resum teoric i problemes de matem`atica discretapresentaci´o de l’assignatura la matematica...
TRANSCRIPT
Enginyeria Tecnica en Informatica de Gestio
DMAT–Seccio de Matematiques de l’ EUPVG
Resum teoric i problemes de
Matematica Discreta
Merce Claverol i Lali Barriere
Juny 2000
Presentacio de l’assignatura
La Matematica Discreta es l’estudi d’estructures matematiques discretes i de les seves propietas.En matematiques se sol definir discret per oposicio a continu. Aixı, el conjunt dels nombresnaturals o qualsevol conjunt finit es discret, mentre que la recta real es contınua.
En un ordinador, les dades s’emmagatzemen de manera discreta. I les operacions que femper al processat de les dades son sempre transformacions de conjunts discrets. Podrıem dir quel’oposicio continu-discret es equivalent a l’oposicio analogic-digital. Per aixo, creiem que l’estudid’aquestes estructures es una ajuda per a un informatic: ens plantegem i intentem de resoldreun cert tipus de problemes que despres ens podran servir com a models de problemes reals. Hiha aplicacions clares de la matematica discreta a l’analisi d’algorismes i l’estudi d’estructuresde dades, on els arbres tenen un lloc important; el disseny de xarxes de comunicacions o deprocessadors, modelades per grafs; el calcul de la complexitat d’algorismes, per al qual lesequacions de recurrencia son una eina potent; teoria de codis, programacio paral·lela, etc.
En el pla d’estudis d’Enginyeria Tecnica en Informetica de Gestio tenim, al segon quadrimestre,l’assignatura de Matematica Discreta que hem dividit en dues parts ben diferenciades. En laprimera estudiem problemes d’enumeracio, es a dir, problemes que es poden formular la ma-joria de les vegades amb la pregunta Quants elements hi ha en tal o qual conjunt?. En la segonapart s’estudia teoria de grafs, que permet modelar estructures com les xarxes, les estructuresde dades, els diagrames d’algorismes.
Temari
• Primera Part: Enumeracio
1. Equacions de recurrencia. (2 setmanes)
1.1 Definicio.1.2 Resolucio per induccio.1.3 equacions de recurrencia lineals.
2. Combinatoria. (3 setmanes)
2.1 Conjunts i cardinals.2.2 Combinacions i permutacions.2.3 Principis basics d’enumeracio.
• Segona Part: Teoria de Grafs
3. Grafs i digrafs. (3 setmanes)
3.1 Grafs, multigrafs, pseudografs, digrafs.3.2 Isomorfisme, grau, matriu d’adjacencia.3.3 Alguns grafs destacats.3.4 Operacions.
4. Recorreguts. (3 setmanes)
4.1 Recorreguts, longitud, distancia.4.2 Graf connex, components, diametre.4.3 Connectivitat.4.4 Grafs eulerians.4.5 Grafs hamiltonians.
1
5. Arbres. (2 setmanes)
5.1 Definicio i propietats.5.2 Caracteritzacio.5.3 Arbres generadors.5.4 Grafs ponderats, arbre generador minimal.5.5 Arbres arrelats, arbres m-aris.
6. Planaritat i coloracio. (2 setmanes)
6.1 Grafs planars.6.2 Formula d’Euler. Caracteritzacio.6.3 Coloracions.6.4 Nombre cromatic. Index cromatic. Teorema dels cinc colors. Teorema dels
quatre colors.
En aquestes pagines trobareu, per cada capıtol del temari, un resum teoric seguit d’unallista de problemes per fer. Aquest resum teoric esta pensat com a suport docent. Els metodeses presenten sense desenvolupar i els resultats sense detallar-ne les demostracions. A mes, elcontingut abasta nomes un temari limitat. Es per tant aconsellable, si es volen fer els problemes,completar aquest material seguint les classes i/o mitjancant la consulta de mateiral bibliografic.
Bibliografia
Bibliografia basica
• N.L. Biggs. Matematica Discreta, Vicens-Vives,1994.
• J. M. Brunat. Combinatoria i teoria de grafs, Edicions UPC, 1996.
• F. Comellas, J. Fabrega, A. Sanchez i O. Serra. Matematica discreta, EdicionsUPC, 1994.
• J. Gimbert, R. Moreno, J.M. Ribo i M. Valls. Apropament a la teoria de grafs ials seus algorismes, Edicions de la Universitat de Lleida, 1998.
• Grimaldi. Matematica Discreta y Combinatoria, Addison-Wesley 1988.
Bibliografia complementaria
• M. Aigner. Combinatorial Theory, Springer-Verlag 1979.
• I. Anderson. Introduccion a la combinatoria, Ed. Vicens-Vives.
• C. Berge. Principes de Combinatoire, Dunod 1968.
• G. Chartrand; L. Lesniak. Graphs and Digraphs, Wadsworth, 1986.
• N. Deo. Graph theory with applications to engineering and computer science, PrenticeHall 1974.
• J.A. Dossey; A.D. Otto; L.E. Spence; C. Van den Eynden. Discrete Mathematics,Scott,Foresman and Co. 1987.
2
• R.L. Graham; D.E. Knuth; O. Patashnik. Concrete mathematics, a foundation forcomputer science.
• M. Hall. Combinatorial Theory, Wiley Interscience,1986.
• Harary. Graph Theory, Addison-Wesley.
• K. Kalmanson. An introduction to discrete mathematics and its applications, Addison-Wesley 1986.
• D.E. Knuth. Algoritmos fundamentales, Ed. Reverte 1986.
• E.S. Page; L.B. Wilson. An introduction to Computational Combinatorics, CambridgeU.P.
• A. Tucker. Applied Combinatorics, Wiley 1984.
• R. Wilson. Introduccion a la Teorıa de Grafos, Alianza Editorial 1983.
3
4
Part I
Enumeracio
1 Equacions de recurrencia
1.1 Definicio
Una successio d’enters {an} satisfa una equacio de recurrencia d’ordre k si es pot trobar unafuncio f tal que
an = f(n, an−k, an−k+1, . . . , an−1)
per a tot n ≥ n0.Coneixent les condicions inicials, es a dir, els valors de an0 , an0+1, · · · , an0+k−1, podem
determinar la successio completa, que anomenem la solucio particular. Una solucio tancada esuna expressio dels termes de la successio en funcio nomes de n. Si no coneixem les condicionsinicials podem obtenir la solucio general que depen de k parametres.
Analogament, les successions dobles d’enters, {an,m} poden satisfer equacions de recurrenciaamb dos ındexs.
1.2 Resolucio per induccio
Una equacio de recurrencia es pot resoldre per induccio si d’alguna manera podem conjecturarquina es la solucio.
Una manera de conjecturar la solucio es iterar recursivament la recurrencia.
1.3 Equacions de recurrencia lineals
Una equacio de recurrencia lineal es una equacio de recurrencia de la forma:
an = c1 an−1 + c2 an−2 + · · ·+ ck an−k + b(n)
on ci son constants i b(n), funcio de n, es el terme independent.Diem que l’equacio es homogenia si b(n) = 0.
1 Solucio general d’equacions de recurrencia lineals homogenies
Polinomi caracterıstic: p(x) = xk − c1 xk−1 − c2 xk−2 − · · · − ck.
Siguin α1, · · · , αs les arrels de P (x) amb multiplicitats m1, · · · ,ms, respectivament.
Aleshores, la solucio general de l’equacio es:
an =s∑
i=1
Qi(n) αn
on Qi es un polinomi de grau mi.
2 Solucio d’equacions de recurrencia lineals no homogenies
L’equacio homogenia associada es:
an = c1 an−1 + c2 an−2 + · · ·+ ck an−k
amb polinomi caracterıstic p(x).
5
Construım el polinomi caracterıstic, q(x), associat a una recurrencia homogenia amb solu-cio b(n). Considerem p(x) q(x), i sigui {sn} la solucio general corresponent a aquestpolinomi caracterıstic.
Eliminem de sn, els termes que siguin solucio de l’equacio homogenia associada i substi-tuım en l’equacio de recurrencia imposant que sigui solucio.
En els dos casos, homogeni i no homogeni, la solucio general depen de k parametres. Siconeixem les k condicions inicials, podem trobar la solucio particular.
1.4 Problemes de recurrencia
1.1 Doneu la recurrencia que satisfan les successions seguents:
(a) 1,−1, 1,−1, 1,−1, . . . , (−1)n, . . .
(b) 0, 2, 4, 6, 8, ..., 2n, ...
(c) 1, 2, 4, 8, 16, ..., 2n, ...
(d) 1, 12 , 1
3 , 14 , ..., 1
n , ...
(e) 1,−2, 3,−4, ..., (−1)n−1 · n, ...
1.2 Per a les successions seguents escriviu els sis primers termes, doneu una solucio hipoteticai proveu-la per induccio.
(a) ar = 3 · ar−1, a0 = 1(b) ar = r · ar−1, a0 = 1(c) ar = ar−1 + r, a0 = 0
1.3 Escriviu els sis primers termes de la successio que compleix la recurrencia seguent, formuleuuna solucio hipotetica i proveu-la per induccio.
x1 = 2, xn = xn−1 + 2n, n ≥ 2
1.4 Escriviu els sis primers termes de la successio que compleix la recurrencia seguent, formuleuuna solucio hipotetica i proveu-la per induccio.
u1 = 3, u2 = 5, un = 3un−1 − 2un−2, n ≥ 3
1.5 Resoleu per iteracio la recurrencia an = αan−1 + βn.
1.6 Un follet ha de pujar una escala de n graons. A cada pas pot pujar-ne un o dos. Si an
indica de quantes maneres ho pot fer, trobar una relacio de recurrencia per a an .
