2 2/3 + 5 3/2 = 3/2 + 19/5 +2/4 + 8/3 +16/5 = 35/3 = 11 2/3Utilizo5 3/2 + 7 / 9 = 13/2 + 7/9 = 131/18 = 7 5/18La harina que le sobro, después de preparar el pan fue35/3 – 131/8 = 4 7/18 Bultos

De un contenedor de agua de 608 litros, Yolanda utiliza los 3/32 del liquido diario para sus deberes en le hogar.¿Cuántos litros quedarán en el contenedor después de 8 días?Se determinan los litros que Yolanda utiliza diario, esto es, los 3/32 de 608 es:

Lucia tiene cierta cantidad de dinero, del cual reparte 3/8 a su primo y los 2/5 a su hermana. ¿Qué parte del dinero le queda?La cantidad de dinero que tiene Lucia se representa como la unidad, por lo tanto:

Le quedan 9/40 del total del dinero


(4/3)+(-2/3)-(-1/3)+(4/6) =

((5/4)(2/3)÷(1/4))-((2/9)-(2/4)+(1/2))=

((20/40)-(3/2)-(1/2)+(4/9))÷((1/2)(2/5)) =

((1/4)²-(2/9)+(3/4)³)=

((4/9 + 3/4 - 1/2)- (3/6 – 3/5 +2)) – (1/2) =

EJERCICIOS DE APLICACIÓNSi de un colegio con 3600 alumnos, las 5/6 partes de los alumnos tomaron como deporte la natación ¿Cuántos alumnos realizan este deporte?

La fracción 4/3 entre qué puntos de la siguiente recta se encuentra localizada:

La mamá de Miguel le dejo la lista del supermercado con el siguiente pedido:¾ de chile verde , 2 ½ de aguacate, 5 ¾ de jitomate, 4 Kg. de limón, dejándole un billete de $200 y uno de $50, ¿Cuánto debe regresarle a su mamá, si al llegar a los puestos ve los siguientes precios por Kg. ?CHILE VERDE $ 35.50 AGUACATE $ 42.50 JITOMATE $ 12.50LIMÓN $ 2.99

Denise bebe por día 5/6 de litro de agua ¿Qué cantidad de agua bebe en un mes de 30 días?

René vende bolsas de dulces de ¾ Kg, Si el Kg de dulces lo vende a $ 12, ¿Cuál es el precio de la bolsa de dulces?

El Señor Carreón deja una herencia monetaria para toda su familia, la cual pidió se repartiera de la siguiente manera: los 2/3 del total será para su esposa, y el resto será repartido en partes iguales para sus 4 hijos.a) ¿Qué parte le corresponde a cada hijo?b) Si la herencia fue de $628,500.00 ¿Cuál es la cantidad que recibirá cada

quien?

ALGEBRA

OPERACIONES BASICAS ALGEBRAICAS EJEMPLOS

4bz+5ab+8zb-5b+4ab-3zb-2ab+3zb-10b =

4bz + 5ab – 5b+8zb - 2ab – 10b-3zb + 4ab+3zb

12bz +7ab – 15b

12bc-18ab+14wz-2wz-10ba+4bc-12wz+5ab-2ba-3cb-zw =

12bc – 18ab + 14wz + 4bc – 10ab - 2wz

+ 5ab – 12wz - 3bc - 2ab - wz

13bc – 25ab –wz = El resultado se expresa en orden alfabético y se multiplica por (-1) para hacer positivo el 1º termino

25ab - 13bc + wz


6dec+abd-5ab+dec-8adb-13ab-8dec+15abd-ab=

4cde-81ab+3ab-3abc-cde+10cde-8dce+4ab-3ab+8a-2abc=

5wz-4zw+2yz-4yz+8z+zy-5z+4z-4yz=

3a+4ab+2ba-3ab+a-3ab-c+cd-3c=

18-32+45a-16b+34ab-32z+x-3y-42+1=

2x² + 3x³ + 8x² + 9x³ + x - 6x² + 10x³ - 6x =

Multiplicación de expresiones algebraicasEJEMPLOS

x²- 4x + 5 x³+5x²-3x-9 x – 3 2x-3

x³ - 4x²+ 5x 2x4 +10x³-6x²- 18x - 3x²+12x -15 -3x³-15x²+ 9x +27x³-7x²+ 17x -15 2x4+7x³-21x²-9x+27


3a5-6a³+2a²-3a+2 por a4-3a²+4a-5

8x³-12x²y-6xy²+y³ por 3x²-2xy+4y²

x4- x³y + x²y² - xy³ + 4 por x + y

8x³-9y³+6xy²-12x²y por 2x+3y

División de dos monomios.

La comprobación en la división algebraica es igual que en la aritmética, se multiplica el divisor por

el cociente y al resultado se le suma el residuo, dándonos el dividendo

3x²y – 3xy + 5 Comprobación 2xy 6x3y² – 6x2y2 + 10xy 3x²y – 3xy + 5 -6x³y² 2xy - 6x²y² 6x3y² – 6x2y2 + 10xy + 6x²y²

+ 10xy- 10xy

0

EJEMPLOS8b4-2b³z+b²z²+2bz³ entre 2b²-bz+z² 4b²+bz-z² comprobación

2b²-bz+z² 8b4-2b³z+b²z²+2bz³ 2b²-bz+z² -8b 4 +4b³z-4b²z² 4b²+bz-z² 2b³z-3b²z²+2bz³ 8b4-4b³z+4b²z² -2b³z+ b²z²- bz³ +2b³z- b²z²+bz³ -2b²z²+ bz³ -2b²z²+bz³-z 4 +2b²z²- bz³+z 4 8b4-2b³z+ b²z²+2bz³-z4 z4 +z 4 8b4-2b³z+ b²z²+2bz³

a² -2a-1 comprobación

2a+3 2a³-a²-8a-2 -2a³-3a² a²-2a-1 -4a²-8a-2 2a+3 4a²+6a 2a³-4a²-2a -2a-2 3a²-6a-3 2a+3 2a³-a²-8a-3 1 +1 2a³-a²- 8a- 2

EJERCICIOS DE APLICACIÓN(CON COMPROBACIÓN)

4x8- 32x6- 6x4 + 38x2 + 80 entre x²- 8

X6- 2x4y² + 2x³y³ - 2x²y4 + 3xy5 - 2y6 entre x² - 2y² + xy

15m5 - 5m4n - 9m³n² + 3m²n³ + 3n4 - n5 entre 3m - n

a5b - 5a4b² + 22a²b4 - 40ab5 entre a²b - 2ab² - 10b³

a6 - a5b - 4a4b² + 6a³b³ - 3ab5 + b6 entre a²- 2ab + b²

2x³ + x² - 4x²y - 2xy + 10xy² + 5y² entre x² - 2xy + 5y²

OPERACIONES ALGEBRAICAS CON PARENTESISEJEMPLOS

2x³(y-(4x²-3-(x³+5y)-6)+3y²-6y =2x³+(y-(4x²-3-x³-5y-6)+3y²-6y2x³+y-4x²+3+x³+5y+6+3y²-6y2x³+x³-4x²+3y²+5y-6y+y+3+63x³-4x²+3y²+9

