respuestas al desarrollo de la competencia del capítulo...

Respuestas al desarrollo de la competencia del capítulo 4

En los problemas del 1 al 10, encuentra los primeros 6 términos de la sucesión dada. Verifica tus respuestas con el comando Secuencia[ <Expresión>, <Variable>, <Valor inicial>, <Va-lor final> ] en la vista CAS de GeoGebra.

1. Con =+

a nn4

2 3n

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

=↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

=+ + + + + +

n

f n

a

1 2 3 4 5 6

( )4 1

2 1 3,

4 22 2 3

, 4 3

2 3 3,

4 42 4 3

, 4 5

2 5 3,

4 62 6 3

,

= 45

, 87

, 129

, 1611

, 2013

, 2415

, n

2. Con = −

a 43n

n

=↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

= −

−

−

−

−

−

− − −

n

f n

a

1 2 3 4 5 6

( ) 43

, 43

, 43

, 43

, 43

, 43

,

= 43

, 169

, 6427

, 25681

, 1024243

, 4096729

, n

1 2 3 4 5 6

3. Con π=

nb sen2n

π π π π π π

=↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

=

−

n

f n

b

1 2 3 4 5 6

( ) sen2

,sen 22

,sen 32

,sen 42

,sen 52

,sen 62

,

= 1, 0, 1, 0, 1, 0, n

Respuestas

AlfaomegaCálCulo integRal • José Alfredo rAmos Beltrán

1

4. Con = −n

b ( 1) 1n

n

=↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

= − − − − − −

− − −

n

f n

b

1 2 3 4 5 6

( ) ( 1) 11

, ( 1) 12

, ( 1) 13

, ( 1) 14

, ( 1) 15

, ( 1) 16

,

= 1, 12

, 13

, 14

, 15

, 16

, n

1 2 3 4 5 6

5. Con =c nn!n

2

=

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

=

n

f n

c

1 2 3 4 5 6

( ) 11!

, 22!

, 33!

, 44!

, 55!

, 66!

,

= 1, 2, 32

, 23

, 524

, 120

, n

2 2 2 2 2 2

6. Con =c nn

(2 )!n 2

=↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

=

n

f n

c

1 2 3 4 5 6

( ) (2)!1

, (4)!2

, (6)!3

, (8)!4

, (10)!5

, (12)!6

,

= 2, 6, 80, 2520, 145152, 13305600, n

2 2 2 2 2 2

7. Con = − +pn n

1 1 1n 2

=↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

= − + − + − + − + − + − +

n

f n

p

1 2 3 4 5 6

( ) 1 11

11

, 1 12

12

,1 13

13

,1 14

14

,1 15

15

,1 16

16

,

= 1, 34

, 79

, 1316

, 2125

, 3136

, n

2 2 2 2 2 2

Respuestas

Alfaomega CálCulo integRal • José Alfredo rAmos Beltrán

2

8 Con =p n2n

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

=

n

f n

p

1 2 3 4 5 6

( ) 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 , 2 5 , 2 6 ,

= 2, 2, 6, 2 2, 10, 2 3, n

9. Con ( )

=−

+qn n1 1

n

n

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

=−

+−

+−

+−

+−

+−

+

n

f n

1 2 3 4 5 6

( ) 11

11

, 12

12

, 13

13

, 14

14

, 15

15

, 16

16

,

q = 0, 1, 0, 12

, 0, 13

, n

1 2 3 4 5 6

10. Con π( )= +r n1 cosn

π π π π π π( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

= + + + + + +

n

f n

b

1 2 3 4 5 6 ( ) 1 cos ,1 cos 2 ,1 cos 3 ,1 cos 4 ,1 cos 5 ,1 cos 6 ,

= 0, 2, 0, 2, 0, 2, n

En los problemas del 11 al 20, encuentra el n-ésimo término de la sucesión dada.

11. { } = −a n4 2n

12. { } = +a n6 1n

13. { } = +a n0.5 0.2n

14. { } ( )= − −

a nn

1 1n

n

2

Respuestas


3

15. { } =

a nn!n

2

16. { }( )

=−

a

n

4

4 1n 2

17. { } =+

a nn

!( 1)n 2 .

18. { } = −+

a nn

11n .

19. { } ( )= −

an

1 12n

n

20. π{ } =

a ncos2n

En los problemas del 21 al 35, determina si la sucesión dada es convergente o divergente. Si la suce-sión converge entonces encuentra su límite.

