problemas de física bloque 2 vibraciones y ondas solucionados

8/18/2019 Problemas de Física Bloque 2 Vibraciones y Ondas Solucionados

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Departamento de

Física y Química Física 2º Bachillerato Curso 2015/2016

Fernando Moreno Polonio Página 1

Problemas de Física Bloque 2 Vibraciones y ondas Solucionados1. a) ¿Cuáles son las longitudes de onda posibles de las ondasestacionarias producidas en una cuerda tensa, de longitud L, sujetapor ambos extremos?

Razone la respuesta.b) ¿En qué lugares de la cuerda se encuentran los puntos de amplitudmáxima? ¿Y los de amplitud nula? Razone la respuesta.

a) Como los extremos fijos constituyen nodos

b) Vientres (A’ máxima), como A' = 2⋅ A⋅ sen(K ⋅ x ) esto implica que

sen(K ⋅ x ) = 1 por lo tanto el ángulo K ⋅ x tomará los siguientes valores:

con lo cual nos queda que 2 1

4

x n

siendo n = 0, 1, 2,…

Nodos A’ = 0 esto implica que sen (K ⋅ x ) = 0 y K ⋅ x tomará lossiguientes valores

con lo cual nos queda que 2 x n

siendo n = 0, 1, 2,…



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2. Por una cuerda se propaga un movimiento ondulatoriocaracterizado por la función de onda:

2 x t

y A senT

Razone a qué distancia se encuentran dos puntos de esa cuerda si:a) La diferencia de fase entre ellos es de π radianes.b) Alcanzan la máxima elongación con un retardo de un cuarto deperiodo.

a) Tenemos que calcular x2 – x1 para una diferencia de fase δ = rad

11 2

x t y A sen

T

2

2 2 x t

y A senT

2 12 2 x xt t

T T

2 1

2 x x

2 1

2

x x

b) En los puntos en que la elongación es máxima se cumple ymax = A y esto

implica que 2 1 x t

senT

por lo tanto, los ángulos deben ser iguales

2 1 1 2 x t

T

12 4

T t

x

T

1

2 1 114

4

T t

x x t

T T

2 14

x x

3. a) ¿Qué es una onda armónica o sinusoidal? ¿De cuáles de sus

características depende la energía que transporta?b) ¿Qué diferencias existen entre el movimiento de una onda a travésde un medio y el movimiento de las partículas del propio medio?

a) Existe un tipo muy importante de ondas que se denominan “armónicas”, lascaracteriza que la función de onda que las describe es una función sinusoidalde x, que es la dirección de propagación y del tiempo t:

, y x t A sen kx t

La perturbación que se propaga en forma de onda armónica es producida porun oscilador armónico (M. A. S.).

La energía (ΔE ) correspondiente a un segmento de cuerda por la que sedesplaza una onda armónica de longitud Δ x con una densidad lineal μ vienedada por la ecuación

∆E = 2 · ∆x · 2 · f 2 · A2

por lo tanto la energía transmitida por una onda armónica es directamenteproporcional al cuadrado de la frecuencia y al cuadrado de la amplitud.b) El movimiento de propagación de una onda por un medio es uniforme, elfrente de onda se propaga con velocidad constante.Las partículas de un medio por el que se propaga una onda armónica tienenun movimiento vibratorio armónico simple y cada una de ellas tiene undesfase con la anterior.



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4. Una partícula de 50 g vibra a lo largo del eje X, alejándose comomáximo 10 cm a un lado y a otro de la posición de equilibrio (x = 0). Elestudio de su movimiento ha revelado que existe una relación sencillaentre la aceleración y la posición que ocupa en cada instante:

2

a = -16π x a) Escriba las expresiones de la posición y de la velocidad de la

partícula en función del tiempo, sabiendo que este último se comenzóa medir cuando la partícula pasaba por la posición x = 10 cm.b) Calcule las energías cinética y potencial de la partícula cuando seencuentra a 5 cm de la posición de equilibrio.

m = 0,05 Kg A = 0,1 m2-16a x

a) Como para t = 0 la elongación x = A la ecuación del M. A. S. es del tipo

cos x A t como a = –2 · x sustituyendo –162 · x = –2 · x

de donde

= 4 rad/s por lo que la ecuación queda: 0,1 cos 4 x t m

para la expresión de la velocidad v 0,1 4 4dx m

sen t dt s

v 0,4 4 m

sen t s

b) Para calcular la energía cinética, calculamos primero la velocidad del móvil

cuando su elongación sea 5 cm x = 0,05 m2 2v A x

2

2 22 2 2 2 2

2 2

16v 0,1 0,05 1,18

m A x m m

s s

22

2

1 1m v 0,05 1,18 0,03

2 2c

m E kg J

s

para calcular la energía potencial, calculamos primero la constante elástica del

oscilador2 2 2 2 16 0,05 7,9

K N K m s kg

m kg

22 21 1

K x 7,9 0,05 0,012 2

p

N E m J

m



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5. Por una cuerda tensa, colocada a lo largo del eje X, se propaga unmovimiento ondulatorio transversal cuya función de onda es:

y = 0,15 sen (4

x + 400

t) (S.I.)a) Represente gráficamente la forma de la onda en el instante inicial y

un cuarto de periodo después.b) Determine la elongación y la velocidad de un punto de la cuerdasituado en la posición x = 0,5 m, en el instante t = 0,01 s.

a) y = 0,15 sen (4· · x + 400 · · t) (S.I.) comparando con la ecuación

general , y x t A sen kx t obtenemos que A = 0,15 m ; k = 4 m–1

= 400 rad · s–1 sustituyendo estos valores en la expresión de la longitud deonda y el periodo.

2 2

k

4 0,5m m

2 2T

400

3

15 10 s

s

Para hacer la gráfica en el instante inicial t = 0, le damos a x valores desde 0,

cada4

X = 0 y = 0X = 0,125 m y = 0,15 m

Para t = 0 x = 0,25 m y = 0X = 0,375 m y = –0,15 m

X = 0 y = 0,15 mX = 0,125 m y = 0

Para t = T/4 = 1,25 · 103s x = 0,25 m y = –0,15 mX = 0,375 m y = 0

b) y = 0,15 sen (4· · x + 400 · · t) (S.I.)hay que calcular la elongación (y) y lavelocidad de un punto de la cuerda (v),para x = 0,5 m y t = 0,001 s

y = 0,15 sen (2· + 4 · ) = 0

-1 -1v 0,15m 400s cos 4 x 400 0,15m 400s cos 2 4dy

t dt

v 188,5m

s que se corresponde con la velocidad máxima vmax= A · ya

que el cos (6) = 1



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6. Un tabique móvil ha provocado, en la superficie del agua de unestanque un movimiento ondulatorio caracterizado por la función:

y = 0,04 sen (10

x - 4

t + /2) (S. I.)Suponiendo que los frentes de onda producidos se propagan sin

pérdida de energía, determine:a) El tiempo que tarda en ser alcanzado por el movimiento un puntosituado a una distancia de 3 m del tabique.b) La elongación y la velocidad, en dicho punto, 0,5 s después dehaberse iniciado el movimiento.

y = 0,04 sen (10x - 4t + /2) (S. I.)

