cuaderno apunte introducci matem

Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009

Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 1

I. IDENTIFICACIÓN NOMBRE DEL MÓDULO: INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA UNIDAD DE COMPETENCIA: Al finalizar el módulo los participantes serán capaces de:

Resolver problemas matemáticos básicos relacionados con el mundo de la economía, los negocios la tecnología y otros fenómenos socioeconómicos, utilizando eficazmente calculadora científica

DURACIÓN: 90 horas pedagógicas HORAS AULA: 36 horas (2 horas a la semana, clase expositiva) HORAS TALLER EN AULA 54 horas (3 horas a la semana, trabajo grupal en el aula) II. DESCRIPCIÓN POR ÁREA DE FORMACIÓN Y PRERREQUISITO ÁREA DE FORMACIÓN: General Diferenciada UBICACIÓN EN LA MALLA: 1er semestre PRERREQUISITO: no tiene III. UNIDADES DE APRENDIZAJE PRIMERA UNIDAD: NIVELACIÓN DURACIÓN: 20 horas pedagógicas APRENDIZAJES ESPERADOS: 1. Reconocen y nominan los conjuntos numéricos, desarrollando el lenguaje matemático para establecer relaciones entre ellos. 2. Utilizan propiedades y reglas de los números Reales para resolver las cuatro operaciones básicas, con ayuda de calculadora

científica. 3. Resuelven problemas sencillos, relacionados con la especialidad y el mundo cotidiano, utilizando calculadora científica,

propiedades y reglas de los Números Reales 4. Transforman números decimales a fracción común y viceversa 5. Realizan operaciones combinadas de números decimales y fracciones, con ayuda de calculadora 6. Identifican aplicaciones, usos e intervención de la matemática en el mundo moderno y en la especialidad. SEGUNDA UNIDAD: ÁLGEBRA EN LOS REALES DURACIÓN: 40 horas pedagógicas APRENDIZAJES ESPERADOS: 1. Identifican el concepto de razón, explican su utilidad e interpretan su valor numérico en situaciones concretas 2. Resuelven problemas relacionados con la especialidad, aplicando el concepto y las propiedades de las razones 3. Identifican el concepto de proporción, explican su utilidad e interpretan su valor numérico en situaciones concretas 4. Calculan el término desconocido de una proporción, aplicando la propiedad fundamental de las proporciones 5. Resuelven problemas relacionados con la especialidad, aplicando el concepto y las propiedades de las proporciones. 6. Identifican proporcionalidad directa e inversa y expresan proposiciones algebraicamente. 7. Aplican el concepto de Variación Proporcional Directa en inversa en la resolución de problemas relacionados con la especialidad 8. Grafican variables relacionadas con la proporcionalidad directa e inversa en el contexto de la especialidad 9. Interpretan gráficos de variaciones proporcionales directa e inversa en el contexto de la especialidad. 10. Resuelven problemas de variación conjunta relacionados con la vida cotidiana y con la especialidad 11. Resuelven problemas de tanto por ciento, descuentos y recargos, relacionados con la especialidad 12. Identifican potencias, sus componentes, propiedades y operatoria 13. Operan con potencias 14. Identifican raíces, sus componentes, propiedades y operatoria 15. Operan con potencias 16. Resuelven expresiones numéricas aplicando concepto de logaritmo.



17. Calculan valor numérico de expresiones que incluyen logaritmos decimales 18. Calculan expresiones y operan con logaritmos naturales 19. Identifican y operan con propiedades de los logaritmos 20. Identifican potencias, raíces y logaritmos como operaciones inversas 21. Identifican y reducen términos semejantes 22. Realizan operaciones básicas con polinomios: Adición, Sustracción, Productos 23. Desarrollan productos de polinomios, utilizando las fórmulas de productos notables: cuadrado de binomio, producto de una suma

por su diferencia 24. Factorizan expresiones algebraicas 25. Operan expresiones algebraicas con exponente, radicales y logaritmos aplicando sus propiedades y teoremas 26. Calcula, con ayuda de calculadora científica, el valor numérico de expresiones numéricas y algebraicas con radicales, potencias y

logaritmos aplicando sus propiedades 27. Resuelven problemas relacionados con la especialidad, aplicando los diferentes tipos de números, operatoria y formas de

expresión. 28. Resuelven ecuaciones de primer grado, orientando su estudio a situaciones reales de la especialidad y el mundo laboral. 29. Resuelven ecuaciones de segundo grado orientando su estudio a situaciones reales de la especialidad y el mundo laboral 30. Resuelven sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, orientando su estudio a situaciones de la especialidad y el

mundo laboral. 31. Resuelven ecuaciones exponenciales, orientando su estudio a situaciones de la especialidad y el mundo cotidiano 32. Resuelven ecuaciones logarítmicas, orientando su estudio a situaciones de la especialidad y el mundo laboral 33. Exploran sistemáticamente, diversas alternativas y estrategias para la resolución de problemas relacionados con la especialidad 34. Resuelven problemas relacionados con la especialidad, seleccionando secuencias adecuadas de operaciones y métodos de

cálculo, incluyendo una sistematización del método ensayo error, y analizando la pertinencia de los datos y soluciones. TERCERA UNIDAD: LAS FUNCIONES COMO MODELOS DESCRIPTIVOS DURACIÓN: 30 horas pedagógicas APRENDIZAJES ESPERADOS: 1. Identifican el concepto de función, su dominio y recorrido, operando con la nomenclatura correspondiente. 2. Calculan imágenes y coimágenes en funciones sencillas y las representan gráficamente. 3. Identifican la función lineal y la caracterizan a través de sus parámetros, ceros y gráfica 4. Operan con la función lineal en forma analítica y gráfica, relacionando su estudio a situaciones de la vida laboral 5. Resuelven problemas de la vida cotidiana y de especialidad aplicando la función lineal como modelo 6. Identifican la función cuadrática y la caracterizan a través de sus parámetros, ceros y gráfica. 7. Operan con la función con la función cuadrática en forma analítica y gráfica, relacionando su estudio a situaciones de la vida

laboral. 8. Resuelven problemas de la vida cotidiana y de especialidad aplicando la función cuadrática como modelo.

9. Identifican la función exponencial de la forma xbay , y la caracterizan a través de sus parámetros, ceros y gráfica.

10. Identifican el comportamiento de la función exponencial de la forma xbay cuando 0< b < 1 y cuando b> 1 11. Resuelven problemas contextualizados en el mundo cotidiano yen la especialidad, aplicando el modelo exponencial. 12. Identifican la función logarítmica de la forma xbay log , y la caracterizan a través de sus parámetros, ceros y gráfica. 13. Resuelven problemas contextualizados en el mundo cotidiano y en la especialidad, aplicando el modelo logarítmico. 14. Analizan fenómenos de crecimiento lineal, exponencial, y logarítmico en forma analítica y gráfica. 15. Resuelven problemas de crecimiento contextualizados en el mundo cotidiano y de la especialidad, aplicando modelos de

crecimiento lineal, exponencial y logarítmico. IV. ORIENTACIONES METODOLÓGICAS A) GENERALES: - Iniciar el proceso de enseñanza-aprendizaje a partir de los conocimientos previos de los estudiantes. Diagnóstico. - Centrar la docencia en el aprendizaje de los estudiantes, más que en la enseñanza. El estudiante debe ser activo. - Situar y vincular permanentemente los aprendizajes, contenidos y actividades con el contexto social y laboral de los estudiantes y la

carrera que estudian.



- Utilizar la resolución de problemas como uno de los ejes fundamentales de la enseñanza-aprendizaje. - Promover en los estudiantes la reflexión sobre sus conocimientos y las posibles implicaciones de sus actos. - Promover aprendizajes de conocimientos, habilidades y actitudes, integradas y relevantes en el contexto de la carrera. B) ESPECÍFICAS: - Presentación centrada en el estudiante por parte del profesor de los diferentes contenidos temáticos. - Desarrollo de diferentes ejercicios de práctica escritos. - Actividades individuales de desarrollo de ejercicios específicos para cada contenido y aplicados a la especialidad. (Reforzamiento a

través de actividades guiadas por el profesor, centradas en el estudiante). - Actividades grupales de desarrollo de ejercicios específicos para cada contenido y aplicados a la especialidad. (reforzamiento a

través de actividades guiadas por el profesor, centradas en el estudiante). - Consolidación de conocimientos a través de diversos ejercicios guiados por el profesor, con el objetivo de - esclarecer y reforzar contenidos. V. EVALUACIÓN Las evaluaciones que se aplican en este módulo son del tipo ENE (Evaluación Nacional Estandarizada). Además cada docente puede evaluar los trabajos grupales u otras actividades con nota. De estos trabajos se obtiene una nota promedio, que corresponde a una nota por unidad. Con las notas del semestre se obtiene la nota de presentación a examen. Si esta nota es igual o mayor a 5,5 el estudiante se exime del examen final. El examen final es una Prueba Nacional Estandarizada escrita que equivale al 30% del promedio. Evaluaciones Nacionales Estandarizadas Primera ENE: Prueba Escrita, coeficiente 1 ingresada en la primera columna de la Primera Unidad. Segunda ENE: Prueba Escrita, coeficiente 1 ingresada en la primera columna de la Tercera Unidad. Controles: Unidad 1: al menos 1 (Controles Escritos y promedio de los trabajos desarrollados.) Unidad 2: al menos 1 (Controles Escritos y promedio de los trabajos desarrollados.) Unidad 3: al menos 1(Controles Escritos y promedio de los trabajos desarrollados.) VI. BIBLIOGRAFÍA - Piotr Maarian Wisniewski /Ana Laura Gutierrez Banegas; 2003; Introducción a las Matemáticas Universitarias. - Jagdish C. Arya; 2002; Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía.



VII. CLASE A CLASE

PRIMERA UNIDAD: NIVELACIÓN

CLASE 1

CONJUNTOS NUMÉRICOS 1.1 Conjunto de los Naturales: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......} El conjunto de los Números Naturales se caracteriza porque: Tiene un número infinito de elementos Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor. El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1). 1.2. Conjunto de los Enteros: Z = {..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} El Conjunto de los Números Enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción; la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda del cero. Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de él). Por lo tanto podemos decir que el conjunto de los números enteros, está formado por los Naturales, sus simétricos y el cero 1.3. Conjunto de Racionales: Q = {....- ¾, - ½, - ¼, 0, ¼, ½, ¾,.....}

El conjunto de los Números Racionales está formado por todos los números de la forma b

a. Esta fracción en la Cuál el numerador a, es

un número entero y el denominador b, es un número entero distinto de cero. El conjunto de los números Racionales, se define como:

0,/ bZba

b

aQ

Este conjunto se representa gráficamente, dividiendo cada intervalo de una recta numérica en espacios iguales, que representen números enteros. Cada una de estas subdivisiones representa una fracción con denominador igual al número de partes de la subdivisión. Cada fracción es un número racional y cada número racional consta de infinitas fracciones equivalentes.

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Reconocer y nominar los conjuntos numéricos,

desarrollando el lenguaje matemático para establecer relaciones entre ellos.

1. Conjuntos numéricos. 1.1. Naturales 1.2. Enteros 1.3. Racionales 1.4. Irracionales 1.5. Reales



1.4. Conjunto de los Irracionales: Son aquellos que no se pueden expresar en forma Racional El conjunto de los números Irracionales se define como. I = {x / x es un decimal infinito no periódico} Algunos ejemplos de números irracionales son:

.......141592653,3..........414213562,12.......313313331,0

A él pertenecen todos los números que no pueden escribirse en la forma b

a No deben confundirse con los números racionales,

porque éstos son números decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos que sí pueden escribirse en la forma b

a

1.5. Conjunto de los Reales: El conjunto de los números reales se define como:

IQIR Con lo Cuál obtenemos la denominada recta numérica. Recordemos que una recta es una sucesión infinita de puntos alineados. Entre dos puntos existen infinitos puntos y a cada punto le corresponde un número Real Valor absoluto de un número:

El valor absoluto de un número real a denotado por a , es la distancia sobre una recta numérica entre 0 y el punto con coordenada a

Para cualquier número real x

xxentoncesxSi

xxentoncesxSi

0

0

Si x es positivo o 0, entonces x es su propio valor absoluto. No obstante, si x es negativo, entonces – x (que es un número positivo) es el

valor absoluto de x. En consecuencia 0x , para todos los números reales x.

Ejemplo:

44

44

Encuentre cada uno de los siguientes valores absolutos:

a. 3 Respuesta: 3

b. 8 Respuesta. 8

c. 4 Respuesta. 4

d. 36 Respuesta: 18



CLASE 2

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Reconocer y nominar los conjuntos numéricos, desarrollando el lenguaje matemático para establecer relaciones entre ellos.

1. Conjuntos numéricos. 1.1. Naturales 1.2. Enteros 1.3. Racionales 1.4. Irracionales 1.5. Reales

Taller de Matemáticas 1. Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a.-La medida de una excavación de 5 metros de profundidad se puede representar por el numeral -5. b.-El valor del pasaje del trasporte público se representa por un número positivo. c.-La cantidad de personas que asiste a un evento esta representado por un número positivo. d.-La temperatura de un caluroso día de verano, en grados Celsius está dada por un número positivo. 2. En la figura siguiente, en los recuadros señalados por cada flecha, anote las sumas de los números que están en el cuadriculado

respectivo

A) Los números de los recuadros señalados con las flechas son los cubos de 2, de 3, de 4 y de 5

B) La suma de los números de la diagonal principal de cada cuadriculado son los cuadrados de 2, de 3, de 4 y de 5.

C) La suma de todos los números del sexto cuadriculado de este mismo tipo es 216. D) Todas las afirmaciones anteriores son verdaderas.

3. A continuación se presenta parte de una tabla de la ubicación de los números del 1 al 200.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

33 34 35 36 37



La figura siguiente es parte de esta tabla. ¿Qué números deben figurar en los recuadros x e y?

A) 96 y 98 B) 98 y 100 C) 101 y 103 D) 102 y 104

4. a.- Anote cuatro números enteros menores que 10 y mayores que 3

b.- Anote cuatro números enteros que sean mayores que 3

5. Dados 3 números irracionales determinar el orden de mayor a menor de ellos:

22

5;

7

3;

2

6

6. Ordenar de menor a mayor los números: - (- 3); 7;; e

CLASE 3

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Utiliza propiedades y reglas de los números Reales para resolver las cuatro operaciones básicas, con ayuda de calculadora científica.

2. Operaciones Básicas: 2.1. Adición 2.2. Sustracción 2.3. Producto 2.4. Cuociente 2.5. Uso de calculadora científica

Operaciones Básicas: Adición de números reales

Cuando se efectúa la adición de números, el resultado se denomina suma. Por ejemplo: a. Sume: 75 y

12)7(5

b. Sume )8()2( y

10)8()2( Generalizando:

Con signos iguales: Sumar los valores absolutos de los números y mantener el signo común Con signos diferentes: Restar los valores absolutos de los números (del mayor, restar el menor) y mantener el signo del

número con mayor valor absoluto Sume los números.

a. )20(12

b. )8(20



c. )12(15

d. )15(30 Sustracción de números reales:

Cuando un número se resta de otro número, el resultado se denomina diferencia. Para encontrar una diferencia, podemos convertir la resta en una suma equivalente. Por ejemplo, la resta de 610 es equivalente a la suma de )6(10 , porque tienen el mismo

resultado: 4)6(104610 Esto sugiere que, para restar dos números cambiamos el signo del número que se resta y sumamos Reste:

a. 914

b. 1020 =

c. )12(8 Multiplicación de Números Reales

Cuando se multiplican dos números, el resultado se llama producto. Podemos encontrar el producto de 5 y 4 si usamos el 4 cinco veces en una suma:

2044444)4()5( El producto de )4(5 y lo encontramos al usar 4 cinco veces en una suma:

20)4()4()4()4()4()4()5( Por lo tanto para multiplicar dos números reales:

Con signos iguales: Multiplique sus valores absolutos. El producto es positivo Con signos diferentes: Multiplique sus valores absolutos. El producto es negativo. Multiplicación por 0: Si x es cualquier número real, entonces 000 xx

Multiplicar:

a. )9(3

b. )15(4

c. )9(3 División de números reales

Cuando se dividen dos números, el resultado lo denominamos cuociente. En la división )0( bqb

a, el cuociente q, es un número

tal que aqb



Considere las siguientes divisiones:

24)12(2,122

24

queya

15)3(5,35

15

queya

2412)2(,122

24

queya

Los resultados anteriores sugieren que, para dividir números reales.

Con signos iguales: Divida sus valores absolutos. El cuociente es positivo Con signos diferentes: Divida sus valores absolutos. El cuociente es negativo.

División entre 0: La división entre 0 no está definida.

Si xdevalorningúnparadefinidoestánox

oembSinx

entoncesx0

,arg.00

,0

Dividir:

a. 15

30

b. 4

20

c.

5

10

Orden de las operaciones: Consideremos la expresión:

4310 , que contiene las operaciones de adición y multiplicación, convenimos en efectuar las multiplicaciones antes que las sumas:

12104310 Realice primero la multiplicación

22 Luego realice la adición Para indicar que las sumas deben efectuarse antes que las multiplicaciones, debemos utilizar signos de agrupación como son los paréntesis: Paréntesis redondo

Paréntesis rectangulares

Paréntesis de llaves



Por ejemplo en la expresión 273 , los paréntesis indican que la adición debe efectuarse primero:

20210273

Para garantizar resultados correctos, realizar el siguiente orden: Utilice los siguientes pasos para realizar todos los cálculos dentro de cada par de símbolos de agrupación; trabaje del par más interno al más externo.

a. Efectúe todas las multiplicaciones y divisiones, trabajando de izquierda a derecha. b. Efectúe todas las adiciones y sustracciones, trabajando de izquierda a derecha

Cuando se hayan eliminado todos los símbolos de agrupación, repita las reglas antes mencionadas para finalizar el cálculo. En el caso de una fracción simplifique (divida el numerador y el denominador por el mismo número) Ejemplo: Evalúe la siguiente expresión:

15:)5(415:)27(4

15:20

5

14

5 Evaluar:

a. 13:6235 Respuesta: 15

b. 226

4384

Respuesta: 2

Propiedades de los números reales:

Sean a, b y c elementos pertenecientes a un conjunto numérico, entonces:

AXIOMAS ADICIÓN MULTIPLICACIÓN Sean a y b números pertenecientes de un mismo conjunto, entonces:

A1 Clausura (Ley de composición interna) ba pertenece al mismo

conjunto ba pertenece al mismo

conjunto A2 Conmutatividad abba abba A3 Asociatividad cbacba )()( cbacba )()(

A4 Elemento Neutro aaa 00 aaa 11 A5 Elementos Inversos aaaa )(0)( aaaa 11 1 A6 Distributividad cabacba )(



CLASE 4

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Utiliza propiedades y reglas de los números Reales para resolver las cuatro operaciones básicas, con ayuda de calculadora científica. Resuelven problemas sencillos relacionados con la especialidad y el mundo cotidiano, utilizando calculadora científica, propiedades y reglas de los números reales.

