matem con geo

MATEMTICAS DINMICAS CON GeoGebra

Agustn Carrillo de Albornoz Torres Universidad de Crdoba - Espaa

Actas del 3er CUREM, 2011

ISBN 978-9974-98-432-5

1

MATEMTICAS DINMICAS CON GeoGebra

A pesar de todos los esfuerzos institucionales que se estn realizando para la incorporacin de las TIC a los mbitos educativos a travs de distintos planes como ocurre en Espaa con los proyectos Escuela 2.0 o en Uruguay con el plan CEIBAL por el que se estn distribuyendo computadores entre el alumnado y tambin entre el profesorado con el gasto que supone, sobre todo en poca de crisis, los resultados no estn siendo todo lo buenos que eran de esperar ante las expectativas que en todo momento ha despertado la incorporacin de estos recursos. A pesar del inters del profesorado y de contar con la motivacin del alumnado la integracin real de las TIC y el aprovechamiento de todas las posibilidades que ofrecen no se est consiguiendo. En general, todo est a favor del cambio en la metodologa de trabajo, para rentabilizar el esfuerzo econmico y para mejorar los procesos de enseanza y aprendizaje con nuevos recursos, acordes con la poca actual, aunque como docentes debemos reconocer que cualquier cambio nos cuesta y por tanto se produce lentamente. Nadie niega las posibilidades que ofrecen las TIC para su uso en cualquier mbito de la sociedad y por supuesto, tambin en el mbito educativo, en el que an queda mucho por hacer a pesar de contar cada vez con ms recursos y aplicaciones para llevar al aula. Si no queremos una escuela anticuada y esttica, ser necesario incorporar nuevos mtodos y procesos, as como nuevos recursos entre los que se encuentran las TIC, sobre todo una vez que las escuelas cuentan con material suficiente para facilitar el acceso del alumnado a los computadores y en la mayora de los caso, tambin a Internet. Siempre es conveniente recordar alguna referencia sobre la importancia que los expertos en didctica conceden a las TIC, como ocurre al leer los Principios y estndares para la educacin matemtica publicada por la NTCM (Nacional Council of Teachers of Mathematics) que entre los seis principios para las matemticas escolares que proponen, encontramos el Principio de la tecnologa que considera la tecnologa fundamental en la enseanza y el aprendizaje de las matemticas y que influye en las matemticas que se


ISBN 978-9974-98-432-5

2

ensean y enriquece su aprendizaje, indicando que la existencia, versatilidad y potencia de la tecnologa hacen posible y necesario reexaminar qu matemticas deberan aprender los alumnos, adems de cmo aprenderlas mejor. Por tanto, queda claro que si las TIC no constituyen un recurso ms en el aprendizaje y enseanza de las matemticas, sobre todo en los denominados centros que cuentan con recursos suficientes, las razones tenemos que buscarlas en nosotros mismos, en el propio profesorado y en el tiempo y esfuerzo que nos cuesta afrontar cualquier cambio. Cada vez hay ms variedad de aplicaciones para utilizar en matemticas para trabajar los distintos bloques de contenidos, sin contar la gran variedad de recursos disponibles a travs de Internet. Por ejemplo, para incorporar recursos TIC para la enseanza de la geometra podemos elegir entre varios programa de geometra dinmica, lo mismo ocurre con los programas de clculo simblico o de representacin de funciones para los que tambin disponemos de opciones suficientes para evitar seguir utilizando en todo momento los mtodos tradicionales; lo mismo ocurre para el resto de bloques de contenidos. Adems, estos programas en general no excesivamente complicados tienen una caracterstica importante que es la denominacin de software libre, accesibles por tanto de manera legal y en la mayora de los casos con opciones para su uso en distintos sistemas operativos. Demasiada son las razones que impiden la utilizacin y por supuesto, la generalizacin de las TIC en el aula, aunque en este caso, cada vez son menos las de ndole material. Como razones podemos citar dos que consideramos quizs las ms importantes: la excesiva dependencia del libro de texto y la formacin del profesorado sobre todo en cuestiones didcticas que faciliten el uso de las TIC como recursos para favorecer el aprendizaje del alumnado. La excesiva dependencia del libro de texto no favorece el cambio de metodologa necesaria para incorporar las TIC, por lo que a pesar de los cambios en el currculum y en las ediciones de nuevos libros, el profesorado sigue manteniendo una enseanza y una metodologa tradicional por lo que


