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Regímenes Financieros. Ejercicios solucionados 1

REGÍMENES FINANCIEROS. EJERCICIOS SOLUCIONADOS

1. Para disponer dentro de 9 meses de 10.500 €, ¿cuál es la cuantía que debe ingresarse hoy

en una cuenta bancaria al 2% anual en interés simple vencido?.

Solución:

Los datos del ejercicio son:

• C' 10.500 €=

• =i 0,02

• t 9 / 2 años=

El esquema de la operación es:

C C 10.500

0 9/12 años

De la expresión que caracteriza al régimen financiero de interés simple vencido, se obtiene:

( )−

− = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =

11 9

C C' 1 i t 10.500 1 0,02 10.000 €12


2. Hace 7 meses se ingresaron 15.000 € en una cuenta bancaria cuyo saldo hoy asciende a

15.131,25 €, ¿ a qué tanto anual de interés simple vencido se ha pactado la operación?.

Solución:


• C 15.000 €=

• C' 15.131,25 €=

• t 7 /12 años=


15.000 15.131,25

0 7/12 años

De la expresión que caracteriza al régimen financiero de interés simple vencido, se obtiene:

− −= = =⋅ ⋅

C' C 15.131,25 15.000i 0,015 anual

7C t 15.00012


3. Calcular el líquido resultante del descuento de dos efectos comerciales de nominal 2.500 € y

3.000 €, que vencen respectivamente dentro de 3 y 6 meses, si se descuentan al 4% anual

en descuento comercial.

Solución:


• =312

C' 2.500 €

• =612

C' 3.000 €

• =d 0,04


C C 2.500 3.000

0 3/12 6/12 años

Aplicando directamente la expresión que caracteriza al régimen financiero de descuento

comercial, se obtiene:

3 6C 2.500 1 0,04 3.000 1 0,04

12 12

2.475 2.940 5.415 €

= ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ =

= + =


4. Calcular el vencimiento de un efecto de nominal 5.000 € cuyo valor descontado hoy, al 3,5%

anual en descuento comercial, asciende a 4.956,25 €.

Solución:


• C 4.956,25 €=

• =C' 5.000 €

• =d 0,035


C 4.956,25 5.000 14.000

0 t años

De la expresión que caracteriza al régimen financiero de descuento comercial, se obtiene:

− −= = = =⋅ ⋅

C' C 5.000 4.956,25 3t 0,25 años

C' d 5.000 0,035 12


5. Dado un tanto efectivo de interés compuesto del 2% semestral, calcular los siguientes tantos

de interés compuesto equivalentes:

(a) 1I

(b) 4i

Solución:

Dos tantos efectivos son equivalentes, ∼m m'I I , si verifican:

m mm m(1 I ) (1 I ) ′

′+ = +

esto es,

m

mm mI (1 I ) 1′

′ = + −

(a) = ∼2 1I 0,02 I

( )= + − = + − =221 2I (1 I ) 1 1 0,02 1 0,0404

(b) = ∼2 4I 0,02 i

( )= + − = + − =2 14 2

4 2I (1 I ) 1 1 0,02 1 0,009950

= ⋅ =4 4i 4 I 0,039802


6. ¿A qué tanto anual con periodificación mensual de interés compuesto se pactó una

operación que se inició hace 3 años con una imposición de 36.000 € y cuyo saldo actual

asciende a 40.279,54 €?

Solución:


• C 36.000 €=

• =C' 40.279,54 €

• 1

p m 1212

= ⇒ =

• t 3 años=

• n t m 36 meses= ⋅ =


0 1/12 2/12 3/12 .......................................... 35/12 3 años

C C1 C2 C3 ....................................... C35 C’= C36

De la expresión que caracteriza al régimen financiero de interés compuesto a tanto constante y

vencido, se obtiene:

⋅ − − = = = =

11 m t 36

m 12

C' 40.279,541 1

C 36.000i 0,0375 i

1p12


7. Hace 9 meses se ingresaron 18.000 € en una cuenta bancaria y hace 5 meses 9.000 €.

Calcular el saldo acumulado hoy si se ha aplicado un 3% efectivo anual de interés

compuesto.

