colegio universitario cardenal cisneros … · apuntes: matem aticas financieras poner en circulaci...

COLEGIO UNIVERSITARIO

CARDENAL CISNEROS

Apuntes de

Matematicas Financieras

Manuel Leon Navarro

Indice general

1. Conceptos Basicos 7

1.1. Leccion 1 - Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1. Actividad Economica vs Actividad Financiera . . . . . . . . . 7

1.1.2. Sistema Financiero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.3. Sistema Monetario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.4. Decisiones Financieras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2. Leccion 2 - Conceptos Basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.1. Capital Financiero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.2. Leyes Financieras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3. Leccion 3 - Leyes de Capitalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.1. Capitalizacion Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.2. Capitalizacion Compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.3.3. Producto financiero de las leyes de capitalizacion: Convenio

Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.4. Leccion 4 - Leyes de Descuento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.4.1. El descuento comercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.4.2. El descuento racional o matematico . . . . . . . . . . . . . . . 42

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INDICE GENERAL

1.4.3. El descuento compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.5. Leccion 5 - Comparacion y Sustitucion de

capitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1.5.1. Comparacion de Capitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1.5.2. Suma de Capitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

1.5.3. Desdoblamiento de capitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2. Rentas 75

2.1. Leccion 6 - Rentas - Valoracion: Introduccion . . . . . . . . . . . . . 75

2.1.1. Concepto de Renta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.1.2. Comparacion y propiedades de las rentas . . . . . . . . . . . . 76

2.1.3. Clasificacion de las rentas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.2. Valoracion de Rentas: Constantes e Inmediatas . . . . . . . . . . . . . 79

2.2.1. Renta Temporal y Pospagable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2.2.2. Renta Perpetua y Pospagable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.2.3. Renta Temporal y Prepagable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.2.4. Renta Perpetua y Prepagable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2.3. Leccion 7 - Rentas - Valoracion (Continuacion) . . . . . . . . . . . . . 89

2.3.1. Valoracion de Rentas: Constantes y Diferidas . . . . . . . . . . 89

2.3.2. Valoracion de Rentas: Constantes y Anticipadas . . . . . . . . 97

2.3.3. Valoracion de Rentas: Rentas Fraccionadas . . . . . . . . . . . 102

2.4. Leccion 8 - Valoracion de Rentas - Variables . . . . . . . . . . . . . . 113

2.4.1. Caso General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

2.4.2. Rentas en Progresion Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . 119

2.5. Leccion 9 - Valoracion de Rentas - Variables (Continuacion) . . . . . 130

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Apuntes: Matematicas Financieras

2.5.1. Rentas en Progresion Aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . 130

2.5.2. Ultimas consideraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

3. Operaciones Financieras - Prestamos 145

3.1. Leccion 10 - Operaciones Financieras -

Introduccion a los prestamos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

3.1.1. Clasificacion de las operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

3.1.2. Equivalencia financiera y Saldo financiero . . . . . . . . . . . . 147

3.1.3. Tantos efectivos - TAE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

3.1.4. Introduccion a los Prestamos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

3.1.5. Prestamo Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

3.1.6. Prestamo Frances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

3.2. Leccion 11 - Operaciones Financieras a largo plazo - Prestamos (Con-

tinuacion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

3.2.1. Prestamo: Metodo de cuotas de amortizacion constantes . . . 158

3.2.2. Prestamo: Metodo americano simple . . . . . . . . . . . . . . 162

3.2.3. Prestamo: Amortizacion con los intereses fraccionados . . . . . 163

3.2.4. Prestamo: Amortizacion con periodos de carencia . . . . . . . 167

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INDICE GENERAL

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Capıtulo 1

Conceptos Basicos

1.1. Leccion 1 - Introduccion

1.1.1. Actividad Economica vs Actividad Financiera

La actividad economica se encamina en la produccion de bienes y servicios.

La realizan los agentes economicos que gestionan los recursos para satisfacer nece-

sidades. Los agentes economicos son el conjuntos de personas fısicas o jurıdicas que

intervienen en la actividad economica. Se agrupan en tres grandes bloques que son

los individuos, las empresas y el estado.

Los bienes economicos se les denomina activos reales y son o bienes que se

utilizan en la produccion o bienes de consumo.

Los agentes economicos toman decisiones y, en ocasiones, tienen excedentes

(positivos o negativos) en la cantidad de bienes siendo interesante poder cederlos o

adquirirlos, recibiendo o pagando una compensacion.

La actividad financiera se encargar de materializar en el tiempo dicho trasvase

de recursos de los agentes excedentarios (ahorradores) a los deficitarios (inversores).

Dicho trasvase se realiza a traves del activo financiero, que son unas compromisos

de pago futuros, ası el ahorrador le da una cantidad de bienes al inversor y este le

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1.1. LECCION 1 - INTRODUCCION

da un activo financiero.

1.1.2. Sistema Financiero

El sistema financiero son el conjunto de instituciones, activos y mercados

cuya funcion es captar el excedente de los ahorradores y canalizarlo a los inversores.

Instituciones

Las instituciones realizan una labor de intermediacion entre ambos tipo de

agentes. La principal insitucion financiera de nuestro paıs, el Banco Central, ha

perdido gran parte de las atribuciones en favor de instituciones supranacionales:

El Banco Central Europeo (BCE).

Sistema Europeo de Bancos Centrales (SEBC). Conjunto de Bancos Centrales

de paıses que han adoptado el euro.

Eurosistema. Conjunto de Bancos Centrales de paıses que han adoptado el

euro junto con los que no lo han hecho aun.

Al Consejo de Gobierno del BCE le corresponde formular la polıtica moneta-

ria de la zona euro y tomar decisiones relativas a los objetivos monetarios interme-

diarios que son el tipo de interes y la cantidad de dinero. El objetivo final del BCE

es mantener la estabilidad de precios.

El Banco de Espana participa en las decisiones anteriores y ademas tiene

como competencias:

Poseer y gestionar las reservas de divisas y metales preciosos.

Supervisar la solvencia y comportamiento de las entidades de credito.

Promover el buen funcionamiento y estabilidad del sistema financiero.

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Poner en circulacion la moneda metalica y desempenar las demas funciones

que el Estado le encomiende respecto a dicha moneda.

Elaborar y publicar estadısticas

Prestar servicios de tesorerıa y agente financiero de la deuda publica

Asesorar al gobierno y realizar estudios e informes que resulten procedentes.

Las instituciones financieras que dependen del BCE son:

Las entidades de credito como son los bancos privados y banca publica.

Las sociedades mediadoras en el mercado de dinero (SMMD)

Las entidades de financiacion, de Leasing, de Factoring y de credito hipoteca-

rio.

Las sociedades de garantıa recıproca (SGR)

Activos Financieros

Son los medios que permiten la transferencia de fondos entre agentes economi-

cos. Los emiten las personas (fısicas o jurıdicas) que tienen un desequilibrio tempo-

ral entre ingresos y gastos (deficit) cubriendo esa diferencia con la financiacion que

le proporcionan otros agentes economicos. Pueden ser tanto economıas domesticas

(compra de un activo importante como un coche o una casa) como empresas o como

el estado.

Los activos financieros representan una obligacion de pago para el emisor

y un derecho de cobro para el receptor en el cual se incorpora una retribucion

complementaria. Cada activo financiero tiene una serie de caracteristicas:

1. Rentabilidad, remuneracion adicional que percibe el poseedor del activo.

2. Riesgo, probabilidad de que el emisor realice los pagos futuros

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1.1. LECCION 1 - INTRODUCCION

3. Liquidez, rapidez con que puede ser convertido en dinero sin perdida de valor

Los activos mas arriesgados ofrecen una rentabilidad mayor. La liquidez de-

pende del tamano del mercado.

Intermediarios Financieros

Los activos financieros pueden ser primarios, si son emitidos por los agentes

economicos que necesitan la financiacion o secundarios, si los emiten intermediarios

financieros. En la mayorıa de los casos los ahorradores y los inversiones se relacionan

a traves de los intermediarios financieros. Estos, pueden transformar los activos

financieros con el objetivo de adecuarlos a las necesidades del mercado.

Mercados Financieros

Los mercados financieros son el lugar o mecanismo donde se produce el inter-

cambio de activos. A partir de la demanda y oferta de activos se establece el precio.

Las caracterısticas de los mercados son:

Amplitud, funcion del volumen de activos

Transparencia, funcion de la mayor rapidez y menor coste con el que se pueden

comunicar los agentes.

Libertad, funcion de las limitaciones que haya para acceder al mercado.

Profundidad, funcion del numero de ordenes de compra y venta que se pro-

duzcan.

Existen diversas formas de clasificar los mercados, ası, en funcion de las ca-

racterısticas anteriores se tienen:

Mercados monetarios, con plazos cortos, riesgos pequenos y gran liquidez

Mercados de capitales, con plazos mas largos. Dentro de este estan los mercados

de valores y el mercado de credito.

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Tambien se puede distinguir entre:

Mercados primarios, donde los activos se intercambian en el momento de la

emision

Mercados secundarios, cuando se intercambian activos que ya estaban en cir-

culacion.

Ası, a modo de resumen, el sistema financiero debe canalizar, de forma eficien-

te, los recursos de los ahorradores a los inversores mediante los activos financieros.

1.1.3. Sistema Monetario

El sistema monetario se puede definir como el conjunto de instituciones, me-

canismos y procedimientos que regulan los mercados monetarios en relacion a la

emision, circulacion y transacciones que se realizan con dinero.

El dinero sirve para la realizacion del intercambio de bienes y servicios siendo

un medio general de pago. Ademas el dinero es un activo financiero mediante el cual

se puede mantener riqueza.

El sistema monetario internacional (SMI) ha ido evolucionando desde el

patron oro del siglo pasado hasta el momento actual en el que tiene como organismos

mas importantes el Fondo Monetario Internacional (FMI) y el Banco Mundial.

El sistema monetario Europeo (SME) se crea como base para lograr en un

futuro la union europea que finalmente lleva a la union monetaria con la adopcion

de una moneda unica, el euro. El euro nace en 1999 mantiendo la convivencia con

las monedas nacionales en una etapa transitoria hasta el ano 2002.

Se denominan divisas a las monedas extranjeras o cualquier medio de pago

nominado en esas monedas (letras, cheques, etc).

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1.2. LECCION 2 - CONCEPTOS BASICOS

1.1.4. Decisiones Financieras

Las decisiones financieras optimizan la asignacion de recursos financieros a

traves del tiempo. Existen dos tipos de decisiones fundamentales:

Decisiones de inversion

Decisiones de financiacion

Se realiza una inversion cuando un agente adquiere un activo efectuando unos

desembolsos iniciales esperando que en el futuro genere unos rendimientos mayores

que el desembolso inicial.

Se realiza una financiacion cuando el agente obtiene recursos con el cubrir un

deficit (gastos mayores que ingresos) y que posteriormente ha de devolver junto con

una retribucion pactada anteriormente.

Son dos operaciones duales ya que en la inversion se hace un desembolso

inicial mientras que en la financiacion se obtiene dicho desembolso. Posteriormente

en la inversion se van recuperando rendimientos que son justamente los pagos que

se hacen en la financiacion.

Debido a que ambas operaciones se realizan a lo largo del tiempo, es funda-

mental tener un criterio que permita valorarlas y es ahı donde entra la valoracion

financiera.

1.2. Leccion 2 - Conceptos Basicos

1.2.1. Capital Financiero

Se define capital financiero como la medida de cualquier activo, real o finan-

ciero, expresada por su cuantıa y por su vencimiento o momento de disponibilidad.

Por lo tanto cualquier capital se representa mediante dos coordenadas (C,t) donde:

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C mide la cuantıa del capital expresada en unidades monetarias

t es el momento de disponibilidad del capital o vencimiento.

Como todo capital viene determinado por dos coordenadas, puede ser repre-

sentado en un sistema de coordenadas donde el tiempo se situa en el eje de abcisas

y la cuantıa en el eje de ordenadas.

Figura 1.1: Representacion de capitales 1

A veces, por simplicidad se utiliza la forma de representacion que aparece en

el grafico siguiente:

Figura 1.2: Representacion de capitales 2

Si observamos desde el punto de vista del activo (perspectiva objetiva), los

capitales deben ser positivos (C > 0) ya que todo activo tiene un valor o 0 si carece

de valor, pero nunca negativo.

Si observamos desde el punto de vista de la persona en relacion al activo

(perspectiva subjetiva), el activo puede tener valor positivo (C > 0) si la posicion es

acreedora (se le debe) pero negativo (C < 0) si la posicion es deudora (debe).

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Al conjunto de todos los capitales financieros se le denomina Espacio finan-

ciero E. Desde la perspectiva subjetiva dicho espacio toma la forma:

E = {(C; t)∀C, t ∈ R}

1.2.2. Leyes Financieras

En el mundo real se comparan capitales constantemente. Es claro que si

se quieren comparar capitales con el mismo vencimiento, se preferira aquel que

tenga una cuantıa superior. Por otro lado, si se quieren comparar capitales con la

misma cuantıa, se preferira aquel que tenga un vencimiento inferior, pero ¿como se

comparan capitales que tengan vencimientos y cuantıas distintos?

Por lo tanto, debido a que los activos financieros son funciones de dos varia-

bles, cuantıa y vencimiento, no se pueden comparar de forma directa. Ası, se definen

las Leyes Financieras como las expresiones matematicas que permiten comparar ca-

pitales, sustituir capitales por otros, etc.

Dados dos capitales (C1, t1) y (C2, t2), necesitamos una regla que, dado un

momento del tiempo p, se pueda encontrar el valor equivalente Vi. Ası, si podemos

establecer una relacion de la forma (C1, t1) ∼ (V1, p) y (C2, t2) ∼ (V2, p), entonces

el capital preferido sera aquel que tenga un valor equivalente mayor, como se puede

ver en el grafico siguiente:

Figura 1.3: Valores equivalentes

Por lo tanto, una ley financiera es una expresion matematica que permite

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encontrar Vi. Dicha cuantıa dependera no solo de C y t sino tambien de p:

V = F (C, t, p)

En funcion de si el valor p es anterior o posterior a t se distinguen dos tipos

de leyes:

Leyes de capitalizacion. Si p > t y se denota por L(t, p)1

Figura 1.4: Capitalizacion

Leyes de descuento. Si p < t y se denota por A(t, p)

Figura 1.5: Descuento

Ejemplo

1En realidad la ley de capitalizacion depende tambien de C pero como veremos mas adelante,

una propiedad que debe cumplir es que sea proporcional a C y por lo tanto se especifica la ley de

capitalizacion unitaria

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Indicar el orden de preferencia de los capitales siguientes: (100.000;2013),

(110.000;2015) y (120.000;2016) si la ley utilizada es A(t, p) = 1 − 0,05(t − p) y se

utiliza p = 2012.

Para determinar el orden de preferencia hay que encontrar las cuantıas equi-

valentes en p = 2012. Ası para el primero

V1 = 100,000 · [1− 0,05(2013− 2012)] = 95,000

Para el segundo

V2 = 110,000 · [1− 0,05(2015− 2012)] = 93,500

y para el tercero

V3 = 120,000 · [1− 0,05(2016− 2012)] = 96,000

Y por lo tanto, como V3 > V1 > V2 el orden de preferencia de los capitales es

(120,000; 2016) ≻ (100,000; 2013) ≻ (110,000; 2015)

Ejercicio: Dados dos capitales (100;2016) y (200,2018). ¿Se puede decir que

hoy son equivalentes si se utiliza la ley financiera F (C, t, p) = Cep−t?

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Leyes Financieras:Propiedades

Para que una funcion pueda utilizarse como ley financiera debe cumplir una

serie de propiedades:

1. Debe ser una funcion positiva para cualquier valor de C, t y p: V = F (C, t, p) >

0

2. Debe ser homogenea de grado 1 respecto a la cuantıa F (λC, t, p) = λF (C, t, p).

Si esto es ası, y eligiendo λ = 1C

la propiedad anterior implica que la funcion

puede expresarse como F (C, t, p) = C ·F (1, t, p) = C ·F (t, p). A la ley F (t, p) se

le denomina ley financiera unitaria. En el caso mas sencillo las leyes financieras

deben ser funciones lineales respecto a la cuantıa de tal forma que se puede

operar con rentas unitarias para despues de encontrar la cuantıa por unidad,

baste con multiplicar por la cuantıa inicial del capital considerado para obtener

la cuantıa del capital2.

2Si en t1 100 euros tienen como equivalente en t2 a 130 euros, entonces 1000 euros tendran como

equivalente 1300 euros

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3. Debe cumplir que si p = t, entonces F (C, t, t) = F (C, p, p) = C (Propiedad

reflexiva).

4. Las leyes financieras deben cumplir ademas la propiedad de subestimacion de

capitales futuros respecto a los actuales a igualdad de cuantıa. Esto implica que

debe ser creciente con p y decreciente con t. Ademas, si la ley es de descuento,

debe cumplir que A(t, p) < 1 y si la ley es de capitalizacion, debe cumplir que

L(t, p) > 1

5. Debe ser continua en p y en t

Ejemplo

Comprobar que la funcion matematica

F (C, t, p) =C · a

b+ d · (t− p)con t ≥ p

Puede ser utilizada como ley de descuento para los valores positivos de a, b, d.

En primer lugar debe ser una funcion positiva. Como t > p entonces t−p > 0

y por lo tanto el denominador es positivo. Como tanto C como a son positivos, el

numerador tambien es positivo y por tanto el cociente es positivo.

En segundo lugar, se observa que dicha funcion es homogenea de grado 1

respecto a C ya que

F (λC, t, p) =λC · a

b+ d · (t− p)= λ · C · a

b+ d · (t− p)= λ · F (C, t, p)

Ademas, se comprueba tambien la implicacion de la homogeneidad de grado

1 ya que

F (C, t, p) =C · a

b+ d · (t− p)= C · a

b+ d · (t− p)= C · F (1, t, p) = C · F (t, p)

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En tercer lugar debemos ver si se cumple la propiedad reflexiva. En ese caso

vemos cuante vale F (C, t, t):

F (C, t, t) =C · a

b+ d · (t− t)=

C · ab+ d · 0

= C · ab

Que sera igual a C si a = b. Por lo tanto para que sea ley financiera debe

cumplir que a = b.

En cuarto lugar debemos ver si cumple la propiedad de subestimacion de

capitales futuros. Para ello debemos ver si la funcion es creciente en p y decreciente en

t. Para ello calculamos las derivadas parciales (donde ya se ha impuesto la condicion

a = b):

∂F (C, t, p)

∂p=

a · d[a+ d · (t− p)]2

> 0 ⇒ a · d > 0

Que sera positiva si se cumple que a · d > 0.

∂F (C, t, p)

∂t= − a · d

[a+ d · (t− p)]2< 0 ⇒ a · d > 0

Que sera negativa si se cumple que a · d > 0.

Por lo tanto la funcion sera creciente en p y decreciente en a si a · d > 0.

Ademas, como t > p entonces d · (t − p) > 0 y por lo tanto aa+>0

es siempre

menor que 1, y por lo tanto se puede utilizar como una ley de descuento. Por ultimo,

dicha funcion es continua en todo el dominio salvo el que haga 0 el denominador.

Pero como (t−p) ≥ 0 entonces el denominador es mayor que a y nunca puede ser 0.

Por lo tanto dicha funcion puede utilizarse como ley de descuento siempre y

cuando a = b y el signo de a sea igual al signo de b.

Ejercicio: Comprobar que la expresion matematica F (C, t, p) = C[a + b ·

(p − t)] puede ser utilizada como ley financiera, indicando en cualquier caso que

propiedades se cumplen y cuales no.

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Clasificacion de las leyes Financieras

Las leyes financieras se pueden agrupar entre ellas en funcion de la existencia

de alguna caracterıstica comun. Ası por ejemplo se puede hablar de:

Leyes estacionarias cuando solo se tiene en cuenta la diferencia del tiempo entre

el que ocurre cada operacion, es decir de z = p− t, por lo que la ley financiera

se especifica en terminos de esa cantidad F (z). Posteriormente hablaremos de

F (t) donde t mide la distancia.

Leyes sumativas, cuando en el intervalo considerado no se acumulan los in-

tereses para generar nuevos intereses. Ejemplos de este tipo de leyes son la

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capitalizacion simple y el descuento comercial.

Leyes multiplicativas, cuando en el intervalo se acumulan los intereses. Ejem-

plos de este tipo son la capitalizacion y el descuento compuestos.

Magnitudes Derivadas

A partir de los conceptos basicos de cuantıa y vencimiento, surgen otros

derivados de estos y que ayudan a operar con capitales financieros.

El Factor es el numero por el que hay que multiplicar a la cuantıa en t1 para

obtener la cuantıa en t2. Sirve para encontrar la valoracion de un capital en t2 que,

en general, sera distinto de p. Dicho factor es una funcion que depende tan solo t1,

t2 y p.

En el caso de la capitalizacion, el factor de capitalizacion permite obtener C2

multiplicando a C1 por dicho factor. A la cuantıa C2 se la denomina montante. El

inverso se llama factor de contracapitalizacion y permite obtener C1 conocido C2.

En el caso del descuento, el factor de descuento permite obtener C1 multipli-

cando a C2 por dicho factor. A la cuantıa C1 se la denomina valor descontado. El

inverso se llama factor de contradescuento y permite obtener C2 conocido C1

El Redito es el incremento o disminucion por unidad monetaria al pasar de

t1 a t2 y, por tanto, coincide con el valor absoluto del factor menos uno. Para el caso

de la capitalizacion toma la forma C2−C1

C1y para el descuento C2−C1

C2

El Tanto es igual al Redito pero dividido entre la amplitud del intervalo (t1;

t2), y por lo tanto es el redito por unidad de tiempo (se le suele denominar tambien

tipo de interes)

El Tanto instantaneo es el lımite del tanto cuando el intervalo (t1; t2) tiende

a 0. Mide la variacion por unidad de cuantıa en cada instante del tiempo. Conocida

la funcion de tanto instantaneo se puede obtener la ley financiera integrando entre

py t.

El Interes y el Descuento son capitales que miden la diferencia entre la

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1.3. LECCION 3 - LEYES DE CAPITALIZACION

cuantıas equivalentes C1 y C2 en los extremos t1 y t2. Se obtienen multiplicando

la cuantıa considerada por el redito asociado a dicho intervalo.