ISBN 978-9974-98-432-5

3

resulta difcil incorporar nuevos elementos o cambiar determinados aspectos en el trabajo del da a da. En cuanto a la formacin del profesorado no basta con la formacin tcnica imprescindible para que domine un nuevo recurso o software, es

necesaria una formacin didctica que favorezca su utilizacin y sobre todo que proporcione ideas para permitir que el alumnado aprenda con los nuevos recursos. Quizs no estemos convencidos de las ventajas que aportan a la enseanza, quizs a pesar de la variada oferta de formacin an consideramos que necesitamos ms cursos o a lo mejor es que nos cuesta demasiado afrontar cualquier cambio en las tareas que da a da realizamos. Si creemos en la tecnologa y la usamos a diario para otras tareas, no cabe ms que perder el miedo para llevarla tambin al aula. Mi propuesta intenta hacer an ms fcil la incorporacin de las TIC para la enseanza de las matemticas, evitando tener que elegir y por tanto conocer y aprender distintos programas para trabajar cada uno de los bloques de contenidos. Considero, sin despreciar las posibilidades que ofrecen otros programas, que hay un software que en los ltimos aos se est convirtiendo en una importante revolucin por las posibilidades que ofrece y porque cada da aade nuevas opciones, estando por tanto, en continuo desarrollo. Este programa, que tambin es software libre es GeoGebra y voy a intentar justificar su eleccin a travs de una exposicin de actividades de cada uno de los bloques de contenidos de las matemticas.

Sobre GeoGebra GeoGebra es GEOmetra y lgebra aunque debido a los avances del programa, en las ltimos aos, las nuevas versiones ofrecen opciones para trabajar cualquier contenido de Matemticas, especialmente en niveles educativos de Educacin Secundaria y Bachillerato, sin olvidar los niveles inferiores ya que incluso existe una versin especfica para educacin Primaria. A la sencillez que ofrece GeoGebra se unen otras caractersticas importantes, entre las que se encuentra que es un software libre, lo que facilita su descarga e instalacin en cualquier computador(http://www.geogebra.org),


ISBN 978-9974-98-432-5

4

su continua evolucin con nuevas versiones o con cambios casi diarios gracias al trabajo de los numerosos usuarios con los que cuenta en todo el mundo. Adems, desde su Web es posible descargar el programa para su instalacin bajo distintos sistemas operativos, incluidas versiones denominadas portables, que como su nombre indica se podrn llevar en un pendrive y por tanto, ejecutar sin necesidad de instalacin. Aunque es evidente que GeoGebra no tiene la exclusividad como programa para la enseanza, ofrece una gran variedad de opciones que permiten su uso, no solo para dibujar o construir, sino tambin, como veremos a travs de algunos ejemplos, permitir proponer al alumnado tareas de investigacin y experimentacin, que en la mayora de los casos no requerirn demasiados conocimientos tcnicos; bastar con conocer algunas

herramientas bsicas y algunos comandos para afrontar distintas tareas con este software. Para los entusiastas de este programa, GeoGebra representa una importante revolucin que con el tiempo lo convertir en una herramienta que ofrecer los recursos necesarios para trabajar los distintos bloques de las matemticas y por tanto, no ser necesario recurrir a otros programas de geometra, otros de clculo simblico, a una hoja de clculo y otros de estadstica, ya que todos estarn integrados en GeoGebra o al menos dispondremos de las opciones necesarias para no echarlos de menos. Expondr a continuacin actividades de los distintos bloques de contenidos, con diferentes niveles de dificultad para que cada profesor en su utilizacin pueda llegar hasta donde considere oportuno. Estas actividades intentan ofrecer una idea de lo que es posible hacer con GeoGebra, con la seguridad de que con vuestros conocimientos e imaginacin seris capaces de realizar grandes construcciones y sobre todo abrocharis en vuestra aula las posibilidades de este programa como recurso TIC para trabajar las matemticas de otra forma y con otra metodologa al menos ms dinmica. En ocasiones, cuando se afronta la incorporacin de las TIC al aula se recurre a Internet para encontrar ideas o propuestas que ayuden ante este reto. Al buscar estas actividades o ejemplos realizados con GeoGebra y publicados por otros profesores, encontraremos una gran variedad (actividades