3x³y(2x(3+(8x)²)+21xy²)+12x³y+10x(2x²y-3)=3x³y(2x(3+64x²)+21xy²)+12x³y+20x³y-30x3x³y(6x+128x³+21xy²)+12x³y+20x³y-30x18x4y+384x6y+63x4y³+12x³y+20x³y-30xOrdenando384x6y+63x4y³+18x4y+12x³y+20x³y-30x

384x6y+63x4y³+18x4y+32x³y-30x

2x²z+y³z(2x+y²)-z(3x²+y5)-(8x)²-(3x(20x))=2x²z+2xy³z+y5z-3x²z-y5z-64x²-60x²Ordenando-64x²-60x²+2x²z-3x²z+2xy³z +y5z-y5z-4x²-x²z+2xy³zMultiplicando por (-1)4x²+x²z-2xy³z


8x+5(y-2)((z-9)(x+2z-5y))-x+9z+15x=

17m+8t+(n+4(t+12)(m+2n-5))-9t-4m-5t=

POTENCIASEJERCICIOSResolver (9)3/2

En un exponente fraccionario el numerador representa la potencia (9)³ = 729El denominador es el índice de la raíz a obtener, entonces:729 = ± 27

El resultado es ± 27Resolver (-64)-4/3

El exponente fraccionario 4/3 indica que la raíz es 33-64 = - 4El numerador, en este caso, (4) es la potencia a la cual se debe elevar el resultado anterior

(-4)4 = 256El resultado es 256

Resolver (8)-5/3

Primero se debe de transformar a un exponente positivo

Resolviendo el denominador :

(8)-5/3 = (38 )5= (3)5= 243

Recordando que el exponente se encuentra en el denominador tendremos


Encuentra el resultado de las siguientes fracciones

PRODUCTOS NOTABLESBINOMIOS CONJUGADOS

EJEMPLOS

(a³ - b²)(a³+ b²)= (a³)² - (b²)²= a6-b4

(3xa - 5ym)(3xa + 5ym)= (3xa)² - (5ym)² = 9x2a - 25y2m

(1+3ax)(1-3ax) = (1)²-(3ax)² = 1 – 9a²x²(2xn+2 - 8ya-3)(2xn+2 + 8ya-3)= (2xn+2)² - (8ya-3)² = 4x2n+4 – 64y2a-6

(8x²y³+2x³y²)(8x²y³-2x³y²)= (8x²y³)² - (2x³y ²)² = 64x4y6 - 4x6y4


(6x² - m²x)(6x² + m²x)=

(2n10 - 9)(2n10 + 9)=

(y²- 3y)(y² + 3y)=

CUADRADO DE UN BINOMIO EN SUMA O RESTA EJEMPLOS

(5x³y+8x4)²= (5x³y)² + 2(5x³)(8x4) + (8x 4)² = 25x6y² + 80x7 + 64x8

(3c³-8d4e)²= (3c³)² - 2(3c³)(8d4e) + (8d4e)² = 9c6- 48c³d4e + 64d8e²

(6t³uv²+2u²w³x)²= (6t³uv²)² + 2(6t³uv²)(2u²w³x) + (2u²w³x)² = 36t6u²v4 + 24t³u³v²w³x + 4u4w6x²(1/2a4bx4-7/8ac³y²)²=(1/2a4bx4)² + 2(1/2a4bx4)(7/8ac³y²) + (7/8ac³y²)² =1/4a8b²x8 + 14/16a5bc³y²x4 + 49/64a²c6y4

=1/4a8b²x8 + 7/8a5bc³x4y² + 49/64a²c6y4

(4/3de²f²+8/5a4d²e5)²=(4/3de²f²)² + 2(4/3de²f²)(8/5a4d²e5) + ( 8/5a4d²e5)² =16/9d²e4f4 + 64/15a4d³e7f² + 64/25a8d4e10


(2ab4-6b³c5)²=

(7ab²c6+10bc²d²)²=

(8m³-2a²m6n7)²=

(9x4z+12xy5z²)²=

(ax³yz³+6a³x²y)²=

CUBO DE UN BINOMIO EN SUMA O RESTA EJEMPLOS

(2ab4+6b³c5)³=(2ab4)³+3(2ab4)²(6b³c5)+3(2ab4)(6b³c5)²+ (6b³c5)³=8a³b12+3(4a²b8)(6b³c5)+3(2ab4)(36b6c10)+ 216b9c15=8a³b12+72a²b11c5+216ab10c10+216b9c15

(2an-2b²-6ab)³=(2an-2b²)³-3(2an-2b²)²(6ab)+3(2an-2b²)(6ab)²-(6ab)³=8a3n-6b6-3(4a2n-4b4)(6ab)+ 3(2an-2b²)(36a²b²)-216a³b³=8a3n-6b6-72a2n-3b5 +216anb4-216b³c³

(4/3de²f² + 8/5a4d²e5)³=(4/3de²f²)³+3(4/3de²f²)²(8/5a4d²e5)+3(4/3de²f²)(8/5a4d²e5)²+ (8/5a4d²e5)³=64/27d³e6f6+3(16/9d²e4f4)(8/5a4d²e5)+3(4/3de²f²)(64/25a8d4e10)+ 512/125a12d6e15=64/27d³e6f6+384/45a4d4e9f4+768/75a8d5e12f²+ 512/125a12d6e15

(6am+2b-3bm+3c²)³=(6am+2b)³-3(6am+2b)²(3bm+3c²)+3(6am+2b)(3bm+3c²)²-(3bm+3c²)³=216a3m+6b³-3(36a2m+4b²)(3bm+3c²)+3(6am+2b)(9b2m+6c4)-27b3m+9c6=216a3m+6b³-324a2m+4bm+5c²+162am+2b2m+7c4-27b3m+9c6

EJERCICIOS DE APLICACIÓN (5x³y+8x4)³=

(7ab²c6+10bc²d²)³=

(1/2a4bx4-7/8ac³y²)³=

(ax³yz³+6a³x²y)³=

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOSEJEMPLOS

(x²y²+4a4b²)(x4y4-4a4b²x²y²+16a8b4)=(x²y²)³+(4a4b²)³= x6y6 + 64a12b6

(a4b5-a4b5c³)(a8b10+a8b10c³+a8b10c4)=NO CUMPLE DEBIDO A QUE EL CUADRADO DE C³ ES C6 Y TIENE C4