1.3. Leccion 3 - Leyes de Capitalizacion

1.3.1. Capitalizacion Simple

Expresion matematica

La expresion matematica de la capitalizacion simple es:

L1(t) = 1 + i · t para t > 0

Dicha expresion indica que, cuando pasen t periodos, una unidad monetaria

se convierte en 1 + i · t unidades monetarias. El parametro i es el Tanto y por lo

tanto mide el incremento por unidad de cuantıa y de tiempo. Para que se cumpla

el principio de subestimacion de capitales futuros el signo de i debe ser positivo. La

variable t mide el tiempo durante el cual se esta capitalizando. Cuando se aplica la

ley financiera el tiempo debe venir expresado en la misma unidad temporal que el

tanto i (por ejemplo, si el tanto es mensual, entonces t deben ser numero de meses).

La capitalizacion simple se usa en el corto plazo, es decir en periodos inferiores a un

ano.

Montante e Interes

Se denomina Montante al capital equivalente en t de las C unidades mone-

tarias iniciales. La cuantıa del montante (M) se obtiene como:

M = C(1 + i · t) = C + C · i · t

Se denomina Interes al incremento que experimenta el capital de cuantıa C

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al colocarlo duante t periodos. La cuantıa del interes (I) se obtiene como:

I = M − C = C · i · t

Ejemplo

Calcular el montante y los intereses producidos de un capital de 500 e du-

rante 7 anos a un tipo de interes simple del 5% (o utilizando la ley de capitalizacion

simple).

El montante de la operacion es M = C(1 + i · t) con C = 500, i = 0,05 y

t = 7, se convierte en M = 500(1 + 0,05 · 7) = 675 e

Los intereses son I = M − C con M = 675 y C = 500, que se convierte

en I = 675 − 500 = 175. Dicha cantidad coincide con la otra forma de calcular

los intereses I = C · i · t con C = 500, i = 0,05 y t = 7 que se convierte en

I = 500 · 0,05 · 7 = 175 e

Ejercicio


rante 2 anos a un tipo de interes simple del 8% (o utilizando la ley de capitalizacion

simple).

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Calculo de magnitudes derivadas

En algunas ocasiones es necesario calcular las magnitudes basicas a partir de

las magnitudes derivadas. Ası, partiendo de la ecuacion del montante:

M = C(1 + i · t)

se puede obtener valor del capital inicial como

C =M

(1 + i · t)

Para calcular el tiempo, se despeja algebraicamente de la expresion anterior

y se obtiene que:

t =M − C

(C · i)

Para calcular el tipo de interes se despeja tambien de la ecuacion del montante

y se obtiene que:

i =M − C

(C · t)

Ejemplo

¿Cuanto tiempo debe pasar para que un capital de 1000 e al 7% de interes

anual simple se convierta en 1200 e?

Utilizando la expresion anterior, el tiempo que debe pasar es

24


t =1200− 1000

(1000 · 0,07)= 2,85

Es decir, deben pasar 2.85 anos.

Ejercicio

¿Cual es el tipo de interes utilizado si la cuantıa inicial de un capital es 2000

e, el montante es 2200 e despues de pasar 2 anos? Suponga que se utiliza la ley de

capitalizacion simple.

Fracciones de ano

Normalmente i mide el incremento anual sin embargo dicha ley se usa para

operaciones de corto plazo, es decir, para operaciones menores a un ano. En ese caso,

el tiempo se usa como fraccion de ano (numero de periodos/numero de periodos

totales del ano). Ası, en el caso mensual (numero de meses igual a k) se utiliza el

25


tiempo como k12

y por lo tanto el montante y el interes toman la forma:

M = C(1 + i · k

12)

I = C · i · k

12

Si la duracion se expresa en dıas (n es el numero de dias) entonces el tiempo

toma la forma n365

y si se usa el ano comercial entonces n360

Para encontrar la relacion entre el interes civil que utiliza 365 dıas y el interes

comercial que lo hace con 360 dıas, en primer lugar se obtiene ambos. El primero

es Ici = C · i · n365

y el segundo Ico = C · i · n360

. Si se dividen ambas cantidades se

obtiene:

IcoIci

=C · i · n

360

C · i · n365

=365

360=

73

72

Y por lo tanto se obtiene que

Ico = Ici ·73

72

y como 7372

es mayor que 1 entonces el interes comercial es mayor que el interes

civil.

Ejemplo


rante 60 dıas a un tipo de interes simple del 5% y utilizando el ano comercial (o

utilizando la ley de capitalizacion simple).

El montante de la operacion es M = C(1 + i · t) con C = 500, i = 0,05 y

t = 60360

, se convierte en M = 500(1 + 0,05 · 0,166) = 504,16 e

Los intereses son I = M − C con M = 504,16 y C = 500, que se convierte

en I = 504,16− 500 = 4,16.

26


Ejercicio

Calcular el montante y los intereses producidos de un capital de 700 e duran-

te 11 meses a un tipo de interes simple del 8% (o utilizando la ley de capitalizacion

simple).

Tantos equivalentes

Si se quiere cambiar la unidad de medida del tiempo (pasar de anos a meses)

entonces el tipo de interes debe ser cambiado tambien (pasar de tipo anual a tipo

mensual) y para que la ley financiera no varıe, se debe multiplicar y dividir por el

mismo factor de correccion (m):

L1(t) = 1 + i · 1

m·m · t = 1 +

i

m·m · t

27


Donde, si el tiempo inicial es en anos, entonces si m = 2 pasamos a tiempo

semestral, si m = 3 a cuatrimestral, si m = 4 a trimestral, si m = 12 pasamos a

mensual, si m = 52 a semanal y si m = 365 a diario. Entonces, si llamamos a im al

tipo correspondiente a la fraccion 1m

del ano, la relacion con el tipo anual es:

im =i

m⇐⇒ i = m · im

Ejemplo

Obtener los tantos equivalentes al 9% anual para periodos 1) semestrales 2)

trimestrales y 3) mensuales si se utiliza la ley de capitalizacion simple.

Como hemos visto antes, el tanto equivalente se obtiene con la formula im = im

y por lo tanto sera:

1. Para el caso semestral m = 2 y por el tanto equivalente es im = 92= 4,5%

2. Para el caso trimestral m = 4 y por el tanto equivalente es im = 94= 2,25%

3. Para el caso mensual m = 2 y por el tanto equivalente es im = 912

= 0,75%

Ejemplo

Se colocan 50000 eal 2% trimestral durante 9 meses. Obtener los intereses

que produce tomando como unidad de tiempo el trimestre y como unidad de tiempo

el ano.

1. Si te utiliza como unidad de tiempo el trimestre, entonces el tipo que se debe

utilizar es el trimestral y el tiempo que pasa es 9 meses entre 3 meses que tiene

cada trimestre y por lo tanto 3 trimestres. Los intereses quedan:

I = 50000 · 0,02 · 93= 3000

2. Si te utiliza como unidad de tiempo el ano, entonces se debe encontrar el

tipo anual equivalente. Ası, como se ha visto anteriormente, el tanto anual se

28


obtiene como i = m · im que en este caso es i = 4 · 2 = 8%. Ahora el tiempo

que pasa es 912

anos y por lo tanto

I = 50000 · 0,08 · 9

12= 3000

Ejercicio

Se colocan en el Banco 1 50000 eal 4% trimestral durante 11 meses y en el

Banco 2 20000 eal 0.5% diario durante un ano. Si se utiliza la ley de capitalizacion

simple, ¿en cual de los dos bancos se obtiene un interes mayor?

1.3.2. Capitalizacion Compuesta

Expresion matematica

La expresion matematica de la capitalizacion compuesta es:

29


L2(t) = (1 + i)t = ekt para i, k, t > 0 y siendo k = ln(1 + i)

Dicha expresion indica que, cuando pasen t periodos, una unidad monetaria

se convierte en (1 + i)t unidades monetarias. El parametro i es el redito constante

para periodos unitarios ya que si t = 1 entonces (1 + i)t ⇒ (1 + i). De nuevo i > 0

para que se cumpla el principio de subestimacion de capitales. El parametro k es el

tanto instantaneo.

Los mismos comentarios sobre t e i son aplicables al caso de la capitalizacion

compuesta.

Montante e Interes

En este caso el montante M (capital equivalente en t de C u.m.) toma la

forma:

M = C(1 + i)t

y el interes I (incremento que se produce al pasar t periodos) toma la forma:

I = M − C = C(1 + i)t − C = C[(1 + i)t − 1]

Ejemplo


te 7 anos a un tipo de interes compuesto del 5% (o utilizando la ley de capitalizacion

compuesta).

El montante de la operacion es M = C(1+ i)t con C = 500, i = 0,05 y t = 7,

se convierte en M = 500(1 + 0,05)7 = 703,55 e

Los intereses son I = M −C con M = 703,55 y C = 500, que se convierte en

I = 703,55 − 500 = 203,55. Dicha cantidad coincide con la otra forma de calcular

30


los intereses I = C[(1 + i)t − 1] con C = 500, i = 0,05 y t = 7 que se convierte en

I = 500 · [(1 + 0,05)7 − 1] = 203,55 e

Ejercicio


te 7 anos a un tipo de interes compuesto del 5% (o utilizando la ley de capitalizacion

compuesta).

Al igual que en la capitalizacion simple, en algunas ocasiones es necesario

calcular las magnitudes basicas a partir de las magnitudes derivadas. Ası, partiendo

de la ecuacion del montante en la capitalizacion compuesta:

M = C(1 + i)t

se puede obtener valor del capital inicial como

31


C =M

(1 + i)t

Para calcular el tiempo, se despeja algebraicamente de la expresion anterior

y se obtiene que:

t =ln(M)− ln(C)

ln(1 + i)

Para calcular el tipo, se despeja algebraicamente de la expresion anterior y

se obtiene que:

i =

(M

C

) 1t

− 1

Ejemplo

¿Cuanto tiempo debe pasar para que un capital de 1000 e al 7% de interes

anual compuesto se convierta en 1200 e?

Utilizando la expresion del tiempo para la ley de capitalizacion compuesta,

el tiempo que debe pasar es

t =ln(1200)− ln(1000)

ln(1 + 0,07)= 2,69

Es decir, deben pasar 2.69 anos.

Ejercicio

¿Cual es el tipo de interes utilizado si la cuantıa inicial de un capital es 2000

e, el montante es 2200 e despues de pasar 2 anos? Suponga que se utiliza la ley de

capitalizacion compuesta.

32


Tantos equivalentes

De nuevo, si se quiere cambiar la unidad de medida del tiempo (pasar de anos

a meses) entonces el tipo de interes debe ser cambiado tambien (pasar de tipo anual

a tipo mensual) y para que la ley financiera no varıe, se debe encontrar im de tal

forma que:

(1 + i)t = (1 + im)m·t ⇒ 1 + i = (1 + im)

m

Normalmente t se mide en anos y en ese caso i recibe el nombre de tanto

efectivo anual e im es el redito que corresponde a periodos de amplitud 1m

de ano.

Como im hacer referencia a periodos de amplitud inferior a un ano, para conseguir

el tipo que serıa al ano se hace una proyeccion aritmetica consiguiendose el tanto

nominal de frecuencia m o tanto nominal convertible. Dicho tanto, que se denota

como jm se calcula como:

jm = m · im ⇐⇒ im =jmm

La ley exige que en las operaciones financieras en las que el pago de intereses

33


se realice con frecuencia distinta al ano, se especifique el tanto nominal que se aplica

a la operacion.

La ecuacion que relaciona los tres tipos anteriores es:

(1 + i) = (1 +jmm

)m = (1 + im)m

Por lo que conocido uno de ellos, se pueden obtener los otros dos.

Ejemplo

Si el redito trimestral es el 3% (i4 = 3%) calcule el tanto nominal y el tanto

efectivo.

El tanto nominal sera j4 = m · i4 con m = 4, por lo tanto j4 = 4 · 3 = 12%

El tanto efectivo sera i = (1+ im)m − 1 = (1,03)4 − 1 = 0,1255088 ≃ 12,55%

Ejemplo

Si el banco le ofrece un deposito a un tanto nominal del 6% de frecuencia

mensual. Calcule el redito mensual y el tanto efectivo anual de dicho deposito.

El redito mensual se obtiene a partir de la relacion entre i12 y j12 i12 =j12m

=

612

= 0,5%

El tanto efectivo sera i = (1+ i12)12− 1 = (1,005)12− 1 = 0,06167 ≃ 6,167%

Ejercicio

Un capital de 100 euros se coloca durante 9 meses en capitalizacion compuesta

a un tipo nominal de frecuencia mensual del 6%. Obtener la cuantıa de los intereses

utilizando como unidad de medida:

El ano

El trimestre

El mes

34


1.3.3. Producto financiero de las leyes de capitalizacion:

Convenio Lineal

A veces hay que operar con productos financieros en un numero entero de

ano mas una fraccion del mismo. En este caso, las partes suelen convenir utilizar

la capitalizacion compuesta para el numero de anos y la simple para la fraccion del

ano restante. Ası, si la duracion es t = n+ km

anos, el montante que se obtiene es:

M = C(1 + i)n ·(1 + i · k

m

)

Esta forma de proceder se denomina convenio lineal. Si no se dice nada,

entonces se puede aplicar la capitalizacion compuesta a toda la operacion, siendo el

montante:

35

1.4. LECCION 4 - LEYES DE DESCUENTO

M ′ = C(1 + i)n+km

Ejemplo

Si deposita 1000 een un deposito que promete pagar el 2% anual durante 2

anos y tres meses. ¿Preferıa que se lo retribuyan usando la capitalizacion compuesta

o el convenio lineal?.

Si se utiliza la capitalizacion compuesta, entonces el periodo sera de 12+12+412

=

2712

meses y por lo tanto el montante final sera

M1 = 1000 · (1 + 0,02)2712 = 1000 · (1 + 0,02)2,25 = 1000 · 1,04556 = 1045,56

si se utiliza el convenio lineal, los dos primeros anos se utilizara la ley com-

puesta y el resto con la ley de capitalizacion simple y por lo tanto sera:

M2 = 1000(1 + 0,02)2 ·(1 + 0,02 · 3

12

)= 1000 · (1,0404) · (1,005) = 1045,60

Como el montante es superior en el segundo caso, preferiremos el convenio

lineal.

1.4. Leccion 4 - Leyes de Descuento

1.4.1. El descuento comercial

La expresion matematica del descuento comercial es:

A1(t) = 1− d · t para d > 0

Por lo que una u.m. en el instante t equivale a 1 − d · t u.m. en el instante

inicial.

36


El parametro d es el tanto de descuento y mide la disminucion del valor por

unidad de cuantıa y de tiempo. Su valor es positivo para que se cumpla el principio

de subestimacion de capitales futuros. De nuevo, la referencia temporal de d y t ha

de ser la misma.

Valor descontado y descuento

Se denomina Valor descontado (o efectivo) de un capital (C, t) al capital

equivalente en el instante inicial (V0, 0). Si el tiempo inicial coincide con el actual se

le denomina Valor actual.

V0 = C · (1− d · t) = C − C · d · t

Se denomina descuento a la disminucion que experimenta el capital de cuantıa

C al adelantar su disponibilidad en t perıodos.

D = C − V0 = C · d · t

Normalmente d mide la disminucion unitaria anual, pero esta ley financiera

se utiliza en operaciones a corto plazo, por lo que el tiempo debe especificarse en

fracciones del ano. Si k son meses, entonces el tiempo sera k12

y ası sucesivamente.

Por ejemplo, el valor descontado y el descuento para k meses sera:

V0 = C ·(1− d · k

12

)y

D = C − V0 = C · d · k

12

Ejemplo

37


Calcular el valor descontado y el descuento efectuados a un capital de 75000

e que vence dentro de 120 dıas si se utiliza el ano comercial y el tanto de descuento

es el 6% y se utiliza la ley de descuento comercial

El valor descontado se obtiene de la expresion

V0 = C ·(1− d · k

360

)Donde C es el capital y por lo tanto vale 75000, d es el tanto de descuento y

vale 0.06, k es el numero de periodos (de dias en este caso) y por lo tanto vale 120.

Por lo tanto:

V0 = 75000 ·(1− 0,06 · 120

360

)= 73500

El descuento se puede obtener como diferencia entre el capital y el valor

descontado D = C − V0 = 75000 − 73500 = 1500 o directamente a partir de la

expresion del valor descontado:

D = C · d · k

360= 75000 · 0,06 · 1

3= 1500

Ejercicio


e que vence dentro de 3 meses si se utiliza a ley de descuento comercial y el tanto

de descuento es el 5%.

38


Tantos equivalentes

Al igual que ocurrıa en el caso de la capitalizacion simple, el tanto de des-

cuento debe cumplir:

dm =d

m⇐⇒ d = m · dm

Con d el tanto anual y dm el tanto asociado a la unidad de tiempo 1m

Ejemplo

Calcular el valor descontado de un capital de 75000 e que vence dentro de

120 dıas si se utiliza el ano comercial y el tanto de descuento mensual es del es el

0.5%.


V0 = C · (1− d · t)

Donde C es el capital y por lo tanto vale 75000, d es el tanto de descuento y

vale 0.005, t es el numero de periodos (que en este caso se debe especificar en meses)

y por lo tanto vale 12030

= 4 . Por lo tanto:

39


V0 = 75000 · (1− 0,005 · 4) = 73500

Ejercicio


e que vence dentro de 3 meses si se utiliza a ley de descuento comercial y el tanto de

descuento trimestral es el 1%. Haga los calculos tomando como medida de referencia:

El dıa.

El trimestre.

El ano.

40


Relacion entre los tantos d e i

Los tantos d e i no tienen el mismo significado financiero y por lo tanto no

son equiparables.

Si tenemos una unidad monetaria en t y la descontamos se obtiene un valor

descontado de 1− d · t. si ahora cogemos esa cantidad y la capitalizamos a un tanto

identico i = d no se obtiene la u.m. inicial sino que se obtiene la cantidad

(1− d · t)(1 + d · t) = 1− d2t2 < 1

Para que i y d sean equivalentes se tiene que cumplir que una unidad des-

contada y luego capitalizada coincida o lo que es lo mismo:

(1− d · t)(1 + i · t) = 1

Despejando se obtiene que:

i =d

1− d · t

o que

d =i

1 + i · t

Ejemplo

Suponga un capital que vence dentro de dos anos y que se ha descontado a un

tanto de descuento del 3% utilizando el descuento comercial. Si, posteriormente se

quiere capitalizar con la ley de capitalizacion simple para obtener el mismo capital,

¿cual debe ser el tipo de interes al que debe hacerse?

Utilizando la expresion para el tipo de interes anterior se obtiene que

41


i =0,03

1− 0,03 · 2=

0,03

0,94= 0,0319

1.4.2. El descuento racional o matematico

La expresion matematica del descuento racional es:

A2(t) =1

1 + d · tpara d > 0

El parametro d es el tanto de descuento racional. Como en este caso, el

descuento racional es el inverso de la capitalizacion simple, el tanto de descuento se

denota como el tanto de la capitalizacion simple d = i y por lo tanto

A2(t) =1

1 + i · tpara i > 0

El descuento racional, al igual que el comercial, se utiliza en operaciones de

corto plazo.


El Valor descontado de un capital (C, t) es el capital (V0, 0) cuya cuantıa es:

V0 =C

1 + i · t

la cuantıa del descuento (Dr) mide la disminucion que experimenta el capital

al adelantar su disponibilidad en t perıodos:

Dr = C − V0 =C · i · t1 + i · t

Ejemplo

42



e que vence dentro de 2 anos si se utiliza el ano comercial y el tanto de descuento

es el 6% y se utiliza la ley de descuento racional.


V0 =C

1 + i · t

Donde C es el capital y por lo tanto vale 75000, i = d es el tanto de descuento

y vale 0.06, t es el numero de periodos (de dias en este caso) y por lo tanto vale 2.

Por lo tanto:

V0 =75000

1 + 0,06 · 2= 66964,28


descontado D = C − V0 = 75000 − 66964,28 = 8035,72 o directamente a partir de

la expresion del valor descontado:

Dr =C · i · t1 + i · t

=75000 · 0,06 · 21 + 0,06 · 2

=9000

1,12= 8035,72

Ejercicio


e que vence dentro de 3 meses si se utiliza a ley de descuento racional y el tanto de

descuento es el 5%.

43


Normalmente i mide la disminucion unitaria anual, pero esta ley financiera

se utiliza en operaciones a corto plazo, por lo que el tiempo debe especificarse en

fracciones del ano. Si n son dıas, entonces el tiempo sera n365

y ası sucesivamente.

Por ejemplo, el valor descontado y el descuento para n dıas sera:

V0 =C

1 + i · n365

y

Dr = C − V0 =C · i · n

365

1 + i · n365

=C · i · n

365 + i · n

Los tantos equivalentes cumplen todas las relaciones que se vieron para el

caso de la capitalizacion simple.

Ejemplo


e que vence dentro de 120 dıas si se utiliza el ano comercial y el tanto de descuento

es el 6% y se utiliza la ley de descuento racional.


V0 =C

1 + i · n360

44


Donde C es el capital y por lo tanto vale 75000, i = d es el tanto de descuento

y vale 0.06, t es el numero de periodos (de dias en este caso) y por lo tanto vale 120.

Por lo tanto:

V0 =75000

1 + ·0,06 · 120360

=75000

1,02= 73529,41


descontado D = C − V0 = 75000 − 73529,41 = 1470,59 o directamente a partir de

la expresion del valor descontado:

D =C · i · n

360 + i · n=

75000 · 0,06 · 120360 + 0,06 · 120

=540000

367,2= 1470,59

Ejercicio


e que vence dentro de 120 dias si se utiliza la ley de descuento racional y el tanto

de descuento es el 5% mensual.

45


1.4.3. El descuento compuesto

La expresion matematica del descuento compuesto es:

A3(t) = (1 + i)−t = (1− d)t = e−k·t con i, d, k > 0

Donde i es el parametro constante de capitalizacion, d el parametro de des-

cuento y k es el tanto instantaneo que es constante en esta ley.

k = ln(1 + i) = −ln(1− d)

El descuento compuesto se utiliza en operaciones de largo plazo.

