matem. financieras diplomado

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Profesor: Juan Bernardo Jaramillo J.

Escuela de Ingeniería de Antioquia2009

BIBLIOGRAFIA INGENIERIA ECONOMICA. Baca Currea,

Guillermo. INGENIERIA ECONOMICA. Tarquin Antony. EVALUACION FINANCIERA DE PROYECTOS

DE INVERSION. Infante, Arturo. FINANZAS PRACTICAS PARA PAISES EN

DESARROLLO. Gutiérrez Luis Fernando.

CONTENIDO1. El valor del dinero en el tiempo y las tasas de interés2. Anualidades3. Gradientes4. Amortización5. Capitalización6. Valor Presente Neto (VPN)7. Valor Anual Uniforme Equivalente (VAUE)8. Tasa Interna de Retorno (TIR)9. Relación Beneficio Costo (B/C)10. Construcción del flujo de fondos11. Evaluación Financiera del Riesgo12. Fuentes de Financiación y Costo del Capital

1. VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO Y TASAS DE INTERÉSVALOR DEL DINERO A TRAVES DEL TIEMPO

“No es lo mismo tener hoy $100,000 que tener $100,000 dentro de un año”.

El dinero cambia de valor a través del tiempo.

Inflación – Costo de Oportunidad

Capítulo 1 – Valor del dinero en el tiempo y tasas de Interés

INTERES (I) : Suma de dinero que se paga por el uso del dinero prestado.

TASA DE INTERES (i): % que se paga por el “alquiler” del dinero. En otras palabras cantidad de dinero a reconocer como interés por cada $100 pesos prestados. La tasa de interes normalmente se expresa en términos anuales.

TIEMPO (n): Duración de la inversión. CAPITAL INICIAL (P): Cantidad de dinero que se invierte

(Principal, Valor Actual, Valor inicial o Valor Presente)

Definiciones


Flujo de caja

TiempoFecha 1 Fecha 3Fecha 2

Ingresos (+)

Egresos (-)


EN EL INTERES SIMPLE NO SE GENERAN INTERESES SOBRE LOS INTERESES. LOS INTERESES SON PAGADOS CADA VEZ QUE SE LIQUIDAN. NO HAY CAPITALIZACION DE INTERESES

BANCARIO: Tiempo = dias reales / 360 COMERCIAL: Tiempo = dias (meses 30 dias) / 360 RACIONAL: Tiempo = dias reales / 365 (ó 366)

Interés Simple


LOS INTERESES CADA VEZ QUE SE LIQUIDAN SE ACUMULAN AL CAPITAL PARA FORMAR UN NUEVO CAPITAL DENOMINADO MONTO Y SOBRE ESTE MONTO SE VUELVEN A LIQUIDAR INTERESES.

PERIODOCAPITAL INICIAL

INTERES CAPITAL FINAL

1 P Pi S1 = P+Pi = P(1+i)

2 P(1+i) P(1+i)i S2 = P(1+i)+P(1+i)i = P(1+i)²

3 P(1+i)² P(1+i)²i S3 = P(1+i)² + P(1+i)²i = P(1+i)3

4 P(1+i)3 P(1+i)3i S4 = P(1+i)3 + P(1+i)3i = P(1+i)4

n P(1+i)n-1 P(1+i)n-1i Sn = P(1+i)n-1 + P(1+i)n-1i = P(1+i)n

Interés Compuesto


ic: tasa efectiva de interés por subperíodoi: tasa efectiva de interés por períodoc: Número de subperíodos

TASA DE INTERES POR PERIODO vs TASA DE INTERES POR SUBPERIODO

0 1 2 3 4 5 c -1 c

ic

P

F

F = P (1+i)1

F = P (1+ic)c

Igualando:

i = (1+ic)c - 1


TASA EFECTIVA (i): Es la tasa del período (mensual, trimestral, semestral, anual, etc.). Lo normal: anual (Superbancaria).

