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Agustín Martín DomingoApuntes de

vibraciones y ondas

Agustín Martín Domingo

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Agustín Martín DomingoCopyright

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Primera edición 2007, Vibraciones y Ondas I: Oscilaciones mecánicas, 2008, Vibraciones y Ondas II: Movimientoondulatorio, Instituto Juan de Herrera, ETS Arquitectura de Madrid.

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Agustín Martín DomingoIndice

1. Cinemática del movimiento oscilatorio 11.1. El movimiento armónico simple (M.A.S.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Valor medio, valor eficaz y otros valores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. La notación vectorial compleja del movimiento armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4. Superposición de movimientos armónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4.1. Superposición de movimientos armónicos en la misma dirección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.2. Superposición de movimientos armónicos perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Vibraciones mecánicas 112.1. Grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. El oscilador armónico libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.1. La ecuación diferencial del oscilador armónico libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.2. Energía del oscilador armónico libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.3. El péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.4. El péndulo compuesto o péndulo físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.5. El péndulo de torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3. El oscilador amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4. El oscilador forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.1. Ecuación diferencial del oscilador forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4.2. La solución permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5. Resonancia paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6. Aislamiento de vibraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3. Sistemas con múltiples grados de libertad. 293.1. Modos normales de vibración en un sistema con dos grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.1. Sistema formado por dos masas acopladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.1.2. Análisis del sistema de dos masas acopladas mediante el círculo de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.1.3. El atenuador dinámico de vibraciones sin amortiguamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2. Sistemas de n grados de libertad sin amortiguamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4. Movimiento ondulatorio 374.1. Concepto de onda que se propaga. Frente de onda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2. Descripción matemática de la propagación para una onda plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.3. La ecuación de ondas para las ondas planas en una dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3.1. Análisis de Fourier de una función periódica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3.2. Propagación de una onda armónica plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.4. Propagación de ondas transversales en una cuerda tensa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.4.1. Ecuación de onda y velocidad de propagación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.4.2. Energía de una cuerda vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.5. Propagación de ondas transversales en una membrana tensa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.5.1. La ecuación de onda para una membrana tensa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.5.2. Solución de ondas planas en coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.5.3. Solución en coordenadas polares planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.6. Propagación de ondas mecánicas en sólidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.6.1. Propagación de una onda mecánica en un sólido elástico isótropo e ilimitado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.6.2. Propagación de ondas elásticas longitudinales planas en una barra fina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.7. Propagación de ondas mecánicas en fluidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.7.1. La ecuación de ondas para un fluido no viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.7.2. Energía de un fluido sometido a una onda de presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.7.3. Velocidad del sonido en los fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.7.4. Ondas planas longitudinales de presión en una columna de gas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.7.5. Ondas esféricas de presión en un fluido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.7.6. Ondas superficiales en un líquido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.8. Ondas electromagnéticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.8.1. Ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.8.2. Ondas planas armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.8.3. Energía de una onda electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.8.4. Intensidad de una onda electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.8.5. El vector de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.9. Velocidad de grupo y velocidad de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.10. El efecto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

I

Agustín Martín DomingoII Indice

4.10.1. El efecto Doppler en una dimensión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.10.2. El efecto Doppler en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.10.3. Ondas de choque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.11. Reflexión, refracción y difracción de una onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.11.1. El principio de Huygens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.11.2. Reflexión y refracción en una superficie plana de separación entre dos medios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.11.3. Difracción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5. Ondas estacionarias 775.1. Ondas estacionarias en una cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.1.1. Condiciones en los extremos de una cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.1.2. Ondas estacionarias en una cuerda fija a un extremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.1.3. Ondas estacionarias en una cuerda fija a ambos extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.2. Ondas estacionarias en una columna de aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.3. Ondas estacionarias en una membrana tensa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.3.1. Ondas estacionarias en una membrana rectangular fija en sus bordes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.3.2. Ondas estacionarias en una membrana circular de radio R fija en sus bordes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.4. Ondas estacionarias de presión en una caja rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Indice alfabético 91

Referencias 95

Agustín Martín DomingoCapítulo 1

Cinemática del movimiento oscilatorio

Índice del capítulo1.1. El movimiento armónico simple (M.A.S.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Valor medio, valor eficaz y otros valores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. La notación vectorial compleja del movimiento armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4. Superposición de movimientos armónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4.1. Superposición de movimientos armónicos en la misma dirección . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4.2. Superposición de movimientos armónicos perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1. El movimiento armónico simple (M.A.S.)