De nuevo, al igual que ocurrıa en el descuento racional, si se descuenta un

capital a un tanto d y despues se capitaliza al mismo tanto, no se encuentra el mismo

capital. Para encontrar el tanto de capitalizacion que iguale dicha operacion o tanto

equivalente se parte de

(1 + i)−t = (1− d)t ⇒ 1

1 + i= 1− d

cuyas soluciones son

d =i

1 + i

e

i =d

1− d

46



El Valor descontado de un capital (C, t) se puede obtener en terminos de i o

de d. En el primer caso es el capital (V0, 0) cuya cuantıa es:

V0 = C(1 + i)−t

y en el segundo, es el capital (V0, 0) cuya cuantıa es:

V0 = C(1− d)t

la cuantıa del descuento mide la disminucion que experimenta el capital al

adelantar su disponibilidad en t perıodos, que en el primer caso toma el valor:

D = C − V0 = C[1− (1 + i)−t

]y en el segundo caso:

D = C − V0 = C − C(1− d)t = C[1− (1− d)t

]Ejemplo


e que vence dentro de 2 anos si se utiliza el ano comercial y el tanto de descuento

es el 6% y se utiliza la ley de descuento compuesto.


V0 = C · (1− d)t

Donde C es el capital y por lo tanto vale 75000, d es el tanto de descuento y

vale 0.06, t es el numero de periodos y por lo tanto vale 2. Por lo tanto:

47


V0 = 75000 · (1− 0,06)2 = 66270


descontado D = C − V0 = 75000 − 66270 = 8730 o directamente a partir de su

formula:

D = C[1− (1− d)t

]= 75000

[1− (1− 0,06)2

]= 75000 · (0,1164) = 8730

Ademas se puede calcular el tanto de capitalizacion equivalente, que toma la

forma

i =d

1− d=

0,06

1− 0,06=

0,06

0,94= 0,0638

Ahora, si se calcula el descuento utilizando dicho tanto de capitalizacion se

obtiene:

D = C[1− (1 + i)−t

]= 75000

[1− (1 + 0,0638)−2

]= 75000 · 0,1163 = 8730

Ejercicio


e que vence dentro de 3 meses si se utiliza a ley de descuento compuesto y el tanto

de descuento es el 5%.

48


Tantos equivalentes

Se dice que la ley de descuento compuesto a tanto d es equivalente a la misma

ley pero usando el tanto dm para periodos de amplitud 1m

de ano si se cumple:

(1− d) = (1− dm)m

Dando que d y dm hacen referencia a amplitudes temporales distintas, para

poder compararlos se proyecta el tanto dm de forma aritmetica para obtener una

amplitud igual obteniendose el tanto de descuento nominal de frecuencia m (j∗m):

j∗m = m · dm ⇐⇒ dm =j∗mm

Sin embargo lo mas habitual es utilizar los tantos im, jm e i estudiados en la

capitalizacion compuesta.

Ejemplo

Encontrar el tanto de descuento anual equivalente a uno mensual del 2%.

Dicho tanto se obtiene de la expresion

49


(1− d) = (1− dm)m

con

d = 1− (1− dm)m = 1− (1− 0,02)12 = 1− (0,98)12 = 0,21528

es decir un 21.528%. Es importante notar que dicho tanto de descuento es

distinto al tanto de descuento nominal de frecuencia 12 que serıa j∗12 = 12 · 0,02 =

0,24, es decir un 24%

Ejercicio


e que vence dentro de 3 meses si se utiliza a ley de descuento compuesto y el

tanto de descuento trimestral es el 1%. Haga los calculos tomando como medida de

referencia:

El dıa.

El trimestre.

El ano.

50


Ejercicio


euros que vence dentro de 2 anos y tres meses si se utiliza la ley de descuento

compuesto en los casos siguientes:

Se descuenta a un tipo de interes trimestral del 3.5%

Se descuenta a un tipo de interes nominal de frecuencia semestral del 6%

Se descuenta a un tanto de descuento mensual del 2%

Se descuenta a un tanto de descuento nominal de frecuencia diaria del 15%

51

1.5. LECCION 5 - COMPARACION Y SUSTITUCION DECAPITALES

1.5. Leccion 5 - Comparacion y Sustitucion de

capitales

1.5.1. Comparacion de Capitales

Se dice que dos capitales son equivalentes cuando tienen el mismo valor en la

fecha en la que se efectua la comparacion. Si se utiliza la ley financiera de descuento

comercial o racional, la fecha es el momento presente (p = 0) y por lo tanto deben

coincidir los momentos actuales. Si se utiliza la ley financiera de capitalizacion sim-

ple, la comparacion se realiza en la fecha de acumulacion de intereses. El esquema

grafico se presenta en el grafico (1.6)

Figura 1.6: Comparacion de capitales: Descuento

Ası, dados dos capitales (C1, t1) y (C2, t2) y una ley de descuento de tal forma

que (C1, t1) ∼ V 10 y que (C2, t2) ∼ V 2

0 , entonces dichos capitales seran equivalente si

V 10 = V 2

0 .

Si la ley de descuento utilizada es el descuento comercial a tanto d, los valores

actuales toman la forma V 10 = C1 · (1 − d · t1) y V 2

0 = C2 · (1 − d · t2). Si se utiliza

el descuento racional los valores actuales toman la forma V 10 = C1

1+i·t1 y V 20 = C2

1+i·t2

y si se utiliza el descuento compuesto V 10 = C1 · (1− d)t1 y V 2

0 = C2 · (1− d)t2

Por otro lado, se pueden ordenar los capitales comparando los valores en

52


la fecha de comparacion. Ası, en el caso del descuento si V 10 > V 2

0 entonces se

preferira el capital (C1, t1), es decir:

Si V 10 > V 2

0 =⇒ (C1, t1) ≻ (C2, t2)

Ejemplo

Se ha de pagar una letra de 7500 euros dentro de 60 dıas y se acuerda hoy

sustituirla por otra de cuantıa equivalente con vencimiento dentro de 120 dıas apli-

cando el descuento comercial a un tanto de descuento del 12% anual. Si se utiliza

el ano comercial, determinar dicha cuantıa.

Hoy el valor actual de la letra de 7500 euros toma la forma (aplicando la ley

de descuento comercial)

V 10 = C1 · (1− d · t1) = 7500 ·

(1− 0,12 · 60

360

)= 7350

Por otro lado, la otra letra tendra un valor actual que dependera de la cuantıa

y que toma la forma:

V 20 = C2 · (1− d · t2) = C2 ·

(1− 0,12 · 120

360

)= C2 · 0,96

Ambos capitales seran equivalentes si los valores actuales coinciden V 10 = V 2

0

y esto ocurre si

7350 = C2 · 0,96

Y por lo tanto

C2 =7350

0,96= 7656,25

53


Ejercicio: Se ha de pagar una letra de 1000 euros dentro de 2 anos y se

acuerda hoy sustituirla por otra de cuantıa equivalente con vencimiento dentro de 3

anos aplicando el descuento compuesto a un tanto de descuento del 3% trimestral.

Determinar dicha cuantıa.

En otros casos queremos comparar capitales en un instante p mayor a ambos ven-

cimientos. Para ello, se utiliza la ley de capitalizacion siendo p es el momento de

acumulacion de capitales. Ası se encuentra (C1, t1) ∼ M1p y (C2, t2) ∼ M2

p . Entonces

ambos capitales seran equivalente si el montante de ambos coincide en p, es decir si

M1p = M2

p . El esquema grafico se presenta en el grafico (1.7)

54


Figura 1.7: Comparacion de capitales: Capitalizacion

Si la ley de capitalizacion utilizada es la capitalizacion simple al tipo i, los

montantes toman la forma M1 = C1 · (1+ i · t1) y M2 = C2 · (1+ i · t2). Si se utiliza la

capitalizacion compuesta, los montantes son M1 = C1 · (1+ i)t1 y M2 = C2 · (1+ i)t2 .

Por ultimo, al igual que ocurrıa con las leyes de descuento, con las leyes de

capitalizacion no solo sirven para encontrar capitales equivalente sino que tambien

sirven para ordenar capitales. Para ello se comparan los montantes en el instante p

y se observa si se cumple:

Si M1p > M2

p =⇒ (C1, t1) ≻ (C2, t2)

Ejemplo

El 14 de Junio se han colocado treinta mil euros en capitalizacion simple al

12% anual. Sabiendo que los intereses se acumulan al final del ano obtener el capital

equivalente el dıa 2 de octubre (se utiliza el ano comercial).

En primer lugar, del 14 de junio al 31 de diciembre hay 200 dıas y del 2 de

octubre al 31 de diciembre hay 90 dıas.

Para encontrar el capital equivalente hay que igualar los montantes de la

capitalizacion en el momento del devengo de intereses, es decir el 31 de diciembre.

Para el primer capital, el montante toma la forma:

M1 = C1 · (1 + i · t1) = 30000 ·(1 + 0,12 · 200

360

)= 30000 · (1,066) = 32000

Para el segundo capital, el montante toma la forma:

55


M2 = C2 · (1 + i · t2) = C2 ·(1 + 0,12 · 90

360

)= C2 · (1,03)

Ambos capitales seran equivalentes si los montantes coinciden, cosa que ocu-

rre si

C2 · (1,03) = 32000 ⇒ C2 =32000

1,03= 31067,96

Ejercicio: Se ha colocado un deposito de 1000 euros a un tipo nominal (anual)

del 8% semestral que vence dentro de 3 anos y se acuerda hoy sustituirlo por otro

que empieza dentro de un ano y tiene vencimiento 2 anos, de cuantıa equivalente

a un tipo nominal (anual) del 4% trimestral. Si para la valoracion de capitales se

utiliza la ley de capitalizacion compuesta, determinar dicha cuantıa equivalente.

Ejercicio: Se ha colocado un deposito de 1000 euros a un tipo nominal (anual)

del 8% semestral que vence dentro de 2 anos y se acuerda hoy sustituirlo por otro de

cuantıa equivalente con vencimiento dentro de 3 anos a un tipo nominal (anual) del

4% trimestral. Si para la valoracion de capitales se utiliza la ley de capitalizacion

56


compuesta y la fecha de valoracion es dentro de 4 anos, determinar dicha cuantıa

equivalente (Suponga que el tipo de interes anual de esta economıa es el 4%).

Si se utiliza la ley de descuento compuesto o capitalizacion compuesta, la

comparacion se puede hacer en cualquier momento del tiempo.

Problema: Si se utilizan leyes financieras simples, la equivalencia o compara-

cion de capitales se modifica al variar la fecha en la que se efectua la operacion.

Demostracion para el descuento comercial: Se observa que dados capitales

que estan en dos momentos del tiempo, y un instante p, el descuento del primero

sera:

C1 · [1− d · (t1 − p)]

y para el segundo

C2 · [1− d · (t2 − p)]

Ambos seran equivalentes si coinciden los valores descontados en el instante

57


p, es decir si:

C1 · [1− d · (t1 − p)] = C2 · [1− d · (t2 − p)]

y despejando:

C1 = C2 ·[1− d · (t2 − p)]

[1− d · (t1 − p)]

resultado que depende no solo de t1 y t2 sino tambien de p y por lo tanto

variando p se puede variar la relacion de equivalencia.

Demostracion para el descuento compuesto: En este caso la igualdad queda:

C1 · (1− d)t1−p = C2 · (1− d)t2−p

y despejando

C1 = C2 ·(1− d)t2−p

(1− d)t1−p= C2 · (1− d)t2−p−t1+p = C2 · (1− d)t2−t1

que no depende del momento p.

Por lo tanto, cuando se comparan capitales con leyes simples se debe especi-

ficar el momento de la comparacion mientras que si se utilizan leyes compuestas el

resultado no depende de la fecha en la que se haga la comparacion.

Ejercicio: Demuestre que si se utiliza la ley de capitalizacion simple la com-

paracion de capitales depende del momento en el que se hace la valoracion pero si

se utiliza la ley de capitalizacion compuesta no depende de dicho momento p.

58


Ejemplo

El 14 de Junio se han colocado treinta mil euros en capitalizacion simple

al 12% anual. Sabiendo que los intereses se acumulan el 1 de Diciembre obtener el

capital equivalente el dıa 2 de octubre (se utiliza el ano comercial). Comparar el

resultado en el caso de que los capitales se acumularan a final de ano.

Ahora, en este caso, el numero de dias que pasan del 14 de junio al 1 de

diciembre es 170 y del 2 de octubre al 1 de diciembre es 60 dıas.

Para encontrar el capital equivalente hay que igualar los montantes de la

capitalizacion en el momento del devengo de intereses, es decir el 1 de diciembre.

Para el primer capital, el montante toma la forma:

M1 = C1 · (1 + i · t1) = 30000 ·(1 + 0,12 · 170

360

)= 30000 · (1,056) = 31700

Para el segundo capital, el montante toma la forma:

M2 = C2 · (1 + i · t2) = C2 ·(1 + 0,12 · 60

360

)= C2 · (1,02)

59


Ambos capitales seran equivalentes si los montantes coinciden, cosa que ocu-

rre si

C2 · (1,02) = 31700 ⇒ C2 =31700

1,02= 31078,43

Ahora el capital equivalente es 31078.43e que es distinto a 31067.96 e que era

el capital equivalente si se utilizaba como momento de valoracion el 31 de diciembre.

Por lo tanto la relacion de equivalencia cambia si se modifica p, el momento de

valoracion.

Ejercicio:

60


1.5.2. Suma de Capitales

A veces, en la practica, surge la necesidad de sustituir dos capitales por un

unico capital, o lo que es lo mismo, sumar ambos capitales. Ası, dados (C1, t1) y

(C2, t2) y una ley financiera de valoracion en p, el capital (C, t) es la suma de los

capitales anteriores si se verifica que

C1 · F (t1, p) + C2 · F (t2, p) = C · F (t, p)

Ası, por ejemplo, para el descuento comercial con p = 0 debe cumplir la

siguiente igualdad:

C1 · (1− d · t1) + C2 · (1− d · t2) = C · (1− d · t)

En la ecuacion anterior hay dos incognitas C y t por lo que se debe fijar una

de ellas para encontrar la otra. Lo mas usual es fijar t y calcular C.

Si, por ejemplo, se quiere encontrar la suma a partir de la ley de capitalizacion

simple dado un instante p, dicha expresion es:

C1 · [1 + i · (p− t1)] + C2 · [1 + i · (p− t2)] = C · [1 + i · (p− t)]

En general, la fecha t en la que se efectua la suma se denomina vencimiento

comun.

Ejemplo 1

Se han de pagar dos letras, la primera de diez mil euros dentro de 45 dıas

y la segunda de veinte mil euros dentro de 90 dıas y se decide sustituirlas por una

sola. Si la nueva letra se debe pagar en 70 dıas y se utiliza el descuento comercial al

15% anual, ¿Cual debe ser la cuantıa de dicha letra?

Para sumar ambos capitales (ambas letras) se deben valorar en el mismo

61


instante del tiempo, que en este caso es el momento actual. El valor actual de la

primera letra sera:

V 10 = C1 · [1− d · (t1)] = 10000 ·

[1− 0,15 · 45

360

]= 10000 · 0,98125 = 9812,5

El valor actual de la segunda letra sera:

V 20 = C2 · [1− d · (t2)] = 20000 ·

[1− 0,15 · 90

360

]= 20000 · 0,9625 = 19250

El valor actual de la letra equivalente a ambas (o letra suma) sera:

V S0 = CS · [1− d · (tS)] = CS ·

[1− 0,15 · 70

360

]= CS · 0,805

Ahora ya tenemos todos los capitales valorados en p = 0 y en dicho momento

la suma de los capitales debe ser igual al capital suma y por lo tanto:

V S0 = V 1

0 + V 20

o tambien

CS · 0,805 = 9812,5 + 19250 = 29062,5 ⇒ CS =29062,5

0,805= 36102,48

Y por lo tanto la letra sera de 36102.48 euros a pagar en 70 dıas.

Ejemplo 2

Una familia tiene dos depositos en el banco, uno de 20000 euros y duracion 3

meses y otro de 15000 euros y duracion 5 meses. Ambos depositos estan retribuidos a

un interes simple del 5%. Si se quieren cambiar ambos por otro deposito, retribuido al

mismo tipo, que venza dentro de 6 meses, encontrar la cuantıa que resulta equivalente

si se utiliza como momento de valoracion un ano a partir de este momento.

62


Para sumar ambos capitales se valoran dentro de un ano y se suman. El

montante del primer deposito valdra una vez pasados los 3 meses:

M1 = C1 · [1 + i · (t1)] = 20000 ·[1 + 0,05 · 3

12

]= 20000 · 1,0125 = 20250

Dicho montante valdra al final del ano su valor capitalizado durante los meses

restantes (9 meses):

M ′1 = 20250 ·

[1 + 0,05 · 9

12

]= 20250 · 1,0375 = 21009,375

El montante del segundo deposito valdra una vez pasados los 5 meses:

M2 = C2 · [1 + i · (t2)] = 15000 ·[1 + 0,05 · 5

12

]= 15000 · 1,021 = 15312,5

Dicho montante valdra al final del ano su valor capitalizado durante los meses

restantes (7 meses):

M ′2 = 15312,5 ·

[1 + 0,05 · 7

12

]= 15312,5 · 1,029 = 15759,11

Por otro lado, el montante del deposito suma con vencimiento 6 meses valdra en

dicho momento:

MS = CS ·[1 + 0,05 · 6

12

]Donde CS es la cuantıa equivalente para el capital suma y MS el montante

para dicho capital al final de la duracion del deposito. Dicho montante valdra al final

del ano su valor capitalizado durante los meses restantes (6 meses):

M ′S = MS ·

[1 + 0,05 · 6

12

]= CS ·

[1 + 0,05 · 6

12

]·[1 + 0,05 · 6

12

]63


o tambien:

M ′S = MS · 1,025 = CS · 1,050625

Ahora ya tenemos todos los capitales valorados en p y en dicho momento la

suma de los capitales debe ser igual al capital suma y por lo tanto:

CS · 1,050625 = 21009,375 + 15759,11 = 36768,485 ⇒ CS =36768,485

1,050625= 34996,77

Ejercicio: Una empresa tiene el acuerdo de pagar una letra de 20 mil euros

dentro de 2 anos en descuento compuesto a un tanto de descuento nominal anual

de frecuencia trimestral del 8% y otra letra de 10 mil euros a pagar dentro de

180 dıas en descuento comercial a un tanto de descuento trimestral del 2%. Dicha

empresa estudia la posibilidad de pagar ambas letras dentro de un ano a un tanto

de descuento mensual del 1%. ¿Cual debe ser la cuantıa de dicha letra para que el

cambio en los pagos sea equivalente?

64


Vencimiento Medio

En la practica a veces se exige que C = C1 + C2 siendo la incognita en ese

caso t que se denomina vencimiento medio. Para obtenerlo, se sustituye la igualdad

anterior en las ecuaciones de la suma.

Por ejemplo, para la ley de descuento comercial serıa:

C1 · (1− d · t1) + C2 · (1− d · t2) = (C1 + C2) · (1− d · t)

y simplificando se obtiene:

t =C1 · t1 + C2 · t2

C1 + C2

Siendo el vencimiento medio la media ponderada de los vencimientos de cada

activo y siendo los pesos de la ponderacion las cuantıas C1 y C2.

De forma intuitiva, la expresion del tipo medio se puede extender al caso de

n capitales:

t =C1 · t1 + C2 · t2 + · · ·+ Cn · tn

C1 + C2 + · · ·+ Cn

Ejercicio

Encuentre la expresion del vencimiento medio para la ley de capitalizacion

simple.

65


Ejemplo

Se han de pagar dos letras, la primera de diez mil euros dentro de 45 dıas

y la segunda de veinte mil euros dentro de 90 dıas y se decide sustituirlas por una

sola. Si la letra tiene que ser la suma aritmetica de las dos anteriores y se utiliza el

descuento comercial al 15% anual, ¿Cual debe ser el vencimiento de dicha letra?

El ejercicio esta pidiendo el vencimiento medio, ya que la cuantıa de la suma

de ambos capitales es justamente la suma aritmetica C = C1 +C2, que en este caso

toma el valor C = 10000 + 20000 = 30000. El vencimiento se obtiene a partir de la

expresion del vencimiento medio:

t =C1 · t1 + C2 · t2

C1 + C2

=10000 · 45 + 20000 · 90

10000 + 20000= 75

Y por lo tanto la letra debe ser de treinta mil euros a pagar dentro de 75

dıas.

Ejercicio

66


Una empresa tiene dos depositos A y B. El deposito A se constituye con 10000

euros y duracion 6 meses a un tipo anual del 6%. El deposito B se constituye con

15000 euros y duracion 12 meses a un tipo anual del 6%. Si se quiere sustituir ambos

depositos por otro segun el principio del vencimiento medio, ¿debera constituir la

empresa un deposito por 9 meses? Razone su respuesta.

Caso Compuesto

Si la ley de capitalizacion fuese otra mas compleja, como por ejemplo la com-

puesta (aunque es importante senalar que el vencimiento medio se aplica fundamen-

talmente en operaciones de corto plazo donde se utilizan leyes financieras simples),

entonces la expresion del vencimiento medio se obtendrıa de forma analoga pero

tendrıa una expresion mas complicada. Ası, en el caso del descuento compuesto,

dicho vencimiento se obtiene de:

67


C1 · (1 + i)−t1 + C2 · (1 + i)−t2 = C · (1 + i)−t

y de nuevo, al sustituir la condicion C = C1 + C2 se obtiene que

C1 · (1 + i)−t1 + C2 · (1 + i)−t2 = (C1 + C2) · (1 + i)−t

o que

(1 + i)−t =C1 · (1 + i)−t1 + C2 · (1 + i)−t2

C1 + C2

y tomando logaritmos

−t · Ln(1 + i) = Ln

(C1 · (1 + i)−t1 + C2 · (1 + i)−t2

C1 + C2

)o tambien

t = −Ln

(C1·(1+i)−t1+C2·(1+i)−t2

C1+C2

)Ln(1 + i)

Ejercicio

Encuentre la expresion del vencimiento medio para la ley de capitalizacion

compuesta.