a) k = 10 m–1 ; = 4 s–1

2 2

k

10

0,2m m 4

2

f

1

2

s

12s

1

PROPv 0, 2 2 0, 4 m

f m ss

Como el movimiento de propagación es

uniforme x = v · tx 3

v

mt

0,4 m

7,5s

s

b) Hay que calcular la elongación (y) y la velocidad de un punto de la

superficie del agua, para x = 3 m y t = 0,5 s

y = 0,04 sen (30 – 2 + /2) = 0,04 m

-1 -1v 0,04m 4s cos 10 x 4 0,04m 4s cos 30 2

2 2

dyt

dt

v = 0

7. En una cuerda tensa se genera una onda viajera de 10 cm deamplitud mediante un oscilador de 20 Hz. La onda se propaga con unavelocidad de 2 m · s–1.a) Escriba la ecuación de la onda suponiendo que se propaga dederecha a izquierda y que en el instante inicial la elongación en el foco

es nula.b) Determine la velocidad de una partícula de la cuerda situada a 1 mdel foco emisor en el instante 3 s.

a) A = 0,1 m f = 20 Hz v = 2 m · s–1 Escogemos la ecuación del seno sin fase inicial, ya que para x = 0 y t = 0, y =0. El signo en el argumento es positivo porque se desplaza hacia la izquierda

, y x t A sen kx t

1 12 2 20 40 f s s

12

v

f m s

1

20 s

0,1m



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12 220

0,1k m

m

, 0,1 20 40 y x t sen x t b) Calculamos la velocidad de vibración de la partícula solicitada

-1 -1 -1 -1 -1 -1v 0,1m 40 s cos 20 m x 40 s 4 m s cos 20 m x 40 sdy

t t dt

para x = 1 m y t = 3 s obtenemos

-1v 4 m s cos 140 4 12,56m m

s s

8. a) Escriba la ecuación de una onda estacionaria en una cuerda con

sus dos extremos fijos, y explique el significado físico de cada una delos parámetros que aparecen en ella.b) Explique qué puntos de la cuerda del apartado anterior permanecenen reposo. ¿Qué puntos oscilan con amplitud máxima?

a) Una onda estacionaria es un fenómeno peculiar de superposición de dosondas iguales que se propagan en la misma dirección pero sentido contrario(es el caso de una onda que se encuentra con su onda reflejada)

Su ecuación se obtiene por el principio de superposición y es la siguiente

2 cos y A senkx t donde A, k y ω son respectivamente la amplitud, el número de onda y lafrecuencia angular de las ondas que por superposición generan la ondaestacionaria. La amplitud de la vibración en un punto cualquiera viene dada

por la expresión'

2 A A senkx , es decir es función de la posición.

La ecuación sale de sumar la onda que va 1 y A sen kx t con la que

vuelve 2 y A sen kx t y aplicando la identidad

1 12 cos

2 2sen sen sen



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b) Como hemos visto en el apartado anterior la amplitud de la vibración en un

punto cualquiera viene dada por la expresión'

2 A A senkx , es decir esfunción de la posición en consecuencia los puntos de la cuerda que no vibranson aquellos en los que se cumpla que A’= 0 y esto ocurre cuando sen kx = 0.

Estos puntos reciben el nombre de nodos. Al contrario, cuando sen kx = 1 laamplitud será máxima, estos puntos reciben el nombre de vientres

9. a) Explique qué es un movimiento armónico simple y cuáles son suscaracterísticas dinámicas.b) Razone cómo cambiarían la amplitud y la frecuencia de unmovimiento armónico simple si: i) aumentara la energía mecánica, ii)disminuyera la masa oscilante.

a) Un cuerpo tiene un movimiento armónico simple (MAS) cuando oscilaperiódicamente bajo la acción de fuerzas elásticas restauradoras, queobedecen a la ley de Hooke y que por lo tanto son proporcionales a la

distancia a la posición de equilibrio, es el caso de los cuerpos unidos amuelles, etc.En este movimiento, la posición del cuerpo es una función sinusoidal deltiempo (función seno o coseno dependiente del tiempo). Puesto que lasfunciones sinusoidales suelen denominarse armónicas, decimos que dichocuerpo tiene un movimiento armónico simple.En general la ecuación que representa a este movimiento puede escribirse así:

x cos A t

en la que x representa la posición del móvil y se denomina elongación, A es lamáxima o mínima elongación y se denomina Amplitud, ω es la frecuencia

angular y δ es la fase inicial.La velocidad es la derivada de la posición con respecto al tiempo, en este caso

x

v cosd

A t dt

como vemos también varía de forma armónica (sinusoidal) y es cero en los

extremos de la trayectoria y máxima maxv A en el centro.

La aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo

2 2vcos x

d a A t

dt



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también varía de forma armónica (sinusoidal) y es cero en el centro y máxima

2

maxa A en los extremos.

Para considerar el MAS desde un punto de vista dinámico nos centramos en lafuerza elástica que cumple la ley de Hooke ( F = – K · x) y en la segunda ley

de Newton ( F = m · a) con lo que nos queda –k · x = m · a y como a = – 2·x

sustituimos y obtenemos2 k

m es decir que la frecuencia angular y por lo

tanto la frecuencia y el periodo de un oscilador armónico dependen de suspropias características físicas, la constante elástica del resorte y de la masadel cuerpo.b) i) El ejercicio es confuso puesto que si se trata de un oscilador armónicoformado por un muelle y una masa sujeta a uno de sus extremos, el único quese estudia en este curso, la amplitud es una elección del operador y si este laaumenta, estirando más el muelle, hace que aumente la energía mecánica del

oscilador ya que21

2m

E kA por lo tanto, si se nos quiere preguntar por la

relación entre la amplitud y la energía mecánica, la pregunta debería hacerseal revés.La frecuencia angular y por lo tanto la frecuencia y el periodo no varían puestoque no se ha cambiado ninguna de las dos características del oscilador (muelley masa) y como

k

m

2 f

ii) Si disminuimos la masa del oscilador, aumenta la frecuencia angular y porlo tanto aumenta la frecuencia. La amplitud no tiene ninguna relación con lamasa.

10. La ecuación de una onda es:

y (x,t) = 10 sen(

/2·x) sen(100

t) (S.I.)a) Explique de qué tipo de onda se trata y describa sus características.b) Determine la amplitud y la velocidad de propagación de las ondascuya superposición daría lugar a dicha onda. ¿Qué distancia hay entretres nodos consecutivos?

a) Si observamos la ecuación que nos da el ejercicio

, 10 x 1002

y x t sen sen t

y la ecuación de las ondas estacionarias (Demostración abajo)

2 y A senkx sen t

advertimos que se trata de una onda estacionaria, fenómeno que se producepor superposición entre ondas idénticas que se propagan en el mismo medioen sentidos opuestos, es decir se obtiene una “onda” que no viaja, no es una

onda de propagación, los puntos de la cuerda vibran con la misma frecuenciapero con distinta amplitud y hay unos puntos donde la amplitud es cero ( sen



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k x = 0 ) que se llaman nodos y otros donde la amplitud es máxima que sellaman vientres. Por tanto las ondas estacionarias no encajan dentro de ladefinición general de ondasLa amplitud de la vibración en un punto cualquiera viene dada por la expresión

'

2 A A senkx , es decir es función de la posición y todos los puntos vibrancon la frecuencia angular ω que es igual a las de las ondas armónicas que sesuperponen

La superposición de las dos ondas, incidente y reflejada, da lugar, en ciertascondiciones, a ondas estacionarias.