1.7 Sigui un = nombre de paraules en l’alfabet {0,1}, de longitud n, sense zeros consecutius.
Demostreu que {un}n satisfa la relacio de recurrencia:
un = un−1 + un−2, u1 = 2, u2 = 3
1.8 Suposem que ens dediquem a construir successions de monedes amb duros i pessetes.
Per cada successio que poguem construir, podem calcular quin es el seu valor. Per exemple:la successio 1,1,1,5 te valor 8.
Igualment, podem intentar construir successions amb un cert valor donat. Per exemple,si volem successions de valor 7: 1,1,1,1,1,1,1 n’es una, 5,1,1 n’es una altra, i n’hi ha mes.
Suposem que per a cada n calculem el nombre an de successions de valor n.
Doneu la relacio de recurrencia que satisfan les an.
6
1.9 Un home obre un compte en un banc, amb 1000 dolars. Cada comenament d’any ingressa1000 dolars mes i rep un 10% d’interes pels diners que tenia.
Quin capital te al comenament de l’any n?
1.10 Doneu relacions de recurrencia que expressin, per a cada n:
(a) en quantes regions queda dividit el pla, quan tracem n rectes no 2 paral·leles i no 3concurrents;
(b) en quantes regions queda dividit el pla quan tracem n circumferencies que es tallendues a dues en 2 punts, i no 3 concurrents.
1.11 Sigui {Fn}n la successio que satisfa la recurrencia Fn = Fn−1+Fn−2 i les condicions inicialsF0 = 1, F1 = 1. Demostreu que, si {an}n satisfa la mateixa recurrencia, an = an−1+an−2
amb condicions inicials diferents, a0 = p, a1 = q aleshores an = q · Fn−1 + p · Fn−2.
1.12 Un disc circular es divideix en n sectors i tenim un cert nombre de colors, p. Hem depintar cada sector d’un color, amb l’unica condicio que sectors adjacents estiguin pintatsde diferent color.
Suposant p fix, un indica de quantes maneres es pot fer. Calculeu la relacio de recurrenciaque satisfa la successio {un}n.
Observeu quines han de ser les condicions inicials. (Per fer-ho, doneu u2 i u3, i despresvegeu que passa amb u1).
1.13 Demostreu que si sn = a · sn−1 + b, aleshores:
sn = an−1 ·(
s1 +b
a− 1
)− b
an− 1si a 6= 1
isn = s1 + (n− 1) · b si a = 1
1.14 Demostreu que si sn = a · sn−1 + b · sn−2, i r1 , r2 son les arrels del polinomi x2 − ax− b,aleshores:
r1 6= r2 ⇒ ∃A,B sn = A · rn1 + B · rn
2
ir1 = r2 = r ⇒ ∃A,B sn = (A + n ·B) · rn
Trobar A,B en funcio dels termes s0 i s1.
1.15 Sigui Wk el nombre de paraules de longitud k sense 3 lletres consecutives iguals, d’unalfabet d’m lletres.
Trobeu una relacio de recurrencia per a Wk.
1.16 Les expressions en ALGOL es formen de la manera seguent: un dıgit es un nombre entre0 i 9; un signe pot ser +,-,*, /; els dıgits son expressions, i puc formar noves expressionsafegint a una expressio ja formada un dıgit o be un signe seguit d’un dıgit.
Calculeu el nombre d’expressions valides de longitud k, uk, trobant la relacio de recurrenciaque satisfa la successio {uk}k.
1.17 Trobeu la solucio general per les seguents relacions de recurrencia:
(a) un + 4 · un−1 − 12 · un−2 = 0
7
(b) un + 2 · un−3 + un−6 = 0
(c) un − un−1 − 6 · un−2 = n
(d) un − 5 · un−1 + 6 · un−2 = 5n
(e) un + 4 · un−1 + 4 · un−2 = n
(f) un − 5 · un−1 + 8 · un−2 − 4 · un−2 = n · 2n
(g) un − 3 · un−1 − 4 · un−2 = mn
(h) un − 2m · un−1 + (m2 + p2) · un−2 = mn
(i) un − 2 · un−1 + un−2 = n · (n− 1) · (n− 2) + n · (−1)n
2 Combinatoria
2.1 Conjunts i cardinals
1. Si A i B son dos conjunts disjunts, aleshores |A ∪B| = |A|+ |B|.
2. Si A i B son dos conjunts qualssevol, aleshores |A×B| = |A| · |B|.
3. Si A i B son dos conjunts tals que A ⊂ B, aleshores |B −A| = |B| − |A|.
4. Si A i B son dos conjunts tals que hi ha una aplicacio f : A → B bijectiva, aleshores|A| = |B|.
2.2 Combinacions i permutacions
Els models basics de la combinatoria son les seleccions ordenades o no, amb repeticio o nod’elements d’un conjunt.
Volem comptar de quantes maneres diferents es poden seleccionar un cert nombre d’elementsd’un conjunt.
1. Permutacions: dues seleccions seran diferents quan o be tenen elements diferents o beels elements apareixen en un ordre diferent.
2. Combinacions: dues seleccions seran diferents quan tinguin elements diferents.
3. Sense repeticio: cada element pot apareixer com a molt una vegada.
4. Amb repeticio: no hi ha restriccio sobre el nombre de vegades que apareix un element.
Aixı tindrem:
• P kn = permutacions sense repeticio de n elements presos de k en k.
P kn = n (n− 1) · · · (n− k + 1) =
n!(n− k)!
• PRkn = permutacions amb repeticio de n elements presos de k en k.
PRkn = nk
• P k1,··· ,knn = permutacions de n elements en els quals l’element i apareix ki vegades:
P k1,··· ,knn =
k!k1!k2! · · · kn!
on k = k1 + k2 + · · · kn
8
• Ckn = combinacions sense repeticio de n elements presos de k en k:
Ckn =
n!(n− k)!k!
=P k
n
k!= P k,n−k
2 =(
n
k
)
• CRkn = combinacions amb repeticio de n elements presos de k en k:
CRkn =
(n + k − 1
k
)=
(n + k − 1)!k!(n− 1)!
• Ck1,··· ,knn = combinacions de n elements en els quals l’element i apareix ki vegades. Nomes
n’hi ha una:Ck1,··· ,kn
n = 1
2.3 Principis basics d’enumeracio
1. Principi d’inclusio-exclusio.
Si A i B son dos conujunts finits,
|A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|
El principi d’inclusio-exclusio es una extensio d’aquest resultat a la unio de n conjunts:|A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An| = |A1|+ · · ·+ |An| − |A1 ∩ A2| − · · · |An−1 ∩ An|+ |A1 ∩ A2 ∩ A3|+· · ·+ (−1)n|A1 ∩A2 ∩ · · · ∩An|
2. Principi del colomar.
Principi de Dirichlet: En una seleccio de k + 1 elements, o mes, d’un conjunt de cardinalk, algun element apareix dues o mes vegades.
Una generalitzacio d’aquest principi es la proposicio seguent:
Proposicio. En una seleccio de m elements d’un conjunt de cardinal k, on m > r · k, hiha algun element que apareix almenys r + 1 vegades.
2.4 Problemes de combinatoria
2.18 La primera setmana s’escriuen cartes a 5 persones. La segona setmana, tothom que repuna carta, n’envia una a cinc persones mes...
Suposant que mai s’envia mes d’una carta a ningu: Quantes cartes s’envien la setmanan-essima? I quantes cartes s’han enviat en total?
2.19 En una fabrica de pantalons es fan 10 models, en 8 talles diferents i 6 llargs per talla.Cadascun es pot fer en 4 colors. Quants n’hi ha de diferents?
2.20 Quants nombres de quatre xifres diferents puc formar amb els dgits {1, 2, 3, 4, 5, 6}?
2.21 Quantes cadenes de 8 bits contenen exactament 3 zeros?
2.22 Quants subconjunts de 4 elements de {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} hi ha?
2.23 Donats 8 punts en el pla, no 3 alineats, quantes rectes determinen? Quants triangles? Iquants triangles amb un vertex fix?
9
2.24 Calculeu:
(a) Nombre de cadenes de 8 bits diferents.
(b) Nombre de cadenes de 8 bits que comencen per 1011 o per 01.
(c) Nombre de cadenes de 8 bits que comencen per 1011 i acaben per 01.
2.25 Es tenen n estacions de servei. Demostreu que el numero possible de connexions entreelles es 2n(n−1)/2.
2.26 Quants nombres de 7 xifres acaben en 5454?
2.27 Un cert codi esta format per una cadena de 2 lletres seguit de 4 nombres o be 3 lletresseguit de 3 nombres. Quants n’hi ha de diferents?
2.28 Quantes banderes diferents puc fer si cadascuna te sis ratlles, dues ratlles consecutiveshan de ser de diferent color, i tinc els colors blau, groc, verd i vermell?
2.29 De quantes maneres diferents puc triar 5 persones d’un grup de 7 i asseure-les en 5 cadires?
2.30 De quantes maneres 3 parelles poden seure en una fila de 6 cadires de manera que:
(a) tothom pot seure en qualsevol cadira;
(b) els homes seuen a les tres primeres i les dones a les tres ultimes;
(c) en la primera i en l’ultima cadira hi ha homes;
(d) tothom seu al costat de la seva parella.
2.31 De quantes maneres puc fer una fila de m noies i n nois, de manera que les noies estiguinjuntes?
2.32 A, B, C, D i E son cinc persones que han de parlar en una reunio. Quants ordres diferentshi ha, si B no pot parlar abans que A? I quants, si A ha de parlar immediatament abansque B?
2.33 De quantes maneres poden col·locar-se 10 persones al voltant d’una taula circular? I sidos persones volen seure juntes?