21. { } =−

an

41n

−

=∞

=→∞ n

lim 41

4 0n

, la sucesión converge = 0

22. { }{ } =a 10n

n

= = ∞

→∞

∞lim10 10n

n , la sucesión es divergente = ∞

23. { } = −

a nn

( 3)!!n

−→∞

nn

lim ( 3)!!n n

= 0, converge = 0

Respuestas


4

24. { } =

a 1

5n

n

= =→∞

lim 15n

n

0, la sucesión converge = 0

25. { } =

a n

nln

n

10

= =

→∞

nn

lim lnn n

10

0, converge = 0

26. a nn

senn

π{ } ( )=

nn

lim sen 0n

π( ) =→∞

, la sucesión es convergente =0

27. { } =−

−+

a nn

nn1 1n

2 2

−−

+

=→∞

nn

nn

lim1 1n n

2 2

2, la sucesión converge = 2

28. { } = +−

a nn

4 13 1n

2

2

+−

=→∞

nn

lim 4 13 1n n

2

2

43

29. { } =

a 8nn1

=→∞

lim8 1n

n1

, la sucesión converge.

30. { } = − −

a 1 2 12n

n

n

− −

=→∞

lim 1 2 12n

n

n 0, la sucesión converge = 0

Respuestas


5

31. { } = −

a

n2 10

n

n

−

= −→∞ n

lim 2 10 10n

n

. La sucesión es convergente.

32. { } = −+

a nn

11n

3

2

−+

=→∞

nn

lim 11n n

3

2 ∞. La sucesión diverge = ∞.

33. { } =

a nn

ln2ln4n

= =→∞

nn

lim ln2ln4n n

1. La sucesión converge = 1.

34. { } =+

a 105 5n

n

n

+

=→∞

lim 105 5n

n

n ∞. La sucesión diverge = ∞

35. { }{ } = − −a n n4 1 4n

( )− − = −→∞

n nlim 4 1 4n n

0

La sucesión converge = 0

En los problemas 36 al 40, determina si la sucesión dada es monótona, si lo es, indica si es creciente, decreciente, no creciente o no decreciente. Utiliza el comando Secuencia[ <Expresión>, <Va-riable>, <Valor inicial>, <Valor final> ] para trazar la gráfica de sus primeros 10 términos.

36. { } = +

a nn

1n

− =+a an n1 = −+

<n n

1( 1)

0 La sucesión monótona es decreciente.

Respuestas


6

00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

n

an

1

2

3

37. { } =

an3

!n

n

La sucesión comienza con = = =a a a3, 3, 4.51 2 3 , la sucesión no es monótona.

00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n

an

1

2

3

3

38. { } = −+

a nn

11n

2

2

− =+a an n1 < 0 , la sucesión es monótona decreciente.

00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n

an1

-1

Respuestas


7

39. π{ } { }=a ncos( )n

{ } { }= − − −a 1,1, 1,1, 1,...n , la sucesión es no monótona. Es una sucesión alternante.

00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n

an1

-1

40. { } ( )=

a n

n5 !5 !n

n2

=+aan

n

1 La sucesión es monótona decreciente.

00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n

an1

En los problemas del 41 al 45, desarrolla la serie y usa el comando Suma[ <Expresión>, <Varia-ble>,<Valor inicial>, <Valor final> para hallar la suma de dichos términos.

41. ∑= n

2n

n2

1

5

{ }2,2,1, ,13

112

137 / 30

42. ∑ +=

nn1

2n 1

8

{ }1, , , , , , ,34

46

58

610

712

814

916

3001 / 560

43. ∑ π= n

sen( )n

n

2

0

6

{ }−0,1,0, 1,0,1,0

1

Respuestas


8

44. ∑( )− −+=

nn

1 1 cos1

n

n 0

8

{ }1, , , , , , , ,12

13

14

15

16

17

18

19

7129 / 2520

45. ∑ −=

nn

!1n

22

6

{ }, , , ,23

34

85

306

1447

12007 / 420

En los problemas 46 al 48, encuentra la suma de la serie telescópica dada.

46. ∑ + +=

∞

n n1

( 2)( 3)n 1

= 13

47. ∑ + +=

∞

j j13 2j

21

= 12

48. ∑ + +=

∞

n n1

9 20n2

1

= 45

En los problemas 49 al 55 comprueba si la serie geométrica dada converge o diverge. En caso de ser convergente, calcula la suma.

49. La serie ∑

=

∞ −

10 12n

n

1

1

= 20 La serie es convergente.

50. ∑ ( )=

∞

10 0.99 n

n

6

1 = 9 9000 000. La serie es convergente.

