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Ecuaciones Diferenciales Libro 2 - ArambuloTRANSCRIPT
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales de Orden Superior
CAPITULO IV
ECUACIONES
DIFERENCIALES
LINEALES
DE ORDEN SUPERIOR
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES DE ORDEN SUPERIOR
Objetivos:
Introduccin:
En este captulo estudiaremos las ecuaciones lineales diferenciales lineales, de orden superior al primero, que constituyen una clase de mxima importancia prctica en muchas aplicaciones a ingeniera. El lector se familiariz ya en el captulo II con las ecuaciones lineales de primer orden, tales como:
Donde P(x) y Q(x) son funciones de x o constantes y que podran resolverse por el uso de un factor integrante.
Pasamos ahora a definir la ecuacin lineal de orden dy/dx + P(x)y = Q(x) n.
Definicin:
Una ecuacin diferencial lineal de orden n tiene la forma siguiente:
a((x)y(n) + a1(x)y(n-1) + ... + an-1(x)y + an(x)y = Q(x) (I)
donde: a((x) , a1(x) , . . . , an(x) ; que con frecuencia se abrevian por: a( , a1 , .., an y Q son funciones exclusivamente de x o constantes y no de y tal que a( ( 0 .
As por ejemplo, decimos que una ecuacin diferencial de segundo orden es lineal, s puede escribirse en la forma:
y+ f(x)y + g(x)y = r(x) (II)
A continuacin daremos algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales, tales como:
Y + 6y + 9y = 0
xy(5) y(4) = 0
x2y 2xy + 2y = 0
y = Sen(x) Cos(x)
x2(1 Ln(x))y + xy y = 0
y 2y y + 2y = 0
y las ecuaciones diferenciales siguientes son no lineales:
y y + y = 0
y + = 0
y y = 3(y)2 (y)2 - 2 y y + 3 = 0
Las ecuaciones diferenciales de n-simo orden dada en (I) tambin se expresan como:F(x, y, y, y, . . . , y(n)) = 0
. . . (II)despejando y(n) :y(n) = f(x, y, y, y, . . . , y(n-1))
. . . (III)
Veremos en seguida que la ecuacin (I) tiene propiedades bastante ms sencillas en el caso de que la funcin Q(x) del segundo miembro sea idnticamente nula. Cuando Q(x) ( 0, resulta de gran utilidad estudiar previamente la ecuacin:a((x)y(n) + a1(x)y(n-1) + ...+ an-1(x)y( + an(x)y = 0 . . . (IV)ecuacin obtenida de (I), haciendo nulo su segundo miembro y que recibe el nombre de ecuacin diferencial homognea o reducida y cuya solucin se llama solucin homognea (yH) o complementaria (yC).
Cuando la ecuacin (I) tiene los coeficientes ai constantes,
( i = 0, 1, 2, . . ., n ; recibe el nombre de ecuacin diferencial lineal de coeficientes constantes; en caso contrario, es decir, si los coeficientes ai = ai(x), recibe el nombre de ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes variables.
Como:
El Operador DyI = = Dxy = Dy
,yII = = Dy = D2y yIII = = Dy = D3y
,yIV = Y(4)=Dy=D4y
.
.
.
y (n) = = Dy = Dny
Definamos el operador D como: Dn = y
Dny = = y(n) . . . . . . . . (()
Reemplazando (() en (IV), podemos expresar la ecuacin diferencial en una forma alternativa como:
a0Dny + a1Dn-1y + . . . + an-1Dy + any = 0 . . . (V)
o tambin como:
( a0Dn + a1Dn-1 + . . . + an-1D + an )y = 0 . . . (VI)
donde a la expresin: a0Dn + a1Dn-1 + ... + an-1D + an se le conoce como polinomio caracterstico y se le representa por lo general como:
P(D) = a0Dn + a1Dn-1 + ... + an-2D2 + an-1D + an ... (VII)
y la expresin (VI) podemos expresarla, por simplicidad, como:
P(D)y = 0
Las propiedades que satisface el operador D las estudiaremos en la seccin (4.2) al estudiar las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales homogneas con coeficientes constantes de orden n por el mtodo de operadores.
Teorema 1 : Si la funcin f, tal que, y = f(x) satisface a una ecuacin lineal homognea, entonces, tambin la satisface la funcin cf , siendo y = cf(x); c una constante arbitraria.
Demostracin: Sea la ecuacin diferencial lineal homognea de orden n :
P(D)y = (a0Dn + a1Dn-1 + ... + an-1D + an)y = 0
(I)
Si y = f(x) , satisface la ecuacin (I), entonces, debe cumplirse que:
P(D) f(x) = (a0Dn + a1Dn-1 + ... + an-1D + an) f(x) = 0
O tambin:
a0(f(x))n + a1(f(x))n-1 + ... + an-1(f(x)) + an(f(x)) = 0 (1)
Si y = cf(x) es solucin de (I) se cumplir que:
P(D)(cf(x)) = 0
( (a0Dn + a1Dn-1 + ... + an-1D + an)cf(x) = 0
( a0Dncf(x) + a1Dn-1 cf(x) + ... + an-1Dcf(x) + ancf(x) = 0
( a0cDnf(x) + a1cDn-1 f(x) + ... + an-1cDf(x) + ancf(x) = 0
De (1) :
( c(a0Dn + a1Dn-1 + ... + an-1D + an)f(x) = cP(D)f(x) = c(0) = 0
( cf(x) es tambin solucin de (I) .
Teorema 2: Si f(x) y g(x) satisfacen a la misma ecuacin diferencial homognea, entonces tambin la satisface la funcin
y = c1f(x) + c2g(x), siendo c1 y c2 constantes arbitrarias.
Demostracin: Si f(x) y g(x) son soluciones de (I), entonces:
P(D)f(x) = 0 y P(D)g(x) = 0 . . . (()
Si: y = c1f(x) + c2g(x) debe ser solucin de (I), entonces, debe de cumplirse que:
P(D)( c1f(x) + c2g(x) ) = 0 ()
Como: P(D)( c1f(x) + c2g(x)) = P(D)(c1f(x)) + P(D)(c2g(x))
( Del Teorema 1:
P(D)( c1f(x) + c2g(x) ) = c1 P(D) f(x) + c2 P(D) g(x)
P(D)( c1f(x) + c2g(x) ) = c1( 0 ) + c2 ( 0 )
(De ((), por ser f y g soluciones de (I))
( P(D)( c1f(x) + c2g(x) ) = 0
Luego, y = c1f(x) + c2g(x) es tambin solucin de (I).
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE FUNCIONES
DEFINICIN: Dado un sistema finito de n funciones f1(x), f2(x), f3(x), , fn(x), definidos en el intervalo (a, b). Se dice que stas son linealmente dependientes (l.d.) en el intervalo (a, b), si la identidad:
c1f1(x) + c2f2(x) + c3f3(x) + + cifi(x) + + cnfn(x) 0 ( I )
slo se verifica si existen constantes c1, c2, c3, , cn no simultneamente iguales a cero para todos los valores de x en el intervalo dado.Si por el contrario, la identidad dada en la expresin ( I ) se verifica solamente cuando todas las ci constantes son nulas, se dice que las n funciones son linealmente independientes (l.i.) en el intervalo (a, b).
Ejemplos: Determine si las funciones dadas son linealmente dependientes o independientes en su campo de definicin.
1.- y1 = ex y y2 = ex
Solucin : Si: c1ex + c2ex = 0 (1) ( Dx : c1ex c2ex = 0 (2)
i) (1) + (2) :2c1ex = 0 ( c1 = 0
ii) (1) (2) :2c2ex = 0 ( c2 = 0Como: c1 = c2 = 0, entonces, las funciones y1 e y2 son linealmente independientes2.- y1 = sen2x y y2 = cos2x
Solucin : Si : c1sen2x + c2cos2x = 0 (1)
( Dx : c1sen2x c2sen2x = 0 ( (c1 c2)sen2x = 0
( c1 c2 = 0 ( c1 = c2 (() (() en (I) : c1sen2x + c1cos2x = 0
( c1 = 0 ( c1( 1 ) = 0 ( c1=0 ( De (() : c2=0Como: c1 = c2 = 0, entonces, las funciones y1 e y2 son linealmente independientes.3.- y1 = Ln x y y2 = Ln x2 , x > 0
Solucin : Si : c1Ln x + c2Ln x2 = 0 ( c1Ln x + 2c2Ln x = 0 , x > 0 (1)A) Mtodo I : Elijamos que: c1 = 2 y c2 = 1 , luego, en (1):
2Ln x + 2(1) Ln x ( 0 , es decir, son linealmente dependientes
B) Mtodo II : Si: c1Ln x + 2c2Ln x = 0 (1)
( Dx : c1. + 2c2 . = 0 ( c1 = 2c2 (2)
(2) en (1) : 2c2Ln x + 2c2Ln x ( 0 identidad que se verifica para todo valor de c2.
EL WRONSKIANO O DETERMINANTE DE WRONSKY
Un criterio para decidir la dependencia o independencia lineal de las funciones:
f1(x), f2(x), f3(x), , fn(x),
lo proporciona el llamado determinante de Wronsky o Wronskiano.
Teorema : Dadas las n funciones f1(x), f2(x), f3(x), , fn(x), , supongamos que estas funciones admitan derivadas hasta el orden (n 1). El determinante:
llamado determinante de Wronsky ( o Wronskiano) , si es:
i) idnticamente nulo, entonces las n funciones son linealmente dependientes, y recprocamente.
ii) no nulo, entonces las n funciones son linealmente independientes, y recprocamente.
Ejemplos :
I .- Demustrese que las funciones dadas son linealmente independientes:
1.- y1 = sen ax y y2 = cos ax
Solucin : Aplicando el wronskiano a las dos funciones y1 y y2 :
W [y1, y2]= = = asen2ax acos2ax
= a (sen2 ax + cos2 ax) = a(1) = a
( W [y1, y2] = a 0 ,
luego, estas funciones son linealmente independientes.
2.- y1 = x y y2 = Ln x
Solucin :
W [y1, y2] = = = 1 Ln x 0 ( W [y1, y2] 0,
luego, las funciones dadas son linealmente independientes.
3.- y1 = sen1x y y2 = cos1x
Solucin : Aplicando el wronskiano a stas dos funciones, obtenemos que:
W [y1, y2] = = sen1x cos1x
=
= .( W [y1, y2] 0,
es decir, las funciones dadas son linealmente independientes.
4.-y1 = 1 , y2 = x y y3 = x2Solucin : Aplicando el wronskiano a estas tres funciones, obtenemos que:
W [y1, y2, y3] = = = 1. = 2
( W [y1, y2, y3] 0 , es decir, las tres funciones dadas son linealmente independientes.
5.-y1 = Ln x , y2 = x Ln x y y3 = x2 Ln x
Solucin : Aplicando el wronskiano a estas tres funciones, obtenemos que:
W [y1, y2, y3] = =
= Ln x
x Ln x
+ x2Ln x
= Ln x [ 2Ln2x + 5Ln x + 2Ln x 2Ln x 2Ln x 2Ln x + Ln x ]
( W [y1, y2, y3] = 2Ln3x 0, (x((+ {1} es decir, las tres funciones dadas son linealmente independientes.
Teorema : Las funciones y1, y2, y3, , yn son linealmente dependientes si al menos uno de ellos se puede expresar como una combinacin lineal de las restantes.
Demostracin : Dado el conjunto de n funciones:
{ y1, y2, y3, , yi, , yn } stas sern linealmente dependientes (L.D.) si al menos existe una constante ci 0 , i = 1, 2, 3, , x , tal que:
c1y1 , + c2y2 ,+ c3y3 , + ,+ ciyi , + , + cnyn ( 0 (I)
Ejemplos:
1.- Sea el conjunto de funciones: { x 1, x, x + 1}. Es el conjunto de funciones linealmente independientes?
Solucin:
A) Mtodo I : Aplicando el teorema dado podemos aplicar que una de las funciones dadas se puede expresar como una combinacin de las otras dos.
Sean las funciones y1 = x 1 , y2 = x y y3 = x + 1
Como: y2 = = ( y2 = (x1) + (x+1) = x , es
decir, las funciones son linealmente dependientes.