Denominaremos oscilación a un movimiento que se produce en torno a una posición de equilibrio con pasos sucesivosen torno a la misma. Habitualmente denominaremos vibración a un movimiento periódico, es decir, un movimiento quese repite en todos los detalles después de transcurrido un cierto intervalo de tiempo al que se denomina precisamenteperiodo. Un movimiento periódico puede ser en general complicado, como se muestra en la figura 1–1

T

t

t

Des

plaz

amie

nto

Figura 1–1 Movimiento periódico y movimiento armónico de un mismo periodo.

El movimiento armónico simple es el caso más sencillo de movimiento periódico. Decimos que una partícula que semueve a lo largo del eje Ox describe un movimiento armónico simple cuando su desplazamiento x respecto del origendel sistema de coordenadas viene dado por una relación del tipo

x = A sen(ωt± α) o x = A cos(ωt± α) (1–1)

donde ωt + α es la fase total del movimiento, siendo α la fase inicial o ángulo de fase, es decir el valor de la fasepara el instante t = 0. Como se ve en la figura 1–2, debido a la presencia de este ángulo de fase los dos movimientos

1

Agustín Martín Domingo2 Capítulo 1. Cinemática del movimiento oscilatorio

x

ωtα

A sen(ωt)A sen(ωt+ α)

Figura 1–2 Movimientos armónicos simples con distintas fases.

armónicos de la misma frecuencia angular ω no alcanzan sus máximos al mismo tiempo, sino que uno de ellos loalcanza un tiempo α/ω más tarde. Este ángulo de fase tiene su principal significado cuando ambos movimientostienen la misma frecuencia y por tanto la diferencia de fase se mantiene constante. Podríamos haber utilizado unafunción coseno en la expresión anterior, la única diferencia habría sido una fase adicional de π/2. Como tanto lafunción seno como la función coseno varían entre ±1, el máximo desplazamiento que tiene lugar en el movimientoserá x = ±A. Así, A es el máximo desplazamiento a partir del origen y le denominamos amplitud del movimiento.Al representarse mediante una función seno o coseno, el desplazamiento se repite cada vez que el ángulo de fase varíaen 2π, de modo que cada vez que el tiempo cambia en T = 2π/ω el movimiento se repite exactamente. Por tanto, elmovimiento armónico es un movimiento periódico de periodo T = 2π/ω. La frecuencia del movimiento armónico esigual al número de oscilaciones completas que tienen lugar en la unidad de tiempo, ν = 1/T y se mide en ciclos porsegundo (Hertzios) o en maquinaria, en revoluciones por minuto (r.p.m.). Se denomina a ω frecuencia angular de laoscilación y representa la velocidad de cambio de la fase total ωt + α. De esta forma, la relación entre la frecuenciaangular, el periodo y la frecuencia está dada por

ω =2π

T= 2πν. (1–2)

0 π 2π 3π 4π 5π 6π

x = A senωt

v(t)

a(t)

wt (rad/s)

ta < tv < tx

Figura 1–3 Desplazamiento, velocidad y aceleración del movimiento armónico en función de la fase total ωt + α.

Para determinar la velocidad en un instante determinado únicamente es necesario derivar la expresión (1–1), obtenién-dose

v(t) =dx

dt= ωA cos(ωt+ α) (1–3)

y para la aceleración

a(t) =dv

dt=

d2x

dt2= −ω2A sen(ωt+ α) = −ω2x, (1–4)

Agustín Martín Domingo1.2. Valor medio, valor eficaz y otros valores 3

donde se ve que en un movimiento armónico simple, la aceleración es proporcional y opuesta al desplazamiento. Enla figura 1–3 se ven las fases relativas de x, v y a en función del tiempo.

1.2. Valor medio, valor eficaz y otros valores

Además de a través de la propia función que describe el movimiento, en la práctica se utilizan otras formas de expresaralgunas de las características de esa función,

Valor de pico de una función: El que da la máxima desviación de la posición de equilibrio en un elemento queoscila. Para una función armónica del tipo x = A senωt es simplemente la amplitud A.

Valor pico a pico de una función: El que da el recorrido máximo de un elemento que oscila. Para un movimientodescrito por una función armónica es 2A, el doble de la amplitud.

Valor medio de una función: Se define el valor medio de una función x(t) en un periodo (o en general en un ciertointervalo de tiempo T ) como

xmedio =1

T

∫ T

0

x(t)dt. (1–5)

Obviamente el valor medio de una función armónica en un periodo es cero.

Valor eficaz o cuadrático medio de una función: Se define el valor eficaz o valor cuadrático medio de una funciónx(t) en un periodo (o en general en un cierto intervalo de tiempo T ) como la raíz cuadrada del valor medio desu cuadrado, es decir,

xef =

√

1

T

∫ T

0

x2(t)dt. (1–6)

El valor eficaz es quizás el parámetro más significativo, ya que está directamente relacionado con la energía.También se le denomina valor rms† de la función. Para una función armónica resulta ser el valor de pico Adividido por

√2.