(a5b³-2a7c4)(a10b6+2a12b3c4+4a14c8)=(a5b³)³-(2a7c4)³ = a15b9-8a21c12

EJERCICIOS DE APLICACIÓN(8a5b4-3a²b)(64a10b8+24a7b5+9a4b²)=

(5a²c³-c³z4)(25a4c6+5a²c6z4+c6z8)=

(2x³y²+4xy³)(4x6y4-8x4y5+16x²y6)=

EJERCICIOS VARIOS(3v³z4-2v²y)(9v6z8+6v5yz4+4v4y2)=

(2mq4+3m²n4z5)(4m²q8-6m³n4q4z5+9m4n8z10)=

(3/2a²bc³+b5c4x)²=

(n - 1)(n + 1)=

(4nv3-3ny4)(16n²v6+12n²v³y4+9n²y8)=

(3c³-8d4e)³=

(4xy³z² + 2ac5)(4xy²z² - 2ac5)=

(1 + 8xy³)(1 - 8xy³)=

(x³yz² - 4xyz)(x³yz² + 4xyz)=

(6t³uv²+2u²w³q)²=

(1/2a4bx4-7/8ac³y²)²

(8m³-2a³mn7)³=

FACTORIZACIÓNFACTOR COMÚN

EJEMPLOS

7a²b²-14a³+28a4= FACTOR COMUN = 7a²7a²b²-14a³+28a4 entre 7a² = b²-2a+4a²= 7a²(b²-2a+4a²)

93x³a²b-62x²b³y²-124a²x=FACTOR COMUN = x93x³a²b-62x²b³y²-124a²x entre x = 93a²bx²-62b³xy² -124a²= x(93a²bx²-62b³xy²-124a²)

4a²b-6ab+3bac= FACTOR COMUN =ab 4a²b-6ab+3bac entre ab = 4a-6+3c =ab(4a-6+3c)

EJERCICIOS DE APLICACIÓNx6-3x4+8x³-4x²=

11m²n³x+22m²n³x²-44m²y³=

40bx²z³+25b4x³y-30x5bz4=

3a³bc³-12ab+27b²c5+24a²c³=

8x6yz+4x³y-16z²=

FACTOR POR AGRUPACIÓNEJEMPLOS

(ax-bx-ay+by)= (ax-bx) - (ay-by)x(a-b) - y(a-b)= (a-y)(a-b)

(mz+nz-mx-nx)= (mz-mx)+(nz-nx)m(z-x) + n(z-x)= (m+n)(z-x)

6xy+3bx+2yz+bz= (6xy+2yz)+(3bx+bz)2y(3x+z) + b(3x+z)= (2y+b)(3x+z)

b²-6ab+9a²-16a = (b²-6ab) +(9a²-16a)b(b-6a)+a(a-16) AL NO OBTENER UN BINOMIO COMO FACTOR COMUN ESTE EJERCICIO NO SE PUEDE RESOLVER POR ESTE METODO

5h²+30hk+18kh²+3h³ = (5h²+30hk)+(18kh²+3h³)5h(h+6k)+3h²(6k+h)(5h+3h²)(h+6k)

EJERCICIOS DE APLICACIÓNbx-2ax-2by+4ay=

4x³y-4x²z+3zm-3xmy=

n³x-5a²y³-n³y³+5a²x=

DIFERENCIA DE CUADRADOS (49x4y10 - 16a6b4)= 49x4y10 = 7x²y5

16a6b4 = 4a³b²= (7x²y5 + 4a³b²)(7x²y5 - 4a³b²)

(25m8n4 - 9a10b8)= 25m8n4 = 5m4n²

9a10b8 = 3a5b4

= (5m4n²+3a5b4)(5m4n²-3a5b4)

(m²n² - 4a²b6)= m²n² = mn

4a²b6 = 2ab³

= (mn + 2ab³)(mn - 2ab³)

(16b4z6 - 81b³z4)= 16b4z6 = 4b²z³

81b³z4 = EL TERMINO b³ NO TIENE RAIZ CUADRADA POR LO QUE ESTE EJERCICIO NO PUEDE REALIZARSE POR DIFERENCIA DE CUADRADOS


(4x² - 9y²)=

(a6 - 49b8)=

(k10 - 36h²k5)=

(m4n² - 64x8y²)=

(x³y4 - 36x²y4z4)=

TRINOMIO CUADRADO PERFECTOEJEMPLOS

4b²- 20ab + 25a²= 4b² = 2b

25a² = 5a

2(2b)(5a)=20ab

= (2b-5a)²1/49x4 - 4/7x²y + 4y²=

1/49x4 = 1/7x²

4y² = 2y

2(1/7x²)(2y) = 4/7x²

= (1/7x²- 2y)²

a2m + 2am+n + a2n

a2m = am

a2n = an

2(am)( an)= 2am+n

= (am + an)²a²x + 2axbx+1 + b2x+2

a2x = ax

b2x+2 = bx+1

2(ax)( bx+1 )= 2axbx+1

= (ax + bx+1)²


a² + 4ab + 4b²=

4x² + 20x + 25=

16m² - 8mn + n²=

x²a+2 - 6x2a-1 + 9x2a-4=

FORMA x²+ bx+ cEJEMPLOS

k² - 2k - 8 = (k-4)(k+2)

t² + 10t + 24 = (t+6)(t+4)

b² + b - 12 = (b+4)(b-3)

EJERCICIOS DE APLICACIÓN h² - h - 6 =

a² - 8a + 15 =

x² - 3x - 10 =

a² + 9a + 20 =

h² + 2h - 8 =

FORMA ax²+ bx+ cEJEMPLOS

7x² - 33x - 10 = Método de convertir a la forma x²+bx+c y dividiendo entre dos factores49x²-33(7x)+70 (7x-35)(7x+2) entre (7)(1)= (x-5)(7x+2)

Método a prueba y error utilizando la suma de medios y extremos (internos y externos) -35x(x- 5) ( 7x+2) 2x

(-35x)+2x = -33x

15h² + 2h - 8 =Método de convertir a la forma x²+bx+c y dividiendo entre dos factores225h²+2(15)-120 (15h+12)(15h-10)entre (5)(3)(5h+4)(3h-2)

Método a prueba y error utilizando la suma de medios y extremos (internos y externos)

12h(5h +4 )(3h - 2) 12h-10h = 2h

-10h

25x² - 20x - 12 =Método de convertir a la forma x²+bx+c y dividiendo entre dos factores625x²-20(25x)-300(25x-30)(25x+10)entre (5)(5)(5x-6)(5x+2)Método a prueba y error utilizando la suma de medios y extremos (internos y externos)

-30x (5x - 6 )( 5x + 2)

