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Hoja de problemas numero 1AMPLIACION DE MATEMATICAS

Introduccion a las ecuaciones diferenciales

1. Comprobar que y(t) = c1t +c2t+ 1

2t log t es solucion general de la ecuacion t2y′′ + ty′ = t+ y.

2. Encontrar una ecuacion diferencial que tenga entre sus soluciones a la familia biparametrica defunciones log y = c1t

2 + c2.

3. Comprobar que log y + t− 1ty

= c es solucion general de la ecuacion

y′ = −t2y2 + y

t2y + t.

4. Reducir el sistema ⎧⎨⎩

y′′ + z′′′ − etx = 2,y − z′ + x′ = y′′,x′′ + y + z = log t,

a un sistema equivalente de primer orden.

5. Verificar que las siguientes funciones (explıcitas o implıcitas) son soluciones de las correspondientesecuaciones diferenciales:

A. y = x2 + c y′ = 2xB. y = cx2 xy′ = 2yC. y2 = e2x + c yy′ = e2x

D. y = cekx y′ = kyE. y = c1 sen 2x+ c2 cos 2x y′′ + 4y = 0F. y = c1e

2x + c2e−2x y′′ − 4y = 0

G. y = sen−1 xy xy′ + y = y′√1− x2y2

H. y = x tanx xy′ = y + x2 + y2

I. x2 = 2y2 log y y′ = xyx2+y2

J. y2 = x2 − cx 2xyy′ = x2 + y2

K. y = c2 + c/x y + xy′ = x4(y′)2

L. y = cey/x y′ = y2/(xy − x2)M. y + sen y = x (y cos y − sen y + x)y′ = yN. x+ y = tan−1 y 1 + y2 + y2y′ = 0

6. Probar que y = ex2 ∫ x

0e−t2dt es una solucion de y′ = 2xy + 1.

7. Para cada una de las ecuaciones diferenciales siguientes, hallar la solucion particular que satisfacela condicion inicial dada:

a: y′ = xex, y(1) = 3;

b: y′ = 2 sen x cos x, y(0) = 1;

c: y′ = log x, y(e) = 0;

d : (x2 − 1)y′ = 1, y(2) = 0;

e: x(x2 − 4)y′ = 1, y(1) = 0;

f : (x+ 1)(x2 + 1)y′ = 2x2 + x, y(0) = 1;

1

8. Verificar en cada caso que las siguientes funciones son solucion de la ecuacion diferencial corre-spondiente:

(a) y (x) = ccos x

de y′ − y tanx = 0.

(b) x = y (x) log y (x) de y′(y + x) = y.

(c) y (x) =√x2 − cx de 1

2(x2 + y2)− xyy′ = 0.

(d) x = y (x)∫ x

0′ sen(t2)dt de x = xy′ + y2 sen(x2).

(e) arctan yx− log

(c√

x2 + y2)= 0 de x+ y − (x− y)y′ = 0.

9. Demostrar que los siguientes problemas de condiciones iniciales tienen solucion unica.

(a)

{y′ = x2

√x2 + y2

y(0) = 3(b)

{y′ = x2eyx

y(0) = 0(c)

{y′ = x log(xy)y(1) = 2

10. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

(a) y′ + 2y = e−x. (b) y′ − 2xy = x. (c) xy′ + 2y = sen x.

(d) y′ = x2

y(1+x3). (e) xy′ =

√1− y2. (f) y′ + y2 sen x = 0.

(g) 2x+ 3 + (2y − 2)y′ = 0. (h) ex sen y + 3y − (3x− ex sen y)y′ = 0. (i) y + (2x− yey)y′ = 0.

(j) 2xy2 + 2y + (2x2y + 2x)y′ = 0. (k) y′ = y2+2xyx2 . (l) y + (2xy − e−2y)y′ = 0.

(m) 3xy + y2 + (x2 + xy)y′ = 0. (n) y′ = x+yx. (o) x− y = (x+ 3y)y′.

(p) 3x2y + 2xy + y3 = −(x2 + y2)y′. (q) y′ = cos(x+ y). (r) y′ = 2x+y−12x+y+2

.

(s) y′ = 2y−x+52x−y−4

. (t) y′ + yx+1

− 12(x+ 1)3 y2. (u) xy′ + y = y2 log x.

(v) 3xy′ − 2y = x3y−3. (w) y′ = ex+y. (x) bx+ cy + (ax+ by)y′ = 0.

(y) x

(x2+y2)3/2+ y

(x2+y2)3/2y′ = 0. (z) yexy cos (2x)− 2exy sen (2x) + 2x = (3− xexy cos (2x)) y′.

11. Resolver los problemas de condiciones iniciales siguientes:

(a)

{x+ y cosx = −y′ sen xy (0) = 2.

(b)

{y′ = y3

1−2xy2

y (0) = 1.(c)

{x+ ye−xy′ = 0y (0) = 1.

(d)

{2x

y+x2y= y′

y (0) = 2.

(e)

{y′ = 2xy2

y (0) = 1.(f)

{y′ − y = 2xe2x

y (0) = 1.(g)

{y′ + 2

xy = cos x

x2

y (π) = 0.(h)

{xy′ + 2y = sen xy (π/2) = 1.

12. El isotopo radioactivo del Torio 234 se desintegra a una rapidez proporcional a la cantidad existenteen ese instante de tiempo. Si 100 miligramos de este material se reducen a 82.04 miligramos en unsemana, ¿cuanto Torio tendremos al cabo de tres semanas? ¿Cuanto tiempo tiene que transcurrirpara que la cantidad de Torio se reduzca a la mitad?

13. De observaciones experimentales se sabe que la temperatura superficial de un objeto cambia conuna rapidez proporcional a la diferencia de temperatura del objeto y su entorno. Este hecho esconocido como la ley de enfriamiento de Newton. Si la temperatura de una taza de cafe es de950C recien servida, y al minuto se enfrio a 880C en un cuarto que esta a 200C, ¿cuanto tiempodebe de transcurrir para que se enfrıe hasta los 650C?

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14. Un tanque contiene originalmente 400 litros de agua limpia. Entonces se vierte en el tanque aguaque contiene 0.05 kilogramos de sal por litro a una velocidad de 8 litros por minuto, y se dejaque la mezcla salga del tanque con la misma rapidez. Determinar la sal que habra en el tanquedespues de 20 minutos.

15. Hallar las curvas que verifican cada una de las siguientes propiedades geometricas:

a) La distancia de un punto de la curva al origen es igual a la longitud del segmento de lanormal en el punto delimitado por el propio punto y el eje OX.

b) La proyeccion sobre el eje OX de la parte de la normal en (x, y) delimitada por (x, y) y eleje OX es 1.

c) La proyeccion sobre el eje OX de la parte tangente entre (x, y) y el eje OX tiene longitud 1.

d) La distancia del origen a cada tangente es igual a la abcisa del punto de tangencia corre-spondiente.