Ecuación de la onda incidente, sentido (→): y1 = A cos(kx–ωt) Ecuación de la onda reflejada, sentido (←): y2 = A cos(kx+ωt+)

La onda reflejada tiene una diferencia de fase de radianes respecto a laincidente.

k representa el número de ondas2

k

y ω es la frecuencia angular

2

T

;

siendo λ y T la longitud de onda y el periodo, respectivamente.El resultado de la propagación simultánea de ambas ondas, incidente yreflejada, es el siguiente:

1 2 cos cos y y y A kx t A kx t

Como cos (+) = –cos , la expresión de arriba queda:

cos cos cos cos y A kx t A kx t A kx t kx t

cos cos y A kx t cos cossenkx sen t kx t senkx sen t

2 2 y A senkx sen t Asenkx sen t

Demostrando así la ecuación de la onda estacionaria.



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b) Como hemos visto en el apartado anterior la amplitud de la ondaestacionaria es función de la posición y viene dada por la expresión

' 2 A A senkx

'

max 2 A A 1senkx

y como A

’

max = 10 m, la amplitud de las ondas que se superponen es A = 5 m.Comparando la ecuación de nuestra onda con la ecuación general de la ondaestacionaria obtenemos:

2

2k

= 4 m

1 12 100 50 f s s

calculamos la velocidad de probación de las ondas que se superponen1 1v 4 50 200 f m s m s

La distancia entre dos nodos consecutivos es λ /2, por lo tanto, entre tres seráde dos veces λ /2, es decir λ = 4 m como se ve en la siguiente figura

11. Un cuerpo, situado sobre una superficie horizontal lisa y unido alextremo de un resorte, efectúa un movimiento armónico simple y losvalores máximos de su velocidad y aceleración son 0,6 m · s–1 y 7,2 m ·

s–2 respectivamente.a) Determine el período y la amplitud del movimiento.b) Razone cómo variaría la energía mecánica del cuerpo si seduplicara: i) la frecuencia; ii) la aceleración máxima.

a) Las expresiones para la velocidad máxima y la aceleración máxima son

Vmax= A · amax= A · 2 dividiendo la segunda ecuación por la primera obtenemos

2

max

maxv

a A

A

21max

1

max

7,212

v 0,6

a mss

ms

calculamos la amplitud y el periodo1

max

1

v 0,60,05

12

ms A m

s

1

2 2

12 6T s

s

b) i) Para resolver este apartado hemos de preguntarnos ¿cómo duplicamos lafrecuencia de un oscilador armónico formado por un muelle y una masa?

2k

f m

1

2

k f

m

para duplicar la frecuencia tenemos dos opciones:

• cambiamos el resorte k ́ = 4k



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• cambiamos el cuerpo '4

mm

estudiamos los cambios producidos en la energía mecánica en ambos casos:• Aumentamos k ́ = 4k

2 ' ' 2 21 1 1 4 42 2 2

m m m E KA E K A KA E

la energía mecánica se cuadruplica

• disminuimos '4

mm

2 '1

2m m E KA E

la energía mecánica no cambia porque no depende de la masa. Esto últimopuede parecer extraño ya que al cambiar la masa debe cambiar la energía

cinética, para comprobarlo calculamos la energía cinética máxima (en el puntode equilibrio) que es igual a la energía mecánica (energía potencial elásticacero)

' '

' '

max max max

2 2 =2 2 2

v v 2 2v

f f f

A A A

2

2 ' ' ' ' 2

max max max

1 1 1v v 4v

2 2 2 4m C m C C m

m E E m E E m E E

Observamos que en este ejercicio se llega a resultados distintos según la

opción que se elija para duplicar la frecuencia, es por lo tanto, unplanteamiento confuso para el alumno.

b) ii) Otro tanto ocurre con este apartado. Para duplicar la aceleración máximahemos de cambiar la frecuencia angular

''max max max

2 2

a a a

A A A

¿cómo aumentamos en un factor 2 la frecuencia angular de un osciladorarmónico formado por un muelle y una masa?

k m

para aumentar en un factor 2 la frecuencia angular tenemos dos opciones:• cambiamos el resorte k ́ = 2k

• cambiamos el cuerpo '2

mm

estudiamos los cambios producidos en la energía mecánica en ambos casos:

2 ' ' 2 21 1 1 2 2

2 2 2m m m

E KA E K A KA E

La energía mecánica se duplica



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Disminuimos '2

mm

2 '1

2m m

E KA E

la energía mecánica no cambia porque no depende de la masa.Esto último puede parecer extraño ya que al cambiar la masa debe cambiar laenergía cinética, para comprobarlo calculamos la energía cinética máxima (enel punto de equilibrio) que es igual a la energía mecánica (energía potencialelástica cero)

' '

max max maxv v 2 2v A A A

2

2 ' ' ' ' 2

max max max

1 1 1v v 2v

2 2 2 2m C m C C m

m E E m E E m E E

otra vez llegamos a dos resultados distintos según la opción que se elija. Estosplanteamientos deberían ser revisados.

12. La ecuación de una onda armónica es:

y(x,t) = A sen (bt – cx)a) Indique las características de dicha onda y lo que representa cadauno de los parámetros A, b y c.b) ¿Cómo cambiarían las características de la onda si el signo negativofuera positivo?

Si comparamos la ecuación del enunciado con la ecuación general de las ondas

armónicas y(x,t) = A sen (t ± kx) nos damos cuenta de que el fenómeno se trata de una onda armónicatransversal (la perturbación en el eje y, la propagación en el x) que sepropaga en dirección del eje x en el sentido de las x positivas, es decir deizquierda a derecha, donde A es la amplitud, b es la frecuencia angular ω y ces el número de onda k.b) Si el signo negativo fuera positivo la única característica que cambiaríasería el sentido de propagación de la onda que ahora sería hacia las xnegativas, es decir de derecha a izquierda.

13.- Un bloque de 0,12 kg, situado sobre una superficie horizontal lisa,y unido al extremo de un resorte, oscila con una amplitud de 0,20 m.a) Si la energía mecánica del bloque es de 6 J, determinerazonadamente la constante elástica del resorte y el periodo de lasoscilaciones.b) Calcule los valores de la energía cinética y de la energía potencialcuando el bloque se encuentra a 0,10 m de la posición de equilibrio.

a) Calculamos k a partir de la expresión de la energía mecánica

2

2 2

21 2 6 300

2 0,04

m

m

E J N E kA k

A m m

Calculamos el periodo de oscilación



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2 2 2

25300

0,12

T sk N

m m

kg

b) La expresión de la energía cinética en función de la posición es

2 2 2 2 21 1300 0,2 0,1 4,5

2 2C

N E k A x m J

m

y la de la energía potencial es

2 2 21 1300 0,1 1,5

2 2P

N E kx m J

m

14.- a) Explique qué son ondas longitudinales y transversales.b) ¿Qué diferencias señalaría entre las características de las ondas

luminosas y sonoras?

a) Uno de los criterios de clasificación de las ondas consiste en la coincidenciao no entre la dirección de oscilación de la propiedad perturbada(desplazamiento) y la de propagación de la onda. Se dice que la onda eslongitudinal si ambas direcciones coinciden, las ondas sonoras son ejemplo deondas longitudinales.Se dice que la onda es transversal si ambas direcciones son perpendiculares,las ondas que se propagan en una cuerda son un ejemplo de ondastransversales, las más importantes son las ondas electromagnéticas.b) Las ondas luminosas son ondas electromagnéticas y por lo tanto son

transversales y las ondas sonoras son longitudinales.Otra característica que las diferencia es que las ondas luminosas(electromagnéticas) no son mecánicas, es decir no necesitan un mediomaterial para propagarse y las sonoras son mecánicas, es decir necesitan unmedio material para su probación.