En general podemos expresar que: y2 = Ay1+ By2 , entonces:
x = A(x ) + B(x +) = (A + B)x +( A + B) (I)
Por polinomios idnticos, los coeficientes que afectan a sus trminos semejantes son iguales, entonces, de (I), para el trmino:
x1 (trmino lineal) : A + B = 1 (1) (1) (2) : 2A = 1 ( A =
x0 (trmino constante): A + B = 0 (2) (1) + (2) : 2B = 1 ( B =
En (I): x = (x 1) + (x + 1)
B) Mtodo II : Utilizando la definicin: c1y1 + c2y2 + c3y3 ( 0 , entonces:
c1(x 1)+ c2x+ c3(x + 1) ( 0 (I)
El cual es un polinomio idnticamente nulo, el cual ocurre en todo polinomio de grado n que se anula para ms de n valores.
PROBLEMAS RESUELTOS
1.- Determine si el conjunto de funciones: e2x, e2x y 3e2x son linealmente dependientes.
Solucin: Como la igualdad: c1e2x + c2e2x + c3.3e2x = 0 (I)
Se verifica para c1 = 3 , c2 = 0 y c3 = 1 , entonces, las funciones son linealmente dependientes.2.- Es el conjunto de funciones: { y1, y2, } linealmente independientes, si:
i) y1 = eaxsenbx y y2 = eaxcosbx
Solucin: Si : c1eaxsenbx + c2eaxcosbx = 0 (I)
( c1senbx + c2cosbx = 0
(1)
( Dx:bc1cosbx bc2senbx = 0 (2)
(1).bsenbx + (2).cosbx :
bsenbx (c1senbx + c2cosbx) + cosbx (bc1cosbx bc2senbx) = 0
( b(c1sen2bx + + c1cos2bx ) = 0
( bc1 = 0 ( bc1.1 = 0 ( bc1 = 0 ( C1=0En (1): 0.+ c2cosbx = 0 ( c2cosbx = 0 ( C2=0 , luego, las funciones linealmente independientes.
Tambin se puede determinar la independencia de las funciones dadas utilizando el wronskiano. Donde:
W [y1, y2] = =
= eax , eax
=e2ax
= e2ax [ b(sen2bx + cos2bx)] = e2ax ( b)(1)
(W [y1, y2] = be2ax 0
ii) y1 = eax , y2 = ebx y y3 = ecx , a b c
W [y1, y2, y3] = = eax. ebx. ecx
W = e(a+b+c)x = e(a+b+c)x(a b)(a c)
W = e(a+b+c)x(a-b)(a-c).1 = e(a+b+c)x(c-b)(a-b)(a-c)0
3.- Demuestre que el conjunto de funciones { ex, xex, x2ex, ex } son funciones linealmente independientes.
Demostracin : Utilicemos el wronskiano para estas cuatro funciones:
W [y1, y2, y3, y4] =
=
= ex.ex.ex.ex
= e2x
( W = e2x = e2x
( W = e2x= e2x = e2x.2.2 = 4e2x
= 4e2x(2 6) = 16e2x 0 ( W 0 , luego, este
conjunto de funciones son linealmente independientes.4.- Prubese que y1 = x sen2x y y2 = 3x 3sen2x son linealmente dependientes.
Solucin: Si: c1y1 + c2y2 0 ( c1(x sen2x) + c2(3x 3sen2x) = 0(I)
la identidad se cumple si: c1 = 3 y c2 = 1 , luego estas dos funciones son linealmente dependientes.
5.- Demuestre que: y1 = x + ex , y2 = 1 + senx y y3 = 0 son linealmente dependientes.
Demostracin:
W [y1, y2, y3] = = 0 ( W = 0 , luego, las tres funciones son linealmente dependientes.
ECUACIN DIFERENCIAL HOMOGNEA CON COEFICIENTES CONSTANTES
EMBED Equation.DSMT4La ecuacin diferencial lineal de orden n dada en (I) tiene importantes aplicaciones cuando las funciones ai(x), ( i ( Z, son constantes. Si adems es cero el segundo miembro, la ecuacin adopta la forma:
a((x)y(n) + a1(x)y(n-1) + ... + an-1(x)y( + an(x)y = 0 . . .(1)en donde a0, a1, . . . , ai, . . . , an son constantes reales con a0 ( 0 y donde adems los ndices superiores de la variable dependiente significan orden de derivacin respecto a x (o respecto a la variable que se tome como dependiente), es decir, que:
y(k) = =dky/dxk = Dy = Dky
Hallaremos ahora un mtodo para resolver la ecuacin dada; para ello resolveremos primero un caso muy especial de la ecuacin (1) que sera la ecuacin diferencial homognea de primer orden, es decir, si tenemos que:
y + ay = 0 entonces: = - ( Ln(y) = -ax + c1 ( y = e-ax + c1 , entonces y = e c1 e-ax
( y = c e-ax , e c1 = ces la solucin general lo cual sugiere que ensayemos como posible solucin de (1) una funcin de la forma:
y = erx . . . (2)
entonces esta funcin y todas sus derivadas deben satisfacer la expresin (1) donde :
y = rerx , y = r2erx , y = r3erx , . . . , y(n) = rnerx . . . (3)
y si sustituimos (2) y (3) en (1) , obtenemos:
a0rnerx + a1rn-1erx + a2rn-2erx + ... + an-2r2erx +an-1rerx + anerx = 0
( ( a0rn + a1rn-1 + a2rn-2 + . . . + an-2r2 + an-1r + an ) erx = 0
y por supuesto que : erx ( 0, entonces se debe cumplir que:
a0rn + a1rn-1 + a2rn-2 + . . . + an-2r2 + an-1r + an = 0 . . . (4)
que, es una ecuacin algebraica de grado n, llamada ecuacin caracterstica o ecuacin auxiliar de (1) y que puede ser obtenida directamente de ste si cambiamos la derivada y(n) por la potencia rn ; ( n ( Z.
En general la ecuacin caracterstica (4) tiene n races o soluciones distintas, pero que puede tener races mltiples o parejas de races complejas conjugadas.
La resolucin de la ecuacin caracterstica es problema que no corresponde propiamente a esta obra, para tal objeto el alumno debe recurrir a textos de lgebra, si bien es cierto que la mayora de los ejercicios que se encuentren en este libro originan ecuaciones fcilmente resolubles, lo cual no siempre suceder con las ecuaciones planteadas en la prctica.
Supongamos que r1, r2, r3, . . . , rn son las races de (4), entre las cuales puede haber races mltiples, entonces podrn presentarse los casos siguientes:
I.- Races reales y distintas.
II.- Races reales mltiples.
III.- Races complejas conjugadas simples.
IV.- Algunas races complejas son mltiples.
I.- RACES REALES Y DISTINTAS:
De las ecuaciones (2) y (4) determinamos que si la ecuacin caracterstica posee n races reales diferentes:
r = r1, r = r2, r = r3, . . . , r = rn ; la ecuacin diferencial (1) tiene las soluciones:
y1 = er1x , y2 = er2x , y3 = er3x , . . . , yn = ernx
entonces, de acuerdo con el teorema, la funcin:y = c1er1x + c2er2x + c3er3x + . . . + cnernx . . . (5)
es una solucin de (1) y como (5) contiene n constantes arbitrarias, es la solucin general de (1), siempre que no haya dos races iguales en (4).
EJEMPLOS:
1.- Resolver: y 3y +2y = 0
SOLUCIN: Sea y = erx la solucin, entonces:
y = rerx , y = r2erx
y 3y +2y = r2erx-3rerx+ 2erx= rerx(r23r+2) = 0
luego: r23r+2 = 0 es la ecuacin caracterstica pedida, el cual se pudo obtener reemplazando y(n) por rn en la ecuacin diferencial propuesta, luego, resolvindola logramos:
(r - 1)(r - 2) = 0 ( r = 1 , r=2
con lo cual la solucin general ser: y = c1ex + c2e2x .
2.- Resolver: y 2y 3y = 0
SOLUCIN: La ecuacin caracterstica (4) es, en este caso:
r2 2r 3 = 0 ( (r + 1)(r - 3) = 0 ( r1 = -1 , r2 = 3
luego, segn (5), la solucin ser:
y = c1e-x + c2e3x3.- Resolver : 3y y 2y = 0
SOLUCIN: La ecuacin caracterstica (4) es, en este caso:
3r3 r2 2r = 0 ( r(3r2 r - 2) = r(3r + 2)(r - 1) = 0
r1 = 0 , r2 = 1 , r3 = -
La solucin es : y = c1e0x + c2ex + c3e-xY = c1 + c2ex + c3e-x
II.- RACES MLTIPLES:Consideramos, ahora, la ecuacin diferencial:
y 4y + 4y = 0 . . . (1)
que al aplicar el mtodo de la seccin 4.3.1 se obtiene la ecuacin diferencial: (D2 4D + 4)y = 0 ; cuya ecuacin caracterstica es : r2 4r + 4 = 0 ; entonces, (r 2)2 = 0 ecuacin que presenta una raz mltiple r1,2 = 2 , de multiplicidad doble. Es evidente entonces, que las funciones: y son linealmente dependientes, por lo que la solucin:y = c1e2x + c2e2x = (c1 + c2)e2x = ce2x
no es esencialmente distinta de: y = c1e2x . . . (2)
funcin solucin que, por incluir una sola constante arbitraria, no puede ser la solucin general de la ecuacin diferencial de segundo orden propuesta. Para obtener la solucin general ensayamos una funcin solucin de la forma:
y = ue2x . . . (3)
que, para u constante, es solucin de (1). Suponiendo ahora que u es a su vez funcin de x, establecemos la condicin que ha de cumplir la funcin u ms general posible para que (3) sea solucin de (1). Es decir, si:
y = ue2x . . . . (() ( y = ue2x + 2 ue2x . . . (()
Dx : y = ue2x + 4ue2x + 4ue2x . . . (()
(() , (() y (() en (1) :
ue2x + 4ue2x + 4ue2x 4(ue2x + 2 ue2x) + 4ue2x = 0
( (u + 4u + 4u 4u 8u + 4u)e2x = 0( ue2x = 0
( u = 0 ( u = c1x + c2, luego, de (3), la solucin general de (1) ser:
YG = (c1x + c2) e2x
Apliquemos el mtodo empleado en el ejercicio precedente para resolver la ecuacin diferencial:
Y 9y + 27y 27y = 0
Solucin: La ecuacin propuesta es:
(D3 9D2 + 27D - 27)y = 0 (I)
( (D - 3)3y = 0 (II)
cuya ecuacin caracterstica es: (r 3)3 = 0 ( r1,2,3 = 3 ,
es decir, es una ecuacin que presenta una raz mltiple de multiplicidad triple r = 3 , luego, una solucin de (I) ser: y1 = c1e3x
lo cual nos sugiere como solucin general de (I), una funcin de la forma : y = ue3x
. . . (()
Dx : y = ue3x + 3ue2x
Dx : y = ue3x + 6ue3x + 9ue3x . . . (()
Dx : y = ue3x + 9ue3x + 27ue3x + 27ue3x
(() y (() en (I):
( u + 9u + 27u + 27u ) e3x - 9( u + 6u + 9u) e3x
+ 27(u + 3u) e3x 27ue3x = 0
( ( u + 9u + 27u + 27u 9u 54u 81u + 27u + 81u 27u ).e3x = 0
( u.e3x = 0 ( u = 0 ( u = c1x2 + c2x + c3
Luego, de ((), la solucin general de (I) es :
y = (c1x2 + c2x + c3).e3xDe los dos ejercicios resueltos anteriormente, notamos que si r = r1 es una raz de multiplicidad doble, entonces, a la funcin solucin se le multiplica por un polinomio lineal de coeficientes indeterminados y si la multiplicidad es triple, a se le multiplica por un polinomio de segundo grado de coeficientes indeterminados.III.- APLICACIONES FSICAS
1. Una partcula se mueve a lo largo del eje X hacia el origen O bajo la influencia de una fuerza de atraccin en O la cual vara directamente con la distancia de la partcula de O. En t = 0 la partcula est a 4 cm de O y se mueve hacia O con velocidad de 6 m/seg y aceleracin de 16 cm/seg2.
a) Encuentre la posicin y velocidad como una funcin del tiempo. b) Encuentre la amplitud, periodo y frecuencia del movimiento. c) Encuentre la velocidad y aceleracin mxima.
Solucin: Sea x(t) la posicin de la partcula, respecto al origen O, que se desplaza a lo largo del eje X.