16. Hallar las trayectorias ortogonales a las familias de curvas siguientes:

(a) x2 + y2 = c2. (b) y2 = 4c(x+ c). (c) y = cx4.

17. Hallar la ecuacion diferencial que proporcionan las curvas planas (respecto de un sistema decoordenadas cartesianas regular) tales que la tangente a la curva en los puntos M de ella quecorta al eje OY en un punto B de forma que MB = AB siendo A=(0, 0) en un punto fijo del ejeOX.

18. Hallar la ecuacion de las curvas planas tales que la tangente en un punto M cualquiera de ellascorta al eje OY en un punto P de modo que el punto medio del segmento MP esta en la elipsede ecuacion 4x2 + y2 = 1.

19. Entre los alumnos de esta asignatura se extiende el rumor de que el examen de problemas va a sermuy facil. Si hay 1000 alumnos de dicha asignatura y el rumor se extiende de manera proporcionalal numero de alumnos que todavıa no lo han oıdo, ¿cuantos dıas tardaran en saberlo 950 alumnossabiendo que a los dos dıas lo sabıan 850 alumnos?

20. Un tanque contiene inicialmente V0 galones de solucion salina que contiene a Kg. de sal. Otrasolucion salina que contiene b Kg. de sal por galon se vierte en el tanque a la razon de e gal

mınmientras

que simultaneamente, la solucion bien mezclada sale del tanque a razon de f galmın

. Encontrar lacantidad de sal que hay en el tanque en un momento t.

21. En una galerıa subterranea de 15 × 15 × 1,2 m3 hay un 0,2% de CO2, mientras que el aire delexterior tiene un 0,055% de CO2. Se instalan ventiladores que introducen en la galerıa 9 metroscubicos de aire del exterior por minuto, de forma que por el otro extremo de la galerıa sale lamisma cantidad de aire. ¿Que concentracion de CO2 habra al cabo de 20 minutos en la galerıa?

22. Resolver y′ + y = e−t + cos t sen t por el metodo de los coeficientes indeterminados.

23. Resolver los problemas de Cauchy siguientes

(a)

{ty′ − y =

√t2 + y2,

y(1) = 0.(b)

{(y − t2 + tey)y′ = −t + 2ty − ey,y(1) = 1.

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24. Resolver las ecuaciones

(a) ty2 − t + (t2y + y)y′ = 0 (b) 2ty2 − 3y3 + (7− 3ty2)y′ = 0(c) y′ + y = 1 + t2 (d) 3y2 − t + (2y3 − 6ty)y′ = 0(∗)

En la ecuacion (d) se recomienda utilizar un factor integrante del tipo μ(t, y) = f(t + y2)

25. De las siguientes ecuaciones determina cuales son exactas y en caso de que lo sean resuelvelas:

(a) (x+ 2/y)dy + ydx = 0 (b) (y − x3)dx+ (x+ y3)dy = 0(b) (y + y cos(xy))dx+ (x+ x cos(xy))dy = 0 (d) dx = ( y

1−x2y2)dx+ ( x

1−x2y2)dy

26. ¿Que tiempo se necesita para que se desague un embudo conico de 10 cm. de altura y angulo enel vertice α = 60o por un orificio de 0.5 cm2 en el fondo del embudo? Sol: 12.5 seg.

Nota:de acuerdo con la ley de Torricelli, el agua escapara de un deposito abierto por un pequenoorificio a una velocidad igual a la que adquirirıa al caer libremente desde el nivel del agua hastael del orificio.

27. La clepsidra, reloj antiguo de agua, era un cuenco del que salıa el agua por un pequeno agujerodel fondo. Hallar la forma que debıa tener para que el nivel del agua en el cuenco descendiera aun ritmo constante.

28. Supongamos que de partida el punto P se encuentra situado sobre el eje de las x a una distanciaa > 0 del origen. Supongamos que entonces el punto T parte del origen, desplazandose a lo largodel semieje positivo de las y (a una velocidad no necesariamente constante) y arrastrando al puntoP mediante una cuerda de longitud a. Describir la trayectoria que realiza el punto P (esta curvase denomina curva tractriz ).

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Dinamica de poblaciones, ecuacion logıstica, Ley de Malthus, ecuaciondeGompertz

29. Una poblacion sigue el modelo logıstico con una tasa de crecimiento de 3.5, una tasa de saturacionde poblacion de 5×107 y una poblacion inicial de 25×106 ¿Cuantos individuos tendra la poblacioncuando pasen 5 anos desde el instante inicial? ¿Cuanto tiempo pasara para que la poblacion seade 49× 106?

30. Una poblacion sigue el modelo Gompertz con una tasa de crecimiento de 3.5, una tasa de saturacionde poblacion de 5×107 y una poblacion inicial de 25×106 ¿Cuantos individuos tendra la poblacioncuando pasen 5 anos desde el instante inicial? ¿Cuanto tiempo pasara para que la poblacion seade 49× 106?

31. Una poblacion sigue el modelo logıstico con una tasa de saturacion de poblacion de 50×106 y unapoblacion inicial de 75× 106. Si al cabo de dos anos la poblacion cuenta con 55× 106 individuos¿Cuantos individuos tendra la poblacion cuando pasen 10 anos desde el instante inicial? ¿Cuantotiempo pasara para que la poblacion sea de 52× 106?

32. Una poblacion sigue el modelo de Gompertz con una tasa de saturacion de poblacion de 50×106 yuna poblacion inicial de 75×106. Si al cabo de dos anos la poblacion cuenta con 55×106 individuos¿Cuantos individuos tendra la poblacion cuando pasen 10 anos desde el instante inicial? ¿Cuantotiempo pasara para que la poblacion sea de 52× 106?

33. Una poblacion sigue el modelo logıstico con una tasa de crecimiento igual a 3,5 y una poblacioninicial de 75× 106. Si al cabo de dos anos la poblacion cuenta con 55× 106 individuos ¿Cuantosindividuos tendra la poblacion cuando pasen 10 anos desde el instante inicial? ¿Cual es la tasa desaturacion?

34. Una poblacion sigue el modelo de Gompertz con una tasa de crecimiento igual a 3,5 y una poblacioninicial de 75× 106. Si al cabo de dos anos la poblacion cuenta con 55× 106 individuos ¿Cuantosindividuos tendra la poblacion cuando pasen 10 anos desde el instante inicial? ¿Cual es la tasa desaturacion?