Solución:


• 0C 18.000 €=

• 412

C 9.000 €=

• = ⇒ =p 1 m 1

• =1I 0,03


18.000 9.000 C’

0 4/12 9/12 años

Aplicando directamente la expresión que caracteriza al régimen financiero de interés

compuesto a tanto constante y vencido, se obtiene:

( ) ( )9 5

12 12C' 18.000 1 0,03 9.000 1 0,03 27.515,03 €= ⋅ + + ⋅ + =

o alternativamente:

18.000 9.000 C’

0 4/12 9/12 años

( ) ( ) = ⋅ + + ⋅ + =

4 512 12C' 18.000 1 0,03 9.000 1 0,03 27.515,03 €


8. Calcular la cuantía final resultante de una imposición de 14.000 € durante 4 años, bajo

régimen financiero de interés compuesto a tanto variable, si los tantos nominales aplicados

se capitalizan trimestralmente y para los dos primeros años es del 3,5%, para el siguiente

año y medio es del 3,25% y para el resto del plazo del 3%.

Solución:


• C 14.000 €=

• t 4 años=

• = ⇒ =1p m 4

4

• n t m 16 trimestres= ⋅ =

• = ⇒ = ='

' ' 44 4

ii 0,035 I 0,004375

4

• = ⇒ = =''

'' '' 44 4

ii 0,0325 I 0,008125

4

• = ⇒ = ='''

''' ''' 44 4

ii 0,03 I 0,0075

4


0 1/4 2/4 .............. 8/4 9/4 ........ .... 14/4 15/4 4 anys

'4

'4

0,035

0,00875

i

I

=

=

4

4

''i 0,0325

''I 0,008125

=

=

4

4

'''i 0,03

'''I 0,0075

=

=

C C1 C2 ................. . C8 C9 ................ C14 C15 C16

Aplicando la expresión que caracteriza al régimen financiero de interés compuesto a tanto

variable, se obtiene:


( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

= = =

= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + =

=

∏ ∏ ∏n 16 16

s s sm 4 4

s 1 s 1 s 1

8 6 2

1C' C 1 i p 14.000 1 i 14.000 1 I

4

14.000 1 0,00875 1 0,008125 1 0,0075

15.994,57 €

9. Hace 4 años se abrió una cuenta bancaria con una imposición de 6.000 € y hace 2 años se

ingresaron 2.000 € más. Los tipos de interés compuesto aplicados han sido: un 3% anual

capitalizable semestralmente los 2 primeros años y un 3,5% anual capitalizable

mensualmente el resto del plazo.

Se pide:

(a) Saldo acumulado hoy en la cuenta.

(b) Plantear la ecuación que permita determinar la T.A.E. de la operación.

Solución:


• 0C 6.000 €=

• =2C 2.000 €

• t 4 años=

• = ⇒ = ='

' ' 22 2

ii 0,035 I 0,0175

2

• = ⇒ = =''

'' '' 1212 12

ii 0,03 I 0,0025

12


0 2 4 años

'2

'2

i 0,035

I 0,0175

=

=

''12

''12

i 0,03

I 0,0025

=

=

6.000 2.000 C’

(a) El saldo acumulado en la cuenta bancaria, C′ , se puede obtener aplicando la expresión que


caracteriza al régimen financiero de interés compuesto a tanto variable:

( ) ( ) ( )= ⋅ + ⋅ + + ⋅ + =

=

4 24 24C' 6.000 1 0,0175 1 0,0025 2.000 1 0,0025

8.951,83 €

o alternativamente:

( )( ) ( )= ⋅ + + ⋅ + =

=

4 24C' 6.000 1 0,0175 2.000 1 0,0025

8.951,83 €

(b) La ecuación que permite determinar la T.A.E. ( *1I ) de la cuenta bancaria es:

( ) ( )= ⋅ + + ⋅ +4 2* *

1 18.951,83 6.000 1 I 2.000 1 I


10. Hace 16 meses se abrió una cuenta bancaria con una imposición de 5.000 € y

posteriormente se ingresaron 3.000 €, 2.000 € y 5.000 € a los 8, 9 y 14 meses

respectivamente de la apertura de la cuenta. Los tantos de interés compuesto aplicados

han sido: un 2,5% anual capitalizable mensualmente los 8 primeros meses, un 3% anual

capitalizable trimestralmente los 6 meses siguientes y un 4% anual capitalizable

cuatrimestralmente el resto del plazo.

Se pide:

(a) Saldo acumulado hoy en la cuenta.