68


Ejemplo

Se han de pagar dos letras, la primera de diez mil euros dentro de 45 dıas y la

segunda de veinte mil euros dentro de 90 dıas y se decide sustituirlas por una sola. Si

la letra tiene que ser la suma aritmetica de las dos anteriores y se utiliza el descuento

compuesto al tanto de descuento 15% anual, ¿Cual debe ser el vencimiento de dicha

letra?

En primer lugar, el tanto de descuento implica un tipo de interes de:

i =0,15

1− 0,15= 0,176

El ejercicio esta pidiendo el vencimiento medio, ya que la cuantıa de la suma

de ambos capitales es justamente la suma aritmetica C = C1 +C2, que en este caso

toma el valor C = 10000 + 20000 = 30000. El vencimiento se obtiene a partir de la

expresion del vencimiento medio:

t = −Ln

(C1·(1+i)−t1+C2·(1+i)−t2

C1+C2

)Ln(1 + i)

= −Ln

(10000·(1+0,176)−45+20000·(1+0,176)−90

10000+20000

)Ln(1 + 0,176)

= 52

Y por lo tanto la letra debe ser de treinta mil euros a pagar dentro de 52

dıas.

Ejercicio

69


Una empresa tiene dos depositos A y B. El deposito A se constituye con 10000

euros y duracion 2 anos a un tipo anual del 7%. El deposito B se constituye con

15000 euros y duracion 4 anos a un tipo anual del 7%. Si se quiere sustituir ambos

depositos por otro segun el principio del vencimiento medio, ¿debera constituir la

empresa un deposito por 2 anos? Razone su respuesta.

1.5.3. Desdoblamiento de capitales

El desdoblamiento de capitales es la operacion inversa a la suma de capitales,

ya que en este caso se tiene un capital suma y se pretende descomponer entre varios

capitales. Se suele utilizar cuando el deudor debe realizar un pago grande en t y

quiere sustituirlo por pagos mas pequenos en diversos momentos del tiempo.

El planteamiento general del problema es el siguiente: Si el capital (C, t) se

70


quiere desdoblar en capitales (C1, t1) y (C2, t2), a partir de la relacion de equivalencia

de capitales se deben encontrar los valores C1, t1, C2 y t2.

C1 · F (t1, p) + C2 · F (t2, p) = C · F (t, p)

El problema es que a partir de una ecuacion se deben resolver cuatro incogni-

tas. Para resolver esto se deben imponer otras condiciones entre dichas variables (C1,

t1, C2 y t2). Ası, por ejemplo, en operaciones de corto plazo si se quiere desdoblar

(C, t) en capitales (C1, t1) y (C2, t2) y se utiliza el metodo del vencimiento medio

(nueva condicion) en descuento comercial, se obtiene el siguiente sistema:

C = C1 + C2

t = C1·t1+C2·t2C1+C2

Donde ahora ya se pueden obtener las soluciones para t1 y t2 dados C1 y C2

o las soluciones para C1 y C2 dados t1 y t2. Por ejemplo, para el segundo caso se

obtiene que:

C1 =C · (t2 − t)

t2 − t1

y

C2 =C · (t− t1)

t2 − t1

Ejemplo

Se ha de pagar una letra de diez mil euros dentro de 2 meses. Debido a

que la empresa tiene dificultades para pagar dicha letra, negocia la posibilidad de

pagar una letra dentro de 1 mes y otra dentro de 4 meses.Si se utiliza el descuento

comercial al tanto de descuento del 15% anual, ¿Cual deben ser las cuantıas de las

nuevas letras?

Aplicando las expresiones anteriores, las cuantıas toman la forma:

71


C1 =C · (t2 − t)

t2 − t1=

10000 · (4− 2)

4− 1=

20000

3= 6666,66

y

C2 =C · (t− t1)

t2 − t1=

10000 · (2− 1)

4− 1=

10000

3= 3333,33

Ejercicio

Un deposito de 50 mil euros en capitalizacion simple a 6 meses con un tipo

anual del 4% se quiere descomponer en dos, uno a 4 meses y otro a 8 meses (ambos

al mismo tipo de interes). ¿Cuales deben ser las cuantıas de cada deposito?

Un caso especial de desdoblamiento de capitales se denomina prorroga de

vencimiento. En ese caso el capital suma (C, t) se desdobla en dos capitales de

tal forma que en un momento del tiempo se paga una parte (C1, t1) y hay que

determinar en que momento se paga el resto (t2). En ese caso el sistema que hay

72


que resolver es el que aparece arriba pero ahora la incognita es t2:

C2 = C − C1

t = C1·t1+C2·t2C1+C2

y la solucion es

t2 =C · t+ C1 · t1

C2

Ejemplo

Se ha de pagar una letra de diez mil euros dentro de 2 meses. Debido a que

la empresa tiene dificultades para pagar dicha letra, negocia la posibilidad de pagar

una letra de dos mil euros dentro de 1 mes y el resto en otro momento del tiempo.

Si se utiliza el descuento comercial al tanto de descuento del 15% anual, ¿Cual debe

ser el vencimiento para la letra restante de ocho mil euros?

Lo que se pretende encontrar es la prorroga de vencimiento cuya solucion,

como se ha visto antes, es:

t2 =C · t+ C1 · t1

C2

=10000 · 2 + 2000 · 1

8000=

22000

8000= 2,75

Debe pagarse a los 2.75 meses.

Ejercicio

Una empresa constituye un deposito con 10000 euros y duracion 6 meses a

un tipo de interes anual del 5%. El Banco le ofrece la posibilidad de dividir dicho

deposito en dos depositos al mismo tipo de interes: A y B. En el deposito A, que

tiene una duracion de 2 meses, se depositan 2000. Si se utiliza la capitalizacion

compuesta y se sigue el principio del vencimiento medio ¿Cual debe ser la duracion

del deposito B? Razone su respuesta (Aunque no es necesario, si lo considera mas

sencillo puede utilizar un momento de valoracion (a los 6 meses)).

73


74

Capıtulo 2

Rentas

2.1. Leccion 6 - Rentas - Valoracion: Introduccion

2.1.1. Concepto de Renta

Dados un conjunto de capitales (C1, t1), (C2, t2) .... (Cn, tn) y un intervalo de

tiempo total [t0, tn] dividido en subintervalos o periodos de maduracion [t0, t1],(t1, t2],

...,(tn−1, tn], se denomina renta a la aplicacion biyectiva que se establece entre el

conjunto de capitales y el conjunto de intervalos o perıodos de maduracion:

Capitales Intervalos

(C1, t1) ⇔ [t0, t1]

(C2, t2) ⇔ (t1, t2]...

......

(Cn, tn) ⇔ (tn−1, tn]

Graficamente la renta se puede representar como:

75

2.1. LECCION 6 - RENTAS - VALORACION: INTRODUCCION

Figura 2.1: Representacion de una Renta

A los capitales se les denomina tambien terminos de la renta

El origen de la renta es el instante t0 y el final de la renta es tn. La duracion

de la renta es el tiempo que pasa entre el origen y el final de la misma.

El valor financiero o valor capital de una renta en un momento α es un

capital cuya cuantıa es la suma financiera de la renta (donde se debe utilizar alguna

ley financiera de valoracion). Para los capitales con vencimiento anterior a α se

utiliza alguna ley de capitalizacion y para los que tengan un vencimiento posterior

se utiliza alguna ley de descuento. Si los plazos son superiores a un ano se utilizan

las leyes compuestas.

Figura 2.2: Valoracion de una Renta

Hay dos casos particulares:

1. α = t0. En ese caso el valor capital se llama valor actual

2. α = tn. En ese caso el valor capital se llama valor final

2.1.2. Comparacion y propiedades de las rentas

Se dice que dos rentas R1 y R2 son equivalentes cuando, valoradas con la

misma ley financiera, se obtiene el mismo valor capital independientemente del mo-

mento de la valoracion:

76


R1 ∼ R2 ⇐⇒ V (1α = V (2

α ∀α

Propiedades de la valoracion de rentas

1. El valor capital es linealmente proporcional a las cuantıas:

Si Cs = k1 · C ′s + k2 · C ′′

s =⇒ Vα = k1 · V (1α + k2 · V (2

α

Por lo tanto, con k2 = C ′′s = 0 se obtiene que si Cs = k1 · C ′

s =⇒ Vα = k1 · V (1α

y con k1 = k2 = 1 se obtiene que si Cs = C ′s + C ′′

s =⇒ Vα = V(1α + V

(2α .

2. Propiedad aditiva respecto al tiempo. El valor capital de una renta se puede

obtener como la suma de dos valores capitales en intervalos consecutivos.

Si [t0, tn] = [t0, ts] + (ts, tn] =⇒ Vα = V sα + V n−s

α

3. Sustitucion de una renta por otra equivalente con menor numero de terminos.

2.1.3. Clasificacion de las rentas

Por las cuantıas de los capitales

Se distinguen dos tipos de rentas, constantes si C1 = C2 = ... = Cn = C

y variables en caso contrario. Las variables pueden seguir alguna ley de formacion

(aritmetica o geometrica)

Por la duracion

Se distinguen dos tipos de rentas, temporales si la duracion es finita [t0, t1] y

perpetuas si la duracion es inifinita

77

2.1. LECCION 6 - RENTAS - VALORACION: INTRODUCCION

Por la amplitud de los periodos de maduracion

Se distinguen dos tipos de rentas, discretas cuando los periodos de madu-

racion son finitos (mensuales, trimestrales, anuales etc) y continuas cuando los

periodos son infinitesimales. En el caso de las discretas, si todos los periodos de

maduracion son iguales se llaman periodicas

Por el momento en que vencen los terminos de la renta

Se distinguen dos tipos de rentas, pospagables cuando los capitales vencen al

final de cada periodo y prepagables cuando lo hacen al principio de cada periodo.

Por el momento de valoracion

Se distingues tres tipos de rentas, inmediatas cuando el momento de valo-

racion esta dentro del intervalo α ∈ [t0, tn], diferidas cuando la renta se valora en

algun momento anterior al instante inicial α < t0 y anticipadas cuando se valora en

algun momento posterior al final α > tn

Por la aleatoriedad

Se distinguen dos tipos de rentas, ciertas cuando son conocidos con certeza

todos los elementos de la renta y aleatorias cuando no se conoce con certeza o el

valor de los capitales o los periodos origen y final de la renta pero se conoce la

funcion de distribucion.

78


2.2. Valoracion de Rentas: Constantes e Inmedia-

tas

2.2.1. Renta Temporal y Pospagable

Renta unitaria

Se paga una unidad monetaria al final de cada periodo durante n periodos.

La valoracion se puede hacer a traves de su valor actual o de su valor final.

Valor actual

Figura 2.3: Valor actual renta pospagable

Al final del primer periodo (en 1) se abona 1 unidad y su valor descontado

en el origen es 1 · (1 + i)−1. De nuevo al final del segundo periodo (en 2) se abona 1

u.m. cuyo valor descontado en el origen es 1 · (1+ i)−2 y si se repite el mismo calculo

para los n pagos se obtiene que el valor actual de la renta es:

an⌉i = 1 · (1 + i)−1 + 1 · (1 + i)−2 + · · ·+ 1 · (1 + i)−n

Que consiste en una suma de terminos en progresion geometrica de razon

(1 + i)−1. Al efectuar la suma1 se obtiene:

an⌉i = (1 + i)−1 · 1− (1 + i)−n

1− (1 + i)−1= (1 + i)−1 · 1− (1 + i)−n

i(1 + i)−1=

1− (1 + i)−n

i

Valor Final

1La suma de terminos en progresion geometrica con razon q es S = a+a·q+· · ·+a·qn−1 = a· 1−qn

1−q

79

2.2. VALORACION DE RENTAS: CONSTANTES E INMEDIATAS

Figura 2.4: Valor final renta pospagable

Para encontrar el valor final se deben capitalizar todos los pagos. Si el primer

pago se hace al final del primer periodo, entonces quedan n−1 periodos por delante

y el valor capitalizado de dicho pago sera 1 · (1 + i)n−1. Para el segundo pago, que

se hace al final del periodo 2, quedan n − 2 periodos hasta el final y por lo tanto

capitalizando dicho el valor sera 1·(1+i)n−2. El ultimo pago se hace al final del ultimo

periodo y por lo tanto quedan 0 periodos hasta el final siendo el valor capitalizado

del mismo igual a la unidad. Sumando todas las cuantıas capitalizadas se obtiene el

valor final de la renta:

Sn⌉i = 1 + 1 · (1 + i)1 + 1 · (1 + i)2 + · · ·+ 1 · (1 + i)n−1

Que, de nuevo, es una suma geometrica pero de razon 1 + i y por lo tanto la

suma es2

Sn⌉i =(1 + i)n − 1

i

Ejemplo

Una persona tiene derecho a percibir una renta unitaria anual (que se recibe

al final del ano) durante 10 anos. Si dicha renta se valora en capitalizacion compuesta

al 9% anual, encontrar el valor actual y final de dicha renta.

Al recibirse los pagos al final del ano, la renta es pospagable. Por lo tanto, el

valor actual toma la forma, con i = 0,09 y n = 10:

2Para obtener el valor de esta suma se parte de la anterior pero se multiplica denominador y

numerador por −1 obteniendose que S = a qn−1q−1 y sustituyendo q por (1+ i) se obtiene la expresion

para el valor final de la renta

80


a10⌉9% =1− (1 + i)−n

i=

1− (1 + 0,09)−10

0,09= 6,4176

El valor final toma la forma, con i = 0,09 y n = 10:

S10⌉9% =1− (1 + i)−n

i=

(1 + 0,09)−10 − 1

0,09= 15,1929

Ejercicio


al final del ano) durante 15 anos. Si dicha renta se valora en capitalizacion compuesta

al 8% anual, encontrar el valor actual y final de dicha renta.

Es importante notar que el valor actual y el valor final son dos capitales

equivalentes ya que miden lo mismo. Ademas conocido uno se puede obtener el otro:

(an⌉i, 0) ∼ (Sn⌉i, n) ⇒

Sn⌉i = (1 + i)n · an⌉i

an⌉i = (1 + i)−n · Sn⌉i

Ejemplo

Sabiendo que el valor actual de una renta unitaria anual pospagable valorada

en capitalizacion compuesta al 9% durante 10 anos es 6.4176, encontrar el valor

81


final.

Como hemos visto antes, para encontrar el valor final a partir del valor inicial

se debe capitalizar dicha renta:

S10⌉9% = (1 + i)n · a10⌉9% = (1 + 0,09)10 · 6,4176 = 2,3673 · 6,4176 = 15,1928

Renta constante

Si en vez de pagar una renta unitaria (1 u.m.) se abona una cuantıa constante

C para todos los periodos, entonces el valor actual de la renta sera:

V0 = C · (1 + i)−1 + C · (1 + i)−2 + · · ·+ C · (1 + i)−n

y sacando factor comun C es facil ver que

V0 = C · an⌉i

De forma analoga, el valor final de la renta sera

Vn = C · Sn⌉i

Ejemplo

Una persona tiene derecho a percibir una renta de 10000 euros anuales (que

se reciben al final del ano) durante 10 anos. Si dicha renta se valora en capitalizacion

compuesta al 9% anual, encontrar el valor actual y final de dicha renta.

Como ya se ha calculado el valor actual y final de la renta unitaria, para en-

contrar el valor de esta renta solamente hay que multiplicar por la cuantıa constante

C = 10000. Ası,

V0 = C · a10⌉9% = 10000 · 6,4176 = 64176, 58

82


y lo mismo para el valor final de la renta:

Vn = C · S10⌉9% = 10000 · 15,1929 = 151929, 30

Ejercicio

Una persona tiene derecho a percibir una renta de 500 euros al final de cada

ano durante 12 anos. Si dicha renta se valora en capitalizacion compuesta al 9%

anual, encontrar el valor actual y final de dicha renta.

2.2.2. Renta Perpetua y Pospagable

El esquema grafico de la renta perpetua es igual al de la renta temporal pero

se alarga hasta el infinito. Por eso el valor actual de esta renta es:

a∞⌉i = 1 · (1 + i)−1 + 1 · (1 + i)−2 + · · ·+ 1 · (1 + i)−n + · · · = (1 + i)−1

1− (1 + i)−1=

1

i

Donde se ha utilizado la propiedad matematica que dice que una suma

geometrica infinita de razon r, si tiene suma, la suma vale r1−r

.

Otra manera de obtenerla es a partir de la renta temporal y llevarla al infinito

(n → ∞):

83


a∞⌉i = lımn→∞

an⌉i = lımn→∞

1− (1 + i)−n

i=

1

i

Y por lo tanto 1ies el capital que habrıa que entregar en el instante 0, para

cobrar una unidad monetaria al final de cada periodo de forma indefinida.

Si en vez de ser unitaria, la renta es de cuantıa C constante, el valor actual

sera:

V0 = C · a∞⌉i =C

i

Ejemplo

¿Cuanto vale un premio que promete pagar de forma indefinida 100 euros al

final de cada ano si el tipo de interes es un 5% y si el tipo es un 10%?

Como lo paga al final de cada ano se trata de una renta pospagable y como

es de forma indefinida es una renta perpetua. Por lo tanto, el valor actual de dicha

renta es, si el tipo es el 5%:

V0 =C

i=

100

0,05= 2000

y si el tipo es el 10%:

V0 =C

i=

100

0,10= 1000

Ejercicio

Le ha tocado un premio en el cual le abonaran al final de cada ano 1500 euros

para toda la vida. Si considera que el tipo de interes permanecera en el 0.5% ¿en

cuanto puede valorar hoy dicho premio?

84


2.2.3. Renta Temporal y Prepagable

Renta unitaria

En el caso de la renta prepagable, cada u.m. vence al principio del periodo.

Figura 2.5: Valor actual renta prepagable

El valor actual de dicha renta, que se denota a∞⌉i, se obtiene sumando las

cuantıas descontadas al instante 0:

an⌉i = 1 + 1 · (1 + i)−1 + 1 · (1 + i)−2 + · · ·+ 1 · (1 + i)−(n−1) =1− (1 + i)−n

1− (1 + i)−1

Que consiste en una suma geometrica de razon (1 + i)−1. Simplificando el

cociente se obtiene que:

an⌉i = (1 + i) · 1− (1 + i)−n

i= (1 + i) · an⌉i

donde se puede ver la relacion entre una renta prepagable y otra pospagable.

85


Figura 2.6: Valor final renta prepagable

El valor final, que se denota por ¨Sn⌉i se obtiene como:

Sn⌉i = (1 + i) + (1 + i)2 + · · ·+ (1 + i)n = (1 + i) · (1 + i)n − 1

i

y, de nuevo:

Sn⌉i = (1 + i)Sn⌉i

Y por lo tanto, si se tiene el valor (actual o final) de una renta pospagable,

se puede obtener el valor de la misma renta prepagable y viceversa.

Ejemplo


al principio del ano) durante 10 anos. Si dicha renta se valora en capitalizacion


Al recibirse los pagos al principio del ano, la renta es prepagable. Por lo tanto,

el valor actual toma la forma, con i = 0,09 y n = 10:

a10⌉9% =1− (1 + i)−n

1− (1 + i)−1=

1− (1 + 0,09)−10

1− (1 + 0,09)−1=

1− 0,4224

1− 0,9174= 6,9952

Ademas, sabiendo que la renta pospagable toma el valor 6.4176, se puede

obtener el valor de la renta prepagable utilizando dicho valor:

a10⌉9% = (1 + i) · a10⌉9% = (1 + 0,09) · 6,4176 = 1,09 · 6,4176 = 6,9952

86


Por otro lado, el valor final de la renta prepagable toma la forma, con i = 0,09

y n = 10:

S10⌉9% = (1 + i) · (1 + i)n − 1

i= (1 + 0,09) · (1 + 0,09)10− 1

0,09= 16,5603

y, al igual que ocurrıa con el valor actual, el valor final de una renta prepagable

se puede obtener tambien a partir de la renta pospagable (En este caso la renta

pospagable toma el valor 15.1929):

S10⌉9% = (1 + 0,09)S10⌉9% = (1,09) · 15,1929 = 16,5602

Ejercicio


al principio del ano) durante 12 anos. Si dicha renta se valora en capitalizacion


Renta constante

Si en las formulas de los valores actuales y finales de las rentas prepagables

se sustituye la unidad monetaria por una cantidad constante C (cuantıa) se obtiene

87


los valores actuales y finales siguientes:

V0 = C · an⌉i

Vn = C · Sn⌉i

2.2.4. Renta Perpetua y Prepagable

Si la renta es unitaria, prepagable y perpetua, es decir, que paga una unidad

monetaria al final de cada vencimiento de forma indefinida, su valor actual es:

a∞⌉i = 1 + 1 · (1 + i)−1 + 1 · (1 + i)−2 + · · ·+ 1 · (1 + i)−(n−1) + · · · = 1

1− (1 + i)−1

y operando

a∞⌉i =1 + i

i

si en vez de pagos unitarios, la renta es de cuantıa constante C, entonces el

valor actual es

V0 = C · a∞⌉i =C · (1 + i)

i

Ejemplo

¿Cuanto vale un premio que promete pagar de forma indefinida 100 euros al

principio de cada ano si el tipo de interes es un 5% y si el tipo es un 10%?

Como lo paga al principio de cada ano se trata de una renta prepagable y

como es de forma indefinida es una renta perpetua. Por lo tanto, el valor actual de

dicha renta es, si el tipo es el 5%:

88


V0 =C

i=

100 · (1 + 0,05)

0,05= 2100

y si el tipo es el 10%:

V0 =C

i=

100 · (1 + 0,10)

0,10= 1100

Ejercicio

Le ha tocado un premio en el cual le abonaran al principio de cada ano 1500

euros para toda la vida. Si considera que el tipo de interes permanecera en el 0.5%

¿en cuanto puede valorar hoy dicho premio?

2.3. Leccion 7 - Rentas - Valoracion (Continua-

cion)

2.3.1. Valoracion de Rentas: Constantes y Diferidas

Renta Temporal y Pospagable

En este caso, el origen de la renta es un momento d distinto al instante 0,

por lo que el diferimiento se produce desde 0 hasta d. En d+1 se produce el primer

89

2.3. LECCION 7 - RENTAS - VALORACION (CONTINUACION)

pago y el ultimo en d+ n (grafico 2.7).