10x

(-30x)+10x = -20xEJERCICIOS DE APLICACIÓN

3y² + 10y + 3 =

4x² + 8x + 3 =

4z² + 11z - 3 =

5b² - 22b - 15 =

8y² - 22y - 21 =

EJERCICIOS DE REPASOFactoriza indicando el tipo de factorización vas a utilizar

9a5bz3-36a4b+18za³=

z8 - y10z8 =

8x² + 10x - 12 =

nx-am+mn-ax=

5b² + 28b - 12 =

x² + 7x + 10 =

2a²-a+3a³=

9z² - 43z - 10 =

x² + 10x + 25 =

4a10c6-z12y2=

9a6 - 48a³b4 + 64b8=

81t6c4n2-16b6z =

64x4y² + 144m³x²y + 81m6 =

64m4r12-36p14q8 =

x20 - 20x10y12 + 100y24 =

a² + 5a + 6 =

49x² + 154x + 121 =

y² + 2y - 3 =

49a4b4 + 70a²b²x4 + 25x8 =

ECUACIONES LINEALES

SISTEMA DE ECUACIONES CON UNA INCOGNITA

EJEMPLOS

5x – 25 = 0 Comprobación5x = 25 5(5) – 25 = 0x = 25/5 = 5 25 – 25 = 0x = 5 0 = 0

3x + (2x – 3) = 22 Comprobación 3x + 2x – 3 = 22 5(5) – 3 = 22 5x – 3 = 22 25 – 3 = 22 5x = 22 + 3 x = 5

EJEMPLOS

a/3 + 4 = ½ - a =mcd = 6a(6) + 4(6) = 1(6) -6(a) 3 2

a(2) + 24 = 3 - 6a 2a + 6a = 3 -24 8a = -21 a = -21/8

y – (5y-1) - 7-5y = 1 10mcd = 1010(y)-10(5y-1)-(7-5y) = 10(1) 10y - 50y + 10-7 + 5y = 10 10y -50y +5y = 10-10+7 -35y = 7

y = 7/-35 y = -1/5

4x - 16x + 3 = 4 - 10x+1 4 6mcd = 12

12(4x) -3(16x+3) = 12(4)-2(10x+1) 48x – 48x – 9 = 48 – 20x - 2 - 9 = 46 – 20x -46 – 9 = -20x -55 = -20x -55/-20 = x x = 11/4

4a – 1 + a - 2 = 8a-3 - 13/10 5 2a-7 10

mcd = 10(2a-7)

2(2a-7)(4a-1) +10(a-2) = (2a-7)(8a-3)-13(2a-7) (4a-14)(4a-1)+10a-20 = 16a²-6a + 21-56a-26a+9116a²—4a-56a+14+10a-20 = 16a²-6a + 21-56a-26a+91 16a²-50a-6 = 16a²-88a+ 112 -50a+88a = 112+6 38a = 118 a = 118/38 a = 59/19


5c-4c-3c(2)+6c(-3) = 8

4x-2 + 2x +26 = 6x + 10(2x + 1) 6 72 36

y-2 - 5 = 0 6

7b-1 - 5b + 4 – b + 2 = 2b – 3 – 1 2 4 8 5 10

x-3 - 5 = 0 4

2 - 3 = 0 z+1 z² -1

2 + 2 = 0 3 2w -1

EJERCICIOS DE APLICACIONEJEMPLOS

Número de canicas que tengo más tres es igual al doble de las canicas que tengo menos dos. ¿Cuántas canicas tengo?El primer paso para resolver este problema es expresar el enunciado como una expresión algebraica:

Se podría leer así: X número de canicas + 3 canicas es igual a 2 por el número x de canicas menos 2 canicas.El enunciado está expresado, pero no podemos ver claramente cuál es el valor de x; para ello se sigue este procedimiento:

Primero se pasan todos los términos que dependen de x al primer miembro y los términos independientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que cualquier término que se cambia de miembro cambia también de signo. Así obtenemos:

Que, simplificado, resulta: Por lo tanto X = 5

El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 3 años más que el segundo y este 4 más que el menor. Si entre todos tiene la edad del padre que tiene 44 años ¿qué edad tiene cada hermano?

Para resolver estos problemas debemos elegir algún valor desconocido para llamarle "x". En este caso llamemos: x = edad del hermano menor = A A partir de ello expresar los datos del problema y plantear una igualdad (ecuación) con ellos: x + 4 = edad del hermano mediano = BEdad del hermano mayor: C = B + 3 = x + 4+3 = x + 7 Suma de las edades de los hermanos = 44; Esto es: A + B + C = x + x+4 + x+7 = 44, 3x + 11 = 443x = 44 – 113x = 33x =

= 11 Luego la solución del problema es: Edades de los tres hermanos: 11, 15 y 18

años

Miguel y Lucia compraron libros de $120 y $90 respectivamente. Si Miguel compro 4 libros más que Lucia y en total se gastaron $1320, ¿Cuál es el planteamiento del problema para su solución?Tomando x=Libros tendremos:

PlanteamientoGastos de Miguel + gastos de Lucia = 1320120 ( x+4 ) + 90x = 1320

Yolanda tiene un negocio de renta carros y bicicletas, pero decide cambiar todas las llantas de los vehículos que renta. Sabiendo que tiene 40 vehículos en total y compra 110 llantas¿ Para cuantos carros o bicicletas le sirven las 110 llantas?

Siendo x = cantidad de llantas

VEHICULO CANTIDAD NO. DE LLANTAS BICICLETA

(4 LLANTAS)X 2X

CARROS (4 LLANTAS)

40-X 4(40 – X)

Planteamiento

Llantas para bicicletas + llantas para carro = 1102x + 4(40-x) = 100


Dentro de seis años, Julia tendrá 22 años. ¿Qué edad tiene actualmente Julia?

En una caja hay el doble de caramelos de menta que de fresa y el triple de caramelos de naranja que de menta y fresa juntos. Si en total hay 144 caramelos, ¿cuántos hay de cada sabor?

Víctor es 2 años menor que Pedro, pero 5 años mayor que Mimí. Si la suma de las edades de los tres es 30, ¿qué edad tiene cada uno?

El perímetro de un jardín rectangular es de 58 m. Si el lado mayor mide 11 m. más que el lado menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín?

Perdí un tercio de las ovejas que cuidaba y llegue con 24 ¿Cuántas ovejas tenia?

Hace 15 años la Edad de Susy era 2/5 de la edad que tendrá dentro de 15 años ¿Qué edad tiene ahora?

Encontrar el valor de “x” para las siguientes ecuaciones

Realiza un planteamiento para los siguientes problemasAngel y Arturo tienen $90. Miguel tiene 3 monedas más que Arturo . Las monedas de Miguel son de $10 y las de Arturo son de $20.

En una agencia hay 30 vehículos entre camionetas y autos deportivos . Si el total de las ruedas de los vehículos es de 86 ¿Cuántas camionetas y autos deportivos hay en la agencia?