2. Operaciones Básicas: 2.1. Adición 2.2. Sustracción 2.3. Producto 2.4. Cuociente 2.5. Uso de calculadora científica Taller

Resolver los siguientes problemas

1. Obtenga el valor final de: 40156718765 2. En 15 barriles de la misma capacidad, se han almacenado 1.200 litros de agua. ¿Cuántos barriles son necesarios para

almacenar 8.400 litros de agua? Respuesta:

a) 1200 15= 80 la capacidad del barril es de 80 litros b) 8400 80 = 105 se necesitan 105 barriles.

3. En una bodega hay 400 cajones de manzanas. Cada cajón tiene 80 manzanas. En diciembre se almacenan otros 639 cajones.

¿Cuál de las siguientes preguntas se contesta mediante una adición? A) ¿Cuántas manzanas hay en la bodega? B) ¿Cuántas manzanas se almacenan en Diciembre? C) ¿Cuántos cajones hay ahora en la bodega? D) Si se venden 180 cajones, ¿cuántos quedan por vender en la bodega? 4. Un camino de 37 baldosas se desea modificar para generar un cuadrado sobre el cuál se instalaría una maceta. ¿Es posible realizar

esta modificación con 37 baldosas? ¿Es posible, si son 36 baldosas?

Respuesta: Un cuadrado es un paralelogramo cuyos lados tienen igual medida, por lo que No existe un número natural tal que al multiplicarse por sí mismo, dé 37.En cambio con 36 baldosas Sí es posible. Todos los números que no es posible descomponerlos en factores distintos de 1 y de sí mismo, se denominan Primos.

5. Un buzo que hace trabajos en una obra submarina se encuentra en la plataforma base a 6 metros sobre el nivel del mar y realiza los

desplazamientos siguientes: a. Baja 20 metros para dejar material b. Baja 6 metros más para hacer una soldadura c. Sube 8 metros para reparar una tubería d. Finalmente vuelve a subir a la plataforma. ¿Cuantos metros ha subido en su último desplazamiento hasta la plataforma?

Solución: 18 metros 6. En una industria de congelados, la temperatura en la nave de envasado es de 12 grados Celsius, y en el interior del almacén

frigorífico, de 15 grados Celsius bajo cero. ¿Cuál es la diferencia de temperatura entre la nave y la cámara? 7. Un día de invierno amaneció a dos grados bajo cero. A las doce del mediodía la temperatura había subido ocho grados, y hasta las

cinco de la tarde subió tres grados más. Desde la cinco a medianoche bajo cinco grados, y de medianoche al alba, bajo seis grados más. ¿A qué temperatura amaneció el segundo día?



8. El empresario de un parque acuático hace este resumen de la evolución de sus finanzas a lo largo del año.

Enero – Mayo: pérdidas de 2.475 euros mensuales Junio – Agosto: ganancias de 8.230 euros mensuales Septiembre: ganancias de 1.800 euros Octubre – Diciembre: pérdidas de 3.170 euros mensuales

¿Cuál fue el balance final de año? 9. Ud. tiene una Cuenta Corriente en un determinado Banco y como usted es una persona muy ordenada, contabiliza sus haberes de la

siguiente manera: Saldo anterior

Depósito/ Cargo Red compra Saldo Valor del cheque Nuevo saldo Si su saldo anterior fue de $1.200.000, depositó hoy $350.000, realiza compras por un total de $250.000, usando su Red Compra y

cancela la cuenta de la luz con cheque por $15.000. ¿Cuál es su nuevo saldo? Respuesta: $1.285.00 CLASE 5

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Transforman números decimales a fracción común y viceversa. - Operaciones con fracciones

Transformaciones: Transformación de fracción a decimal Transformación de un número decimal infinito periódico o semiperiódico a fracción

REPRESENTACIÓN DECIMAL DE NÚMEROS RACIONALES: Todo número racional admite una representación decimal, que es la que se obtiene al dividir el numerador entre el denominador, por ejemplo 1/2 tiene como expresión decimal 0,5. 3405/25=136,2 y 1/3= 0,33333.......

Esto puede dar lugar a dos tipos de desarrollos decimales, los finitos (nº decimal) y los periódicos. Éstos últimos pueden a su vez dividirse en periódicos o periódicos mixtos.

Desarrollo decimal finito, es aquél que tiene un número finito de términos. Por ejemplo: 0,5, 1,348 ó 367,2982345 Estas expresiones surgen de números racionales cuyo denominador (en la expresión irreductible) sólo contiene los factores 2 y 5. Por ejemplo 1349/1000, 40/25, …

Desarrollo decimal periódico es aquél que tiene un número infinito de cifras decimales, pero, de modo que un grupo finito de ellas se repite infinitamente, de forma periódica, llamado período, por ejemplo 0,333333....., 125,67777777....... ó 3,2567256725672567...... Surgen de fracciones cuyo denominador contiene factores distintos de 2 y 5, por ejemplo, 1/3=0,33333...

En un desarrollo decimal periódico mixto, antes del período y después de la coma aparece un bloque de una o más cifras que no se repite, llamado anteperíodo.

Podría considerarse que las expresiones decimales finitas son periódicas mixtas pero con período 0. TRANSFORMACIÓN DE FRACCIÓN A DECIMAL Para transformar una fracción en un número decimal, se divide el numerador por el denominador:



Ejemplos:

1) 3125,0400:125400

125 (desarrollo decimal finito)

2) 833333,06:56

5 (desarrollo decimal periódico mixto)

TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL A FRACCIÓN Recíprocamente, dado un desarrollo decimal finito o periódico, puede encontrarse una expresión racional (fracción) para la misma, siguiendo la siguiente norma:

Si el desarrollo decimal es finito: se coloca como numerador el número entero que resulta de suprimir la coma decimal y como denominador una potencia de 10 con tantos ceros como cifras se encontraran a la derecha de la coma decimal en la expresión decimal original. Ejemplo:

1000

3428728734 ,

Si el desarrollo decimal es periódico: se coloca como numerador el resultado de restar al número entero, sin coma, hasta la primera repetición del período, la parte entera. Como denominador tantos nueves como cifras tenga el período. Ejemplo:

999

323253253253232

..., =

999

32500

Si el desarrollo decimal es periódico mixto: se coloca como numerador el resultado de restar al número entero formado por la parte entera, el anteperíodo y la primera repetición del período, el entero formado por la parte entera y el anteperíodo. Como denominador tantos nueves como cifras tenga el período seguidos de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo. Ejemplo:

9900

45845841414141584

..., =

9900

45383

Posteriormente se pueden simplificar las fracciones obtenidas para conseguir la expresión irreductible. FRACCIONES EQUIVALENTES Dos fracciones son equivalentes si representan el mismo número decimal. Es decir, al dividir numerador por denominador, el resultado

es el mismo.

Para obtener fracciones equivalentes, se amplifica o simplifica la fracción, por cualquier número distinto de cero.

Ejemplos:

1) Dada la fracción 5

2, si la fracción se amplifica por 2, se obtiene

10

4

2·5

2·2 , que es equivalente a la anterior ya que al dividir 2 en

5 se obtiene 0,4 y al dividir 4 en 10, también se obtiene 0,4.

2) Dada la fracción 20

5, si se divide numerador y denominador por 5 se obtiene

4

1

5:20

5:5 , que es equivalente a la anterior, ya

que al dividir 5 en 20 se obtiene 0,25 y al dividir 1 en 4 se obtiene, también, 0,25.

Observación: Si una fracción no es simplificable, se denomina fracción irreductible. Si una fracción se amplifica por cada elemento de Z (excepto el cero) se forma el conjunto llamado clase de equivalencia. Ejemplos de clases de equivalencia:



,...

10

5,

8

4,

6

3,

4

2,

2

1

2

1

,...

16

12,

12

9.

8

6,

4

3

4

3

PROPIEDADES DE LAS FRACCIONES:

1. Simplificar una fracción b

a equivale a

nb

na

:

: . Sólo se pueden efectuar en presencia de multiplicación.

2. Amplificar una fracción b

a equivale a

nb

na

3. Máximo común divisor (MCD) entre dos o más números es el mayor número que divide exactamente a todos ellos. Ej.: el MCD entre 48-96-64 es 16.

4. Mínimo común múltiplo (MCM) entre dos o más números es el menor número que es divisible por cada uno de ellos. Ej.: el mcm entre 48-96-64 es 192. El mínimo común múltiplo entre 15, 45 y 60 es 180 Para determinar el MCM se procede de la siguiente forma.

Disponer los números en una tabla y comenzar a dividir por 2, 3, 5, 7, etc.

15 45 60 2

15 45 30 2 15 45 15 3 5 15 5 3 5 5 5 5 1 1 1

El mínimo común múltiplo resulta de multiplicar 2 ·2 ·3 · 3 · 5 = 180

5. Fracción propia es la fracción menor que la unidad. Ej.: 253

6. Fracción impropia es la fracción igual o mayor que 1. Ej.: 325

7. Las fracciones impropias se transforman en números mixtos. Ej.3

18

3

25

8. Igualdad de fracciones: bcadd

c

b

a

9. Comparación entre dos fracciones bcadd

c

b

a

10. Intercalar un racional entre dos racionales dados: - ordenar de menor a mayor los racionales - sumar los numeradores y denominadores respectivamente - la fracción así obtenida se ubica entre las fracciones dadas

Ej.: ubicar una fracción entre 4

5

5

2

4

5

45

52

5

2

, entonces, se determina que 4

5

9

7

5

2



11. Inverso multiplicativo. Si el producto de dos números es 1, los números son recíprocos o inversos multiplicativos.

Ej.: 13

4

4

3

OPERACIONES CON FRACCIONES: Si b

a y

d

c son números racionales, se define:

OPERACIÓN ADICIÓN

bd

bcad

d

c

b

a

Adición con denominadores iguales

b

ca

b

c

b

a

SUSTRACCIÓN

d

c

b

a

d

c

b

a

MULTIPLICACIÓN

db

ca

d

c

b

a

·

··

DIVISIÓN

cb

da

c

d

b

a

d

c

b

a

·

··:

Completar la siguiente tabla, sabiendo que a, b, c, d son números racionales. a b c d

b

a

c · d a – ( b + c ) ( a + b ) · c a·b – c·d

1 5

2 8

7

2

3 5

6

2 3

1

8

1

10

21 10

1

3 4

45

5

4 25

2

40

3

Respuesta.

b

a

c · d a – ( b + c ) ( a + b ) · c a·b – c·d

1 35

16

5

9

40

9

80

57

20

29

2 3

8

100

21

120

227

80

77

600

101

3 16

225

500

3

100

1213

250

209

500

4497



CLASE 6

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Transforman números decimales a fracción común y viceversa. - Operan con fracciones

Transformaciones: Transformación de fracción a decimal Transformación de un número decimal infinito periódico o semiperiódico a fracción Taller

Resolver los siguientes problemas: 1. En la especialidad de alimentación se preparan tortas para una recepción. Susana preparó 2 tortas de igual tamaño, una de piña y otra de manjar. La de piña la dividió en 24 trozos iguales y la otra en 12 trozos iguales. Don Juan, asistente a la recepción, comió 4 pedazos de torta de piña y dos de manjar.

a) Represente numéricamente cuánto de torta de piña comió don Juan b) Represente numéricamente cuánto de torta de manjar comió don Juan c) ¿Comió lo mismo de ambas? d) ¿Cuánto comió en total? e) Si cada trozo de torta de piña se vendiera a $400 y cada trozo de torta de manjar se vendiera a 1/3 de lo que se vende el

de piña, ¿Cuánto debería pagar don Juan por lo que comió? Solución

a) La torta de piña se divide en 24 partes iguales y se toman 4 de ellas, se obtiene la fracción: 24

4

b) La torta de manjar se divide en 12 partes iguales y se toman 2 partes, se obtiene la fracción: 12

2

c) ¿Qué puede decir de las fracciones 20

5 y 4

1 ? ¿Son iguales? ¿Por qué?



Entonces, tomando la fracción de la torta de piña 24

4 se simplifica por 4, 6

1

424

44

:

:

Luego, hacemos lo mismo con la fracción de la torta de manjar 12

2 se simplifica por 2, 6

1

212

22

:

:

Podemos concluir que las fracciones 24

4 y 12

2 representan la misma fracción, son fracciones equivalentes, luego, don Juan

comió la misma cantidad de torta de piña que de manjar. d) Debemos sumar 4/24 y 2/12 ó 1/6 y 1/6. Resulta más fácil la segunda opción, pues, son dos fracciones de igual denominador:

3

1

6

2

6

1

6

1 . Don Juan comió 1/3 (un tercio) de torta, en total.

e) Para saber cuánto debería pagar, multiplicamos 4*400 = $1.600, lo que correspondería a los trozos de torta de piña. Para saber el

valor de un trozo de torta de manjar multiplicamos ...333,133$3

400400

3

1 El valor de cada trozo de torta de manjar es

$133. Aproximamos al entero, pues, la división 400/3 da un número decimal infinito periódico y los precios en Chile no tienen decimales. En total, don Juan debería pagar: 4*400 + 2*133 = $1.866 por lo consumido.

2. Un almacén de pinturas utiliza 2/3 de la superficie para almacenar pinturas, 1/4 del resto para disolventes y los 600 m²

restantes para pintar. ¿Cuántos metros cuadrados tiene el almacén? Solución: Al decir 2/3 significa que queda 1/3 que no almacena pinturas. La suma de las partes debe dar el entero 3/3 = 1.

Al decir ¼ del resto, significa ¼ de 1/3. Debemos multiplicar ¼ por 1/3, 12

1

34

11

3

1

4

1

.

O sea, 1/12 del almacén contiene disolventes. Pero, la pregunta apunta al total de metros cuadrados que tiene el almacén. Si ¼ de 1/3 están con disolventes, entonces, ¾ de ese 1/3 no tienen ni pintura ni disolventes, es decir, está destinado a pintar y

corresponden a 600 2m .

Multiplicando de nuevo ¾ por 1/3 y simplificando: 4

1

12

3

34

13

3

1

4

3

obtenemos que ¼ corresponde a 600 2m . Luego

multiplicando por 4 concluimos que el almacén tiene 2.400 2m . 3. En una fábrica de automóviles se trabaja desde las 8 hrs. hasta las 20 hrs. El proceso para maximizar la producción es el

siguiente:

3

1 del tiempo se dedica a la construcción de motores

4

1 de la jornada para carrocerías

2

1 del tiempo que se ocupa para fabricación de motores, se utiliza para construir accesorios.

3

1 del tiempo destinado a carrocerías, se usa para afinar detalles finales.

2

1 del tiempo utilizado para los accesorios, se destina a almorzar.

El resto de la jornada se dedica a actividades recreativas. ¿Cuántas horas se dedican a esta actividad?

4. Se tienen dos botellas de bebida. La primera de 1 4

1 lt. y la segunda de 4

3 lt. Con cada una se llenan vasos de 8

1 lt.

¿Cuántos vasos más se pueden llenar con la primera botella que con la segunda?



Respuesta: 4 vasos más 5. Una lechería despacha al supermercado 18 cartones de mantequilla de 25 kg. cada uno. La mantequilla está envasada en

paquetes de 4

1 de kg. Calcular cuántos paquetes se despacharon.

Respuesta: 1.800 paquetes de mantequilla

6. 5

1 de los ingresos de una comunidad de vecinos de un edificio se emplean en gas, 3

1 se emplean en electricidad, 12

1 en la

recogida de basuras, 4

1 en mantenimiento del edificio y el resto en limpieza.

a) ¿Cuánto se emplea en limpieza? b) Si la comunidad dispone de $3.300.000, ¿cuánto corresponde a cada actividad?

7. En un centro comercial, 5 de cada 7 empleados cobran cada 15 días, 2 de cada 9 lo hacen mensualmente y el resto cobra

semanalmente. Si en total hay 6.300 empleados, hallar el número de empleados de cada clase.



CLASE 7

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Realizan operaciones combinadas de números decimales y fracciones, con ayuda de calculadora. - Identifican aplicaciones, usos e intervención de la matemática en el mundo moderno y en la especialidad

-Operaciones básicas con decimales La matemática en el mundo cotidiano y en la especialidad

Clase de Taller: Resolver los siguientes problemas:

1. Si 25,3,3

1,2 cba , evalúe

)(

3

acb

cba

2. Si 5

1,5,3,4 cba , evalúe

c

bcba )(

3. Se desea construir un edificio de 10 pisos con 4 departamentos por piso y dos niveles de estacionamientos subterráneos. Para esto

se realiza una excavación de 5 metros y se construye una fundación para 8 pilares como soporte del edificio. Cada uno de los departamentos debe tener una altura de 2.5 metros entre suelo y cielo, además cada nivel estará dividido por una losa de 15 centímetros más una sobre losa de 7 centímetros.

4. De acuerdo a la situación planteada:

a) Calcular la altura del edificio y la de la construcción. Respuesta: 27,2 metros

b) Si uno de los dormitorios de los departamentos es cuadrado y tiene una superficie de 10 metros cuadrados ¿cuáles son sus

dimensiones? Respuesta: 3,16 metros por lado

c) Si por cada departamento se pagan $ 44.775.000 ¿Cuál es el precio expresado en UF si UF 1 = $19.930?

Respuesta: UF 2.246,6314…

5. Una familia consume 12

1 litro de leche diariamente. Calcular:

a) el consumo semanal b) el consumo en el mes de Abril c) el consumo anual.

6. En la celebración de unos tijerales participan 38 albañiles y carpinteros, además de 10 empleados de la obra. Cada uno recibe con la

comida, 4 vasos de vino de 8

1 litro y 2 vasos de bebida de

5

2 litros cada uno. ¿Cuántos litros de vino y cuántos de bebida hubo

que encargar? 7. Si un trozo de tela mide 820 cm. y se divide en 4 partes, de modo que, el segundo trozo sea 2/3 del primero, el tercer trozo sea 1/5

del segundo y el cuarto trozo es el doble del tercer trozo, calcular el tamaño longitudinal de cada trozo de tela.



CLASE 8

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Realizan operaciones combinadas de números decimales y

fracciones, con ayuda de calculadora. - Identifican aplicaciones, usos e intervención de la matemática en el mundo moderno y en la especialidad

-Operaciones básicas con decimales La matemática en el mundo cotidiano y en la especialidad

Clase de Taller. Resuelva los siguientes problemas, en forma individual o en forma grupal. 1. Un mayorista vende azúcar a $750 el kilo en el caso de cantidades hasta 100 kilos .Si se trata de cantidades mayores a 100 kilos,

pero menores que 200 kilos la tarifa es de $675 el kilo y para compras superiores a 200 kilos el precio es de $600 el kilo. Si en un día cualquiera las compras efectuadas al comerciante fueron las siguientes:

Comprador 1: 250 kilos de azúcar; comprador 2: 120 kilos de azúcar; comprador 3: 95 kilos de azúcar. Determine la cantidad total de dinero cancelada por los tres compradores.

2. Un cartero reparte correspondencia en un edificio de cuatro pisos sin ascensor .Cierto año subió 25 días al primer piso, 72 días al

segundo piso, 43 días al tercer piso y 140 días al cuarto piso. El número de escalones que hay de la calle al primer piso es 32 y 24 entre piso y piso. ¿Cuantos escalones subió el cartero durante ese año solo en el servicio de ese edificio?