Figura 2.7: Valor final renta diferida pospagable

El valor actual, que se denota por d/an⌉i se obtiene sumando los capitales

unitarios en el momento 0. Otra forma de encontrar el valor, es a partir del valor de

la renta en d y trasladarla a 0 (multiplicando por (1 + i)−d):

d/an⌉i = (1 + i)−d · an⌉i

El valor final de la renta no se ve modificado por el diferimiento.

Si en vez de pagar una cantidad unitaria, en cada momento del tiempo se

paga una cuantıa constante C, el valor actual se obtiene como:

V0 = C ·d /an⌉i = C · (1 + i)−d · an⌉i

Ejemplo

Obtener el valor actual de una renta que promete pagar 5000 euros al final

de cada ano a partir del cuarto ano y durante 10 anos, si se utiliza el tipo del 10%.

En este caso es una renta pospagable (ya que las cuantıas se abonan al final

de cada ano), de cuantıa constante y con un diferimiento de 4 anos. Por lo tanto el

valor actual de la renta se obtendra a partir del valor de la renta en d para luego

encontrar el valor en 0. El valor en d es:

a10⌉10 =1− (1 + i)−n

i=

1− (1 + 0,1)−10

0,1= 6,1445

90


Ahora, a partir del valor de la renta en d encontramos el valor de la renta en

0:

4/a10⌉10 = (1 + i)−d · a10⌉10 = (1 + 0,1)−4 · 6,1445 = 4,1968

Ahora, a partir de la renta unitaria, se obtiene el valor de la renta de cuantıa

C multiplicando por dicha cuantıa:

V0 = C·4/a10⌉10 = C·(1+i)−d·a10⌉10 = 5000·4,1968 = 5000·(1+0,1)−4·6,1445 = 20984,11

Ejercicio

Su companero de clase le pide hoy 100 euros y le dice que le va a devolver el

dinero de la forma siguiente: Durante tres anos no le pagara nada y desde el final

del cuarto ano le pagara 30 euros al final de cada ano durante 4 anos. Si usted

piensa que el tipo de interes en los proximos anos sera el 1%, ¿Cree que el cambio

sera justo?

91


Renta Perpetua y Pospagable

En este caso los pagos no acaban en d + n sino que continuan de forma

indefinida. El valor actual de dicha renta se puede calcular de tres formas distintas:

1. A partir de la suma de todos los capitales llevados al instante 0:

d/a∞⌉i = 1·(1+i)−(d+1)+1·(1+i)−(d+2)+· · · = (1+i)−d[(1 + i)−1 + (1 + i)−2 + · · ·

]El termino del corchete es justamente la suma infinita vista en el caso de l

renta perpetua, pospagable pero inmediata y cuya suma vale 1iy por lo tanto

d/a∞⌉i =(1 + i)−d

i

2. Como lımite de la renta temporal

d/a∞⌉i = lımn → ∞(1 + i)−d · an⌉i =(1 + i)−d

i

3. A partir del traslado de la renta permanente en el instante d (a∞⌉i) al instante

0 (d/a∞⌉i = (1 + i)−da∞⌉i)

Por ultimo, si la renta no es unitaria sino que paga una cuantıa constante C

entonces el valor de la renta permanente es:

V0 = C ·d /a∞⌉i =C · (1 + i)−d

i

Ejemplo

Obtener el valor actual de una renta que promete pagar 5000 euros al principio

de cada ano a partir del cuarto ano y de forma indefinida, si se utiliza el tipo del

10%.

92


En este caso es una renta pospagable (ya que las cuantıas se abonan al prin-

cipio de cada ano), de cuantıa constante y con un diferimiento de 4 anos. Ademas

es una renta permanente ya que el pago de las cuantıas se produce de forma indefi-

nida. Una de las formas para obtener el valor actual de la renta es valorar la renta

indefinida en el instante d y valorarla despues en 0. El valor de la renta permanente

en d es:

a∞⌉10 =1

i=

1

0,1= 10

y ahora, multiplicando por (1 + i)−d se encuentra el valor de dicha renta en

d:

d/a∞⌉10 = (1 + 0,1)−4 · 1

0,1= 0,6830 · 10 = 6,830

Y por ultimo, se multiplica por C para tener la renta de cuantıa C = 5000:

V0 = 5000 ·d /a∞⌉10 = 5000 · 6,830 = 34150,67

Ejercicio



del cuarto ano y de forma indefinida le pagara 2 euros al final de cada ano. Si usted


sera justo?

93


Renta Temporal y Prepagable

En este caso los capitales se pagan al principio del periodo pero existiendo

un diferimiento entre 0 y el periodo d. Por lo tanto, el primer pago se hace en d.

Figura 2.8: Valor final renta diferida prepagable

El valor actual se puede obtener como la suma de todos los capitales trasla-

dados al isntante 0 o como el valor actual en 0 de la renta sin diferimiento

d/an⌉i = (1 + i)−d · an⌉i

y finalmente, a partir de la relacion entre la renta pospagable y prepagable3

se obtiene que

d/an⌉i = (1 + i)−d+1 · an⌉i

Si en vez de ser una renta unitaria, es una renta constante de cuantıa C,

entonces el valor actual es:

V0 = C ·d /an⌉i = C · (1 + i)−d+1 · an⌉i = C · (1 + i)−d+1 · an⌉i

3Como recordatorio an⌉i = (1 + i)−1an⌉i

94


Ejemplo

Obtener el valor actual de una renta que promete pagar 5000 euros al principio

de cada ano a partir del cuarto ano y durante 10 anos, si se utiliza el tipo del 10%.

En este caso es una renta prepagable (ya que las cuantıas se abonan al prin-

cipio de cada ano), de cuantıa constante y con un diferimiento de 4 anos. Por lo

tanto el valor actual de la renta se obtendra a partir del valor de la renta en d para

luego encontrar el valor en 0. El valor en d es:

a10⌉10 =1− (1 + i)−n

1− (1 + i)−1=

1− (1 + 0,1)−10

1− (1 + 0,1)−1= 6,7590

Ahora, a partir del valor de la renta en d encontramos el valor de la renta en

0:

4/a10⌉10 = (1 + i)−d · a10⌉10 = (1 + 0,1)−4 · 6,7590 = 4,6165

Ahora, a partir de la renta unitaria, se obtiene el valor de la renta de cuantıa

C multiplicando por dicha cuantıa:

V0 = C·4/a10⌉10 = C·(1+i)−d·a10⌉10 = C·(1+0,1)−4·6,7590 = 5000·4,6165 = 23082,52

Tambien se puede resolver el ejercicio a partir de la relacion entre la renta

diferida pospagable y la renta diferida prepagable. Ası, sabiendo que:

a10⌉10 = (1 + i) · a10⌉10

y sustituyendo en la expresion para la renta diferida y prepagable:

4/a10⌉10 = (1 + i)−d · (1 + i) · a10⌉10 = (1 + i)−d+1 · a10⌉10

y como se ha visto antes a10⌉10 = 6,1445 por lo que

95


4/a10⌉10 = (1 + i)−d+1 · a10⌉10 = (1 + 0,1)−4+1 · 6,1445 = 4,6165

Y, finalmente multiplicando por C se obtiene la renta pedida en el ejercicio:

V0 = 5000 · 4,6165 = 23082,52

Ejercicio



del cuarto ano le pagara 30 euros al principio de cada ano durante 4 anos. Si usted


sera justo?

Renta Perpetua y Prepagable

De forma analoga a la renta pospagable, se obtiene la renta permanente

prepagable como:

d/a∞⌉i = (1 + i)−d · a∞⌉i =(1 + i)−d+1

i

96


y si la cuantıa es constante:

V0 = C ·d /a∞⌉i = C · (1 + i)−d · a∞⌉i =C · (1 + i)−d+1

i

Ejercicio



del cuarto ano y de forma indefinida le pagara 2 euros al principio de cada ano. Si

usted piensa que el tipo de interes en los proximos anos sera el 1%, ¿Cree que el

cambio sera justo?

2.3.2. Valoracion de Rentas: Constantes y Anticipadas

En estos casos la renta finaliza en el periodo n pero se valora en un instante

posterior n + k por lo que la renta esta anticipada k periodos en el momento de la

valoracion.

El valor actual de dichas rentas no se ve afectado ya que en el momento 0 la

renta es inmediata. Ademas no pueden existir rentas perpetuas y anticipadas ya que

dichas rentas no terminan nunca y por lo tanto no se pueden valorar en un instante

posterior al de su finalizacion.

El problema radica en encontrar el valor final, que dependera de si la renta

97


es pospagable o prepagable.

Renta pospagable

Figura 2.9: Valor final renta anticipada y pospagable

El valor final en este tipo de rentas se denota por k/Sn⌉i y se obtiene de dos

formas:

1. trasladando todas las cuantıas al instante n+ k.

2. trasladando el valor final de la renta en n (ya calculado en apartados anteriores)

y trasladar dicho valor a n + k multiplicando por el factor de capitalizacion

(1 + i)k:

k/Sn⌉i = (1 + i)k · Sn⌉i

Si la renta es de cuantıa constante C entonces el valor final sera

Vn+k = C · k/Sn⌉i = C · (1 + i)k · Sn⌉i

Ejemplo

Valore un Bono que se compro hace 15 anos, que paga unas cuantıas anuales

de 1000 euros al final de cada ano durante 10 anos si el tipo de interes para su

valoracion es el 8%.

Como el bono tiene una duracion de 10 anos y se valora 5 anos despues,

se trata de una renta anticipada. Para su valoracion, se puede encontrar el valor

98


del bono a los 10 anos a traves de la expresion para la valoracion de una renta

pospagable y luego valorarla cinco anos despues. Ası, el valor de la renta a los 10

anos sera:

V10 = C · S10⌉8 = 1000 · (1 + 0,08)10 − 1

0,08= 1000 · 14,4865 = 14486,56

Y, para encontrar el valor final del bono, se debe llevar el valor de la renta

V10 5 anos adelante:

V10+5 = 1000 · 5/S10⌉8 = 1000 · (1 + 0,08)5 · Sn⌉i = 1000 · 1,4693 · 14,4865 = 21285,51

Ejercicio

Hace 5 anos constituyo un deposito en un Banco donde se debıan aportar 250

euros al final de cada ano durante 3 anos. Si el tipo de interes es el 5%, ¿cual es el

valor hoy de dicho deposito?

Renta prepagable

En este caso, como los capitales se pagan al principio del periodo, el ultimo

capital se paga en n− 1.

99


Figura 2.10: Valor final renta anticipada y prepagable

De nuevo, se puede valorar la renta sumando todos los capitales una vez

trasladados a n + k o trasladando el valor de la renta en n a n + k. En ese caso, y

denotando el valor de la renta por k/Sn⌉i:

k/Sn⌉i = (1 + i)k · Sn⌉i

y a partir de la relacion entre el valor final de una renta pospagable y prepa-

gable4 se obtiene que:

k/Sn⌉i = (1 + i)k+1 · Sn⌉i

Si la renta es de cuantıa constante C entonces el valor final sera

¨Vn+k = C ·k /Sn⌉i = C · (1 + i)k · Sn⌉i = ·(1 + i)k+1 · Sn⌉i

Ejemplo

Valore un Bono que se compro hace 15 anos, que paga unas cuantıas anuales

de 1000 euros al principio de cada ano durante 10 anos si el tipo de interes para su

valoracion es el 8%.

Como el bono tiene una duracion de 10 anos y se valora 5 anos despues, se

trata de una renta anticipada. Para su valoracion, se puede encontrar el valor del

bono a los 10 anos a traves de la expresion para la valoracion de una renta prepagable

(ya que las cuantıas se abonan al principio de cada ano) y luego valorarla cinco anos

4A modo de recordatorio Sn⌉i = (1 + i) · Sn⌉i

100


despues. Ademas, se puede obtener el valor de la renta prepagable a partir de su

expresion o a partir de la renta pospagable. Ası, una vez obtenido S10⌉0,08 en el

apartado anterior, la renta prepagable se obtiene como:

S10⌉0,08 = (1 + 0,08)S10⌉0,08 = (1,08) · 14,4865 = 15,6455

Ası, el valor de la renta a los 10 anos sera:

V10 = 1000 · S10⌉8 = 1000 · 15,6455 = 1000 · 14,4865 = 15645,49

Y, para encontrar el valor final del bono, se debe llevar el valor de la renta

V10 5 anos adelante:

V10+5 = 1000 ·5/S10⌉8 = 1000 ·(1+0,08)5 ·S10⌉0,08 = 1000 ·1,4693 ·15,6455 = 22988,35

Ejercicio

Hace 5 anos constituyo un deposito en un Banco donde se debıan aportar 250

euros al principio de cada ano durante 3 anos. Si el tipo de interes es el 5%, ¿cual

es el valor hoy de dicho deposito?

101


2.3.3. Valoracion de Rentas: Rentas Fraccionadas

Se dice que una renta es fraccionada cuando se divide cada cuantıa y cada pe-

riodo en m partes iguales y en cada periodo de tiempo de amplitud 1mle corresponde

un capital de cuantıa CS

m5

Renta temporal y pospagable

En cada periodo de tiempo, la distribucion de los capitales es identica y por lo

tanto se puede sustituir por un capital equivalente a los m capitales en cada periodo.

De esta forma pasamos de una renta fraccionada a una que no lo esta.

Figura 2.11: Valor final renta fraccionada

Si pensamos en la renta unitaria, en cada periodo hay m cuantıas y por tanto

al final del periodo se puede encontrar el valor final de la renta compuesta de las

m cuantıas que sera Sm⌉im es decir, el valor final de una renta pospagable con m

periodos y con un tipo en cada periodo de im. Como la cuantıa no es unitaria sino

que toma el valor 1m

entonces el valor final de la renta en cada periodo es:

1

m· Sm⌉im

Por otro lado, utilizando la expresion para el valor final de una renta pospa-

5Es importante tener claro las relaciones entre los tantos efectivo (i), tantos nominal de frecuen-

cia m (jm) y redito asocidado a subperiodos de amplitud 1m . Dicha relacion es 1+ i = (1+ im)m =(

1 + jmm

)m102


gable se obtiene que:

Sm⌉im =(1 + im)

m − 1

im

y teniendo en cuenta la relacion de los tipos anuales y el redito de frecuencia

m, i = (1 + im)m − 1 y im = jm ·m se obtiene que:

1

m· Sm⌉im =

1

m· (1 + im)

m − 1

im=

i

jm

De tal forma que en cada periodo el capital que se abona es ijm

y por lo tanto,

utilizando la valoracion de las rentas pospagables no fraccionadas se obtiene el valor

de las fraccionadas, que se denotan por a(m)n⌉i y S

(m)n⌉i simplemente multiplicando por

la cuantıa anual C = ijm:

a(m)n⌉i =

i

jm· an⌉i

S(m)n⌉i =

i

jm· Sn⌉i

Siendo el operador ijm

el que permite pasar de una renta fraccionada a una

que no lo esta.

Si la renta es constante, en cada momento 1m

el capital es Cm. El valor de las

m cuantıas al final del periodo se obtienen como:

C

m· Sm⌉im =

C

m· (1 + im)

m − 1

im=

C

m· i

im= C · i

jm

y por lo tanto los valores actual final son

V(m)0 = C · a(m)

n⌉i = C · i

jm· an⌉i

V (m)n = C · S(m)

n⌉i = C · i

jm· Sn⌉i

103


Es importante darse cuenta que la cuantıa que aparece en el calculo es la

cuantıa anual y por lo tanto si tenemos la cuantıa de frecuencia m (Cm), habra que

multiplicarla por m, C = m · Cm.

Ejemplo

Obtener el valor actual de una renta fraccionada de cuantıa trimestral 300

euros, pospagable y que se alarga durante 10 periodos, sabiendo que se valora a un

tanto efectivo anual del 12%.

Para encontrar tanto el valor actual como el final es necesario encontrar

previamente el tanto nominal de frecuencia 4, que en ese caso toma el valor

j4 = 4 · (1,1214 − 1) = 0,1149

Posteriormente se encuentra el valor actual de la renta fraccionada unitaria:

a(4)10⌉12 =

i

jm· an⌉i

Para lo cual hace falta calcular la renta pospagable no fraccionada:

an⌉i =1− (1 + i)−n

i=

1− (1 + 0,12)−10

0,12= 5,6502

Y sustituyendo en la expresion de la renta fraccionada se obtiene que:

a(4)10⌉12 =

i

jm· an⌉i =

0,12

0,1149· 5,6502 = 5,9010

Finalmente, para obtener el valor actual de la renta de cuantıa trimestral 300

euros, con C = 4 · 300 = 1200 se obtiene que

V(12)0 = C · a(4)

10⌉12 = 1200 · 5,9010 = 7081,2

104


Ejercicio

Obtener el valor actual y valor final de una renta fraccionada cuya cuantıa es

300 euros mensuales pospagables sabiendo que se valora a un tanto efectivo anual

del 8%. La duracion de esta renta son 7 periodos.

Existe otra forma de valorar las rentas fraccionadas. Este segundo metodo

consiste en valorarlas como no fraccionadas pero tomando como medida del tiempo

un emesimo periodo (pensar en meses, trimestres, etc). En ese caso, el numero de

periodos consiste en el numero de anos multiplicado por el numero de periodos al

ano n ·m, el tipo de interes sera el redito de frecuencia m y la cuantıa sera Cm. Ası,

se obtienen los valores actuales y finales de una renta de n ·m como:

V0 =C

m· an·m⌉im

o tambien con Cm = Cm:

105


V0 = Cm · an·m⌉im

y

Vn =C

m· Sn·m⌉im

o tambien

Vn = Cm · Sn·m⌉im

logicamente, la valoracion de las rentas debe ser la misma, por lo que se

cumple que:

C · a(m)n⌉i = Cm · an·m⌉im

Ejemplo

Obtener, con el metodo anterior, el valor actual de una renta fraccionada

de cuantıa trimestral 300 euros, pospagable y que se alarga durante 10 periodos,

sabiendo que se valora a un tanto efectivo anual del 12%.

En este caso se encontrara el valor actual de la renta fraccionada como si

no fuera fraccionada. Para ello sera necesario encontrar el redito trimestral. Para

encontrar el redito mensual se puede partir del tanto nominal de frecuencia trimestral

obtenido anteriormente:

j4 = 4 · (1,1214 − 1) = 0,1149

i4 =j44

=0,1149

4= 0,0288

Ahora, sabiendo que el numero de periodos es n ·m = 10 · 4 = 40, el valor de

la renta es

106


an·m⌉im =

[1− (1 + im)

−(n+m)

im

]=

[1− (1 + 0,0288)−40

0,0288

]= 23,604

Finalmente, para obtener el valor actual de la renta, se debe multiplicar por

la cuantıa trimestral (300 euros):

V(12)0 = Cm · a40⌉i4 = 300 · 23,604 = 7081,2

Ejercicio

Obtener, por el metodo anterior, el valor actual y valor final de una renta

fraccionada cuya cuantıa es 300 euros mensuales pospagables sabiendo que se valora

a un tanto efectivo anual del 8%. La duracion de esta renta son 7 periodos.

107


Renta perpetua y pospagable

El valor actual de la renta perpetua se puede obtener como lımite de la renta

temporal, ası:

a(m)∞⌉i = lım

n→∞a(m)n⌉i = lım

n→∞

i

jm· an⌉i =

i

jm· lımn→∞

an⌉i =i

jm· 1i

y por lo tanto

a(m)∞⌉i =

1

jm

y si la cuantıa es constante C:

V(m)0 = C · a(m)

∞⌉i =C

jm

Ejemplo

Obtener el valor actual de una renta fraccionada de cuantıas trimestrales

unitarias perpetuas y pospagables sabiendo que se valora a un tanto efectivo anual

del 12%.

Como se ha visto anteriormente el valor actual de la renta perpetua toma la

forma

a(m)∞⌉i =

1

jm

donde, para su valoracion, se necesita jm. Como hemos visto en el apartado

anterior, j4 = 4 · (1,12 14 − 1) = 0,1149 y por lo tanto:

a(4)∞⌉12 =

1

0,1149= 8,7032

Ejercicio

108


Obtener el valor actual de una renta fraccionada indefinida cuya cuantıa es

300 euros mensuales pospagables sabiendo que se valora a un tanto efectivo anual

del 8%.

Renta temporal y prepagable

De nuevo, para cada periodo se construye una renta equivalente no frac-

cionada y pospagable desplazando todas las cuantıas 1m

un periodo a la derecha

multiplicandolas por (1 + i)1m = 1+ im y ası la cuantıa de la renta pospagable y no

fraccionada es:

(1 + i)1m · 1

m

y los valores actuales y finales se obtienen a partir de la valoracion de la renta

temporal pospagable no fraccionada:

a(m)n⌉i = (1 + i)

1m · a(m)

n⌉i = (1 + i)1m · i

jm· an⌉i

S(m)

n⌉i = (1 + i)1m · S(m)

n⌉i = (1 + i)1m · i

jm· Sn⌉i

De nuevo, es importante observar que el operador que permite pasar de una

renta prepagable y fraccionada a una renta pospagable y fraccionada es (1 + i)1m

109


Cuando la cuantıa es constante, Cm

en cada subperiodo, los valores actual y

final son:

¨V

(m)0 = C · a(m)

n⌉i

¨V

(m)n = C · S(m)

n⌉i

Ejemplo

Obtener el valor actual de una renta fraccionada de cuantıas mensuales pre-

pagables, de duracion 10 anos, sabiendo que se valora a un tanto efectivo anual del

12%.

Para encontrar el valor de la renta fraccionada prepagable se necesita el valor

de la renta no fraccionada y pospagable. Ası, en primer lugar se obtiene

an⌉i =1− (1 + i)−n

i=

1− (1 + 0,12)−10

0,12= 5,6502

Para encontrar la renta fraccionada pospagable se multiplica la cantidad an-

terior por ijm, por lo que, previamente, se debe encontrar j12:

j12 = 12 · (1,12112 − 1) = 0,1139

Ahora, la renta fraccionada pospagable es:

a(m)n⌉i =

i

jm· an⌉i =

0,12

0,1139· 5,6502 = 5,9546

Y por ultimo, la renta prepagable se encuentra a partir de la pospagable a

multiplicando por (1 + i)1m :

a(m)n⌉i = (1 + i)

1m · a(m)

n⌉i = (1 + 0,12)112 · 5,9546 = 1,009 · 5,9546 = 6,0111

110


Ejercicio

Obtener el valor actual y valor final de una renta fraccionada cuya cuantıa es

300 euros mensuales prepagables sabiendo que se valora a un tanto efectivo anual

del 8%. La duracion de esta renta son 7 periodos.