Valor medio rectificado de una función: Se define como

xmr =1

T

∫ T

0

|x(t)|dt (1–7)

y es, para una función armónica el valor de pico A multiplicado por 2/π.

1.3. La notación vectorial compleja del movimiento armónico

Una forma muy interesante de representar un movimiento oscilatorio es a través de un vector que rota en el planocomplejo. Antes de presentar esto, recordemos que un vector complejo expresado en forma módulo argumental estárelacionado con el mismo vector expresado explícitamente a través de la ecuación de Euler,

Aeiθ = A(cos θ + i sen θ)Ae−iθ = A(cos θ − i sen θ) (1–8)

donde i =√−1. Consideremos en concreto el vector complejo

x = Aei(ωt+α). (1–9)en el plano imaginario (véase la figura 1–4). Este vector gira en el plano complejo con una velocidad angular constanteω en el sentido antihorario, formando en el instante inicial t = 0 un ánguloα con la horizontal o eje real. La proyecciónhorizontal de este vector puede escribirse como

A cos(ωt+ α)

†del inglés root mean square


y representa la parte real del vector complejo. La proyección vertical del vector es

A sen(ωt+ α)

y representa su parte compleja. Es precisamente esta representación la que ha dado el nombre de frecuencia angular ala magnitud ω.

Si el desplazamiento viene dado por la parte real de (1–9), la velocidad vendrá dada por la parte real de su derivada

v(t) =dx

dt= iωAei(ωt+α) ⇒ v(t) = −Aω sen(ωt+ α). (1–10)

Asimismo, la aceleración será la parte real de la segunda derivada de (1–9)

a(t) =dv

dt=

d2x

dt2= −ω2Aei(ωt+α) ⇒ a(t) = −Aω2 cos(ωt+ α) = −ω2x. (1–11)

Si se tiene en cuenta que multiplicar un número complejo por i = eπ/2 implica un adelanto de fase de π/2 en elplano complejo, el desplazamiento, la velocidad y la aceleración pueden representarse gráficamente como se ve en lafigura 1–4 de forma que, al igual que ocurría en la figura 1–3, para un movimiento armónico simple la aceleración

x

v a

A

Aω

Aω2

ω

ωt+ α

Figura 1–4 Desplazamiento, velocidad y aceleración del movimiento armónico representadas en notación compleja

alcanza primero su máximo, luego la velocidad y finalmente el desplazamiento.

Esta representación es muy útil ya que es más sencillo derivar y combinar exponenciales. Asimismo. permite abordaralgunos problemas mediante operaciones vectoriales simples.

1.4. Superposición de movimientos armónicos

1.4.1. Superposición de movimientos armónicos en la misma dirección

Igual dirección e igual frecuencia

Consideremos la superposición de dos movimientos armónicos simples de distintas amplitudes, pero igual dirección yfrecuencia. El desplazamiento de la partícula producido por cada uno de los movimientos armónicos será†

x1 = A1ei(ωt+α1) ⇒ x1 = A1 cos(ωt+ α1)x2 = A2ei(ωt+α2) ⇒ x2 = A2 cos(ωt+ α2)

†También podríamos haber expresado el desplazamiento como x(t) = Aeiωt + Be−iωt, con A y B complejos conjugados.

Agustín Martín Domingo1.4. Superposición de movimientos armónicos 5

tanto en notación compleja como en notación real. La superposición de los dos movimientos dará el desplazamientoresultante de la partícula, dado en forma real por

x = x1 + x2 = A1 cos(ωt+ α1) +A2 cos(ωt+ α2) = A cos(ωt+ α)

aunque es más sencillo expresarlo en forma compleja,

x = x1 + x2 = A1ei(ωt+α1) +A2ei(ωt+α2) = eiωt[

A1eiα1 +A2eiα2]

= Aei(ωt+α) (1–12)

que es un movimiento armónico de la misma frecuencia que los dos movimientos armónicos que se componen, perode distinta amplitud y en general de distinta fase, que se representa en la figura 1–5, donde se ha eliminado el término

Parte real

Parte imaginaria

α

α1

α2

x

x1

x2

A1 cosα1 +A2 cosα2

A1senα1+A

2senα2

Figura 1–5 Superposición de dos movimientos armónicos de igual dirección y frecuencia. En la figura se representa la suma compleja de ambos.Se ha eliminado el término de la exponencial compleja de iωt, que supone una rotación de todos los vectores con frecuencia angular ω.

eiωt que supone una rotación de los distintos vectores con frecuencia angular ω. A partir de la aritmética de loscomplejos, o gráficamente, a través de la figura, se obtiene que el cuadrado de la amplitud viene dado por

A2 = [A1 cosα1 +A2 cosα2]2 + [A1 senα1 +A2 senα2]

2 = A21 +A22 + 2A1A2 cos δ

con δ = α1 − α2 la diferencia de fases entre los dos movimientos, mientras que la fase será

tanα =A1 senα1 +A2 senα2A1 cosα1 +A2 cosα2

Igual dirección pero distinta frecuencia.