ISBN 978-9974-98-432-5

5

con GeoGebra hay alrededor de 119.000 y las pginas sobre GeoGebra alcanzan un total de 1.790.000), de las que unas nos resultarn demasiado simples y otras, la mayora nos llamarn la atencin por su espectacularidad, lo cual nos llevar a utilizarlas cuanto antes en nuestro aula. Posiblemente, despus de varios intentos con este tipo de actividades, nos plantearemos que han aprendido nuestros alumnos y poco tiempo despus, terminaremos valorando si ha merecido la pena este esfuerzo y en la mayora de los casos abandonaremos la idea de trabajar con las TIC al menos por el momento. Pensemos que al incorporar cualquier recurso sin una programacin previa, lo que hacemos es improvisar, lo que nos llevar a no alcanzar los objetivos planteados. Es evidente que ante la incorporacin de un recurso TIC como es el caso de GeoGebra se requiere una formacin tcnica para las que en ocasiones bastar con participar en algn curso de formacin que ayude a dar los primeros pasos. No es conveniente abusar de la formacin tcnica obviando la formacin pedaggica que es la realmente importante ya que ser la que permita al docente aprovechar los recursos y sacar todo el partido posible para que sus alumnos aprendan. Por tanto, formacin tcnica si, pero solo la justa y necesaria para iniciarnos en el uso de GeoGebra (o de cualquier otro recurso) y sobre todo no improvisar, planteando distintas sesiones de trabajo con propuestas y actividades sencillas que ayuden no solo al profesor, sino tambin al alumnado a familiarizarse con el programa y que faciliten que poco a poco sea posible enfrentarse a nuevos retos. Este planteamiento no supone olvidarnos de las estupendas actividades disponibles en Internet, todo lo contrario, sabemos que estn all y que en su momento las podremos utilizar. Pensemos que si comenzamos planteando actividades que requieres demasiados requisitos o conocimientos previos entre ellos, muchos comandos o instrucciones, los alumnos dedicarn todos sus esfuerzos a la parte tcnica y por tanto, el aprendizaje de los contenidos planteados ser mnimo.


ISBN 978-9974-98-432-5

6

He indicado que GeoGebra es geometra y lgebra, por lo que comenzaremos con algunas actividades de geometra que ayuden a conocer este software. Siguiendo lo indicado con anterioridad, comenzaremos con actividades sencillas para las que la formacin tcnica sea mnima. Por ejemplo, al comenzar a trabajar en el aula bastara con indicar en una primera sesin que vamos a utilizar un programa de geometra en el plano, en el que a partir de unos objetos bsico (punto, segmento, recta, circunferencia, polgono, etc.) se podrn establecer relaciones entre ellos (perpendicularidad, paralelismo, pertenece, ), destacando el significado del dinamismo de la construccin, lo que significa que al cambiar las condiciones iniciales de los objetos que intervienen se mantienen las relaciones existentes entre ellos, siempre que la construccin sea correcta. Un primer ejemplo que ayudar a conocer algunas instrucciones de programa puede ser la construccin de la recta tangente a una circunferencia por un punto de ella. Una vez dibujados los objetos iniciales (circunferencia y punto sobre ella) tendremos dos opciones. Por un lado, utilizar la herramienta Tangentes que dibujar directamente la recta buscada y por otro, quizs ms didctica, la que permite establecer alguna relacin matemtica o propiedad geomtrica que cumple la recta tangente como es que es una recta perpendicular al radio que pasa por el punto en el que se desea trazar. Si la construccin se realiza a travs de la primera opcin, el proceso sera al contrario, primero construirla y posteriormente intentar averiguar la relacin existente entre los objetos.