Renta perpetua y prepagable

De nuevo, la renta perpetua se obtiene como lımite de la temporal. Por lo

tanto:

a(m)∞⌉i = lım

n→∞a(m)n⌉i = (1 + i)

1m · i

jm· lımn→∞

an⌉i =(1 + i)

1m

jm

y si la cuantıa es constante

¨V

(m)0 = C · a(m)

∞⌉i =C · (1 + i)

1m

jm

Ejercicio

111


Obtener el valor actual de una renta fraccionada indefinida cuya cuantıa es

300 euros mensuales prepagables sabiendo que se valora a un tanto efectivo anual

del 8%.

Rentas Fraccionadas, Diferidas y Anticipadas

Para valorar las rentas fraccionadas diferidas, se obtiene el valor de la renta

sin tener en cuenta el diferimiento y luego se aplica el operador para las rentas

diferidas, (1 + i)−d. De la misma forma, si se quiere valorar una renta fraccionada

anticipada, se valora la renta sin tener en cuenta los anos anticipados y luego se

aplica el operador de las rentas anticipadas, (1 + i)k.

Ejemplo

Obtener el valor actual de una renta fraccionada de cuantıas mensuales pre-

pagables, diferida 3 anos, sabiendo que se valora a un tanto efectivo anual del 12%.

En el ejemplo anterior se ha calculado la renta anterior para el caso en el que

no hay diferimiento:

a(m)n⌉i = (1 + i)

1m · a(m)

n⌉i = 6,0111

Para encontrar la renta diferida, tan solo hay que multiplicar por (1 + i)−d

112


d/a(m)n⌉i = (1 + i)−da

(m)n⌉i

y en este ejercicio

3/a(m)n⌉i = (1 + i)−3 · 6,0111 = 0,7118 · 6,0111 = 4,2786

Ejercicio

Obtener el valor actual de una renta fraccionada cuya cuantıa es 300 euros

mensuales pospagables diferida 4 periodos, sabiendo que se valora a un tanto efectivo

anual del 8%. La duracion de esta renta son 7 periodos.

2.4. Leccion 8 - Valoracion de Rentas - Variables

2.4.1. Caso General

En este tipo de rentas los terminos son distintos entre sı y no tienen porque

seguir ningun tipo de ley conocida, es decir:

C1 = C2 = · · · = Cs = · · · = Cn

Rentas pospagables

113

2.4. LECCION 8 - VALORACION DE RENTAS - VARIABLES

El valor actual es la suma de todos los capitales pero llevados al instante 0:

V0 = C1 · (1 + i)−1 + C2 · (1 + i)−2 + · · ·+ Cn · (1 + i)−n =n∑

s=1

Cs · (1 + i)−s

El valor final es la suma de todos los capitales pero llevados al instante n:

Vn = C1 · (1 + i)n−1 + C2 · (1 + i)n−2 + · · ·+ Cn =n∑

s=1

Cs · (1 + i)n−s

Figura 2.12: Rentas Variables

Estas expresiones no pueden simplificarse ya que no hay ninguna relacion

matematica entre los terminos de la renta. Para obtener el valor de la renta se

deben calcular los valores actuales o finales de cada termino y sumarse.

Ejemplo

Suponga una renta que promete pagar 1000 euros al finalizar el primer ano,

500 euros al finalizar el segundo y 1200 al finalizar el tercero. ¿Cuanto vale hoy esa

renta si utiliza como tipo de valoracion el 5% compuesto?

El valor actual de la renta en este caso toma la forma:

V0 = 1000 · (1 + 0,05)−1 + 500 · (1 + 0,05)−2 + 1200 · (1 + 0,05)−3 =

1000 · 0,952 + 500 · 0,907 + 1200 · 0,864 = 952,38 + 453,51 + 1036,61 = 2442,50

Y por lo tanto la renta vale hoy 2442.50 euros.

Ejercicio

114


Valore una renta que promete pagar 500 euros al finalizar el primer ano, 1000

euros al finalizar el segundo y tercer periodo y 1200 al finalizar el cuarto. (Se utiliza

como tipo de valoracion el 4% compuesto)

Rentas prepagables

En este caso cada capital que se paga al inicio del periodo se lleva al final

multiplicando por (1+i) y por lo tanto al final del primer periodo se paga (1+i) ·C1,

al final del segundo (1 + i) · C2 y ası sucesivamente y por lo tanto el valor actual y

final de la renta prepagable se obtiene en funcion de la pospagable ya que se puede

sacar factor comun de todos los capitales (1 + i):

V0 = (1 + i) · V0

Vn = (1 + i) · Vn

Ejercicio

Valore una renta que promete pagar 500 euros al inicio del primer ano, 1000

euros al inicio del segundo y del tercer periodo y 1200 al inicio del cuarto. (Se utiliza

como tipo de valoracion el 4% compuesto)

115


Rentas diferidas

En este caso se valora la renta en el instante d y por lo tanto se utiliza la

expresion de la renta inmediata visto anteriormente (Vd) y se traslada el valor al

instante 0 y por lo tanto se tiene que:

V0 = (1 + i)−d · Vd

Y lo mismo con la renta prepagable

V0 = (1 + i)−d · Vd

Ejercicio

Valore una renta que promete pagar 500 euros al finalizar el tercer ano, 1000

euros al finalizar el cuarto y quinto periodo y 1200 al finalizar el sexto periodo. (Se

utiliza como tipo de valoracion el 4% compuesto)

116


Rentas anticipadas

Se valoran las rentas en el instante n y se trasladan al momento n + k mul-

tiplicando por (1 + i)k. Ası, para las rentas pospagables:

Vn+k = (1 + i)k · Vn

Y para las rentas prepagables

¨Vn+k = (1 + i)k · Vn

Rentas fraccionadas

En este caso cada cuantıa se divide en m partes y por lo tanto en el primer

periodo se abona en cada uno de los m subperiodos C1

m, en el segundo periodo se

abona en cada uno de los m subperiodos C2

my ası sucesivamente hasta el periodo n

en donde se abona en cada uno de los subperiodos Cn

m.

Se sigue la estrategia vista en la leccion anterior de sustituir la renta de cada

periodo (suma de los m capitales) por otra equivalente al final del periodo y por

lo tanto pasamos de una renta fraccionada a una que no lo es. Siguiendo la misma

expresion para cada Cs se obtiene que:

Cs

m· Sm⌉im =

Cs

m· (1 + im)

m − 1

im= Cs ·

i

jm

y por lo tanto se observa que la diferencia entre una renta fraccionada y otra

que no lo esta es el factor ijm. Por lo tanto se puede obtener el valor de la renta

fraccionada como:

el valor actual

V(m)0 =

i

jm· V0

117


y el valor final

V (m)n =

i

jm· Vn

y teniendo en cuenta la relacion entre las rentas pospagables y prepagables

en el caso de las rentas fraccionadas se obtiene el valor actual:

¨V

(m)0 = (1 + i)

1mV

(m)0

Y el valor final:

¨V

(m)n = (1 + i)

1mV (m)

n

Ejercicio

Valore una renta que promete pagar 500 euros de forma trimestral al final del

periodo en el primer ano, 1000 euros de forma trimestral al final del periodo en el

segundo y tercer periodo y 1200 de forma trimestral al final del periodo en el sexto

periodo. (Se utiliza como tipo de valoracion el 4% compuesto)

118


2.4.2. Rentas en Progresion Geometrica

En este tipo de rentas, cada capital se obtiene multiplicando al anterior por

una razon que se denota q. Ası en el primer periodo el capital es C, en el segundo

es C · q, en el tercero C · q2 y en el n C · qn−1

Dicho valor siempre es positivo y si q < 1 los capitales decrecen y si q > 1

crecen.

Figura 2.13: Rentas Variables - Prog. Geometrica


El valor actual (A(C, q)n⌉i) se obtiene sumando los capitales valorados en el

instante inicial

A(C, q)n⌉i = C · (1 + i)−1 + C · q · (1 + i)−2 + · · ·+ C · qn−1 · (1 + i)−n

y operando

A(C, q)n⌉i = C · (1 + i)−1[1 + q · (1 + i)−1 + · · ·+ qn−1 · (1 + i)−n−1

]dentro del corchete hay una suma geometrica de razon q · (1 + i)−1 = q

1+iy

aplicando las propiedades de las sumas geometricas se obtiene que

A(C, q)n⌉i = C · (1 + i)−1

[1− ( q

1+i)n

1− q · (1 + i)−1

]El denominador es 1− q

1+i= 1+i−q

1+i= (1 + i)−1 · (1 + i− q) y por lo tanto se

simplifican los (1 + i)−1 y el valor presente toma el valor

119


A(C, q)n⌉i = C ·1−

(q

1+i

)n1 + i− q

Para obtener el valor final se capitaliza el valor final hasta el momento n

S(C, q)n⌉i = (1 + i)n · A(C, q)n⌉i = C · (1 + i)n − qn

1 + i− q

Ejemplo

Obtener el valor actual y final de una renta pospagable cuyo primer termino es

10000 euros y que crece de forma acumulativa a razon de un 5% anual. La duracion

es de 15 anos y el tanto de valoracion es el 10% anual.

En primer lugar, si la renta crece cada ano al 5% de forma acumulativa (se

van acumulando los intereses para generar nuevos intereses), entonces se trata de

una progresion geometrica de razon 1,05. Como se ha visto anteriormente, si las

cuantıa crece en progresion geometrica de razon q, el valor actual toma la forma:

A(C, q)n⌉i = C ·1−

(q

1+i

)n1 + i− q

con C = 10000, i = 0,10, q = 1,05 ya que es la tasa a la que crece la cuantıa

y por lo tanto

A(10000, 1,05)15⌉0,1 = 10000 ·1−

(0,051+0,1

)1

5

1 + 0,1− 0,05= 100464,22

Por otro lado, el valor final se puede obtener capitalizando el valor actual 15

periodos:

S(C, q)n⌉i = (1 + i)n · A(C, q)n⌉i

y sustituyendo en este caso

120


S(10000, 1,05)15⌉0,1 = (1+0,1)15·A(10000, 1,05)15⌉0,1 = (1+0,1)15·100464,22 = 419664

O tambien se puede calcular directamente a partir de su expresion:

S(C, q)n⌉i = C · (1 + i)n − qn

1 + i− q

y en este caso:

S(10000, 1,05)15⌉0,1 = 1000 · (1 + 0,1)15− (1,05)15

1 + 0,1− 1,05= 419664

Ejercicio

Obtener el valor actual y final de una renta pospagable cuyo primer termino

es 500 euros y que crece de forma acumulativa a razon de un 7% anual. La duracion


121


Caso particular q = 1 + i

En el caso particular en el que q = 1 + i las expresiones para el valor actual

y el valor final nos llevan a una indeterminacion del tipo 00

En ese caso, si se observa el valor actual de la renta

A(C, q)n⌉i = C · (1 + i)−1[1 + q · (1 + i)−1 + · · ·+ qn−1 · (1 + i)−n−1

]con q = (1 + i) se traduce en

A(C, 1 + i)n⌉i = C · (1 + i)−1[1 + (1 + i) · (1 + i)−1 + · · ·+ (1 + i)n−1 · (1 + i)−n−1

]y operando

A(C, 1 + i)n⌉i = C · (1 + i)−1 [1 + 1 + · · ·+ 1]

y por lo tanto

A(C, 1 + i)n⌉i = C · (1 + i)−1 · n

Y con dicho valor, capitalizado, se obtiene el valor final

S(C, 1+ i)n⌉i = (1+ i)n ·A(C, 1+ i)n⌉i = (1+ i)n ·C · (1+ i)−1 ·n = C · (1+ i)n−1 ·n

Ejemplo

122



es 10000 euros y que crece de forma acumulativa a razon de un 10% anual. La

duracion es de 15 anos y el tanto de valoracion es el 10% anual.

En este caso se trata de una renta con un capital que crece de forma geometri-

ca con q = 1 + i y por lo tanto, la expresion para el valor actual toma la forma:

A(C, 1 + i)n⌉i = C · (1 + i)−1 · n

y sustituyendo en los valores del ejemplo:

A(1000, 1,1)15⌉0,1 = 1000 · (1 + 0,1)−1 · 15 = 13636,3636

El valor final se puede obtener capitalizando el valor actual 15 periodos:

S(C, 1 + i)n⌉i = C · (1 + i)n−1 · n

y sustituyendo en este caso

S(10000, 1,1)15⌉0,1 = 1000 · (1 + 0,1)15−1 · 15 = 4,1772 · 13636,3636 = 56962,4749

Ejercicio




123



Se obtiene llevando al lımite el valor n en la renta temporal

A(C, q)∞⌉i = lımn→∞

A(C, q)n⌉i = lımn→∞

C ·1−

(q

1+i

)n1 + i− q

El unico termino que depende de n es(

q1+i

)ny por lo tanto dependera de

dicho valor:

1. Si q < 1 + i, entonces q1+i

< 1 y por lo tanto lımn→∞(

q1+i

)n= 0

2. Si q = 1+i, entonces el valor de la renta perpetua esA(C, q)∞⌉i = lımn→∞ A(C, q)n⌉i =

lımn→∞ C · (1 + i)−1 · n = ∞

3. Si q > 1 + i, entonces lımn→∞(

q1+i

)n= ∞

Por lo tanto, el valor actual de la renta permanente tendra un valor finito

solamente si q < 1+ i, no teniendo sentido financiero en los demas casos. En el caso

124


de que q < 1+ i, como lımn→∞(

q1+i

)n= 0 el valor actual de renta sigue la expresion

siguiente:

A(C, q)∞⌉i =C

1 + i− q

Ejemplo

Obtener el valor actual de una renta pospagable cuyo primer termino es 10000

euros y que crece de forma acumulativa a razon de un 5% anual de forma indefinida

si el tanto de valoracion es el 10% anual.

En este caso, estamos de nuevo ante una renta que crece de forma geometrica

pero, de forma indefinida. El valor actual de dicha renta tiene sentido economico ya

que q < 1 + i con q = 1,05 y 1 + i = 1,1. Por lo tanto el valor actual toma la forma:

A(C, q)∞⌉i =C

1 + i− q

y en este caso

A(1000, 1,05)∞⌉10% =1000

1 + 0,1− 1,05=

1000

0,05= 20000

Ejercicio


es 500 euros y que crece de forma acumulativa a razon de un 7% anual de forma

indefinida si el tanto de valoracion es el 10% anual.

125



En este caso se van abonando los capitales C, C · q, C · q2, al inicio de los

periodos 0, 1, 2 y ası sucesivamente. Para encontrar el valor actual de esta renta,

se pasan todos los capitales con valor final del periodo convirtiendola en una renta

pospagable donde los capitales son (1 + i) · C, (1 + i) · C · q, (1 + i) · C · q2 y por lo

tanto el valor actual sera

A(C, q)n⌉i = (1+i)·C ·(1+i)−1+(1+i)·C ·q ·(1+i)−2+· · ·+(1+i)·C ·qn−1 ·(1+i)−n

y simplificando

A(C, q)n⌉i = C + C · q · (1 + i)−1 + · · ·+ C · qn−1 · (1 + i)−(n−1)

Sacando factor comun C se obtiene un suma geometrica de razon q1+i

y por

lo tanto la suma toma el valor

A(C, q)n⌉i = C ·1−

(q

1+i

)n1− q

1+i

y simplificando matematicamente

A(C, q)n⌉i = C · (1 + i) ·1−

(q

1+i

)n1 + i− q

126


Tambien se puede observar como, de nuevo el factor que permite pasar de

una renta pospagable a una renta prepagable es (1 + i):

A(C, q)n⌉i = (1 + i) · A(C, q)n⌉i

Por ultimo, el valor final se obtiene capitalizando hasta el periodo n el valor

actual

S(C, q)n⌉i = (1 + i)n · A(C, q)n⌉i = C · (1 + i) ·1−

(q

1+i

)n1 + i− q

o tambien, a partir del valor final de la renta pospagable

S(C, q)n⌉i = (1 + i) · S(C, q)n⌉i

Ejemplo

Obtener el valor actual y final de una renta prepagable cuyo primer termino es

10000 euros y que crece de forma acumulativa a razon de un 5% anual. La duracion


Este ejemplo se puede resolver a partir del ejemplo de la renta pospagable

donde ya se vio que A(1000, 1,05)15⌉10% = 100464,22 y que S(1000, 1,05)15⌉10% =

419664. Como hemos visto antes, para pasar del valor actual de la renta pospagable

al valor actual de la renta prepagable hay que multiplicar por (1 + i), por lo que:

A(1000, 1,05)15⌉10% = (1 + i) · A(1000, 1,05)15⌉10% = (1,1) · 100464,22 = 110510,64

y lo mismo para el valor final

S(1000, 1,05)15⌉10% = (1 + i) · S(1000, 1,05)15⌉10% = (1,1) · 419664 = 461630,4

127


Caso particular q = 1 + i

En el caso particular en el que q = 1 + i las expresiones para el valor actual

y el valor final nos vuelven a llevar a una indeterminacion del tipo 00. Nuevamente,

se observa que la cantidad q1+i

es unitaria si q = 1 + i y por lo tanto el valor actual

de la renta queda:

A(C, q)n⌉i = C · n

Ejercicio

Obtener el valor actual y final de una renta prepagable cuyo primer termino




Para obtener la renta perpetua se lleva al infinito el valor de n (dicho valor

solo es finito si q < 1 + i):

128


A(C, q)∞⌉i = lımn→∞

A(C, q)n⌉i =C · (1 + i)

1 + i− q

ya que si q < 1 + i se cumple que lımn→∞(

q1+i

)n= 0.

Ejemplo

Obtener el valor actual de una renta prepagable cuyo primer termino es 10000

euros y que crece de forma acumulativa a razon de un 5% anual de forma indefinida

si el tanto de valoracion es el 10% anual.

En este caso, estamos de nuevo ante una renta que crece de forma geometrica

pero, de forma indefinida. El valor actual de dicha renta tiene sentido economico ya

que q < 1 + i con q = 1,05 y 1 + i = 1,1. El valor actual de dicha renta prepagable

toma la forma Por lo tanto el valor actual toma la forma:

A(C, q)∞⌉i =C · (1 + i)

1 + i− q

y en este caso

A(1000, 1,05)∞⌉10% =1000 · (1 + 0,1)

1 + 0,1− 1,05=

1100

0,05= 22000

Que, logicamente, coincide multiplicando por (1 + i) a la renta perpetua

pospagable A(1000, 1,05)∞⌉10% = (1+ i) ·A(1000, 1,05)∞⌉10%. susituyendo se obtiene

que A(1000, 1,05)∞⌉10% = (1,1) · 20000 = 22000

Ejercicio

Obtener el valor actual y final de una renta prepagable cuyo primer termino

es 500 euros y que crece de forma acumulativa a razon de un 7% anual de forma

indefinida si el tanto de valoracion es el 10% anual.

129

2.5. LECCION 9 - VALORACION DE RENTAS - VARIABLES(CONTINUACION)

Por ultimo, si se quieren valorar rentas de progresion geometrica diferidas,

anticipadas o fraccionadas se utilizaran los factores ya vistos en apartados anteriores,

es decir (1 + i)−d, (1 + i)k y ijm.

2.5. Leccion 9 - Valoracion de Rentas - Variables

(Continuacion)

2.5.1. Rentas en Progresion Aritmetica

En este caso, cada capital se obtiene a partir del anterior sumandole una

cantidad constante d, de tal forma que en el primer periodo se abona C, en el

segundo C + d, en el tercero C + 2 · d y en el enesimo C + (n− 1) · d

Figura 2.14: Rentas variables - Prog Aritmetica

130



Para encontrar el valor actual de dicha renta (A(C, d)n⌉i) se descompone la

renta en varias rentas:

Una primera renta (R1) que paga una cuantıa constante C en todos los pe-

riodos. Una segunda renta (R2), que paga una cuantıa d desde el segundo periodo

hasta el final. Una tercera renta (R3), que paga una cuantıa d desde el tercer pe-

riodo hasta el final y ası sucesivamente hasta una renta enesima (Rn),que paga una

cuantıa d en el periodo n. El valor actual de la renta del apartado sera la suma de

los valores actuales de todas las rentas anteriores:

R = R1 +R2 + · · ·+Rn

Y por lo tanto

A(C, d)n⌉i = C·an⌉i+d·[(1 + i)−1 · an−1⌉i + (1 + i)−2 · an−2⌉i + · · ·+ (1 + i)−(n−1) · a1⌉i

]y con los valores para las expresiones de los valores actuales de cada renta

(aj⌉i) se obtiene que

A(C, d)n⌉i = C · an⌉i + d ·[(1 + i)−1 · 1−(1+i)−(n−1)

i+ (1 + i)−2 · 1−(1+i)−(n−2)

i+ · · ·

+(1 + i)−(n−1) · 1−(1+i)−1

i

]=

C · an⌉i + d ·[1i· [(1 + i)−1 + (1 + i)−2 + · · ·+ (1 + i)−(n−1) − (n− 1) · (1 + i)−n]

]Por otro lado, de la leccion 7, se sabe que

an⌉i = (1 + i)−1 + (1 + i)−2 + · · ·+ (1 + i)−(n−1) + (1 + i)−n

y sumando y restando dentro del corchete la cantidad (1 + i)−n se obtiene

que

131


[(1 + i)−1 + (1 + i)−2 + · · ·+ (1 + i)−(n−1)︷︸︸︷+(1 + i)−n − (1 + i)−n−(n− 1) · (1 + i)−n] =

= [an⌉i − (1 + i)−n − (n− 1) · (1 + i)−n]

y simplificando

[an⌉i − (1 + i)−n − (n− 1) · (1 + i)−n] = [an⌉i − n · (1 + i)−n]

y sustituyendo el valor del corchete en el calculo de la renta actual

A(C, d)n⌉i = C · an⌉i + d · 1i· [an⌉i − n · (1 + i)−n]

Y operando

A(C, d)n⌉i =

(C +

d

i

)· an⌉i −

d · n · (1 + i)−n

i

En la practica se utiliza la expresion

A(C, d)n⌉i =

(C +

d

i+ d · n

)· an⌉i −

d · ni

que se obtiene de la anterior sumando y restando d·ni

El valor final se obtiene a partir del valor actual capitalizando este:

S(C, d)n⌉i = (1 + i)n · A(C, d)n⌉i =(C +

d

i

)· Sn⌉i −

d · ni

con (1 + i)n · an⌉i = Sn⌉i

Ejemplo

Se ha de pagar una renta pospagable anual cuya primera cuantıa es de 10000

euros y las demas cuantıas crecen linealmente en 500 euros cada ano. Si se valora al

8% anual, obtener el valor actual y final de la renta cuya duracion es 12 anos.