Solución:


• =0C 5.000 €

• =8C 3.000 €

• =9C 2.000 €

• =14C 14.000 €

• = ⇒ = ='

' ' 1212 12

ii 0,025 I 0,002083

12

• = ⇒ = =''

'' '' 44 4

ii 0,03 I 0,0075

4

• = ⇒ = ='''

''' ''' 33 3

ii 0,04 I 0,013333

3


0 8 9 14 16 meses

'12

'12

i 0,025

I 0,002083

=

=

''4

''4

i 0,03

I 0,0075

=

=

'''3

'''3

i 0,04

I 0,01333

=

=

5.000 3.000 2.000 4.000 C’


(a) El saldo acumulado en la cuenta bancaria, C' , se puede obtener aplicando la expresión

que caracteriza al régimen financiero de interés compuesto a tanto variable:

( ) ( )

( ) ( )

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + +

+ ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + +

+ ⋅ + =

8 2 0,5

52 0,5 0,53

0,5

C' 5.000 1 0,002083 1 0,0075 (1 0,01333)

3.000 1 0,0075 (1 0,01333) 2.000 1 0,0075 (1 0,01333)

4.000 (1 0,01333) 14.240,17 €

o alternativamente,

( )( ) ( )( ) ( ) = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

=

518 0,53 3C' 5.000 1,002083 3.000 1,0075 2.000 1,0075 4.000 (1,01333)

14.240,17 €

(b) La ecuación que permite determinar la T.A.E. ( *1I ) de la cuenta bancaria es:

( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ +16 8 6 2

* * * *12 12 12 121 1 1 114.240,17 5.000 1 I 3.000 1 I 2.000 1 I 4.000 1 I


11. Calcular el valor descontado de un efecto comercial de nominal 30.000 € que vence dentro

de un año y medio, si se descuenta en régimen financiero de descuento compuesto a tanto

constante al 3,5% anual con periodificación mensual.

Solución:


• =C' 30.000 €

• =d 0,035

• = ⇒ =1p m 12

12

• =t 1,5 años


0 1,5 años

C C’=30.000 €

Aplicando la expresión que caracteriza al régimen financiero de descuento compuesto, se

obtiene:

( ) ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ =

18m t 1

C C' 1 d p 30.000 1 0,035 28.463,44 €12


12. Calcular la T.A.E. del descuento de un efecto comercial de nominal 5.000 € que

vence dentro de 6 meses y se descuenta en régimen financiero de descuento

compuesto al 5% anual con periodo de descuento mensual.

Solución:


• =C' 5.000 €

• 1

t años2

=

• =12d 0,05

• = ⇒ =1p m 12

12


0 1/2 años

C C’=5.000 €

El cálculo de la T.A.E. se puede hacer de 2 maneras:

Una manera es a partir del valor descontado, planteando la ecuación en régimen financiero de

interés compuesto. El valor descontado se obtiene a partir de la expresión que caracteriza al

régimen financiero de descuento compuesto:

= ⋅ − ⋅ =

61

C 5.000 1 0,05 4.876,29 €12

Conociendo el valor descontado, C , y el nominal del efecto ,C ' , la T.A.E. , *1I , se obtiene de

la relación entre C y C' planteada bajo régimen financiero de interés compuesto al tanto *1I :


= ⋅ +6* 12

15.000 4.876,29 (1 I )

=*1I 0,05138

Otra manera de obtener la T.A.E. es a través de los tantos efectivos de interés y de descuento

equivalentes:

−+ = −m mm m(1 I ) (1 D )

En este ejercicio:

−+ = −* 1 121 12(1 I ) (1 D )

de donde,

−

− = − − = − ⋅ − =

12* 121 12

1I (1 D ) 1 1 0,05 1 0,05138

12


13. Sea una cartera formada por 3 efectos comerciales de nominales 3.000 €, 4.000 € y 2.000

€ que vencen dentro de 5, 9 y 12 meses respectivamente. Los efectos se descuenta en

régimen financiero de descuento compuesto: el efecto de nominal 3.000 € a un tanto

nominal del 5,5% con periodo de descuento mensual, el efecto de nominal 4.000 € a un

tanto nominal del 6% con periodo de descuento trimestral y el efecto de nominal 2.000 € a

un tanto nominal del 6,5% con periodo de descuento anual.

Se pide:

(a) Calcular el valor descontado de los 3 efectos comerciales.