51. ∑

=

∞ −

2 32n

n

1

1

= >r 3

21 . La serie es divergente.

52. ∑+

=

∞ 21 2n

n

0

=S = +1 2 . La serie es convergente.

Respuestas


9

53. ∑

=

∞ −

5 15n

n

1

1

=S54 . La serie es convergente.

54. ∑( )−

=

∞

1 910

n

n

n

1 =S 10

19. La serie es convergente.

55. ∑ ( )−

=

∞ 14

n

nn 0

=S 45

. La serie es convergente.

56. Se suelta una pelota desde lo alto de un edificio de 20 metros de altura y ésta rebota sobre una banqueta de concreto. Cada vez que la pelota, rebota su altura es de 2 / 5 de su altura anterior. ¿Qué distancia recorre la pelota antes de quedar en reposo?

La pelota recorre una distancia de 140

3 metros antes de quedar en reposo.

57. Determina la longitud del perímetro de la figura cuando el proceso se repite indefinidamente.

El perímetro del triángulo cuando el número de etapas crece sin medida es: ∞

En los problemas 58 al 65, usa el criterio integral para determinar si la serie dada converge o diverge. Confirma el resultado con el comando Integral[ <Función>, <Extremo inferior del inter-valo>, <Extremo superior del intervalo> ] de GeoGebra.

58. ∑ −=

∞

n1

2 1n 1

= ∞. La integral diverge.

59. ∑ +=

∞

n1

5 3n 1


60. ∑ +=

∞

n1

1n2

1 ∫ ∫+

=∞

xdx1

121

π4

. La integral converge.

61. ∑=

∞

n n1lnn 2


Respuestas


10

62. ∑ − −=

∞

e e1

n nn 1

∫ ∫−=−

∞

e edx1

x x1

= − −+

ee

12

ln 11

La integral converge.

63. ∑ −=

∞ nn2 1n

21


64. ∑ −

=

∞

ne n

n 1

2

= −e12

1 La integral converge.

65. ∑=

∞ nn

lnn

2

1

La función dada es monótona creciente para >n 1, por lo que es divergente.

En los problemas 66 al 70, determina si la serie dada es convergente o divergente y encuentra el radio de convergencia.

66. ∑=

∞

n x! n

n 1

= 0. La serie solo converge en =x 0

67. ∑+

+=

∞ n x2

n

nn

n

2 1

11

2 = ∞. La serie es convergente para todo valor de ∈x , luego, el intervalo

de convergencia es: ( )−∞ ∞, .

68. ∑=

∞ n x6n

n

n

4

0 = 6

Así la serie es convergente si <x 6 y divergente si >x 6. Entonces el intervalo deconvergencia es: ( )−6,6 .

69. ∑=

∞

nx1 n

n 1 = 1

Así la serie es convergente si <x 1 y divergente si >x 1. Entonces el intervalo de convergencia es −( 1,1).

70. ∑ ( )=

∞

nx1 2n

n2

1

= =→∞

L alimn n

n ⇒ =R 12

Respuestas


11

Así la serie es convergente si <x 12

y divergente si >x 12

. Entonces el intervalo de convergen-

cia es −

12

, 12

.

En los ejercicios 71 al 80, encuentra el intervalo de convergencia de la serie de potencias dada.

71. ∑

=

∞ x10

n

n 0

La serie es una serie geométrica centrada en cero y converge solo si <x10

1 entonces:

− < <x110

1 lo cual implica que − < <x10 10.

72. ∑=

∞ n x3n

n

n

3

0

La serie converge solo si < ⇒ − < <x x13

1 3 3 .

Cuando = −x 3, la serie ∑ ∑( )− = −=

∞

=

∞n n3

3 ( 1)n

n

n

n

n

3

0

3

0 diverge.

Cuando =x 3, la serie ∑ ∑( ) ==

∞

=

∞n n3

3n

n

n n

3

0

3

0

diverge.

El intervalo de convergencia es − < <x3 3.

73. ∑=

∞

nx1 n

n 1

La serie converge solo si < ⇒ − < <x x1 1 1.

Cuando = −x 1, la serie ∑ ( )−=

∞

n1 1

n

n 1

converge.

Cuando =x 1, la serie ∑=

∞

n1

n 1 diverge.

El intervalo de convergencia es − ≤ <x1 1.

74. ∑ +=

∞ nn

x4

n

n2

1

La serie converge solo si < ⇒ − < <x x1 1 1.

Respuestas


12

Cuando = −x 1 , la serie ∑ ( )+

−=

∞ nn 4

1n

n2

1 converge.