35. Estudia si los siguientes datos siguen un modelo de Gompertz.

Ano Poblacion1997 3.8×107

1998 4.92×106

2002 1.53×106

2007 1.5×106

36. Estudia si los siguientes datos siguen un modelo logıstico.

Ano Poblacion1997 1.5×106

1998 3.82×106

2002 3.26×107

2007 3.8×107

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Ecuaciones diferenciales lineales

37. Integrar las siguientes ecuaciones lineales no homogeneas con coeficientes constantes:

(a) y′′ − y = e−x (b) y′′ + y = cosx(c) y′′ − y = e−x(sen x+ cosx) (d) y′′ − 3y′ + 7y = 5xe2x

38. Resolver la ecuacion diferencialx′′ + βx′ + x = sen(ωt)

con condiciones iniciales x(0) = 2, x′(0) = −1 cuando:

a) β = 2, ω = 0

b) β = 0, ω = 1

39. Proponer una solucion particular para la ecuacion:

x′′ + x′ + x = te−t/2 + t2 sen(

√3

2t) + e−t/2 cos(

√3

2t)

(No es necesario determinar los coeficientes).

40. Resolver las siguientes ecuaciones homogeneas:

(a) y′′ + y′ − 2y = 0.

(b) y′′ − y′ − 2y = 0.

(c) y′′ + λ2y = 0 donde λ ∈ R.

(d) y′′ − 2y′ + y = 0.

(e) y′′ − 4y′ − 12y = 0.

(f) y′′ + 2y′ + y = 0.

(g) y′′ + 2y′ − 3y = 0.

(h) 4y′′ + 4y′ + y = 0.

(i) 2y′′ − 3y′ + y = 0.

(j) y′′ + 2y′ + y = 0.

(k) y′′ + 6y′ + 13y = 0.

(l) y′′ + 4y = 0.

(m) y′′ + 4y′ + 5y = 0.

(n) y′′ − 2y′ + 6y = 0.

(o) y5) − 6y4) + 14y3) − 16y′′ + 9y′ − 2y = 0.

(p) y3) − y′′ + 2y′ − 2y = 0.

(q) y4) + y′′ − 2y = 0.

(r) y6) − 3y′′ + 2y = 0.

41. Resolver las siguientes ecuaciones no homogeneas:

(a) y′′ + y′ − 2y = ex.

(b) y′′ − y′ − 2y = cos x.

(c) y′′ + y = sen x.

(d) y′′ − 2y′ + y = 1.

(e) y′′ − 4y′ − 12y = x.

(f) y′′ + 2y′ + y = x2.

(g) y′′ + 2y′ − 3y = x3.

(h) 4y′′ + 4y′ + y = xex.

(i) 2y′′ − 3y′ + y = x sen x.

(j) y′′ + 2y′ + y = x cos 2x.

(k) y′′ + 6y′ + 13y = sen 3x.

(l) y′′ + 4y = e2x.

(m) y′′ + 4y′ + 5y = ex cos x.

(n) y′′ − 2y′ + 6y = ex + x.

(o) y3) − y′′ + 2y′ − 2y = x.

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42. Resolver los siguientes problemas de condiciones iniciales:

(a)

⎧⎨⎩

y′′ + y′ − 2y = 0y(0) = 1y′(0) = 2

(b)

⎧⎨⎩

y′′ − y′ − 2y = cosxy(0) = 1y′(0) = −1

(c)

⎧⎨⎩

y′′ + y = sen xy(0) = 1y′(0) = −1

(d)

⎧⎨⎩

y′′ − 2y′ + y = 1y(1) = 0y′(1) = 0

(e)

⎧⎨⎩

y′′ − 4y′ − 12y = 0y(0) = 0y′(0) = 1

(f)

⎧⎨⎩

y′′ + 2y′ + y = x2

y(0) = 0y′(0) = 1

(g)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

y3) − y′′ + 2y′ − 2y = xy(0) = 1y′(0) = 0y′′(0) = 1

43. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

(a)

{y′1 = y1 + y2y′2 = 4y1 + y2

(b)

{y′1 = y1 + y2y′2 = 4y1 − 2y2

(c)

{y′1 = 2y1 − 5y2 − sen 2xy′2 = y1 − 2y2 + x

(d)

{y′1 = y1 − y2 − x2

y′2 = y1 + 3y2 + 2x

(e)

{y′1 = 3y1 − 2y2 − e−x sen xy′2 = 4y1 − y2 + 2e−x cosx

44. Resolver los siguientes problemas de condiciones iniciales:

(a)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

y′1 = y1 + y2y′2 = 4y1 + y2y1(0) = 0y2(0) = 1

(b)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

y′1 = 2y1 − 5y2 − sen 2xy′2 = y1 − 2y2 + xy1(0) = 0y2(0) = 1

(c)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

y′1 = y1 − 5y2y′2 = 2y1 − 5y2y1(0) = 1y2(0) = 0

(d)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

y′1 = y1 − 5y2 − 1y′2 = 2y1 − 5y2y1(0) = 1y2(0) = 0

(e)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

y′1 = 3y1 − 4y2 + ex

y′2 = y1 − y2 − ex

y1(0) = 1y2(0) = −1

45. Resonancia pura. Una carreta que pesa 128 kg esta sujeta a un muro por medio de un resorte decte elastica k = 64kg/cm. Se aparta la carreta 20 cm de su posicion de equilibrio y se suelta sin

velocidad inicial. Simultaneamente se aplica una fuerza periodica externa Fe(t) = 32 sen(

1√2t).

Suponiendo que la resistencia con el aire y con el suelo es despreciable, hallar la posicion de lacarreta en cualquier instante de tiempo (ver la figura 1).

46. Carreta con brazo giratorio. Una forma de imprimir una fuerza armonica a una carreta de masamc = 0,06kg enganchada a la pared por medio de un muelle de constante k = 0,9kg/s2 es mediante

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Figura 1: Carreta sujeta por un muelle de constante recuperadora k

un brazo giratorio de masa mb = 0,03kg, frecuencia ω y longitud L = 10cm sujeto a su centro demasas. El movimiento del centro de masas de la carreta en estas condiciones viene regido por laecuacion diferencial:

(mc +mb)x′′ + kx =

1

2mbLω

2 cosωt

a: Haga una representacion grafica del movimiento cuando ω = 2,8s−1 (pulsaciones)

b: Haga una repreentacion grafica del movimiento para ω = 3s−1 (resonancia pura)

c: Supongase ahora que introducimos la carreta en un medio viscoso con que ejerce una fuerzaproporcional a la velocidad Fv = bx′. Discutir el movimiento para b = 0,9, 0,4, 0,2

47. Muelle colgado del techo Supongamos que tenemos un muelle colgado del techo y le atamos unamasa de 2Kg. dicho muelle se estirara hasta una posicion de equilibrio. Ahora lo desplazamos1cm y lo dejamos oscilar, encuentra la ecuacion de su movimiento si la constante recuperadoradel muelle es 3Kg/cm.

48. Calcula la posicion de la carreta de la figura 1 si tiene una constante recuperadora k = 4Kg/men ausencia de rozamiento y suponiendo que en un instante inicial la hemos desplazado desde suposicion de equilibrio hasta x0 = 3 metros.