En un salón de clases hay 57 alumnos. El número de hombres es el doble de las mujeres ¿Cuántos hombres y mujeres hay en el salón?

SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS INCOGNITAMETODOS DE RESOLUCIÓN

EJEMPLOS5x + 10b = 202x + 5b = 14

METODO DE REDUCCIÓN 2x + 5b = 14 (-2)

-4x-10b = -28 comprobación 5x+10b = 20 5(-8)+10(6) = 20 x = - 8 - 40+60 = 20 20 = 205(-8)+10b = 20 -40 +10b = 20 2(-8)+5(6) = 14 10b = 20+40 -16+30 = 14 b = 60/10 14 = 14 b = 6 METODO DE IGUALACIÓN

1ER ECUACIÒN 2DA ECUACION

5x+10b = 20 2x+5b = 14 10b = 20-5x 5b = 14-2x b = 20-5x b = 14-2x 10 5 igualando 20-5x = 14-2x 10 5 5(20-5x) = 10(14-2x) 100-25x = 140 – 20x -140+100 = 25x-20x -40 = 5x -40/5 = x x = -8 sustituyendo el valor de “x” en la otra ecuación

2(-8)+5b = 14 -16 +5b = 14 5b = 14+16 5b = 30 b = 30/5 b = 6

METODO DE SUSTITUCIÓN

5x+10b = 20 5x = 20-10b x = 20-10b 5 x = 4-2b

sustituyendo en la otra ecuación

2(4-2b)+5b = 14 8-4b +5b = 14 b = 14-8 b = 6 sustituyendo el valor encontrado en la otra ecuación 5x + 10(6) = 205x + 60 = 20 5x = 20-60 5x = -40 x = -40/5 X = -8

2x - 8y = 6 x + 4y = 9

METODO DE REDUCCIÓN Multiplicamos la ec 2 por (2) x + 4y = 9 (2)

2x-8y = 6 COMPROBACIÓN2x+8y = 18 2(6)-8(3/4) = 6 (6)+4(3/4) = 94x = 24 12- 24/4 = 6 6 + 3 = 9 x = 24/4 12- 6 = 6 9 = 9

x = 6 6 = 6Se sustituye el valor de “x” en la ec. 1 2(6)-8y = 6 12 -8y = 6 -8y = 6-12 y = -6/-8 y = ¾

METODO DE IGUALACIÓN

Se despeja el valor de “x” en la 1er ecuación2x-8y = 6 2x = 6+8y x = 6+8y 2 x = 3+4y

Se sustituye “x” en la 2da ecuaciónx+4y = 9 x = 9 – 4y

Se igualan los valores de “x” y se despeja y

3 +4y = 9 -4y 4y+4y = 9-3 8y = 6 y = 6/8 y = ¾ Se sustituye el valor de y en la ec. 2 x + 4y = 9x + 4(3/4)= 9x + 3 = 9 x = 9-3 x = 6


Despejando “y” de la ec. 2X+4y = 9 4y = 9 –x y = 9 – x 4

Sustituyendo en la ec. 1

2x-8(9-x) = 6 42x-(72/4)+ (8x/4) = 6 2x-18+2x = 6 4x = 6+18 4x = 24 x = 6Se sustituye el valor de “x” en la ec. 2 (6) +4y = 9 4y = 9 -6 y = 3/4

3x + 2y = 106x + 3y = 12

METODO DE REDUCCIÓN

Se multiplica la ec. 1 por (-2) COMPROBACIÓN 3x+2(8) = 10 3x + 2y = 10(-2) 3(-2)+2(8) = 10 -6 + 16 = 10 6x+3y = 12 10 = 10-6x-4y = -20 -y = - 8 6(-2)+3(8) = 12 y= 8 -12 + 24 = 12 12 = 123x + 16 = 10 3x = 10-16 X = -6/3 X = -2


Se despeja “x” de la ec. 1

3X + 2Y = 10 3X = 10–2y X = 10-2y 3Se despeja “x” de la ec. 2

6X + 3y = 12 6x = 12-3y x = 12-3y 6Se igualan los valores de “x”

10-2y = 12-3y 3 6 6(10-2y) = 3(12-3y) 60-12y = 36-9y 60-36 = 12y-9y 24 = 3Y 24/3 = y

8 = ySe sustituye el valor de “y” en la otra ecuación

6x+3(8) = 12 6x = 12 - 24 x = -12/6 x = -2


3x+2y = 10 2y = 10-3x y = 10-3x 2 y = 5 -3/2x Sustituyendo en la ec. 2

6x + 3(5-3/2x) = 12 6x + 15- 9/2x = 12 6x-9/2x = 12-15 3/2x = -3 3x = -6 x = -2Sustituyendo el valor de “x” en la otra ecuación

3(-2) + 2y = 10 -6 + 2y = 10 2y = 10+6 y = 16/2 y = 8

X + 2 = y - 4 10 14x + 8 - y - 18 = 16 6 12 6

Es necesario suprimir los denominadores para resolver el sistema, por lo que tomamos cada ecuación de manera individual, comenzando con la primera

X + 2 = y – 4 10 14

En la cual pasamos multiplicando cada denominador por el numerador del otro término de la ecuación, ya que solo tenemos un término de cada lado de la igualdad, posteriormente realizamos las operaciones necesarias a fin de encontrar una ecuación equivalente sin denominadores

14(x+2) = 10(y-4) 14x + 28 = 10y – 4014x – 10y = -40-2814x – 10y = -68 entre 2 7x - 5y = -34

Obteniendo la primer ecuación sin denominadores7x - 5y = -34

Ahora tomamos la segunda ecuación

x + 8 - y - 18 = 16 6 12 6

Debido a que esta ecuación tiene más de un término de cada lado de la igualdad, debemos encontrar el m.c.m. para poder suprimir los denominadores. El m.c.m. se divide entre cada denominador y el cociente obtenido se multiplica por cada numerador, a fin de suprimir los denominadores existentes

mcm = 12

2(x + 8) – (y - 18) = 2(16) 2x + 16 – y + 18 = 32 2x – y = 32-18-16 2x – y = -2

Obteniendo la segunda ecuación sin denominadores2x – y = -2

Con el sistema de ecuaciones sin denominadores se resuelve el sistema por los tres métodos7x - 5y = -342x – y = -2

METODO DE REDUCCIÓN Se multiplica la ec. 2 por (-5) COMPROBACIÓN 2x – y = -2(-5) 7x - 5y = -34 7(8)-5(18) = -34 7x - 5y = -34 56-90 = -34-10x + 5y = 10 -34 = -34 -3x = -24 x = -24/-3 x = 8 2x – y = -2Se sustituye el valor de “x” en la ec. 2 2(8)-(18) = -22(8) – y = -2 16-18 = -2 16 - y = -2 -2 = -2 - y = -2-16 y = 18