.


ISBN 978-9974-98-432-5

7

Conociendo pocas herramientas ser posible plantear pequeas investigaciones, pero no por ello menos interesantes, como la siguiente.

Actividad Dibuja un punto A en el plano e intenta averiguar cuntas circunferencias puedes construir que pasen por A. A continuacin, dibuja un nuevo punto B para responder a la cuestin siguiente cuntas circunferencias pasan por A y B? Cmo la has construido? S hay ms de una, tienen alguna caracterstica comn? Ahora un poco ms complicado, dibuja un nuevo punto C para determinar cuntas circunferencias pasan a la vez por A, B y C. Y si en lugar de tres puntos, incluimos un nuevo punto D, cuntas circunferencias se pueden construir que pasen por los cuatro puntos?

Cuando comenzamos el trabajo con GeoGebra, sobre todo en un curso de formacin para el profesorado me gusta plantear la siguiente actividad para valorar la ventajas que ofrecen las TIC frente a los mtodos tradicionales como puede ser la pizarra.

Actividad Dibuja un tringulo ABC y construye la circunferencia circunscrita. Una vez construida la circunferencia circunscrita investiga las cuestiones siguientes: Qu condiciones o qu tipo de tringulo har que el circuncentro sea un punto interior del tringulo? Cundo ser un punto exterior? Y cundo el circuncentro ser un punto del permetro del tringulo? Hay algn tringulo en el que el circuncentro coincide con uno de los vrtices?

Despus de la circunferencia circunscrita a un tringulo vendra la construccin de la circunferencia inscrita. Esta actividad es ideal para que los


ISBN 978-9974-98-432-5

8

usuarios, en este caso nuestros alumnos, comprendan el significado de construir frente a dibujar. Poco a poco hemos utilizado distintas herramientas de GeoGebra, en la mayora de los casos sin excesivas necesidades tcnicas ya que cada herramienta se emplea de manera similar a como se hara cuando se utiliza una regla y un comps, lo que hace que su uso sea intuitivo. Continuando con las construcciones geomtricas podemos proponer una nueva actividad de investigacin.

Actividad En un tringulo ABC construye los cuatro puntos notables de un tringulo: circuncentro, incentro, baricentro y ortocentro. En cualquier tringulo se cumple que tres de los puntos anteriores estn alineados, es decir estn sobre una misma recta que se denomina recta de Euler. Aprovechando las posibilidades de movimiento que GeoGebra ofrece intenta averiguar qu puntos son los que estn alineados. Intenta averiguar si los cuatro puntos notables pueden estar alineados. Qu condiciones son necesarias para que esto ocurra? De los cuatro puntos hay algunos que siempre estn dentro del tringulo sea cual sea ste. Indica cules son. Es posible que alguno de los puntos notables pueda estar situado sobre un lado del tringulo? Describe cuando ocurre y bajo qu condiciones. Y con un vrtice puede coincidir alguno de los puntos notables? Indica de qu punto o puntos se trata y describe si hay alguna relacin con el tipo de tringulo dibujado. Describe qu ocurre cuando la recta de Euler pasa por un vrtice. Pueden coincidir los cuatro puntos notables? Qu ocurre en este caso en el tringulo?

En esta actividad, a partir de construcciones no muy complicadas se obtendrn los puntos notables del tringulo (circuncentro, incentro, baricentro y ortocentro) y ya solo quedar manipular los objetos, en este caso, los vrtices


ISBN 978-9974-98-432-5

9

del tringulo, para observar lo que ocurre de manera que se pueda dar respuesta a las cuestiones planteadas. En determinados contenidos que se desarrollan en el aula

estableceremos relaciones que evidentemente, por el nivel del alumnado, no demostraremos. Para este tipo de situaciones GeoGebra ser de gran ayuda ya que la manipulacin de una construccin permite deducir, que no demostrar, propiedades y relaciones geomtricas. Pensemos, por ejemplo, lo que tradicionalmente hacemos al establecer la relacin entre ngulo inscrito y ngulo central en una circunferencia. Con pocos pasos, construiremos los dos ngulos y, aprovechando las opciones que GeoGebra ofrece para medir, fcilmente se establecer la relacin entre los dos ngulos.