15.- Una partícula se mueve con movimiento armónico simple, segúnuna línea recta. Del movimiento de la partícula se conoce su velocidadmáxima, v = 0,4 m · s−1, y su aceleración máxima, a = 0,6 m · s−2.

Teniendo en cuenta estos datos, determina el período y la frecuenciadel movimiento.Las expresiones que permiten calcular el valor absoluto de la velocidadmáxima y de la aceleración máxima en un m.a.s. son:

max

2

max

v A

a A

Dividiendo entre sí ambas expresiones:

2 2m ax

m ax

0 , 6

1, 5v 0 , 4

m

a A r a d s

m A ss



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Con el dato de la frecuencia angular obtenemos fácilmente el período y lafrecuencia del movimiento

2

1

f

f T

1,5

0, 239 4,192 2

rad

s f Hz T s

16.- La ecuación del m.a.s. con que se mueve un objeto viene dadapor:

y = s e n (6 · · t + )

Calcula:a) La amplitud, la frecuencia y el período de las oscilaciones.b) La energía potencial de la masa en cualquier instante.c) La energía cinética de la masa en cualquier instante.

d) La energía total de la masa en cualquier instante.

a) La ecuación general de posición de un m.a.s. tiene por expresión:

x = sen ( · t + )Identificando los parámetros de la ecuación general con la ecuación delproblema, la amplitud resulta A = 1 m.La frecuencia angular es, por comparación con la ecuación general:

6 rad

s

Conocido este valor, es inmediato obtener el período y la frecuencia:

2

1

T

f T

2 2 1 13

36

T s f Hzrad T

s

b) La expresión que proporciona la energía potencial en un movimientoarmónico simple es:

2 2 21

2P E m A sen t

En nuestro caso, la energía potencial de la masa en función del tiempo es:

2 2 21

6 1 62

P E m m sen t

2 218 6P E m sen t J

c) Para la energía cinética obtenemos:

2 2 21cos

2C

E m A t



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2 2 21

6 1 cos 62

C E m m t

2 218 cos 6C E m t J

d) La energía total es la suma de la energía cinética más la energía potencial:

2 2 218 6 cos 6P

E m sen t t J

E = 18 · 2 · m J

17.- Un muelle, situado en un plano horizontal, lleva unido un objetode 175 g y está comprimido 7 cm respecto a su longitud natural. Suconstante elástica es 2 500 N · m−1. Calcula la velocidad que llevará elobjeto cuando pase por el punto de equilibrio:a) En ausencia de rozamientos.

b) Cuando actúa una fuerza de rozamiento constante de 56 N.

a) En ausencia de rozamientos, la energía potencial elástica del muelle en elestado de máxima elongación se transforma en energía cinética cuando pasapor el punto de equilibrio:

EPmax = ECmax

Por tanto2 21 1

x v2 2

k m

Despejando2

2 xv v x

k k

m m

2500

v 0,007 8,370,175

N

mmmkg s

b) Cuando actúa una fuerza de rozamiento, una parte de la energía potencialelástica inicial debe emplearse en vencer esta fuerza de rozamiento:

EPmax + Wroz = EC

2 21 1x x v

2 2roz

k F m

Despejando y sustituyendo valores, la velocidad del objeto resulta:

2 2 2v x xroz

F k

m m

2 2v x xroz

F k

m m



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2

25002 56

v 0,07 0,07 5,020,175 0,175

N

N mm m mkg kg s

Como vemos, la fuerza de rozamiento que se opone al movimiento hacedisminuir la velocidad del objeto.

18.- Un cuerpo de 300 g se mueve con movimiento armónico simple,siendo su frecuencia angular 15 rad/s. Si la amplitud con que semueve vale 6 cm, calcula:a) La constante elástica.b) La energía potencial que almacena.c) La velocidad máxima.

a) La constante elástica se puede determinar a partir de la masa y lafrecuencia angular del sistema:

2

2 15 0,3 67,5k rad N

k m kgm s m

b) En un m.a.s., la energía mecánica viene dada por:

2

22 21 10,3 0,06 15 0,12

2 2C P

rad E E E m A E kg m J

s

Este valor coincide con la energía potencial máxima de un m.a.s., que sealcanza en los puntos en los que la elongación es máxima y la energía cinética

es nula.c) La ecuación de la velocidad en un m.a.s. es:

v = A · ω · cos (ω · t + )Cuando la velocidad sea máxima, el coseno valdrá 1. Por tanto:

v máx = A · ω v máx = 0,06 m · 15 rad/s = 0,9 m/s

19.- Se genera en una cuerda una onda transversal cuya velocidad depropagación es 2 m/s, su amplitud, 8 · 10–3 m, y su longitud de onda,0,2 m. Determina:a) La frecuencia y el número de onda.

b) La velocidad máxima que pueden tener los puntos de la cuerda.

a) La frecuencia de la onda la podemos obtener a partir de la expresión querelaciona la longitud de onda con la velocidad de propagación:

v vv T f

f

Sustituyendo valores, la frecuencia resulta:

m2

s 100,2

f Hzm

El número de onda es:



Departamento de



12 210

0,2k k m

m

b) Para obtener la velocidad máxima de cualquier punto de la cuerda,

escribimos, en primer lugar, la ecuación de la onda:

, y x t A sen kx t

Teniendo en cuenta que2

k

y que

22 f

T

quedaría:

, 2 x

y x t A sen f t

3 1 3, 8 10 2 10 8 10 10 20

0,2

x y x t m sen s t m sen x t

m

Derivando esta ecuación respecto al tiempo, obtenemos la velocidad:

v ( x, t ) = 8 · 10–3 · 20 · · cos (20 · · t − 10 · · x )

Para que la velocidad sea máxima, el coseno debe valer +1 o −1. Por tanto:

V max = 8 · 10–3 · 20 · = 0,16 · m/s

20.- Una onda armónica presenta las siguientes características:

A = 10 cm ; v p r o p a g a c i ó n = 10 m/s ; k = 20 · rad · m–1

Con estos datos, determina:a) La ecuación de onda.

b) La diferencia de fase entre dos puntos separados 80 cm.c) La diferencia de fase entre dos puntos separados 60 cm.

a) La ecuación general de una onda armónica podemos expresarla en laforma:

, y x t A sen kx t

Teniendo en cuenta que2

k

y que

2

T

quedaría:

, 2

x t y x t A sen

T

La longitud de onda se puede calcular a partir del número de onda:

2 2 2=0,1

20k m

k

Por su parte el periodo resulta:

0,1v 0,01

mv10

s

mT T s

Como no se indica nada al respecto, supondremos que la fase inicial es nula.

Así:



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, 0,1 2 0,1 2 10 1000,1 0,01

x t y x t sen sen x t

b) Para dos puntos separados 80 cm, la diferencia de fase resulta:

' '

2 2 20,1 0,01 0,1 0,01 0,1 0,01

x t x t x t

0,1 0,01

x t

' 22 0,8 16

0,1 0,1 0,1

x xrad

Como 16 · es múltiplo de 2 · , podemos afirmar que ambos puntos vibran

en fase.c) Si los dos puntos están separados 60 cm, al sustituir en la expresión

anterior, resulta' 2

2 0,6 120,1 0,1 0,1

x xrad

Del mismo modo que antes, como 12· es múltiplo de 2·, podemos afirmar

que ambos puntos vibran en fase.Estos resultados son perfectamente lógicos, ya que, en cualquier movimientoondulatorio, los puntos que vibran en fase están separados un número enterode longitudes de onda, que en nuestro caso es 10 cm.