Solución:


• =5C 3.000 € =12d 0,055

• =9C 4.000 € =4d 0,06

• =12C 2.000 € =1d 0,065


0 5 9 12 m eses

C 3.000 4.000 2.000

(a) Aplicando la expresión que caracteriza al régimen financiero de descuento compuesto

se obtiene:

( ) = ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − =

5 311 1

C 3.000 1 0,055 4.000 1 0,06 2.000 1 0,065 8.642,55 €12 4

(b) La ecuación que permite determinar la T.A.E. ( *1I ) es:

( ) ( ) ( )− − −= ⋅ + + ⋅ + + ⋅ +

5 9 1* * *12 121 1 18.642,55 3.000 1 I 4.000 1 I 2.000 1 I


14. Una empresa de alimentación analiza la posibilidad de ampliar su sección de envasado. La

ampliación se financiará, en parte, mediante recursos propios que son los siguientes:

� Una cuenta bancaria en la que se ingresaron hace 5 años 30.000 €, 36.000 € hace 2

años y medio y 20.000 € hace 9 meses. Los tantos de interés compuesto aplicados

han sido: un 4% anual capitalizable trimestralmente los 3 primeros años y un 3% anual

con periodificación mensual el resto del plazo.

� Una cartera de efectos comerciales de nominal 18.000 €, 24.000 € y 12.000 € que

vencen respectivamente dentro de 9, 15 y 18 meses. Los efectos con vencimiento

superior al año se descuentan al 3% efectivo semestral de descuento compuesto y los

efectos con vencimiento inferior al año al 5% anual de descuento comercial.

Se pide:

(a) Respecto a la cuenta a tanto variable:

(a.1) Saldo acumulado.

(a.2) Plantear la ecuación que permita determinar la T.A.E. de la operación.

(b) Respecto a la cartera de efectos comerciales:

(b.1) Líquido total resultante del descuento de los 3 efectos comerciales.

(b.2) Si el efecto comercial con vencimiento inferior al año se descontase en interés simple

vencido, ¿a qué tanto anual de interés se tendría que descontar para obtener el mismo

resultado?

Solución:

(a) Respecto a la cuenta a tanto variable:

Los datos de la cuenta son:

• =0C 30.000 €

• =2,5C 36.000 €

• =4,25C 20.000 €

• =14C 14.000 €

• = ⇒ = ='

' ' 44 4

ii 0,04 I 0,01

4

• = ⇒ = =''

'' '' 1212 12

ii 0,03 I 0,0025

12



0 2,5 3 4,25 5 años

'4

'4

i 0,04

I 0,01

=

=

''12

''12

i 0,03

I 0,0025

=

=

30.000 36.000 20.000 C’

(a.1) El saldo acumulado en la cuenta bancaria, C' , se obtiene aplicando la expresión que

caracteriza al régimen financiero de interés compuesto a tanto variable:

( )( ) ( )( )10 2 15 9C' 30.000 1 0,01 36.000 1 0,01 (1 0,0025) 20.000 (1 0,001333)

95.338,50 €

= ⋅ + + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + =

=

(a.2) La ecuación que permite determinar la T.A.E. ( *1I ) de la cuenta bancaria es:

( ) ( ) ( )95 2,5* * * 121 1 195.338,50 30.000 1 I 36.000 1 I 20.000 1 I= ⋅ + + ⋅ + + ⋅ +

(b) Respecto a la cartera de efectos comerciales

Los datos de la cartera de efectos son:

• 9C 18.000 €= ; d 0,05 en descuento comercial=

• 15C 24.000 €= ; 2D 0,03 en descuento compuesto=

• 18C 12.000 €= ; 2D 0,03 en descuento compuesto=



0 9 15 18 m eses

C 18.000 24.000 12.000

(b.1) Para calcular el líquido total de la cartera, C , se aplican las expresiones que caracterizan

al régimen financiero de descuento comercial, para el primer efecto comercial, y al régimen de

descuento compuesto, para los dos últimos efectos comerciales:

( ) ( )2,5 39C 18.000 1 0,05 24.000 1 0,03 12.000 1 0,03 50.517,38 €

12 = ⋅ − ⋅ + ⋅ − + ⋅ − =

(b.2) Para calcular el tanto nominal de interés simple vencido equivalente a un tanto nominal

de descuento comercial dado, para un plazo en concreto, hay que aplicar la siguiente

expresión:

di

1 d t=

− ⋅

En este ejercicio los datos son:

• d 0,05=

• 9

t años12

=

Sustituyendo en la expresión anterior resulta:

0,05i 0,051948

91 0,05

12

= =− ⋅


15. Una empresa de transporte de mercancías renueva su flota de camionetas, el coste que le

supone esta renovación es de 150.000 € los cuales se financian con el descuento de dos

efectos comerciales, el saldo de dos cuentas bancarias y el resto en efectivo.