TASA NOMINAL DEL PERIODO (r): Se define como la tasa efectiva del subperíodo multiplicada por el número de subperíodos (c). Esta tasa debe expresar cuántas capitalizaciones de intereses se van a dar en el período.

r = ic x c ; ic = r/c

Por lo tanto tenemos que:

i = (1+ic)c - 1 = (1+ r/c)c -1

TASA EFECTIVA vs TASA NOMINAL


TASA EFECTIVA TASA NOMINAL

10% ET (EfectivaTrimestral)

40% CT (Capitalizabletrimestralmente)

3% EM (Efectiva mensual) 40% TV (Trimestre vencido)

35% ó 35% EA (Efectivaanual)

35% CS (CapitalizableSemestralmente o Semestre

Vencido – SV)2% mensual 40% NT (Nominal Semestral

2% mensual compuestomensualmente

8% semestral compuestomensualmente

Se trata de una tasa efectiva cuando el período del pago de los intereses coincide con el subperíodo de capitalización de los mismos

TASA EFECTIVA vs TASA NOMINAL (Cont.)


En este caso el número de períodos de capitalización de intereses se incrementa (c tiende a infinito).

Del cálculo diferencial:

Lim (1+1/h)h = e = 2.71828+ h → ∞

Si en la ecuación i = (1+ r/c)c –1, consideramos que c → ∞, tenemos:

Lim (1+r/c)c -1 c → ∞Si hacemos 1/h = r/c, y c = h r , tenemos que i = er -1

CAPITALIZACION CONTINUA


Capitalización de intereses al principio del período con base en el saldo al principio del mismo período. DESFASE DE UN PERIODO EN LA LIQUIDACION DE LOS INTERESES (la tasa debe ajustarse).

Si conocemos una tasa de interés por adelantado, estamos interesados en calcular la tasa efectiva equivalente. Tenemos dos casos:Cuando la tasa de interés se expresa por período y los

intereses se capitalizan por adelantado en ese mismo período.Cuando la tasa de interés se expresa por período y la

capitalización de intereses anticipados es por subperíodo.

TASA ANTICIPADA vs TASA VENCIDA


TASA POR PERÍODO E INTERESES POR ADELANTADO EN ESE PERÍODO

ra: tasa de interés por período con cobro anticipado de intereses por período.

i: tasa efectiva de interés por período (vencida)

0

1

P – ra P

P

P = P – ra P

F = P Esto implica que:P = (P – ra P) (1+i),

Y simplificando obtenemos:

a

a

r

ri

−=1


TASA POR PERÍODO E INTERESES POR ADELANTADO POR SUBPERÍODO

rac: tasa efectiva de interés nominal por subperíodo con descuento de intereses por subperíodo (anticipados)rac = ra / ci: tasa efectiva de interés por período (vencida)

Si entonces =

Adicionalmente sabemos que i = (1+ic)c – 1, por lo que haciendo los respectivos reemplazos llegamos a:

1−

−

=c

arcc

i

a

a

r

ri

−=1 ac

acc r

ri

−=1

−c

ra

cra

1


DEVALUACION: Pérdida del valor de una moneda frente a otra, generalmente el dólar.

INFLACION: Fenómeno económico en el cual se presenta un aumento generalizado de precios. Fenómeno interno de los países.

EN PRINCIPIO, LA INFLACION Y LA DEVALUACION SON FENOMENOS INDEPENDIENTES.

INFLACION Y DEVALUACIÓN


Supongamos que se compran dólares y se abre una cuenta corriente en el exterior, donde reconocen una tasa de interés en dólares. El peso se devalúa frente al dólar ¿Cuál será el rendimiento de la inversión EN PESOS después de un tiempo cuando el capital en dólares se cambie de nuevo a pesos?

idev: tasa devaluación

Para un período supongamos: ius: tasa de interés en dólares

i: tasa efectiva de interés

TASA DE INTERES EN LA COMPRA DE DOLARES


TASA DE INTERES EN LA COMPRA DE DOLARES (Cont.)

Período 0 Período 1

1 USD = Kpesos 1 USD = K (1+idev)pesos

Ppesos P (1+i)pesos

P/KUSD [ P/K]USD (1+ius)

Tenemos el rendimiento final en pesos y en dólares:P (1+i)pesos = [ P/K]USD (1+ius),

Pero: 1 USD = K (1+idev)pesos , entonces:

P (1+i)pesos = [ P/K]USD (1+ius) * K (1+idev)pesos

(1+i) = (1+ius)(1+idev)

i = ius + idev + ius * idev


TASA DE INTERES DEL SISTEMA DE VALOR CONSTANTE (UVR)

iCM: tasa efectiva de corrección monetaria por período

iUVR: tasa de interés en UVR.