49. Calcula la posicion de la carreta de la figura 1 si tiene una constante recuperadora k = 4Kg/men ausencia de movimiento y suponiendo que en un instante inicial la hemos desplazado desde suposicion de equilibrio hasta x0 = 3 metros.

50. Calcula la posicion de la carreta de la figura 1 si tiene una constante recuperadora k = 2 Kg/men ausencia de movimiento y suponiendo que en un instante inicial la hemos desplazado desde suposicion de equilibrio hasta x0 = 3 metros.

51. Carreta doble. Determina el movimiento de las carretas de la figura 2 sabiendo que los resortesrepresentados en la figura tienen constantes de rigidez 1, 2 y 3 kg/cm (1 para el resorte de laizquierda, y 2 para la central). Ademas la distancia entre las posiciones de equilibrio marcadases de 5cm y en un instante inicial ambas tienen velocidad 0 y estan desplazadas 3 cm hacia laizquierda respecto de su posicion de equilibrio.

52. Intensidad de la corriente electrica. La ecuacion de Helmholtz para la carga Q que circula por uncircuito RL es:

Ld2Q

dt2+R

dQ

dt= E

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Figura 2: Carretas sujetas por tres muelles

(ley de Ohm generalizada), donde L (henrios) es la inductancia o autoinduccion, Q (culombios)es la carga, R (ohmios) es la resistencia y E (voltios) la fuerza electromotriz. Hallar la intensidadde corriente I = dQ/dt en los siguientes casos:

(a) E = E0 es constante;

(b) E = k senωt es funcion de t, suponiendo, en ambos casos, que la intensidad inicial es I0.

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Introduccion al analisis numerico

Ejercicio 1. Calcule el error absoluto y el error relativo en las aproximaciones de p por p∗ en los siguientescasos.

1. p = π, p∗ = 22/7

2. p = π, p∗ = 3,1416

3. p = e, p∗ = 2,718

4. p =√2, p∗ = 1,414

5. p = e10, p∗ = 22000

6. p = 10π, p∗ = 1400

7. p = 8!, p∗ = 39900

8. p = 9!, p∗ =√18π(9/e)9

Ejercicio 2. Encuentre el intervalo mas grande en que debe encontrarse p∗ para que aproxime a p conun error relativo en el maximo 10−4 para cada uno de los valores de p siguientes.

1. π,

2. e,

3.√2,

4. 3√7

Ejercicio 3. Suponga que p∗ debe aproximar a p con un error relativo como maximo de 10−3. Encuentreel intervalo mas grande en que p∗ debe hallarse para cada valor de p de los que siguen.

1. 150,

2. 900,

3. 1500,

4. 90

Ejercicio 4. Efectue los calculos siguientes (i) exactamente, (ii) aplicando la aritmetica de corte de tresdıgitos y (iii) aplicando la aritmetica de redondeo a tres dıgitos. (iv) Calcule los errores relativos en laspartes (ii) y (iii).

1. 45+ 1

3,

2.(13− 3

11

)+ 3

20,

3. 45× 1

3,

4.(13+ 3

11

)− 320.

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Ejercicio 5. Aplique la aritmetica de redondeo a tres dıgitos para realizar los siguientes calculos. Calculelos errores absoluto y relativo con el valor exacto determinado por lo menos a cinco dıgitos.

1. 133 + 0,921,

2. (121− 0,327)− 119,

3. 13/14−6/72e−5,4

,

4. 2/9× 9/7,

5. 133− 0,499,

6. (121− 119)− 0,327,

7. −10π + 6e− 3/62,

8. π−22/71/17

.

Ejercicio 6. Repita el ejercicio 5 aplicando la aritmetica de redondeo a cuatro dıgitos.

Ejercicio 7. Repita el ejercicio 5 aplicando la aritmetica de corte a tres dıgitos.

Ejercicio 8. Repita el ejercicio 5 aplicando la aritmetica de corte a cuatro dıgitos.

Ejercicio 9. Los tres primeros terminos no cero de la serie de Maclaurin para la funcion arctan estan da-dos por p(x) = x−1/3x3+1/5x5. Calcule los errores absoluto y relativo en las siguientes aproximacionesde π usando el polinomio p(x) en lugar del arcotangente:

1. 4(arctan 12+ arctan 1

3),

2. 16 arctan 15− 4 arctan 1

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Ejercicio 10. El numero e puede definirse por e =∑∞

n=01n!. Calcule los errores absoluto y relativo en

las siguientes aproximaciones de e:

1.∑5

n=01n!,

2.∑10

n=01n!.

Ejercicio 11. Sea la funcion f(x) = x cos x−senxx−senx

.

1. Encuentre lımx→0 f(x),

2. Aplique la aritmetica de redondeo a cuatro dıgitos para evaluar f(0,1),

3. Reemplace las funciones trigonometricas con su tercer polinomio de Maclaurin y repita la parte(b),

4. El valor real es f(0,1) = −1,99899998. Encuentre el error relativo de los valores obtenidos en laspartes (b) y (c).

Ejercicio 12. Sea la funcion f(x) = ex−e−x

x.

1. Encuentre lımx→0 f(x),

2. Aplique la aritmetica de redondeo a tres dıgitos para evaluar f(0,1),

11

3. Reemplace las funciones trigonometricas con su tercer polinomio de Maclaurin y repita la parte(b),

4. El valor real es f(0,1) = 2,003335000. Encuentre el error relativo de los valores obtenidos en laspartes (b) y (c).

Ejercicio 13. Use la aritmetica de redondeo a cuatro dıgitos y las formulas del ejemplo 5 para obtenerlas aproximaciones mas exactas de las raıces de las siguientes funciones cuadraticas. Compare los erroresabsolutos y los relativos.

1. 1/3x2 − 123/4x+ 1/6 = 0,

2. 1/3x2 + 123/4x− 1/6 = 0,

3. 1,002x2 − 11,01x+ 0,01265 = 0,

4. 1,002x2 + 11,01x+ 0,01265 = 0.

Ejercicio 14. Repita el ejercicio 13 aplicando la aritmetica de corte de cuatro dıgitos.

Ejercicio 15. Utilice el formato mainframe IBM (visto en clase) para obtener el equivalente decimal delos siguientes numeros punto flotante.

0 1000011 1010100100110000000000001 1000011 1010100100110000000000000 0111111 0100011110000000000000000 0111111 010001111000000000000001

Ejercicio 16. Para cada uno de los numeros del ejercicio anterior encuentre (en forma decimal) losnumeros maquina inmediatamente superiores e inferiores.

Ejercicio 17. Se sabe que 10 000 aproxima a x con |errorabsoluto| < ε. Demuestra que 110000

aproximaa 1/x con

|error absoluto| < ε

(10000− ε)2

.En el caso de ε = 1 decir con cuantos decimales correctos aproxima 1

10000a 1/x .