Aplicando la segunda ley de Newton, podemos establecer que: = ma ( k1x(t) = m
( m+k1x(t) = 0 y si k1 = km, entonces,
+kx(t)=0
x(t) + kx(t) = 0 ( (D2 + k)x(t) = 0 (I)
Si: r2 + k= 0 ( r1,2 = ( i ( x(t) = c1cost + c2sent (II)
Dt: x(t) = c1sent + c2cost = v(t) (III)
Dt: x(t) = kc1cost kc2sent = a(t) (IV)
i) De (II), si t = 0: x(0) = c1(1) + c2(0) = 4 ( c1=4 (1)
ii) De (III), si t=0:x'(0) = +c2(1) = v(0) = 6(c2=6 (2)iii) De (IV), si t = 0: x(0) = kc1(1) = a(0) = 16 ( kc1=16 (3)De (3): k . 4 = 16 ( k=4 (4)
(4) en (2) : c2 = 6 ( (5)
a) (1), (4) y (5) en (II): x(t) = 4cos2t 3sen2t (()
Dt v(t) = x(t) = 8sen2t 6cos2t ()
b) De (():x(t) =cos(2t+) / tag =
(x(t) = 5cos(2t + ) cm
Amplitud: A = 5 cm , Periodo: T= =seg
Frecuencia: f = = ciclos/seg
2. Una partcula se mueve a lo largo del eje de las X de acuerdo con la ley:
. Si la partcula empieza su movimiento en x = 0 con una velocidad inicial de 12 pies/seg hacia la izquierda. Determine x en trminos de t.
Solucin: Si :
(I)
( (D2 + 6D + 25)x = 0 ( r2 + 6r + 25 = 0 ( (r + 3)2 = 16
( r + 3 = ( i4 ( r1,2 = 3 ( i4 ( x(t) = (c1cos4t + c2sen4t)e3t (II)
i) Si t = 0, x(0) = 0 , luego, de (II): x(0) = (c1.1 + c2.0).1 = 0 (
En (II): x(t) = c2e3tsen4t (III)
ii) Dt: v(t) = x(t) = c2[ 3e3tsen4t + 4e3tcos4t ] (IV)
Si t = 0 , x(0) = 16 (x(0) = c2[ 3(1)(0) + 4(1).1 ] = 12 ( 4c2= 12
( c2 = 3 ( De (III): x(t) = 3e3tsen4t
3. Una masa m se proyecta verticalmente hacia arriba desde O con una velocidad inicial vo. Hallar la altura mxima alcanzada, suponiendo que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad.
Solucin:
Consideremos la direccin desde O hacia arriba como positiva y sea y la distancia de la masa, medida a partir de O, en el instante t. Sobre la masa actan dos fuerzas, la fuerza gravitatoria, de magnitud w = mg y la resistencia del aire de magnitud: Fr = kv, dirigidos, ambas, hacia abajo. Por tanto, por la segunda ley de Newton podemos establecer que:
(F = ma ( w Fr = ma
( mg k = m ( D2y + Dy = g (I)
( (D2 + D)y = g (II)
i) yH: r2 + r = 0 ( r1 = 0 y r2 = ( yH(t) = c1 + c2
(1)
ii) yp = ?? De(II): D(D + )yp = eot ( yp = ..
( yp = .. ( yp = ..(1) =
( yp = t (2)
De (1) y (2): y(t) = c1 + c2 t ()
Dt: v(t) = y(t) = c2 t ()
Como y = 0 y y= v0 cuando t = 0 , entonces de () y () tenemos:
y(0) = c1 + c2 = 0 c1 = c2
y(0) = c2 = v0 c2 = = c1 (()
(() en (): y(t) =
EMBED Equation.DSMT4 t (III)La altura mxima se logra cuando v(t) = 0 , entonces, de (), si : v(t) = 0
v(t) = c2
La fuerza que alarga a un resorte es proporcional al aumento de longitud del mismo e igual a 1kgf, para un aumento de longitud de 1cm. Del resorte est suspendida una carga cuyo peso es de 2kgf. Hallar el perodo del movimiento oscilatorio que recibir esta carga, si se tira de ella un poco hacia abajo y despus se suelta.
Solucin:
Por dato:
(I)
(II)
Como:
Una carga, cuyo peso es P = 4kgf, est suspendida de un resorte al que alarga en 1cm. Hallar la ley del movimiento de esta carga, si el extremo superior del muelle efecta las oscilaciones armnicas verticales y en el momento inicial la carga estaba en reposo (la resistencia del medio se desprecia).
Rpta.:
Solucin: Si x la posicin de la coordenada vertical del peso, medida a partir de la posicin de reposo de la carga.
(I)
Donde:
es la distancia desde el punto de reposo de la carga hasta el punto inicial de enganche del resorte, L es la longitud del resorte en estado de reposo, entonces:
(1)
(1) en (I), si:
Como:
(II)
i)
ii)
De
(III)
Para
De (III):
(IV)
Para
L es la longitud del muelle en estado libre
K = 400, que se deduce fcilmente de las condiciones iniciales.
Un punto material de masa m es atrado por cada uno de dos centros. La fuerza de atraccin de cada uno es proporcional a la distancia. El coeficiente o factor de proporcionalidad es igual a k. Hallar la ley del movimiento del punto, sabiendo que la distancia entre los dos centros es de 2b, y que en el momento inicial el punto se encontraba en el segmento que une entre si dichos centros, a una distancia c del punto medio del mismo y que su velocidad inicial era igual a cero.
Solucin: Segn la hiptesis (enunciado del problema), la velocidad inicial es igual a y su direccin es perpendicular a la recta que une los centros. Hallemos las trayectorias; tomando como origen de coordenadas el punto medio del segmento entre los centros. Las ecuaciones diferenciales del movimiento son:
i)
ii)
Las condiciones iniciales para
i)De (I), si:
,
Entonces, la solucin general de la ecuacin, dada en (1), es:
Para:
ii)De (II), si:
(2)
Por la similitud con la ecuacin dada en la ecuacin diferencial (1), la solucin ser:
Para t = 0
(IV)
Las relaciones obtenidas en (III) y (IV) son las ecuaciones paramtricas del movimiento del punto.
Adems, de (III):
de (IV):
, es una elipse
Dos pesos iguales estn colgados del extremo de un resorte. Hallar la ecuacin del movimiento que efectuar uno de estos pesos, si el otro se desprende.
Solucin:Supongamos que el aumento de longitud que experimenta el resorte bajo la accin de uno de los pesos, en estado de reposo, es igual a a y que la masa de dicho peso es m. Designemos con la letra x la coordenada de este peso, tomada en direccin vertical, a partir de la posicin de equilibrio cuando solo hay un peso. En tal caso.
(1)
Adems:
(2)
(2) en (1):
(I)
De (I):
Entonces, la solucin general de (I) es:
(II)
i) Si
(3)
ii)Si
De (II):
(III)
iii)Si
(4)
(3) y (4) en (II):
donde a es el alargamiento del resorte bajo la accin de un peso en el estado de equilibrio.
Dos cargas iguales estn suspendidas al extremo de un muelle. Hallar el movimiento que adquiere una de las cargas si la otra se desata.
Una cadena flexible de longitud L descansa sobre una mesa lisa con una parte de longitud d colgando del borde. El sistema que inicialmente est en reposo se deja en libertad. Describa el movimiento. La cadena pesa W kg. por metro.
Solucin: Dibujemos los diagramas de slidos libres de los dos trozos de la cadena, con la misma tensin T, que acta sobre cada trozo.
a)
(1)
b)
(2)
Sumemos las expresiones dadas por (1) y (2), logrando:
(I)
Luego, la solucin de la ecuacin diferencial dada en la expresin (I), es:
(II)
Para determinar los valores de las constantes , debemos utilizar los valores dadas por la condiciones iniciales, donde
De (II):
(III)
a)De (II), si
(3)
b)De (III), si
(4)
De (3) y (4), obtenemos:
(5)
(5) en (II):
Una boya cilndrica de 40cm de dimetro, que flota verticalmente en agua de densidad 1.030 kg por litro, se la separa un poco de su posicin de equilibrio y se la suelta. Se sabe que el periodo del movimiento resultante es seg. Hllese el peso de la boya
Solucin:Consideremos el origen de coordenadas en la interseccin del eje del cilindro y la superficie del lquido cuando la boya est en equilibrio y considrese como positivo el sentido hacia abajo.
Sea x (dm) el desplazamiento de la boya en el tiempo t. Por el principio de Arqumedes todo cuerpo sumergido parcial o totalmente sumergido.
Ejemplo
(I)
Donde:
Dimetro:
Volumen:
(1)
Sumergido
(1) en (I):
Se emplea un lquido de densidad y longitud total L en el manmetro representando en la figura. Un aumento repentino de presin en un lado fuerza al lquido hacia abajo. Cuando desaparece la presin el lquido oscila. Despreciando el amortiguamiento por razonamiento, Cul ser la frecuencia de la vibracin?
Solucin:Supongamos que el lquido est a una distancia x por debajo de la posicin de equilibrio de la columna izquierda y desde luego, a una distancia x por encima de la posicin de equilibrio en la columna derecha.
La fuerza sin equilibrar que tiende a restaurar el equilibrio es el peso de la columna de lquido de altura 2x. Este peso es siendo A el rea de la seccin recta del lquido. El peso total de lquido en movimiento es .
Aplicando la ley de Newton, podemos establecer que:
, luego, la solucin de la ecuacin diferencial dada en (I) es:
(II)
El perodo T de la funcin obtenida en (II) es: , siendo: la frecuencia f est dada como:
Obsrvese que f es independiente de la densidad del lquido y del rea de la seccin recta.
Un cilindro est lastrado de modo que flote segn se indica en la figura. Si la seccin del cilindro tiene y su peso es W kg, cul ser la frecuencia de oscilacin si se empuja el cilindro hacia abajo ligeramente y luego se suelta? La densidad del lquido es . Desprciense los efectos amortiguadores del lquido en movimiento.
Solucin:Cuando el cilindro est a una distancia x por debajo de su posicin de equilibrio es empujado hacia arriba por una fuerza igual al peso del lquido desplazado (empuje). Empleando las leyes de Newton, la fuerza sin equilibrar, que va hacia arriba cuando el deslizamiento es hacia abajo, es igual al producto de la masa por su aceleracin. Considerando positivo el desplazamiento hacia abajo, entonces:
(I)
luego, la solucin de la ecuacin dada en (I) es:
(II)
Recordemos que si: entonces su periodo es:
ciclos/seg (cps)
Una partcula de peso W est suspendida de una cuerda de longitud L, como se muestra en la figura adjunta. Determine el periodo y la frecuencia de este pndulo simple.
Solucin:Haciendo el diagrama de fuerzas, las nicas fuerzas que actan sobre la partcula son la tensin T de la cuerda y su peso dirigido verticalmente hacia abajo. La posicin de la partcula en un instante cualquiera t podemos expresarlo en funcin del ngulo . Escogiendo como el Eje X la tangente a la trayectoria de la partcula en la posicin mostrada en el diagrama dada en la figura (b), la ecuacin del movimiento es:
i)
(I)
donde la aceleracin es nula cuando es cero, es decir, en la posicin mas baja de la partcula.
La ecuacin diferencial, obtenida en (I), podemos resolverlo observando que es tangente a la trayectoria y, por consiguiente, resulta que:
(1)
donde : aceleracin angular de la cuerda y de la partcula. Luego reemplazando la expresin dada en (1), en la ecuacin diferencial, resulta:
(II)
Ecuacin que no es una ecuacin diferencial lineal, lo cual se logra que sea lineal para desplazamientos angulares pequeos.
Recordemos el desarrollo en serie de Maclaurin para el sen,
Para el caso de desplazamientos angulares pequeos, es aproximadamente igual a expresado en radianes, es decir:
(2)
Al reemplazar la expresin dada en (2) en (II), la ecuacin del movimiento se transforma, para desplazamiento pequeos en
(III)
(IV)
Los constantes se obtienen en un problema dado utilizando las condiciones lmites.
De (IV) obtenemos que:
*
* Ciclo: Es el movimiento de la partcula desde un punto inicial hasta el mismo punto despus de recorrer todas sus posiciones posibles.
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Una cadena de 9,8m de largo se extiende sobre una mesa horizontal lisa de modo que su mitad queda sobre la mesa y la otra mitad cuelga libremente. Si se deja la cadena en libertad, hallar el tiempo que tardar la cadena en abandonar la mesa.
Rpta.:
2. Un cuerpo que pesa 3kg cae en un medio en el que la resistencia K es 0.125kg-seg/m. Cul es la velocidad Terminal?
Rpta.:
3. Una partcula de masa m se proyecta verticalmente hacia arriba con una velocidad en un medio cuya resistencia es Kv. Determine el tiempo que tardar la partcula en quedar en reposo.