La UVR se puede asimilar a otra moneda (por ejemplo dólares), por lo que por analogía con el caso anterior se llega a:

i = iUVR + iCM + iUVR * iCM


TASA DURA vs TASA CORRIENTE

iINF: tasa de inflación por período

id: tasa dura de interés (sin inflación)


Por analogía con los casos anteriores:

i = id + iINF + id * iINF


DEPÓSITOS A TERMINO FIJO

TASAS COMBINADAS

RENTABILIDAD DE ACTIVOS FINANCIEROS

ACEPTACIONES

ECUACIONES DE VALOR


2. ANUALIDADESSerie de pagos con las siguientes características:

3. Todos los pagos son de igual valor4. Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo.5. A todos los pagos se aplica la misma tasa de interés.6. El número de pagos es igual al número de períodos.

Capítulo 2- Anualidades

1 2 3 1 2 3 1 2 30 0

No es anualidad

3 pagos – 2 períodos

Anualidad vencida Anualidad anticipada

Fórmulas de anualidadesANUALIDADES VENCIDAS

Valor final: (F/A,n,i%) =

Valor actual: (P/A,n,i%) =

ANUALIDADES ANTICIPADAS

Valor final: (F/ Ä,n,i%) = (F/A,n,i%) (1+i) =

Valor actual: (P/ Ä,n,i%) = (P/A,n,i%) (1+i) =


−+ii

An 1)1(

.

+

−+n

n

iii

A)1.(1)1(

.

)1(1)1(

. iii

An

+∗

−+

)1()1.(1)1(

. iii

iA n

n

+∗

+

−+

A

P

0 1 2 3 n-1ln

A

P

0 1 2 3 n-1

A

0 1 2 3 n-1ln

= +

Otro enfoque de las anualidades anticipadas

Anualidad diferidaA

P

0=l l l l

n-1 n1 2 i

A

Pi

0l l l l

n-1 n1 2 i

1. Se halla Pi en el período

cero (0) de la anualidad.

2. Se trae Pi desde i hasta

cero (0).


Cuando existen muchos pagos (infinito).

VP = Lim A [1 - [(1+i)-n] / i = A / i

n → ∞

ANUALIDADES PERPETUAS Y GENERALES

ANUALIDAD PERPETUA

ANUALIDAD GENERAL

Si el período de interés no coincide

con el período de pago

•Calcular los pagos equivalentes que deben hacerse en concordancia con el período de interés

•Usar tasas equivalentes (*)


3. GRADIENTESSerie de pagos con las siguientes características:

3. Cumple con una ley de formación Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo.

4. A todos los pagos se aplica la misma tasa de interés.5. El número de pagos es igual al número de períodos.

De acuerdo con la ley de formación hay dos principales tipos de gradientes:

- Gradiente aritmético (Ley de formación lineal)- Gradiente geométrico

Las anualidades son un caso particular de los gradientes en el cual el crecimiento es cero, lo que hace que todos los pagos sean de igual valor.

Capítulo 3 - Gradientes

Gradiente aritmético

−+

−−

−+

+=1)1(

1.

1)1(

)1.(.1

nn

n

i

n

ig

i

iiPA


A1

0 1 2 3 n-1ln

A2A3

Ak

An-1

An Dados:Préstamo = PTasa de interés = iPlazo = nGradiente = g

k

¿Ak y Sk?

Ak?A1 = A1

A2 = A1 + gA3 = A2 + g = A1 + 2g

Ak = A1 + (k-1).g

GRADIENTE ARITMETICO INFINITO : P=A1/i + g/i2

−++

−+

−−++=

−

−

−

1)1()1.(

1)1(

1..1

kn

kn

kn

k

iii

i

kn

iggkA

S

Gradiente geométrico

11

1

).(1

−

++

−= n

g

g

i

i

iiPA

n

iPA

)1.(1

+=


A1

0 1 2 3 n-1ln

A2A3

Ak

An-1

An Dados:Préstamo = PTasa de interés = iPlazo = nInc. % cuotas = igk

¿Ak y Sk?