Ejercicio 18. Demuestra que si el numero conocido x aproxima al desconocido x con |x−x| < ε, entonces1/x aproxima a 1/x con

|error relativo| < ε

|x| .

Observa que si x y x son como en el apartado anterior y f es una funcion derivable entonces el erroren f(x) se puede estimar por f ′(x)ε.

12

Hoja de problemas numero 2AMPLIACION DE MATEMATICASResolucion de ecuaciones no lineales

Ejercicio 19. Aplique el metodo de biseccion para obtener una raız de la funcion f(x) =√x− cosx en

el intervalo [0, 1].

Ejercicio 20. Aplique el metodo de biseccion para encontrar las soluciones aproximadas con un errormaximo de 10−2 del polinomio p(x) = x4 − 2x3 − 4x2 + 4x + 4 = 0. Use los intervalos siguientes departida: [−2,−1], [0, 2], [2, 3] y [−1, 0].

Ejercicio 21. Se proponen los cuatro metodos siguientes para calcular el valor de√21. Clasifıquelos por

orden, tomando como base de su rapidez de convergencia y suponiendo que p0 = 1.

(a) pn =20pn−1+

21

p2n−1

21,

(b) pn = pn−1 − p3n−1−21

3p2n−1,

(c) pn = pn−1 − p4n−1−21pn−1

p2n−1−21,

(d) pn =(

21pn−1

)1/2

.

Ejercicio 22. Sea f(x) = (x + 2)(x + 1)2x(x − 1)3(x − 2). Averigua a que cero de la funcion convergeel metodo de biseccion tomando de partida los siguientes intervalos: (a) [−1,5, 2,5], (b) [−0,5, 2,4], (c)[−0,5, 3], (d) [−3,−0,5].

Ejercicio 23. Sea A una constante positiva y g(x) = 2x− Ax2.

1. Demuestre que si una iteracion de punto fijo converge en un lımite diferente de cero, entonces ellımite es p = 1/A, de modo que la inversa de un numero puede obtenerse usando solo multiplica-ciones y sustracciones.

2. Encuentre un intervalo alrededor de 1/A donde converja una iteracion de punto fijo, a condicionde que p0 se encuentre en ese intervalo.

Ejercicio 24. Sea f(x) = (x + 2)(x + 1)x(x − 1)3(x − 2). Averigua a que cero de la funcion convergeel metodo de biseccion tomando de partida los siguientes intervalos: (a) [−3, 2,5], (b) [−2,5, 3], (c)[−1,75,−1,5], (d) [−1,5, 1,75].

Ejercicio 25. Encuentra una aproximacion de√3 con una exactitud de 10−4 usando el metodo de

biseccion. (Indicacion: usa la funcion f(x) = x2 − 3).

Ejercicio 26. Sea f(x) = (x − 1)10, p = 1 y pn = 1 + 1n. Demuestre que |f(pn)| < 10−3 siempre que

n > 1, pero que |p− pn| < 10−3 requiere que n > 1000.

Ejercicio 27. Se proponen los cuatro metodos siguientes para calcular el valor de 5√7. Clasifıquelos por

orden, tomando como base de su rapidez de convergencia y suponiendo que p0 = 1.

(a) pn =(1 +

7−p3n−1

p2n−1

)1/2

,

(b) pn = pn−1 − p5n−1−7

p2n−1,

13

(c) pn = pn−1 − p5n−1−7

5p4n−1,

(d) pn = pn−1 − p5n−1−7

12.

Ejercicio 28. Sean f(x) = x2 − 6 y p0 = 1. Aplique el metodo de Newton para encontrar p2.

Ejercicio 29. Sean f(x) = x3 − cosx y p0 = −1. Aplique el metodo de Newton para encontrar p2¿Podrıamos utilizar p0 = 0?

Ejercicio 30. Aplique el metodo de iteracion del punto fijo para determinar una solucion con un errormenor que 10−2 de la ecuacion x4 − 3x2 − 3 = 0 en [1, 2]. Utilice p0 = 1.

Ejercicio 31. Sea f(x) = −x3 − cosx. Con p0 = −1 y p1 = 0 obtenga p3 aplicando (a) el metodo de lasecante y (b) el metodo de la posicion falsa. ¿Esta mas cerca (a) o (b) de

√6?

Ejercicio 32. Aplique el metodo de Newton para obtener soluciones de las ecuaciones que siguen conun error menor o igual a 10−5.

1. ex + 2−x + 2 cosx− 6 = 0 para x ∈ [1, 2].

2. log(x− 1) + cos(x− 1) = 0 para x ∈ [1,3, 2].

3. 2x cos(2x)− (x− 2)2 = 0 para x ∈ [2, 3] y x ∈ [3, 4].

4. ex − 3x2 = 0 para x ∈ [0, 1] y x ∈ [3, 5].

5. sen x− e−x = 0 para x ∈ [0, 1], x ∈ [3, 4] y x ∈ [6, 7].

Ejercicio 33. Repite el ejercicio anterior utilizando el metodo de la secante.

Ejercicio 34. Repite el ejercicio 32 usando el metodo regula falsi.

Ejercicio 35. Con el metodo de Newton resuelva la ecuacion

0 =1

2+

1

4x2 − x sen x− 1

2cos(2x), con p0 =

π

2.

Itere usando el metodo de Newton hasta obtener la solucion con un error menor que 10−5. Expliquepor que el resultado parece poco usual para el metodo de Newton. Tambien resuelva la ecuacion conlos valores p0 = 5π y p0 = 10π.

Ejercicio 36. Aplique el metodo de Newton para obtener soluciones de las ecuaciones que siguen conun error menor o igual a 10−4.

1. x3 − 2x2 − 5 = 0 para x ∈ [1, 4].

2. x3 + 3x2 − 1 = 0 para x ∈ [−3,−2].

3. x− cos x = 0 para x ∈ [2, 3] y x ∈ [0, π2].

4. x− 0,8− 0,2 sen x = 0 para x ∈ [2, 3] y x ∈ [0, π2].

Ejercicio 37. Repite el ejercicio anterior utilizando el metodo de la secante.

Ejercicio 38. Repite el ejercicio 36 usando el metodo regula falsi.

Ejercicio 39. Enunciado y demostracion del metodo Δ2 de Aitken de aceleracion de la convergencia.Hallar la raız de x−2x = 0 en el intervalo [0, 1] con un error menor que 5×10−4 por un metodo iterativode primer orden ideado por vosotros (justificar todos los extremos).

Utilizar el metodo de Newton para aproximar la raız del sistema x2 − 10x+ y2 + 8 = 0, xy2 + x−10y + 8 = 0, efectuar dos iteraciones partiendo del vector inicial (0, 0).