3. Para la formación de una sociedad se reúnen cuatro socios A, B, C y D. El socio A aporta $1.500.000, el socio B la mitad del

aporte del socio A, el socio C, el triple del aporte de A y el socio D $750.000 más que el socio B, determine el aporte total para la formación de la sociedad.

4. Un comerciante compró 500 unidades de un producto a 6 euros cada uno .Vendió cierto número de unidades en 500 euros, a 5

euros cada una. ¿A que precio debe vender el resto para no perder? 5. Una persona compra en un mall de la capital dos artículos A y B por un total de $300.000, si por el artículo B canceló $35.800 menos

que por el artículo A, determine el precio de cada artículo. 6. Obtener el valor entero correspondiente a la expresión: 7:1438234109

7. Sean

db

acbadevalorelcalculedycba

)(,

5

32,0;75,0;

4

1

8. Una jarra tiene 45 de litro de capacidad y está llena de jugo. Se echa 5

1 de litro de este jugo en un vaso. ¿Cuanto queda en la

jarra? 9. El agua contenida en cuatro depósitos pesa 879,002 Kg. El primer depósito contiene 18,132 Kg. menos que el segundo; el segundo,

43,016 Kg. más que el tercero, y el tercero 78,15 Kg. más que el cuarto. Hallar el peso del agua contenida en cada depósito.



CLASE 9

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Identifican el concepto de razón, explican su utilidad e interpretan su valor numérico en situaciones concretas. - Identifican el concepto de proporción, explican su utilidad e interpretan su valor numérico en situaciones concretas. - Calculan el término desconocido de una proporción, aplicando la propiedad fundamental en las proporciones.

- Razones: Concepto, Cálculo e interpretación. - Proporciones : Concepto, Teorema Fundamental -Término desconocido de una proporción

Frecuentemente comparamos dos o más cantidades, por ejemplo, cuantas veces es mayor el precio del trasporte de una mercadería si se dispone de las cotizaciones de dos empresas de despacho a domicilio. 1.- Una empresa importadora dispone de dos cotizaciones para realizar el traslado de mercaderías que se encuentran en una bodega

del puerto de Valparaíso a las bodegas de la empresa ubicadas en el sector sur de la región metropolitana. Los valores de cada cotización son: C1:$ 375.000 y C2: 431.250 ambas con IVA incluido.

¿Cuántas veces el valor de la cotización C2 corresponde a la cotización C1?

SOLUCIÓN:

En la pregunta planteada debemos entender el concepto que matemáticamente nos entrega la palabra “veces”. Para ello recurramos a un ejemplo simple:

¿Cuántas veces esta contenido 20 en 40? Claramente entendemos que 40 es “doble” de 20, es decir si 20 se multiplica por 2 se obtiene 40. Por lo tanto podemos establecer

que 40 es 2 veces 20.

Entonces: para determinar la cantidad de veces un número esta contenido en otro bastará con conocer el factor que multiplica a uno de los números para obtener el otro.

En el problema planteado se tiene: ;000.375250.431 A donde A representa el numero de veces que el valor 375.000 esta contenido en 431.250, es decir: 431.2500/375.000 = 1,15 veces.

2.- Las utilidades anuales de una empresa que asciende a 100 millones de pesos se reparte entre dos socios de forma que el primero

recibe 40 millones y la segundo 60 millones. Establezca una relación entre las partes que cada uno recibe, con respecto al monto total de las utilidades.

SOLUCIÓN:

Como necesitamos establecer la relación entre los montos recibidos por cada socio tenemos dos alternativas, establecer cuantas veces es menor el valor 40 millones que el valor 60 millones ó bien cuantas veces es mayor 60 millones que 40 millones.

La primera alternativa corresponde a: millones; 60Amillones40 de donde se obtiene que: ;A millones 60

millones40 como es

lógico podemos prescindir de la unidad millones y así obtenemos una relación mas simple de la forma: .A 60

40

Esta última relación podemos expresarlas en números más simples, es decir .A3

2

Esta relación nos indica que las cantidades recibidas por cada socio se puede expresar diciendo que uno recibe dos partes de las utilidades y el otro tres partes.



Si se considera la segunda alternativa, se tiene que: millones; 40Bmillones60 y procediendo de forma similar al caso

anterior, se puede concluir: ,B

2

3

lo que indica que un socio recibe tres partes y la otra dos partes de total de las utilidades De lo anterior, podemos concluir que el socio que recibe 40 millones representa dos partes de las utilidades y el que recibe 60 millones tres partes. La relación entre dos cantidades, expresada en números enteros y sencillos, se denomina RAZÓN. Esta razón se representa utilizando simbología fraccionaria o de división, por ejemplo:

Si 2 partes de A se relacionan con 5 partes de B, se establece la razón 5

2

o bien 5:2

Una razón escrita en cualquiera de sus formas, b

a ó ba : , se lee: “a es a b”

La fracción o cuociente que genera una razón corresponde al valor de la razón e indica el número de veces que una de las cantidades esta contenida en la otra, por ejemplo: Si dos cantidades están en la razón 4: 5, significa que la primera esta contenida en la segunda cuatro quintas veces o dicho de otra forma 0,8 veces. También se puede establecer que la segunda está contenida en la primera cinco cuartos veces es decir 1,25 veces. Al invertir los términos de una razón se obtiene otra razón denominada razón inversa, por ejemplo: Si una razón es 5:4 su razón

inversa es 4:5 Estas dos razones, que podríamos llamar directa e inversa, si bien mantienen la relación entre las cantidades, su interpretación o significado es diferente como se pudo ver al analizar el valor de cada una de ellas. Los términos que forman una razón se denominan ANTECEDENTE y CONSECUENTE

Dada la razón b

a, a se denomina antecedente y b consecuente

PROPORCIÓN Una proporción es la igualdad de dos razones:

Se anota d

c

b

a y se lee “a” es a “b” como “c” es a “d” ; donde se debe cumplir como propiedad fundamental que:

cbda . El producto de los extremos es igual al producto de los medios Ejemplo:

El rendimiento de un automóvil en carretera es de 20 Km. por litro de combustible. Si se tiene que viajar una distancia de 450 Km. A lo largo del país. ¿Qué cantidad de combustible se deberá utilizar?

La solución a la interrogante planteada se escribe como una proporción, donde: x

km

lt

km .450

.11

.20

Utilizando el teorema fundamental de las proporciones, tenemos: 450.1.20 ltxkm



20

1450 x

litrosx 5,22 Otras propiedades importantes son: En toda proporción, la suma o diferencia de los términos de una de las razones es a uno de sus términos, como la suma o diferencia de los términos de la otra razón es a uno de sus términos:

c

dc

a

ba)a

d

dc

b

ba)b

c

dc

a

ba)c

d

dc

b

ba)d

En toda proporción, la suma o diferencia de los antecedentes es a la suma o diferencia de los consecuentes, como un antecedente es al consecuente de una de las razones:

a. ;b

a

db

ca

b. b

a

db

cac

d

c

db

ca

.; d. . d

c

db

ca

Una razón de la forma 5

3, al multiplicar simultáneamente antecedente y consecuente por una misma magnitud n, la razón se modifica:

.......5

3

5

3

5

3

5

33

3

2

2

n

n

n

n

n

n generando una serie de razones de igual magnitud.

Hemos definido la proporción como la igualdad de dos razones pertenecientes a dos magnitudes entre las Cuáles se puede establecer alguna relación, pero también este concepto de proporción se puede ampliar a más de dos razones iguales, generándose una Serie de Razones o Proporción Múltiple, dada por:

Ky

x

h

g

f

e

d

c

b

a ..........

Siendo K la constante de proporcionalidad y corresponde al valor de la serie de razones. Esta ampliación del concepto de razón, permite establecer relaciones entre varias magnitudes. Ejercicios. 1. En un supermercado de la comuna de Santiago el kilogramo de harina se comercializa a $450 y se desean adquirir 45 Kg. de este

producto. Usando el concepto de proporción determine el valor a cancelar por la compra de este producto.

x

kgKg

$

45

450$

.1

45450 x 250.20$x



2. En una empresa los dividendos obtenidos después de un año de inversiones positivas, se pretende dividirlos e cuatro estamentos, de acuerdo a la siguiente proporción múltiple:

7:5:3:1::: DCBA Si el monto de este dividendo alcanza los 800 millones de pesos.

¿Cuál deberá ser el monto a recibir por cada estamento de la empresa? La proporción múltiple, 7:5:3:1::: DCBA la podemos expresar como:

KDCBA

7531 de modo que:

KDKCKBKA 7;5;3; pero 800 DCBA millones

Por lo tanto 800753 KKKK millones

5016

800K (valor de la constante de proporcionalidad, válida para cada razón de la serie)

Conociendo el valor de K se determina el monto a recibir por cada estamento de la empresa:

millonesDmillonesCmillonesBmillonesA 350;250;150;50

CLASE 10

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Identifican el concepto de razón, explican su utilidad e interpretan su valor numérico en situaciones concretas. -Identifican el concepto de proporción, explican su utilidad e interpretan su valor numérico en situaciones concretas. - Calculan el término desconocido de una proporción, aplicando la propiedad fundamental en las proporciones.

- Razones: Concepto, Cálculo e interpretación. - Proporciones : Concepto, Teorema Fundamental -Término desconocido de una proporción Taller

Clase de Taller Resuelva los siguientes problemas, en forma individual o en forma grupal. 1. Un cordel que mide 24 metros, se hacen dos cortes de modo los trozos que se obtienen se encuentran en la razón 3: 4: 5. ¿Cuál es

la medida que tiene el trozo de mayor longitud? Respuesta: El trozo de mayor longitud, mide 10 metros

2. En la confección del plano de una casa, se ha utilizado la escala 1 : 100, entonces:

a) ¿Cuál será la medida real de un muro que en plano mide 2,5 centímetros? b) ¿Cuál será la medida en el plano de la altura de una ventana que mide 1,2 metros?

3. En “propiedades.elmercurio.com” se han encontrado los siguientes avisos de venta de propiedades: Aviso 1:

652.000.000 Mónica Pobrete Piedra Roja, 566/ 1.800, impecable, cuatro dormitorios en suite, cinco baños, escritorio, estar, mansarda: amplia sala juegos, subterráneo, hermosísimo jardín, piscina, (0)92233xxx, 2323xxx. Publicado: 24/02/2009



Aviso 2: 415.000.000 Berríos Zegers.cl, Quinchamalí 405/ 1800 Mediterránea Nueva, 4807xxx Publicado: 23/02/2009

¿Cuántas veces es el valor de la propiedad más cara con respecto a la más barata? ¿Cuántas veces es el valor de la propiedad más barata con respecto a la más cara?

4. Los ángulos interiores de un triángulo están en la razón 4:9:2. ¿Cuál es la medida de cada uno? 5. En la elaboración de una pintura para el revestimiento de una placa metálica se utilizan 3 componentes A, B, y C. Par fabricar esta

pintura se mezclan 3 partes de A por cada 5 partes de B y 2 partes de C por cada 7 partes de A. Determine la cantidad de cada componente para fabricar 93 litros de esta pintura.

Respuesta. 31,5 litros de A; 52,5 litros de B; 9 litros de C. 6. La diferencia entre los lados contiguos de un rectángulo es 4 metros y están en la razón 5 es a 6 ¿Cuál es su perímetro?

Si se pagan $12.000 por 40 minutos de tiempo en el uso de su teléfono. Con la información anterior completar la siguiente tabla:

7. La razón entre el precio de un litro de bencina u un litro de petróleo es de 3:5 y se deben cargar 5 camiones, de los Cuáles 3 son

petroleros y 2 bencineros, gastando en total $218.000.

a.-¿Cuál es la cantidad de dinero asignado al gasto de petróleo? Respuesta: $103.363

b.- ¿Qué cantidad se gasta en cada camión bencinero si sus estanques tienen la misma capacidad? Respuesta: $57.368 8. En supermercado de la capital, se tiene la siguiente oferta: Tres productos tipo A más Cinco productos tipo B por un total de $25.000.

Si el producto A y el producto B están en la razón 7:3 Determine el valor unitario del producto A y del producto B. CLASE 11

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS -Identifican proporcionalidad directa e inversa y expresan proposiciones algebraicamente. - Grafican variables relacionadas con proporcionalidad directa e inversa en el contexto de la especialidad - Interpretan gráficos de variaciones proporcionales directas, e inversas y no proporcionales, relacionados con situaciones y fenómenos comerciales, económicos etc. -Aplican el concepto de Variación Proporcional Directa e Inversa en la resolución de problemas relacionados con la especialidad

Proporcionalidad y Variación Proporcional : Proporción Directa Proporción Inversa Proporción Conjunta Gráficos de la proporcionalidad directa e inversa.

1. Entre dos o más magnitudes de cualquier naturaleza se pueden establecer relaciones de proporcionalidad y determinar como las

cantidades pertenecientes a estas magnitudes varían mutuamente. Si se desea embarcar toneladas de un producto para exportar a países vecinos, cada tonelada de este producto tiene un costo en pesos, costo que crece a medida que la cantidad de toneladas a embarcar también crece.

Costo en pesos 3.000 1.200 48.000

Minutos 20 80



2. Por el contrario, si se desea viajar entre dos ciudades de nuestro país en un automóvil, la cantidad de kilómetros ha recorrer dependerá de la cantidad de gasolina que se encuentre en el estanque, de modo que, a mayor distancia recorrida, menor será la cantidad de combustible que quedará en el estanque del automóvil.

En ambas situaciones planteadas existen magnitudes que se relacionan. En el primer caso ambas crecen simultáneamente, Proporcionalidad Directa y en el segundo caso al crecer una la otra disminuye simultáneamente, Proporcionalidad Inversa.

Proporcionalidad Directa

Dos magnitudes A y B son Directamente Proporcionales, si la razón entre dos cantidades pertenecientes a A y B, son iguales entre sí y a la vez iguales a una constante K, constante de proporcionalidad naaaaaA ..,.........,,: 4,321

nbbbbbB ..,.........,,,: 4321

La cual se anota: n

n

b

a

b

a

b

a...............

2

2

1

1

y se lee A es directamente proporcional a B BKA Ejemplo

Una empresa del área gastronómica, desea estimar la cantidad de dinero que necesita para realizar una recepción para 130 personas dado que en 12 porciones se deben invertir $24.000¿Cuál es el monto que se requiere para las 130 personas? Solución: Como se sabe que en 12 porciones se tiene un costo de $24.000; en más porciones tendrá que destinar más dinero y para determinar exactamente cuanto dinero se requiere plantearemos la siguiente igualdad:

0000.24$12 x$130 ; es decir

130000.2412000.24

130

12 x

x

000.26012

000.120.3

000.120.312

x

x

x

Se tendrá que destinar una suma de $260.000.

Proporcionalidad Inversa

Dos magnitudes A y B son Inversamente Proporcionales, si el producto entre dos cantidades pertenecientes a A y B, son iguales entre sí y a la vez iguales a una constante K, constante de proporcionalidad naaaaaA ..,.........,,: 4,321

nbbbbbB ..,.........,,,: 4321

nn babababa .............332211



Se anota KBA , y se lee A es inversamente proporcional a B Ejemplo: Una familia en las vacaciones de este año, viajo al sur, iban a una velocidad de 105 Km. /h y demoraron en llegar a su destino 8,4 horas. .Si hubieran viajado a una velocidad de 90 Km. /h ¿Cuántas horas se habrían demorado? Solución:

x

90

4,8105

horasx

xx

8,990

882

4,810590

4,8

105

90

Demorarían más tiempo dado que viajan a menor velocidad Ambas Variaciones de Proporcionalidad se pueden representar en Diagramas Cartesianos, donde cada magnitud se asocia a uno de los ejes de este diagrama, para representar respectivamente la Proporcionalidad Directa y la Proporcionalidad Inversa Proporcionalidad Directa Proporcionalidad Inversa Estas variaciones de Proporcionalidad Directa e Inversa tienen gran aplicación en una cantidad de situaciones entre las Cuáles se puede citar la Proporción Conjunta o Compuesta. Proporción Compuesta.

Una Proporción es Compuesta, si la razón entre dos cantidades de una magnitud A es proporcional al producto entre otras magnitudes B y C, escritas como razón Directa o Inversa, según sea la proporción simple que entre ellas se determine 21: aaA

21: bbB

21: ccC De la definición anterior se desprenden los siguientes casos: Caso I: Si las magnitudes B y C son Directamente Proporcionales a A, la Proporción Conjunta está dada por:



2

1

2

1

2

1

c

c

b

b

a

a

Caso II: Si la magnitud B es directamente proporcional con A y la magnitud C es inversamente proporcional con A, la proporción conjunta o compuesta es:

1

2

2

1

2

1

c

c

b

b

a

a

Caso III: Si las magnitudes B y C sin inversamente proporcionales con A, entonces, la proporcionalidad conjunta se escribe:

1

2

1

2

2

1

c

c

b

b

a

a

Ejemplo 1: Se estimó por un experto que 6 trabajadores pueden realizar un trabajo de excavación para una línea de alcantarillado de 12 metros en 5 días. ¿Cuantos trabajadores serían necesarios para excavar 18 metros de iguales características en 3 días, si la habilidad de estos últimos es igual a la de los primeros?

Solución:

La relación entre el número de trabajadores y el número de metros es directamente proporcional (considerando que el número de días no varía) y la relación entre el número de trabajadores y los días es inversamente proporcional (considerando que la cantidad de metros no varía)

díasmetrosestrabajadorx

díasmetrosestrabajador

318

5126

5

265

3

18

126

x

x

Utilizando el Teorema Fundamental de las Proporciones.

estrabajadorx

x

x

15

302

562

Ejemplo 2:

Se observan dos variables x e y

x 400 800 1.600 y 2.000 1.000 500



a. ¿Cuál es la relación de proporcionalidad entre las variables? Justifique calculando la constante de proporcionalidad b. ¿Cuál es el valor que corresponde a y para un x = 6.400?

Solución.

a. Es una relación inversamente proporcional: k 000.800500600.1000.1800000.2400

b. 125400.6

000.800

x

ky

CLASE 12

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Resuelven problemas de variación conjunta relacionados con la vida cotidiana y con la especialidad - Resuelven problemas de tanto por ciento, descuentos y recargos, relacionados con la especialidad

- Resolución de problemas de variación conjunta relacionados con la vida cotidiana y con la especialidad.