2.34 De quantes maneres poden seure 5 nois i 5 noies en una taula rodona? Quantes n’hi haen que estiguin alternats?
2.35 Quantes paraules sense lletres repetides puc formar amb un alfabet de 10 sımbols, sensecap restriccio en l’ordre de les lletres?
2.36 Quants nombres enters hi ha amb totes les xifres diferents?
2.37 Quants nombres de 5 xifres hi ha? Quants son senars? Quants contenen nomes un 3?Quants son capicua?
2.38 De quantes maneres es poden triar 2 enters entre 20 i 40? I amb repeticio? Quantessumen parell?
2.39 Quantes vegades escrivim el numero 5 al llistar els nombres entre 1 i 100000?
2.40 Quants enters entre 1 i 10000 tenen un 8 i un 9?
10
2.41 De quantes maneres 3 enters es poden seleccionar de 3n enters consecutius, de maneraque la suma sigui multiple de 3?
2.42 Quants subconjunts d’enters entre 1 i 90 sumen parell? I multiple de 3? I multiple de 4?
2.43 Transmetem 6 sımbols diferents i 12 espais per un canal de comunicacio, de manera que,entre dos sımbols hi ha almenys dos espais.
Quants missatges diferents hi ha?
2.44 9 pilotes vermelles i 6 pilotes blaves es reparteixen entre 4 nens. De quantes maneres espot fer si cada nen rep almenys una de cada color?
2.45 Quants nombres de 8 xifres o menys amb exactament 6 dıgits diferents hi ha?
2.46 De quantes maneres es poden repartir 16 tasques diferents entre 4 processadors, 4 tasquesper cada un? Si no indiquem quantes tasques ha de realitzar cada un, de quantes manereses poden repartir?
2.47 De quantes maneres diferents puc distribuir 9 persones en tres grups disjunts amb 3,4 i 2membres respectivament.
2.48 Quants nombres de 7 xifres es poden fer amb les xifres de 5363565?
2.49 Quants senyals diferents es poden fer amb una lınia de 10 posicions, cada posicio d’uncolor, usant vermell, blanc, verd i blau?
Quants d’aquests senyals tenen 2 posicions vermelles, 4 de blanques, 3 de verdes i 1 deblava?
2.50 De quantes maneres es poden ordenar 4n lletres, 4 de cada tipus d’un alfabet amb n tipus,de manera que una lletra estigui sempre al costat d’una del mateix tipus.
2.51 Si tinc 2n objectes, dels quals n son iguals, i els altres n son tots diferents 2 a 2 i tambediferents amb els n iguals: de quantes maneres puc triar n objectes?
2.52 De quantes maneres es poden col·locar 2 torres en un tauler d’escacs sense que es matin?
2.53 Quants rectangles diferents hi ha en un tauler d’escacs?
2.54 Les fitxes del joc de domino estan formades per parelles de nombres entre zero i sis, es adir, son de la forma: [x|y] amb 0 ≤ x ≤ 6 i 0 ≤ y ≤ 6. Per que el nombre de fitxes es 28?No hauria de ser 49?
2.55 El joc de domino generalitzat te les mateixes regles que el joc de domino, i les fitxes tenenla mateixa forma, nomes que estan formades per parelles de nombres entre zero i n, perun cert n donat. Quantes fitxes hi ha?
Demostreu que, per 0 ≤ k ≤ n es compleix #{[x|y] : x + y = n− k} = #{[x|y] : x + y =n + k}.
2.56 Demostreu que, ∀m, r, n : m < r < n es compleix:
P rn = Pm
n · P r−mn−m
Explicar quin sentit te, en termes de la definicio de les permutacions.
2.57 Demostreu que:
11
(a) (nm
)=
(n
n−m
)(b) (
nm
)=
(n− 1
m
)+
(n− 1m− 1
)(c) (
nk
)·(
km
)=
(nm
)·(
n−mk −m
)2.58 Calculeu n sabent que: C3
n + C3n+3−1 = P 3
n .
2.59 Quantes persones necessitem per estar segurs que almenys dues tenen l’aniversari al mateixmes?
2.60 En un calaix hi ha 5 parells de mitjons negres, 6 de marrons, 2 de blaus i 4 de verds.Quants n’hem d’agafar per saber que tenim almenys una parella?
2.61 Demostreu que si es col.loquen les 26 lletres de l’alfabet en cercle hi ha almenys 5 conso-nants consecutives.
2.62 Sigui x un conjunt de persones. Demostreu que hi ha dos elements en X que tenen elmateix nombre d’amics en X.
Se suposa que si x es amic de x′ aleshores tambe x′ es amic de x, i que x no es amic d’ellmateix.
2.63 Sigui S = {ai : i = 1, ..., 9} nou punts de l’espai amb coordenades enteres. Demostreu quealmenys dos d’ells tenen punt mig amb coordenades enteres.
2.64 (a) Quantes permutacions de 0, 1, 2, ..., 9 hi ha amb la primera xifra senar i l’ultima< 5?
(b) Quantes permutacions de 0, 1, 2, ..., 9 hi ha amb 5 no en primer lloc i 9 no en darrerlloc?
(c) Quantes permutacions de 0, 1, 2, ..., 9 hi ha amb 5 no en primer lloc o 9 no en darrerlloc?
2.65 Quants enters entre 1 i 2101 son divisibles per 2,3,5 o 7?
2.66 Quants codis secrets es poden fer assignant a cada lletra una altra diferent, amb un alfabetde 26 lletres?
2.67 De quantes maneres es poden ordenar les xifres 1,1,2,2,3,3,4,4 sense que hi hagi nombresiguals consecutius?
2.68 Quants nombres mes petits que 10000, tenen la suma de les xifres igual a 8?
2.69 Quantes solucions enteres te l’equacio x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 28, en els seguents casos?
(a) xi ≥ 0
(b) xi > 0
(c) xi > i
12
2.70 Quantes solucions enteres hi ha de x1 + x2 + x3 + x4 = 30 amb:
(a) 0 ≤ xi ≤ 10
(b) −10 ≤ xi ≤ 20
(c) 0 ≤ xi i x1 ≤ 5, x2 ≤ 10, x3 ≤ 15 i x4 ≤ 21
2.71 Demostreu que el nombre de k subconjunts de {1, 2, ..., 30} amb no 2 consecutius es igualal nombre de solucions enteres de x1 + x2 + ... + xk+1 = 30 amb x1 ≥ 1, xk+1 ≥ 0 i xi ≥ 2per 2 ≤ i ≤ k.
2.72 De quantes maneres puc repartir 8 boles en 6 capses? De quantes maneres es pot fer siles dues primeres capses contenen, entre les dues, com a molt 4 boles? (En els dos casos,distingiu entre que les boles siguin iguals o que siguin diferents).
2.73 Calculeu de quantes maneres es poden distribuir k boles en n capses, k < n, amb unabola com a molt a cada capsa, si:
(a) Totes les boles son iguals.
(b) Totes les boles son diferents.
2.74 Sigui X un conjunt de cardinal 3.
(a) Quantes aplicacions hi ha d’X en X?
(b) Quantes bijeccions hi ha d’X en X?
(c) Quantes bijeccions hi ha d’X en X que coincideixin amb la seva inversa?
2.75 Sigui X un conjunt. Demostreu que una aplicacio de X en X es exhaustiva si i nomes sies injectiva.
2.76 (a) Calculeu el nombre d’aplicacions entre dos conjunts.
(b) Calculeu el nombre d’aplicacions injectives entre dos conjunts.
(c) Calculeu el nombre d’aplicacions creixents entre dos conjunts ben ordenats.
13
Part II
Teoria de Grafs
3 Grafs i digrafs
3.1 Graf, ordre i mida, adjacencia i incidencia
Un graf es un parell ordenat de conjunts, G = (V,E), tal que E ⊂ P2(V ). Els elements de V esdiuen vertexs i els elements de E es diuen arestes. L’ordre de G es el nombre de vertexs, |V |, ila mida de G es el nombre d’arestes, |E|.
Si e = {u, v} ∈ E , diem que u i v son els extrems de e i tambe que u i v son adjacents,i escrivim u ∼ v. Diem que dues arestes son incidents si comparteixen un dels extrems. Dosvertexs no adjacents, o dues arestes no incidents, diem que son independents.
Hi ha diverses maneres de representar un graf. Podem enumerar els conjunts V i E. Podemtambe representar-lo graficament, donant un punt per a cada vertex i unint amb lınies lesparelles de vertexs adjacents.
Podem utilitzar matrius per representar les adjacencies. Diem n = |V | i m = |E|, i enu-merem els vertexs entre 1 i n, i les arestes entre 1 i m. La matriu d’adjacencies de G es unamatriu n × n, A = (ai,j), els elements de la qual son 1 o 0: ai,j = 1 si i nomes si els vertexs ii j son adjacents. La matriu d’incidencies de G es una matriu n×m, B = (ai,j), els elementsde la qual son 1 o 0: bi,j = 1 si i nomes si el vertex i es incident en l’aresta j.
3.2 Grau
Sigui G = (V,E) un graf i v un vertex de G. Definim el conjunt de veıns de v per: Γ(v) ={u ∈ V |u ∼ v}. Aleshores, el grau de v, d(v), es el nombre de vertexs adjacents a v, es a dir,d(v) = |Γ(v)|.
El grau mınim de G es δ(G) = minv∈V
{d(v)} i el grau maxim de G es ∆(G) = maxv∈V
{d(v)}. En
un graf d’ordre n sempre es compleix: 0 ≤ δ ≤ ∆ ≤ n − 1. Si δ = ∆ = d, diem que el graf esregular de grau d o d-regular. Si escrivim el grau de cadascun dels vertexs, ordenats de maneracreixent, tenim la sequencia de graus de G.Lema de les encaixades. Si G = (V,E) es un graf, es compleix:
∑u∈V
d(u) = 2|E|.