Rpta.:
4. Una partcula de masa m se proyecta verticalmente hacia arriba con una velocidad en un medio cuya resistencia es . Determine el tiempo que tardar la partcula en quedar en reposo.
Rpta.:
5. Un cilindro oscila respecto a un eje fijo con una frecuencia de 10cpm. Si el movimiento es armnico con una amplitud de 0.10 radianes, hallar la aceleracin mxima en.
Rpta.:
6. Un madero que pesa tiene un dimetro de 12cm y una longitud de 1.5m. si mientras est flotando verticalmente en el agua se le desplaza hacia abajo de su posicin de equilibrio, cul ser el periodo de oscilacin?.
Rpta.:
7. Un pndulo simple consiste en un pequeo peso w atado al extremo de una cuerda de longitud L. Demuestre que para pequeas oscilaciones la frecuencia natural es
8. Un pndulo est formado por un disco de masa m y una varilla delgada de masa despreciable. Demuestre que la ecuacin diferencial del movimiento es:
3.9 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo ordenVibraciones Mecnicas.- El movimiento de una masa sujeta a un resorte sirve de ejemplo muy sencillo de las vibraciones que ocurren en los sistemas mecnicos ms complejos.
Para muchos de estos sistemas, el anlisis de las vibraciones es un problema de resolucin de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.
Supongamos un cuerpo de masa sujeto a un extremo de un resorte ordinario que resiste tanto a la compresin como el estiramiento; el otro extremo del resorte est sujeto a un muro fijo como se muestra en la figura.
Suponiendo que el cuerpo descansa sin friccin sobre un plano horizontal, de modo que solo puede moverse hacia atrs y hacia delante cuando el resorte se estira o se comprime. Sea la distancia del cuerpo a la posicin de equilibrio (posicin cuando el resorte no est estirado).
Considerando cuando el resorte est estirado y cuando el resorte est comprimido.
De acuerdo con la ley de Hooke, la fuerza restauradora que el resorte ejerce sobre la masa es proporcional a la distancia a la que el resorte se ha estirado o comprimido.
Puesto que esto es igual al desplazamiento de la masa de sus posicin de equilibrio se deduce que (1), donde se llama constante de resorte.Observar que y tienen signos opuestos: cuando y cuando . La figura muestra tambin que la masa est sujeta a un amortiguador (un dispositivo que absorbe los choques y que produce una fuerza opuesta a la direccin del movimiento de la masa ).
Supondremos que el amortiguador est diseado de modo que esta fuerza sea proporcional a la velocidad de la masa, de modo que (2), donde la constante es la constante de amortiguamiento del amortiguador.
En trminos ms generales podemos considerar a (2) como una fuerza especfica de friccin en nuestro sistema (incluyendo la resistencia del aire del movimiento de ).
Si adems de las fuerzas y la masa est sujeta a una fuerza externa dada , entonces la fuerza total que acta sobre la masa es .
Aplicando la ley de Newton , obtenemos la ecuacin de segundo orden (3) que gobierna el movimiento de la masa.
Si no hay amortiguador (e ignoramos todas las fuerzas de friccin), entonces en la ecuacin (3) consideramos y decimos que el movimiento es no amortiguado, el movimiento es amortiguado cuando.Si no hay fuerza externa ,anulamos en la ecuacin(3).Diremos en este caso que el movimiento es libre y diremos que es forzado en el caso en que , as la ecuacin homognea (4) describe el movimiento libre de una masa en un resorte con un amortiguador ,pero sin fuerzas externas aplicados sobre ella.Por ejemplo podramos sujetar la masa al extremo inferior de un resorte suspendido verticalmente de un soporte fijo como se ve en la figura.
En este caso, el peso de la masa estirar el resorte una distancia determinada por la ecuacin (1) con y .Es decir, por lo que .Esto da la posicin de equilibrio esttico de la masa .Si denota el desplazamiento de la masa en movimiento ,medido hacia debajo de la posicin de equilibrio esttico, se prueba que satisface la ecuacin (3), esto es (5) si incluimos fuerzas externas y de amortiguamiento.
Movimiento libre no amortiguado.- Si slo tenemos una masa en el resorte, sin amortiguador ni fuerzas externas, la ecuacin (3) toma la forma ms simple (6), conviene definir (7) y reescribimos la ecuacin (6) como (8), y cuya solucin general es (9).
Para analizar el movimiento descrito mediante esta solucin, elegimos constantes y tales que , y (10) como se aprecia en la figura
Observar que en , el ngulo no est dado por la inversa de la funcin tangente, cuya imagen es el intervalo.Por el contrario,
es el ngulo entre y cuyo coseno y seno tienen los signos dados en
(10).
De las ecuaciones (9) y (10) tenemos que
(11)
As, la masa oscila a uno y a otro lado de su posicin de equilibrio con Amplitud
Frecuencia circular y
Fase angular
A tal movimiento se le denomina Movimiento Armnico Simple.La grfica clsica de es la figura adjunta abajo.
Si el tiempo se mide en segundos, la frecuencia circular tiene dimensiones de radianes por segundo (rad/seg.)
El perodo del movimiento es el tiempo requerido para que el sistema complete una oscilacin, est definido por segundos y su frecuencia es en hertzios (Hz) (12), que mide el nmero de oscilaciones (ciclos) por segundo.
Si la posicin y la velocidad inicial de la masa se conocen, se determinan los valores de .
Ejemplos
1.- Un cuerpo que pesa 16 libras est sujeto al extremo de un resorte que se estira mediante una fuerza de 100 libras. El cuerpo se pone en movimiento con posicin inicial y velocidad inicial (Observar que estos datos indican que el cuerpo es desplazado haca la derecha y que se mueve hacia la izquierda al instante ). Encuentre la funcin solucin que da la posicin del cuerpo, as como la amplitud, frecuencia, perodo de oscilacin y ngulo de fase de su movimiento.
SolucinTomamos .La masa del cuerpo ser entonces ,la constante principal es y por ecuacin (8) tenemos que As que el cuerpo oscilar con frecuencia y perodo
Imponiendo las condiciones iniciales , en la solucin general se obtiene que , entonces , por lo tanto la amplitud del movimiento es . Para hallar el ngulo de fase, escribimos .
As , se requiere que y .Por lo tanto es el ngulo del cuarto cuadrante rad.
Teniendo todo lo requerido la funcin de posicin es .
2.- Una masa que pesa estira un resorte pulgadas al llegar al reposo en equilibrio.
Se tira o se jala luego de la masa a pulgadas debajo del punto de equilibrio y se le aplica una velocidad de dirigida haca abajo. Despreciando todas las fuerzas de amortiguacin o externas que pueden estar presentes, hallar la ecuacin de movimiento de la masa, su amplitud, perodo y frecuencia natural. Cunto tiempo transcurre desde que se suelta la masa hasta que pasa por la posicin de equilibrio?
SolucinComo se trata de un caso de vibracin libre no amortiguada, la funcin de movimiento est dado por , para hallar la constante , observamos que la masa de estira al resorte pulgadas o pie. Por la ley de Hooke se tiene que Comose obtiene que
Por consiguiente
, haciendo uso de las condiciones iniciales y para encontramos los valores de y ,
, como est en el primer cuadrante, entonces
.
As , la amplitud es y el ngulo de fase , el perodo es y la frecuencia natural es .Por ltimo para determinar cuando pasar la masa por la posicin de equilibrio , se debe despejar t de la funcin
, para y como .
Para obtenemos los tiempos positivos para los cuales la masa pasa por su posicin de equilibrio.
El primer caso ocurre para ,
COEFICIENTES INDETERMINADOS
Forma de Q(x)Raz de la ecuacin caractersticaForma de la Solucin Particular
110A
2xn0A0xn + A1xn1 + A2xn2 + + A n2x2 + A n1x + An
3eaxaAeax
4xneaxaeax(A0xn + A1xn1 + A2xn2 + + A n2x2 + A n1x + An)
5senbx cosbx( ibAcosbx + Bsenbx
6eaxsenbx eaxcosbxa ( ibeax(Acosbx + Bsenbx)
7xnsenbx xncosbx( ibcosbx (A0xn + A1xn1 + A2xn2 +
+ A n2x2 + A n1x + An)
+ senbx (B0xn + B1xn1 + B2xn2 +
+ B n2x2 + B n1x + Bn)
8xneaxsenbx xneaxcosbxa ( ibeax cosbx (A0xn + A1xn1 + A2xn2 +
+ A n2x2 + A n1x + An)
+ eax senbx (B0xn + B1xn1 + B2xn2 +
+ B n2x2 + B n1x + Bn)
El mtodo de coeficientes indeterminados consiste en presuponer una forma de solucin de acuerdo a la forma de Q(X)
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando el mtodo de coeficientes indeterminados:y 9y = x + e2x sen2x
Solucin : Si : y 9y = x + e2x sen2x (I)
i) yH : y 9y = 0 ( (D2 9)y = 0 ( (D + 3)(D 3) y = 0
( r1 = 3 y r2 = 3 ( yH = c1e3x + c2e3x (II)
ii) yp : De la ecuacin diferencial propuesta podemos expresar que la solucin particular tendr la forma siguiente:
yp = A0x + A1 + Be2x + Ccos2x + Dsen2x ()
Dx :yp = A0 + 2Be2x 2Csen2x + 2Dcos2x ()
Dx :yp = 4Be2x 4Ccos2x 4Dsen2x (()
De (), () y (() , si : y 9y = x + e2x sen2x
( 4Be2x 9(A0x + A1 + Be2x + +
) = x + e2x sen2x
( 9A0x 9A1 13Ccos2x = x +
Igualando coeficientes, obtenemos:
(x1 : 9A0 = 1 (1)(A0 =
x0: 9A1 = 0 (2)(A1 = 0
e2x: 5B = 1 (3)(B =
sen2x: 13D = 1 (4)(D =
cos2x: 13C = 0
(5)(C = 0
Al reemplazar los valores, de las constantes determinadas obtenemos la solucin particular: yp =
.- y + 6y+ 9y = 10 senx
Solucin: Si: y+6y+ 9y =10senx ( (D2 + 6D + 9)y=10senx (I)
i) yH :(D2 + 6D + 9)y = 0 ( (D + 3)2y = 0 ( r1,2 = 3 , como la ecuacin caracterstica presenta una raz real mltiple, de multiplicidad doble, entonces, la solucin homognea es:
yH = (c1x + c2)e3x (1)
ii) yp = ?Para hallar yp utilizaremos el mtodo de coeficientes indeterminados y el mtodo de operadores.
a) Por coeficientes indeterminados:
De (I) , sea :yp = Acosx + Bsenx()
( Dx: yp = Asenx + Bcosx (Dx:y= Acosx Bsenx()
() y () en (I), si : yp + 6yp + 9 yp = 10senx
( -Acosx - + 6(-+Bcosx) + 9(Acosx+) = 10senx
( 2(4A + 3B)cosx + 2(4B 3A)senx = 10senx
Igualando coeficientes para senos y cosenos, podemos establecer que: cosx : 4A + 3B = 0 () 4() - 3() : 25A = -15 ( A = -
( senx : -3A + 4B = 5()3() + 4() : 25B =20 ( B =
En () :yp = cosx + senx
b) Por operadores:
De (I): yp=10senx = 10senx=5senx
( yp = 5(3D 4).senx = 5(3D 4).senx
= 5(3D 4).senx = 5(3D 4).senx
= (3D 4)senx = (3Dsenx 4senx)
( yp = (3cosx 4senx) (2)
De (1) y (2): yG= yH + yp ( yG= (c1x + c2)e3x +senx cosx
.- Resuelva: y 4y + 4y = x2
Solucin : Si : y 4y + 4y = x2 (I)
i) yH :(D2 4D + 4)y = 0 ( (D 2)2y = 0
( r1,2 = 2 ( yH = (c1x + c2)e2x (II)
ii) yp : Sea: yp = A0x2 + A1x + A2 ()
( Dx : yp = 2A0x + A1 y yp = 2A0 ()
Si yp es una solucin particular de la ecuacin diferencial dada en (I), entonces, debe cumplirse que:
, luego, de () y ():
4( 2A0x + ) + 4(A0x2 + A1x + ) = x2
( 4A0x2 + 4(A1 2A0)x + 2(A0 2A1 + 2A2) = x2
Igualando los coeficientes de los dos polinomios idnticos,
podemos establecer que:
x2 : 4A0 = 1
(1) ( A0 =
x1 : 4(A1 2A0) = 0 (2) ( A1 = 2A0 = 2() ( A1 =
x0 : 2(A0 2A1 + 2A2)= 0 (3) ( 2A2 = 2A1 A0
(2A2= 2() = ( A2 =
con los valores de las constantes halladas, obtenemos de ():
yp = x2 + x +
Resolver:
1) y - y = 12
2) y + 5y + 6y = - 6x - 1
3) y - 2y = 12x-2
4) y +
MTODOS OPERADORES
TABLA DE OPERADORES INVERSOS
Si P(D)yp = Q(x) , entonces , yp = Q(x)
1.-
eax = eax , P(a) 0
2.-
eax = , m = 1, 2, 3,
3.-
eax = , m = 1, 2, 3, ; P(a) 0
4.-
senbx = , a b
5.-
senax =
6.-
cosbx = , a b
7.-
cosax =
8.-
senx=,(denominador 0)
9.-
cosx =,(denominador 0)
10.-i) c Q(x) = c Q(x) , c : constante.
