repaso fiscia

7/21/2019 Repaso fiscia

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22/08/20

REPASO

MATEMÁTICA

Bibliografía:

Cálculo vectorial, J. E. Marsden y A. J. Tromba,Addison-Wesley Iberoamericana

VectoresSean dos vectores

A

B

X

Y

Z

o

k B Bi B B

k A Ai A A

z y x

z y x

ˆ jˆ

ˆ jˆ

k B A B Ai B A B A z z y y x x

ˆ jˆ

k B A B Ai B A B A z z y y x x

ˆ jˆ

B A

B A

222

z y x A A A A



22/08/20

PRODUCTO ESCALAR O PUNTO (el resultado es un escalar)

cos B A B A B A B A B A z z y y x x

k B A B A B A B Ai B A B A

B B B

A A A

k i

B A x y y x x z z x y z z y

z y x

z y xˆ jˆ

ˆ jˆ

en s B A B A

PRODUCTO de un escalar por un vector (el resultado es unvector cuyo módulo es mayor o menor al original, si elescalar es negativo el vector cambia de sentido)

k cAcAicA Ac z y x

ˆ jˆ

PRODUCTO VECTORIAL O CRUZ (el resultado es un vector en ladirección perpendicular al plano que forman los dos vectoresque se multiplican)

NO es un vector, es el módulo de un vector (escalar)

OPERADOR NABLACOORDENADAS CARTESIANA

k z

j y

i x

ˆˆˆ

X

Y

Z

o

r

k

j

i

Sea una función escalar ),,( z y x f

k z

z y x f j

y

z y x f i

x

z y x f z y x f ˆ

),,(ˆ

),,(ˆ

),,(),,(

GRADIENTE de ),,( z y x f

2

2

2

2

2

2

2 ),,(),,(),,(),,(

z

z y x f

y

z y x f

x

z y x f z y x f

LAPLACIANO de ),,( z y x f



22/08/20

Sea un campo vectorial

z

z y x E

y

z y x E

x

z y x E z y x E z y x

),,(),,(),,(),,(

Divergencia de

k z y x E j z y x E i z y x E

z

z y x E

y

z y x E

x

z y x E z y x E

z y xˆ),,(ˆ),,(ˆ),,(

),,(),,(),,(),,(

222

2

2

2

2

2

2

2

ROTOR de

k z y x E j z y x E i z y x E z y x E z y x

ˆ),,(ˆ),,(ˆ),,(),,(

),,( z y x E

),,( z y x E

LAPLACIANO de ),,( z y x E

k y

E

x

E

z

E

x

E i

z

E

y

E

E E E

z y x

k i

z y x E x y x z y z

z y x

ˆ jˆ

ˆ jˆ

),,(

COORDENADAS CILÍNDRICAS z r

e z

er

er

ˆˆ1

ˆ

X

Y

Z

o

r

e

r e

z e

Sea una función escalar ),,( z r f

z r e

z

z r f e

z r f

r e

r

z r f z r f ˆ

),,(ˆ

),,(1ˆ

),,(),,(

GRADIENTE de ),,( z r f



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z

rE E

r

rE

r z r E z r

1),,(

Divergencia de

ROTOR de

z zr r e zr E e zr E e zr E zr E ˆ),,(ˆ),,(ˆ),,(),,(

),,( z r E

),,( z r E

z r

z r

E rE E

z r

eer e

r z r E

ˆˆˆ

1),,(

COORDENADAS ESFÉRICAS

e

r e

r r

r ˆ

sin

1ˆ

1ˆ

X

Y

Z

o

r

e

e

r

Sea una función escalar ),,( r f

e

r f

r e

r f

r e

r

r f r f

r ˆ),,(

sin

1ˆ

),,(1ˆ

),,(),,(

GRADIENTE de ),,( r f



22/08/20


E

r

E

r r

E r

r r E r

sin

sin

1

sin

11),,(

2

2

Divergencia de

ROTOR de

er E er E er E r E

r r ˆ),,(ˆ),,(ˆ),,(),,(

),,( r E

),,( r E

e E

r r

rE

r

er

rE

r

E

r

e E

r

E

r r E

r

r

r

ˆ

11

ˆ1

sin

1

ˆsin

1sin

sin

1),,(

IntegralesCAMBIO de COORDENADAS: al realizar un cambio decoordenadas en una integral se debe escribir el Jacobiano

COORDENADAS

CILÍNDRICAS

COORDENADAS

ESFÉRICASr

2

senr

Ejemplos

d d dr senr dV

dz d dr r dV

dz dydxdV

2

Cartesianas

Cilíndricas

Esféricas

d d senr dA

dz d r dA

d dr r dA

dydxdA

2

Cilíndricas, z es constante

Cartesianas

Cilíndricas, r es constante

Esféricas, r esconstante

d senr

senr

d r

d

dr

d d dr senr dV 2



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Integral de línea

A

B

l d

E

dt dt

t d t E l d E I

B

A

t

t

B

A

)())((·


k z y x E j z y x E i z y x E z y x E z y xˆ

),,(ˆ

),,(ˆ

),,(),,(

X

Y

Z

o

Se proyecta el campo en la direccióntangente a la curva y se integra esaproyección a lo largo de toda la curvaPara realizar la integral se debeparametrizar la curva y evaluar el campoen la curva, proyectar el campo sobre ladirección tangente a la curva e integrar

)(t

Integral de superficieSea un campo vectorial

k z y x E j z y x E i z y x E z y x E z y x

ˆ),,(ˆ),,(ˆ),,(),,(

Se proyecta el campo en la direcciónnormal a la superficie y se integra esaproyección a lo largo de toda la superficiePara realizar la integral se debeparametrizar la superficie y evaluar el

campo en la superficie, proyectar elcampo sobre la dirección normal a lasuperficie e integrar

S

dAn Ad ˆ

E

S S

dAn E Ad E ˆ··

X

Y

Z

o



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Funciones trigonométricas

1cossin

2

)2cos(1cos

2

)2cos(1

sin

22

2

2

2sin

2cos2sinsin

sinsincoscoscos

sinsincoscoscos

sincoscossinsin

sincoscossinsin

UNIDADES

repaso fiscia

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