Clase de Taller. Resuelva los siguientes problemas, en forma individual o en forma grupal. 1. Diez y seis personas realizan 4 operaciones contables en 18 días trabajando 4 horas diarias. ¿Cuantos días demorarían 20 personas

en realizar 6 de estas operaciones si trabajan 6 horas diarias? Respuesta: 14,4 días

2. La cantidad de petróleo consumida por un transporte marítimo convencional, que se desplaza con velocidad uniforme, es

directamente proporcional a la distancia recorrida y al cuadrado de su velocidad. Si dicho transporte consume 50 barriles en un viaje de 400 Kilómetros, a una velocidad de 60 Km./ hr ¿ Cuanto petróleo consume en un viaje de 1.000 Kilómetros a una velocidad de 40 Km./ hr. ? Respuesta: 555,55 barriles

3. Un control de calidad estipula que la presión de un líquido en envase de transporte convencional debe ser inversamente proporcional

al volumen que ocupa y directamente proporcional a la temperatura absoluta T. ¿A que presión se deben someter 100 metros cúbicos de gas de helio a 1 atmósfera de presión y 253 grados absolutos de temperatura, para que se reduzcan a 50 metros cúbicos a una temperatura de 313 grados absolutos? Respuesta: 2,47 atmósferas

4. P es directamente proporcional a Q e inversamente proporcional a R.

Si 5P cuando 4Q y 2R , determine el valor de Q cuando 712 RyP Respuesta: 33,6

5. En la elaboración de cera para los automóviles, dos de los principales componentes son cera de ceresina y aguarrás, dependiendo de

la cantidad de cera a elaborar, se recomiendan los siguientes volúmenes de aguarrás en mililitros Aguarrás (ml) 165 330 495 660 825 990 Cera (gramos) 82,5 165 247,5 330 412,5 495

a. ¿Cuál es la relación de proporcionalidad entre las variables? Justifique calculando la constante de proporcionalidad?



b. Si Ud requiere preparar 450 gramos de cera. ¿Que cantidad de aguarrás requiere? Respuesta: a. Directamente proporcionales. k = 2

c. 900 gramos

PORCENTAJES El porcentaje es uno de los elementos matemáticos más utilizados cotidianamente. En estudios de marketing es importante conocer las opiniones y preferencias de un grupo de personas respecto por ejemplo de un cierto bien, por lo general estos resultados se expresan porcentualmente En cálculos financieros se requiere trabajar con porcentajes ya sea en el cálculo de interés simple, interés compuesto, anualidades, amortizaciones etc. Definición 1: Se llama tanto por ciento de un número a una o varias de las partes iguales en que se puede dividir dicho número, es decir uno o varios centésimos de un número. El Porcentaje es un caso particular de proporcionalidad Directa, en que uno de los términos de la proporción es 100, lo que resulta de comparar una parte con un todo. Para el cálculo del tanto por ciento consideraremos tres casos. Caso I: ¿Cuál es el tanto por ciento de un número?

Ejemplo: ¿Cuál es el 20% de 300?

%20

%100300

x

20

100300

x Utilizando el Teorema Fundamental de las Proporciones:

60

000.6100

20300100

x

x

x

Caso II: ¿Qué tanto por ciento es un número de otro?

Ejemplo: ¿Qué tanto por ciento es 30 de 800?

%30

%100800

x

30

800100

x Utilizando el Teorema Fundamental de las Proporciones

%75,3

000.3800

30100800

x

x

x



Caso III: ¿De qué número a es el b%?

Ejemplo: ¿De qué número 80 es el 5%?

%580

%100

x

5

100

80

x Utilizando el Teorema Fundamental de las Proporciones:

600.1

80005

100805

x

x

x

Consideremos dos situaciones que se presentan con frecuencia: 1. Aumento de un número en un cierto porcentaje Ejemplo: Aumentar 7.500 en un 19%

925.819,1500.7

100

191500.7

2. Disminución de un número en un cierto porcentaje Ejemplo: Disminuir 63.000 en un 5%

850.5995,0000.63

100

51000.63

Hay expresiones que presentan ciertas características: Propiedad 1: El a % de b es igual al b % de a. Ejemplo:

El 20% de 70 es igual al 70% de 20

El 20% de 70 es:

1420

10070

xx



El 70% de 20 es:

1470

10020

xx

Propiedad 2: El b % del c % del d %....................de “a” es:

adcb

................

100100100

Ejemplo:

El 15% del 12% del 9% del 4% de 3.000 es:

194,0000.304,009,012,015,0 Propiedad 3: Variación Porcentual, es la razón entre la diferencia del valor final al valor inicial, al valor inicial, expresada porcentualmente

100

i

if

V

VV.

Ejemplo: El I. P. C del mes de Febrero fue de un 1,2% y el IPC de Marzo del mismo año 1,3% Determine la variación porcentual.

%33,81002,1

2,13,1

Problemas Resueltos: 1. En un centro comercial por fin de temporada todos los artículos son rebajados en un 20%. Después de un mes todos los artículos

vuelven a rebajarse en un 10%.Si originalmente un pantalón cuesta $9.000. a. ¿Cuanto vale después de la primera liquidación? b. ¿Cuanto vale después de la segunda liquidación? c. ¿La oferta sería la misma si originalmente todos los productos hubiesen sido rebajados en un 30%?

Solución:

300.6$70,0000.9.

480.6$90,0200.7.

200.7$80,0000.9.

c

b

a

La oferta sería diferente ya que se están aplicando disminuciones sobre bases distintas. 2. El precio de un equipo de música es de $250.000 si este se cancela al contado. Es posible cancelar a crédito en 10 cuotas de

$28.500. ¿En que tanto por ciento aumenta el precio del televisor si se compra a crédito?

Solución: La diferencia de precio entre la compra a crédito y contado es : 285.000 – 250.000 = $35.000, por lo tanto:



3. Un comerciante compra un producto en $250.000 la unidad, precio neto, pero desea obtener una ganancia del 8% sobre el precio

neto. Determine el precio de venta al público. Solución:

Al precio neto agregamos la ganancia y luego el I.V.A.

300.321$:Pr

300.321$19,1000.270

000.270$08,1000.250

públicoventaecio

4. Por un trabajo realizado, Ud. recibe $750.000, los Cuáles son cancelados mediante boleta de honorarios, legalmente, se le retiene un

10%, calcule la retención.

Clase de Taller. Resuelva los siguientes problemas, en forma individual o en forma grupal: 1. Utilidades anuales correspondientes a $40.000.000 serán repartidas entre tres socios A, B y C de modo que: A recibirá el 38% del

monto total, B recibirá el 70% de lo de A, más $2.000.000 y C recibirá lo restante. ¿Cuanto recibirá cada uno?

Respuesta: A: $15.200.000 B: $12.640.000 C: $12.160.000

2. En un centro deportivo, se renuevan los siguientes implementos deportivos: 5 trotadoras, 4 bicicletas hidráulicas dobles y 2 bancas

con pesas. Si cada trotadora cuesta $420.990, cada bicicleta hidráulica doble $97.990 y cada banco con pesas $69.990. Determine el total a cancelar si por pago al contado, le efectúan un descuento de un 15%, agregando además un 19% de I.V.A

Respuesta: $2.667.214 3. El precio de costo y el precio de venta de un artículo están en la razón 13: 17. Si la ganancia fue de $18.500. ¿Cuál fue el precio de

venta del artículo? ¿Cuál fue el porcentaje de ganancia?

Respuesta. Precio de Venta: $78.625 Porcentaje de ganancia: 30,77% 4. En la permanente discusión, en una empresa si los hombres o las mujeres presentan mayor cantidad de inasistencias, se realizó una

investigación, la que en un día dio la siguiente información: El día investigado asiste el 80% de los empleados, habían solo 210 mujeres, que corresponden al 70% del total de mujeres. Si el 30% de los empleados de esta empresa son mujeres.

a. ¿Cuantas mujeres hay en la empresa? b. ¿Cuál es el total de empleados de esta empresa? c. ¿Cuantos hombres faltaron ese día? Respuesta: a. 300 mujeres b. 1.000 mujeres c. 110 hombres

aumentodexx%14

100

000.35

000.250

333.83$000.750333.833:tan

333.833$100

90000.750

%100$

%90000.750$

retienelesetoloPor

xx

x



CLASE 13

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Refuerzan aprendizajes esperados, de las clases 1 a 12, preparación Evaluación Nacional

Reforzamiento Evaluación Nacional Estandarizada de los aprendizajes esperados de las clases 1 a 12

Resolver en forma grupal o individual, los siguientes problemas, en preparación de la primera Evaluación Nacional 1. Un vendedor viajero recorrió en su último viaje 3.360 kilómetros, viajando por todo Chile, gastando en total 160 litros de bencina. Si

hubiese recorrido 210 kilómetros. ¿Cuanta bencina hubiese ocupado? Respuesta: 10 litros

2. En una fábrica trabajan 35 hombres y 12 mujeres, al final de año se retiran 71 de los hombres y 31 de las mujeres, en busca de

nuevas perspectivas económicas. Al año siguiente se contratan 4 hombres y 3 mujeres.¿ Cuál es la cantidad total de actual de trabajadores en la empresa? Respuesta: 45 trabajadores

3. Para la instalación y puesta en marcha, de un equipo de refrigeración, la cuarta parte del tiempo se utiliza en la

planificación para la ubicación del equipo; la sexta parte del tiempo en la instalación física del equipo y la novena parte del

tiempo se destina a una marcha blanca ¿Qué cantidad del tiempo restante le quedará para atender otras tareas?

Respuesta: 36

17

4. Un hombre puede hacer un trabajo en 7

1836

días ¿Qué parte del trabajo puede hacer en 1

53

días?

Respuesta: 192

655

5. En el sitio Mapcity de Internet, se establece que la razón de las distancias entre 2 puntos es de 1cm. por 1.000 m. Si en pantalla se

puede observar una distancia de 3,5 cm. entre 2 puntos ¿Cuál es la distancia real en kilómetros?

Respuesta: 3,5 kilómetros

6. Las pruebas de calidad de una nueva pintura han permitido evaluar su poder cubridor de 30 2m por galón. ¿Cuántos galones serán

necesarios para pintar 60 paneles de 2 metros x 3 metros cada uno? Respuesta: 12 galones

7. Cuarenta trabajadores han levantado una torre de 15 pisos en 250 días, si se quiere levantar una torre de 10 pisos con los mismos

trabajadores. ¿Cuántos días demorarán?

Respuesta: 166,67 días 8. El volumen V de madera útil que produce un tronco de cierta especie de árbol es directamente proporcional a su altura h y al

cuadrado de su diámetro d. Si un tronco de 10 metros de altura y 20 centímetros de diámetro produce 24 decímetros cúbicos de

madera, con estas unidades, determine la constante de proporcionalidad.

Respuesta: 006,0k



9. Una obra cuyo presupuesto inicial alcanza la cifra de $150.000.000 ha requerido un aumento en consideración al ítem mayor obra por una cifra de $55.000.000 ¿En que porcentaje aumento el presupuesto? Respuesta: 36,67% de aumento

10. Los estudios revelan que construir un edificio de 6 pisos, requiere 18 día por piso. Si la tabla muestra el estado de avance en

porcentaje de cada piso, determinar el número de días que faltan para terminar la obra.

PISO % DE AVANCE 1 100 2 100 3 100 4 89

5 35 6 0

Respuesta: 32 días

CLASE 14

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS

Desarrollan evaluación sumativa

Evaluación Nacional Estandarizada de los aprendizajes esperados de las clases 1 a 12.

CLASE 15

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Identifican potencias, sus componentes, propiedades y operatoria - Identifican raíces, sus componentes, propiedades y operatoria

-Potencias: Operatoria Propiedades Fundamentales Potencias de exponente fraccionario o decimal Potencias de exponente negativo Raíces: Operatoria Propiedades fundamentales Raíces de índice fraccionario o decimal

POTENCIA

Una potencia es un producto de factores iguales. Está formada por la base y el exponente.

Exponente 3 . 3 . 3 . 3 = 34 Base

Se lee:

tres elevado a cuatro o bien tres elevado a la cuarta

El factor que se repite se llama base. El número de veces que se repite el factor, o sea la base, se llama exponente. Esto significa que si se tiene la potencia 2 6 (dos elevado a seis o a la sexta), la base será 2 y el exponente 6, lo Cuál dará como resultado 64 porque el 2 se multiplica por si mismo 6 veces (2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64).



Ejemplos:

2 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 El exponente es 5, esto significa que la base, el 2, se debe multiplicar por sí misma cinco veces.

3 2 = 3 · 3 = 9 El exponente es 2, esto significa que la base (3) se debe multiplicar por sí misma dos veces.

5 4 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625 El exponente es 4, esto significa que la base (5) se debe multiplicar por sí misma cuatro veces.

Una potencia puede representarse en forma general como:

an = a · a · a · ........

Donde: a = base n = exponente “n” factores iguales

Recuerde que una de las aplicaciones de las potencias es la descomposición factorial de un número.

PROPIEDADES DE POTENCIAS

a. Producto de potencias de igual base

Para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes.

Ejemplo: 53 22 = (2x2x2) x (2x2x2x2x2) = 2 8 = 2 3+5 (como la base (2) es la misma, los exponentes se suman) y da como resultado = 2 3+5 = 256

Si m y n son números naturales, entonces:

nmnm xxx

b. División de potencias de igual base

Para dividir potencias que poseen la misma base diferente de cero, se conserva la base y se restan los exponentes.

Ejemplo: 25 22 = (2x2x2x2x2) (2x2) =2 5-2 = 2 3= 8

Si m y n son enteros, entonces: nmn

m

xx

x

c. Potencia de un producto

Si queremos realizar la siguiente operación: (2x3) 3 observamos que (2x3) 3 = (2x3) x (2x3) x (2x3) = (2x2x2) x (3x3x3) = 2 3 x 3 3. Para calcular el resultado también podemos multiplicar (2x3) y elevar el producto al cubo

(2x3) 3 = 6 3 = 216 O bien, elevar al cubo cada uno de los factores, que sería: 2 3 = 8 y 3 3 = 27 y luego, multiplicar el resultado: 8 x 27 = 216.

Si m y n son números naturales: nnn yxyx



d. Potencia de un cociente

La potencia de un cociente es igual al cociente entre la potencia del dividendo y la del divisor. Tenemos que elevar el dividendo y el divisor a dicha potencia. Ejemplo: (6:2) 2 = 6 2: 2 2 = 9; Porque: (6:2) 2 = 3 2 = 9


)0(

y

y

x

y

xn

nn

e. Potencia de una potencia

Para elevar una potencia a otra potencia, se conserva la misma base y luego se multiplican los exponentes. Ejemplo:

(2 2) 3 = 64; porque: 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64; o también podemos multiplicar los exponentes: es decir, 2 x 3 y, luego elevar la base a dicho resultado. (2 2x3) = 2 6= 64


nmnm xx

Potencia de un exponente cero y negativo Exponente cero: Por definición matemática, todo número real distinto de cero, elevado al exponente cero es igual a 1.

)0(10 xx Exponente negativo: Si n es un número entero negativo y x es distinto de cero

nx = nx

1

Por ejemplo a2 / a4 = a2 - 4 = a-2 = 1 / a2

o bien (a x a) / (a x a) (a x a) = 1 / (a x a) = 1 / a2 Todo número real distinto de cero y elevado a un exponente negativo, es igual a la fracción de 1 dividido por dicho número elevado a su exponente con signo positivo A la inversa, toda fracción, cuyo denominador es un número real distinto de cero y está elevado a una potencia con signo negativo, es igual a dicho número elevado a la misma potencia con exponente positivo https://www.u-cursos.cl/ieb/2008/1/0352/227101/material_docente/objeto/8401 -



Radicales (Raíces) Raíz enésima de un número de un número real:

Si n es un número natural y a y b sinnúmeros reales tales que ban , entonces se dice que a es la raíz enésima de b.

Para n = 2 y n =3, las raíces se conocen como raíces cuadradas y raíces cúbicas respectivamente. Ejemplos de raíces:

22 y son raíces cuadradas de 4, ya que 42)2( 22 y

4 es una raíz cúbica de 64 , ya que 3)4( = 64

Número de raíces de un número real b

Índice b Número de raíces

n par b > 0 Dos raíces reales (una raíz principal)

n par b < 0 Sin raíces reales

n par b = 0 Una raíz real

n impar b > 0 Una raíz real

n impar b < 0 Una raíz real

n impar b = 0 Una raíz real

La notación n b , llamada radical, denota la raíz enésima principal de b

El símbolo es el signo radical, y el número b dentro del signo radical es el radicando. El entero positivo n es el índice del radical.

Para las raíces cuadradas(n =2), se escribe b en vez de 2 b

Ejemplo 1: a. Determine el número de raíces de cada número real.

i) 25 en este caso b >0, n es par y existe una raíz principal que es 5

ii). 3 27 en este caso b < 0, n es impar y existe una raíz que es – 3

2. Evaluar:

a. 6 64 = 2, ya que 6426

b. 5

2

25

4

Exponentes racionales y radicales

1. Si n es un número natural y b es un número real, entonces: nn bb 1

Si b < 0 y n es par, nb1

no está definido



Ejemplo:

399 21

28)8( 331

2. Si nm es un número racional reducido a su mínima expresión (con m, n, naturales), entonces:

mnnm

bb )(1

o en forma equivalente n mnm

bb siempre que exista

Ejemplo:

93)27()27( 2231

32

Expresiones que comprenden exponentes racionales negativos:

nm

nm

aa

1

0a

Ejemplo:

32

1

2

1

)4(

1

4

14

5525

25

Propiedades de los radicales Si m y n son números y a y b son números reales para los que existen las raíces indicadas, entonces:

1. aa nn )(

Ejemplo:

775

5

2. nnn baba

Ejemplo:

623827827216 3333

3. n

n

n

b

a

b

a



Ejemplo:

2

3

8

27

8

273

3

3

4. nmm n aa

Ejemplo:

2646464 6233

Suma y resta de expresiones con radicales Las expresiones con radicales con el mismo índice y el mismo radicando se llaman radicales iguales o semejantes. Por ejemplo

2523 y son radicales semejantes, no obstante 7452 y no son radicales semejantes, porque los radicandos son diferentes

3 6352 y no son radicales semejantes, porque los índices son diferentes.

La suma o la resta de radicales semejantes es otro radical semejante a los dados, cuyo coeficiente es igual a la suma o resta de los coeficientes de los radicales sumados o restados. Ejemplos;

a. 51553512

b. 1227

En nuestro ejemplo, tenemos radicales con el mismo índice, pero radicandos diferentes, entonces, utilizando las propiedades de los radicales, tenemos:

33233

3439

1227

Las raíces no son distributivas respecto de la suma y resta:

baba Ejemplo:

36643664 ¡Esto está incorrecto!

Lo correcto es 101003664



Producto y Cuociente de Radicales El producto de dos radicales, con el mismo índice es igual a otro radical cuyo coeficiente y radicando son iguales, respectivamente, a los productos de los coeficientes y radicando de los factores.

nnn cadbcdab Ejemplo:

753752

6

4

756

4

756

4

1556

4

15352

El cuociente de dos radicales con el mismo índice, es igual a otro radical, cuyo coeficiente y radicando son iguales, respectivamente, al cuociente de los coeficientes y radicándolos de los radicales dividendo y divisor.

nn

n

n

a

d

b

cd

ab

Ejemplo.

7

5

3

273:52

RACIONALIZACIÓN Operación que consiste, en eliminar el término radical del denominador de una fracción. Los casos más comunes, en que se presenta la racionalización son tres:

- Caso monomio con raíz cuadrada - Caso monomio con raíz de cualquier índice. - Caso binomio con suma o con resta

Caso 1.- Racionalización de fracciones de la forma a

p

Se amplifica por el radical del denominador.

Ejemplo:

63

2

6

64

6

6

6

4

6

42

Caso 2.- Racionalización de fracciones de la forma n ka

p

Se amplifica por una raíz de igual índice, y se completa el exponente de la potencia dada.

Ejemplo: 3

6 6

3

6 2

6 2

6 4623

2

26

2

2

2

6

16

6

Caso 3.- Racionalización de fracciones de la forma ba

p

Se amplifica por el conjugado del término del denominador.