21.- En la figura que sigue se representa una onda transversal queviaja en la direcciónpositiva del eje de abscisas:

Sabiendo que la velocidad de propagación es v = 4 m/s, escribe la

ecuación que representa el movimiento de la onda. Determina lavelocidad de vibración del punto situado en x = 4 m, así como su valormáximo.

Para escribir la ecuación de la onda, necesitamos conocer su amplitud, A, superíodo, T , y su longitud de onda, λ. De la figura se deduce:

A = 2 m ; λ = 8 mPor otra parte, teniendo en cuenta la velocidad de propagación de la onda, elperíodo resulta:

8v 2

v4

mT T T s

m

s



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La ecuación general del movimiento armónico simple es:

,2

x t

t x y A sen

T

En este caso, sustituyendo valores, la ecuación de la onda es de la forma:

,2 2

2 8 x t

t x y sen

,2

4 x t

y sen t x

La velocidad de un punto situado a cuatro metros del origen la obtenemosderivando respecto al tiempo la ecuación de la posición y sustituyendovalores:

,v 2 cos 4 x t t x

Sustituyendo en esta expresión el valor x = 4 m, obtenemos la velocidad deese punto:

4,v 2 cos 4 2 cos

4t

mt t

s

El valor máximo se obtiene cuando el coseno vale +1 o −1. En ese caso:

maxv 2 m

s

22.- Las gráficas que siguen muestran el movimiento de una onda:

La primera representa el desplazamiento, y , frente al tiempo, t , endeterminada posición, x . La segunda muestra el desplazamiento, y ,frente a la posición, x , en un instante de tiempo, t .a) Expresa las variables que se indican en función de los parámetrosA , B , C , D : amplitud, longitud de onda, frecuencia y período.b) Calcula la velocidad de propagación de la onda.



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c) Escribe la ecuación de propagación de la onda, sabiendo que setrata de una onda transversal que se propaga en la dirección OX .

a) Para resolver este problema, es preciso entender con claridad el significadode ambas gráficas.

La primera muestra cómo cambia, a medida que transcurre el tiempo, elestado de vibración en que se encuentra una determinada partícula que hasido alcanzada por la perturbación y que se encuentra en una posiciónrelativa, x , que no cambia.La segunda muestra el estado de vibración de distintos puntos alcanzados porla perturbación en un mismo instante. El efecto equivale a una fotografíainstantánea de una zona alcanzada por la perturbación.– Amplitud: Corresponde a la cota D. La amplitud es la máxima separación,desde su posición de equilibrio, de una partícula alcanzada por la vibración.– Longitud de onda: Corresponde a la cota C . La distancia señalada es la quesepara dos puntos que se encuentran en el mismo estado de vibración.

– Período: Corresponde a la cota B. Es el intervalo de tiempo que transcurrepara que un punto alcance de nuevo el mismo estado de vibración.

– Frecuencia: Es la inversa del período: 1

f B

b) La velocidad de propagación de la onda se calcula a partir de la expresión:

8

6

300v 3 10

10

m m

T s s

El resultado que obtenemos es, precisamente, la velocidad de propagación delas ondas electromagnéticas.c) La ecuación general de una onda que se propaga en la dirección OX es:

x

x, 2 t

y t A senT

Sustituyendo los valores que ya conocemos:

6

xx, 2

10 300

t y t D sen

s m

El parámetro D no tiene un valor concreto, porque no se indican valoresnuméricos en la escala de elongaciones. En cuanto a la fase, , esta es nula,porque en el instante inicial (t = 0 s) la elongación en el foco ( x = 0) es nula.

23.- Se hace vibrar una cuerda de 0,5 metros, sujeta por los dosextremos. La cuerda tiene tres nodos y la amplitud de vibración es 1,2cm, siendo la velocidad de propagación de las ondas 100 m/s. Escribela ecuación de la onda estacionaria y calcula la frecuenciafundamental de vibración y la longitud de onda asociada. Al estar sujeta por los extremos, la cuerda tiene dos nodos en los extremos.Como en total hay tres nodos, esto nos permite calcular la frecuencia de lavibración a partir de la longitud de la cuerda, ya que, para una ondaestacionaria con nodos en los extremos:



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2v

2

n f f

l

100

2

m

s

2000,5

Hzm

En nuestro caso, hemos tomado n = 2, pues se empieza a contar por n = 1,situación que corresponde al modo de vibración fundamental, con un nodo encada extremo.El modo n = 2 corresponde a un nodo en cada extremo y otro nodoequidistante de ambos, que es el modo de vibración correspondiente a la ondadel enunciado.La longitud de onda es:

100v

0,5200

m

s m f Hz

La ecuación general de una onda armónica se escribe en la forma:

2 x cos y A sen k t

El número de onda, k, y la frecuencia angular, ω, son:

2 24

0,5

2 2 200 400

rad k

m m

rad f Hz

s

Por tanto, la ecuación de la onda estacionaria resulta:

0,012 4 x cos 400 rad

y m sen t s

24.- El coeficiente de absorción de un determinado medio es 0,5 cm−1.Calcula cuál ha de ser su espesor para que la intensidad de una ondaque lo atraviesa se reduzca a la quinta parte de la incidente.

La unidad S.I. en que se expresa el coeficiente de absorción es m−1. Por tanto:

= 0,5 cm–1 = 50 m–1

La expresión que relaciona la intensidad de la onda incidente, I 0, y la que se

obtiene, I , tras atravesar una distancia, x , de material absorbente es:x

0 I I e

Teniendo en cuenta que:

10 , 505

I I m

Sustituyendo y operando, obtenemos:

150 x 100 1

1 ln1 ln 5ln 50 x x 0,0322 3,22

5 5 50

m I I e m m cm

m



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25.- Una onda armónica transversal de frecuencia f = 2 Hz, longitud deonda = 20 cm y amplitud A = 4 cm, se propaga por una cuerda en elsentido positivo del eje OX . En el instante de tiempo t = 0, la

elongación en el punto x = 0 es y c m .

a ) Expresa matemáticamente la onda y represéntala gráficamente en(t = 0; 0 x 40 cm).b ) Calcula la velocidad de propagación de la onda y determina, enfunción del tiempo, la velocidad de oscilación transversal de lapartícula situada en x = 5 cm.a ) Con los datos que tenemos, hallamos la frecuencia angular y el númerode onda k:

12 2 2 4

2 210

0,2

rad f s

s

rad k

m m

La ecuación de onda será:

00,04 4 10 xrad rad

y m sen t s m

Para hallar el desfase (0) sabemos que a t = 0, x = 0, 0,02 2 y m

Sustituyendo estos valores en la ecuación de la onda:

0 0

0,02 20,02 2 0,04 4 0 10 0

rad rad mm m sen sen

s m

0,04m

2

2

Por lo tanto 0 45º4

rad

Con lo que la ecuación de la onda es:

0,04 4 10 x4

rad rad y m sen t m

s m

Representamos gráficamente la onda para t = 0 y 0 x 0,4 m

Sustituyendo t = 0 0,04 10 x4

rad y m sen m

m

y dádole valores a x se

obtienen los siguientes valores de y



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b ) La velocidad de propagación de la onda es:

1v 0, 2 2 0, 4 m

f m sT s

La velocidad de oscilación transversal se calcula para x = 0,05 m:

x

v 0,04 4 cos 4 10 0,05 0,5cos 4x 4 4cte

dy rad rad rad mm t m t d s m s s

26.- Una partícula de masa m =32 g, unida a un muelle de constanteelástica k = 20 N/m, oscila armónicamente sobre una superficiehorizontal sin rozamiento con una amplitud de 3 cm.a ) Determina, y representa gráficamente, la velocidad de la partículaen función del tiempo.b ) Calcula la energía mecánica de la partícula. ¿Qué fuerza se ejercesobre la masa cuando se encuentra a 1 cm de su posición de

equilibrio?

a ) Calculamos la frecuencia angular del muelle:

2

20

250,032

N

k rad mk mm kg s

La ecuación del MAS que describe la masa es:X = A · sen( · t + 0)



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Como se supone que empieza a contar el tiempo, cuando se suelta la bola

desde la máxima elongación el desfase es 02

rad

, por lo que.

x 0,03 25 0,03 cos 252

rad rad

m sen t m t ms s

La velocidad de la bola vendrá dada por:

xv 0,03 25 25 0,75 25

d rad rad rad mm sen t sen t

dt s s s s

Para representar gráficamente la velocidad, calculamos el período devibración:

2 20,25

25

T srad

s

Los valores que se obtienen de v para3

0, , , , ....4 2 4

T T t T T son :

b ) La energía mecánica es:

22 31 1

20 0,03 9 102 2

m

N E k A m J

m

Cuando la masa se encuentra a 1 cm de la posición de equilibrio, la fuerzarecuperadora que actúa sobre la misma tiene de módulo:

F = k · x = 20 N/m · 0,01 m = 2 N

Y como esta fuerza es de sentido contrario al desplazamiento, 2 r F u N

2 7 . - a ) Un cuerpo de masa m , unido al extremo libre de un muelle,realiza un movimiento armónico simple horizontal (sin rozamiento).

Escribe y justifica las expresiones de lasenergías cinética, potencial y mecánica



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asociadas al mismo. Representa gráficamente dichas energías frente ala elongación.b ) Un cuerpo de masa m = 0,1 kg, unido al extremo libre de de unmuelle horizontal de constante k = 10 N/m, realiza oscilaciones deamplitud A = 8 cm. ¿Con qué velocidad se mueve la masa m cuando la

elongación es 4,8 cm? ¿Para que valor de la elongación coinciden laenergía potencial y la cinética?

a) La ecuación de elongación de unapartícula que escribe un MAS viene dada

por: x = A · sen t + 0

Y la ecuación de velocidad será:

2 2xv cos x

d A t A

dt

En todo instante, la partícula posee una

energía mecánica que será la suma de la energía cinética y la energíapotencial elástica.La energía cinética será:

2 2 2 2 2 21 1 1v cos cos

2 2 2C E m m A t k A t

Y la energía potencial elástica será:

2 2 21 1x x x x x

2 2P

E F dr k i d i k d k k A sen t

Por lo que la energía mecánica será:

2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1

cos cos2 2 2 2m C P E E E k A t k A sen t k A t sen t k A cte

Para todas las posiciones:

2

max max

1

2m C P

E E E k A

La energía cinética es nula en los extremos y máxima en la posición deequilibrio ( x = 0). La energía potencial, al contrario, es nula en x = 0 ymáxima en los extremos. Como la fuerza elástica es una fuerza conservativa,se conserva la energía mecánica y es la misma en todos los puntos de latrayectoria.

b ) Hallemos la frecuencia angular:

2

10

100,1

N

k rad mk mm kg s

La velocidad de m para x = 0,048 mserá:

2 2

2 2

v x

v 10 0,08 0,048 0,64

A

rad mm m

s s



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Para hallar la elongación a la cual coinciden E c y E p las igualamos:

1

2C P

E E k 2 2 1x

2 A k 2 2 2x 2 x A

Por lo tanto:

2 0,08x 0,056

2 2 2

A A mm

28.- Una partícula de 0,2 kg describe un movimiento armónico simplea lo largo del eje x, de frecuencia 20 Hz. En el instante inicial lapartícula pasa por el origen, moviéndose hacia la derecha, y suvelocidad es máxima. En otro instante de la oscilación la energíacinética es 0,2 J y la energía potencial es 0,6 J.a) Escriba la ecuación de movimiento de la partícula y calcule su

aceleración máxima.b) Explique, con ayuda de una gráfica, los cambios de energía cinéticay de energía potencial durante una oscilación.

m = 0,2 kg f = 20 Hza) Si la oscilación comienza en la posición de equilibrio hacia elongacionespositivas, debe cumplirse que x0 = 0 cuando t = 0. En este caso, la forma mássencilla de representar el movimiento es x = A s e n ωt (1) calculamos la

frecuencia angular ω = 2 ⋅ ⋅ f = 40 rad / s

como conocemos la energía mecánica 0,2 0,6 0,8m C P E E E J J J

para calcular la amplitud, necesito conocer la constante elástica del resorte K2

2

20,2 40 3158, 27 3158,27

rad kg N k m kg

s s m

en la ecuación de la energía mecánica 21

2m E kA despejamos la amplitud

2 2 0,80,0225

3158,27

m E J

A m N k

n

sustituyendo en (1), obtenemos la ecuación de movimiento de la partícula

x 0,0225 40 rad

m sen t ms

para calcular la aceleración máxima2

2

max 240 0,0225 355,3

rad ma A m

s s



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La energía cinética y la potencial varían de forma conjunta, mientras que la

mecánica permanece constante.La energía cinética es nula en los extremos de la trayectoria y máxima en elpunto de equilibrio.La energía potencial es máxima en los extremos de la trayectoria y nula en elpunto de equilibrio.

29.- La ecuación de una onda armónica en una cuerda tensa es:y (x,t) = A sen (ωt – kx)

a) Indique el significado de las magnitudes que aparecen en dichaexpresión.b) Escriba la ecuación de otra onda que se propague en la mismacuerda en sentido opuesto, de amplitud mitad y frecuencia doble quela anterior.

y (x,t) = A sen (ωt – kx)a) La perturbación que se propaga en forma de onda armónica, es producidapor un oscilador armónico, por lo tanto:y es la elongación, en el instante t, de unpunto del medio que está a una distancia x(dirección de propagación) del origen(punto donde se inicia el movimientoondulatorio).A es la máxima elongación.ω es la frecuencia angular del osciladorarmónico que genera el movimientoondulatorio.K es el número de onda que se define como

el número de longitudes de onda que hay en una distancia 2.

b) '2

A A ' 2 f f como 2 f implica que ' 2

al desplazarse por la misma cuerda (suponemos que con la misma tensión T),

lo hace con la misma velocidad de propagación v

T

ya que es la



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densidad lineal de la cuerda, así podemos calcular la relación entre las

longitudes de ondav v

'' 2 2 f f

y también entre los números de onda

2 2 2' 2 2'

2

k k

la nueva ecuación es: y’(x,t) = A’sen (ω’t + k’x) en

la que ha cambiado el signo del ángulo porque lo ha hecho el sentido en el quese desplaza la onda.Sustituyendo los nuevos parámetros por su relación con los anteriores