Ak? A1 = A1

A2 = A1 + A1 ig = A1 (1+ ig)A3 = A2 + A2 ig = A2 (1+ ig) = A1 (1+ ig)2

Ak = A1 (1+ ig)k-1

(i ≠ ig) ; (i = ig)

−

−

++

+=

−

ii

i

i

iASg

kn

g

kgk

11

1

.)1.(1

GRADIENTE INFINITO : P=A1/ (i– ig) para ig < i. Cuando ig≥ i, P = ∞

Gradiente escalonado

Es una serie de pagos que permanecen constantes durante cierto tiempo, pero crecen o decrecen periódicamente.

Normalmente se hacen 2 gráficos:

1) Gradiente escalonado: se colocan los pagos en la misma forma en que van a ser pagados.

2) Gradiente simple: se coloca el valor final de cada una se las series de pagos iguales.


4. AMORTIZACIÓNAbono de capital periódico que se va haciendo para cancelar un préstamo.

Amortización con cuotas uniformes Amortización con cuotas uniformes y cuotas extras pactadas Amortización con cuotas uniformes y cuotas extras no pactadas Amortización con período de gracia Amortización constante a capital Amortización en valor constante

PERIODO SALDO INTERES AMORTIZACION PAGO

0123

n

Capítulo 4 - Amortización

5. CAPITALIZACIÓN CAPITALIZACION DIFERIDA: Es la capitalización que tiene uno o varios

períodos en los cuales no se efectúan depósitos, pero el capital ahorrado si gana intereses.

CAPITALIZACIÓN CON CUOTAS EXTRAS PACTADAS FONDOS DE AMORTIZACIÓN: Fondo donde se hacen depósitos

periódicos que van ganando intereses. Objetivo: Reunir un capital para una fecha específica.

COSTO PERIODICO DE UNA DEUDA: Cuando el fondo está destinado a cancelar una deuda y los depósitos en el fondo son uniformes, entonces se denomina costo periódico a la cantidad que debemos disponer en cada período para pagar los intereses de la deuda y hacer el depósito correspondiente en el fondo.

Capítulo 5 - Capitalización

PERIODO CUOTA INTERES CAPITAL

0123

n

6. VALOR PRESENTE NETO Método más empleado para evaluar proyectos de inversión. Se le conoce también como FLUJO DE CAJA DESCONTADO Este método pone en dinero de hoy tanto los ingresos futuros como los

egresos futuros, lo cual facilita la decisión. VPN = Σ VPN (ingresos) - Σ VPN (egresos) De acuerdo con lo anterior el VPN puede ser Mayor, Menor o Igual a cero.

CLAVE: TASA DE DESCUENTO PARA TRAER A VPN LOS FLUJOS DE CAJA

Si:

VPN > 0 Rentabilidad > tasa de descuento. El negocio es bueno VPN = 0 Rentabilidad = tasa de descuento. Tasa de descuento = TIR.

Indiferencia. VPN < 0 Rentabilidad < tasa de descuento. El negocio debe rechazarse.

Capítulo 6 - VPN

Comparación de alternativas de Inversión

ALTERNATIVAS CON VIDAS ÚTILES IGUALES O MUTUAMENTE EXCLUYENTES. En alternativas de Inversión, se debe seleccionar la de Mayor VPN. Si se trata de un programa de reducción de costos, se selecciona la de menor VPN, ya que en este caso lo normal es omitir el signo negativo de los costos para facilitar el trabajo.

ALTERNATIVAS CON VIDAS UTILES DIFERENTES. En este caso se deben ajustar los flujos de caja de los proyectos para que todos tengan la misma duración y sean comparables. Se pueden aplicar dos metodologías:

Horizonte común de planeación Mínimo Común Múltiple de las duraciones de los proyectos.

ALTERNATIVAS CON VIDA ÚTIL INFINITA. Normalmente para proyectos con vida útil esperada mayor de 40 años.

Capítulo 6 - VPN

7. VALOR ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE

Consiste en reducir todos los ingresos y egresos a una serie uniforme equivalente de pagos. De esta forma, los Ingresos netos (VAUE) o los costos (CAUE) durante un año o período de una alternativa se comparan con los de otra alternativa durante un año o período.

Este método no exige tomar tiempos iguales como en el caso del VPN sino que únicamente se comparan los costos o ingresos netos que se hayan causado durante un año.