Ejercicio 40. Hacer dos iteraciones, partiendo de x0 = y0 = z0 = 1, por el metodo de relajacion tomandoω = 1/2, para aproximar la solucion del sistema: 10x− y− z = 13, x+10y+ z = 36, −x− y+10z = 35

14

Ejercicio 41. Si en un metodo iterativo cualquiera xn+1 = g(xn) para resolver una ecuacion f(x) = 0ocurre que para un cierto m, xm = xm+1, ¿Que podrıa decirse inmediatamente?

Ejercicio 42. Suponiendo que se esta bajo las hipotesis del teorema de de convergencia global del metodode Newton:

Theorem 0.1 (Convergencia global). Sea f de clase C2 verificando:

f(a)f(b) < 0.

Para todo x ∈ [a, b] se tiene que f ′(x) �= 0 (crecimiento o decrecimiento estricto).

Para todo x ∈ [a, b]. f ′′(x) ≥ 0 (alternativamente se puede tener para todo x ∈ [a, b],f ′′(x) ≤ 0).

max{| f(a)f ′(a) |, | f(b)f ′(b) |} ≤ b− a.

Entonces existe una unica raız s de f(x) = 0 en [a, b] y la sucesion (xn)n del metodo deNewton converge hacia s para todo x0 ∈ [a, b]. Si ademas f ∈ C3([a, b]) la convergencia esal menos cuadratica.

Si ademas se tiene que f ′′(x) �= 0 para x ∈ [a, b] ¿Podrıa ocurrir el hecho indicado en el ejercicio anterior?

Ejercicios para presentar

Ejercicio 43. Utiliza el metodo de Newton-Raphson para calcular (con un error menor o igual que 10−5)√100a+ 10b+ c donde a, b y c son respectivamente la antepenultima, penultima y ultima cifra de tu

D.N.I.

Ejercicio 44. Calcula π−c (con un error menor o igual que 10−5) usando el metodo de Newton-Raphsony siendo c la suma de las dos ultimas cifras de tu D.N.I.

Ejercicio 45. ¿Es convergente el metodo usado en el ejercicio anterior para todos los valores de x0? Encaso contrario pon un x0 para el que el metodo no es convergente.

Ejercicio 46. Mostrar en una grafica que siempre que quitemos alguna de las hipotesis del teorema deconvergencia global del metodo de Newton, el metodo puede no ser convergente.

Ejercicio 47. Justifica si los metodos de Lagrange, regula-falsi y Newton dan o no convergencia local yglobal para resolver la ecuacion

√x+ a+ b+ c − x = 0. En caso de que haya convergencia resuelvela

obteniendo la raız con un error menor que 10−3 (los numeros a, b y c son los mismos que los del ejercicio43).

Ejercicio 48. Buscar un polinomio de grado 2 y utilizar la ecuacion p(x) = 0 para mostrar que puedetransformarse en dos ecuaciones del estilo a g1(x) = x y g2(x) = x, de tal forma que en una deellas el metodo iterativo asociado de convergencia local y en la otra no de convergencia local. ¿Habrıaconvergencia global en el metodo que planteas?

15


Resolucion de sistemas lineales

Ejercicio 49. Calcular ‖A‖1, ‖A‖2 y ‖A‖∞ para los siguientes valores de la matriz A:

A =

(2 1−2 3

), A =

⎛⎝ 2 0 0

0 2 20 −1 1

⎞⎠

Ejercicio 50. Demostrar los siguientes resultados:

1. Si λ es un valor propio de A entonces λm lo es de Am.

2. Si u es un vector propio de A entonces tambien lo es de Am.

3. Si u es un vector propio de A entonces tambien lo es de μA para todo μ ∈ R.

Ejercicio 51. Demuestra que

ρ(A

μ) =

1

μρ(A)

si μ ∈ R es no nulo.

Ejercicio 52. Demostrar que si para una norma matricial se verifica ‖A‖ < z, la matriz A − zI esinversible.

Ejercicio 53. Hallar el radio espectral de la matriz(1/2 01 1/4

).

Ejercicio 54. Describir las operaciones elementales que hay que realizar para calcular la solucion delsistema lineal ⎧⎪⎪⎨

⎪⎪⎩a11x1 + a12x2 + . . . a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . . a2nxn = b2. . .an1x1 + an2x2 + . . . annxn = bn

por el metodo de Cramer. Demuestra que el numero total de operaciones es (n+ 1)!n− 1

Ejercicio 55. Halla el numero de operaciones que hay que realizar en cada paso en la resolucion desistemas triangulares y demostrar que el numero total es n2.

Ejercicio 56. Demostrar que el numero de operaciones en el metodo de Gauss es 4n3+9n2−7n6

.

Ejercicio 57. Aplicar el metodo de Gauss a la resolucion del sistema⎧⎨⎩

2x− y − z = 1−x+ y − 3z = 03x− 3y + 4z = 2

Ejercicio 58. Aplicar el metodo de Gauss con eleccion de pivote parcial al sistema anterior.

16

Ejercicio 59. Haciendo los calculos con cinco cifras significativas unicamente, comprobar los resultadosobtenidos al resolver el sistema {

0,0002x+ 1,2121y = 1,21390,4132x− 1,9981y = 1,7207

por el metodo de Gauss simple o con eleccion de pivote total. La solucion exacta es x = 9, y = 1.

Ejercicio 60. Demostrar que el producto de dos matrices triangulares superiores es una matriz triangularsuperior. Demostrar tambien que la inversa de una matriz triangular superior es tambien triangularsuperior.

Ejercicio 61. Descomponer en la forma LU la matriz⎛⎝ 1 0 1

0 1 0−1 0 1

⎞⎠

Ejercicio 62. Comprobar que la matriz ⎛⎝ 1 2 0

−2 −4 10 1 1

⎞⎠

no se puede descomponer en la forma LU . A continuacion formar una permutacion de sus filas quede lugar a una matriz que sı se pueda descomponer.

Ejercicio 63. Aplicar el metodo de Cholesky a la resolucion del sistema⎧⎨⎩

x1 − x2 + x3 = 1−x1 + 5x2 + x3 = 1x1 + x2 + 3x3 = 0

Ejercicio 64. Comprobar que la matriz tridiagonal⎛⎝ 9 −2 0

−2 4 −10 −1 1

⎞⎠

es definida positiva.

Ejercicio 65. Hallar un valor aproximado de la solucion del sistema⎧⎨⎩

9x− 2y = 5−2x+ 4y − z = 1−y + z = −5

6

aplicando seis veces el metodo de Jacobi, trabajando con cuatro cifras decimales unicamente y tomandocomo punto inicial para iterar (0, 0, 0)

Ejercicio 66. Hallar un valor aproximado de la solucion del sistema anterior aplicando seis veces elmetodo de Gauss-Seidel, efectuados los calculo con cuatro cifras decimales y tomando como puntoinicial para iterar (0, 0, 0).