Com a corol·lari podem dir que, en un graf, el nombre de vertexs de grau senar es parell.En la matriu d’adjacencies de G, el grau del vertex que ocupa la posicio i es la suma dels
elements de la fila (o la columna) i. I el lema de les encaixades diu que si sumem tots elselements de la matriu d’adjacencies obtindrem el doble de la mida del graf.
3.3 Isomorfisme
Dos grafs G = (V,E) i H = (W,F ) son isomorfs, i escrivim G ∼= H, quan hi ha una bijeccioentre els vertexs que conserva adjacencies. Es a dir, existeix α : V → W bijectiva tal que∀u, v ∈ V, {u, v} ∈ E ssi {α(u), α(v)} ∈ F .
Si G ∼= H els dos grafs tenen el mateix ordre, la mateixa mida, i la mateixa sequencia degraus. Pero les condicions no son suficients.
3.4 Multigrafs, pseudografs, digrafs
Entre dos vertexs d’un graf nomes hi pot haver una aresta. Si eliminem aquesta restriccio, elque tenim es un multigraf, i quan entre dos vertexs hi ha mes d’una aresta, diem que tenim una
14
aresta multiple.En un graf o multigraf els dos extrems d’una aresta han de ser diferents. Una aresta de la
forma {v, v} s’anomena un lla. Si a mes d’arestes multiples permetem que hi hagi llaos diemque tenim un pseudograf.
Un digraf o graf dirigit es un parell ordenat de conjunts D = (V,A), tal queA ⊆ V × V − {(v, v)| v ∈ V }. Els elements de A es diuen arcs.
3.5 Alguns grafs destacats
1. Graf complet amb n vertexs: Kn = (V,E), |V | = n i ∀u, v ∈ V, {u, v} ∈ E.
2. Graf nul amb n vertexs: Nn = (V, ∅) amb |V | = n.
3. Graf trivial: N1.
4. Camı o trajecte de llargada n: Pn = (V,E) tal queV = {v1, v2, . . . , vn} i E = {{vi, vi+1}, i = 1, . . . n− 1}.
5. Cicle d’ordre n: Cn = (V,E) tal que V = {v1, v2, . . . , vn} i E = {{vi, vi+1}, i = 1, . . . n−1} ∪ {{vn, v1}}.
6. Graf bipartit: un graf G = (V,E) es bipartit si hi ha una particio dels vertexs, V = V1∪V2
tal que totes les arestes de G tenen un extrem a V1 i l’altre a V2.
7. Graf bipartit complet: Kn,m = (V1 ∪ V2, E) amb |V1| = n, |V2| = m i ∀u ∈ V1, v ∈V2, {u, v} ∈ E.
8. Graf estrella d’ordre n: K1,n−1.
9. Graf roda d’ordre n: Wn = Cn−1 + vn.
3.6 Operacions
1. Subgraf. Sigui G = (V,E) un graf. Un subgraf de G es un graf H = (W,F ) tal queW ⊆ V i F ⊆ E. Si W = V diem que H es un subgraf generador. Si W ⊆ V el subgrafinduıt de G per W es G[W ] = (W,E(W )), on E(W ) son les arestes de G que tenen elsdos extrems a W .
2. Graf complementari. Sigui G = (V,E) un graf. El complementari de G es el grafG = (V,P2(V )− E).
3. Unio de grafs. Siguin G1 = (V1, E1) i G2 = (V2, E2) grafs. La unio de G1 i G2 es elgraf G1 ∪G2 = (V1 ∪ V2, E1 ∪ E2).
4. Suma de grafs. Siguin G1 = (V1, E1) i G2 = (V2, E2) grafs. La suma de G1 i G2 es elgraf G1 + G2 = (V1 ∪ V2, E1 ∪ E2 ∪ E1,2), on E1,2 = {{u, v}|u ∈ V1, v ∈ V2}.
5. Producte cartesia. Siguin G1 = (V1, E1) i G2 = (V2, E2) grafs.El producte cartesia de G1 i G2 es el graf G1×G2 = (V1×V2, E), on E = {{(u, v1), (u, v2)} |u ∈V1, {v1, v2} ∈ E2} ∪ {{(u1, v), (u2, v)} | {u1, u2} ∈ E1, v ∈ V2}.
6. Graf lınia. Sigui G = (V,E) un graf. El graf lınia de G es el graf L(G) = (E,E′) onE′ = {e1, e2 | e1, e2 son arestes incidents de G}.
15
7. Supressio de vertexs i arestes. Sigui G = (V,E) un graf, v ∈ V i e ∈ E. Aleshores,G− v = (V − {v}, E − Ev), on Ev = {e ∈ E | v es extrem de e}; i G− e = (V,E − {e}).Per induccio es defineix G−W i G− F , on W ⊆ V i F ⊆ E.
8. Contraccio. Sigui G = (V,E) un graf i e = {u, v} ∈ E. Aleshores, G \ e es el graf ambconjunt de vertexs V − {u, v} ∪ {w} (amb w /∈ V ), i les adjacencies definides per: lesarestes de G d’extrems diferents de u i v son arestes de G \ e; i per cada aresta de G dela forma {u, x} o {v, x} hi ha una aresta en G \ e de la forma {w, x}.
3.7 Problemes de grafs
3.1 Representeu el graf G = (V,E) donat per:
V = {a, b, c, d, z}A = {{a, b}, {a, d}, {b, z}, {c, d}, {d, z}}
i doneu-ne l’ordre, la mida, el grau mınim i el grau maxim.
3.2 Representeu per un graf:
(a) vertexs i costats d’un poliedre;
(b) pla d’un laberint;
(c) amistats entre els assistents a una festa;
(d) estructura quımica d’una molecula;
(e) recorregut d’un carter;
(f) divisors de 60.
3.3 Tres cases A, B, C, han d’estar connectades cadascuna als serveis de gas, aigua i electric-itat. Representeu aquesta situacio mitjanant un graf.
Es possible donar una representacio en el pla d’aquest graf en el qual les arestes nos’encreuin?
3.4 Enumereu tots els grafs amb conjunt de vertexs {a, b, c, d}.
3.5 Siguin G un graf, n el seu ordre i m la seva mida. Demostreu que 2m ≤ n(n− 1).
3.6 Construıu un graf G = (V,E) amb |V | = 5 i |E| = 6, que no contingui cap 3-cicle (o captriangle, es a dir, 3 vertexs mutuament adjacents).
3.7 Sigui Kn el graf complet d’ordre n, es a dir, el graf de n vertexs en el qual dos vertexsqualssevol son adjacents. Quin es el seu nombre d’arestes? Quin es el grau de cada vertex?Per quins valors de n podem trobar una representacio grafica del graf en el pla, on lesarestes, no s’encreuin?
3.8 Demostreu que, si tots els vertexs d’un graf son de grau 1, el graf es d’ordre parell.
3.9 Doneu cotes inferior i superior per a la mida d’un graf, en funcio de l’ordre, δ i ∆.
3.10 Un graf es diu regular de grau r o r-regular si el grau de cada vertex es r:
(a) Quantes arestes te un graf regular de grau 3 amb 6 vertexs?
(b) Quantes arestes te un graf regular de grau r amb p vertexs?
16
(c) Existeixen grafs 3-regulars d’ordre 5?
3.11 Demostreu que si G = (V,E) te un mınim de 7 vertexs, i no n’hi ha cap amb grau inferioro igual a 5, aleshores, G te un mınim de 21 arestes.
3.12 Estudieu si existeixen grafs per als quals les sequencies seguents siguin els graus delsvertexs:
(4,3,3,1,2); (5,3,2,2); (5,2,2,2,1); (1,2,2,3,4);
(2,2,4,4,4); (2,2,2,2,2); (2,2,2,2,2,2); (2,2,2,2,2,2,2).
3.13 Vegeu si pot existir un graf o multigraf en que els vertexs tinguin com a graus les sequenciesseguents:
(5,5,5,5,5,3,3); (5,5,4,3,3,2).
3.14 Demostreu que no existeixen grafs d’ordre n, n-regulars. Existeixen multigrafs d’ordre n,n-regulars? Si es aix’ı doneu-ne exemples.
3.15 En una reunio d’n persones es produeixen diverses salutacions entre els assistents. De-mostreu que, almenys 2 dels assistents han saludat el mateix nombre de persones. For-muleu el mateix reultat en termes de grafs.
3.16 Siguin G1, G2, G3 grafs d’ordre 4, tots ells amb nomes dues arestes. Demostreu quealmenys dos son isomorfs.
3.17 Demostreu que, llevat isomorfisme, hi ha 4 grafs de 3 vertexs i 11 de 4 vertexs. Quantsn’hi ha de 5?
3.18 Proveu que els grafs seguents no son isomorfs:
t1
t2
t3
JJ
JJ
JJJ
t 4 t5
t6
JJ
JJ
��
HH
t ta d
t tb c
t tf e
JJ
JJ
JJ
JJ
J
JJ
JJ
JJ
3.19 Sigui G = (V,E) el graf definit per:
V = {paraules de 3 lletres en l′alfabet {0, 1}}A = {parelles de paraules que difereixen en una posicio}
Proveu que G es isomorf al graf format pels vertexs i arestes d’un cub.