Ejemplo:

1542

1542

2

1528

35

31525

35

35

35

35

35

35

)(

CLASE 16


- Operan con potencias - Operan con raíces

-Operatoria de Potencias y Raíces

Resolver en forma grupal o individual, los siguientes problemas: 1. Calcule el valor de:

a. 42 Respuesta: 16

b. 3)2( Respuesta: - 8

2. Simplifique cada expresión:

a. 52 )3( Respuesta: 59.049

b. 511 )(x Respuesta: 55x

3. Simplifique cada expresión. Suponga que ningún denominador es cero

a. 32 yx Respuesta: 36 yx

b.

2

4

3

y

x Respuesta:

8

6

y

x

4. Escriba cada expresión sin exponentes negativos

a. 35 xx Respuesta:2

1

x

b. 23 )( x Respuesta: 6x

5. Simplifique cada expresión

a. 3

5

a

a Respuesta:

2a

b. 23

32

)(

)(

x

x Respuesta: 1



6. Escriba cada expresión sin exponentes negativos y determine su valor

.

4

5

3

Respuesta: 81

625

7. Simplificar la expresión:

3

432

32

baa

ba

Respuesta:321

1

ba

8. Determine el número de raíces de 5 0 Respuesta: Una raíz

9. Evaluar:

a. 5 32 Respuesta: - 2

b. 3

27

8 Respuesta:

3

2

10. Simplifique las siguientes expresiones:

a. 32

27 Respuesta: 9

b. 4

3

16

1

Respuesta: 8

1

11. Simplificar: 33483122 Respuesta: 35

12. Simplificar 333 245416 Respuesta: 33 322

13. Racionalizar: 7

20

Respuesta: 7

352

14. Racionalizar: 12

1 Respuesta: 12

15. Racionalizar: 3

3

18

5 Respuesta: 6

603



CLASE 17

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Resuelven expresiones aplicando concepto de logaritmo - Calculan valor numérico de expresiones que incluyen logaritmos decimales - Calculan expresiones y operan con logaritmos naturales - Identifican y operan con propiedades de los logaritmos - Identifican potencias, raíces y logaritmos como operaciones inversas.

- Logaritmos: Definición de logaritmo Sistemas de logaritmos: Logaritmos vulgares y naturales Propiedades de los logaritmos

Se denomina logaritmo en base a del número x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho número.

xabx ba log )0( a

Se lee: “el logaritmo en base a del número x es b”, o también: “el número b se llama logaritmo del número x respecto de la base”

Ejemplos:

1. Escriba en forma logarítmica: 823 Solución: 38log82 23

2. Escriba en forma exponencial 225log5 Solución: 255225log 25

Los logaritmos tienen diversas aplicaciones en las áreas de la economía, la tecnología, la arquitectura y fenómenos socioeconómicos, por ejemplo, es posible realizar cálculos relacionados con cálculo de PH; Magnitud de terremotos, intensidad del sonido, presión sanguínea, presión barométrica etc.

Los dos sistemas de logaritmos más utilizados son el sistema de los logaritmos comunes, cuya base es el número 10, y el sistema de logaritmos naturales, cuya base es el número irracional .......711828,2e Además, la práctica común es escribir log en vez de

10log y ln en lugar de elog

Cambio de base: la siguiente expresión, permite cambiar de base “b” a base “a”:

b

NN

a

ab log

loglog

Ejemplo:

Dado 5log2 , cambiarlo a la base 10 y a la base e, compruebe con la ayuda de su calculadora científica que el valor obtenido en

ambos casos es idéntico

Solución:

.....3219,22ln

5ln

2log

5log5log2



Propiedades de los logaritmos.

un

u

unu

vuv

u

vuvu

xa

a

an

a

an

a

aaa

aaa

xa

a

a

log1

log.7

log)(log.6

logloglog.5

loglog)(log.4

log.3

1log.2

01log.1

Nota:

vuvu aaa loglog)(log

vuv

uaa

a

a logloglog

log

Los siguientes ejemplos ilustran las propiedades de los logaritmos.

1. 3log2log)32log(

2. 3ln5ln3

5ln

3. 7log2

17log7log 2

1

CLASE 18

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Resuelven expresiones aplicando concepto de logaritmo - Calculan valor numérico de expresiones que incluyen logaritmos decimales - Calculan expresiones y operan con logaritmos naturales - Identifican y operan con propiedades de los logaritmos - Identifican potencias, raíces y logaritmos como operaciones inversas.

- Logaritmos: Definición de logaritmo Sistemas de logaritmos: Logaritmos vulgares y naturales Propiedades de los logaritmos



Resolver en forma grupal o individual los siguientes problemas:

1. Dado que 4771,03log3010,02log y , encuentre aproximaciones para el valor de:

a. 9log Respuesta: 0,9542

b. 5,2log Respuesta: 0,3980

ESTAS APROXIMACIONES SE OBTIENEN SIN CALCULADORA, APLICANDO PROPIEDADES COMPROBAR POSTERIORMENTE CON CALCULADORA.

2. Encuentre el valor de 9log4 usando logaritmos de base 10: Respuesta: 1,584962501

3. Desarrolle y simplifique las siguientes expresiones:

a. 323log yx

Respuesta: yx 33 log3log2

b. x

x

2

1log

2

2

Respuesta: 2log)1(log 22

2 xx

4. En la escala de Richter, la magnitud R de un terremoto está dada por la fórmula:

0

logI

IR donde I es la intensidad del terremoto en cuestión e 0I es la intensidad estándar de referencia.

Exprese la intensidad I de un terremoto de magnitud 5R en términos de la intensidad estándar de referencia.

Respuesta: 5loglog 0 II

5. El volumen relativo de un sonido D de intensidad I se mide en decibeles, donde:

0

log10I

ID e 0I es el umbral estándar de la audibilidad.

Exprese la intensidad I de un sonido de 30 decibeles (el nivel sonoro de una conversación normal) en términos de 0I

Respuesta: 0310 I



6. Los logaritmos comunes se utilizan para expresar la acidez de soluciones. Cuanta más ácida sea una solución, mayor es la concentración de iones de hidrógeno. Esta concentración está indicada en forma indirecta por la escala de pH, o índice de acidez, definida por:

HpH log , en donde H Es el grado de acidez en iones- gramos por litro

Encuentre el pH del agua pura, que tiene un grado de acidez de 710 iones gramo por litro

Respuesta: 7

7. La presión sanguínea sistólica normal de un niño se puede aproximar mediante la relación:

bxmp )(ln , donde p se mide en milímetros de mercurio, x es el peso (en libras), y m y b son constantes. Dado que m = 19,4 y b = 18, determine la presión sanguínea sistólica de un niño que pesa 92 libras.

Respuesta: 105,7 milímetros



CLASE 19:

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Identifican y reducen términos semejantes - Realizan operaciones básicas con polinomios: Adición sustracción Productos - Desarrollan productos de polinomios, utilizando las fórmulas de productos notables: cuadrado de binomio, producto de una suma por su diferencia. - Factorizan expresiones algebraicas

- Expresiones algebraicas : Monomio, Binomio, Polinomio - Operaciones básicas con polinomios - Productos notables: Cuadrado de Binomio Suma por su diferencia - Factorización

El Álgebra se define como la teoría de las operaciones con cantidades no especificadas. Su preocupación ya no son las cantidades mismas, sino en las operaciones que con ellas puede realizar, o las relaciones que entre ellas puede establecer. En álgebra las cantidades se designan por letras, la que no tienen un valor definido. Las letras son los símbolos que representan cantidades y son las que utilizamos en nuestro alfabeto. Expresiones Algebraicas. Se denomina expresión algebraica al conjunto de cantidades numéricas o literales relacionadas entre sí a través de los signos de las operaciones aritméticas.

Ejemplos de expresiones algebraicas: 32

32,5

532,53,2

53223

zyxyx

cbaax

Término Algebraico Es una cantidad numérica o literal o un conjunto de ambos, los que relacionados entre sí por las expresiones de multiplicación y / o división, constituyen, en una expresión algebraica, cantidades separadas de otras. Ejemplos de términos algebraicos:

3

2,

5

2,,3,

7

1 42 bay

zyx

En un término algebraico se distinguen los siguientes elementos:

35 x Exponente

Signo Factor literal

Factor numérico

o coeficiente numérico

Notación: 1. En álgebra, el signo multiplicativo )( antes de factores literales pueden suprimirse. Por ejemplo:

aescribirsepuedea 66 2. El coeficiente numérico 1, en un término algebraico suele quedar tácito. Por ejemplo 1x = x 3. Solo el signo positivo (+) del primer término de una expresión algebraica puede obviarse y no se escribe. Por ejemplo: +5a - 3b + 2c 5a - 3b +2c Dependiendo del número de términos que posea una expresión algebraica, éstas se clasifican en:

a. Monomios: Es la expresión algebraica que consta de un solo término por Ejemplo: ba

axxy

3,

5

2,3 2

b. Binomios: Es la expresión algebraica que consta de dos términos



Ejemplo: 432 1,3,3 z

abzyxba

c. Trinomios: Es la expresión algebraica que consta de tres términos

Ejemplo: 4

123,54 32 yxcba

d. Polinomios: Es la expresión algebraica de más de tres términos

Ejemplo: 1425,33

235 432332234 babbaaxyyxyxx

Términos semejantes: Los términos semejantes son aquellos que tienen el mismo factor literal e igual exponente.

Ejemplo 1. Son semejantes a ba32 los siguientes términos:

333 5,5

2,7 bababa

Ejemplo2. Son semejantes a 432 zyx

324423432 5,3

1,3 yxzzxyzyx

Reducción de Términos Semejantes: Una expresión algebraica que contiene términos semejantes pueden reducirse a una mínima expresión sumando algebraicamente los coeficientes numéricos y conservando el factor literal con su respectivo exponente. Problemas Resueltos: Reducir las siguientes expresiones a su mínima expresión. 1. 32c+ 5c – 12c = (32+5-12) c = 25 c

2. 22222

5

110

3

15

4

1acaccaacca

22

22222

22222

5

74

12

1

5

1105

3

1

4

15

1105

3

1

4

1

acca

asociativapropiedadacacaccaca

aconmutativpropiedadacacaccaca



3.

22

22222

22222

22222

15

7

5

4

3

1

6

1

3

2

2

15

4

3

1

6

1

3

2

2

16

1

5

4

3

2

3

1

2

1

xyyx

asociativapropiedadxyxyyxyxyx

aconmutativpropiedadxyxyyxyxyx

yxxyyxxyyx

Problemas Propuestos: Resolver grupalmente o en forma individual los siguientes problemas propuestos Reducir las siguientes expresiones a su mínima expresión:

1. 234243432234432432 82355371541 mwumwuumwmwuwumuwm

Respuesta: 423432432 55384 uwmwumuwm

2. 232323 04,0001,0000.1

3

100

2001,001,0 xxxxxx

Respuesta: 23 036.0009,0 xx

3. 222222

8

1009,0006,0

10

701,0

5

3ababbaabbaba

Respuesta: 22 584,0584,0 abba Suma de Expresiones Algebraicas Cuando se relacionan cantidades específicas con la adición, el resultado será el mismo independientemente del orden en que se dispongan dichas cantidades. Por una razón práctica, se “agrupan” términos convenientemente utilizando paréntesis. Por lo tanto los paréntesis son signos que se utilizan en álgebra para indicar que los términos que se agrupan pueden ser considerados como una cantidad. La adición de dos o más expresiones algebraicas se realiza suprimiendo los paréntesis y reduciendo términos semejantes. Si en una expresión encerrada en un paréntesis está precedida por un signo ( + ), entonces el paréntesis puede suprimirse sin alterar los signos de los términos que se encuentran al interior, Un paréntesis precedido por un signo ( - ) puede suprimirse cambiando el signo de cada uno de los términos que está dentro de él.

La eliminación de paréntesis en una expresión algebraica En una expresión algebraica pueden encontrarse varios paréntesis y de distintas formas. Los de uso común suelen ser: ( ), al que llamamos paréntesis redondo; , denominado llave; y al que comúnmente se le conoce como paréntesis cuadrado o de corchete.



Problemas Resueltos: Resolver los paréntesis y reducir los términos semejantes 1. bbabaa 96835 Para resolver la expresión señalada, se deben tener presente las reglas de los paréntesis precedidas por (+) ó (-). Una de las formas mas comunes de eliminar los paréntesis es comenzar por aquel paréntesis que está más al interior de los otros. De este modo, sucesivamente, hasta llegar a una expresión sin paréntesis.

bbabaa 96835 Resolviendo el paréntesis ( ) queda:

bbabaa 96835

Resolviendo el paréntesis de llave { } se tiene: bbabaa 96835

Resolviendo el paréntesis de corchete [ ] se obtiene:

bbabaa 96835 Reduciendo Términos Semejantes, nos queda finalmente:

ba 214

2.

3423266432

bababababa

Resolviendo los paréntesis ( ) queda.

3423266432

bababababa

Resolviendo el paréntesis { } queda.

3423266432

bababababa

Resolviendo los paréntesis cuadrados [ ] queda:

3423266432

bababababa

Reduciendo Términos Semejantes nos queda finalmente:

22

ba



Problemas Propuestos: Resolver grupalmente los siguientes problemas propuestos Resolver los paréntesis y reducir términos semejantes: 1. xxyxyyyxy 01,001,01,001,01,0001,001,0

Solución: xy 9,0081.1 2. 18794368254 yxyxyx

Solución: yx 18 Para restar Expresiones Algebraicas, se escribe el Minuendo con sus propios signos y a continuación el Sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes. Problemas Resueltos:

1. Dado 4376624 232

31 xxxPyxxP

Calcular 21 PP

Solución: Se escriben los polinomios dispuestos verticalmente de forma tal que los términos semejantes queden uno bajo el otro.

4376

620423

2

31

xxxP

xxxP

Tenemos que )( 2121 PPPP , es decir debemos sumar el opuesto del sustraendo

O sea, si 4376 232 xxxP

Entonces )4376( 232 xxxP

4376 232 xxxP

Luego: 4376)(

620423

2

231

xxxP

xxxP

Sumando 2572)( 2321 xxxPP

En una forma más mecánica, bastaría con cambiar los signos a cada uno de los términos del sustraendo y luego reducir los términos que son semejantes, considerando los signos contenidos entre paréntesis.

2. Sea 184636 32 xxNyxxM Solución:

1804

)()()()()(

6360

23

23

xxxN

xxxM

71164 23 xxxNM



Problemas Propuestos: Resolver grupalmente los siguientes problemas propuestos: Dados los siguientes Polinomios:

1134:

1711610:

1579:

123257:

835:

34

24

23

234

3

xxxT

xxxS

xxR

xxxxQ

xxP

1. Calcular: TSQP

Respuesta: 128897 234 xxxx 2. Calcular: TRQ )(

Respuesta: 4109311 234 xxxx 3. Calcular: )()( STPS

Respuesta: 91064 34 xxx Multiplicación de Expresiones Algebraicas

En la multiplicación de expresiones algebraicas intervienen los factores numéricos y literales. Cada término es, en esencia, un producto 3 a b factores Recordemos las propiedades de la multiplicación: Conmutatividad Asocatividad : (Propiedad muy recurrida en la multiplicación algebraica). Esta propiedad permite multiplicar más de dos factores. Distributividad de la multiplicación respecto de la adición, la Cuál permite multiplicar expresiones de más de un término.

Multiplicación de potencias de igual base y exponente natural

Para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes.

Ejemplo: 1485 xxxx Multiplicación de Monomios

Para multiplicar monomios por monomios se multiplican los coeficientes numéricos y luego los factores literales. Se debe tener en cuenta que la regla de los signos aplicada a la multiplicación de números enteros rige sin restricción, en la multiplicación algebraica



abba

abba

abba

abba

)()(

)()(

)()(

)()(

Problemas resueltos:

1. qp 67 Aplicando la propiedad conmutativa: qp 67

Por asociatividad pqpq 4242

2. 4332 12)3(4 bababa

3. yxxyx 743

15

8

5

4

3

2

4. 10634234 902)5()9( srssrsr

Multiplicación de un Monomio por Polinomio

Para multiplicar un monomio por un binomio, trinomio o polinomio, se utiliza la propiedad distributiva. dacabadcba )( monomio trinomio Para multiplicar un monomio por un polinomio, se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio. Problemas resueltos: 1.

2. aabba11

21

55

67

5

2

11

3

3. 53839655343253 6612301256 rmrmrmrmrrmmrm Una expresión puede contener más de un producto de monomio por polinomio.

yx24 x4

xy12

x32

xyxxxy)xyxy(x 4432121834 22



Problemas Resueltos:

1. )(2)(5)24(3 abccabbca a. Se resuelve cada multiplicación: acbcbcababac 2255612 b. Se reducen los términos semejantes: bcabac 71110

2. xyxxxyyxyx 2)534()123(5 22 a. Se resuelven los productos:

)1068()51015( 23222223 yxyxyxyxyxyx

b. Se eliminan los paréntesis y se reducen los términos semejantes:

yxyxyxyxyxyx 23222223 106851015

yxyxyx 2223 5189 Para multiplicar un polinomio por otro polinomio se multiplican cada término de la primera expresión por cada término de la segunda. La suma algebraica de los productos parciales así formados da el producto completo. Este procedimiento para multiplicar polinomios se conoce como distribución del producto. Problemas Resueltos: Multiplicar los siguientes productos:

1. )410()35( baba

22

22

121050

12302050

baba

bababa

2. )53()647( zyxzyx

222 301862012435217 zyzxzyzyxyxzxyx

222 30381241257 zyzyxzxyx



Problemas Propuestos Resolver grupalmente los siguientes problemas propuestos: Resolver los siguientes productos.

556328

324523

33015:Re

)105(3.1

bababaspuesta

bababa

324657524727

333243324

85

4

5

14:Re

104

15

5

4.2

cnxcnxcnxcnxspuesta

cnxccxcnx

112

17

2

1

12

17

2

1

144

145:Re

13

2

4

31

3

2

4

3.3

22

bbaaabspuesta

abba

33

22

:Re

)()(.4

yxspuesta

yxyxyx

Existen algunos productos binomiales en los Cuáles, por la mecánica de su desarrollo, es posible deducir leyes de formación general, las que hacen más fácil su resolución. Esto elude el desarrollo término a término y la reducción de términos semejantes. A los productos con estas características se les conoce como Productos Notables.

1. Productos de la suma de dos términos por su diferencia

22)()( bababa


121

11)11()11(.12

22

x

xxx

22

22

16

9225

4

315

4

315

4

315

xz

xzxzxz



Problemas Propuestos

Resolver grupalmente o en forma individual los siguientes problemas propuestos.

4

49169:

2

713

2

713.1

2642

3232

crqpSolución

crpq

crpq

94:

3232.2

22 yxSolución

yxyx

2.. Cuadrado del binomio

222 2 bababa

Problemas Resueltos.

2

222

69

323)3(.1

xx

xxx

49

9

7

4864

7

3

7

3828

7

38.2

22

22

2

pqqp

pqpqpq


Resolver grupalmente o en forma individual los siguientes problemas propuestos.

2354

22

25

4

5

129:

5

23.1

ababaSolución

ba

168

3

16

9:

4

1

4

3.2

222

2

zyxxyzSolución

xyz



Factorización de Expresiones Algebraicas La factorización de un número consiste en descomponerlo en un producto de dos o más factores. Ejemplo. La factorización del número 48 es.