17

A partir de ahora los parametros a, b, c, d, e, f, g, h denotaran respectivamente, la primera cifra de tuDNI, la segunda cifra, la tercera, etcetera. Si alguna de estas cifras es cero, cambia su valor por un uno.

Ejercicio 67. Haz la descomposicion LU de la matriz⎛⎝ a a 0

a2 a2 + b bab ab+ bc c+ bc

⎞⎠

y comprueba que el resultado es:

L =

⎛⎝ 1 0 0

a 1 0b c 1

⎞⎠ y U =

⎛⎝ a a 0

0 b b0 0 c

⎞⎠ .

Si quieres una puntuacion extra en este ejercicio, haz la factorizacion sin cambiar los parametrospor sus valores numericos.

Ejercicio 68. Haz la descomposicion de Cholesky de la matriz⎛⎝ a2 ab ac

ab 2b2 bcac bc 2c2

⎞⎠

y una vez terminado el ejercicio comprueba que la matriz L es

L =

⎛⎝ a 0 0

b b 0c 0 c

⎞⎠ .


Ejercicio 69. Utiliza la descomposicion de Cholesky de la matriz

A =

⎛⎝ a2 ab ac

ab 2b2 bcac bc 2c2

⎞⎠

para resolver el sistema

A

⎛⎝ x

yz

⎞⎠ =

⎛⎝ −1

01

⎞⎠ .


Ejercicio 70. Hallar un valor aproximado de la solucion del sistema⎧⎨⎩

9x− 2y = 5−2x+ 4y − z = 1−y + z = −5

6

aplicando seis veces el metodo de Jacobi, trabajando con cuatro cifras decimales unicamente y tomandocomo punto inicial para iterar (a, b, c).

Justifica si el metodo es convergente o no.

Ejercicio 71. Hallar un valor aproximado de la solucion del sistema anterior aplicando seis veces elmetodo de Gauss-Seidel, efectuados los calculo con cuatro cifras decimales y tomando como puntoinicial para iterar (a, b, c).

Justifica si el metodo es convergente o no.

18


Interpolacion

Ejercicio 72. Estudiar el problema de interpolacion siguiente: hallar un polinomio p de grado no mayorque 2 tal que p(x0) = z0, p(x1) = z1, p

′(x2) = z2,

Ejercicio 73. ¿Queda determinado un polinomio p de grado no mayor que tres por las condiciones p(0),p(1) p′(−1) y p′′(0)? ¿Y por p(0), p′(0) p′(−1) y p′′(1

2)?

Ejercicio 74. Sea f una funcion de x de la cual se conocen f(0), f ′(0),∫ 1

−1f(x)dx. ¿Existe un polinomio

de grado no mayor que dos tal que

p(0) = f(0), p′(0) = f ′(0),∫ 1

−1

p(x)dx =

∫ 1

−1

f(x)dx?

Ejercicio 75. Se considera el problema de interpolacion siguiente: hallar un polinomio de grado no mayorque n tal que ∫ xj

0

p(t)dt = zj , 0 ≤ j ≤ n.

¿Que condiciones deben cumplir los xj para que haya existencia y unicidad de solucion en este problema?

Ejercicio 76. Se desea interpolar una funcion f(x) con un polinomio de la forma a + bx2, conociendof(x) en dos puntos dados x1, x2. Estudiar el problema de interpolacion correspondiente.

Ejercicio 77. Escribir, usando la interpolacion de Lagrange, un polinomio de grado no mayor que 2 quetome los valores 1, 2,−1 en los puntos 0, 1,−2 respectivamente.

Ejercicio 78. ¿Cual es el polinomio de interpolacion de la funcion f(x) = 1 en los puntos x0, x1, . . . , xn?

Ejercicio 79. Construir la tabla de diferencias divididas de la funcion f(x) = x3 en los puntos 0, 1, 3, 4.A partir de ellas escrıbase la expresion del polinomio de interpolacion de f en la forma de Newton.Escrıbase tambien en la de Lagrange y compruebese que son x3.

Ejercicio 80. ¿Cual sera la diferencia dividida de f(x) = xk en x0, x1, . . . , xn si n > k? ¿Y si n = k?

Ejercicio 81. Si f(x) es un polinomio de grado n, demostrar que f [x0, x] es un polinomio de grado n−1en x

Ejercicio 82. Demostrar que si los x0, x1, . . . , xn son distintos y f(x) =∏n

i=0(x− xi) entonces:

1. f [x0, x1, . . . , xk] = 0 si k = 0, 1, . . . , n.

2. f [x0, x1, . . . , xn, x] = 1 para toda x �= xi, i = 0, 1, . . . , n.

3. f [x0, x1, . . . , xn, x′, x′′] = 0 para toda x, x′′ distintas entre sı y de los xi.

Ejercicio 83. Calcular, por el metodo de Aitken, el valor para x = 2 del polinomio de interpolacion deuna funcion f tal que f(−1) = −1, f(0) = 0, f(1) = 1, f(3) = 27. Escrıbase la tabla con los calculos.

Ejercicio 84. Calculese la expresion del polinomio de interpolacion anterior por el metodo de Aitken.

Ejercicio 85. Escrıbase la tabla de calculos necesarios para el metodo que construye el polinomio deinterpolacion en {x0, x1, x2, x3}, mediante los de {x0, x1, x2} y {x1, x2, x3}, es decir el metodo de Neville

Ejercicio 86. Despues de resolver el ejercicio 99 se quiere hallar el valor, para x = 2, del polinomio deinterpolacion de f en {−1, 0, 1, 3, 1

2}, sabiendo que f toma los valores citados allı y ademas f(1/2) = 1/8.

¿Que calculos son necesarios ahora?

19

Ejercicio 87. Calcular Δfk en los siguientes casos:

1. f(x) = C (constante),

2. f(x) = u(x) + v(x),

3. f(x) = Cu(x),

4. f(x) = u(x)v(x),

5. f(x) = u(x)v(x)

.

Ejercicio 88. Si llamamos Δf(x) = f(x + h) − f(x) y f es un polinomio de grado n en x, demostrarque Δf(x) es un polinomio de grado n− 1.

Ejercicio 89. Deducir del ejercicio anterior cual es el valor de Δkf(x) cuando k > n, siendo f unpolinomio de grado n en x.

Ejercicio 90. Construir la tabla de diferencias progresivas de f(x) = x3 para los puntos x0 = 0, x1 =2, x2 = 4, x3 = 6. Construir la formula de Newton progresiva y la regresiva.

Ejercicio 91. Comprobar en la tabla anterior que

Δnfk =

n∑i=0

(−1)n−i

(ni

)fk+i

para k = 0, n = 3.

Ejercicio 92. Demostrar que si fk = Ck se tiene

Δfk = (C − 1)Ck.

Basandose en esta formula, hallar fk tal que Δfk = 3k.