Aunque la calculadora no la encontramos como herramienta en GeoGebra no significa que no exista, ya que bastar con realizar todos los clculos necesarios a travs de la lnea de comandos, como hemos realizado en el ejemplo anterior con las medidas de los ngulos.


ISBN 978-9974-98-432-5

10

Aprovechando las opciones anteriores, podemos plantear nuevas investigaciones sobre los contenidos que acabamos de exponer.

Actividad En la figura siguiente podrs observar una circunferencia y dos cuerdas AB y CD iguales. A continuacin: Traza los radios OA, OB, OC y OD. Mide los ngulos AOB y COD. Deduce la relacin existente entre los ngulos centrales que

corresponden a dos cuerdas iguales. Dibuja una circunferencia y dos cuerdas AB y CD que no sean paralelas y que tengan distinta longitud. Dibuja a continuacin las rectas perpendiculares a cada una de las cuerdas por el centro de la circunferencia. Contesta las cuestiones siguientes: Qu tipo de tringulos son AOB y COD? Qu representa la perpendicular anterior en cada uno de los tringulos? Por dnde pasa la perpendicular anterior con respecto a cada una de las bases? Completa la propiedad siguiente: La perpendicular por el centro de una circunferencia, trazada a una cuerda, divide a la cuerda en ________________________.

Algo similar ocurre cuando deducimos o exponemos otras relaciones, como por ejemplo las frmulas de las reas de algunas figuras planas. En ocasiones, nos limitamos a dar por cierta la expresin sin apenas dedicar tiempo a su justificacin. Por ejemplo, decimos el rea de un paralelogramo es igual al rea del rectngulo de igual base y altura y poco ms. Si aprovechamos GeoGebra podemos realizar una construccin dinmica que nos permita mover el tringulo de un lado para llevarlo al otro, de manera que transformemos el paralelogramo en un rectngulo de igual rea.


ISBN 978-9974-98-432-5

11

Intentad haced lo mismo con el rea de un tringulo para relacionarla con el rea del paralelogramo construido sobre l. Actividades similares a las expuestas anteriormente podemos encontrar en la Web elaborada por Manuel Sada cuya direccin es: http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/areas.htm

Otro tipo de actividades que podemos realizar con GeoGebra son aquellas que permiten acercarnos a la realidad, incorporando a las construcciones imgenes de la vida cotidiana, planos, fotografas, etc., para trabajar sobre ellas. Ejemplos de actividades de este tipo podran ser medir recintos, establecer recorridos por una ciudad o estudiar simetras, entre otros.

Actividad Aprovechando los mapas y planos de Google, intenta obtener la superficie de la plaza.


ISBN 978-9974-98-432-5

12

Actividad Estudia relaciones de simetra existentes en el Palacio Legislativo.

Son muchas las actividades de geometra que podrn realizarse con ayuda de este programa, aunque como no se trata de impartir un curso sobre GeoGebra, solo he intentado ofrecer algunas ideas, entre las que no quiero olvidarme de las opciones para la construccin de lugares geomtricos as como las posibilidades de animacin que al menos nos servirn para construir y animar la construccin de las distintas cnicas.


ISBN 978-9974-98-432-5

13

Dejamos

las

construcciones

geomtricas

para

exponer algunas

actividades que permitirn desarrollar contenidos de anlisis o de lgebra. Una primera aplicacin que podemos dar a GeoGebra ser como graficador de funciones. Para obtener la representacin grfica de una funcin solo hay que introducir su expresin en la lnea de comandos.


ISBN 978-9974-98-432-5

14

Aprovechando las posibilidades que ofrece la representacin de funciones y la herramienta deslizador (crea una variable que tomar valores en un intervalo) se harn realidad construcciones en las que a partir de una funcin genrica se estudiar el significado de los coeficientes. Por ejemplo, con pocos pasos representaremos la funcin afn y = a x +b para estudiar el significado de los coeficientes a y b.