422348

82348

8648

Los números que carecen de una descomposición en factores, a no ser que sea por 1 y por si mismo se denominan Números Primos- Ejemplo: La factorización del número 3 es 13 y es la única descomposición. Los números no primos se llaman Compuestos y por lo tanto, factorizables.

Ejemplo.

primosfactores

222216

42216

8216

Los términos algebraicos también pueden ser descompuestos en sus factores

Ejemplos: bbaaba

xxxx

33327

22422

3

Factor común: En una Expresión Algebraica es posible encontrar factores que sean comunes a cada término de ella. Estos pueden ser numéricos o literales o ambos a la vez. Ejemplos.

22222 5:5555.3

2323.2

2222.1

xliteralynuméricomixtocomúnfactorzxyxzxyx

aliteralcomunfactorzxyxxzxy

dosnuméricocomúnfactorbaba

Factorización es la técnica algebraica que consiste en dar forma de producto a un polinomio dado. Este proceso es el inverso de la distributividad. Problemas Resueltos:

1. Factorizar el siguiente binomio: yxyx 3333 De acuerdo con la propiedad distributiva de la multiplicación podemos sacar factor común fuera de un paréntesis, en la forma: )(3 yx , se lee 3 factor común de a-b. 2. Factorizar el siguiente trinomio.

)253(253

::

253253

cbaacaba

luegoacomúnfactor

cabaaacaba



3. Factorizar el siguiente trinomio:

453423 275481 yxyxyx

Factor común entre los coeficientes numéricos: Se busca el máximo común divisor (M.C.D) entre ellos. El máximo común divisor de dos o más expresiones algebraicas es la mayor expresión que divide a cada uno de ellos sin que queden residuos, o sea residuo igual a cero. Son divisores de 81: 81,27,9,3,1

Son divisores de 54: 54,27,18,9,6,2,2,1

Son divisores de 27: 27,9,3,1

Por lo tanto el máximo común divisor entre 81,54 y 27 es 27

El máximo común divisor de: 23453423 ;; yxesyxyxyx ya que 3x es la máxima potencia de x que divide a 2543 ;,, yxxx es la mayor potencia de y que dividirá a

432 , yeyy , por lo tanto al factorizar el trinomio: 453423 275481 yxyxyx obtenemos:

)23(27 2223 yxxyyx Problemas Propuestos Resolver grupalmente los siguientes problemas propuestos: Factorizar las siguientes expresiones.

)1(:Re

.122432

653432

zxyzyxspuesta

zyxzyx

)54(8:Re

40328.233232

3455332

bcaabcbaspuesta

cbabacba

qpqpqpspuesta

qpqpqp

3266

798667

6

1

4

1

5

1:Re

30

1

20

1

5

1.3

zyxaspuesta

zayaxa

325:Re

53525.4

Factorización de trinomios de la forma cbxx 2

En general: cqpy

bqpquetalqxpxcbxx

)()(2




Factorizar los siguientes trinomios cuadráticos:

15025.1 2 xx Se deben encontrar dos números cuyo producto sea 150 y cuya suma sea 25, estos son 10 y 15 por lo tanto:

)15)(10(150252 xxxx

4813.2 2 aa Las parejas de enteros, cuyos productos resultan 48: 12 y 4; 6 y 8; 24 y 2; 16 y 3; 48 y 1. De éstas, las que suman algebraicamente –13 ( si el número es negativo, los números serán de distinto signo) son –16 y 3

31648132 aaaa

24,01,1.3 2 xx Debemos encontrar dos números tal que el producto de ellos sea 0,24 y la suma 1,1, estos son: 0,3 y 0,8

)8,0()3,0(24,01,12 xxxx Problemas Propuestos

Resolver grupalmente los siguientes problemas propuestos: Factorizar los siguientes trinomios cuadráticos:

)11()12(:Re

13223.1 2

ttspuesta

tt

)3()5(:Re

152.222

24

kkspuesta

kk

84

1:Re

24

33.3

22

24

rrspuesta

rr

5

1

3

2:Re

15

2

15

7.4 2

zzspuesta

zz

Diferencia de cuadrados:

)()()( 22 bababa



Problemas Propuestos Factorizar:

)7,0)(7,0(

)7,0()(

49,0_.322

222

abcabc

abc

cba

Problemas Propuestos Resolver grupalmente los siguientes problemas propuestos:

)50()50(:Re

500.2.1 22

xyxyspuesta

yx

)52(52:Re

254.223322332

4664

ybxaybxaspuesta

ybxa

abxyabxyspuesta

bayx

8484:Re

6416.3 2222

108

3

108

3:Re

10064

9.4

22

vu

vuspuesta

vu

Trinomios cuadrados perfectos: El trinomio cuadrado perfecto es el desarrollo del cuadrado de un binomio. Por lo tanto se factoriza como tal. Un trinomio se advierte como cuadrado perfecto si sus términos extremos son los cuadrados de dos términos y el término medio el doble del producto entre ellos.

222 )(2 bababa

)75()75(

)7(5

4925.222

2

rr

r

r

)9()9(

9

81.122

2

xx

x

x



Problemas Resueltos

2

22

2

)5(

510

2510.1

x

xx

xx

Observe que el doble producto de 5x = 10x.

2

22

22

)104(

)10(804

1008016.2

xy

xyxy

yxxy


Resolver grupalmente los siguientes problemas propuestos:

2

22

)1117(:Re

121374289.1

yxspuesta

yxyx

2

22

01,003,0:Re

0001,00006,00009,0.3

qpspuesta

qpqp

2

22

5

2

3

2:Re

25

4

15

8

9

4.4

baspuesta

baba

2

22

2

3

2

3

4

3

2

3

4

9

4.3

n

nn

nn

2

22

7

1:Re

49

1

7

2.2

xyspuesta

xyyx



CLASE 20

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Operan expresiones algebraicas con exponente, radicales y logaritmos, aplicando sus propiedades y teoremas. - Calculan, con ayuda de calculadora científica, el valor numérico de expresiones numéricas y algebraicas con radicales, potencias y logaritmos aplicando sus propiedades. - Resuelven problemas relacionados con la especialidad, aplicando diferentes tipos de números, operatoria y forma de expresión.

- Operatoria con expresiones algebraicas - Evaluación de expresiones algebraicas - Resolución de problemas y operatoria contextualizados.

Resolver los siguientes problemas, en forma grupal o individual: 1. Escriba la suma del cuadrado de a, con el cubo de b

Respuesta: 22 ba 2. Si cierta casa comercial, vende x refrigeradores al mes y una segunda casa comercial vende ocho menos que una tercera parte de la anterior ¿Cuantos refrigeradores vende la segunda casa comercial?

Respuesta: 53

1x

3. Tenía $a y cobré un cheque de $b. Si el dinero que tengo lo utilizo en adquirir )2( m bienes de un cierto tipo ¿cuanto cuesta cada bien?

Respuesta: 2

$

m

ba

3. En un edificio hay x oficinas. En el segundo piso el doble de oficinas que en el primero, en el tercer piso la mitad de oficinas que en el primer piso. Escriba una expresión algebraica, que denote el total de oficinas en el edificio.

Respuesta:

22

xxx

4. Compro (x + 5) bienes a (y + 9) pesos cada uno.¿Cuanto pago por el total?

Respuesta. )9()5( yx Pesos 5. Si un bien me cuesta $a y otro bien diferente me cuesta $b.¿ Cuanto me costarán x bienes del primer tipo e y bienes del segundo tipo?

Respuesta: )( byax 6. Escriba un polinomio que represente el perímetro del rectángulo X+4 X+1



Respuesta: )1(2)4(2 xx

7. Escriba un polinomio que represente el volumen del cubo de arista (x+2) metros

Respuesta: 3)2( x

8. Se reparten 542 xx sacos de trigo en partes iguales entre )1( x socios.¿que cantidad de sacos le corresponde a cada uno de ellos?

Respuesta: x – 5 sacos

9. La velocidad, v, de un cuerpo después que ha caído d pies está dada por la expresión dv 642 , escriba una expresión que me permita calcular el valor de v

Respuesta: dv 8

10. La expresión para calcular el volumen de un cubo es V = a 3 , donde a es la arista del cubo, escriba una expresión que permita

obtener el valor de a

Respuesta: a = 3 V

11. Evaluar la expresión: 72514343 22 cybasicbabaa

Respuesta: 800.2

347.1

12. 064312 zyxcbaqueSabiendo

6

51:

3

4

)(:

32

Solución

ya

ac

zyc

cbaCalcular

http://www.bbo.arrakis.es/geom/cubo.gif�



75

32:

1

11

2435,exp.13

Solución

d

b

c

ba

dcbaquesabiendoresiónsiguientelaEvaluar

89:Re

)23)(54:exp.814.14 013 201

spuesta

yyyxxxresiónlaEvalúeyxSi

15. Es frecuente que los equipos de oficinas, se deprecien, un equipo con una esperanza de vida útil de N años, que cuesta $C, se depreciará a un valor de $V en n años, donde n está dado por la fórmula.

N

CVn

21log

loglog

Un computador que cuesta 17.000 unidades monetarias, tiene una esperanza de vida útil de 5 años. Si se ha depreciado a un valor de 2.000 unidades monetarias. ¿Cuál es su antigüedad?

Respuesta: 4,2 años

CLASE 21

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Resuelven ecuaciones de primer grado. - Resuelven ecuaciones de segundo grado - Resuelven sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

- Ecuación de primer grado Resolución - Ecuaciones de segundo grado: Resolución Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Resolución Graficación

Ecuaciones

Una de las herramientas mas importantes que nos ofrece el algebra es poder expresar en forma simbólica diversos problemas cotidianos y del ámbito profesional o laboral. Estas expresiones a su vez nos permiten conocer las restricciones o Cuálidades que los elementos involucrados en dicha expresión deben tener para que ella se válida. Para conocer estos aspectos estas expresiones algebraicas se transforman en ECUACIONES, a las Cuáles debemos dar solución, encontrando así la respuesta al problema que deseamos resolver. Ecuaciones de primer grado La igualdad de dos expresiones algebraicas, que se cumple para uno o más valores de la o las variables que intervienen en estas expresiones, se denomina ecuación algebraica. Estas ecuaciones se pueden clasificar de acuerdo al máximo exponente que tenga la variable, así se tiene por ejemplo: Ecuación de primer grado: 1325 xx



Ecuación de segundo grado: 1473 2 xx

Una ecuación se puede representar por una balanza, la cual debe permanecer en perfecto equilibrio durante el desarrollo de la ecuación. Por ejemplo: Resolver la ecuación:

423 xx Restando 2 en ambos miembros de la igualdad: 63 xx Restando x en ambos miembros de la igualdad: 62 x Dividiendo por 2 ambos miembros de la igualdad:

El ejemplo anterior nos muestra el proceso básico de una resolución de una ecuación de primer grado. En general se puede decir que esta igualdad no se altera si en cada uno de sus miembros se efectúan la misma operación, Algunas reglas que nos servirán para la resolución de ecuaciones: 1º A toda igualdad se le puede agregar o quitar una cantidad sin alterarla, siempre que se haga sobre ambos lados de dicha igualdad.

Por ejemplo; todos sabemos que 2 = 1 + 1, si agregamos una unidad a cada lado de la igualdad obtenemos 2 + 1 = 1 + 1 + 1 lo que implica que 3 = 1 + 1 + 1 que también resulta ser verdadero.

2º Toda igualdad puede ser multiplicada y/o dividida en ambos lados por Cuálquier número real distinto de 0 manteniéndose la igualdad

inalterable. 3º Toda ecuación de primer grado con una variable se puede escribir de la forma ax + b

E C U A C I Ó N

3x +2 X - 4

E C U A C I Ó N

3x X - 6

E C U A C I Ó N

2x 6

E C U A C I Ó N

x 3



Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado:

1. )958353 xxxxx

958353 xxxxx

93363 xxx

3933 x

66 x

1x

2. 05

1

3

2

5

3

xx

El mínimo común denominador es 15, por lo tanto:

05

115

3

215

5

315

xx

03 x

3 x

3x

En muchos casos existen problemas que es necesario conocer el valor de más de una variable o incógnita, para lo Cuál en general, debemos disponer de tantas ecuaciones como variables se deseen conoce, las Cuáles forman en conjunto lo que se denomina SISTEMA DE ECUACIONES. La forma o método de resolución de un sistema de ecuaciones consiste en reducir las ecuaciones de forma tal que se obtenga una nueva ecuación que deberá contener solo una de las variables. Resolviendo esta ecuación y conociendo el valor de la incógnita es posible determinar el valor de las restantes. Ejemplo:

1434

1923

yx

yx

Amplificando la primera ecuación por 3 y la segunda por 2 obtenemos:

03109 xx



2868

5769

yx

yx

Sumando ambas ecuaciones, tenemos:

58517 xx Conocido el valor de x, lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones y calculamos el valor de y. 2421519219253 yyyy

Resolver.

9758 yx

636 yx

478 yx

636 yx

Amplificando la primera ecuación por – 3 y la segunda por 4 obtenemos:

122124 yx

241224 yx

Sumando ambas ecuaciones, tenemos:

369 y

4y

Conocido el valor de y, lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones y calculamos el valor de x =3 Ecuaciones de segundo grado: Las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado, son aquellas cuya forma general es.

IRcbacbxax ,002 Las ecuaciones de segundo grado las podemos resumir en el siguiente cuadro:

02 cbxax Ecuación Completa General

02 cbxx Ecuación Completa Particular



02 bxax Ecuación Incompleta Binomial

02 cax Ecuación Incompleta Pura Fórmula General de una ecuación de segundo grado:

a

cabbx

2

42

Resolver la ecuación cuadrática: 0352 2 xx En nuestro ejemplo tenemos que: 352 cba Por lo tanto tenemos que:

)2(2

)3()2(4)5(5 2 x

4

24255 x

4

495 x

4

75 x por lo tanto las raíces o soluciones son:

2

1

4

2

4

753

4

12

4

7521

xx

Resuelva la ecuación de segundo grado: 0253 2 xx

Solución: 3

21 y

CLASE 22

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS -Resuelven ecuaciones de primer grado, orientando su estudio a situaciones reales de la especialidad y el mundo laboral. Resuelven ecuaciones de segundo grado, orientando su estudio a situaciones reales de la especialidad y el mundo laboral. Resuelven sistemas de de primer grado con dos incógnitas ecuaciones grado, orientando su estudio a situaciones reales de la especialidad y el mundo laboral.

- Ecuación de primer grado: Resolución de problemas - Ecuaciones de segundo grado: Resolución - Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Resolución de problemas



Resolver los siguientes problemas, en forma grupal o individual. 1. En un hotel de dos pisos hay 48 habitaciones. Si las habitaciones del segundo piso son la mitad de las del primero. ¿Cuántas

habitaciones hay en cada piso? Respuesta: Primer piso: 32 habitaciones; Segundo Piso: 16 habitaciones

2. Repartir 300 dólares entre tres personas A, B, C, de modo que la parte que le corresponde a B sea el doble de la de A y la de C el

triple de A. Respuesta: A= 50 dólares; B = 100 dólares y C = 150 dólares

3. Dos ángulos suman 180° y el doble del menor excede en 45° al mayor. Hallar los ángulos

Respuesta: Los ángulos miden respectivamente, 75° y 105°. 4. En una pastelería se fabrican dos tipos de tortas. La primera necesita 2.4 Kg. de masa y 3 horas de elaboración. La segunda necesita

4 Kg. de masa y 2 horas de elaboración. Calcular el numero de tortas elaboradas de cada tipo si se han dedicado 67 horas de trabajo y 80 Kg. de masa. Respuesta: 15 tortas de un tipo y 11 del otro tipo

5. Los ingresos de un comerciante durante el primer trimestre del año están dados bajo la siguiente condición:”Lo recibido el mes de

febrero es 4

3 de lo recibido en el mes de enero y lo recibido en el mes de marzo es el doble de lo recibido en el mes de febrero”. Si

el total recaudado en este periodo del año es de 812.500 pesos. Hallar los montos ingresados en cada uno de estos meses señalados. Respuesta: Enero: $250.000; Febrero: $187.500; Marzo: $ 375.000

6. Para una actividad de beneficencia se confeccionaron 120 invitaciones, las Cuáles se ofrecerán a 2.000 pesos las del almuerzo y a

1.000 pesos las de la once. Si en total se recaudan 200.000 pesos. Calcular la cantidad de invitaciones utilizadas en el almuerzo y las utilizadas en la once. Respuesta: ochenta entradas para el almuerzo y cuarenta entradas para la once.

7. En la granja se han envasado 300 litros de leche en 120 botellas de dos y cinco litros. ¿Cuántas botellas de cada clase se han

utilizado? Respuesta: 100 botellas de 2 litros y 20 botellas de 5 litros

8. Un comerciante de artículos deportivos compró 1.000 pares de zapatillas a $15.000 cada una. Vendió 400 pares de ellas obteniendo

una ganancia del 25% ¿A que precio deberá vender los restantes 600 pares de zapatillas, si la utilidad promedio del lote completo ha de ser del 30% Respuesta: Vendió los restantes 600 pares de zapatillas a $20.000

9. La longitud de una sala excede a su ancho en 4 metros. Si cada dimensión reaumenta en 4 metros el área será el doble. Determine

las dimensiones de la sala. Respuesta: 12 metros de largo por 8 metros de ancho.

10. Un comerciante, compró cierto número de sacos de azúcar por 1.000 unidades monetarias. Si hubiera comprado 10 sacos más por

el mismo dinero, cada saco le habría costado 5 unidades monetarias menos. ¿Cuántos sacos compró y cuánto le costó cada uno? Respuesta: 40 sacos y 25 unidades monetarias



CLASE 23

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Resuelven ecuaciones exponenciales - Resuelven ecuaciones logarítmicas

- Ecuaciones exponenciales Resolución - Ecuaciones logarítmicas Resolución

Aquellas ecuaciones donde la incógnita se encuentra en el exponente de una potencia, se considera una Ecuación Exponencial:

yxybaba yx Para resolver este tipo de ecuaciones, una vez igualadas las bases, se igualan los exponentes, transformándose la ecuación exponencial en una ecuación de primer o segundo grado, según corresponda. Cuando en las ecuaciones exponenciales, no podemos igualar los exponentes recurriremos a los logaritmos. Todas las condiciones que necesitaremos para resolver Ecuaciones Exponenciales, hacen referencia al concepto de potenciación y radicación, estudiados anteriormente. Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales.

1. 1412 255 xx Igualando las bases, tenemos.

14212 )5(5 xx 2812 55 xx

Igualadas las bases, igualamos los exponentes:

2812 xx

1282 xx

36 x

2

1x

2. 32

1

8

1

4

1231

xx

523312

2

1

2

1

2

1

xx

56922

2

1

2

1

2

1

xx

574

2

1

2

1

x

574 x



24 x

2

1x

Resuelva la siguiente ecuación exponencial:

1321623413 xxxxxxx cccc

Respuesta: 5x

En los siguientes problemas, resolveremos ecuaciones exponenciales, en las Cuáles no es posible igualar las bases, por lo tanto recurriremos a los logaritmos, es importante conocer logaritmos, vistos en clases anteriores para resolver problemas de este tipo. Resuelva:

1. 74 x Solución: Como los logaritmos de números iguales son iguales, podemos tomar el logaritmo común (o logaritmo natural9 de cada lado de la ecuación. La regla de potencia de logaritmos entonces proporciona una forma de cambiar la variable x de su posición como exponente a una posición como coeficiente.