Cuando =x 1, la serie ∑ +=

∞ nn 4n

21

diverge.

El intervalo de convergencia es − ≤ <x1 1.

75. ∑=

∞ n x!10n

n

n 1

La serie converge solo en =x 0, el radio de convergencia es =R 0

76. ∑=

∞ n x(2 )!2n

n

n 1.

La serie converge solo en =x 0, el radio de convergencia es =R 0

77. ∑ +−

=

∞

nx10

10( 10)

nn

n

2

0

.

La serie converge sólo si converge en − <x100 10 1, es decir, si < <x999100

1001100

.

Cuando = −x 10, la serie ∑ +−

=

∞

n10

10( 20)

nn

n

2

0 diverge.

Cuando =x 10, la serie ∑ +=

=

∞

n10

10(0) 0

nn

n

2

0

converge.

El intervalo de convergencia es < ≤x999100

1001100

.

78. ∑ −=

∞

nx1

3( 3)n

n

n 1

La serie converge sólo si converge en − <x13

3 1, es decir, si < <x0 6.

Cuando = −x 3, la serie ∑ ∑− = −=

∞

=

∞

n n13

( 6) ( 1) (2)nn

n

nn

n1 1

diverge.

Cuando =x 3, la serie ∑ ==

∞

n13

(0) 0nn

n 1

converge.

El intervalo de convergencia es < ≤x0 6.

Respuestas


13

79. ∑=

∞ xn

(5 )(5 )!

n

n 0

El intervalo de convergencia es −∞ < < ∞x .

80. ∑ − −=

∞ n x( 1) !2

( 2)n

nn

n 0

Entonces =R 0, la serie solo converge en =x 2.

En los ejercicios 81 al 90, encuentra el polinomio de Taylor de la función dada en el grado indicado. Comprueba tu resultado con el comando PolinomioTaylor[ <Expresión>, <Valor de x>, <Nú-mero (orden)> ] en la vista CAS de GeoGebra

81. =+

=f xx

n( ) 11

; 5 en potencias de ( )−x 3

Derivando sucesivamente 5 veces y evaluando en =x 3.

El polinomio de grado 5 es:

= − − + − − − + − − −P x x x x x x( ) 1

21

16( 3)

2!( 3)

31( 3)

4!( 3)

5!( 3)5

32

151024 3

1058192 4

94565536 5

82. =f x x( ) 3 ; =n 4 en potencias de ( )−x 1

Derivando sucesivamente 4 veces y evaluando en =x 1


= + − − − + − − −P x x x x x( ) 1 13

( 1)2!

( 1)3!

( 1)4!

( 1)4

29 2

1027 3

8081 4

83. = +f x x( ) 164 ; =n 4 en potencias de ( )−x 9



= + − −⋅

− +⋅

− −⋅

−P x x x x x( ) 5 510

( 9)10 2!

( 9)10 3!

( 9)10 4!

( 9)4 23 54

2 21 56

3 231 58

4

Respuestas


14

84. =f x x( ) sec ; =n 3en potencias de π−

x4

Derivando sucesivamente 3 veces y evaluando en π=x4


= + − + − + −π π πP x x x x( ) 2 2( ) 3 22!

( ) 11 23!

( )3 4 42

43

85. =f x x( ) log10 ; =n 5 en potencias de ( )−x 1



= − − − + − − − + −

= − − − + − − − + −

P x x x x x x

x x x x x

( ) 1ln10

( 1) 12!

( 1) 23!

( 1) 64!

( 1) 245!

( 1)

1ln10

( 1) 12

( 1) 13

( 1) 14

( 1) 15

( 1)

52 3 4 5

2 3 4 5

86. =+

f xx

( ) 11

; =n 5 en potencias de ( )−x 1



= − − + − − − + − − −

= − − + − − − + − − −

P x x x x x x

x x x x x

( ) 12

14

( 1)2!

( 1)3!

( 1)4!

( 1)5!

( 1)

12

14

( 1) 18

( 1) 116

( 1) 132

( 1) 164

( 1)

5

14 2

38 3

34 4

158 5

2 3 4 5

87. =f x x( ) 3 ; =n 4 en potencias de ( )−x 8



= + − − − + − − −

= + − − − + − − −

P x x x x x

x x x x

( ) 2 112

( 8)2!

( 8)3!

( 8)4!