ii) [c1Q1(x)+c2Q2(X)] = c1Q1(x)+c2Q2(x),c1 ,c2:ctes
11.-
Q(x) =
EMBED Equation.DSMT4 =
EMBED Equation.DSMT412.-i) Q(x) =
ii) Q(x) =
13.-
MTODO OPERADORES
Si (
Propiedad N 1:
Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
1.- Resolver: y + 4y = 12
Solucin: Si: y + 4y = 12
... (I)
i) ( ( (ii) 2.- y-y-12y=4e2x
Solucin: Si: y - y- 12y = 4e3x
... (I)
i) ii) Propiedad N 2: 3.- Resolver: y-6y+9y=4e3x
Solucin: Si: y - 6y+ 9y = 4e3x
... (I)
i)
ii)
4.- Resolver: y- 6y+ 12y+ 8y = 6e-2x
Solucin: Si: y + 6y+ 12y + 8y= 6e-2x
... (I)
i)
ii)
Propiedad N 3: Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones:
1.- y- 4y-12y=6e6x
Solucin: Si: y + 4y- 12y = 48e6x
... (I)
i)
ii)
donde:
2.- Resolver:
Solucin: i) ii)
Propiedad N 4: senbx = , a b
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
1.- y + 36y = 128 sen10x
Solucin: Si : y + 36y = 128 sen10x (I)
( (D2 + 36)y = 128 sen10x (II)
i) yH : r2 + 36 = 0 ( r = ( i 6
( yH = c1cos6x + c2sen6x (1)
ii) yp : De (II) : yp = -128sen10x = -128sen10x
( yp = -128..sen10x = 2sen10x ( yp= 2sen10x (2)
2.- y + 25y = 18 sen 4x
Solucin: Si : y + 25y = 18 sen 4x (I)
( D2y + 25y = 18 sen 4x ( (D2 + 25)y = 18 sen 4x (II)
i) yH : r2 + 25 = 0 ( r = ( i 5
( yH = c1cos5x + c2sen5x (1)
ii) yp : De (II) : yp = 18.sen4x = 18.sen4x
( yp = 18..sen 4x = 2sen 4x ( yp = 2sen 4x (2)
3.- y + 9y = 10 sen 2x
Solucin: Si : y + 9y = 10 sen 2x (I)
( D2y + 9y = 10 sen 2x ( (D2 + 9)y = 10 sen 2x (II)
i) yH : como: r2 + 9 = 0 ( r2 = 9 ( r = ( i 3
( yH = c1 cos 3x + c2 sen 3x (1)
ii) yp : De (II) : yp = 10.sen2x = 10.sen2x
( yp = 10..sen 2x = 2sen 2x ( yp = 2sen 2x (2)
4.- y+ 25y = 3sen3x
Solucin: si: y+ 25y = 3sen3x(I)
( ...(II)
i) yH : r2 + 25 = 0 ( r2 = 25 ( r = ( i 5
( yH = c1 cos 5x + c2 sen 5x (1)
ii) yp : De (II) : Si: yp = 3. sen3x
( yp = 3 sen 3x ( yp = sen x (2)
Propiedad N 5: senax =
1.- y + 4y = 12 sen 2x
Solucin: Si : y + 4y = 12 sen 2x (I)
( D2y + 4y = 12 sen 2x ( (D2 + 4)y = 12 sen 2x (II)
i) yH : como: r2 + 4 = 0 ( r2 = 4 ( r = ( i 2
( yH = c1 cos 2x + c2 sen 2x (1)
ii) yp :De (II), si : (D2 + 4)yp = 12 sen2x ( yp =12.sen2x
( yp = ( yp = (2)
2.- y + 9y = 18 sen 3x
Solucin: Si : y + 9y = 18 sen 3x (I)
( D2y + 9y = 18 sen 3x ( (D2 + 9)y = 18 sen 3x (II)
i) yH : como: r2 + 9 = 0 ( r2 = 9 ( r = ( i 3
( yH = c1 cos 3x + c2 sen 3x (1)
ii) yp :De(II), si : (D2 + 9)yp = 18 sen3x ( yp=18. sen3x
( yp = 18. = 3xcos3x ( yp = -3x cos 3x (2)
3.- y + 3y = 6senx
Solucin: Si : y + 3y = 6senx (I)
( D2y + 3y = 6senx ( (D2 + 3)y = 6senx (II)
i) yH : r2 + 3 = 0 ( r2 = 3 ( r = ( i
( yH = c1 cos x + c2 sen x (1)
ii) yp : De (II), si: (D2 + 3)yp = 6senx
( yp = 6.senx
( yp = 6.= 3xcosx ( yp = 3x cosx (2)
Propiedad N 6 : cosbx = , a b
1.- y + 16y = 18 cos 5x
Solucin: Si : y + 16y = 18 cos 5x (I)
( D2y + 16y = 18 cos 5x ( (D2 + 16)y = 18 cos 5x (II)
i) yH : como: r2 + 16 = 0 ( r2 = 16 ( r = ( i 4
( yH = c1 cos 4x + c2 sen 4x (1)
ii) yp :De (II) , si : yp = 18.cos 5x = 18.cos 5x
( yp = 18.cos 5x = 2 cos 5x ( yp = 2 cos 5x (2)
2.- y + 6y = 4 cos 2x
Solucin: Si : y + 6y = 4 cos 2x (I)
( D2y + 6y = 4 cos 2x ( (D2 + 6)y = 4 cos 2x (II)
i) yH : como: r2 + 6 = 0 ( r2 = 6 ( r = ( i
( yH = c1 cos x + c2 sen x (1)
ii) yp : De (II), si: (D2 + 6)yp = 4 cos 2x ( yp = 4.cos 2x
( yp = 4.cos 2x = 4.cos 2x ( yp = 2 cos 2x (2)
3.- y + 3y = 8 cos x
Solucin: Si : y + 3y = 8 cos x (I)
( D2y + 3y = 8 cos x ( (D2 + 3)y = 8 cos x (II)
i) yH : como: r2 + 3 = 0 ( r2 = 3 ( r = ( i
( yH = c1 cos x + c2 sen x (1)
ii) yp :De (II) , si : (D2 + 3)yp = 8 cos x ( yp = 8.cos x
( yp = 8.cos x = 8..cos x ( yp = 4 cos x (2)
Propiedad N 7 : Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
1.- Resolver: y+ y = 16 cos 3x
Solucin: Si: y + y = 16 cos 3x(I)
(
i) yH : como: r2 + 1 = 0 ( r = ( i(1)
( yH = c1 cos x + c2 sen x (1)
ii) yp : De (II) , si : (D2 + 1)yp = 16 cos 3x
( = ( yp = -2cos 3x
2.- Resolver: y + 16y = 15 cosx
Solucin: Si: y + 16y = 15cosx(I)
(
i) yH : como: r2 + 16 = 0 ( r = ( i4
( yH = c1 cos4x + c2 sen 4x (1)
ii) yp : De (II) , si : (D2 + 16)yp = 15 cos x
(yp =
( yp = cos x (2)Propiedad N 8 :
sen(wx) =
1.- y + 2y+ y = 100 sen 3x
Solucin: Si : y + 2y + y = 100 sen 3x (I)
( D2y + 2Dy + y = 100 sen 3x ( (D2 + 2D + 1)y = 100 sen 3x (II)
i) yH : como: r2 + 2r + 1 = 0 ( (r + 1)2 = 0 ( r1,2 = 1
( yH = (c1x + c2 )ex (1)
ii) yp : De (II) , si : (D2 + 2D + 1)y = 100 sen 3x
( yp = 100.sen 3x = 100.
= .
( yp = 8 sen 3x 6 cos 3x (2)
2.- y + 2y + 5y = 40 sen x
Solucin: Si : y + 2y + 5y = 40 sen x (I)
( D2y + 2Dy + 5y = 40 sen x ( (D2 + 2D + 5)y = 40 sen x (II)
i) yH : como: r2 + 2r + 5 = 0 ( (r + 1)2 = 4 ( r1,2 = 1 ( i 2
( yH = (c1cos2x + c2 sen2x)ex (1)
ii) yp :De (II) , si : (D2 + 2D + 5)yp = 40 sen x
( yp = 40.sen x = 40.
= 40.
( yp = 4(2senx cosx) (2)
Propiedad N 16 : Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
1.- Resolver: y 4y+ 4y = 12e2xx2
Solucin: Si : y 4y+ 4y = 12e2xx2 (I)
( (D2 4D + 4)y = (D 2)2y = 12e2xx2 (II)
i) yH : como: (r 2)2 = 0 ( r1,2 = 0 , luego, la solucin
homognea es: yp = (c1x + c2)e2xii) yp :De (I) , si : (D 2)2yp = 12e2xx2 ( yp = 12. e2xx2
( yp = 12 e2x x2 = 12 e2x
= 12e2x= e2x ( yp = e2xx4
2.- Resolver : y + 2y+ 5y = 4ex cos2x
Solucin: Si : y + 2y+ 5y = 4ex cos2x (I)
( (D2 + 2D + 5)y = 4ex cos2x (II)
i) yH : r2 + 2r + 5 = 0 ( (r + 1)2 = 4 ( r1,2 = 1 ( i 2
( yH = (c1cos2x + c2 sen2x) e-x (1)
ii) yp : De (II) , si : (D2 + 2D + 5)yp = 4ex cos2x
( yp = 4.excos2x = 4ex. cos2x
( yp =ex. ( yp = ex x sen 2x(2)
3.- Resolver y + 4y + 13y = e2x sen 6x
Solucin: Si : y + 4y + 13y = e2x sen 6x (I)
( (D2 + 4D + 13)y = e2x sen 6x (II)
i) yH : r2 + 4r + 13 = 0 ( (r + 2)2 = 9 ( r1,2 = 2 ( i 3
( yH = (c1cos3x + c2 sen3x) e2x (1)
ii) yp : De (II) , si : (D2 + 4D + 13)yp = e2x sen 6x
( [ (D + 2)2 + 32 ] yp = e2x sen 6x
( yp = e2xsen 6x = ex. sen 6x
( yp = e2x sen 6x ( yp = sen 6x
APLICACIONES A LOS CIRCUITOS ELTRICOS SERIES RLC:En el captulo anterior se estudi, como una aplicacin de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, los circuitos series RL y RC, adems se dieron las bases tericas mnimas necesarias para poder absorber con xito cualquier problema propuesto. Ahora abordaremos las aplicaciones de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden no homogneas con coeficientes constantes. Para ello bsicamente recordaremos y aplicaremos continuamente la segunda ley de Kirchhoff, de la conservacin de la masa, que se anuncia como:
La suma algebraica de todas las cadas de voltaje alrededor de una malla es cero.
En esta seccin trataremos el caso donde una resistencia, condensador e inductor estn conectados en serie con una batera o generador, es decir, resolver problemas que involucran circuitos elctricos, generalmente, de una sola malla. Debo recalcarle, sin embargo, que en trabajos de ingeniera avanzada, a menudo es esencial considerar redes elctricas que involucran ms de una malla; las cuales sern estudiadas en el ltimo captulo al tratar las aplicaciones a sistemas de ecuaciones diferenciales.