74 x

7log4log x

7log4log x

4log

7logx Use calculadora

54037,1x

2. xx 26 3 aplicando logaritmo

xx 2log6log 3

2log6log)3( xx

2log6log36log xx

6log32log6log xx

6log3)2log6(log x

2log6log

6log3

x

8928,4x

3. t)03,1(6,173

t03,16,1

73

t03,1625,45 aplicando logaritmo

03,1log625,45log t



t03,1log

625,45log

2493,129t

Resolución de Ecuaciones Logarítmicas En cada uno de los siguientes ejemplos, utilizamos las propiedades de los logaritmos para cambiar una ecuación logarítmica una ecuación algebraica. Resolver:

1. 0)32log()23log( xx

)32log()23log( xx Si ,loglog sr aa entonces sr

3223 xx

5x 2. 1)3log(log xx

10log)3(log xx

10)3( xx

1032 xx

01032 xx Resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos.

52 21 xx

21 x no es solución, porque no satisface la ecuación(un número negativo no tiene logaritmo)

3. 2log

)65log(

x

x

xx log2)65log(

2log))65log( xx 2)65( xx

650 2 xx Resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos.

23 21 xx compruebe los resultados



CLASE 24

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Resuelven ecuaciones exponenciales, orientando su estudio a situaciones de la especialidad y el mundo cotidiano Resuelven ecuaciones logarítmicas , orientando su estudio a situaciones de la especialidad y el mundo cotidiano - Exploran sistemáticamente, diversas alternativas y estrategias para la resolución de problemas relacionados con la especialidad. - Resuelven problemas relacionados con la especialidad, seleccionando secuencias adecuadas de operaciones y métodos de cálculo, incluyendo una sistematización del método ensayo y error, y analizando la pertinencia de los datos y soluciones

-Alternativas y estrategias de resolución de problemas atinentes a la especialidad. - Resolución de problemas

Resolver los siguientes problemas. 1. Según cierta información científica confiable, a partir del año 2000, la concentración de CO2 ambiental, en cierta ciudad ha ido variando según la relación: C = 175 · 1,02t; donde: C es la concentración de CO2, en ppm (partes por millón) y t = años a partir de 2000. A partir de este modelo determine la concentración de CO2 para el año 2010 Respuesta: 213,321 partes por millón 2. La concentración de pesticida en manzanas a partir de la última fecha de aplicación está dada por C = 1,5 · 0,86T, donde la concentración C está medida en miligramos del producto por cada 1 kilogramo de fruta, y el tiempo T, en días. Determine la variación en la concentración del pesticida entre el primer y tercer día de la última aplicación Respuesta: Bajó en aproximadamente un 26%

3. Bajo ciertas condiciones, una población de bacterias crece en función del tiempo según la ecuación: N = 500 · 2t, siendo N el número de bacterias del cultivo y t el tiempo, en horas.

Según el modelo, determine el tiempo para el Cuál habrán 5 mil bacterias en el cultivo.

Respuesta: 3,32 horas

3. Las utilidades de una empresa aumentan de acuerdo con la siguiente relación:

t

i iUUf )1( , donde fU es la utilidad final, iU es la utilidad inicial, i tasa de crecimiento y t es el tiempo. Si las utilidades

de esta empresa han aumentado a un promedio de un 5% entre el año 2000 y el 2008, alcanzando este último año $3,5 millones, estime la utilidad para el año 2010, suponiendo que este crecimiento exponencial continúa. Respuesta: 3,86 millones de pesos 5. La altura de un cierto tipo de árbol (en pies) está dada aproximadamente por.

teh

2,02401

160

, donde t es la edad del árbol en años. Estime la edad de un árbol de 80 pies de altura




6. La población de un cierto país era de 8.000.000 de habitantes el año 2005 y está creciendo a una tasa del 1% anual, suponiendo que esta tasa de crecimiento continúa. Cuándo alcanzará este país los 10.000.000 de habitantes, de acuerdo a la siguiente relación

tif PP 01,1 , siendo fP la población final, iP la población inicial y t es el tiempo


7. Debido a una depresión, cierta región económica tiene una población que decrece. En el año 2000, su población fue de 500.000

habitantes y de ahí en adelante su población se rigió por la fórmula:

t

P02,0

3

7000.50

en donde t es el tiempo en años.

Calcule la población para el año 2.009 Respuesta: 42.927 habitantes

CLASE 25

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Refuerzan aprendizajes esperados, de las clases 15 a 24 preparación Evaluación Nacional

Reforzamiento Evaluación Nacional Estandarizada de los aprendizajes esperados de las clases 15 a 24

Resolver en forma grupal o individual, los siguientes problemas, en preparación de la Segunda Evaluación Nacional

1. Simplificar la expresión

3

5

23

b

a Respuesta.

15

627

b

a

2. Simplificar la siguiente expresión: 8325018 Respuesta: 214

3. Simplifique: 223)263( Respuesta: 6421 4. Racionalice el denominador:

a. 6

3 Respuesta:

2

6

b.12

3

Respuesta: 323

c. 32

5

Respuesta: 1015

d.23

23

Respuesta: 625

e.3 3

3 5

2

16

a

a Respuesta: 3 22 a

5. Exprese la ecuación en forma logarítmica: 162

14

Respuesta: 416log2

1



6. Dado log3 = 0,4771 y log4 = 0,6021, determine el valor de:

a. Log 48 Respuesta: 1,6812

b. Log 3 Respuesta: 0,2386 7. Utilice las propiedades de los logaritmos para simplificar la expresión:

1

1log

2

x

x Respuesta. )1log()1log(

2

1 2 xx

8. Si R es la intensidad de un temblor, A es la amplitud (medida en micrómetros), y P es el período (el tiempo de una oscilación de la

superficie terrestre, medida en segundos), entonces

P

AR log , encuentre la medida en la escala de Richter de un terremoto de 10.000 micrómetros y un período de 0,1 segundos.

Solución: El terremoto es de 5 en la escala de Richter

9. Si 0E es el voltaje de salida de un dispositivo y IE es el voltaje de entrada, la ganancia de voltaje en decibeles está dada por:

IE

EdB 0log20 , si la entrada de un amplificador es de 0,4 volts y la salida es de 50 volts, encuentre la ganancia de voltaje en

decibeles del amplificador. Respuesta: El amplificador produce una ganancia de voltaje de 42 decibeles

10. Es frecuente que un equipo se deprecie. Si un equipo con esperanza de vida útil de N años, que cuesta $C, se depreciará a un valor

de $V en n años, donde n está dado por la fórmula:

N

CVn

21log

loglog, una impresora que cuesta 470 unidades monetarias tiene una esperanza de vida útil de 12 años. Si se ha

depreciado a un valor de 189 unidades monetarias ¿Cuál es su antigüedad? Respuesta: 5 años

11. Reduzca la siguiente expresión a su mínima expresión:

62622662266226 18276048111628 baabbaababbaba

Respuesta: 6226 23103 baba 12. Dados los siguientes Polinomios.

835: 3 xxP

123257: 234 xxxxQ

1579: 23 xxR

1711610: 24 xxxS

1134: 34 xxxT

a. Calcular: TSQP

Respuesta: 128897 234 xxxx

b. RQS

Respuesta: 4414111417 234 xxxx



13. Resuelva el siguiente producto:

1

3

2

4

31

3

2

4

3abba

Solución:

112

17

2

1

12

17

2

1

144

145 22 bbaaab

14. Resuelva utilizando productos notables:

2

713

2

713 3232 c

rpqc

rpq

Solución: 4

49169

2642 c

rqp

15. Resuelva utilizando productos notables:

232

4

1

3

2

ba

Respuesta: 6324

16

1

3

1

9

4bbaa

Factorizar las siguientes expresiones.

16. 798667

30

1

20

1

5

1qpqpqp

Respuesta:

qpqpqp 3266

6

1

4

1

5

1

17. 132232 tt Solución: )t(t 1211

18. 24

33 24 rr

Solución:

4

18 22 rr

19. 22

25

4

15

8

9

4baba

Solución: 2

5

2

3

2

ba

20. 22 121374289 yxyx

Solución: 21117 )yx(

21. Una persona recibe un ingreso mensual de: xyxyyx 22 23 pesos y gasta en arriendo y alimentación

xyyx 52 pesos y xyxy 24 2 pesos, respectivamente. Determine la cantidad de dinero que le queda para pagar el resto de sus obligaciones.

Respuesta: xyxyyx 662 22



22. Compro yxyx 32 bienes a 24 xy

pesos cada uno. ¿Cuánto cancelo por el total?

Respuesta: 33223 4124 xyyxyx

23. Si x = 0,1 y = 0,2 z = 0,3 Evaluar: zy

yx2

2

2

3

Respuesta: 0,25 24. Resolver la ecuación: 958353 xxxxx

Respuesta: 3x

25. Resolver el sistema de ecuaciones: 6376 xy

1329 yx

Respuesta: 7;3 yx

26. Resolver la ecuación: )53(4)5(8)4(5 2 xxx

Respuesta: 75,48 21 xx

27. Resolver la ecuación exponencial:

914

4

14

xx Respuesta: 2x

28. Resolver la ecuación exponencial: 213 1 x Respuesta: 1,2702 29. Resuelva la ecuación logarítmica: )1ln(3ln)52ln( xx Respuesta: 8x 30. Entre dos vendedores, A y B, han vendido un total de 20 plantas para jardín, por un total de $23.200. Por un problema de

información, ambos vendieron a precios diferentes. A vendió a $1.250 y B a $1.100 cada planta. ¿Cuál es la diferencia entre las plantas vendidas por ambos?

Respuesta: 4 plantas

31. Un grupo de trabajadores han instalado la tercera parte de un cierro perimetral de una carretera. Si falta por instalar las 3/5 partes

más 550 m. ¿Cuál es la longitud total del cierro a instalar?

Respuesta: 8.250 metros 32. Se sabe que el total de la pintura de fachadas que se requiere para una construcción es de 158 galones, si por error de despacho se cuenta con el triple del verde musgo y el doble del amarillo colonial, por un total de 400 galones. ¿Cuántos galones se requiere de cada color? Respuesta: X = 84 galones de verde musgo Y = 74 galones de amarillo colonial 33. Debido a una depresión, cierta región económica tiene una población que decrece. En el año 2000, su población fue de 500.000

habitantes y de ahí en adelante su población se rigió por la fórmula: teP 02,0000.500 en donde t es el tiempo en años. Calcule la población para el año 2.008 Respuesta: 426.072 habitantes



34. El volumen de ventas de una marca de cereales disminuye después de una campaña publicitaria de acuerdo a la Fórmula V = 750(1,3)-t donde t es el tiempo en meses. La siguiente campaña está planeada para cuando el volumen de ventas haya caído a dos tercios de su valor inicial. ¿Cuánto tiempo debe pasar entre dos campañas sucesivas? Respuesta: 1,55 meses 35. Si cierta marca de automóvil se compra por C pesos, su valor comercial v al final de t años, está dado por

185,078,0 tCv .Si el costo original es de $6.500.000, calcule el valor del automóvil después de tres años. Respuesta: $3.663.075

CLASE 26

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Desarrollan evaluación sumativa

Evaluación Nacional Estandarizada de los aprendizajes esperados de las clases 15 a 24.

CLASE 27

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Identifican el concepto de función, su dominio y recorrido, operando con la nomenclatura correspondiente. - Calculan imágenes y coimágenes en funciones sencillas y las representan gráficamente. - Identifican la función lineal y la caracterizan a través de sus parámetros, ceros y gráfica.

- Concepto de función Dominio y Recorrido de la función Nomenclatura funcional - Cálculo de imágenes y coimágenes de funciones sencillas. Representación gráfica. - Función lineal: Características Ecuación representativa Gráfico

Una función es una correspondencia entre un conjunto de valores x de entrada (llamado dominio de la función) y un conjunto de valores y de salida (llamado rango de la función), donde exactamente un valor y del rango corresponde a cada número x del dominio. Dados dos conjuntos X e Y, una función o aplicación de X en Y es una correspondencia matemática, denotada por:

YXf : Ej. 1 Dada la expresión 32 xy ¿es función? Si es así, encuentre su dominio y su rango, e ilustre la función con una tabla y una gráfica Solución: Para que exista una función, todo valor de x debe determinar un valor de y, si reemplazamos en 32 xy , valores de x correspondientes a los reales, cada opción de x determina un valor de y, por lo tanto es una función. Como la entrada x puede ser cualquier número real, el dominio de la función es el conjunto de los números reales. Como la salida y puede ser cualquier número real, el rango es el conjunto de los números reales. Tabla de valores

x y (x, y) 1 -1 (1, -1) 2 1 (2, 1) 3 3 (3, 3)



0 -3 (0, -3) -1 -5 (-1,-5) -2 -7 (-2,-7) -3 -9 (-3,-9)

Gráfico: y y = 2x - 3

x Ej. 2

¿La expresión xy 2 define que y es una función de x? Para que exista una función cada valor de x debe determinar un valor de y, si consideramos el valor de x = 4, por ejemplo, y podría ser 2

o - 2, ya que 4)2(42 22 y , como se determina más de un valor de y cuando x = 4, la ecuación no representa una función. Notación de funciones La notación )(xfy denota que la variable y es una función de x Ej. Sea 34)( xxf , encuentre )1()3( fyf

15334)3( f

13)1(4)1( f Localización de dominios y rangos de la función

Ej.1 Sea una función IRIRf : definida por 2

1

xy , determine el dominio y el rango de la función.

El Dominio de la función es el conjunto de todos los Reales, excepto el 2, ya que al reemplazarlo en la función, el denominador se hace cero. Puesto que una fracción con numerador 1 no puede ser cero, el rango es el conjunto de todos los números reales, excepto el cero. Ej. 2 Sea una función IRIRf : definida por 12 xy , determine el dominio y el rango de la función. Puesto que todo número real x, determina un valor correspondiente de y, el dominio es el conjunto de todos los números reales. Como los valores de y pueden ser cualquier número real, el rango es el conjunto de todos los números reales.



FUNCIÓN LINEAL Al establecer que una función es una correspondencia uno a uno entre los elementos de dos conjuntos claramente definidos, se está en condiciones de poder desarrollar y estudiar relaciones funcionales entre innumerables elementos de diferentes campos operacionales. Una función lineal es una relación de proporcionalidad directa entre los elementos de dos variables X e Y, las Cuáles se denominan Dominio y Rango de la función, donde se establece una relación de dependencia entre ambas variables, tal es el caso que la variable X se denomina variable independiente y la variable Y, variable dependiente de esta función. Si la función lineal es una relación de proporcionalidad directa entre las variables X e Y, si una de las variables crece lo hará también la otra y viceversa Definición: Una relación funcional de la forma: nmxyobaxy es una función lineal, donde a y b son números reales que no cambian de magnitud para la función dada. Las magnitudes a y b son elementos característicos de cada función lineal y representan respectivamente a: 1. La pendiente de la función, a, o coeficiente de dirección 2. Al punto donde esta función se intersecta con el eje ordenado, del Diagrama Cartesiano, (0, b), o Coeficiente de Posición La expresión general para la Función Lineal o Ecuación de la Recta también se expresa analíticamente como 0 CByAx , donde la pendiente a y el punto de intersección de la recta b corresponde a:

B

Cb

B

Aa

Consideremos la Función Lineal 12 xy , la Cuál deberá corresponder a una Línea Recta de pendiente a = 2 y Coeficiente Posicional b = - 1 y que representada gráficamente corresponde a: Y X El valor o magnitud de la Pendiente de la Función Lineal, es el cuociente entre la variación o incremento de la variable y y la variación o incremento de la variable x, tal que:

12

12

xx

yy

x

ya

Esto significa que para obtener y conocer la pendiente se deben conocer dos pares cartesianos ),( yx de la función o de las variables

que se estén utilizando y establecer la relación: 12

12

xx

yya

Ejemplo: Determine la pendiente o inclinación de la función lineal, que pasa por los puntos )6,2()5,3( 21 PyP



132

56

a

Propiedades de la pendiente: 1. Si a = 0 la función lineal es paralela al eje de las x 2. Si a > 0 la función lineal es ascendente 3. Si a < 0 la función lineal es descendente La función lineal tiene por característica geométrica representar una línea recta, de modo que su representación gráfica y los valores asignados a la pendiente y al Coeficiente Posicional b, son de gran utilidad en la interpretación de situaciones prácticas que abarcan muchas disciplinas del conocimiento, fundamentalmente de las Ciencias Aplicadas. La representación gráfica de la función lineal de acuerdo a las propiedades asociadas a la pendiente son de la forma. a >0 a < 0 a = 0 no existe CLASE 28


- Operan con la función lineal en forma analítica y gráfica, relacionando su estudio a situaciones de la vida laboral. - Resuelven problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la función lineal como modelo

- Función lineal: Aplicaciones

Para la construcción de una Función Lineal es necesario conocer a lo menos: 1. Un punto o par cartesiano (x, y) y la pendiente a 2. Dos puntos o pares cartesianos Y aplicando la expresión 11 xxayy en el caso punto- pendiente o la expresión:

112

121 xx

xx

yyyy

en el caso de conocer dos puntos

Cabe hacer notar que ambas expresiones son equivalentes de acuerdo a la definición dependiente Ejemplo1: Escribir la Ecuación de la Recta que tiene pendiente a = 4 y pasador el punto A (1, 5)

GeneralEcuaciónyx

incipalEcuaciónxy

xy

xxayy

014

Pr14

)1(45

)( 11

Escribir la Ecuación de la Recta que pasa por los puntos: A (-3, 1) y B (3, -1), usando la forma Principal y la forma general



GeneralEcuacónyx

incipalEcuaciónxy

xy

xy

xxxx

yyyy

03

Pr3

1

1)3(3

1

)3(33

111

112

121

Consideremos las siguientes Funciones Lineales o Ecuaciones de Recta

13

12323 xyxyxy

y representémoslas en un gráfico, destacando de acuerdo a lo establecido que las dos primeras presentan lamisca pendiente a = 3. Al asignar valores a la variable independiente x para los tres casos se deben obtener las siguientes representaciones: X Y = 3X+-2

Y = 13

1 X Y = 3X -2

Y De la representación gráfica se observa que las dos primeras rectas son paralelas y la tercera recta es perpendicular a las anteriores. Dos Rectas son Paralelas si tiene igual pendiente ( )21 aa de modo que la distancia entre ambas debe ser constante y Dos Rectas

son Perpendiculares, si sus pendientes son valores recíprocos y negativos )1( 21 aa



Resuelva los siguientes problemas en forma grupal o en forma individual:

1. Dadas las rectas 12

152 xyexy , demostrar gráficamente que son perpendiculares

2. Encuentre la función lineal o ecuación de la recta que pasa por los puntos 4,25,1 21 PyP

Respuesta: 149 xy

3. El costo fijo de producción de galletas finas es de $50.000 al mes y el costo variable de producir cada kilo es de $1.180. a. ¿Cuál será la función de costo total? b. ¿Cuál será el costo de producir 45 kilos de estas galletas? Respuesta: 100.103$000.50180.1)(. bxxCa

4. Una empresa líder en el mercado tiene un costo fijo de 4.000 dólares para planta y equipo y un costo variable de 300 dólares por cada unidad producida. ¿Cuál es el costo total de fabricar a. 25 unidades? b. 40 unidades? Respuesta: dólaresbdólaresa 000.16.500.11.