Ejercicio 93. Hallar Δfk para fk = 1, fk = k, fk = k2, fk = k3. Basandose en ello, hallar una fk talque Δfk = 3k2 + 5k + 1.

Ejercicio 94. Teniendo en cuenta que

n∑k=0

Δfk = fn+1 − f0

tomese Δfk = k. Construyase despues una fk tal que Δfk = k y vease el resultado que se obtiene en laformula anterior.



Ejercicio 95. Estudiar el problema de interpolacion siguiente: hallar un polinomio p de grado no mayorque 2 tal que p(x0) = a, p(x1) = c, p′(x2) = d.

Ejercicio 96. Sea f una funcion de x de la cual se conocen f(a), f ′(b),∫ 10

−1f(x)dx. ¿Existe un polinomio

de grado no mayor que dos tal que

p(a) = f(a), p′(b) = f ′(b),∫ 10

−1

p(x)dx =

∫ 10

−1

f(x)dx?

20

Ejercicio 97. Escribir, usando la interpolacion de Lagrange, un polinomio de grado no mayor que 2 quetome los valores 1, 2,−1 en los puntos a, b, c respectivamente.

Ejercicio 98. ¿Cual es el polinomio de interpolacion de la funcion f(x) = a + b + c en los puntosx0, x1, . . . , xn?

Ejercicio 99. Calcular, por el metodo de Aitken, el valor para x = a− b del polinomio de interpolacionde una funcion f tal que f(−1) = −1, f(0) = 0, f(1) = 1, f(3) = 27. Escrıbase la tabla con los calculos.

Ejercicio 100. Construir la tabla de diferencias divididas de la funcion f(x) = ax3 en los puntos0, 1, 3, 4. A partir de ellas escrıbase la expresion del polinomio de interpolacion de f en la forma deNewton. Escrıbase tambien en la de Lagrange y compruebese que son ax3.

Ejercicio 101. ¿Cual sera la diferencia dividida de f(x) = cxk en x0, x1, . . . , xn si n > k? ¿Y si n = k?

21

Hoja de problemas numero 5AMPLIACION DE MATEMATICASDerivacion e integracion numerica

Ejercicio 102. Calcular a1 y a2 para que la formula de derivacion numerica f ′(1/2) ≈ a1f(0)+a2f(1/2)sea exacta para las funciones 1, x.

Ejercicio 103. La misma cuestion que en el ejercicio anterior para∫ 1

0

f(x)dx ≈ a1f(0) + a2f(1/2).

Ejercicio 104. Hallar a1, a2, a3 para que la formula f ′′(2) ≈ α1f(0) + α2f(2) + α3f(4) sea exacta para1, x, x2.

Ejercicio 105. Calcular f [0, 1, 0, 1] para la funcion f(x) = 4x3 + 1.

Ejercicio 106. Si f es de clase C3 en el intervalo [0, 2], escribir la expresion de la primera y segundaderivada de f [1, x]. ¿Se puede asegurar que existe la derivada tercera? Aplicarlo a f(x) = x4.

Ejercicio 107. Calcular f [1, 1, 1, 2] para la funcion f(x) = sen πx2.

Ejercicio 108. Hallar f [x, 2] para la funcion f(x) = sen πx2. Despues calcular la derivada segunda de

f [x, 2], evaluarla para x = 1 y comparar el resultado con el del ejercicio anterior.

Ejercicio 109. Dadas las funciones f(x) = x2 y f(x) = x3, calcular para ellas f [x0, x] y comprobar quecuando x tiende a x0 se obtiene f ′(x0).

Ejercicio 110. Hallar a1 y a2 para que la formula

f ′(a+ b

2) ≈ a1f(a) + a2f(b)

sea de tipo interpolatorio.

Ejercicio 111. Dar una expresion del error en la formula anterior si es de tipo interpolatorio y f declase C3 en el intervalo [a, b].

Ejercicio 112. Hallar a1 y a2 para que la formula∫ b

a

f(x)dx ≈ a1f(a) + a2f(b)




f ′′(a+ b

2) ≈ a1f(a) + a2f(b)

sea de tipo interpolatorio. Calcula el error.


f ′(a+ b

2) ≈ a1f(a) + a2f(

a+ b

2) + a3f(b)


22



f ′′(a+ b

2) ≈ a1f(a) + a2f(

a+ b

2) + a3f(b)


Ejercicio 118. ¿Puede calcularse la integral entre a y b de un polinomio a0x3+a1x

2+a2x+a3 calculandosimplemente el valor de este polinomio en tres puntos?

Ejercicio 119. Interpretar geometricamente la formula de Simpson.

Ejercicio 120. Deducir la formula de Simpson.

Ejercicio 121. Aplicar la formula del punto medio para calcular aproximadamente la integral entre −1y 1 de f(x), siendo

f(x) =

{x si x ≥ 0−x si x ≤ 0.

¿Coincide el valor obtenido con el valor exacto?

Ejercicio 122. Comprobar que cuando se calcula aproximadamente la integral entre 1 y 2 de x2 mediantela formula del rectangulo el error puede expresarse en la forma

R(f) = f ′(ξ)∫ b

a

(x− a)dx = f ′(ξ)(b− a)2

2,

calculando el punto ξ.

Ejercicio 123. Usar las reglas de trapecio y Simpson para calcular de forma aproximada las siguientesintegrales con un error menor que 10−2 :

(a)∫ 1

0e−xdx.

(b)∫ 1

0xe−xdx.

(c)∫ 1

0x2 sen xdx.

(d)∫ 1

0

(∫ x

0sen tdt

)dx.

(e)∫ 1

0sen xe−xdx.

Ejercicio 124. Calcular a1 y a2 para que la formula de derivacion numerica f ′(a+b2) ≈ a1f(a) + a2f(b)

sea exacta para las funciones 1, x.

Ejercicio 125. La misma cuestion que en el ejercicio anterior para∫ c

a

f(x)dx ≈ a1f(a) + a2f(c).



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Ejercicio 126. Usar las reglas de trapecio y Simpson para calcular de forma aproximada las siguientesintegrales con un error menor que 10−2 :

(a)∫ 1

0e−axdx.

(b)∫ 1

0

(∫ x

0sen(ct)dt

)dx.

Ejercicio 127. Calcular f [a, b, c, d] para la funcion f(x) = sen πx2.

Ejercicio 128. Dadas las funciones f(x) = ax2 y f(x) = bx3, calcular para ellas f [x0, x] y comprobarque cuando x tiende a x0 se obtiene f ′(x0).


f ′(a+ b

2) ≈ a1f(a) + a2f(b)

sea de tipo interpolatorio y dar una expresion del error si f de clase C3 en el intervalo [a, b].

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· hoja de problemas n´umero 1 ampliacion de matem´ aticas´ introducci´on a las ecuaciones...

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