De manera similar y como he comprobado, con pocos pasos, en el ejemplo anterior, solo se han realizado tres acciones, se realizarn construcciones para estudiar otros tipos de funciones.


ISBN 978-9974-98-432-5

15

Estas opciones nos facilitan proponer nuevos retos a travs de actividades como la siguiente:

Actividad


ISBN 978-9974-98-432-5

16

Aunque es de esperar que las posibilidades de GeoGebra se ampliarn con las nuevas versiones, en breve aparecer la versin 4 que incluye opciones para CAS, por ahora nos debemos conformar con el uso de algunos comandos para aplicarlos solo sobre funciones polinmicas de manera que sea posible determinar sus elementos caractersticos. El uso de estos comandos es intuitivo, al igual que todo en GeoGebra, sobre todo en los aspectos relacionados con su sintaxis. Creo que nos resultar fcil determinar la accin que realizarn comandos como Raz, Extremo o PuntoInflexin.

Para aplicar estos comandos podemos proponer actividades como la siguiente:

Actividad La altura de un proyectil en funcin del tiempo est representada por la funcin:

h(t ) = t 2 + 20t + 300(altura en metros, t en segundos) Determina: 1. La altura desde la que se ha lanzado el proyectil. 2. La altura mxima que alcanza. 3. El tiempo que el proyectil est por encima de 175 m.


ISBN 978-9974-98-432-5

17

Casi sin ayuda, seremos capaces de obtener la funcin derivada, utilizando el comando adecuado. Efectivamente, el comando es Derivada que devolver no solo la expresin de la funcin derivada sino que adems la representar grficamente y Derivada[f(x),n] realizar la misma accin para la derivada de orden n de f(x). Combinando distintos elementos expuestos anteriormente podemos realizar una construccin para facilitar que el alumnado adquiera un concepto que puede resultar complicado como es la interpretacin del significado del valor de la derivada en un punto como lmite de las secantes o como valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto.


ISBN 978-9974-98-432-5

18

Igual que hicimos en el apartado correspondiente a geometra, tendremos la opcin de recurrir a imgenes de la realidad para proponer investigaciones para encontrar curvas que las ajusten.

Para finalizar este bloque de actividades quisiera citar las posibilidades que ofrecen los comandos disponibles para el clculo de integrales definidas y por tanto, para el clculo de reas que es de esperar que se amplen tambin a integrales indefinidas en la nueva versin que incorpora CAS, as como las opciones que permiten representar las sumas inferiores y superiores que seguro sern de ayuda, al menos para facilitar la construccin y por supuesto para que resulte ms sencillo la comprensin de los conceptos.


ISBN 978-9974-98-432-5

19

Avancemos un poco ms para conocer nuevas propuestas para realizar con GeoGebra, aunque en este caso tendremos que recurrir a la nueva versin que se presentar como definitiva en breve (por ahora debemos conformarnos con la versin 4 beta) que ofrece las opciones necesarias para afrontar actividades de clculo simblico. Antes de adentrarnos en las opciones de CAS destaquemos que en esta nueva versin encontramos los comandos necesarios para entre otras tareas, representar inecuaciones y sistemas de inecuaciones.


ISBN 978-9974-98-432-5

20

Por tanto, a partir de estas nuevas funciones se podrn plantear actividades sobre programacin lineal.

GeoGebra 4.2, aunque sea en su versin beta, dispone de comandos para CAS, por lo que ya no ser necesario recurrir a otras aplicaciones para este tipo de operaciones y por tanto, el campo de aplicacin de este programa se ampla notablemente, como podemos observar en las imgenes siguientes en las que hemos obtenido el m.c.d. de dos polinomios, calculado una integral indefinida y tambin hemos obtenido las soluciones de distintos tipos de e ecuaciones y sistemas.


ISBN 978-9974-98-432-5

21


ISBN 978-9974-98-432-5

22

Con estas nuevas opciones que seguro se irn ampliando en posteriores versiones del programa, ser posible incorporar nuevos contenidos para trabajar en el aula con ayuda de GeoGebra. Si nos planteamos el trabajo con vectores y matrices disponemos de los comandos necesarios para efectuar operaciones, calcular determinantes, inversas o para obtener la matriz traspuesta de una matriz dada.