Análogamente con el VPN. Podemos afirmar que si:

VAUE > 0 Rentabilidad > tasa de descuento. El negocio es bueno VAUE = 0 Rentabilidad = tasa de descuento. Tasa de descuento = TIR.

Indiferencia. VAUE < 0 Rentabilidad < tasa de descuento. El negocio debe rechazarse.

Capítulo 7 - VAUE

8. TASA INTERNA DE RETORNO (TIR)

Mide la rentabilidad de una inversión. Tasa que hace el VPN = 0 Los resultados del cálculo de la TIR deben ser consistentes

con el VPN. El procedimiento de cálculo varía dependiendo del número

de alternativas a analizar y de la forma como se encuentren distribuidos los ingresos y los egresos a lo largo del horizonte de planeación.

Capítulo 8 - TIR

Ley de los signos de Descartes. Cuando ocurren varios ingresos y varios egresos pero en forma entreverada, entonces puede ocurrir que existan varias tasas. En este caso el problema es puramente matemático y la regla de los signos de Descartes permite obtener el número máximo de raices positivas de la forma:

AoXn + A1Xn-1 + A2Xn-3 + ... + An = 0 (Análogo al polinomio para el cálculo del VPN de un flujo de caja)

en donde n es un número entero y A0, A1,A2, A3, ..., An son constantes.

El número máximo de raices positivas corresponde al número de cambios de signo de los coeficientes A0, A1,A2, A3, ..., An , siempre y cuando el polinomio esté ordenado en orden creciente o decreciente de potencias.

Capítulo 8 - TIR

Relación entre VPN y TIR

-2,000

0

2,000

4,000

6,000

0% 20% 40% 60% 80% 100% 120%

i (%)

VP

N

TIR

Capítulo 8 - TIR

TIR CON REINVERSIÓN (TIR + R): Tasa que genera un capital en donde una parte está a la tasa TIR y otra a la tasa R.

Si: Tasa Inversionista < TIR ----> TIR > TIR + R Tasa Inversionista > TIR ----> TIR < TIR + R

Capítulo 8 - TIR

Múltiples Tasas de Retorno

Características de la TIR Propia del proyecto. No depende del dueño del proyecto Mide la rentabilidad de los dineros que permanecen invertidos en el

proyecto. No toma en cuenta lo que pueda ocurrir con los dineros devueltos

por el proyecto

Características de la TIR + R No es exclusiva del proyecto, pues incluye un factor externo que es

la tasa del inversionista. Mide la rentabilidad promedio ponderada entre los dineros que

continúan invertidos en el proyecto y los dineros que van saliendo del mismo, los cuales deben ir quedando reinvertidos a la tasa del inversionista.

Puede variar de un inversionista a otro debido a que varía la tasa del inversionista

Capítulo 8 - TIR

TIR vs TIR + R

Para calcular la TIR es necesario que existan ingresos y egresos. Hay ocasiones que

debe tomarse una decisión entre proyectos mutuamente excluyentes en los cuales no

se conocen los ingresos o si se llegan a conocer son mínimos, entonces se justifica

decidir por una alternativa de inversión mayor si el exceso de inversión comparado

con la disminución de gastos produce una rentabilidad superior a la tasa del

inversionista.

El cálculo debe hacerse siguiendo los siguientes pasos: Coloque las alternativas en orden ascendente de inversión

Saque las diferencias de flujo de caja entre las diferencias menor y la siguiente.

Calcule la TIR de las difernecias

Compare la TIR con otra tasa de referencia (Inversionista). Si la TIR es mayor se escoge la

alternativa más costosa y en caso contrario la más barata.

La alternativa seleccionada en el paso anterior se compara con la siguiente alternativa.

Se repiten todos los pasos anteriores hasta que todas las alternativas hayan sido consideradas.

Capítulo 8 - TIR

TIR INCREMENTAL

9. RELACION B/C Y PERIODO DE RECUPERACION

RELACION BENEFICIO COSTO (B/C) RELACION B/C = VPN (INGRESOS) / VPN (EGRESOS)

Si B/C < 1 Ingresos < Egresos. Rechazo el proyecto Si B/C = 1 Ingresos = Egresos. Indiferencia Si B/C > 1 Ingresos > Egresos. Acepto el proyecto

Metodología muy usada por la Banca Multilateral.