' x, 2 2 x2

A y t sen t k

30.- La ecuación de una onda que se propaga por una cuerda tensa es:

y (x,t) = 0,05 sen (25 t – 2 x) (S.I.)

a) Explique de qué tipo de onda se trata y en qué sentido se propaga eindique cuáles son su amplitud, frecuencia y longitud de onda.b) Calcule la velocidad de propagación de la onda y la velocidad delpunto x = 0 de la cuerda en el instante t = 1 s y explique el significadode cada una de ellas.

y (x,t) = 0,05 sen (25 t – 2 x)

a) La ecuación es del tipo y (x,t) = A sen ( t – k x) se trata de una ondaarmónica que se desplaza hacia la derecha.Por comparación de las dos ecuaciones, podemos decir que la amplitud es A =

0,05m, la frecuencia angular es ω = 25 rad/s y que el número de onda es K

= 2 m–1

, por lo tanto1

12512,5

2 2

s f s

y 1

2 21

2m

k m

b) La velocidad de propagación es la velocidad constante con la que sedesplaza la perturbación por el medio, en este caso, la cuerda. Se calculamediante la expresión

1v 1 12,5 12,5m

f m ss

Al desplazarse la onda por una cuerda, suponemos que es una ondatransversal, por lo tanto la velocidad de vibración de un punto de la cuerda es

perpendicular a la dirección de propagación y se calcula mediante la siguienteexpresión

v 0,05 25 cos 25 2 x 3,93 cos 25 2 xdy m

t t dt s

en el caso de que x = 0 y t = 1 s obtenemos

v 3,93 cos 25 3,93m

s

31.- Una partícula describe un movimiento armónico simple deamplitud A y frecuencia f .a) Represente en un gráfico la posición, la velocidad y la aceleración

de la partícula en función del tiempo y comente sus características.



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b) Explique cómo varían la amplitud, la frecuencia del movimiento y laenergía mecánica de la partícula al duplicar el periodo de oscilación.

a) Suponiendo que en el instante inicial la partícula pasa por el origen, lasecuaciones que hay que representar son las siguientes:

2x vx v cos

d d A sen t A t a A sen t

dt dt

la velocidad es máxima en el punto de equilibrio y nula en los extremos y laaceleración es máxima en los extremos y nula en el centro.b) Si T’ = 2T la amplitud no cambia porque no depende del periodo A’ = A

como1 1

'' 2 2

f f

T T la frecuencia se reduce a la mitad.

La frecuencia angular ' 2 ' 22 2

f f

también se reduce a la mitad y por

lo tanto, cambia la constante elástica del resorte2 2

2' '2 4 4

m k k m m

sustituimos estos resultados en la ecuación de la energía mecánica

que como vemos se ha reducido a la cuarta parte.

' 2 21 1' '

2 2 4 4

mm

E k E k A A

32.- La ecuación de una onda en una cuerda es:

y (x,t) = 0,4sen12 x · cos40 t (S.I.)a) Explique las características de la onda y calcule su periodo, longitudde onda y velocidad de propagación.b) Determine la distancia entre dos puntos consecutivos con amplitudcero.

y (x,t) = 0,4sen12x · cos40t (S.I.)a) Es una onda estacionaria porque su ecuación es del tipo

y (x,t) = (2Asenkx) · costcomparando ambas ecuaciones obtenemos:



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1

1

2 240 como 0,05

40

2 2

12 como 0,16612

rad T s

rad s

s

k m mk m

no tiene velocidad de propagación porque una onda estacionaria no sepropaga, la perturbación queda confinada entre los nodos.

b) Si representamos una cuerda atada por los dos extremos, en la que seforma una onda estacionaria

vemos que la distancia existente entre dos nodos es

x 0,0832

m

33.- Un bloque de 1 kg, apoyado sobre una mesa horizontal y unido aun resorte, realiza un movimiento armónico simple de 0,1 m deamplitud. En el instante inicial su energía cinética es máxima y suvalor es 0,5 J.a) Calcule la constante elástica del resorte y el periodo delmovimiento.

b) Escriba la ecuación del movimiento del bloque, razonando cómoobtiene el valor de cada una de las variables que intervienen en ella.

a) El valor de la energía cinética viene dado por 21

2C E k A . Por tanto:

2

22

21 2 0,5100

2 0,1

C C

E J N E k A k

A mm

2 2 22 2

2

2 4 4k m m m T m

T T k

2 24 41 0,63

100

T m kg s N k

m

b) La ecuación el movimiento para un MAS es x = A · sen · t.Conocemos la amplitud y:

2 2

100

101

N

k k rad mk mm m kg s

Con lo que la ecuación queda: x = 0,1 · sen 10 · t



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34.- a) Explique qué magnitudes describen las periodicidades espacialy temporal de una onda e indique si están relacionadas entre sí.b) Razone qué tipo de movimiento efectúan los puntos de una cuerdapor la que se propaga una onda armónica.

a) En cualquier onda periódica se da una doble periodicidad: en el espacio y enel tiempo.Si se representa la onda en función de la dirección de propagación se ve que ladistancia entre dos puntos consecutivos con idéntico estado de perturbación(Idéntica fase) es constante y se llama longitud de onda, .Si se representa la perturbación de un punto alcanzado por la onda en funcióndel tiempo se observa que cada cierto tiempo igual (período T) el punto tieneidéntico estado de perturbación (idéntica fase).Son por tanto la longitud de onda y el periodo T las magnitudes quedescriben la periodicidad espacial y temporal respectivamente.La relación entre ambas es la velocidad de propagación de la perturbación:

vT

b) Los puntos de una cuerda por la que se propaga una onda armónica oscilanalrededor de su posición de equilibrio perpendicularmente al avance de laperturbación. Esa oscilación es característica de un MAS.

35.- a) Razone qué características deben tener dos ondas, que sepropagan por una cuerda tensa con sus dos extremos fijos, para quesu superposición origine una onda estacionaria.b) Explique qué valores de la longitud de onda pueden darse si la

longitud de la cuerda es L.

a) Las ondas estacionarias se producen cuando se superponen dos ondasiguales que se propagan en el mismo medio en sentidos opuestos. Susecuaciones serán:

1

1 2

2

x

x

x x 2 c o s x

y A s e n t k y y y

y A s e n t k

y A s e n t k s e n t k y A s e n t k

r

= 2 Ac os kx s e n ωt = A s e n ωt

Esta es la ecuación de una onda estacionaria, en ella se observa que:a) La amplitud de la onda resultante es función de x , de modo quedeterminados puntos oscilan con amplitud máxima y otros que no oscilan.1) Los puntos que oscilan con amplitud máxima se llaman vientres o antinodosy son aquellos en los que Ar = ± 2 A, lo que implica que

2 xcos x 1 xk k n n

λ λ

x = n = 2 n

2 4 n = 0, 1, 2, 3,…Los vientres están situados en los puntos que cumplen esta condición. Ladistancia entre dos vientres consecutivos es media longitud de onda:

1 2x 2 ;x 44 4

2 1

λ

x - x =

2



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2) Los puntos que no oscilan nunca se llaman nodos y son aquellos en los queAr = 0, lo que implica que

2 x

cos x 0 x 2 1 2 12 2

k k n n

λ

x = 2 n 1

4

n = 0, 1, 2, 3,…Los nodos están situados en los puntos que cumplen esta condición. Ladistancia entre dos nodos consecutivos es media longitud de onda:

1 2x 1 ; x 34 4

2 1

λ

x - x =

2 b) Si la cuerda está fija por ambos extremos, los extremos fijos son nodos,puesto que no oscilan, por lo que la condición que de ben cumplir es que ladistancia entre ellos sea un número entero de semilongitudes de onda. Si es Lla longitud de la cuerda:

2

2

L L n

n

donde n = 1, 2, 3,…

Dando valores a n obtenemos las posibles longitudes de onda que dan lugar aondas estacionarias:

1 2 3

2 2 2 2; ; ;...