Es previsible que como ha ocurrido hasta ahora, los comandos de CAS continen evolucionando para situarse al mismo nivel que el resto de aplicaciones que ofrece GeoGebra en sus versiones estables. Aunque tambin est anunciada una versin de GeoGebra para 3D, por ahora nos conformaremos con trabajar en el plano; por lo que continuando con el desarrollo de actividades para los distintos bloques de matemticas, a continuacin nos dedicaremos a geometra afn y eucldea. En este apartado lo primero que observaremos es que la forma de proceder de GeoGebra es similar a como estamos habituados a hacerlo siguiendo la metodologa que hemos denominado tradicional aunque bastante mejorada, sobre todo por las posibilidades y el dinamismo que nos ofrece este programa. Una vez activados los ejes de coordenadas y si lo deseamos, tambin la cuadrcula (rejilla) solo nos queda introducir objetos utilizando el puntero o a travs de la lnea de comandos.


ISBN 978-9974-98-432-5

23

As, para introducir las coordenadas de un punto bastar con escribirlo en la forma A=(x, y), siendo x e y los valores de la abscisa y la ordenada y, para introducir un vector, bastar con cambiar el nombre, utilizando una letra en minscula u=(x, y). A partir de estos elementos bsicos (puntos y vectores) ya se pueden construir otros elementos como por ejemplo una recta. Para dibujar la recta que pasa por dos puntos A y B tendremos dos opciones. La primera es utilizar las herramientas ya conocidas, en este caso la herramienta Recta que pasa por dos puntos y la segunda ser emplear el comando correspondiente, cuyo nombre no nos resultar complicado adivinarlo. Efectivamente, el comando ser Recta que incluir como argumentos los dos puntos que la determinan.

Podemos observar que no solo ha dibujado la recta sino que adems nos ha dado su ecuacin. De manera similar y con el mismo comando se trazar la recta determinada por un punto A y por un vector u (Recta[A,u] o a travs de la herramienta Recta paralela como recta que pasa por A y es paralela al vector u). Espero que despus de todos los ejemplos expuestos hasta este momento, sobre todo quien no conociera GeoGebra, se haya convencido que no es complicado su uso y sobre todo, que haya sido capaz de animarles a trabajar con este software, para aprovechar las posibilidades que ofrece como


ISBN 978-9974-98-432-5

24

recurso TIC para hacer otras matemticas y para facilitar el aprendizaje de alumnado. Sin ms conocimientos tcnicos ser posible proponer actividades de geometra afn y eucldea en el plano como las que expongo a continuacin que seguro les resultarn conocidas.

Actividad Los puntos A(-2, -1) y C(4, 3) son dos vrtices opuestos de un paralelogramo. Cmo podras determinar los otros dos vrtices? Cuntos paralelogramos se pueden construir? Determina algunos que cumplan que los vrtices B y D tengan coordenadas enteras.

Actividad Dados el punto A(3,-1), halla las coordenadas de otro punto B sabiendo que se encuentra en el eje de ordenadas y dista 5 unidades del A.

Actividad Halla la ecuacin de la recta que pasa por el punto de corte de las rectas r: x + 2 y = -1 y s: 2 x y = 3, y por el punto (-3, 2).

Actividad Dado el tringulo de vrtices A(-2, 1), B((4, -2) y C(7,4). Determina las ecuaciones de los lados. Ecuaciones de las medianas y las coordenadas del baricentro. Comprueba la propiedad del baricentro.

Y como en anteriores bloques, estas opciones permiten complicar las actividades y sobre todo, plantear investigaciones que requieran la

manipulacin de la construccin para deducir relaciones o propiedades de los objetos como ocurre en la actividad siguiente:

Actividad Dados los puntos A(1,0), B(1.5,2) y C(3,2). Consideramos las rectas que cortan al segmento BC.