Efecto 1. Nominal 1.100 €, vencimiento dentro de 1 año. El descuento se realiza en régimen

financiero de descuento compuesto a un tanto efectivo de descuento semestral del 3%.

Efecto 2. Nominal 5.000 €, vencimiento dentro de 6 meses. El efecto se descuenta en

régimen financiero de descuento comercial al 8% anual.

La cuenta bancaria A fue abierta hace 5 años, realizándose una imposición de 25.000 € en

el momento de su apertura y otra 6.000 € hace 3 años. El tipo de interés aplicado ha sido

un 2% efectivo semestral.

La cuenta bancaria B fue abierta hace 6 años, realizándose una imposición de 5.000 € en el

momento de su apertura y otra de 4.000 € hace 3 meses. Los tipos de interés compuesto

aplicados han sido: un 1,5% efectivo semestral durante los tres primeros años y un tanto

anual capitalizable trimestralmente del 3% durante los tres últimos años.

Se pide:

(a) Calcular el valor descontado del efecto 1 y del efecto 2.

(b) Calcular el saldo de la cuenta bancaria A y de la cuenta bancaria B.

(c) Calcular el efectivo que debe satisfacer la empresa.

(d) Calcular la T.A.E de los descuentos de los dos efectos comerciales.

(e) Calcular la T.A.E de la cuenta bancaria A y plantear la ecuación que permite determinar

la T.A.E. en la cuenta bancaria B.

Solución:

(a) Los datos del efecto 1 son:

• C' 1.100 €=

• =2D 0,03

• =m 2



0 1 año

C C´=1.100 €

Aplicando la expresión que permite calcular el valor descontado en régimen financiero de

descuento compuesto, se obtiene:

( )= ⋅ − =2C 1.100 1 0,03 1.035 €

Los datos del efecto 2 son:

• C' 5.000 €=

• =d 0,08

• t 1/ 2 años=


0 1/2 año

C C’=5.000 €

Aplicando la expresión que permite calcular el valor descontado en régimen financiero de

descuento comercial, se obtiene:

= ⋅ − ⋅ =

1C 5.000 1 0,08 4.800 €

2


(b) Los datos de la cuenta bancaria A :

• =0C 25.000 €

• =2C 9.000 €

• = ⇒ =p 2 m 2

• =2I 0,02


25.000 6.000 C’

0 2 5 años

Aplicando directamente la expresión que caracteriza al régimen financiero de interés

compuesto a tanto constante y vencido se obtiene:

( ) ( )10 6C' 25.000 1 0,02 9.000 1 0,02 40.610,32 €= ⋅ + + ⋅ + =

Los datos de la cuenta bancaria B son:

• =0C 5.000 €

• =3C 4.000 €

• =t 6 años

• ='2I 0,015

• = ⇒ = =''

'' '' 44 4

ii 0,03 I 0,0075

4


0 3 6 años

'2I 0,015=

''4

''4

i 0,03

I 0,0075

=

=

5.000 4.000 C’


Aplicando el régimen financiero de interés compuesto a tanto variable, se obtiene:

( ) ( ) ( )6 12 12C' 5.000 1 0,015 1 0,0075 4.000 1 0,0075 10.355.30 €= ⋅ + ⋅ + + ⋅ + =

(c) El efectivo que tiene que satisfacer la empresa es:

( )= − + + + =Efectivo 150.000 1.035 4.800 40.610,32 10.355,30 93.199,38

(d) Conociendo el valor descontado, C , y el nominal del efecto ,C' , la T.A.E. , *1I , del efecto1

y del efecto 2 se obtiene de la relación entre C y C' , planteada bajo régimen financiero de

interés compuesto al tanto *1I :

T.A.E. del efecto 1:

= ⋅ + * 111.100 1.035 (1 I )

=*1I 0,06280

T.A.E. del efecto 2:

= ⋅ +1* 2

15.000 4.800 (1 I )

=*1I 0,085069

(e) La T.A.E. en la cuenta bancaria A, al tratarse de una operación pactada en régimen

financiero de interés compuesto a tanto constante, puede calcularse a través de los tantos

efectivos de interés equivalentes :

=∼1 2I I 0.05

( )+ = +1 21 21 I (1 I )

( )1 2 21 11 I (1 0,05) I (1 0,05) 1 0,1025+ = + = + − =

La ecuación que permite determinar la T.A.E. ( *1I ) en la cuenta bancaria B es:

( ) ( )= ⋅ + + ⋅ +5 3* *

1 110.355,30 5.000 1 I 4.000 1 I

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