CIRCUITO SERIE RLC:Considere el circuito de la figura adjunta. Cuando el interruptor k est cerrado, fluye una corriente instantnea. Si Q es la carga instantnea en el condensador C, entonces, por la ley de Kirchhoff, podemos establecer que:
= 0 ( (t) vL vR vC = 0 ( vL + vR + vC = (t) ...(1)
donde (t), la fem, puede ser constante o puede depender del tiempo y L, R, C, por lo general, son constantes.
Se recomienda, para resolver la ecuacin (1), trabajar como variable dependiente a Q, as se pida la intensidad de corriente i(t) que circula a travs de la malla.
Recurdese que:
a) Q(t) = . . . (() ( = i(t) . . . . . (()
b) vL = L ( de ((): =
luego: vL = L = . . . . . . (()
c) vC = = . . . . . . (()
De (I), si: vL + vR + vC = (t), entonces, L + Ri + = (t)
De (() y (():
LQ(t) + RQ(t) + Q = (t) ( (LD2Q + RDQ + Q) = (t)
( (LD2 + RD + )Q(t) = U(t) . . . . . .(I)
ecuacin diferencial que se resolver sin ninguna dificultad al conocer la fem ((t)) y los valores de L, R y C.
Ejemplos:1. Una fem de 500 voltios est en serie con una resistencia de 20 ohmios, un inductor de 4 henrios y un condensador de 0.008 faradios. En t = 0, la carga Q y la corriente I son cero.
a) Encuentre Q e I para t 0.
b) Indique los trminos transiente y de estado estacionario en Q e I.
c) Encuentre Q e I despus de un largo tiempo.
SOLUCIN: Al aplicar la segunda ley de Kirchhoff en el circuito tenemos que:
vL + vR + vC = (t) ,
entonces;
LD2Q + RDQ + Q= (t)
luego, de los datos:
4D2Q +20DQ +125Q=500
( (D2 + 5D + )Q(t) = 125
. . .(I)
i) QH: r2 + 5r + = 0 ( (r + )2 + 25 = 0
( r + =
( r1,2 = - i5
( QH(t) = (C1Cos(5t) + C2Sen(5t))e- . . . (1)
ii)QP: De (I): QP(t) = 125
( QH(t) = 125e0t = 125
( QP(t) = 4
. . . (2)
De (1) y (2): Q(t) = (C1Cos5t+ C2Sen5t)e-+ 4
. . . (II)
De (II): I(t) =
I(t)= (-5C1Sen5t + 5C2Cos5t)e--(C1Cos5t + C2Sen5t)e-
I(t)=Q(t)=(5(C2 - C1)Cos5t 5(C1 + C2)Sen5t (e-
. . . (III)
De las condiciones iniciales dadas, obtenemos que:
Q(0) = 0 y I(0) = 0
Luego:
i) De (II) : Q(0) = C1 + 4 = 0 ( C1 = -4
. . . (()
ii) De (III): I(0)=5(C2-C1)=0 ( C2=C1 ( C2 = -2
. . . (()
Al reemplazar (() y (() en (II) y (III), logramos que:
a) Q(t) = 4 2(2Cos5t + Sen5t)e- y I(t) = 25e- Sen5t
b) Trminos transiente de: Q = 2(2Cos5t + Sen5t)e-
I = 25e- Sen5t
Trmino estacionario de: Q = 4
c) * Q(t) = (4 2(2Cos5t + Sen5t)e-( = 4 0 = 4
* I(t) = (25e- Sen5t) = 0
2. Determine la carga del capacitor en un circuito serie RLC y la corriente, sabiendo que: L = , R=10 , C= y (t) = 300v.
SOLUCIN: Aplicando la segunda ley de Kirchhoff, tenemos:
(
()Q(t) = 180 ...(I)
i) QH : r2 + 6r + 18 = 0 ( (r + 3)2=-9 ( r1,2 = -3 ( i3
luego, la solucin homognea ser:
QH(t) = (C1Cos(3t) + C2Sen(3t))e-3t . . . (1)
ii) QP : De (I): QP(t) = 180e0t ( Qp(t) = 180(1) = 180
( QP(t) = 10 . . . (2)
De (1) y (2) : Q (t) = (C1Cos(3t) + C2Sen(3t))e-3t + 10
iii) i(t) = Q
( Q=(-3 C1Sen3t + 3C2Cos3t)e-3t -3(C1Cos3t + C2Sen3t)e-3t
( i(t) = 3( (c2-c1)Cos3t (c1+c2)Sen3t (e-3t 3. En un circuito serie RLC la inductancia es henrios, la resistencia 10 ohmios y el condensador tiene una capacidad de faradios. Si la fuerza electromotriz es de 50e-3tSen3t voltios, determine la carga y la intensidad de corriente, sabiendo que Q(0) = 0 coulombios, i(0) = 3 amperios.
Solucin: El circuito serie RLC podemos representarlo por el esquema siguiente:
Aplicando la segunda ley de Kirchhoff, en la malla, establecemos que:
( (
( ()Q(t) = . . . (I)
i) QH : ()Q(t) = 0 ( r2 + 6r + 18 = 0
( (r + 3)2=-9 ( r1,2 = -3 ( i3
( QH(t) = (C1Cos(3t) + C2Sen(3t))e-3t . . . (1)
ii) QP : De (I): QP(t) = 30e-3tSen3t
( QP(t) = 30e-3tSen3t = 30e-3tSen3t
( QP(t) = 30e-3t(-)
( QP(t) = -5t e-3tCos3t . . . (2)
De (1) y (2) : Q G(t)=(C1Cos3t +C2Sen3t)e-3t -5t e-3tCos3t ...(()
Q(0) = c1 = 0 ( De (():Q (t)= C2(Sen3t)e-3t -5t e-3tCos3t ...(()
Luego como: i(t) = Q(t) , entonces de (():i(t)=3c2(Cos3tSen3t)e-3t-5e-3tCos3t+15te-3t(Sen3t+Cos3t) (()
i(0) = 3c2 5 = 0 ( c2 =
( En (() : i(t)= -5e-3tSen3t + 15t(Sen3t + Cos3t)e-3t y
En ((): Q(t) =e-3tSen3t 5te-3tCos3t
4. Un generador elctrico suministra un voltaje E = 100Sen3t y est conectado en serie con una inductancia de 2 henrios, una resistencia de 16 ohmios y un condensador de 0,02 faradios. Halle la corriente i y la carga Q en trminos de t.
Solucin: El circuito serie RLC lo representamos en la figura adjunta:
Por la segunda ley de Kirchhoff podemos establecer que:
LQ(t)+RQ(t)+= E(t)
Luego, reemplazando los datos:
2Q(t) + 16Q(t) + = 100Sen3t
Q(t) + 8Q(t) + = 50Sen3t . . . (I)
( (D2 + 8D + 25)Q(t) = 50Sen3t . . . (II)
i) QH : ()Q(t) = 0 ( r2 + 8r + 25 = 0
( (r + 4)2=-9 ( r1,2 = -4 ( i3
( QH(t) = (C1Cos(3t) + C2Sen(3t))e-4t . . . (1)
ii) QP : De (II):
QP(t) = 50Sen3t D2 = -32 = 50Sen3t = 50Sen3t
= sen3t =
= =
= -
( QP(t) = - . . . (2)
De (1) y (2) :
Q (t)=(C1Cos3t + C2Sen3t)e-4t - . . . (III)
De (III), como: i(t) = Q(t)( i(t) = (-3C1Sen3t + 3C2Cos3t)e-4t - 4(C1Cos3t + C2Sen3t)e-4t - (-9Sen3t 6Cos3t)
( i(t) = ((3c2 4c1)Cos3t (4c2 + 3c1)Sen3t(e-4t
+ (3Sen3t + 2Cos3t)
. . . (III)
5. Un generador elctrico suministra un voltaje (t)=100Cos5t y se encuentra conectado en serie con una inductancia de 2 henrios, una resistencia de 10 ohmios y un condensador de 0.08 faradios. Hallar i(t) y Q(t) en funcin de t.
SOLUCIN: Del enunciado podemos expresar que:
(t) = 100Cos5t , L = 2 h , R = 10 ( y C = 0.08 f =
Por la segunda ley de
Kirchhoff podemos establecer que:
( 2Q(t) + 10Q(t) + = 100Cos5t
(D2 + 5D +) Q(t) = 50Cos5t
. . . (I)
i) QH : r2 + 5r + = 0 ( (r +)2=0 ( r1,2 = -
( QH(t) = (C1t + C2)e-
. . . (1)
ii) QP : De (I): QP(t) = 50Cos5t
QP(t) = 50Cos5t = 50Cos5t
= 10(D + ).Cos5t
= 10(D+).Cos5t= 10(D+).Cos5t
= (D + )Cos5t = -(-5Sen5t + Cos5t)
( QP(t) = (4Sen5t 3Cos5t)
. . . (2)
De (1) y (2) : Q (t) = (C1t + C2)e- + (4Sen5t 3Cos5t) . . . (II) De (II): i(t) = Q(t)
i(t) = (C1t + C2)(-e-) + C1e- + (20Cos5t + 15Sen5t)
( i(t) = (-C1t + (C1 - C2)(e- + (4Cos5t + 3Sen5t)6. Un circuito, con elementos en serie, consta de una inductancia de 0,5 henrios, una resistencia de 2 ohmios, un condensador cuya capacidad es de 0,2 faradios y una fuerza electromotriz de 25Cos2t . Hallar la carga y la intensidad de la corriente sabiendo que inicialmente son nulos.
SOLUCIN: Del enunciado podemos expresar que:
u(t) = 25Cos2t , L = 0,5h , R = 2( y C = 0,2f = f
Por la segunda ley de Kirchhoff, podemos establecer que:
LQ(t)+RQ(t)+= u(t)
Luego, de los datos proporcionados, logramos que:
0,5Q(t) + 2Q(t) + = 25Cos2t
Q(t) + 4Q(t) + = 50Cos2t
(D2 + 4D + 10)Q (t) = 50Cos2t . . . (I)
i) QH : De (I): r2 + 4r + 10 = 0 ( (r + 2)2=-6 ( r1,2= -2(i
( QH(t) = (C1Cost + C2Sent)e-2t . . . (1)
ii) QP : De (I): QP(t) = 50Cos2t
( QP(t) = 50Cos2t = 25Cos2t
= 25(2D - ).Cos2t
= 25(2D - )((Cos2t= 25(2D - )()Cos2t
= -(2D - )Cos2t =-(2Dcos2t 3Cos2t)
( QP(t) = 4Sen2t + 3Cos2t
. . . (2)
De (1) y (2) :
Q (t) = (C1Cost + C2Sent)e-2t + 4Sen2t + 3Cos2t . . . (II)
Luego, como: i(t) = Q(t)i(t) = (-C1Sent + C2Cost)e-2t + 8Cos2t 6Sen2t
- 2(C1Cost + C2Sent)e-2t
( i(t) = ((C2 - 2C1)Cost - (2C2 - C1)Sent(e-2t
+ 8Cos2t 6Sen2t . . . (III)
a) De (II): Q(0) = C1 + 3 = 0 ( C1 = -3
b) De (III): i(0) = C2 - 2C1 + 8 = 0 ( C2 2(-3) + 8 = 0
( C2 = -
En (II) y (III):
Q (t) = -(3Cost +
Sent)e-2t + 4Sen2t + 3Cos2t
i(t) = (-8Cost +
Sent)e-2t + 8Cos2t 6Sen2t
7. En el circuito serie RLC, con L = 1 henrio , R = 2 ohmios , C = 0,2 faradios y un generador teniendo una fuerza electromotriz dada por u(t) = 170e2tSen3t voltios, se pide determinar la carga Q(t) en el instante t cualquiera.