3.20 Proveu que el nombre de grafs d’n vertexs es 2n(n−1)/2
3.21 Calculeu el nombre de grafs d’ordre |V | = 5 que existeixen sense vertexs aıllats.
3.22 (a) Demostreu que son isomorfs:
t tq w
t te r
t tt y
JJ
JJ
JJ
JJ
J
JJ
JJ
JJ
t t tX Y Z
t t tT U V
��
��
��
��
@@
@@
@@
@@
����
����
HHHH
HHHH
17
(b) Demostreu que un dels dos grafs seguents es subgraf del graf anterior, i l’altre no:
s sd e
s sc b
sa sl ss
m
n
sso
p
��
@@
3.23 Estudieu quins dels grafs seguents son isomorfs:
s s3 4
s s7 8
s s5 6
s s1 2
@@
@@
s sC D
s sG H
s sE F
s sA B
@@
��
s s s sm n p q
s s s si j k l
s s s s su v w x y
sz
s ss t
��
��
��
��@
@@
@@
@@
@@
@�
�
3.24 Determineu tots els subgrafs de K3 i classifiqueu-los per classe d’isomorfia.
3.25 Doneu tots els subgrafs diferents d’ordre 4 i mida 4 del graf:
s s ss s ss
3 4 7
2 5 6
1
HHHHHH
HH
��
@@
3.26 Sigui G = (V,E) = Km,n graf bipartit complet. Doneu l’ordre, la mida i el grau de totsels vertexs. Si Km,n es regular, quina relacio hi ha entre m i n?
3.27 Notem per G i G un graf i el seu complementari.
(a) Demostreu que si G1∼= G2 aleshores G1
∼= G2.
(b) Si G ∼= G i te ordre n, quantes arestes te G?
(c) Si el grau d’un vertex v en G es d(v), quin es el grau de v en G?
(d) Pot ser autocomplementari un graf d’ordre 7?
(e) Demostreu que no existeixen grafs autocomplementaris de 6 vertexs.
3.28 Demostreu que tot graf autocomplementari te ordre 4k o be 4k + 1 per a algun k natural.
3.29 Doneu exemples de grafs autocomplementaris (G ∼= G). Quin es el valor de n si el cicleCn es autocomplementari?
3.30 Estudieu quants grafs no isomorfs d’ordre 20 i 188 arestes hi ha.
3.31 Sigui G = (V,E) un graf d’ordre |V | = 6. Demostreu que G conte un triangle o be Gconte un triangle.
3.32 Trobeu tots els grafs regulars d’ordre 7 i grau 4 com sigui possible (llevat isomorfisme).
18
3.33 Considerem el graf de Petersen. Doneu tres subrafs induıts d’ordre 5 isomorfs i tres de noisomorfs.
3.34 La operacio de subdivisio es la insercio d’un vertex de grau 2 en una aresta. Busqueu unsubgraf del graf de Petersen que s’obtingui per subdivisio de K3,3.
3.35 Busqueu grafs pels quals:
(a) l’eliminacio d’un vertex es independent del vertex triat;
(b) l’eliminacio d’una aresta es independent de l’aresta triada;
(c) l’adicio d’una aresta es independent de l’aresta triada.
3.36 Sigui G un graf, v un dels seus vertxs i a una de les seves arestes. Doneu l’ordre i lamida de G − v, G − a i G\a. Doneu tamb la sequencia de graus dels vertexs d’aquestsgrafs en funcio de la del graf G.
3.37 Calcular el nombre de vertexs i arestes dels seguents grafs:
(a) G1 ∪G2
(b) G1 + G2
(c) G1 ×G2
3.38 Dibuixeu els grafs C3 × P4 i P3 ×W5.
3.39 Comproveu que L(Km,n) = Km ×Kn.
3.40 Reconstruir G sabent que:
• G1 = G− v1∼= K4 − e
• G2 = G− v2∼= P3 ∪K1
• G3 = G− v3∼= K1,3
• G4 = G− v4∼= K1,3 + e
• G5 = G− v5∼= K1,3 + e
on e indica una aresta.
3.41 Un graf tripartit complet es un graf G = (V,E) = Kr,s,t tal que:V = Vr ∪ Vs ∪ Vt amb Vr , Vs i Vt disjunts, iA = (Vr × Vs) ∪ (Vs × Vt) ∪ (Vt × Vr).
Quin es el nombre d’arestes de Kr,s,t?
Demostreu que Kr,s,t = Nr + Ns + Nt.
Dibuixeu K2,2,2 i K3,3,2.
3.42 Considerem els grafs Qk, anomenats k-cub, definits per Qk = (Vk, Ek) amb:
Vk = {(a1, a2, ..., ak) ∀i ai = 0 o ai = 1}Ek = { vertexs que difereixen en nomes una posicio }
(a) dibuixeu Q2, Q3, Q4;
(b) demostreu que Qk es regular de grau k;
(c) calculeu el nombre de vertexs i arestes de Qk;
19
(d) demostreu que Qk∼= K2 ×K2 × . . .k) ×K2.
3.43 Donades les matrius d’adjacencia seguents, dibuixeu el grafs corresponents. En cada cas,observeu si es un graf, pseudograf, multigraf o digraf.
0 1 1 0 11 0 0 1 11 0 0 0 10 1 0 0 11 1 1 1 0
;
2 1 0 01 0 3 10 3 1 10 1 1 0
;
0 1 0 1 10 0 1 0 11 0 0 1 01 1 0 0 00 1 0 1 0
3.44 Estudieu les matrius d’adjacencia dels grafs seguents:
(a) complets;
(b) nuls;
(c) cicles;
(d) complementari d’un graf donat.
3.45 Quines matrius son d’adjacencia d’algun graf?
3.46 Sigui M la matriu d’adjacencia del graf G. Com seran les matrius d’adjacencia dels grafsG− v, G− a i G \ a?
4 Recorreguts
Sigui G = (V,E) un graf. Podem recorrer els vertexs del graf seguint les seves arestes.
4.1 Definicions
Un recorregut de longitud l en G es una successio de vertexs v0, v1, . . . , vl que satisfa:∀i, 0 ≤ i < l ⇒ {vi, vi+1} ∈ E. Els vertexs v0 i vl s’anomenen, respectivament, origen i final delrecorregut, i la resta de vertexs diem que son vertexs interns del recorregut.
Un circuit o recorregut tancat es un recorregut tal que v0 = vl.Una cadena es un recorregut sense arestes repetides, mentre que un camı es un recorregut
sense vertexs repetits.Un cicle es un camı tancat.Denotem per u− v un recorregut entre u i v, es a dir d’origen u i final v.
4.2 Distancia, graf connex, components, diametre
Si entre dos vertexs u, v de G hi ha un camı, la distancia entre u i v esd(u, v) = min{l | ∃u− v camı de longitud l}.
Si entre dos vertexs u, v de G no hi ha cap camı, aleshores d(u, v) = ∞.Diem que G es connex si per a tota parella de vertexs u, v, hi ha un camı de u a v.Les components connexes de G son els seus subgrafs connexos maximals.El diametre de G es D(G) = max{d(u, v) |u, v ∈ V }. Per tant, D(G) = ∞ ⇔ G no es
connex.
20
4.3 Connectivitat
Un vertex v es de tall si i nomes si el nombre de components de G− v es mes gran que el de G.Es a dir, si G es connex, la supressio d’un vertex de tall desconnecta G.
Una aresta e de G es pont si i nomes si el nombre de components de G− e es mes gran queel de G.
Un bloc de G es un subgraf de G sense vertexs de tall, maximal.Diem que un graf G es k-connex si suprimint k− 1 vertexs qualssevol no es desconnecta, es
a dir, ∀S ⊆ V, |S| = k − 1 ⇒ G− S es connex.La connectivitat de G, κ(G) es el mınim nombre de vertexs que hem de suprimir de G per
tal que deixi de ser connex o s’arribi al graf trivial. Es a dir, κ(G) = k ⇔ G es k-connex, perono es (k + 1)-connex.
L’aresta-connectivitat de G, λ(G), es el mınim nombre d’arestes que hem de suprimir de Gper tal que deixi de ser connex o s’arribi al graf trivial.Teorema. Per a tot graf, G, es compleix κ(G) ≤ λ(G) ≤ δ(G).
4.4 Grafs eulerians
Un recorregut de G es euleria si en ell apareixen totes les arestes una unica vegada.Diem que un graf es euleria si te un circuit euleria.
Teorema de caracteritzacio. Un graf G es euleria si i nomes si tots els vertexs tenen grauparell. Un graf G te un recorregut euleria de u a v si i nomes si els unics vertexs de grau senarde G son u i v.
4.5 Grafs hamiltonians
Un camı de G es hamiltonia si recorre tots els vertexs. Diem que un graf es hamiltonia si te uncicle hamiltonia.
Observacio. No hi ha un teorema de caracteritzacio de grafs hamiltonians.Condicions suficients.
• Teorema. Si per a cada parell de vertexs no adjacents u, v d’un graf G de n vertexs essatisfa d(u) + d(v) ≥ n, aleshores G es hamiltonia.
Aquest teorema es pot demostrar utilitzant el lema seguent:
Lema. Si G es connex i u i v son dos vertexs de G no adjacents tals qued(u) + d(v) ≥ n ⇒ G es hamiltonia ssi G + {uv} es hamiltonia.
• Si G te grau mınim δ ≥ n/2 aleshores G es hamiltonia.
• Si G es planari i 4-connex aleshores es hamiltonia.
Condicions necessaries.
• Un graf hamiltonia no pot tenir vertexs de tall.
• Si en un graf hi ha un cicle hamiltonia, i suprimim k vertexs, com a molt es produiran kcomponents connexes.
• En un cicle hamiltonia, cada vertex es incident en exactament dues arestes del cicle.
21
4.6 Problemes de recorreguts
4.1 Donat el graf:
t tt tt t tt t t t tt tt t tt t tu
v
��
�
�����@@ @@ @@�� ��
��
���
JJJ
HHH
""
""
@@�� ��
HHHH
�������
���
���
@@ ��
JJJ
(a) doneu tots els camins de u a v;
(b) calculeu d(u, v);
(c) calculeu D(G).