Despejando “x” de cada ecuación

7x-5y = -34 2x-y = -2 7x = -34+5y 2x = -2+y x = -34+5y x = -2+y 7 2Igualando los valores de “x” -34+5y = -2-y 7 2

2(-34+5y) = 7(-2+y) -68 + 10y = -14 + 7y

10y -7y = -14+ 68 3y = 54 y = 18

Sustituyendo el valor de “y” en la otra


Despejando “y” de la ec. 2

2x – y = -2 - y = -2-2x y = 2+2x Sustituyendo el valor de “y” en la ec. 1

7x-5(2+2x) = -347x -10-10x = -34 -3x = -34+10 x = -24/-3 x = 8Sustituyendo el valor de “x” en la otra ecuación

ecuación

7x – 5(18) = -34 7x = -34 + 90 x = 56/7 x = 8

2(8) – y = -2 16 – y = -2 - y = -2-16 y = 18


7x + 8y = 295x + 11y = 26

3a - 4b = 138a - 5b = -5

5k + 3h = 54k + 7h = 27

3x = -4y5x - 6y = 38

5x - 3y = 07x – y = -16

X + 2 – y - 3 = 5 3 8 6

y – 5 – 2x – 3 = 0 6 5

5x + 2y = 164x + 3y = 10

X - 2y = 102x + 3y = -8

2x – 2y = -22x + 2y = 14

REGLA DE KRAMERDETERMINANTES

c1 b1 a1 c1

c2 b2 a2 c2x = y = a1 b1 a1 b1 a2 b2 a2 b2

EJEMPLOS2X - 8Y = 6 X + 4Y = 9

c1 b1 6 -8 c2 b2 9 4 (6)(4) – (9)(-8) 24+72 96x = = = = = = 6 a1 b1 2 -8 (2)(4) – (1)(-8) 8+8 16 a2 b2 1 4

a1 c1 2 6 a2 c2 1 9 (2)(9) – (1)(6) 18 – 6 12 3y = = = = = = a1 b1 2 -8 (2)(4) – (1)(-8) 8 + 8 16 4 a2 b2 1 4

3x + 2y = 106x + 3y = 12

c1 b1 10 2 c2 b2 12 3 (10)(3) – (12)(2) 30-24 6x = = = = = = -2 a1 b1 3 2 (3)(3) – (6)(2) 9-12 -3 a2 b2 6 3

a1 c1 3 10 a2 c2 6 12 (3)(12) – (10)(6) 36-60 -24 y = = = = = = 8 a1 b1 3 2 (3)(3) – (6)( 2) 9-12 -3 a2 b2 6 3


3x - 4b = 138x - 5b = -5

5x – 3y = 07x - y = -16

2a – 2b = -22a + 2b = 14

7x + 8y = 295x + 11y = 26

X – y = -1X + y = 7

5k + 3h = 54k + 7h = 27

2x - 3y = 204x + 4y = 10

X - 2y = 102x + 3y = -8

METODO GRAFICOEJERCICIO RESUELTO

x + y = 6x - y = 2

1. Despejamos y en las dos ecuaciones.

x + y = 6 → y = 6 - xx - y = 2 → y = x – 2

2. Dando valores a x, formamos una tabla de valores para cada una de las dos ecuaciones.

y = 6 – xx 0 1 2 3 4y 6 5 4 3 2

y = x – 2

x 0 1 2 3 4y 6 5 4 3 2

Representamos estos puntos sobre un sistema de ejes

.

Uniendo los puntos de cada ecuación, obtenemos dos rectas que representan todas las soluciones de cada una de las ecuaciones. En nuestro caso, las rectas se cortan en el punto (4, 2). La solución del sistema es x = 4 e y = 2.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN5x + 2y = 164x + 3y = 10

http://mx.kalipedia.com/popup/popupWindow.html?tipo=imagen&titulo=Uniendo+los+puntos+de+cada+ecuaci%F3n%2C+obtenemos+dos+rectas+que+representan+todas+las+soluciones+de+cada+una+de+las+ecuaciones&url=/kalipediamedia/matematicas/media/200709/26/algebra/20070926klpmatalg_74_Ges_LCO.png%00%E5%A1%B9%EF%92%81%E1%B4%BB%E4%A1%BF%E2%B2%AF%E5%B6%82%E8%97%84%E6%8C%A7%00%00%EA%AE%A5

2a – 2b = -22a + 2b = 14

EJERCICIOS DE APLICACIÓNEJERCICIO RESUELTO

En una granja hay conejos y patos. Si entre todos suman 18 cabezas y 52 patas, ¿cuántos conejos y patos hay?

Tenemos un problema expresado textualmente. Para resolverlo tenemos que pasarlo a forma de ecuaciones, por lo que tenemos que determinar:

1. Cuáles son las incógnitas. 2. Qué relación hay entre ellas.

En este caso la propia pregunta dice cuáles son las incógnitas: el número de conejos y el número de patos. Llamaremos x al número de conejos e y al número de patos:

Sabemos que cada conejo y cada pato tienen una sola cabeza. Por tanto: el número de conejos por una cabeza, más el número de patos por una cabeza también, tienen que sumar 18:

Por otra parte, los conejos tienen cuatro patas y los patos sólo tienen dos. Por tanto: el número de conejos por cuatro patas cada uno, más el número de patos por dos patas, tienen que sumar 52:

Ya se tiene un sistema de ecuaciones con dos incógnitas:

x + y = 184x + 2y = 52

Por lo que se resuelve por cualquiera de los métodos anteriores a fin de encontrar el que se tienen 8 conejos y 10 patos.


Juan compró un Librero y un televisor por $2,000 y los vendió por $2,260. ¿Cuánto le costó cada objeto, sabiendo que en la venta del Librero ganó el 10% y en la venta del televisor ganó el 15%?

¿Cuál es el área de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 16 cm y que su base es el triple de su altura?

Una granja tiene pavos y cerdos, en total hay 58 cabezas y 168 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay?

Antonio dice a Pedro: "el dinero que tengo es el doble del que tienes tú", y Pedro contesta: "si tú me das seis pesos tendremos los dos igual cantidad". ¿Cuánto dinero tenía cada uno?

RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS POR EL METODO SE REDUCCIÓN Y COMPRUEBA POR DETERMINANTES

La cifra de las decenas de un número de dos cifras es el doble de la cifra de las unidades, y si a dicho número le restamos 27 se obtiene el número que resulta al invertir el orden de sus cifras. ¿Cuál es ese número?

Encuentra un número de dos cifras sabiendo que su cifra de la decena suma 5 con la cifra de su unidad y que si se invierte el orden de sus cifras se obtiene un número que es igual al primero menos 27.