SOLUCIN: En el circuito serie RLC, adjunto, aplicando la segunda ley de Kirchhoff, se tiene:
LQ(t) + RQ(t) + = u(t)Luego, de los datos proporcionados, obtenemos que:
Q(t)+ 2Q(t) + =170e2tSen3t
( (D2 + 2D + 5)Q(t) = 170e2tSen3t
. . . (I)
i) QH(t) : r2 + 2r + 5 = 0 ( (r + 1)2=-4 ( r1,2 = -1
( QH(t) = (C1Cos2t + C2Sen2t)e-t
. . . (1)
ii) QP (t) : De (I): QP(t) = 170e2tSen3t
( QH(t) = 170e2t.Sen3t
= 170e2t.Sen3t
De (I), aplicando la propiedad N 08 de los operadores:
( QP(t) = -(9Cos3t 2Sen3t)e2t
. . . (2)
De (1) y (2) :
Q (t) = (C1Cos2t + C2Sen2t)e-t -(9Cos3t 2Sen3t)e2t
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES CON COEFICIENTES VARIADOS DE ORDEN SUPERIOR
Teorema de DAlambert
Teorema: Dada la ecuacin diferencial:
a0(x)y + a1(x)y + a2(x)y = Q(x)
. . . (I)
si y1 es solucin de (I), entonces, y2 = uy1 es tambin solucin, tal que:
u =
Demostracin: Si y1 es una solucin de la ecuacin diferencial dada en (I), entonces, debe cumplirse que:
. . . (II)
Tambin, si y2 = uy1 . . . (1) ; es solucin de la ecuacin diferencial (I), debe cumplirse que:
. . . (III)
De (1): y= Dx(uy1) ( y= uy + uy1 . . . . (2)
y = uy + 2uy + uy1 . . . . (3)
Remplazando las expresiones (1), (2) y (3) en la ecuacin (III), logramos que:
a0(x)(uy + 2uy + uy1) + a1(x)(uy + uy1) + a2(x)(uy1) = 0
u(a0(x)y+ a1(x)y+a2(x)y1)+u(2a0(x) y+ a1(x)y1)+ a0(x)y1u= 0
De (II): u(0) + u(2a0(x) y+ a1(x)y1) + a0(x)y1u= 0
a0(x)y1u : = 0
( + ()dx =0 ( = -
( Lnu = -(2Lny1 + ) = -Lny -
( Lnu + Lny = - ( Ln(uy) = -
( uy = ( u==
( =
dx
( u = y y2 = uy1
Luego, la solucin de la ecuacin diferencial propuesta en (I), es: y = c1y1 + c2uy2Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
1.- xy (2x + 1)y + (x + 1)y = 0
. . . . (I)
Solucin:
Observamos que al sumar los coeficientes a0(x) , a1(x) y a2(x) de la ecuacin diferencial dada en (I), resulta 0, puesto que:
a0(x) + a1(x) + a2(x) = x + ((2x + 1)( + (x + 1) = 0
Entonces: y1 = ex ,
. . . . (1)
es una solucin de (I), para lo cual debe cumplirse que:
xy (2x + 1)y + (x + 1)y1 = 0
. . . . (II)
Donde, si: y1 = ex ( y= ex ( y= ex
. . . . (2)
(1) y (2) en (II):
xex (2x + 1)ex + (x + 1)ex = (x-2x-1+x+1)ex = 0. ex = 0 ,
luego, y1 = ex es solucin de (I). Tambin, y2 =uy1 =uex , . . . . (3)
es solucin de (I); donde:
Luego, elegimos: u = x2, entonces, de (3):
y2 = uy1 = x2ex . . . (4) ; es tambin solucin de (I).
De (1) y (4), la solucin general es :
yG = c1ex + c2x2ex2.- xy + (1 2x)y + (x 1)y = 0
. . . (I)
Solucin: Notamos, al igual que en el ejercicio anterior, que la suma de los coeficientes de la ecuacin diferencial (I) propuesta, es 0; puesto que:
a0(x) + a1(x) + a2(x) = x + (1 -2x) + (x - 1) = 0
Entonces: y1 = ex
. . . (1)
Es una solucin de (I), entonces: y2 =uy1 =uex ,
. . . (2)
es tambin solucin, siendo:
. . . (3)
Entonces, de (2): y2 = uy1 = exLnx
. . . (4)
es tambin solucin de (I).
De (1) y (4), la solucin general es : yG = c1ex + c2exLnx
3.- Hallar la solucin general de : y (Tgx)y + 2y = 0
sabiendo que: y1 = Senx , es una solucin particular de la ecuacin dada.
Solucin: Dada la ecuacin: y (Tgx)y + 2y = 0 . . . (I)
Si y1 = Senx . . . (1) ; es una solucin de la ecuacin diferencial dada en (I), entonces: y2 = uy1 = u.Senx
. . . (2)
tambin es solucin de (I), donde:
= ( u = Ln(Secx+tanx) - Cscx . . . (()
(() en (2) : y2 = [Ln(Secx+tanx) - Cscx]Senx . . . (3)
De (1) y (3): yG = c1Senx + c2[Ln(Secx+Tanx) - Cscx]Senx
4.- x2(Lnx 1)y xy + y = 0
. . . (I)
Solucin:
Observamos que: y1 = x . . . (1) es solucin de (I), puesto que: y1 = 1 y y1 = 0 . . . (2)
Si y1 = x , es solucin de (I), entonces, debe cumplirse que:
x2(Lnx 1)y1 xy1 + y1 = 0
De (1) y (2): x2(Lnx 1).0 x.1 + x 0 ( y1 = x es solucin de (I), luego, y2 = uy1 = ux . . . (3) es tambin solucin de (I), donde:
. . . (()
integremos por partes:
Sea: u1 = Lnx 1 y dv1 = ( du1 = y v1 = -
( u ==-(Lnx 1) - =-(Lnx 1) -
(
u = - Lnx . . . (()
(() en (3): y2 = (-Lnx)x = - Lnx . . . (4)
De (1) y (4), la solucin general es : yG = c1x - c2Lnx
L MTODO DE VARIACIN DE PARMETROS O MTODO DE LAGRANGE
(MTODO DE VARIACIN DE LOS COEFICIENTES)
En la seccin anterior estudiamos el mtodo de los coeficientes indeterminados para determinar las soluciones particulares de las ecuaciones diferenciales no homogneas con coeficientes constantes. Este mtodo es sencillo y efectivo siempre y cuando el trmino no homogneo (el lado derecho de la ecuacin) sea de una forma especial, como se ha apreciado en los diversos ejercicios resueltos. Es natural preguntarnos, ahora sobre lo que se pueda hacer en el caso de que el Mtodo de los Coeficientes Indeterminados no funciona as como tambin como en los casos que si se efectiviza. Sin embargo, conociendo solo este mtodo uno lo puede hacer muy bien sin el mtodo de los coeficientes indeterminados.
Para mostrar como trabaja el mtodo de Lagrange, trataremos primero de resolver una solucin particular de la ecuacin diferencial lineal no homognea de primer orden.
Hemos visto que si Q(x) = 0, entonces la solucin homognea o complementaria de la ecuacin:
Utilizando el mtodo de variacin de parmetros resuelva las ecuaciones:
2.- (D2 + 4)y = Sec32x
Solucin:r2 + 4 = 0 ( r = ( i2
( yH = C1Cos2x + C2Sen2x . . . . . (1)
( yP = C1(x)Cos2x + C2(x)Sen2x . . . . . (2)
y1 y2
W(y1,y2( = = 2(Cos22x + Sen22x)
( W(y1,y2( = 2
a) C1(x) = - = -
C1(x) = -
= -Tg22x . . . . . (()
b) C2(x) = =
C2(x) =
= Tg2x . . . . . (()
(() y (() en (2):
yP = -Tg22x Cos2x + Tg2x Sen2x
yP = -Tg22x Cos2x + Tg2x Cos2x
yP = -Tg22x Cos2x + Tg22x Cos2x
yP = Tg22x Cos2x . . . . . . . (3)
De (1) y (3):
YG = yH + yP = C1Cos2x + C2Sen2x + Tg22x Cos2x
2.- y + 2y +5y = e-xSec2x
Solucin:(D2 + 2D + 5)y = e-xSec2x
i) yH: r2 + 2r + 5 = 0 ( (r + 1)2 = -4 ( r1,2 = -1 ( i2
( yH = (C1Cos2x + C2Sen2x)e-x . . . . . (1)
ii) yP: yP = C1(x)e-xCos2x + C2(x)e-xSen2x . . . . . (2)
y1 y2
W(y1,y2( =
= e-2x
= e-2x(2Cos22xSen2xCos2x+2Sen22x+Sen2xCos2x)
( W(y1,y2( = 2e-2xa) C1(x) = - = -
C1(x) = -= -Ln(Cos2x)
b) C2(x) = = = x
De (2):
yP = -Ln(Cos2x)e-xCos2x + xe-xSen2x
3.- 4y + 36y = Csc3x . . . . . . (I)
Solucin:(4D2 + 36)y = Csc3x
i) yH: 4r2 + 36 = 0 ( r2 = -9 ( r1,2 = ( i3
( yH = C1Cos3x + C2Sen3x . . . . . (1)
ii) yP: yP = C1(x)Cos3x + C2Sen3x . . . . . (2)
W(y1,y2( = = 3(Cos23x + Sen23x)
( W(y1,y2( = 3
a) C1(x) = - = -
C1(x) = -
= -x
b) C2(x) = =
C2(x) =
EMBED Equation.DSMT4 = Ln(Sen3x)
En (2):
yP = -x.Cos3x + Sen3x.Ln(Sen3x)
4.- si en la ecuacin diferencial: (x4D2 + 2x3D - 1)y = 16e ,
una de las soluciones de la ecuacin homognea es la funcin: y1 = e , hllase la solucin general.
Solucin:Dada la ecuacin: x4y + 2x3y y = 16e . . . . . (I)
La ecuacin homognea asociada a (I) ser:
x4y + 2x3y y = 0 . . . . . (II)
Si y1 = e . . . (1) , es una solucin de (II), por dato, entonces y2 = uy1 . . . ((), es tambin solucin de (II), y por el teorema de DAlambert se tiene que :
u = = ==
=== e-
Elegimos, u = e- , luego en ((): y2 = uy1 = e-.e
( y2 = e- . . . . . (2)
De (1) y (2), la solucin homognea es: y = c1e+ c2e- ...(()
Entonces, si y1 = e y y2 = e- , luego :
y1 = -e y y2 = e-
y el wronskiano de estas funciones es:
W(y1,y2( = ==e.e-
W(y1,y2( =(1)(2) ( W(y1,y2( =
La solucin particular por la variacin de parmetros es:
YP = C1(x)y1 + C2(x)y2 = C1(x)e + C2(x)e- . . . . . (()
Donde:
a) C1(x) = - = -
= 4 ( C1(x) = 4e
b) C2(x) = =
= -2 ( C2(x) = -2e
Reemplazando C1(x) y C2(x) en (():
yP = 4e.e + (-2e)e- ( yP = 2e . . . . . (()
De (() y (():
YG = C1 e + C2 e- + 2e
5.- Resolver la ecuacin diferencial: y + y +y = , si se sabe que y1 = es una solucin de la ecuacin diferencial homognea asociada a: y + y +y = 0 .
Solucin:
Dada la ecuacin: y + y +y = . . . . . (I)
Entonces a0(x) = 1 , a1(x) = y Q(x) =
Si y1 = . . . (1) , es una solucin de la ecuacin homognea asociada, entonces, y2 = uy1 = u . . . (2),
Es tambin solucin de la ecuacin: y + y +y = 0 , donde:
u = = =
= = ( u = Tgx
De (2): y2 = Tgx. =
( y2 = . . .(3)
De (1) y (3):
YH = C1 + C2 . . . . . (()
Luego la solucin particular, por variacin de parmetros,es:
YP = C1(x) + C2(x) . . . . . (()
y el wronskiano es:
W(y1,y2( =
=.
= (xCos2x SenxCosx + xSen2x + SenxCosx)
=(x(Cos2x + Sen2x)( ( W(y1,y2( =
Donde:
a) C1(x) = - = -= -
( C1(x) = Cosx . . . . . (4)
b) C2(x) = = =
( C2(x) = Senx . . . . . (5)
(4) y (5) en ((): YP = Cosx + Senx
YP =
( YP =
6.- Resolver la siguiente ecuacin diferencial:
xy y 4x3y = 16x3 , si se sabe que y1 = es una solucin de la ecuacin diferencial homognea asociada.
Solucin:
Dada la ecuacin: xy y 4x3y = 16x3 . . . . . (I)
Entonces: a0(x) = x , a1(x) = -1 , Q(x) = 16x3 .
La ecuacin asociada a la ecuacin (I) es:
xy y 4x3y = 0 . . . . . .(II)
y si y1 = . . . (1) , es una solucin de (II), entonces,
y2 = uy1 = u . . . (2) , es tambin solucin de (II), donde:
u = = ==
( u = -
, entonces elegimos: u =
De (2): y2 = . ( y2 = . . . . . (3)
De (1) y (3):
YH = C1 + C2 . . . . . (()
La solucin particular, por variacin de parmetros, es:
YP = C1(x) + C2(x) . . . . . (4)
y el wronskiano es:
W(y1,y2( = = 2x.