4.2 Demostreu que, en un graf d’ordre n, si existeix una recorregut de x a y, aleshores existeixuna recorregut de x a y de longitud ≤ n− 1.
4.3 Proveu que si entre dos vertexs d’un graf hi ha una recorregut, aleshores hi ha un camı.
4.4 Proveu que si tot vertex de G es de grau 2, aleshores G ha de contenir un cicle. Que passasi tot vertex es de grau ≥ 2? I si n’hi ha 1 de grau 1?
4.5 Proveu que un circuit de longitud senar conte un cicle. Que passa si es de longitud parella?
4.6 Veure si els enunciats seguents son certs o falsos:
(a) La unio d’una parella qualsevol de recorreguts diferents entre dos vertexs conte uncicle.
(b) La unio d’una parella qualsevol de camins diferents entre dos vertexs conte un cicle.
4.7 Demostreu que si un graf es bipartit si i nomes si no te cicles de longitud senar.
4.8 Demostreu que dos grafs isomorfs tenen, per a cada k ≥ 0, el mateix nombre de cicles delongitud k.
Doneu dos graf amb la mateixa sequencia de graus, i amb igual nombre de cicles delongitud k (per a cada k ≥ 0) que no siguin isomorfs.
4.9 Si M es la matriu d’adjacencia de G, qui es M2?
4.10 Demostreu que si un graf te exactament 2 vertexs de grau senar, aleshores hi ha un camıentre aquests dos vertexs.
4.11 Sigui G un graf amb 13 vertexs i 3 components connexes. Demostreu que almenys una deles components te un mınim de 5 vertexs.
4.12 Trobeu el nombre de components del graf donat per la seguent llista d’adjacencies:
a b c d e f g h i j
f c b h c a b d a ai g e g i c f fj g j e
22
4.13 Proveu que si G es un graf connex amb |V | = |A|, aleshores G te un unic cicle.
4.14 Demostreu que un graf connex amb n vertexs conte un mınim de n-1 arestes.
4.15 Quin es el nombre maxim de vertexs que pot tenir un graf connex de 30 arestes?
4.16 Demostreu que un graf es connex si i nomes si per a qualsevol particio de V en duesclasses, V1 i V2, existeix una aresta amb un extrem a V1 i l’altre a V2.
4.17 Demostreu que en un graf connex, dos camins de longitud maxima tenen com a mınim unvertex en comu. Pot afirmar-se que tenen com a mınim una aresta en comu?
4.18 Demostreu que si G no es connex, G es connex.
4.19 Demostreu que un graf autocomplementari es connex.
4.20 Sigui D(G) el diametre d’un graf G i G el graf complementari de G. Demostreu que si Gno es connex o D(G) ≥ 3, aleshores: D(G) ≤ 3.
4.21 Demostreu que un graf G autocomplementari no trivial satisfa: 2 ≤ D(G) ≤ 3.
4.22 Sigui G = (V,E) un graf d’ordre |V | = p ≥ 2 i tal que per a tot vertex v es compleix
d(v) ≥ p− 12
.
Demostreu que G es connex.
4.23 Demostreu que, si en un graf connex s’extreu una aresta arbitraria continguda en un cicle,aleshores el graf continuara sent connex.
4.24 Diem que un vertex d’un graf connex G es un vertex de tall si la seva eliminacio descon-necta el graf.
Proveu que tot graf connex no trivial te almenys dos vertexs que no son de tall.
Quin es el nombre maxim de vertexs de tall en un graf d’ordre p?
4.25 Proveu que si v es vertex de tall de G, aleshores no ho es del graf complementari, G.
4.26 Demostreu que un vertex v es de tall si i nomes si hi ha dos vertexs, u i w, adjacents a v,tals que v es en qualsevol camı entre u i w.
4.27 Una aresta a d’un graf connex G = (V,E) es diu que es una aresta pont si la sevaeliminacio desconnecta el graf.
(a) Si G es un graf connex amb nomes vertexs de grau parell, demostreu que G no pottenir cap aresta pont.
(b) Sigui G un graf connex i no isomorf a K2. Sigui e una aresta pont incident en elsvertexs u, v. Demostreu que un dels vertexs u, v es vertex de tall.
4.28 Dibuixeu un graf que es desconnecti en suprimir una aresta.
Si la aresta es qualsevol, com es el graf?
4.29 (a) Demostreu que un graf 3-regular te un vertex de tall si i nomes si te una aresta-pont.
(b) Demostreu que el menor nombre de punts en un graf 3-regular amb una aresta pontes 10.
23
4.30 (a) Doneu un exemple de graf amb 4 blocs.
(b) Donat un graf, a quants blocs pot pertanyer un vertex?
4.31 Doneu exemples de grafs k-connexos, per a k = 1, 2, 3, 4.
4.32 Demostreu que la connectivitat de l’octaedre N2 + C4 es 4.
4.33 Demostreu que Wn es 3-connex i no 4-connex.
4.34 Construıu un graf G amb κ(G) = 3, λ(G) = 4 i δ(G) = 5.
4.35 Sabem que per a tot graf, G, es compleix κ(G) ≤ λ(G) ≤ δ(G). Busqueu exemples per acadascuna de les situacions seguents:
(a) κ(G) < λ(G) < δ(G),
(b) κ(G) < λ(G) = δ(G),
(c) κ(G) = λ(G) < δ(G),
(d) κ(G) = λ(G) = δ(G).
4.36 Donar exemples de:
(a) grafs eulerians i hamiltonians a la vegada
(b) grafs hamiltonians no eulerians
(c) grafs eulerians no hamiltonians
(d) grafs no eulerians ni hamiltonians
4.37 (a) Demostreu que les peces del joc de domino es poden disposar seguint les regles deljoc formant un cercle tancat.
(b) Si treiem del joc de domino les peces que contenen el zero, quantes peces sobren alformar cadenes? I al formar cadenes tancades?
4.38 Construıu 4 grafs eulerians no isomorfs d’ordre 5.
4.39 Demostreu que un graf connex G es euleria si i nomes si hi ha una particio en cicles delconjunt de les arestes de G.
4.40 Sigui G = (V,E) un graf connex amb exactament 2 vertexs de grau senar.
Demostreu que hi ha una cadena que conte totes les arestes sense repeticio, amb extremsels dos vertexs de grau senar.
4.41 Sigui G = (V,E) un graf connex amb 2k vertexs de grau senar, amb k ≥ 1 i, evidentment,|V | ≥ 2k.
Demostreu que el conjunt de les arestes de G, A, pot distribuir-se en k cadenes obertes,disjuntes.
4.42 Donat un graf regular que conte un nombre senar d’arestes i un nombre parell de vertexs,demostreu que no pot tenir cap circuit euleria.
4.43 Quants vertexs de grau 1 pot tenir, com a molt, un graf amb un camı hamiltonia?
4.44 Buscar un cicle hamiltonia en el graf format pels vertexs i les arestes d’un cub.
24
4.45 Construım un graf sobre un tauler d’escacs, de la manera seguent:
• cada quadre es un vertex;
• entre dos quadres hi ha una aresta si el cavall pot anar d’un a l’altre seguint les reglesdel joc.
Demostreu que no hi ha cap cadena euleriana, i trobeu un camı hamiltonia.
4.46 Estudieu si son eulerians o no, i si son hamiltonians o no els grafs seguents.s s ss s s s@@
@
ZZ
ZZ
ss
ss
ss ss@@
@@s s s s s s s s s
s
s
s
ss s s ss s s s
��
��
��
��
��
��
��
��@
@@
@
@@
@@
@@
@@
@@
@@
����
����
����
����
BB
BB
BB
BB
BB
BB
BB
BB
@@
@@�
��
���
�@@
ss
ss
ss
ss
ss
ss
sss s
Q
Q��
��
�
��
��
�Q
QQQ�
��
���
AAAAA
��
��
�
PPP
PPP���
���
s s s ss s s s
ss
ss
JJ
JJ
JJ
JJ
JJ
JJ
JJ
JJ
sss s
sss s
sss
AA
AA
A
���
�����
HHHH
��
���
AA ��
@@
HH
4.47 Estudieu en quins casos Kn es euleria i en quins casos es hamiltonia. Feu el mateix perKn,m.
4.48 Dibuixar un graf on un circuit euleria sigui tambe un cicle hamiltonia. Que podem dird’aquests grafs, en general?
4.49 Considerem G i H grafs tals que: G te un cicle hamiltonia i H una cadena hamiltoniana.Pot afirmar-se que G×H te un cicle hamiltonia?
4.50 Una rata vol menjar un cub de formatge de tamany 3× 3 comenant per una cantonada imenjant cubs de tamany 1× 1, cada un adjacent a l’anterior.
Pot acabar al centre?
4.51 Proveu que en el graf complet Kn hi ha 12(n− 1)! cicles hamiltonians diferents (si no ens
fixem en el vertex inicial ni en la direccio).
4.52 Proveu que el graf complet K2n+1 es pot representar com unio de n cicles hamiltoniansdisjunts.
5 Arbres
5.1 Definicio. Caracteritzacio
Un graf T = (V,E) es un arbre si es connex i acıclic.Teorema de caracteritzacio. Donat un graf T , son equivalents:
1. T es un arbre.
2. T es acıclic i te mida |V | − 1.
25
3. T es connex i te mida |V | − 1.
4. T es connex i per ∀ e aresta de T, T − e no es connex.
5. T es acıclic i ∀u, v, vertexs independents, T + {u, v} te un cicle.
6. Hi ha un unic camı entre qualsevol parella de vertexs de T .
Com que un graf connex d’ordre n te com a mınim n−1 arestes, els arbres son grafs connexosminimals.