5. Una fabrica recibe 25 dólares por cada unidad de producción vendida .Sus costos variables por unidad son de 15 dólares y un costo fijo de 1.200 dólares ¿Cuál es el nivel de utilidad si se venden a. 200 artículos? b. 300 artículos? c. 100 artículos? Respuesta: dólarescdólaresbdólaresa 200.800.1.800. 6. Las ventas anuales (en unidades) estimadas S de un nuevo aditivo están dadas por la ecuación tS 3000000.150 en donde t es el tiempo medido en años desde el año 2005, tal ecuación es llamada ecuación de tendencia. Determine las ventas anuales estimadas para el año 2008. Respuesta: 159.000 unidades

7. Una empresa que fabrica vajilla desechable tiene costos fijos de 3.000 dólares mensuales y el costo de la mano de obra y del material es de 50 dólares. a. Determine la función de costos, es decir el costo total como una función del número de vajilla producida. b. Si cada vajilla se vende a 80 dólares. Encuentre la función de ingresos y de utilidades Respuesta: 000.330)(80)(.000.350)(. xxUxxIbxxCa

8. Encuentre la expresión lineal que se asocia al ingreso, si se sabe que por la venta de 40 bicicletas ingresaron 4.500 dólares, y por la venta de 15 bicicletas del mismo tipo el ingreso fue de2.000 dólares. Respuesta: 500100))( xxI

9. Cuando el precio es de 50 dólares hay disponibles 50 litros de pintura. Cuando el precio es de 75 dólares, hay disponibles 100 litros de pintura. ¿Cuál es la ecuación de la oferta suponiendo que la relación es lineal? Respuesta: 255,0 xp 10. Dadas las ecuaciones de oferta y demanda de un artículo xpOxpD 2:;28: +1

Determinar el precio (pesos) y la cantidad (en unidades) de equilibrio del mercado Respuesta: Precio en el equilibrio: $19; Cantidad en equilibrio: 9 unidades



11. Una compañía fabrica dos tipos de cierto producto. Cada unidad del primer producto requiere 2 horas-maquinas y cada unidad del segundo producto requiere 5 horas-maquinas. Hay 280 horas máquinas disponibles cada semana. a. Si x unidades del primer tipo e y unidades del segundo tipo se fabrican cada semana, encuentre la relación entre yex si

se emplean todas las horas máquinas. Respuesta 28052 yx b. ¿Cuántas unidades del primer producto pueden fabricarse si se producen 40 unidades del segundo producto en una semana?

Respuesta : 40 unidades 12. En el casino de una industria, se necesita una función para determinar la bonificación mensual de sus maestros de cocina en relación con su producción. Si todos los trabajadores reciben un sueldo base de $205.500 y su producción mensual máxima es de 9.000 platos calientes al mes de acuerdo a la exigencia máxima de la industria. El bono correspondiente por cada plato producido se cancela a $22. a. ¿Cuál es la función para determinar la bonificación por trabajador?

Respuesta: xy 22500.205 b. ¿Cuál es el valor de este bono si se producen 8.500 platos? Respuesta: $392.500

CLASE 29


- Identifican la función cuadrática y la caracterizan a través de sus parámetros, ceros y gráfica

- Función cuadrática : Características La parábola Elementos Ecuación general y particular

Una función de la forma 0)( 2 acbxaxxf con a, b y c constantes se denomina función cuadrática.

El dominio de la función cuadrática es el conjunto de los números reales. La función cuadrática queda representada gráficamente por una parábola

Para graficar una función cuadrática, consideraremos tres puntos:

1. Intersección de la parábola con respecto al eje de las abscisas.

2. Intersección de la parábola con respecto al eje de las ordenadas

3. Determinación del vértice de la parábola.

1. Intersección de la parábola con respecto al eje de las abscisas.

Para calcular el o los puntos donde la parábola corta al eje de las x igualamos la función a cero.

02 cbxax ; por lo tanto debemos resolver una ecuación cuadrática, recordemos que las raíces de la ecuación cuadrática están dadas por la fórmula cuadrática:

a

acbbx

2

42

acb 42 se denomina Discriminante, que simbolizaremos por .

Si 0 , tenemos 2raíces diferentes, esto significa que la parábola corta al eje de las x en dos puntos diferentes, por ejemplo

95,22 xxy



Si 0 , tenemos dos raíces iguales, esto significa que la parábola corta al eje de las x en un solo punto, por ejemplo 2xy

Si 0 , las raíces son imaginarias, por lo tanto no corta al eje de las x, por ejemplo 222 xxy 2. Intersección de la parábola con respecto al eje de las y

Para calcular el punto donde la parábola corta al eje de las y, hacemos x = 0 en la función cuadrática cbxaxy 2 , si hacemos x = 0, entonces y = c, por lo tanto la parábola corta al eje de las y en el punto c.

Observando los gráficos anteriores, vemos que para la función 95,22 xxy , la parábola corta al eje de las y en el punto (0, -

9); para la función 2xy , la parábola corta al eje de las y en el punto (0,0), y en la función 222 xxy , la parábola corta al eje de las y en el punto (0,2) 3. Determinación del vértice de la parábola (punto máximo o mínimo de ella)

La gráfica de la función: 0)( 2 acbxaxxf es una parábola que se abre hacia arriba si 0a (Punto mínimo) y

hacia abajo si 0a (Punto máximo).Este punto tiene coordenadas:



a

bac

a

bVértice

a

bacy

a

bx

4

4,

2:

4

4;

2

22

Ejemplo:

Graficar la función cuadrática: 123 2 xxy 1. Intersección de la parábola con respecto al eje de las x

0123 2 xx , utilizando la ecuación cuadrática:

6

13442 x

6

162 x

6

42 x

Por lo tanto las raíces son 3

11 y ; esto significa que la parábola corta al eje de las x en los puntos:

0,

3

1)0,1( y

2. intersección de la parábola con respecto al eje de las y

123 2 xxy ; haciendo x = 0, tenemos que y = -1, por lo tanto la parábola corta al eje de las y en el punto (0, -1) 3. Determinación del vértice de la parábola: Como a > o, la parábola abre hacia arriba (punto mínimo)

3

1

6

2

2

a

bx

33333333,112

4)1(34

4

4 2

a

bacy

Con los tres puntos anteriores estamos en condiciones de graficar la Parábola



CLASE 30

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Operan con la función cuadrática en forma analítica y gráfica, relacionando su estudio a situaciones de la vida laboral. - Resuelven problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la función cuadrática como modelo.

-Función cuadrática: Gráfico Aplicaciones

Resolver los siguientes problemas, en forma grupal o en forma individual

1. Determine el vértice de la parábola: 233 xxy

Respuesta: )308.3;167.0(

2. Graficar la parábola 24 xxy , indicando los puntos de intersección con los ejes coordenados y el vértice de la parábola

Respuesta: Intersección con el eje de las x: 40 xyx

Intersección con el eje de las y: 0y

Vértice de la parábola: )4,2(

3. Determine el valor máximo o mínimo, según corresponda de la función: 153 2 xxy

Respuesta: )308.3;38,0(

4. El ingreso obtenido por vender x unidades de pendrive está dado por: 201,060)( xxxI Determine el número de unidades que deben venderse al mes de modo de maximizar el ingreso. Respuesta: 3.000 unidades

El costo de producir x artículos al día está dado en dólares por: 21,0480)( xxxC

Si cada artículo puede venderse en 10 dólares, determine el punto de equilibrio. Respuesta: 2040 21 xx

5. Una empresa vende un artículo a un precio de p = 4q – 1.080. Si q representa la cantidad de artículos vendidos, determine el valor de q para que la empresa tenga un ingreso total de 64.000 dólares. Respuesta: 320 artículos

6. Una empresa sabe que, si fija en p dólares el precio de un producto, el número de unidades vendidas será x millones, donde p = 2 – x. Si el costo del producto viene dado por 0,25 + 0,5x millones de dólares. ¿Qué precio se debería fijar para obtener utilidades de 0,25 millones de dólares? Respuesta: 5,1)5,02(1)12( pp

7. El número de y unidades vendidas cada semana de un producto depende de la cantidad x (en dólares) gastada en publicidad y está

dada por: 23,015070 xxy ¿Cuánto deberían gastar a la semana en publicidad con objeto de obtener un volumen de ventas máximo? Respuesta: 234,38 dólares semanales

8. Los costos fijos semanales de una empresa por su producto son de 200 dólares y el costo variable por unidad es de 70 centavos de dólar. La empresa puede vender x unidades a un precio de p dólares por unidad en donde 2p = 5 – 0,01x. ¿Cuantas unidades deberán producirse y venderse a la semana de modo que obtenga utilidad máxima? Respuesta: 180 unidades



9. El ingreso mensual (en dólares) obtenido por vender x unidades de un producto está dado por: 2025,04)( xxxI Determine el número de unidades que deben venderse al mes de modo de maximizar el ingreso. ¿Cuál es este ingreso máximo?

Respuesta: 80 unidades Ingreso máximo: 180 dólares

10.El costo promedio por unidad ( en dólares) al producir x unidades de un bien es de 20002,006,020)( xxxC ¿Qué número de unidades producidas minimizarían el costo promedio? ¿Cuál es el correspondiente costo mínimo por unidad?

Respuesta: Número de unidades: 150 Costo mínimo por unidad: 15,5 dólares 10. Si las plantas de arroz se siembran con una densidad de x plantas por pié cuadrado, la producción de arroz en cierta plantación

es de )5,010( xx bushels por acre. ¿Qué valor de x maximiza la producción por acre Respuesta: 10 plantas por pie cuadrado

CLASE 31


- Identifican la función exponencial de la forma xbay , y la caracterizan a través de sus parámetros, ceros y gráfica. - Identifican el comportamiento de la función exponencial de

la forma xbay , cuando 0 < b < 1 y cuando b > 1. - Identifican la función logaritmo de la forma

xbay log , y la caracterizan a través de sus parámetros, ceros y gráfica. - Analizan fenómenos de crecimiento lineal, exponencial y logarítmico en forma analítica y gráfica

- Función exponencial Ecuación Gráficos - Función logarítmica Gráficos - modelos de crecimiento

Sea a IR , entonces ,1,)( aIRxconaxf x se llama Función Exponencial en base a

1,1,,/,exp aaIRxayyxf x

IRIRf :exp

Si a > 1 el gráfico de la función tiene la forma:

Si 10 a el gráfico tiene la forma:



Ejercicios: Graficar utilizando una tabla de valores

a. xxf 2)(

b.

x

xf

2

1)(

Se define la función logaritmo como:

IRyaaxyyxf aa ,1;0log/,log

Si a > 1 el gráfico de la función tiene la forma:

Si 10 a el gráfico tiene la forma:



Ejercicio: Graficar utilizando una tabla de valores a. xy 2log

b. xy

2

1log

CLASE 32


- Resuelven problemas contextualizados en el mundo cotidiano y en la especialidad, aplicando el modelo exponencial - Resuelven problemas contextualizados en el mundo cotidiano y e la especialidad, aplicando el modelo logarítmico. - Resuelven problemas de crecimiento contextualizados en el mundo cotidiano y de la especialidad, aplicando modelos de crecimiento lineal, exponencial y logarítmico.

Función exponencial: Aplicaciones Función logarítmica Aplicaciones - Problemas de crecimiento

Resolver los siguientes problemas en forma grupal o en forma individual

1. Debido a una depresión, cierta región económica tiene una población que decrece. En el año 2000, su población fue de 500.000

habitantes y de ahí en adelante su población se rigió por la fórmula: teP 02,0000.500 en donde t es el tiempo en años. Calcule la población para el año 2.008

Respuesta: 426.072 habitantes

2. Si cierta marca de automóvil se compra por C pesos, su valor comercial )(tv al final de t años, está dado por 185,078,0)( tCtv . Si el costo original es de $6.500.000, calcule el valor del automóvil después de tres años.

Respuesta: $3.663.075

3. Si el valor de los bienes raíces se incrementan a razón del 10% por año, entonces después de t años, el valor de una casa comprada

en P pesos, está dada por tPtv 1,1)( . Si una casa fue comprada en $40.000.000 en el año 2001. ¿Cuál será su precio en el año

2008? Respuesta: $77.948.684

4. El volumen de ventas de una marca de cereales disminuye después de una campaña publicitaria de acuerdo a la Fórmula V (t) = 750(1,3)-t donde t es el tiempo en meses. La siguiente campaña está planeada para cuando el volumen de ventas haya caído a dos tercios de su valor inicial. ¿Cuánto tiempo debe pasar entre dos campañas sucesivas? Respuesta: 1,55 meses

5. El valor de una máquina adquirida hace 8 años por 10.000 dólares viene dado por la expresión: V (t) = 10.000 e-0,3 t, donde t

mide los años después de su adquisición.¿En cuanto tiempo la máquina tendrá un valor de 2.231,30 dólares ? Respuesta: 5 años

6. Una población crece de acuerdo con la fórmula: texP 0606105 , donde t es el tiempo en años. ¿Cuanto tiempo tardará la

población en aumentar 50%? Respuesta: 6,76 años



7. Se adquiere una máquina batidora industrial por $450.000 y se deprecia continuamente desde la fecha de adquisición. Su valor

después de t años está dado por la fórmula: teV 2,0000.450 ¿En cuanto tiempo la máquina tendrá un valor de $200.000? Respuesta: 4,1 años

8. Según cierta información científica confiable, a partir del año 2000, la concentración de CO2 ambiental, en cierta ciudad de Chile ha

ido variando según la función: C = 175 · 1,02t; donde: C = concentración de CO2, en ppm (partes por millón) y t = años a partir del

2000. A partir de este modelo determine la concentración del 2CO el año 2000 Respuesta: 175 ppm

9. La concentración de pesticida en manzanas a partir de la última fecha de aplicación está dada por la función: C = 1,5 · 0,86T, donde la concentración C está medida en mg del producto por cada 1 kilogramo de fruta, y el tiempo T, en días. Determine en que tanto por ciento disminuye la concentración del pesticida entre el primer y tercer día de la última aplicación. Respuesta: Disminuye un 26%

10. Una persona invierte cierta cantidad de dinero en negocios que le producen utilidades, estas utilidades vienen dadas

aproximadamente por la expresión tU 1,15,2 , donde U es la utilidad en millones de pesos y t es el tiempo en meses. ¿Cuanto

tiempo demoraría en obtener 25 millones de pesos en utilidades? Respuesta: 24,2 meses.

11. Una compañía que fabrica software contrató a un técnico para evaluarlos. El número de software posibles de evaluar por día

viene dada por:

te

N1,0214

200

, donde N es el número de software evaluado por día, después de t días de trabajo. ¿Cuántos días requiere

un técnico para evaluar 40 software diarios? Respuesta: Aproximadamente 30días

CLASE 32

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Examen Nacional. Aprendizajes esperados del módulo - Evaluación Sumativa

1. El precio conjunto de dos bienes es de $35.000. Si el precio del bien A es el triple del bien B, calcular el valor comercial de cada

artículo. Respuesta: Precio del bien A: $26.250; Precio Del bien B: $8.750

2. Una persona recibe un ingreso mensual de $1.500.000, de este ingreso ocupa la cuarta parte para pagar los estudios de sus hijos, la

octava parte en gastos relacionados con su casa y un octavo de lo que le queda para viajar. Calcular el gasto total realizado por la persona y la cantidad de dinero que puede guardar como ahorro.

Respuesta: Gasto total: $679.688; ahorro: $820.312 3. El agua contenida en cuatro depósitos pesa 879,002 Kg. El primer depósito contiene 18,132 Kg. menos que el segundo; el segundo,

43,016 Kg. más que el tercero, y el tercero 78,15 Kg. más que el cuarto. Hallar el peso del agua contenida en cada depósito. Respuesta: En cada uno de los depósitos hay respectivamente: 247,197; 265,329; 222,313 y 144,163 kilos de agua 4. Una librería obtuvo utilidades de $360.000 sobre una venta total de $1.200.000 en el año anterior, determine la razón del total de

ventas a las utilidades.

Respuesta: 3

10



5. Se reparten $410.000 entre tres personas A, B y C, de tal forma que, la razón en la que se establece la repartición es A: B: C = 2: 3: 5. Calcular la cantidad de dinero que recibe cada una de estas personas.

Respuesta: 000.205$;000.123$;000.82$ CBA 6. En una fábrica trabajan normalmente 5 maquinas, las Cuáles emplean 5 días en confeccionar 2.600 artículos, trabajando 6 horas

cada día. Si la confección para la próxima temporada se reduce a 1.500 de estos artículos Calcular la cantidad de máquinas que han de trabajar durante 3 días con un promedio de 8 horas diarias.

Respuesta: 61,3x .Por lo tanto se necesitan aproximadamente 4 máquinas

7. El precio de costo de un televisor de pantalla plana es de $850.000, se desea obtener una ganancia del 15% sobre el costo, calcular el precio de venta al público, si se debe agregar un 19% de IVA.

Respuesta: $1.163.225

8. Evaluar la expresión:

i

iA

n11 si 1203,0000.500 niA

Respuesta: 997,0001.977.4 9. Los ingresos de un comerciante durante el primer trimestre del año están dados bajo la siguiente condición:”Lo recibido el mes de

febrero es 4

3 de lo recibido en el mes de enero y lo recibido en el mes de marzo es el doble de lo recibido en el mes de febrero”. Si

el total recaudado en este periodo del año es de 812.500 pesos. Hallar los montos ingresados en cada uno de estos meses señalados.

Respuesta: Enero: $250.000 Febrero: $187.500 Marzo: $ 375.000

10. Para una actividad de beneficencia se confeccionaron 120 invitaciones, las Cuáles se ofrecerán a 2.000 pesos las del almuerzo y a

1.000 pesos las de la once. Si en total se recaudan 200.000 pesos. Calcular la cantidad de invitaciones utilizadas en el almuerzo y las utilizadas en la once.

Respuesta: x= 80 Entradas para el almuerzo y = 40 entradas para la once

11. El costo de fabricar 10 unidades diarias de un producto es de $175.000 mientras que cuesta $300.000 producir 20 unidades del

mismo tipo al día. Suponiendo un modelo de costo lineal, determine la función Respuesta: 000.50500.12 xy

12. El costo de producir x artículos al día está dado en dólares por: 21,0480)( xxxC Determine el costo, si se fabrican 50 artículos diarios.

Respuesta: El costo de producir 50 artículos diarios es de 530 dólares 13. Debido a una depresión, cierta región económica tiene una población que decrece. En el año 2000, su población fue de 50.000

habitantes y de ahí en adelante su población se rigió por la fórmula: t,

.P020

3

700050

en donde t es el tiempo en años. Calcule

la población para el año 2.010 Respuesta: 206.42P habitantes

cuaderno apunte introducci matem

Business