ISBN 978-9974-98-432-5

25

De las rectas que pasan tambin por el origen de coordenadas Cul es la que tiene mayor pendiente? Cul es la que tiene menor pendiente? Y de las rectas que adems cortan al segmento OA. Cul tiene mayor pendiente? Cul tiene la menor pendiente? Y cual tiene la mayor ordenada en el origen? Y la menor?

An nos queda un bloque de contenidos como es la estadstica y la probabilidad para los que tambin GeoGebra nos puede ayudar. Quizs no sea la parte ms desarrollada o avanzada del programa y puede resultar algo ms complicada que el resto de opciones sobre todo por la notacin que requiere para introducir los datos a travs de listas, aunque tambin es posible simplificarla con ayuda de la hoja de clculo que incluye GeoGebra.


ISBN 978-9974-98-432-5

26

Adems, a partir de un conjunto de datos se podrn obtener los valores correspondientes a las medidas de centralizacin y de dispersin. Necesitamos volver a la versin 4 para encontrar las opciones necesarias para calcular probabilidades de distintas distribuciones.

Las actividades anteriores son solo una pequea muestra de lo que se podr hacer con GeoGebra. Estoy seguro que la mayora de ustedes ya estn pensando en otras propuestas mucho ms interesantes de las que yo les he presentado. Para todas las ideas que se nos ocurran ser de gran ayuda, ahora s, las actividades realizadas por otros profesores de las que una gran cantidad encontraremos en Internet. Actividades que como indiqu al principio puede que no sean las ms adecuadas para iniciarnos con GeoGebra pero que servirn para profundizar y ampliar las posibilidades didcticas. Quiero aprovechar para presentarles un conjunto de actividades que a su potencia como recursos educativos aaden un excelente y cuidado diseo y presentacin. Estas actividades sern especialmente motivadoras no solo para el alumnado, sino tambin para nosotros, y seguro que favorecern el aprendizaje del alumnado a travs de las variadas propuestas que incluye cada una de las actividades.


ISBN 978-9974-98-432-5

27

Estas actividades en un proyecto del Instituto de Tecnologas Educativas (ITE) dependiente del Ministerio de Educacin de Espaa denominado Proyecto Gauss disponible en la Web: http://recursostic.educacion.es/gauss/web/

A travs de esta se accede a un amplio conjunto de actividades, continuamente renovadas y ampliadas, para los niveles educativos de educacin Primaria (6-12 aos) y Educacin Secundaria (12-16 aos), agrupados por bloques de contenidos.


ISBN 978-9974-98-432-5

28

Veamos algunas a modo de ejemplo, ya que casi todas siguen el mismo esquema.

En todas, est disponible el applets creado con GeoGebra para que el usuario pueda manipular la construccin y responder a las preguntas planteadas.


ISBN 978-9974-98-432-5

29

Hay que destacar que estas actividades tienen licencia Creative Commons, por lo que no hay ningn impedimento legal para su uso, es ms estn disponibles para su descarga de manera que se puedan modificar y adaptar a las caractersticas y necesidades de vuestras aulas.

Conclusin Mi intencin no ha sido impartir un curso de GeoGebra, solo he intentado ofrecer una visin lo ms amplia y variada posible de lo que considero que se puede hacer con este programa con un nico objetivo: animar a quien an no lo conozca a trabajar con este software y espero haber aportado nuevas ideas a los que ya lo conocais. Como indiqu al principio de mi intervencin, lo mejor es comenzar con propuestas sencillas que servirn para plantear nuevos retos y ayudarn que


ISBN 978-9974-98-432-5

30

GeoGebra sea un recurso ms en el aula, sobre todo cuando las TIC ya estn presentes no solo en la vida cotidiana sino tambin en las escuelas. Si creemos en la tecnologa y la usamos a diario para otras tareas, ya es hora de emplearla tambin en el aula sin olvidar que la tecnologa no debe prevalecer sobre la educacin sino que tiene que servirnos para mejorar la calidad de la enseanza.

Septiembre, 2011

Agustn Carrillo de Albornoz Torres Universidad de Crdoba - Espaa


ISBN 978-9974-98-432-5

31

matem con geo

Documents