En un arbre, un vertex es de tall ssi te grau mes gran que 1.Una fulla d’un arbre es un vertex de grau 1.Tot arbre te almenys 2 fulles.Un bosc es un graf acıclic, es a dir, un graf les components connexes del qual son arbres. Si
B es un bosc d’ordre n i k components connexes, aleshores B te mida n− k.
5.2 Arbres generadors
Donat un graf G, un arbre generador de G es un subgraf generador de G que com a graf esarbre.Teorema. Un graf es connex si i nomes si te un arbre generador.
5.3 Grafs ponderats, arbre generador minimal
Un graf ponderat es una terna G = (V,E, w), on (V,E) es un graf i w : E → R+ es una funcioanomenada pes que assigna un valor numeric a cada aresta del graf.
Podem definir el pes del graf G o d’un subgraf de G qualsevol, com la suma dels pesos deles seves arestes:H = (W,F ) subgraf de G, el pes de H es w(H) =
∑e∈F
w(e).
Un arbre generador de G, T , es minimal si i nomes si no hi ha cap arbre generador de Gamb pes mes petit, es a dir, ∀T ′ arbre generador de G, w(T ) ≤ w(T ′).
5.4 Arbres arrelats, arbres m-aris
Els arbres arrelats son una classe de digraf.Un arbre dirigit es un digraf asimetric, es a dir, si (u, v) es un arc aleshores (v, u) no ho
es, tal que el graf subjacent, obtingut eliminant les orientacions, es un arbre. Un vertex r d’undigraf D es una arrel si hi ha un camı de r a qualsevol altre vertex de D.
Un arbre arrelat es un arbre dirigit amb arrel.L’arrel d’un arbre arrelat es unica.Si T es un arbre, per a tot vertex de T , v, hi ha un unic arbre arrelat amb arrel v i graf
subjacent T .Si T es un arbre arrelat, i (u, v) n’es un arc, diem que u es el pare de v, i que v es un fill de
u. El pare d’un vertex es unic. L’arrel es l’unic vertex que no te pare. Un vertex sense fills esdiu fulla i un vertex que te algun fill es un vertex intern.
Un arbre amb arrel es m-ari si cada vertex te un maxim de m fills. Un arbre m-ari es diuque es regular si i nomes si tot vertex intern te exactament m fills.
El nivell o profunditat de u ∈ V es n(u) = d(r, u), es a dir, la seva distancia a l’arrel.L’altura de T es h(T ) = max{h(u)|u ∈ V }.
Direm que un arbre T es anivellat si tota fulla te nivell h(T ) o h(T )− 1.
26
5.5 Problemes d’arbres
5.1 Proveu que, en un graf, si hi ha dos camins diferents entre dos vertexs, el graf conte uncicle.
Proveu que un arbre te un unic camı entre qualsevol parella de vertexs.
Quants camins de longitud no nul.la hi ha en un arbre amb n vertexs (n ≥ 2)?
5.2 Dibuixeu tots els arbres no isomorfs de 6 vertexs.
5.3 Siguin T1 = (V1, A1) i T2 = (V2, A2) arbres amb |V1| = 2|V2| i |A1| = 17. Calculeu |V1|,|V2| i |A2|.
5.4 Vegeu si existeix un arbre amb 13 vertexs, 4 de grau 3, 3 de grau 4 i 6 de grau 1.
Quants vertexs de grau 1 hi ha en un arbre amb 3 vertexs de grau 4, 1 de grau 3, 2 degrau 2 i cap de grau mes gran que 4?
5.5 Demostreu que tot arbre d’ordre n ≥ 2 te almenys dos vertexs de grau 1.
5.6 Veure que, en un arbre, si el maxim grau d’un vertex es k, com a mınim hi ha k vertexsde grau 1.
5.7 Sigui T un arbre.
(a) Si T te 4 vertexs de grau 2, 1 de grau 3, 2 de grau 4 i un de grau 5, quants vertexsde grau 1 te?
(b) Si T te v2 vertexs de grau 2, v3 de grau 3, ..., vm de grau m, quants vertexs i aresteste?
5.8 Sigui T un arbre d’ordre n = 8. Proveu que si T te 5 vertexs de grau 2, aleshores esisomorf al graf trajecte T8.
5.9 Proveu que tot arbre es un graf bipartit. Quins son grafs bipartits complets?
5.10 Proveu que en un arbre, tot vertex de grau mes gran que 1 es de tall.
Donat un graf G tal que tot vertex de grau mes gran que 1 es de tall. Es G un arbre?
5.11 Sigui T un arbre on tots els vertexs son de grau 1 o 4. Si k es el nombre de vertexs degrau 4, doneu el nombre de vertexs de grau 1 en funcio de k.
5.12 Sigui T un arbre d’ordre n ≥ 3. Proveu que te diametre 2 si i nomes si es isomorf al grafestrella.
5.13 (a) Quin es el resultat d’eliminar d’un arbre una aresta qualsevol? I si eliminem unnombre k > 0 d’arestes qualssevol?
(b) Un bosc amb 26 vertexs i 21 arestes, quantes components te?
(c) Un bosc amb 3 components i 10 arestes, quants vertexs te?
(d) Quin es el nombre d’arestes d’un bosc, en funcio del nombre de vertexs i el decomponents?
(e) Quantes arestes haurem d’afegir a un bosc, com a mınim, per tenir un arbre? Quepassa si n’afegim mes?
27
5.14 Etiqueteu els vertexs dels grafs donats. Despres, vegeu quins arbres generadors es trobenquan apliqueu l’algorisme DFS comenant en vertexs diferents. Comenant als mateixosvertexs que abans, apliqueu l’algorisme BFS. Compareu resultats.
(a) K5,3, W8 i el graf de Petersen;
(b) els dos grafs seguents:
ss
ss
s
s
s
s
@@
@@
��
��
sss
s sss
ss
s s
sss sss�
�� HH
AA
��
`````
HH
��
�
��
��@
@
@@
(((��
����
��
��
��
5.15 (a) Quines arestes d’un graf pertanyen a tots els arbres generadors? Quines no pertanyena cap? q
(b) Es pot reconstruir G coneixent tots els arbres generadors? Com?
5.16 Demostreu la validesa o invalidesa:
(a) Si G te diametre 2, aleshores te una estrella generadora.
(b) Si G te una estrella generadora, aleshores te diametre 2.
5.17 Trobar un arbre generador minimal per als grafs ponderats donats per les matrius decostos seguents:
0 3 5 43 0 6 25 6 0 24 2 2 0
;
0 1 3 4 6 51 0 5 7 3 43 5 0 6 2 34 7 6 0 1 56 3 2 1 0 45 4 3 5 4 0
;
0 3 2 7 9 8 63 0 6 5 4 5 62 6 0 1 2 3 97 5 1 0 6 7 89 4 2 6 0 2 58 5 3 7 2 0 16 6 9 8 5 1 0
5.18 Trobeu un arbre generador minimal del graf corresponent a la taula de distancies aeries
entre ciutats:NewY ork 0Londres 3469 0Paris 3636 214 0MexicDF 2090 5558 5725 0Tokio 6757 5959 6053 7035 0Pekin 6844 5074 5120 7753 1307 0
5.19 Escriviu la matriu de costos, completant amb c = 106, i trobeu un arbre generador minimaldels grafs ponderats seguents:
28
t tt t
t t
J
JJ
JJ
JJ
JJJ
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
���������
6
4
3
4
5
1
2
3
6
t t tt
t
t
t
t
t
@@
@
@@
@��
�
��
�
QQQ
��
���
��
���
��
���
��
���Q
AAAAAAAAA
��
��
��
��
�
XXXXXXXXXXXX
1
7
5
1
3
5
6
9
6
1
5
4
8
82
6
5.20 Sigui G un graf ponderat i a una aresta de G tal que per a qualsevol altra aresta b este c(a) < c(b). Demostreu que l’aresta a esta continguda en tots els arbres generadorsminimals de G.
5.21 Dibuixeu el vostre arbre genealogic.
5.22 (a) Dibuixeu tots els arbres arrelats de 5 vertexs.
(b) Dibuixeu tots els arbres arrelats de 5 vertexs no isomorfs.
5.23 Trobeu tots els arbres binaris no etiquetats amb 6 fulles.
5.24 Demostreu que, en un arbre, el nombre de fulles no depen del nombre de vertexs de grau2.
En el cas d’un arbre binari, podem obtenir el nombre de fulles a partir del nombre devertexs de grau 3?
5.25 Representeu les operacions seguents mitjanant un arbre binari:
(a) (a + (b/(c− d))) ∗ ((e + f)/g)
(b) (p → q) ∧ (r ↔ (s ∨ t))
(c) (A⊕B)− ((C ∩D) ∪ E)
(d) A ∩ B
(e) ¬(p ∨ q)
(f) − b+√
b2−4ac2a
5.26 (a) Sabent que l’expressio ∗+−x13− y + 2/5x esta donada en preordre, calculeu el seuvalor.
(b) Sabent que l’expressio ∗1− 3+ y2x5/+−∗ esta donada en postordre, calculeu el seuvalor.
5.27 (a) Sigui T un arbre m-ari regular amb k nivells. I siguin ak el nombre de fulles i bk elnombre de vertexs.Trobeu quina relacio de recurrencia satisfan cadascuna de les successions ak i bk.
(b) Resoleu les recurrencies anteriors, veient que coincideix amb el que ja sabıem.