SISTEMA DE ECUACIONES CON TRES INCOGNITAEJEMPLOS

4x – y + 5z = -6 3x + 3y – 4z = 30 6x + 2y – 3z = 33

Tomamos las ec. 1 y 2Multiplicando la ec 1 por 3 3x + 3y – 4z = 30 4x – y + 5z = -6 (3) 3x + 3y – 4z = 30 12x - 3y + 15z = -18 15x +11z = 12 ...A 6x + 2y – 3z = 33 4x – y + 5z = -6 (2) 6x + 2y – 3z = 33 8x – 2y + 10z = -12 14x + 7z = 21 ...B

SOLUCIONANDO A Y BMultiplicando por (-7) y (11) respectivamente

15x + 11z = 12 (-7)14x + 7z = 21 (11)

-105x – 77z = -84 154x + 77z = 231 49x = 147

x = 147/49x = 3

Sustituimos en ec. “A”

15(3) + 11z = 12 11z = 12 - 45 z = -33/11 z = -3Sustituimos en la ec. 1

5x – 2y + z = 24 2x + 5y - 2z =-14 x – 4y + 3z = 26 Tomamos las ec. 1 y dos, multiplicando la ec. 2 por (2) 5x – 2y + z = 24 (2)2x + 5y - 2z =-14 10x – 4y + 2z = 48 2x + 5y – 2z =-14 12x + y = 34 ...A

x – 4y + 3z = 26 5x – 2y + z = 24 (-3) x – 4y + 3z = 26 -15x + 6y - 3z = -72-14x + 2y =-46 ...B

SOLUCIONANDO A Y BMultiplicando por (-2) la ec. “A”

12x + y = 34 (-2)-14x + 2y =-46

-24x – 2y = -68-14x + 2y = -46-38x = -114

x = -114/-38 x = 3Sustituimos en ec. “A”

12(3) + y = 34 36 + y = 34 y = 34 - 36 y = -2Sustituimos en la ec. 1

12 - y – 15 = -64(3) – y +5 (-3) = -6 y = 3

5(3)-2(-2)+ z = 24 15+4 + z = 24 z = 24-19 z = 5

3x – 2y + 4z = 3 2x + y - 6z = 1 x - y + 4z = 1 Tomamos las ec. 1 y 2, multiplicando la ec. 2 por 2 3x – 2y + 4z = 3 2x + y - 6z = 1 (2) 3x – 2y + 4z = 3 4x + 2y – 12z = 2 7x - 8z = 5 ...A

Tomamos ec. 2 y 3 2x + y - 6z = 1 x - y + 4z = 1 3x - 2z = 2 ...B

SOLUCIONANDO A Y B multiplicando a la ec. “B” por -4

7x - 8z = 53x - 2z = 2 (-4)

7x - 8z = 5- 12x + 8z = -8- 5x =-3

x = -3/-5 x = 3/5

Sustituimos el valor de x en la ecuación “A”

7(3/5) – 8z = 5 21/5 - 8z = 5 - 8z = 5- (21/5) z = -1/10Sustituimos el valor de “x” y de “y” en la segunda ecuación del sistema

2(3/5)+y-6(-1/10) = 1 6/5 + y + 6/10 = 1 y = 1-(3/5)-(6/5) y = -4/5

1 + 4 + 2 = -6 x y z3 + 2 + 4 = 3 x y z 6 – 5 – 6 = 31 x y z Tomamos la ec. 1 y 2 multiplicando la ec 2 por (- 2) 1 + 4 + 2 = -6 x y z -6 - 4 - 8 = -6 x y z -5 - 6 = -12 ...A x z Tomamos la ec 2 y 3 multiplicándolas por 5 y 12 respectivamente

15 + 10 + 20 = 15 x y z

12 – 10 – 12 = 62 x y z 27 + 8 = 77 ...B x zSolucionamos A y B multiplicando por 8 y 6 respectivamente

-40 - 48 = - 96 x y162 + 48 = 462 x y

122 = 366 x 122 = 366x122/366 = x x = 1/3Sustituyendo en la ec (A)-5 – 6 = -12 1 z 3-6 = -12 + 15

Encontrando las tres incógnitas

X = 3/5Y = -4/5Z = -1/10

z-6 = 3zz = -2Sustituyendo en la ec. 11 + 4 + 2 = - 6 4/y = -6-2 1 y -2 Por lo que33 + 4/y – 1=-6 Y = - ½


9x + 4y – 10z = 6 6x – 8y + 5z = -112x + 12y – 15z = 10

X + b + c = 6X – b + 2c = 5X – b – 3c = -10

2x + y – 3z = 12 5x – 4y + 7z = 2710x + 3y – z = 40

a + b + c = 42a - 3b + 5c = -53a + 4b + 7c = 10

2x - 3y + 5z = 1 4x + 3y + 10z = 5 2x -12y – 30z = -9

X + y + z = 11 X – y + 3z = 132x + 2y – z = 7

(x/3) + y = 2z + 3 x - y = 1 x + z = (y/4) + 11

20x + 8y - 3z = -13 8x – 7y – 3z = -34 4x + 3y - z = 2

EJERCICIOS DE APLICACIÓNEJERCICIO RESUELTO

Si reunimos el dinero de Susana, de Yolanda y de Miguel sumamos $ 45. Si al dinero de Miguel le resto el dinero de Yolanda y le sumo el dinero de Susana tengo $ 15, pero si al dinero de Susana le sumo el dinero de Yolanda y le resto el dinero de Miguel tengo $ 5.¿Cuanto dinero tiene cada uno?

x = Susanay = Yolandaz = Miguel

x + y + z = 45x - y + z = 15x + y – z = 5

RESOLVIENDO EL SISTEMA DE TRES ECUACIONES TRES INCOGNITAS TENEMOS QUE;Susana = $ 10Yolanda = $ 15Miguel = $ 20


Un cliente de un supermercado ha pagado un total de $1,560.00 por 24lt de leche, 6 Kg. de jamón serrano y 12lt de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que 1lt de aceite cuesta el triple que 1l de leche y que 1kg de jamón cuesta igual que 4lt de aceite más 4t de leche.

A Carlos, Farid y Antonio, tres alumnos de bachillerato, el profesor de matemáticas, en lugar de darles sus calificaciones les dijo: “ si al doble de la calificación de Carlos le sumo la calificación de Farid y le resto la calificación de Antonio tengo 16 puntos, si a la calificación de Antonio le sumo el doble de la calificación de Farid y le resto la calificación de Carlos tengo 21 puntos pero si al triple de la calificación de Farid le resto la calificación de Carlos y también le resto la calificación de Antonio tengo 15 puntos”.¿Que calificación saco cada uno?