Es común hablar de BENEFICIO NETO, que es lo mismo que BENEFICIOS DEL PROYECTO+ EXTERNALIDADES - DESBENEFICIOS.

Capítulo 9 - B/C - PR

PERIODO DE RECUPERACION DE LA INVERSIÓN (PR) No es tan exacto como VPN o TIR.

Es el tiempo que debe utilizarse para recuperar la inversión, sin tener

en cuenta los intereses; por ejemplo, si se invierten $600,000 en un

proyecto que produce $200,000 anuales durante 8 años, el período de

recuperación de la inversión es de 3 años.

Capítulo 9 - B/C - PR

El flujo de fondos de un proyecto de inversión está compuesto por el flujo de inversiones (preoperativo) y por el flujo de producción u operación.

-1000

-500

0

500

1000

1 2 3 4 5 6 7

Inversiones o preoperativo

Producción u operativo

-1000

-500

0

500

1000

1 2 3 4 5 6 7



-1000

-500

0

500

1000

1 2 3 4 5 6 7



-1000

-500

0

500

1000

1 2 3 4 5 6 7



10. CONSTRUCCIÓN DEL FLUJO DE FONDOS

Capítulo 10 –Construcción del flujo

Construcción del flujo Para la elaboración del flujo de fondos del proyecto deben

proyectarse los estados financieros del proyecto (Balance

General, Estados de Pérdidas y Ganancias y Estado de Origen y

aplicación de fondos). El flujo de fondos proyectado del

proyecto de inversión se obtendrá bien sea a partir del Estado

de Pérdidas y Ganancias o a partir del Estado de Origen y

Aplicación de Fondos. En el presente curso solo estudiaremos

el primer caso.


Construcción del flujo (cont.) Los estados financieros pueden proyectarse en moneda

constante o corriente. Para efectos de este curso, por limitaciones de tiempo, trabajaremos con flujos de fondos en MONEDA CORRIENTE.

Lo anterior implica que debemos investigar en fuentes confiables (Planeación Nacional, Fenalco, ANIF, Banco de la República) los estimativos que se tienen a corto, mediano y largo plazo para varialbes macroeconómicas tales como la inflación, la devaluación, la tasa de cambio y las tasas de interés, para determinar los ingresos y egresos del proyecto en moneda corriente de cada momento futuro. Los estados financieros que se proyecten así, deben igualmente considerar ajustes por inflación.


Flujo de Fondos en la etapa preoperativa o de Inversiones

- N ..... -3 -2 -1 0 1 2 3 ..... NTerrenosEdificios y construccionesMaquinariaEquiposVehículosMuebles

Gastos de organizaciónGastos de montajeGastos de puesta en marchaGastos financieros preoperativos

Caja (mínima)InventariosCuentas por cobrar

FLUJO DE CAJA

C.T

.

DETALLE PRODUCCION Y VENTASCONSTRUCCION Y MONTAJE

Activos

fijos

Activos

nominales



DESCRIPCION 0 1 2 3 ... i ... nVentas o Ingresos x x x x - Costos de producción o venta x x x x - Depreciación x x x x - Amortización de diferidos x x x x - Gastos de administración y venta x x x x = Utilidad operacional x x x x + Valor de remate o venta de activos x - Valor en libros de activos rematados o vendidos x - Gastos financieros x x x x + Otros Ingresos x x x x - Otros egresos x x x x +/- Ajustes por infkación x x x x = Utilidad antes de impuestos x x x x - Impuestos x x x x = Utilidad neta x x x x + Depreciación x x x x + Amortización de diferidos x x x x -/+ Ajustes por infkación x x x x + Valor en libros de activos realizados x - Pagos o amortización de capital crédito x x x x x +/- Variación en capital de trabajo (+ disminuye, - aumenta) x x x x + Ingresos por desembolsos de créditos conseguidos x - Inversiones (Ver flujo preoperativo) x + Recuperación capital de trabajo x + Valor remanente (si no se rematan activos) x = Flujo caja inversionista F1 F2 F3 F4 ... Fi ... Fn


DESCRIPCION 0 1 2 3 ... Fi .. n = Flujo caja inversionista (x) x x x x x - Ingresos por desembolsos de créditos conseguidos x + Pagos o amortización de capital crédito x x x x x + Efecto interés [ Gastos financieros * (1-T)] x x x x x = Flujo caja proyecto puro (x) x x x ... x ... x

T: Tasa de impuestos

11. RIESGO E INCERTIDUMBRE El comportamiento de los flujos de caja es

incierto, debido a que no se pueden predecir con absoluta certeza todos los hechos que pueden pasar y que influyen en los flujos. No se sabe qué pasará exactamente.