29
6 Planaritat
Un graf es planar si es pot dibuixar en el pla sense que les seves arestes es creuin.Una representacio en el pla d’un graf G = (V,E) es un conjunt de punts i un conjunt de
corbes, que representen els vertexs i les arestes de G:{α(u) punt del pla |u ∈ V },{γ(a) corba de u a v | a = {u, v} ∈ E}.Direm que (α, γ) es una representacio plana de G si
∀a, b ∈ E, γ(a) ∩ γ(b) =
{∅ si a ∩ b = ∅,
α(v) si v = a ∩ b.
Una representacio plana d’un graf G divideix el pla en un cert nombre de regions queanomenem cares. Una cara es una regio maximal del pla que no conte en el seu interior puntsde {α(u) |u ∈ V } ∪ {γ(a) | a ∈ E}. En una representacio plana d’un graf una de les cares es noacotada, i s’anomena cara exterior.
Si tenim dues representacions planes diferents del mateix graf, tenen el mateix nombre decares. Un graf es planar si te alguna representacio plana.
6.1 Grau d’una cara
Sigui G = (V,E) un graf, (α, γ) una representacio plana de G i R = {r1, r2, . . . , rc} el conjunt decares d’aquesta representacio, aleshores podem associar a cada r ∈ R un circuit v0, v1, · · · , vd,de longitud mınima tal que els punts i corbes que representen els vertexs i arestes d’aquestcircuit defineixen la frontera de r.
El grau de la cara r es gr(r) = d.Tenim un resultat equivalent al Lema de les encaixades, per a cares:∑
r∈R
gr(r) = 2 |E|.
6.2 Formula d’Euler
Teorema. (Formula d’Euler) Si G = (V,E) es un graf connex i planar, amb ordre n, mida mi nombre de cares c, aleshores:
n−m + c = 2.
Corol·lari. Si G es planar i te k components connexes, aleshores n−m + c = 1 + k.
6.3 Propietats
Sigui G planar, d’ordre n, mida m i nombre de cares c.
• G te algun vertex de grau mes petit o igual que 5.
• Si G te k components connexes, aleshores n−m + c = 1 + k.
• Si G es maximal, es a dir, al afegir una aresta deixa de ser planar, aleshores: G es connex,totes les cares son triangles i m = 3n− 6.
• 3c ≤ 2m i m ≤ 3n− 6.
• Si ∀r ∈ R, gr(r) ≥ d aleshores: dc ≤ 2m i m (d− 2) ≤ d (n− 2).
Teorema. K5 i K3,3 no son planars.
30
6.4 Caracteritzacio
Si en un graf G hi ha un vertex u, de grau 2, adjacent a v i w, diem que el grafG′ = G− u + {v, w} es una fusio de G. La operacio inversa es diu subdivisio.
Diem que G1 i G2 son homeomorfs si podem passar d’un a l’altre per una successio finitad’operacions de fusio o subdivisio.
Donats dos grafs G1 i G2 homeomorfs, G1 es planar si i nomes si G2 es planar.Diem que G1 es contractil a G2 si podem passar de G1 a G2 per una successio finita d’op-
eracions de contraccio.Si G te un subgraf no planar, G no es planar.
Teorema 1. Un graf es planar si i nomes si no conte subgrafs homeomorfs a K5 o K3,3.Teorema 2. Un graf es planar si i nomes si no conte subgrafs contractils a K5 o K3,3.
6.5 Problemes de planaritat
6.1 Per cada un dels seguents grafs o pseudografs planars:
s
s
.........................
.....................
..................
.................
................
...............
..............
..............
...............
................
.................
..................
.....................
........................
............................
..........................
........................
.......................
.......................
........................
..........................
...........................
............................
..........................
........................
.......................
.......................
........................
..........................
...........................
.........................
.....................
..................
.................
................
...............
..............
..............
...............
................
.................
..................
.....................
........................
s s
smJ
JJ
JJ
JJ
ss
ss
�������
aaaa@
@@
@@
��
��
CCCC������� s
s s
s s.......................
.....................
.....................
.............................................
..................................................
...........................
. .....................................................
...............................................
......................
.....................
.....................
......................
LLLLLL C
CCCCCCC
�������
HHHH
s sss@
@@
��
�
(a) calculeu el grau de cada regio;
(b) calculeu la suma dels graus de les regions;
(c) verifiqueu que es compleix la formula d’Euler.
6.2 Demostreu que els grafs seguents son planars:
s ss s
s..............................................................................................................................................................................
............................
............................
............................
............................
............................
............................
.....
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.
........................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................................................ .................................................................................................................................................... .
................................................................................................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
s s s ss s
. ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .
.................................................................................................................................................... .
....................................................................................................................................................
. ....................................................................................................................................................
.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................... .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................... .
.....................................................................................................................................................................................................
6.3 Demostreu que K3,3 i K5 no son planars, usant raonaments geometrics.
6.4 (a) Es planar el graf Kn per a n > 5? Es planar K6?
(b) Es planar el graf K3,2?
(c) Es planar el graf Kn,2 per a n > 3?
(d) Es planar el graf Kn,3?
6.5 Sigui G = (V,A) un graf planar amb 2 components connexes. Formuleu i demostreu unresultat analeg a la formula d’Euler per a aquest tipus de graf.
Generalitzeu el resultat al cas que hi hagi m components connexes.
Demostreu que, si G es planar i satisfa la formula d’Euler, aleshores G es connex.
31
6.6 Sigui G planar connex amb totes les cares de grau k. Calculeu |A| en funcio de |V |.
6.7 Considereu els cinc solids platonics com a grafs, comptant les cares com regions. Vegeuque satisfan la formula d’Euler, doneu-ne una representacio plana i busqueu els seus duals.
6.8 Trobeu si existeix un graf planar connex, 5-regular, que divideixi el pla en 11 regions.
6.9 Sigui G un graf planar 4-regular i amb 10 regions. Quin es l’ordre de G?
6.10 Demostreu que tot graf planar te un vertex de grau ≤ 5.
6.11 Sigui G un graf planar d’ordre < 12. Demostreu que te un vertex de grau com a molt 4.
6.12 Demostreu que si G te ordre 11, o be es no planar o be ho es el seu complementari.
6.13 Demostreu que en un graf (no multigraf) planar maximal, es a dir: un graf planar tal quesi afegim alguna aresta deixa de ser-ho, les regions son triangles.
6.14 Sigui G un graf planar connex, 3-regular, les cares del qual son pentagons o hexagons.
(a) Demostreu que G te exactament 12 cares pentagonals.
(b) Si a cada vertex de G arriba un unic pentagon, quants hexagons hi ha?
6.15 Sigui G = (V,A) un graf planar amb |V | ≥ 4. Proveu que aleshores hi ha un mınim de 4vertexs de grau inferior o igual a 5.
6.16 (a) Estudieu quin es el nombre mınim d’arestes que cal eliminar al graf cub Q4 per aobtenir un graf planar.
(b) Estudieu quin es el nombre mınim de vertexs que cal eliminar al graf cub Q4 per aobtenir un graf planar.
6.17 Una triangulacio es un graf connex, planar, que te totes les cares triangulars. Proveu que,si G = (V,A) amb |V | ≥ 3 es una triangulacio, aleshores, |A| = 3n− 6 i te 2n− 4 cares.
6.18 Tenim un cercle i tracem n segments no 3 concurrents, que tallen la circumferencia en2n punts diferents. Suposem que hi ha p interseccions interiors. Calculeu el nombre deregions interiors.
7 Coloracions
7.1 Coloracio de vertexs
Una k-coloracio d’un graf G es una aplicacio c : V → {1, . . . , k} tal que si u i v son vertexsadjacents de G, aleshores c(u) 6= c(v). La imatge d’un vertex, c(u), es diu color de u.
Si un graf admet una k-coloracio diem que es k-colorable.El nombre cromatic d’un graf G es χ(G) = min{k |G es k-colorable}.
Propietats.
• Si G te ordre n, aleshores χ(G) ≤ n.
• χ(Kn) = n.
• G es bipartit i no nul si i nomes si χ(G) = 2.
• Si T es un arbre, χ(T ) = 2.
32
• χ(C2n) = 2 i χ(C2n+1) = 3.
• χ(G) ≤ ∆(G) + 1, i la fita s’assoleix nomes per als grafs complets i els cicles de longitudsenar.
Teorema dels cinc colors. Si G es un graf planar, χ(G) ≤ 5.Teorema dels quatre colors. Si G es un graf planar, χ(G) ≤ 4.
7.2 Problemes de coloracions
7.1 Calculeu el nombre cromatic dels grafs seguents:
(a) K100, K100,100;
(b) un polıgon de n costats;
(c) el graf roda d’orde n;
(d) el graf de Petersen.
7.2 Demostreu que χ(Kn) = n− 1.
7.3 Demostreu que un graf es bipartit no nul si i nomes si te nombre cromatic 2.
7.4 Si un graf G te dues components connexes, quin es el seu nombre cromatic?
7.5 La taula seguent indica els periodes de temps durant els quals necessitem usar les variablesA, B, C, D i E. Vegeu de quina manera s’utilitza el menor nombre de registres.
EDCBA
7.6 Demostreu que un graf planar es sempre 5-colorejable, seguint els passos seguents:
• Demostreu que un graf connex d’ordre ≥ 3 te un vertex de grau ≤ 5.
• Comenceu per induccio sobre el nombre de vertexs de G, n ≤ 5.
• Suposeu n > 5 i que el resultat val per grafs d’ordre mes petit. Que es pot dir delgraf G− v, amb δ(v) ≤ 5?
• Feu el cas on els vertexs adjacents a v poden ser colorejats amb menys de 5 colors.
• En la resta dels casos, vegeu que es pot colorejar un dels vertexs amb el color d’undels altres i el cinque color usar-lo per v.
33