Los alumnos de 3º A, B y C de una escuela están reuniendo fondos para realizar un campamento.Si sumamos el dinero de los tres 3º tendríamos $ 600.Si al doble del dinero reunido por él A le restamos el dinero del B y le sumamos los fondos del C tendríamos $ 700.Si a los fondos reunidos por A le sumamos los de B y le restamos los fondos del C tendríamos $ 200.¿Cuánto dinero reunió cada 3º?

Cuando Héctor, Sandra y Denise, que son Dj´s, hicieron la cuenta de cuantos Cd´s tenían entre los tres sumaron 850.Si a los Cd´s de Héctor le sumamos la mitad de los Cd´s de Sandra y le restamos los Cd´s de Denise habría 160 Cd´s.Finalmente sabemos que si al doble de Cd´s de Héctor le restamos los de Sandra y le sumamos los de Denise tendríamos 420 Cd´s.¿Cuántos tiene cada uno de los amigos?

Claudia, Vicky y Lucy reúnen el dinero que tiene ahorrado cada una para comprar, entre las tres, un regalo para una amiga que cumple 15 años.Entre las tres reúnen $ 530.Claudia pide prestado y aporta el doble del dinero que tiene ahorrado porque Ana puede aportar solo la mitad del suyo, entonces, si sumamos el dinero de Virginia, entre las tres, reúnen $ 560.Sabemos, como dato, que si al dinero de Claudia le sumamos el triple del dinero de Virginia y el total del dinero de Ana tendríamos $ 990.¿Cuanto dinero tiene ahorrado Ana?

ECUACIONES CUADRATICASEJEMPLOS

b² - 9b = 0 b(b – 9) = 0 b1 = 0 b-9 = 0 b2 = 9

5x² - 20x = 0 5x(x-4) = 0 5x = 0 x-4 = 0 x1 = 0 x-4 = 0 x2 = 9

12x² - 13 = 0

12x²= 13 x²= 13/12 x = ± 13/12 x1 = + 13/12 x2 = - 13/12

10a² + 8 = 0 10a²= - 8 a²= -8/10 a = ± -8/10 a = + imaginariaAl quedar en 2do termino negativo, su raíz cuadrada se vuelve imaginaria.


24v² - 11 = 0

4x² + 10 = 0

16m² - 8m = 0

25h² + 30h = 0

36a²-36a = 0

5v² + 20 = 0

8x² - 6 = 0

3x² - 48 = 0

ECUACIONES COMPLETASSOLUCIÓN POR FACTORIZACIÓN

EJEMPLOS

15h² + 2h – 8 = 0 (5h + 4)(3h – 2) = 0 (5h + 4) = 0 5h = -4 h1 = -4/5 (3h – 2) = 0 3h = 2 h2 = 2/3

6x² + 8x - 8 = 0 (3x - 2)(2x + 4) = 0 (3x - 2) = 0 3x = 2 x1 = 2/3 (2x + 4) = 0 2x =-4 x2 = -2

3y² + 10y + 3 = 0 (3y + 1)(y + 3) = 0 (3y + 1) = 0 3y =-1 y1 = -1/3 (y + 3) = 0 y =-3 y2 = -3

8x² + 10x - 12 = 0 (2x + 4)(4x - 3) = 0 (2x + 4) = 0 2x =-4 x1 = -2 (4x - 3) = 0 4x = 3 x2 = ¾


6b² - b – 2 = 0

6x² + 16x + 8 = 0

20x² - 38x + 12 = 0

7x² - 33x – 10 = 0

8y² - 22y – 21 = 0

25x² - 20x – 12 = 0

49h² + 28h + 4 = 0

SOLUCIÓN POR COMPLETAR CUADRADOSEJEMPLOS

5x² + 3x - 4 = 0 x² + 3/5x - 4/5 = 0 x² + 3/5x = 4/5 x² + 3/5x + 3/5 ² = 4/5 + 3/5 ² 2 2 x² + 3/5x + (3/10)²= 4/5 + 9/100 (x + 3/10)²= 89/100 (x + 3/10)²= 89/100 x + 3/10 = ± 89/100 x1 = -3/10 + 89/100 x2 = -3/10 - 89/100 16x² - 2x + 3 = 0 x² - 2/16x + 3/16 = 0 x² - 1/8x = - 3/16 x² - 1/8x + 1/8 ² = -3/16 + 1/8 ² 2 2 x² - 1/8x + (1/16)²= -3/16 + 1/256 (x - 1/16)²= - 47/256 (x - 1/16)²= -47/256 x - 1/16 = ± imaginaria4b² + 16b – 4 = 0 b² + 4b - 1 = 0 b² + 4b = 1 b² + 4b + (4/2)²= 1 + (4/2)² b² + 4b + 4 = 5 (b + 4)² = ± 5 b + 2 = ± 5 b1 = - 2 + 5 b2 = - 2 - 5


8x² - 5x - 4 = 0

5x² + 3x – 6 = 0

4x² -2x + 10 = 0

8x² -16x -24 = 0

3x² + 12x + 21 = 0

9x² + 36x – 45 = 0

2x² + 3x – 45 = 0

8x² - 3x - 5 = 0

3x² - 5x - 4 = 0

SOLUCIÓN POR FORMULA GENERAL

EJEMPLOSx² + 11x + 24 = 0a = 1b = 11 c = 24

-11 ± (11)²- 4(1)(24) -11 ± 121 - 4(1)(24)x = = 2(1) 2(1)

-11 ± 121 - 96 - 11 ± 25 x = = 2 2 -11 ± 5 x = 2

-11 + 5 x1 = = -6/2 = -3 2 -11 - 5 x2 = = -16/2 = - 8 2 8X² + 5X – 4 = 0a = 8b = 5c = -4 -5 ± (5)²- 4(8)(-4) -5 ± 25- (-128)x = = 2(8) 16

-5 ± 25 + 128 -5 ± 153 x = = 16 16

-5 ± 153 x = 16

-5 + 153 x1 = 16 -5 - 153 x2 = 16


8x² - 5x - 4 = 0

4x² -2x - 10 = 0

8x² -16x -24 = 0

3x² + 12x + 21 = 0

9x² + 36x – 45 = 0

2x² + 3x – 45 = 0

8x² - 3x + 5 = 0


Dentro de 11 años la edad de Joel será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Joel.

Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca.

Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m².

Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Hallar la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m².

Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente.

Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es 580. ¿Cuáles son esos números?

Dos cañerías A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por sí solo en tres horas menos que B. ¿Cuántas horas tarda a cada uno separadamente?

Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas en centímetros tres números pares consecutivos. Hallar los valores de dichos lados.

Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con ella se construye una caja de 840 cm3 cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. Hallar las dimensiones de la caja.

Una tubería tarda dos horas más que otra en llenar un depósito y abriendo las dos juntas se llena en 1 hora y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenar el depósito cada uno por separado?

resumen libro de trabajo i.. ok

Documents