Al no tener certeza, se entrará a situación de riesgo o incertidumbre

Capítulo 11 - Riesgo e Incertidumbre

Riesgo e incertidumbre (cont.) Riesgo: Cuando hay una situación en la cual hay

más de un posible resultado y la probabilidad asociada a cada resultado, se conoce o se puede estimar.

Incertidumbre: Cuando esas probabilidades no se conocen o no se pueden estimar.


Riesgo en los proyectos El riesgo de un proyecto, se define como la

variabilidad de los flujos de caja reales respecto a los estimados.

El riesgo define una situación donde la información es de naturaleza aleatoria, en que se asocia una estrategia a un conjunto de resultados posibles, cada uno de los cuales tiene asignada una probabilidad.


Incertidumbre en los proyectos Cuando hay incertidumbre, no se conocen los posibles

resultados y por tanto, las probabilidades de ocurrencia no son cuantificables.

La incertidumbre puede ser consecuencia de: Información incompleta Exceso de datos Información inexacta, sesgada o falsa

Elementos de incertidumbre: Calidad de materias primas, tecnologías de punta, variación de la demanda, comportamiento del mercado, etc.


Proceso para tratar el riesgo Hacer una lista de todos los posibles riesgos de un proyecto en sus

diferentes etapas. Calificar los riesgos específicos de cada proyecto. Seleccionar los riesgos relevantes para la toma de decisiones (definir

escala). Clasificar los riesgos:

Los que se transfieren (p. ej. ventas a futuro) Los que se compensan (pago de seguros, pólizas, etc.) Los que se asumen (de mercado, de tarifas, de tecnología, etc.)

Una inversión razonablemente segura, con una rentabilidad media puede Una inversión razonablemente segura, con una rentabilidad media puede ser, en muchos casos, preferible a una inversión más riesgosa, con un ser, en muchos casos, preferible a una inversión más riesgosa, con un rendimiento esperado mayorrendimiento esperado mayor


Medición del riesgo (1/4)

La falta de certeza de las estimaciones del comportamiento futuro, se pueden asociar normalmente a una distribución de los flujos de caja generados por el proyecto. Se asigna un mayor riesgo, a aquellos proyectos que tengan mayor dispersión.

Existen formas de calcular la dispersión, así: Desviación estándar (no se debe utilizar “sola”) Coeficiente de variación


La desviación estándar se calcula como:

σ=(Σ(Ax-A)2*Px)1/2

Donde:

Ax es el flujo de caja de la probabilidad x

Px es su probabilidad

A es el valor esperado de la distribución y se calcula como:

A= Σ(Ax*Px)


Si A corresponde al valor esperado del VPN, Si A corresponde al valor esperado del VPN, ante igualdad en el riesgo, se elige el proyecto ante igualdad en el riesgo, se elige el proyecto que exhiba el mayor valor esperado.que exhiba el mayor valor esperado.


Ejemplo: Una inversión produce un retorno en un tiempo dado. Ese retorno tiene 3 posibles resultados, como se muestra en la tabla:


XProbabilidad

PxFlujo de Caja

Ax

1

2

3

0,30

0,40

0,30

2.000

2.500

3.000

Calcular el valor medio del flujo de caja y su desviación estándar


El resultado es que el valor medio es 2.500 y la desviación estándar es de 387,3. Cualquier otra inversión con desviación estándar mayor tiene más riesgo debido a que tiene más dispersión entre sus resultados.

La medición se complementa con el coeficiente de variación ya que dos alternativas con valores esperados diferentes, pueden tener igual desviación estándar. El coeficiente se calcula como:

υ=σ/A


A mayor coeficiente de A mayor coeficiente de variación, mayor riesgovariación, mayor riesgo


Algunos métodos para tratar el riesgo

Existen diferentes métodos, aunque cada uno conduce a resultados diferentes. La selección del método depende de la información disponible, la naturaleza del proyecto, etc.

