Repaso Factorice completamente cada

polinomio:

4x – 3y – 12ax + 9ay

3x2 + 6x −5xy −10y

8a2 + 24a − 4a −12

Adaptado por Profa. Caroline Rodriguez

Departamento de Matemáticas

Universidad de Puerto Rico en Arecibo

Factorización trinomios cuadráticos de la forma x2 + bx + c

Factorización de trinomios

Sea x2 + bx + c un trinomio con

coeficientes racionales, donde

• b se llama coeficiente lineal

• c se llama coeficiente constante

entonces x2 + bx + c factoriza si

x2 + bx + c = (x + n)(x + m)

donde

• n y m son factores de c

• m + n es igual a b.

Factorización de trinomios

Ejemplos: Factorice

a) x2 + 8x + 12

elegimos los valores de m y n tal que su producto sea 12 y su suma sea 8.

x2 + 8x + 12 = ( )( )

= (x + m)(x + n)

Esos números son , por lo que

Factorización de trinomios b) y2 – 11y + 24 = (y )(y )

c) a2 – 13a – 30 = (a )(a )

Factorización de trinomios d) x2 + x – 5 = (x )(x )

e) a2 + 5a – 36 = (a )(a )

Combinando métodos

Factorice completamente:

a) – 2y2 – 26y + 28

b) 100 – 45x + 5x2

Factorización trinomios cuadráticos de la forma ax2 + bx + c

Forma general de los trinomios cuadráticos • Los trinomios cuadráticos, en general,

tienen la forma

ax2 + bx + c , donde a, b,c son reales; a≠0

• Ejemplos:

22 25 12x x 24 6 2z z

32 − 12𝑥 − 8𝑥2

Producto de dos binomios

• Cuando multiplicamos binomios formamos 4 productos:

Ejemplo con tanteo Factorice completamente:

factores de 9:

factores de 4:

Las posibles combinaciones son:

Por lo tanto la factorización correcta es,

4159 2 xx

1(9) 3(3)

1(4) 2(2)

(9 4)( 1)x x

(9 1)( 4)x x

(9 2)( 2)x x

(3 2)(3 2)x x

(3 1)(3 4)x x

4159 2 xx =

Factorizar trinomios con la forma ax2 + bx + c , a≠1 --- método AC

Un trinomio cuadrático

ax2 + bx + c

factoriza si existen factores de (a)(c) que

sumen b.

O sea que, a diferencia de los casos

anteriores, debemos tomar en

consideración el valor del coeficiente a.

Factorizar trinomios con la forma ax2 + bx + c , a≠1 – método AC

Ejemplo: Factorice 6𝑥2+𝑥 − 15

= (2𝑥 − 3)(3𝑥 + 5)

= 2𝑥 3𝑥 + 5 − 3(3𝑥 + 5)

En este trinomio a= 6, b = 1, c= -15 y ac = -90

Buscamos dos números cuyo producto sea -90 y que sumen 1

Esos números son 10 & -9, por lo que

6𝑥2 + 𝑥 − 15 = 6𝑥2 + 10𝑥 − 9𝑥 − 15

Práctica

Factorice cada polinomio:

a) 10x2 + 31x + 15

b) 12w2 – 11w + 2

c) 32 − 12p − 8p2

d) 6y2 + 23y + 20

e) 25a2 + 3a – 2

EJEMPLOS ADICIONALES

Factorice completamente: 4z2 – 6z + 2

• Observar existen un factor común en los términos • El factor común es 2 • 2(2z2 – 3z + 1) • Debemos ver si el trinomio cuadrático que queda es factorizable • a=2, b= -3, c = 1, ac=2 • Buscamos factores de 2 que sumen -3 • Los factores son: -2 y -1 = 2z2 – 2z – z + 1 = 2z(z – 1) – 1(z – 1)

= (z – 1)(2z – 1)

Por lo tanto, 4z2 – 6z + 2 = 2(z – 1)(2z – 1)

Ejemplo: Factorice completamente

6r2 + 12rs − r −2s

• Máximo común divisor es 1.

• Seguiremos por agrupación

• 6𝑟2 + 12𝑟𝑠 − (𝑟 + 2𝑠)

• 6𝑟 𝑟 + 2𝑠 − 1 𝑟 + 2𝑠

• (𝑟 + 2𝑠) 6𝑟 − 1

• Por lo que la factorización completa es

6r2 + 12r − r −2s = (r + 2s)(6r − 1)

Factorización de trinomios

Factorice completamente: -x2 – 19xy + 42y2

Tratemos de factorizar el polinomio cuadrático

restante.

Se necesitan dos números cuyo producto sea

-42 y cuya suma sea 19

-(x2 + 19xy – 42y2) = -(x + 21y)(x + -2y)

Esos números son 21 & -2, por lo que

= -(x + 21y)(x – 2y)

Nota: MCD de los términos es -1

-x2 – 19xy + 42y2 = -(x2 + 19xy – 42y2)