132


Al crecer de forma lineal en una cuantıa de 500 euros, estamos ante una

renta aritmetica con d = 500. El valor actual de dicha renta se obtiene a partir de

la expresion:

A(C, d)n⌉i =

(C +

d

i+ d · n

)· an⌉i −

d · ni

Con C = 10000, d = 500, i = 0,08 y n = 12. En primer lugar se debe calcular

a12⌉0,08 =1− (1 + 0,08)−12

0,08= 7,5361

Una vez calculado el valor actual de la renta pospagable constante unitaria,

se calcula el de la renta arıtmetica sustituyendo en la expresion anterior:

A(10000, 500)12⌉8% =

(10000 +

500

0,08+ 500 · 12

)· 7,5361− 500 · 12

0,08= 92678,2250

El valor final se obtiene capitalizando el valor actual

S(10000, 500)12⌉8% = (1+0,08)12·A(10000, 500)12⌉8% = (2,5182)·92678,2250 = 233379,5367

o directamente a partir de su expresion:

S(10000, 500)12⌉8% =

(100 +

500

0,08

)· S12⌉8% − 500 · 12

0,08= 233379,5367

Ejercicio


euros y las demas cuantıas crecen linealmente en 100 euros cada ano. Si se valora al

6% anual, obtener el valor actual y final de la renta cuya duracion es 7 anos.

133



El valor actual de dicha renta se obtiene como lımite cuando n tiende a infinito

A(C, d)∞⌉i = lımn→∞

A(C, d)n⌉i = lımn→∞

[(C +

d

i

)· an⌉i −

d · n · (1 + i)−n

i

]

Como ya se ha visto en apartados anteriores lımn→∞ an⌉i =1i. Por otro lado,

aplicando L´Hopital:

lımn→∞

n · (1 + i)−n = lımn→∞

n

(1 + i)n= lım

n→∞

1

(1 + i)n · Ln(1 + i)= 0

y por lo tanto

A(C, d)∞⌉i =

(C +

d

i

)· 1i

Ejemplo

134



euros y las demas cuantıas crecen linealmente en 500 euros cada ano para siempre.

Si se valora al 8% anual, obtener el valor actual y final de dicha renta.

Al crecer de forma lineal en una cuantıa de 500 euros, estamos ante una renta

aritmetica con d = 500 y, al crecer para siempre, estamos ante una renta perpetua.

El valor actual de dicha renta se obtiene a partir de la expresion:

A(C, d)∞⌉i =

(C +

d

i

)· 1i

Con C = 10000, d = 500, i = 0,08 se obtiene que

A(10000, 500)∞⌉8% =

(10000 +

500

0,08

)· 1

0,08= 203125

Ejercicio


euros y las demas cuantıas crecen linealmente en 100 euros de forma indefinida. Si

se valora al 6% anual, obtener el valor actual y final de la renta.

135



Los valores actual y final se obtienen a partir de la renta pospagable como:

A(C, d)n⌉i = (1 + i) · A(C, d)n⌉i

S(C, d)n⌉i = (1 + i) · S(C, d)n⌉i


De la misma forma que en el caso anterior, se pasa del valor actual la renta

perpetua pospagable a la prepagable multiplicando por (1 + i)

A(C, d)∞⌉i = (1 + i) · A(C, d)∞⌉i =

(C +

d

i

)· (1 + i)

i

Ejemplo

Se ha de pagar una renta prepagable anual cuya primera cuantıa es de 10000

euros y las demas cuantıas crecen linealmente en 500 euros cada ano para siempre.

Si se valora al 8% anual, obtener el valor actual y final de dicha renta.

Estamos ante una renta que crece en progresion aritmetica de manera in-

definida pero prepagable. Para valorar dicha renta, obtenemos el valor de la renta

pospagable y multiplicamos por (1 + i).

Hemos visto antes que el valor de la renta pospagable es A(10000, 500)∞⌉8% =

203125 y por lo tanto, el valor actual de la renta prepagable sera:

A(10000, 500)∞⌉8% = (1 + 0,08) ·A(10000, 500)∞⌉8% = (1 + 0,08) · 203125 = 219375

136


Tambien se puede obtener directamente a partir de la expresion:

A(C, d)∞⌉i =

(C +

d

i

)· (1 + i)

i

Con C = 10000, d = 500, i = 0,08 se obtiene que

A(10000, 500)∞⌉8% =

(10000 +

500

0,08

)· (1 + 0,08)

0,08= 219375

Ejercicio


euros y las demas cuantıas crecen linealmente en 100 euros cada ano de forma

indefinida. Si se valora al 6% anual, obtener el valor actual y final de la renta.

Rentas diferidas, anticipadas y fraccionadas

Al igual que ocurrıa con las rentas que crecıan en progresion geometrica,

para obtener el valor actual de una renta aritmetica diferida se debe calcular el

137


valor actual de la renta aritmetica no diferida y multiplicar por el factor (1+ i)−d. Si

se quiere calcular el valor final de una renta aritmetica anticipada, se debe calcular

el valor de la renta no anticipada y multiplicar por el factor (1 + i)k. Por ultimo, si

se quiere calcular el valor de una renta fraccionada, se calcula el valor de la renta

no fraccionada y despues se multiplica por el factor ijm.

Ejemplo


euros y las demas cuantıas crecen linealmente en 500 euros cada ano. Si se valora

al 8% anual y existe un diferimiento de 3 anos, obtener el valor actual de la renta

cuya duracion es 12 anos.

El valor actual de la renta diferida se obtiene a partir del valor actual de la

renta inmediata que, como se ha visto en apartados anteriores, toma el valor

A(10000, 500)12⌉8% = 92678,2250

Ası, d/A(C, d)n⌉i = (1 + i)−d · A(C, d)n⌉i y por lo tanto

3/A(10000, 500)12⌉8% = (1 + 0,08)−3 · 92678,2250 = 73570,9630

Ejercicio


euros y las demas cuantıas crecen linealmente en 100 euros cada ano. Si se valora

al 6% anual y existe un diferimiento de 5 anos, obtener el valor actual y final de la

renta cuya duracion es 7 anos.

138


2.5.2. Ultimas consideraciones

Rentas que se valoran con mas de un tanto

A veces se necesita valorar una renta en la que en los primeros s periodos se

aplica un tanto i1 y a partir del periodo s+ 1 se aplica un tanto i2. Para encontrar

el valor actual de dicha renta se aplica la propiedad de aditividad de las rentas, ası,

si las cuantıas son C1, · · · , Cs, Cs+1, · · · , Cn el valor actual sera:

V0 =s∑

r=1

Cr · (1 + i1)−r + (1 + i1)

−s ·n∑

r=s+1

Cr · (1 + i2)−(r−s)

y si las cuantıas son constantes C1 = · · · = Cs = Cs+1 = · · · = Cn = C

V0 = C ·[as⌉i1 + (1 + i1)

−s · an−s⌉i2]

Es importante darse cuenta que la parte diferida de la valoracion an−s⌉i2 no

se debe utilizar la notacion de las rentas diferidas s/an−s⌉i2 ya que indicarıa que al

diferimiento se aplica el tanto i2 en vez del tanto que, correctamente, se debe aplicar

i1.

Ejemplo

Encuentre el valor actual de una renta pospagable de duracion 12 anos que

139


paga cuantıas constantes de 100 euros si los primeros cuatro anos el tanto de valo-

racion es el 4% y despues se valora al 7%.

En este caso, se trata de valorar una renta con mas de un tanto de valoracion.

En primer lugar se debe valorar la renta pospagable de los primeros cuatro anos,

que se valora al 4%.

a4⌉4% =1− (1 + 0,04)−4

0,04= 3,6299

Posteriormente se valora la parte de la renta en la que el tanto es el 7% (son

8 periodos ya que los 4 primeros se valoran a otro tanto):

a8⌉7% =1− (1 + 0,07)−8

0,07= 5,9713

Una vez que tenemos las dos rentas, se debe descontar la segunda utilizando

el tanto del 4% ya que es el que existe en los primeros cuatro periodos. Por lo tanto

el valor actual de la renta es:

V0 = 100 ·[3,6299 + (1 + 0,04)−4 · 5,9713

]= 8,7342

Ejercicio

Encuentre el valor actual de una renta prepagable de duracion 8 anos que paga

cuantıas constantes de 350 euros si los primeros cuatro anos el tanto de valoracion

es el 3% y despues se valora al 6%.

140


Aplicacion a las inversiones - VAN y TIR

Las operaciones de inversion y las operaciones de financiacion son duales ya

que, normalmente, para acometer una inversion se necesita financiacion. De hecho

en una inversion se desembolsa el capital y se va recuperando a lo largo del tiempo

y en una operacion de financiacion se recibe el capital y se va devolviendo.

El esquema de una inversion tiene un pago inicial negativo (−C0) y una serie

de rendimientos netos en los periodos, 1, 2 etc (R1, R2, · · · , Rn) siendo n la duracion

de la inversion.

Para decidir entre varias inversiones posibles existen diversos metodos, siendo

los mas completos desde la optica de la matematica financiera el valor actual neto

(VAN) y el tanto interno de rentabilidad (TIR).

VAN

El VAN es el valor actual de la renta que forman los rendimientos menos el

capital inicial, es decir

V AN =n∑

s=1

Rs · (1 + i)−s − C0

Si los rendimientos son constantes (R1 = · · · = Rs = · · · = Rn = R), entonces

V AN = R · an⌉i1 − C0

Donde el tanto i lo establece el inversor como la rentabilidad mınima que

141


desea obtener.

TIR

El TIR es el tanto que iguala financieramente los rendimientos netos de la

inversion con el desembolso inicial o lo que es lo mismo, es el tanto que hace que el

V AN = 0

C0 =n∑

s=1

Rs · (1 + i)−s =⇒ r

La representacion grafica del VAN con el tanto i es la siguiente:

Donde si i = 0 entonces V AN =∑n

s=1Rs − C0 a partir de ese momento (y

para todos los valores de i) la funcion es decreciente. Corta al eje de abscisas en el

punto i = r (TIR) ya que en ese momento V AN(r) = 0.

Con inversiones mixtas (se abonan y se recuperar capitales en varios momen-

tos) la funcion V AN puede ser no monotona e incluso cortar el eje de abcisas en

varios momentos.

Ejemplo

En el cuadro siguiente se presentan tres inversiones: la A, la B y la C. En

las tres inversiones el desembolso inicial es el mismo (100 euros) y la duracion es

la misma (5 anos). Los rendimientos anuales de cada una de las inversiones son Ri

donde i es el ano del rendimiento en cuestion.

Inversion Desembolso R1 R2 R3 R4 R5

A 100 40 40 40 40 40

B 100 20 30 40 50 60

C 100 60 50 40 30 20

Se pide: Si el tanto de valoracion es el 15%, establecer el orden de preferencia

mediante el VAN y mediante el TIR.

En primer lugar, si queremos clasificar las inversiones respecto al VAN, de-

bemos calcular el VAN para todas ellas y quedarnos con la inversion que tenga un

142


VAN mayor.

En el caso de la inversion A, como los rendimientos son constantes, el VAN

se calcula como V ANA = 40 · a5⌉15% − 100. Por otro lado, a5⌉15% = 1−(1+0,15)−5

0,15para

finalmente V ANA = 40 · a5⌉15% − 100 = 34086,20 euros.

En el caso de la inversion B, los rendimientos netos forman una renta de

cuantıa creciente en progresion aritmetica (ya vista en esta leccion) y por lo tanto

V ANB = A(20, 10)5⌉15%−100 =(20 + 10

0,15+ 10 · 5

)·a5⌉15%− 10·5

0,15−100 = 24794,53

euros

Por ultimo,en la inversion C los rendimientos forman una renta de cuantıa

creciente en progresion aritmetica pero negativa (-10) y por lo tanato V ANC =

A(60,−10)5⌉15% − 100 =(60 + −10

0,15+ (−10) · 5

)· a5⌉15% − (−10)·5

0,15− 100 = 43377,88

euros

Como V ANC es mayor que V ANA y, a su vez, que V ANB, entonces el orden

de preferencias es C ≻ A ≻ B

En segundo lugar, si queremos clasificar las inversiones respecto al TIR, de-

bemos calcularlo para todas las inversiones y quedarnos con la inversion que tenga

un TIR mayor.

En el caso de la inversion A, el TIR es el que cumpla que V ANA = 0 o

que 40 · a5⌉15% = 100. Como ya se ha visto antes, a5⌉r = 1−(1+r)−5

ry por lo tanto

sera aquel r que cumpla que 40 · 1−(1+r)−5

r= 100. Dicho tipo es ra = 28,65%

En el caso de la inversion B, el TIR es el que cumpla que A(20, 10)5⌉r = 100

cuya solucion es rb = 23,29%

En el caso de la inversion C, el TIR es el que cumpla que A(60,−10)5⌉r = 100

cuya solucion es rc = 36,08%

Como el TIR de la inversion C es mayor que el TIR de A y mayor que el

TIR de B, entonces el orden de preferencias es C ≻ A ≻ B

Ejercicio

143


En el cuadro siguiente se presentan los rendimientos anuales de dos inversio-

nes: la A y la B:

Inversion Desembolso R1 R2 R3 R4 R5

A 300 100 100 100 100 -

B 100 30 45 67.5 - -

Determine cual de las dos inversiones es mas interesante

144

Capıtulo 3

Operaciones Financieras -

Prestamos

3.1. Leccion 10 - Operaciones Financieras -

Introduccion a los prestamos

Las operaciones financieras son intercambios no simultaneos de capitales fi-

nancieros entre las partes de tal forma que ambos compromisos sean equivalentes.

Por lo tanto, hay una serie de factores que ocurren en las operaciones financieras:

No simultaneidad de los intercambios. Esto quiere decir que en toda operacion

una un factor que es el tiempo.

Existencia de dos personas (fısicas o jurıdicas) que son los que llevan a cabo

el intercambio. Este es el componente subjetivo de la operacion.

Existencia de dos compromisos de entrega de capitales. El primer compromiso

se denomina prestacion y el segundo se denomina contraprestacion.

Existe un componente objetivo de la operacion que son los capitales.

145

3.1. LECCION 10 - OPERACIONES FINANCIERAS -INTRODUCCION A LOS PRESTAMOS

Hay un principio basico en toda operacion financiera y es que los compromisos

de las partes han de ser financieramente equivalentes.

En toda operacion hay un origen, que es el momento en el que se entrega el

primer capital, un final, que es el momento en el que se entrega el ultimo capital y

una duracion que es el tiempo que transcurre entre ambos.

3.1.1. Clasificacion de las operaciones

Por su duracion

A corto plazo

A largo plazo

Por la ley financiera que utiliza

Operaciones de capitalizacion

Operaciones de descuento

Por el numero de capitales

Operaciones simples, cuando se entrega un solo capital.

Operaciones compuestas, cuando se entrega mas de un capital.

Por el objetivo

Operaciones de financiacion, cuando se reciben los capitales y luego se devuel-

ven

Operaciones de inversion, cuando se desembolsan los capitales y luego se re-

cuperan (reales y financieras).

146


Operaciones mixtas, cuando en algun momento se tiene una posicion deudora

y en otro momento una posicion acreedora.

Por la situacion crediticia de las partes

Credito unilateral, cuando la prestacion mantiene su posicion acreedora a lo

largo de todo el tiempo.

Credito recıproco, cuando la contraprestacion pasa a tener una posicion acree-

dora en algun momento (cuentas corrientes)

Por el sujeto que interviene

Operaciones bancarias, cuando uno de los sujetos es una entidad bancaria.

• Operaciones Pasivas, (pasivo del balance) como cuentas corrientes, de

ahorro, imposiciones a largo plazo

• Operaciones Activas, (activo del balance) como creditos, prestamos o des-

cuentos bancarios.

• Operaciones de mediacion o servicios, como transferencias, ordenes de

pago, domiciliacion de recibos etc.

Operaciones no bancarias, cuando ninguna de las partes es una entidad ban-

caria. Como las letras entre empresas, letras del tesoro, ventas a plazos, etc.

3.1.2. Equivalencia financiera y Saldo financiero

Dada una operacion financiera, los compromisos de las partes deben ser fi-

nancieramente equivalentes. Esto quiere decir que una vez determinada una ley, la

suma financiera debe ser igual en cualquier momento de valoracion t.

147


Ası, por ejemplo, si una prestacion esta compuesta por los capitales (C1, t1), · · · , (Cn, tn)

y la contraprestacion por los capitales (C ′1, t

′1), · · · , (C ′

m, t′m) y elegida como ley el

descuento compuesto, se debe cumplir que

C1·(1+i)−t1+C2·(1+i)−t2+· · ·+Cn·(1+i)−tn = C ′1·(1+i)−t′1+C ′

2·(1+i)−t′2+· · ·+C ′m·(1+i)−t′m

o tambien

n∑s=1

Cs · (1 + i)−ts =m∑s=1

C ′s · (1 + i)−t′s

De forma analoga se hace para otro conjunto de capitales u otra ley financiera

distinta.

Logicamente, la equivalencia financiera no se dara en cada momento del tiem-

po habiendo unos momentos del tiempo en que una parte gane y otros en que pueda

ganar la otra. Ası, se define saldo financiero en un momento t al capital que mide la

diferencia entre los compromisos ya cumplidos y los que faltan por cumplir.

Ası, dado un momento t, (S1, t) es la suma financiera de los capitales de

la prestacion anteriores a t, siendo (S2, t) la suma financiera de los capitales de la

contraprestacion anteriores a t. Por otro lado, (S ′1, t) es la suma financiera de los

capitales de la prestacion posteriores a t y (S ′2, t) la suma financiera de los capitales

de la contraprestacion posteriores a t.

La equivalencia financiera se produce cuando S1 + S2 = S ′1 + S ′

2, que no

implica que S1 = S ′1 o que S2 = S ′

2. El saldo financiero es es el capital (Rt, t) que

cumple:

Rt = S1 − S ′1 = S ′

2 − S2

y que por lo tanto se puede obtener de dos formas:

Metodo retrospectivo. Como diferencia entre los compromisos pasados S1 − S ′1

148


Metodo prospectivo. Como diferencia entre los compromisos futuros S ′2 − S2

Si el signo es positivo entonces S1 > S ′1 o tambien S ′

2 < S2 y por lo tanto

es a favor de la prestacion mientras que si es negativo el saldo es a favor de la

contraprestacion.

3.1.3. Tantos efectivos - TAE

En las operaciones financieras suelen producirse otros desembolsos adicionales

a la propia operacion. Dichos desembolsos pueden ser:

Unilaterales, si los entrega una de las partes y son para pagar a terceros (co-

misiones, corretajes, gastos de notarıa, etc)

Bilaterales, cuando los entrega una parte y los recibe la otra (comisiones ban-

carias, primas de emision y amortizacion, etc)

El tanto efectivo es aquel que equilibra financieramente los capitales de ambas

partes una vez incluidos todos los desembolsos. Para obtener dicho tanto se puede

utilizar cualquier ley financiera aunque se suele utilizar la capitalizacion compuesta.

El tanto efectivo en capitalizacion compuesta se denomina tanto interno de

rentabilidad (TIR) y, en funcion depende de los gastos y desembolsos incluidos.

TAE

El TAE o tanto anual equivalente se calcula como el TIR, pero incluyendo

las normas de la circular 8/90 del Banco de Espana.

3.1.4. Introduccion a los Prestamos

Los prestamos son operaciones en las que una de las partes (el prestamista)

entrega un capital a otra parte (prestatario) y esta se compromete a devolver su

equivalente mediante uno o varios pagos a lo largo de la duracion de la operacion.

149


Por lo tanto los prestamos suelen ser operaciones compuestas de prestacion

unica y contraprestacion multiple.

Los prestamos se documentan en un contrato en el que, por ley, debe incluir:

El tipo de interes nominal

La periocidad con que se producira el devengo de intereses, formula o metodo

para obtenerlos a partir del tipo nominal y el importe absoluto de los intereses

devengados.

Las comisiones que sean de aplicacion.

Los devengos que contractualmente correspondan a la entidad de credito en

orden a la modificacion del tipo de interes pactado.

Como en toda operacion, debe haber equivalencia financiera entre las partes,

utilizandose la ley de capitalizacion-descuento compuesto ya que es una operacion de

largo plazo. El origen de la operacion es el momento en que el prestamista entrega el

primer capital y el final, el momento en que el prestatario entrega el ultimo y salda

la deuda.

Los capitales que entrega la contraprestacion se denominan cuotas a pagar o

terminos amortizativos

El esquema grafico del prestamo es:

[Incluir grafico aquı]

Donde C0 es el capital prestado, a1, a2, · · · , an son los terminos amortizativos

y C1, C2, · · · , Cn son los saldos de la operacion.

En cada tipo de prestamo se aplicara el esquema siguiente:

1. La ecuacion de equivalencia a partir de la cual se encuentra la magnitud des-

conocida

C0 =n∑

s=1

as · (1 + i)−s

150


2. La obtencion del saldo en un momento del tiempo s (s < n) que se denomina

capital vivo o capital pendiente de amortizar que se denota por Cs. El saldo

se podra obtener de tres formas alternativas:

Metodo retrospectivo. Se valora el saldo en el tiempo s la diferencia en-

tre el capital y las cuotas de amortizacion ya abonadas, por lo que se

tendra que llevar C0 a s y todos los terminos amortizativos. Por lo tanto

Cs = C0 · (1 + i)s −[∑s−1

r=1 ar · (1 + i)s + as].