Algunos métodos son: Criterio subjetivo de expertos, no incorpora específicamente el

riesgo. Se ha intentado mejorar este método incorporando el valor medio y la desviación estándar del VAN.

Métodos estadísticos (distribución de probabilidades de los flujos futuros de fondos)

Método del ajuste a la tasa de descuento Método del árbol de decisión


DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA DE LOS FLUJOS DE CAJA EN EL TIEMPO

FLUJOS DE CAJA INDEPENDIENTES:

VE (VAN) = Σ At * (1+i)-t - Io

i: Tasa de descuento libre de riesgo

σ= { Σ σt2 * (1+i)-2t }1/2

que implica que:

σ= { Σ (Σ(Ax-A)2 * Px)t ) * (1+i)-2t }1/2

Es posible calcular la probabilidad de que el VAN sea mayor o menor a cierto monto de referencia así:

z = ( X - VE (VAN) ) / σ z: variable estandarizada o el número de desv. estandar de la media.


Para determinar la probabilidad de que el VAN del

proyecto sea menor o igual a x, se acude a una

tabla de distribución normal que muestra el área de

la distribución normal que es x desviaciones

estándar hacia la izquierda o la derecha de la

media.


DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA DELOS FLUJOS DE CAJA EN EL TIEMPO

FLUJOS DE CAJA DEPENDIENTES:

Existe dependencia entre los resultados de dos períodos. Es importante saber si existe o no dependencia entre los flujos, por las consecuencias que tienen sobre el análisis del riesgo. Si son dependientes, es decir están correlacionados a través del tiempo, la desviación estándar de la distribución de probabilidades de los valores actuales netos probables es mayor que si fueran independientes. A mayor correlación, mayor dispersión de la distribución de probabilidades.

Los flujos de fondos estarán perfectamente correlacionados si la desviación del flujo de fondos de un período alrededor de la media de la distribución de probabilidades en ese período implica que en todos los períodos futuros el flujo de fondos se desviará exactamente de igual manera.


METODO DEL AJUSTE DE LA TASA DE DESCUENTO

A mayor riesgo, mayor debe ser la tasa para castigar la rentabildad del proyecto. De esta manera, un proyecto rentable evaluado a la tasa libre de riesgo puede resultar no rentable, si se descuenta a una tasa ajustada.

El principal problema consiste en determinar la tasa de descuento apropiada para cada proyecto.

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Riesgo

Tasa d

e R

en

dim

ien

to R

eq

ueri

da

CURVA DE INDIFERENCIA DEL MERCADO

VAN = Σ BNt * (1+f)-t - Io

donde:

f = i + p

i: tasa libre de riesgo

p: prima por riesgo (subjetiva: preferencias)


METODO DEL ARBOL DE DECISIÓN

Técnica gráfica que permite representar y analizar una serie de decisiones futuras de carácter secuencial a través del tiempo.

Cada decisión se representa gráficamente con un cuadrado con un número dispuesto en una bifurcación del árbol de decisión. Cada rama que se origina en ese punto representa una alternativa de acción. Además de los puntos de decisión, en el árbol se expresan mediante círculos los sucesos aleatorios que influyen en los resultados. A cada rama que parte de estos sucesos se le asigna una probabilidad de ocurrencia. De esta forma, el árbol representa todas las combinaciones posibles de decisiones y sucesos, permitiendo estimar un valor esperado del resultado final, como un valor actual neto, utilidad u otro.



EJEMPLO:Se estudia el lanzamiento de un nuevo producto. Las posibilidades en estudio son introducirlo en nivel nacional o nivel regional. Si se decide lanzar el producto regionalmente, es posible hacerlo posteriormente a nivel nacional, si el resultado regional así lo recomendara.En la figura, se representa un diagrama de un árbol de decisión para este caso, en el cual cada ramificación conduce a un cierto VAN diferente.

SUCESO VE(VAN) SUCESO VE(VAN) C 1900 A 1730 D 1650 B 1620Se opta por una introducción inicial en el nivel regional que luego se ampliaría a nivel nacional, ya que es la que maximiza el VAN


matem. financieras diplomado

Education