= 2x(1)(-2)
( W(y1,y2( = -4x
Donde:
i) C1(x) = - = -= 4= 2x2 ( C1(x) = 2x2 . . . . . (5)
ii) C2(x) ===-2=-2
( C2(x) = -2 . . . . . (6)
(5) y (6) en (4): YP = 2x2 + (-2)
( YP = 2x2 - 2
7.- Hallar la solucin general de: x3y + xy y = . . . (I)
Solucin:
Por inspeccin apreciamos que: y1 = x . . . (1) , es una solucin de la ecuacin homognea asociada a la ecuacin (I), es decir, a la ecuacin diferencial: x3y + xy y = 0 . . .(II)
Luego, de (1): x3(x) + x(x) x = x3.0 + x.1 x = x x = 0
Lo que verifica que y1 = x es una solucin de la ecuacin homognea; entonces: y2 = uy1 = ux . . . (2),es tambin solucin de la ecuacin (II), donde:
u = = ==
= - ( u = -
Luego de (2): y2 = -x . . . . .(3)
De (1) y (3): YH = C1 x - C2 x . . . . . (()
ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES VARIABLES TRANSFORMABLES EN ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES
Hemos apreciado que cuando la ecuacin diferencial lineal tiene coeficientes constantes, su solucin es inmediata, reducindose simplemente al clculo de un problema algebraico: la resolucin de la ecuacin caracterstica.
Por el contrario, no existe mtodo general alguno para la solucin de la ecuacin diferencial lineal de coeficientes variables, sin embargo hemos visto que, algunas ecuaciones diferenciales se resolvieron por el uso de adecuadas y a menudo ingeniosas transformaciones. No debera sorprender que algunas ecuaciones diferenciales con coeficientes variables pueden ser resueltas al transformarlas en ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes. La transformacin particular usada puede no siempre ser obvia, y el estudiante no debe desarrollar un sentido de inferioridad si no la concibe inmediatamente. En esta seccin expondremos dos tipos particulares de estas ecuaciones que son: la ecuacin lineal de EulerCauchy y la ecuacin de Lagrange.
ECUACIN LINEAL DE EULER-CAUCHY
Las ecuaciones son de la forma:
a0xny(n) + a1xn1y(n1) + + an2x2y + an1xy+ any = Q(x) (I)
donde todas las ai son constantes y Q(x) representa una funcin de x, se conoce normalmente como ecuacin diferencial de Euler-Cauchy* .
Para la solucin de las ecuaciones de Euler hay dos formas:
A.- Mediante la sustitucin de la variable independiente:
x = eZ (1) Z = Ln x ( DxZ =
(2)
estas ecuaciones se reducen a ecuacionmes lineales de coeficientes constantes del mismo orden. Para ver esto note que:
y= = . y de (2) : y= . ( xy=
(3)
( ()
Ahora derivando esta ltima expresin (3) respecto a x logramos que:
Dx(xy) = Dx ( xy + y =
EMBED Equation.DSMT4. = .
( x2y + xy = ( x2y = xy
Reemplazando (3) en esta ltima expresin logramos:
x2y =
(4)
( x2y = D2y Dy ( ()
Derivando (4) : (x2y) =
.
x2y + 2xy = . ( x3y + 2x2y =
( x3y = 2x2y = 2
Reemplazando (4) en esta ltima expresin, logramos que:
x3y = 3 + 2
(5)
( x3y = D(D2 3D + 2)y ( ()
Dx : x3y(4) + 3x2y = .
( x4y(4) = + 3x3y
Reemplazando la expresin (5) en esta ltima expresin, logramos que:
x4y(4) = 6 + 11 6
(6)
( ()
Ahora utilicemos un nuevo operador D definido por:
Dn =
y donde Dny = , luego las expresiones (3), (4), (5) y (6) resultarn:
xDy = Dy
x2D2y = D2 Dy = D(D 1)y
x3D3y = D3y 3D2y + 2Dy = D(D 1)(D 2)y
x4D4y = D4y 6D3y + 11D2y 6Dy = D(D 1)(D 2) (D 3)y
.
.
En general:
xnDny =
Introduciendo estas expresiones en (1), se obtiene:
a0D(D 1)(D 2) (Dn+1)y + a1D(D 1)(D 2) (Dn+2)y + + an2D(D 1) + an1Dy + any = Q(eZ) , ecuacin de coeficientes constantes a la que podrn aplicarse los mtodos ya estudiados.
Por ejemplo, para hallar la solucin general de las siguientes ecuaciones diferenciales homogneas tipo Euler-Cauchy, tenemos:
a) x2y 2xy + 2y = 0
b) x3y + x2y 2xy+ 2y = 0
c) x3y + xy y = 0
d) x3y + 2x2y + xy y = 0
e) x3y + 4x2y 2xy 4y = 0 f) x4yIV + 5x3y + 7x2y + 8xy = 0
g) x2D2 + x Dy y = 0
h) x3y + 2x2y 6xy = 0
Solucin :
a) Si en : x2y 2xy + 2y = 0 hacemos x = eZ logramos que la uacin se transforma a: D(D 1)y 2Dy + 2y = 0
(D2 3D + 2)y = 0 ( (D 2)(D 1) y = 0 , o sea que :
yG = c1eZ + c2e2Z = c1x + c2x2b) Si : x3y + x2y 2xy+ 2y = 0
D(D 1)(D 2)y + D(D 1)y 2Dy + 2y = 0
(D3 3D2 + 2D + D2 D 2D + 2)y = 0
((D3 2D2 D + 2)y = 0
((D + 1)(D 1)(D 2)y = 0 ( y = c1eZ + c2eZ + c3e2Z
( y = + c2x + c3x2c)Si : x3y + xy y = 0 ( D(D 1)(D 2)y + Dy y = 0
((D3 3D2 + 2D + D 1)y = 0 ( (D3 3D2 + 3D 1)y = 0
((D 1)3y = 0
( y = (c1 + c2z + c3z2)eZ ( yG = ( c1 + c2Ln x + c3Ln2 x)x
d) Si : x3y + 2x2y + xy y = 0
( D(D 1)(D 2)y + 2D(D 1)y + Dy y = 0
( (D3 3D2 + 2D + 2D2 2D + D 1)y = 0
( (D3 D2 + D 1)y = 0 ( (D 1)(D2 + 1) = 0
yG = c1 eZ + c2cos z + c3sen z ( yG = c1x + c2cos(Ln x) + c3 sen(Ln x)
e) Dado x3y + 4x2y 2xy 4y = 0
entonces : D(D 1)(D 2)y + 4D(D 1)y 2Dy 4y = 0
( (D3 + D2 4D 4)y = 0 ( (D + 1)(D + 2)(D 2)y = 0
luego la solucin ser : y = c1e2z + c2ez + c3e2z
( y = c1x2 + c2x1 + c3x2f)x4yIV + 5x3y + 7x2y + 8xy = 0
( D(D 1)(D 2)(D 3)y + 5D(D 1)(D 2)y+ 7D(D1)y +8Dy = 0
( D(D3 D2 3D + 5)y = 0 ( D(D + 1)(D2 2D + 5)y =0
( D(D + 1) [(D 1)2 + 4 ]y = 0 ( y = c1 + c2ez + (c3cos2z + c4sen2z)ez
( y = c1 + + [c3cos(2Ln x) + c4sen(2Ln x) ] x
g)Si : x2D2 + x Dy y = 0 , entonces D(D 1)y + Dy y = 0
(D2 1)y = 0 ( (D + 1)(D 1)y = 0 ( y = c1ez + c2ez
y =
h)Si : x3y + 2x2y 6xy = 0 , entonces :
D(D 1)(D 2)y + 2D(D 1)y 6Dy = 0
( (D3 3D2 + 2D + 2D2 2D 6D)y = 0 ( (D3 D2 6D)y = 0
( D(D + 2)(D 3)y = 0 ( y = c1 + c2e2z + c3e3z
y = c1 + + c3x3Presentemos ahora otra ecuacin lineal, de coeficientes variables, de Euler:
a0(a+bx)n + a1(a+bx)n1 + + an2(a+bx)2 + an1(a+bx)+ any = Q(x) (I)
la cual se transforma en lineal de coeficientes constantes mediante el cambio de variable siguiente: a + bx = ez Z = Ln(a + bx) (1)
entonces : DxZ =
()
como:
Dy = y = entonces: Dy = . = . ( (a+bx)y = bDy (2)
Derivando la expresin (2) :
(a+bx)y + by = b(Dy) = b(Dy). = bD2y.
( (a+bx)2y + b = b2D2y
De (2) :(a+bx)2y + b . bDy = b2D2y
((a+bx)2y= b2D2y b2Dy = b2D(D 1)y (3)
Derivando la expresin (3) :
(a+bx)2y + 2b(a+bx)y = b2(D2y Dy) = b2 (D2y Dy)
(a+bx)2y + 2b(a+bx)y = b2(D3y D2y).
(a+bx)3y + 2b(a+bx)2y = b3(D3y D2y) = b3D2(D 1)y
De (3) : (a+bx)3y + 2b.b2D(D 1)y = b3D2(D 1)y
((a+bx)3y = b3D2(D 1)y 2 b3D(D 1)y
((a+bx)3y = b3D(D 1)(D 2)y
..
..
En general: (a+bx)ny(n) = bnD(D 1)(D 2) . (D n+1)y (III)
Ejemplos :
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:a.- (2 x)2y + (2 x)y 15y = 0
Solucin : Notamos en esta ecuacin que a+bx = 2 x entonces b = 1,
haciendo entonces: 2 x = eZ ()
Aplicando (II) a la ecuacin propuesta resultar entonces:
(1)2D(D 1)y + (1)Dy 15y = 0 ( (D2 2D 15)y = 0 ( (D 5)(D+3) = 0
las races de la ecuacin caracterstica sern r1 = 3 y r2 = 5 y la solucin ser:
y = c1e3Z + c2e5Z De () : y = + c2(2 x)5 ( y = + c2(eZ)5b.- (1 + 2x)2y (2 + 4x)y 12y = 3x + 1
Solucin : Hagamos 1 + 2x = eZ (1) ( x =
(2)
Si : (1 + 2x)2y (2 + 4x)y 12y = 3x + 1
Luego: 22D(D 1)y 2.2Dy 12y = (eZ 1) + 1( 4
( (D2 D D 3)y = (3eZ 1)
( (D + 1)(D 3)y = (3eZ 1) (II)
i) la ecuacin homognea ser : (D + 1)(D 3)y = 0
resulta: yc = c1eZ + c2e3Z = + c2(eZ)2
De (1) : ()
ii) la solucin particular: yp
De (II) :yp =
= .eZ ..1
(yp = .eZ ..1
(yp = eZ +
()
De () y () : yG = yH + yp = + c2(1 + 2x)3 eZ +
PROBLEMAS RESUELTOS
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales1.- x2y + xy y = 0 (I)
Solucin : Sea: eZ (1) ( Z = Ln x
(2)
(1) en (I) : D(D 1)y + Dy y = 0 ( [ D(D 1) + (D 1) ]y = 0
( (D + 1)(D 1)y = 0 (II)
( P(r) = (r + 1)(r 1)y = 0 ( r1 = 1 y r2 = 1, luego, la solucin de (II) es:
y = c1eZ + c2eZ , pero x = eZ y = c1x1 + c2x es la solucin pedida.2.- x2y + 3xy + y = 0 (I)
Solucin : Sea: eZ (1) ( Z = Ln x (2)
Reemplazando (1) en (I): D(D1)y+3Dy+y= 0 ( (D2 D + 3D + 1)y = 0
( (D2 + 2D + 1)y = 0 ( (D + 1)2y = 0 (II)
( r1,2 = 1 ( la solucin de (II), es : y = (c1z + c2)eZ (III)
(1) y (2) en (III): y = (c1Ln x + c2) x1 , es la solucin pedida.3.- x2y + 2xy 6y = 0 (I)
Solucin : D(D 1)y + 2Dy 6y = 0 ( (D2 D + 2D 6)y = 0
( (D2 + D 6)y = 0 ( (D + 3)(D 2)y = 0 (II)
( r1 = 3 , r2 = 2 , luego, la solucin de (II) es y = c1e3Z + c2eZ
De (1), si x = eZ ( x3 = e3Z y x2 = eZ , luego, y = c1x3 + c2x2 es
la solucin de la ecuacin propuesta en (I)
4.- xy + y = 0 (I)
Solucin : Si : xy + y = 0 ( x2y + xy = 0 (II)