1 2 3 n

L L L L

n

36.- a) Escriba la ecuación de un movimiento armónico simple yexplique el significado físico de cada una de las variables queaparecen en ella.b) ¿Cómo cambiarían las variables de dicha ecuación si se duplicaranel periodo del movimiento y la energía mecánica de la partícula?

a) La ecuación de un MAS es x = A sen (t + 0)

x es la posición del móvil en función del tiempo (elongación).A es la amplitud y representa el máximo o mínimo valor de la elongación “x”

es la frecuencia angular.

(t + 0) representa la fase y 0 es la fase inicial.

b) Si se duplica el periodo T se modificaría la frecuencia angular, ya que

2 2 1' '

' 2 2T T

se haría la mitad

La energía mecánica dela partícula es2 2 21 1

2 2m E k A m A

2

2 2 2 2 21 1 1 1 1' ' ' 2 ' 2 '

2 2 2 2 4m m m

E m A E m A E m A

Dividiendo miembro a miembro:



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2 m E

1

2m 21

4 2

'

m

A

E

1

2m 2

22

22

1 ' ' '2 8 8

4

A A A

A A A A

A

A =

8

37.- La ecuación de una onda que se propaga por una cuerda tensa esy (x, t) = 0,03 sen (2t – 3x) (S.I.)

a) Explique de qué tipo de onda se trata, en qué sentido se propaga ycalcule el valor de la elongación en x = 0,1 m para t = 0,2 s.b) Determine la velocidad máxima de las partículas de la cuerda y lavelocidad de propagación de la onda.

a) Sustituyendo los valores de x y t en la ecuación de la onda:y (x, t) = 0,03 sen (2 · 0,2 – 3 · 0,1) = 0,03 sen (0,1) = 0,003 m

Téngase en cuenta que el seno está expresado en radianes

b) Para ver la velocidad d las partículas derivamos la ecuación de onda:

1yv 0,03 2 cos 2 3x

d m s t

dt

El valor máximo de la velocidad de oscilación se alcanza para los valores decos = ±1 De lo que deducimos que dicha velocidad será: v = 0,06 m/sPara calcyular la velocidad de propagación de la onda:

2

vT

2

k

2

0,6

3

rad

msrad k s

m

38.- Por una cuerda tensa se propaga la onday (x, t) = 8·10–2 cos (0,5x) sen (50t) (S.I.)

a) Indique las características de la onda y calcule la distancia entre el2º y el 5º nodo.b) Explique las características de las ondas cuya superposición daríalugar a esa onda, escriba sus ecuaciones y calcule su velocidad depropagación.

a) Es una onda estacionaria del tipo y (x, t) = Ar sen (t)En la que Ar = 8·10–2 cos (0,5x) k = 0,5 m–1 y = 50 rad/sLos nodos son los puntos de amplitud Ar = 0 lo que se cumplirá cuando:

0,5 · x = 0, , 2, 3…n x = 0, 2, 4, 6…2n En el primer nodo x = 0, en el segundo x = 2, en el quinto x = 8

La diferencia 8 – 2 = 6 Por lo que la diferencia será d = 18,85 m

b) Las ondas tienen que ser iguales y de sentidos contrarios:



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1

1 2

2

2

2

x

x

4 1 0 5 0 0 , 5 x 5 0 0 , 5 x

2 4 1 0 c o s 0 , 5 x 5 0

y A s e n t k y y y

y A s e n t k

y s e n t s e n t

y s e n t

- 2

- 2

4 × 1 0 × s e n 5 0 t - 0 , 5 x

4 × 1 0 × s e n 5 0 t 0 , 5 x

La velocidad de propagación de ambas ondas serán iguales y de sentidocontrario:

2

vT

2

k

50

100

0,5

rad

msrad k s

m

La velocidad de una onda será 100 m/s y la de la otra –100m/s

39.- Una onda armónica se propaga de derecha a izquierda por unacuerda con una velocidad de 8 m·s–1. Su periodo es de 0,5 s y suamplitud es de 0,3 m.a) Escriba la ecuación de la onda, razonando cómo obtiene el valor decada una de las variables que intervienen en ella.b) Calcule la velocidad de una partícula de la cuerda situada en x = 2m, en el instante t = 1 s.

a) La ecuación será del tipo y (x,t) = A sen ( t + k x)A es la amplitud y es un dato del problema A = 0,3 m

es la frecuencia angular y se relaciona con el periodo de manera que2 2

40,5

sT s

K Es el número de que hay en una longitud de 2. Así,2

k

, se mide en rad/m.

2 2 2

8

k mv T

s

0,5 s 2

rad

m

Con lo que la ecuación de la onda queda: 0,3 4 x2

y sen t

b) Para calcular la velocidad de la partícula en la posición y el instante pedido:

1

1

yv 0,03 4 cos 4 x

2

v 0,3 4 cos 4 1 2 3, 772

d m s t

dt

mm s

s

40.- Un niño grita frente a una montaña y oye el eco de su voz 10 sdespués.a) ¿A qué distancia se encuentra la montaña?



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b) Si la frecuencia de las ondas sonoras es 1 kHz¿Cuánto vale su longitud de onda?Dato: Velocidad de propagación del sonido en el aire: 340 m/s.a) Como tarda 10 s en escuchar el eco de su voz, y el sonido tiene que ir yvolver, tardará 5 s en llegar desde el niño a la montaña. La distancia a la que

se encuentra es:d = v · t = 340 m/s · 5 s = 1700 mb) La velocidad de propagación de las ondas es: v = · f

Despejando la longitud de onda:

340v

0,341000

m

s m f Hz

41.- Explica en qué puntos la velocidad y la aceleración de un MAS(movimiento armónico simple) adquieren su valor máximo.Las ecuaciones del MAS son:

x = A sen (t + 0)

v =dt

dx= A cos (t + 0)

a =vd

dt = – A 2

sen (t + 0)

Si representamos la variación de estos valores, tenemos:

En los extremos la velocidad se anula y en la posición de equilibrio ( x = 0) lavelocidad toma sus valores máximo y mínimo, que son iguales en valorabsoluto. De 0 a A va disminuyendo, de A a 0 sigue disminuyendo hasta suvalor mínimo. De 0 a – A empieza a aumentar y de – A a 0 sigue aumentandohasta su valor máximo.La aceleración y la elongación varían de forma contraria; en la posición de

equilibrio x

= 0 ya

= 0, pero cuando x

es máximaa

es mínima y viceversa.

42.- Un cuerpo de masa m está suspendido de un muelle de constanteelástica k. Se tira verticalmente del cuerpo desplazando éste unadistancia x respecto de su posición de equilibrio, y se le deja oscilarlibremente.Si en las mismas condiciones del caso anterior el desplazamientohubiese sido 2x, deduzca la relación que existe, en ambos casos,entre:a) Las velocidades máximas del cuerpo.b) Las energías mecánicas del sistema oscilante.



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problemas de física bloque 2 vibraciones y ondas solucionados

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