Metodo prospectivo. Se valora el saldo en el tiempo s como la suma de

todas las cuotas de amortizacion que quedan por pagar. Y por lo tanto

toma la forma Cs =∑n

r=s+1 ar · (1 + i)−(n−r)

Metodo recurrente. En este caso se calcula a traves de la relacion que

tienen los saldos a los largo del tiempo Cs = f(Cs−1). Ası, Cs = Cs−1 ·

(1 + i) − as ya que el saldo que queda sera el que habıa antes mas los

intereses que ha generado el saldo anterior, menos el termino amortizativo

del periodo.

3. A partir del saldo, se analiza la estructura de cada termino amortizativo,

compuesto de dos partes

Los intereses que se han de pagar en el periodo al que se refiere dicho

termino. Se denomina cuota de intereses Is = Cs−1 · is.

La amortizacion parcial que se efectua en ese periodo. Se denomina cuota

de amortizacion As = Cs−1 −Cs y mide la disminucion de la deuda en el

periodo s.

4. Para calcular todas las variables anteriores se utilizan las relaciones siguientes:

Se parte de la ecuacion:

as = Cs−1 · i+ (Cs−1 − Cs) = Is + As

151


Logicamente, se deben cumplir las igualdades siguientes:

C0 = A1 + A2 + · · ·+ An =∑n

1 Ak

Cs = As+1 + As+2 + · · ·+ As+n =∑n

s+1Ak

Y por la definicion de cuota de amortizacion se verifica:

Paras = 1 C0 − C1 = A1

Paras = 2 C1 − C2 = A2

· · · · · · · · · · · ·

Paras = n Cn−1 − Cn = An

obtenido despues de sumar, simplificar y con Cn = 0

5. Por ultimo, se calcula el total amortizado despues de cada periodo s (denotado

por Ms) y se presentan todos los resultados en el cuadro de amortizacion.

El total amortizado despues de s periodos se denota por Ms y toma el valor

Ms = A1 + A2 + · · ·+ As = C0 − Cs

Finalmente, el cuadro de amortizacion es que el se presenta en la tabla siguien-

te:

Periodo T. Amortizativos C. Intereses C. Amortizacion Cap. Amort. Cap. vivo

0 C0

1 a1 I1 A1 M1 C1

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·

s as Is As Ms Cs

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·

n an In An Mn = C0 Cn = 0

152


A continuacion se analizaran los conceptos anteriores para los distintos meto-

dos de amortizacion de prestamos. En todos los casos se supone que en los prestamos

se utiliza la ley de capitalizacion compuesta a tanto i.

3.1.5. Prestamo Simple

El prestamista entrega en el instante inicial C0 y el prestatario debe devolver

en el periodo n, Cn. La ecuacion de equivalencia en este caso es

Cn = C0 · (1 + i)n

Los intereses del prestamo son Cn − C0:

I = Cn − C0 = C0 · [(1 + i)n − 1]

El saldo en un momento s < n se puede obtener de tres maneras alternativas:

Cs = C0 · (1 + i)s metodo retrospectivo

Cs = Cn · (1 + i)−(n−s) metodo prospectivo

Cs = Cs−1 · (1 + i) metodo recurrente

Y despejando de la ultima forma de encontrar el saldo se obtiene que

Cs − Cs−1 = Cs−1 · i

indicando que el incremento del saldo en el perıodo s es igual a los intereses

que se generan en dicho periodo.

Ejemplo

Sea un prestamo en el que un prestamista le presta al prestatario 200000

euros a un tipo compuesto del 5% durante 8 anos. Dicho prestatario debe devolver el

prestamo al finalizar los 8 anos. Encuentre los intereses generados por dicho prestamo

y el saldo del prestamo al pasar 4 anos.

153


La relacion de equivalencia indica que C8 = 200000·(1+0,05)8 = 295491,0888.

Por lo tanto, los intereses seran I = C8 −C0 = 295491,0888− 200000 = 95491,0888

El saldo al pasar 4 periodos sera, utilizando el metodo retrospectivo, C4 =

200000 · (1 + 0,05)4 = 243101,25

3.1.6. Prestamo Frances

El metodo frances o progresivo se caracteriza porque los terminos amortiza-

tivos son constantes

a1 = a2 = · · · = an = a

El esquema de la operacion es

[Incluir grafico aquı]

y por lo tanto, la ecuacion de equivalencia

C0 = a · an⌉i ⇒ a =C0

an⌉i

Siendo la contraprestacion una renta de cuantıa constante, temporal y pos-

pagable. Por otra parte, tanto n como i estan referidos a la periocidad con que se

pagan los terminos amortizativos. Ası, si se pagan con periocidad 1mde ano, se opera

con el redito im y n sera el numero total de pagos que se realizan.

Capital vivo

El capital vivo transcurridos s periodos se halla una vez entregado el termino

amortizativo de lugar s y por lo tanto se hace al inicio del periodo s− 1:

Cs = a · an−s⌉i metodo prospectivo

Cs = C0 · (1 + i)s − a · Ss⌉i metodo retrospectivo

Cs = Cs−1 · (1 + i)− a metodo recurrente

154


Si se mira al futuro, situados en s la contraprestacion es una renta constante,

pospagable, temporal con n − s capitales. Si se mira al pasado, la prestacion ha

entregado el capital C(C0, 0) y la contraprestacion los s primeros terminos amorti-

zativos

Estructura del termino amortizativo

Al despejar a en el metodo recurrente se obtiene que

a = Cs−1 · i+ (Cs−1 − Cs) = Is + As

Esta expresion indica que el termino amortizativo en el periodo s tiene dos

componentes:

1. Cs−1 · i = Is + As es la cuota de intereses

2. Cs−1 − Cs = As es la cuota de amortizacion

Relacion entre las cuotas de amortizacion

A partir del metodo recurrente se obtiene que

Cs = Cs−1 · (1 + i)− a

y logicamente, en s+ 1 seguira la misma relacion

Cs+1 = Cs · (1 + i)− a

restando ambas ecuaciones (Cs − Cs+1) se obtiene que (sabiendo que por

definicion Cs − Cs+1 = A1 y que Cs−1 − Cs = As):

As=1 = As · (1 + i) = · · · = A1 · (1 + i)s

155


Ası, cada cuota de amortizacion se obtiene a partir de la anterior multiplican-

do por (1 + i). De esta forma se pueden obtener todas las cuotas una vez obtenida

la primera A1. Para obtener dicha cuota hay dos casos:

Si se conoce el termino amortizativo, entonces a partir de la cuota de equi-

valencia en el primer periodo, se cumple que a = C0 · i + A1 y por lo tanto

A1 = a− C0 · i

Si no se conoce el termino amortizativo, sabiendo que C0 = A1+A2+· · ·+An =∑n1 Ak y con las expresiones para Ak obtenidas anteriormente se obtiene que

C0 = A1 + A2 + · · ·+ An = A1 ·[1 + (1 + i) + · · ·+ (1 + i)n−1

]Siendo la expresion del corchete el valor final de una renta unitaria, temporal

y pospagable, por lo que

A1 =C0

Sn⌉i

Capital amortizado

El capital amortizado una vez pasados s periodos (Ms) es la suma de las

primeras s cuotas de amortizacion:

Ms = A1+A2+ · · ·+As = A1 ·[1 + (1 + i) + · · ·+ (1 + i)s−1

]= A1 ·Ss⌉i = C0 ·

Ss⌉i

Sn⌉i

Cuadro de amortizacion

El cuadro de amortizacion es una tabla en la que se recogen los valores de las

magnitudes anteriores. Suele haber seis columnas que son:

1. El tiempo al que corresponde las cantidades

2. La cuantıa de los terminos amortizativos

3. Las cuotas de intereses

156


4. Las cuotas de amortizacion

5. Los totales amortizados hasta la fecha

6. Los capitales vivos

Ejemplo

Un prestamo de un millon de euros se va a amortizar en cinco anos utilizando

el metodo frances. El tanto de valoracion se fija en el 12%. Obtener la cuantıa de

los terminos amortizativos y el cuadro de amortizacion del prestamo.

En primer lugar, al ser un prestamo frances, se obtiene la cuantıa de cada

termino (que es constante) aplicando la relacion de equivalencia

C0 = a · an⌉i ⇒ a =C0

an⌉i

Y por lo tanto

a =1000000

a5⌉12%=

1000000

3,6048= 277409, 7319

Una vez que tenemos el termino amortizativo, se puede obtener A1 e I1 de

dos formas alternativas.

En primer lugar obtenemos A1 como a−C0·i = 277409, 7319−1000000·0,12 =

157409,7319 y despues se obtiene I1 como a − A1 = 277409, 7319 − 157409,7319 =

120000.

En segundo lugar podemos obtener I1 como C0 · i = 1000000 · 0,12 = 120000

y despues A1 como a− I1 = 277409, 7319− 120000 = 157409,7319.

Para obtener M1 se aplica que M1 = A1 = 157409,7319 y finalmente que

C1 = C0 − A1 = 1000000− 157409,7319 = 842590,2681.

Para obtener el resto de filas, se puede seguir por el segundo metodo y ası,

se obtiene que Is = Cs−1 · 0,12. Despues se obtiene la cuota de amortizacion como

157

3.2. LECCION 11 - OPERACIONES FINANCIERAS A LARGO PLAZO -PRESTAMOS (CONTINUACION)

As = a−Is. El capital amortizado como Ms = Ms−1+As y finalmente el capital vivo

como Cs = Cs−1 − As. Con el nuevo capital vivo se vuelven a calcular los intereses

y ası sucesivamente .... Los resultados se presentan en la tabla siguiente:


0 1000000

1 277409.73 120000.00 157409.73 157409.73 842590.27

2 277409.73 101110.83 176298.90 333708.63 666291.37

3 277409.73 79954.96 197454.77 531163.40 468836.60

4 277409.73 56260.39 221149.34 752312.74 247687.26

5 277409.73 29722.47 247687.26 1000000.00 0.00

3.2. Leccion 11 - Operaciones Financieras a largo

plazo - Prestamos (Continuacion)

3.2.1. Prestamo: Metodo de cuotas de amortizacion cons-

tantes

En este caso se verifica

A1 = A2 = · · · = An = A

Si se supone que se conoce el capital prestado C0, la duracion n y el tanto

i, el problema consiste en encontrar la cuota de amortizacion, el capital vivo y el

capital amortizado.

Cuota de amortizacion

En este caso, la igualdad C0 = A1 + A2 + · · ·+ An se traduce en:

158


C0 = n · A ⇒ A =C0

n

Capital vivo

En este caso la expresion Cs = As+1 + As+2 + · · ·+ As+n se traduce en:

Cs = (n− s) · A =n− s

n· C0

Capital amortizado

Por ultimo, la expresion para el capital amortizado Ms = A1+A2+· · ·+As =

C0 − Cs se traduce en

Ms = s · A =s

n· C0

Cuota de intereses

La cuota de intereses general se obtiene como Is = Cs−1 · i. A partir de la

expresion anterior para Cs se obtiene que

Is = Cs−1 · i =n− s+ 1

n· C0 · i

y por lo tanto la couta en s+ 1 es

Is+1 = Cs · i =n− s

n· C0 · i

Terminos amortizativos

Cada termino amortizativo es la suma de la cuota de intereses y la cuota de

amortizacion (as = Is + As). Con la expresion para Is y con As = A se obtiene

as = Cs−1 · i+ A =C0

n· [1 + (n− s+ 1) · i]

159


y debido a que los intereses decrecen y la amortizacion es constante las cuotas

iran decreciendo con el tiempo.

Para encontrar la relacion entre los terminos amortizativos, a partir de la

expresion para as se obtiene as+1 y se restan ambas

as − as+1 = (Cs−1 − Cs) = A · i ⇒ as+1 = as − A · i = · · · = a1 − s · A · i

Expresion que permite conocer todos los terminos as una vez conocido a1.

Como a1 = I1 +A1 y logicamente en el primer periodo los intereses son C0 · i junto

con que en este prestamo A es constante, se obtiene que a1 = C0 ·i+A = A·n·i+A =

A · (n · i+ 1)

Los terminos amortizativos se obtienen restando la cantidad A · i al inicial y

por lo tanto son decrecientes.

Ejemplo


el metodo de cuotas de amortizacion constantes. El tanto de valoracion se fija en el

12%. Obtener la cuantıa de los terminos amortizativos y el cuadro de amortizacion

del prestamo.

En primer lugar, al ser un prestamo de cuotas de amortizacion, se obtiene la

cuantıa de cada cuota de amortizacion aplicando la relacion de equivalencia

C0 = n · A ⇒ A =C0

n

Y por lo tanto

A =1000000

5=

1000000

5= 200000

Una vez que tenemos la cuota de amortizacion, se puede obtener el saldo del

prestamo en cada periodo como

160


Cs = (n− s) · A =n− s

n· C0

Y por lo tanto para s = 1 sera C1 = (5 − 1) · 200000 = 80000, y de forma

sucesiva se calcula C2 = 60000, C3 = 40000, C4 = 20000

Una vez que se tienen los saldos de cada periodo se obtienen las cuotas de

intereses como

Is = Cs−1 · i =n− s+ 1

n· C0 · i

Y por lo tanto I1 = C0·i = 1000000·0,12 = 120000, I2 = 800000·0,12 = 96000

y sucesivamente I3, I4 etc se puede obtener A1 e I1 de dos formas alternativas.

Para obtener los terminos amortizativos se utiliza la expresion ak = Ak + Ik.

Ası, por ejemplo, para a1 = A1+I1 = 200000+120000 = 320000, para a2 = A2+I2 =

200000 + 96000 = 296000 y ası sucesivamente.

Finalmente el capital amortizado se calcula sumando las cuotas de amortiza-

cion hasta el periodo s. Una vez que se hacen los calculos para todos los periodos se

obtiene el cuadro de amortizacion. Los resultados se presentan en la tabla siguiente:


0 1000000

1 320000 120000 200000 200000 800000

2 296000 96000 200000 400000 600000

3 272000 72000 200000 600000 400000

4 248000 48000 200000 800000 200000

5 224000 24000 200000 1000000 0

161


3.2.2. Prestamo: Metodo americano simple

En este caso particular, en los n− 1 primeros periodos se pagan unicamente

intereses y se efectua la amortizacion total del prestamo en el ultimo periodo. Es

decir:

A1 = A2 = · · · = An−1 = 0 yAn = C0

Como siempre queda el mismo capital pendiente de amortizar, las cuotas de

intereses son siempre iguales

I1 = I2 = · · · = In = C0 · i

y por lo tanto los terminos amortizativos de los n − 1 periodos solo tiene

intereses. El termino amortizativo del ultimo periodo tiene los intereses mas el capital

total

a1 = a2 = · · · = an−1 = C0 · i yan = C0 · i+ C0

El capital vivo de cada periodo es C0 ya que no se amortiza nada hasta el

final. Por lo tanto el capital amortizado de cada periodo es 0.

Ejemplo


el metodo americano. El tanto de valoracion se fija en el 12%. Obtener la cuantıa

de los terminos amortizativos y el cuadro de amortizacion del prestamo.

En primer lugar, al ser un prestamo americano, las cuotas de amortizacion

son 0 y las cuotas de intereses son siempre iguales segun la expresion:

Ik = C0 · i = 1000000 · 0,12 = 120000

162


Ası todos los terminos amortizativos tiene el mismo valor ak = Ik = 120000

salvo el ultimo en el cual la cuota de amortizacion es el prestamo total A5 = C0 =

1000000 y por lo tanto a5 = I5+A5 = 120000+1000000 = 1120000. A continuacion

se presenta el cuadro de amortizacion


0 1000000

1 120000 120000 0 0 1000000

2 120000 120000 0 0 1000000

3 120000 120000 0 0 1000000

4 120000 120000 0 0 1000000

5 1120000 120000 1000000 1000000 0

3.2.3. Prestamo: Amortizacion con los intereses fracciona-

dos

En algunos prestamos los intereses del prestamo se pagan de forma fraccio-

nada a lo largo del ano mientras que la amortizacion se hace forma anual. En estos

casos, en el contrato figura el tanto nominal de frecuencia m (jm) con el que se

valora la operacion y a partir de ahı se obtienen el redito (im) y el tanto efectivo

anual (i) como im = jmm

y i = (1 + im)m − 1

En cada periodo (ano) los intereses se pagan m veces al ano y cada uno con

cuantıa Is,m = Cs−1 · im. La cuota de amortizacion se paga una sola vez en cada

periodo (al final del mismo) con cuantıa As. Por lo tanto, en cada periodo hay m

terminos amortizativos con cuantıas de:

as,h =

Is,h conh = 1, 2, · · · ,m− 1

Is,m + As h = m

Para obtener la ecuacion equivalente se puede operar con el redito im o bien

163


con el tanto efectivo i. En este segundo caso se sustituyen los m pagos de un periodo

por uno solo que sea equivalente

Cs−1 · im · Sm⌉im + As = Cs−1 · im · (1 + im)m − 1

im+ As = Cs−1 · i+ As

y por lo tanto se sustituye una contraprestacion de n ·m capitales por otra

de n capitales, siendo ahora la ecuacion de equivalencia

C0 =n∑

s=1

(Cs−1 · i+ As) · (1 + i)−s

El caso particular mas famoso es el Metodo Frances

Intereses fraccionados - Metodo Frances

En este caso la anualidad constante se descompone en m pagos cada uno de

ellos al final del subperiodo m con intereses y otro al final de ano con intereses y

amortizacion. Al final del ano se debe verificar:

a = Cs−1 · i+ As

Siendo las cuotas de intereses en cada periodo m iguales a Is,m = Cs−1 · im.

Las cuotas de amortizacion siguen la ley recurrente vista en el apartado del

metodo frances

As+1 = As · (1 + i) = A1 · (1 + i)s conA1 =C0

Sn⌉i

siendo i el tanto efectivo equivalente a jm.

Los capitales vivos se obtiene de forma recurrente como

Cs = Cs−1 − As

164


al igual que los capitales amortizados

Ms = Ms−1 + As

y por ultimo se puede hallar las cuotas de intereses como

Is,h = Cs−1 · im

Ejemplo


el metodo frances pagandose los intereses de forma trimestral. El tanto de valoracion

nominal anual se fija en el 11.4949% (tanto anual efectivo del 12%). Obtener la

cuantıa de los terminos amortizativos y el cuadro de amortizacion del prestamo.

Para resolver el ejercicio se deben encontrar los tipos efectivos y el redito de

frecuencia 4. El tipo efectivo ya viene en el enunciado, y el redito de frecuencia 4 se

obtiene como

i4 =j44

=0,114949

4= 0,028737345

Los intereses de cada trimestre del primer ano se obtienen como

Is,h = Cs−1 · im = 1000000 · 0,028737345 = 28737,34472

Al final del primer ano (ultimo trimestre) se debe pagar la cuota de intereses

mas la cuota de amortizacion. La cuota de amortizacion se obtiene a partir de la

expresion

A1 =C0

Sn⌉i=

1000000

6,35284736= 157409,7319

A partir de dicho valor se obtienen los demas a partir de la expresion As =

165


(1 + i)s−1 · A1. Ası, para obtener A2 = (1 + 0,12) · 157409,7319 = 176298,8998 y

ası sucesivamente.

Por ultimo, para obtener los terminos amortizativos al final de cada ano se

utiliza que as = Is,h+As. Por ejemplo, para s = 1 se obtiene que a1 = 28737,3447+

157409,7319 = 186147,0767

Las relaciones entre los capitales pendientes son iguales que los casos ante-

riores. Por ultimo, el cuadro amortizativo se presenta a continuacion:

166


Periodo trim. T. Amortizativos C. Intereses C. Amortizacion Cap. Amort. Cap. vivo

0 1000000

1 1 28737.34

2 28737.34 28737.34 0.00 0.00

3 28737.34 28737.34 0.00 0.00

4 186147.08 28737.34 157409.73 157409.73 842590.27

2 1 24213.81 24213.81

2 24213.81 24213.81

3 24213.81 24213.81

4 200512.71 24213.81 176298.90 333708.63 666291.37

3 1 19147.44 19147.44

2 19147.44 19147.44

3 19147.44 19147.44

4 216602.21 19147.44 197454.77 531163.40 468836.60

4 1 13473.12 13473.12

2 13473.12 13473.12

3 13473.12 13473.12

4 234622.46 13473.12 221149.34 752312.74 247687.26

5 1 7117.87 7117.87

2 7117.87 7117.87

3 7117.87 7117.87

4 254805.13 7117.87 247687.26 1000000.00 0.00

3.2.4. Prestamo: Amortizacion con periodos de carencia

En algunas ocasiones, especialmente cuando el credito se utiliza para financiar

una inversion fısica concreta, es necesario un periodo de carencia. La carencia puede

afectar a las cuotas de amortizacion y por lo tanto solo se pagan intereses o al

termino amortizativo completo.

167


Carencia en las cuotas de amortizacion

En los primeros s periodos de carencia solo se pagan intereses (C0 · i) y

por lo tanto en el periodo s el capital vivo es C0 (como un prestamo americano

simple). A partir del periodo s + 1 se empieza tambien a amortizar el prestamo

(as+1, as+2, · · · , an). La ecuacion de equivalencia financiera es

C0 =n∑

r=s+1

ar · (1 + i)−(r−s)

En funcion de cada tipo de prestamo, dicha ecuacion tiene una forma concre-

ta. Para el caso del metodo frances es C0 = a ·an−s⌉i (obteniendose a) y para el caso

del metodo de cuotas de amortizacion constantes es C0 = (n− s) ·A (obteniendose

A)

Carencia total

En este caso en los primeros s periodos no se debe abonar ninguna cantidad.

Como no se han abonado los intereses en el periodo s el capital vivo no es C0, sino

Cs = C0 · (1 + i)s donde se han acumulado los intereses no pagados. Por lo tanto la

ecuacion de equivalencia es

Cs = C0 · (1 + i)s =n∑

r=s+1

ar · (1 + i)−(r−s)

En el caso del metodo frances dicha ecuacion se traduce en C0 · (1 + i)s = a ·

an−s⌉i que coincide con el planteamiento de la ecuacion en el origen (renta anticipada)

C0 = a ·s /an−s⌉i = a · (1 + i)−s · an−s⌉i.

En el caso del metodo de cuotas constantes la ecuacion de equivalencia es

C0(1 + i)s = (n− s) · A

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