( 8)

2 112

( 8) 1288

( 8) 1041472

( 8) 10497664

( 8)

4

1144 2

53456 3

510368 4

2 3 4

Respuestas


15

88. =+

f x xx

( )1

; =n 5 en potencias de ( )−x 2



= + − − − + − − − + −

= + − − − + − − − + −

P x x x x x x

x x x x x

( ) 23

19

( 2)2!

( 2)3!

( 2)4!

( 2)5!

( 2)

23

19

( 2) 127

( 2) 181

( 2) 1243

( 2) 1729

( 2)

5

227 2

681 3

24243 4

120729 5

2 3 4 5

89. =f x xe( ) x2 ; =n 5 en potencias de ( )−x 1


= − + = − +P x x x x x( ) 1 2

2!124!

1 125

2 4 2 4

90. =+

f xx

( ) 114 ; =n 4 en potencias de ( )−x 1



= − − + − + − − −

= − − + − + − − −

P x x x x x

x x x x

( ) 12

( 1) 12!

( 1) 63!

( 1) 424!

( 1)

12

( 1) 12

( 1) ( 1) 74

( 1)

42 3 4

2 3 4

En los problemas del 91 al 100, encuentra el desarrollo en una serie de MaClaurin la función dada. Comprueba tu respuesta con el comando PolinomioTaylor[ <Expresión>, <Valor de x>, <Nú-mero (orden)> ] en la vista CAS de GeoGebra.

91. =f x e( ) x ∑+ ==

∞

nx1

!n

n

0

92. =f x x( ) sec = + + +x x xc 1 12!

54!

2 4

93. =f x x( ) senh ∑+ =+=

∞+

nx1

(2 1)!n

n

0

2 1

Respuestas


16

94. = −f x e( ) x4 ∑+ = −=

∞

nx( 1) (2)

!n

n

n

n2

0

95. = +f x x( ) 1+ = + − + − +x x x x x x1 11! 2! 3! 4! 5!

12

14 2

38 3

1516 4

10532 5

96. =f x x( ) sen2 = − + −x x x x x22!

84!

326!

1288!

2 2 4 6 8

97. = + +f x x x( ) 1ln( 1) = − + − +x x x x3!

14! 5!

14 3 4

7116 5

98. =f x x( ) tan = + + + +x x x x x23!

165!

2727!

3 5 7

99. = −f x x( ) tan 1 = − + − +x x x x x23!

245!

7207!

1 3 5 7

100. = −f x x( ) sen 1 = + + + +x x x x x13!

95!

2257!

1 3 5 7

En los problemas 101 al 110, usa serie de potencias para evaluar la integral dada.

101. ∫ex

dxx2

2 ∑= − + + +⋅

+⋅

+ = − + +−

+=

∞−

xx x x x C

xx

n nx C1 2ln 4

2!8

2 3!16

3 4!1 2ln 2

( 1) !

n

n

n2 3

2

1

102. ∫x

xdxsenh

∑ ( )= +⋅

+⋅

+⋅

+ =+ +

+=

∞+x x x x

n nx C1

3 3!1

5 5!1

7 7!1

2 1 (2 1)!n

n3 5 7

0

2 1

103. ∫ −x

xdxln

1 ∑= − − + − − − + + = − − ++

=

x x x x Cn

x C12

( 1) 13

( 1) 14

( 1) ... ( 1) ( 1)n

n

n2

22

32

41

21

104. ∫ + xdx1

1 5 ∑= − + − + + + = −+

+=

∞+x x x x x C

nx C1

5111

116

120

( 1)5 1

n

n

n6 11 16 21

0

5 1

105. ∫ −x

xdx

1= − + − − − + − − − + − + +x x x x x x Cln( 1) 1

2( 1) 1

16( 1) 1

48( 1) 5

512( 1) 7

1280( 1)2 3 4 5

Respuestas


17

106. ∫ ( )−x

xdx

8

3

2

( ) ( )= − + − − − + − − − + +x x x x x C2ln( 8) 112

( 8) 1576

( 8) 53 207366

( 8) 54 248832

( 8) ...2 3 4

107. ∫ +x dx123 = + − + − + +x x x x x C19

145

5567

102187

...2 5 7 9

108. ∫ xdxsen = + + − − − + + +x x x x x x x C12

16

140

190

11680

1720

...2 3 5 6 7 8

109. ∫x

edxcos

x = − + − + − + + +x x x x x x x C12

112

130

1180

14410

120160

...2 4 5 6 8 9

∫ +x dx13 = + − + − + + +x x x x x x C18

156

1160

5364

74096

...4 7 10 13 16110.

Respuestas


18

respuestas al desarrollo de la competencia del capítulo...

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