En este caso, la situación es más compleja y el movimiento resultante no es armónico simple. Los movimientosarmónicos a componer son

x1 = A1ei(ω1t+α1)x2 = A2ei(ω2t+α2)

Cuando se tienen movimientos superpuestos de distintas frecuencias, la fase de cada uno de ellos pierde su significadoya que la diferencia de fase entre los dos movimientos depende del instante de tiempo en el que se analice, como severá a continuación. Por este motivo consideraremos nulas las dos fases de los movimientos iniciales en este caso dedistintas frecuencias lo que nos simplificará las expresiones.

Para estudiar este problema escribamos ω1 =ω1 + ω2

2+

ω1 − ω22

y ω2 =ω1 + ω2

2− ω1 − ω2

2. En función de las

sumas y las diferencias la resultante de la superposición de los dos movimientos queda en la forma

x = x1 + x2 =

[

A1eiω

1−ω

2

2 t +A2e−iω

1−ω

2

2 t]

eiω

1+ω

2

2 t. (1–13)


La amplitud del movimiento resultante viene dada por la raíz de

A2 =

[

A1 cos

(ω1 − ω2

2t

)

+A2 cos

(ω1 − ω2

2t

)]2

+

[

A1 sen

(ω1 − ω2

2t

)

−A2 sen(ω1 − ω2

2t

)]2

=

A21 +A22 + 2A1A2 cos[(ω1 − ω2)t]

(1–14)

El movimiento parecería ser una oscilación de frecuencia angular (ω1 + ω2)/2 y amplitud dada por (1–14), pero la

fase resultante también contiene una dependencia temporal, que en cada instante vendría dada, respecto deeiωt por

tan γtot(t) =A1 sen

ω1 − ω22

t−2 senω1 − ω2

2t

A1 cosω1 − ω2

2t+A2 cos

ω1 − ω22

t=

A1 −A2A1 +A2

·sen

ω1 − ω22

t

cosω1 − ω2

2t=

A1 −A2A1 +A2

tanω1 − ω2

2t (1–15)

por lo que la frecuencia angular no será realmente (ω1 + ω2)/2, sino que irá cambiando con el tiempo como corres-ponde a la solución

x = A(t)eiγtot(t)eiω

1+ω

2

2 t (1–16)

y el movimiento no será armónico simple.

Como se ve, a pesar de todo, el cuadrado de la amplitud sí varía con el tiempo de forma armónica en torno a un valor√A21 +A

22, en lo que se denominan pulsaciones. Esta variación se puede observar en la figura 1–7 para ω1 ≃ ω2.

Cuando las frecuencias son distintas, el ángulo entre los dos vectores varía con el tiempo, de forma que cuando tienenla misma dirección y sentido la amplitud es A1 + A2 mientras que cuando tienen la misma dirección pero distintosentido la amplitud es |A1 −A2|. Así, se observa un movimiento resultante cuya amplitud varía con una frecuenciaigual a la diferencia de las frecuencias, aunque a menudo esto no se aprecia bien en el movimiento resultante.

Un caso particular interesante se tiene cuando las dos frecuencias están próximas entre sí. En este caso γtot(t) varíamuy lentamente frente a (ω1 + ω2)/2 y puede considerarse constante a lo largo de unos cuantos periodos. En estascondiciones, el movimiento resultante puede describirse de forma aproximada como un movimiento armónico defrecuencia angular ω = (ω1 + ω2)/2 ≃ ω1 ≃ ω2 cuya amplitud varía lentamente entre A1 + A2 y A1 − A2 con

Parte real

Parte imaginaria

ω1 − ω22

−ω1 − ω22

γtot(t)x

x1

x2

A1 cosω1 − ω2

2t

A2 cosω1 − ω2

2t

A1 cosω1 − ω2

2t+A2 cos

ω1 − ω22

t

A1 senω1 − ω2

2t

A2 senω1 − ω2

2t

A1 senω1 − ω2

2t−A2 sen

ω1 − ω22

t

Figura 1–6 Superposición de dos movimientos armónicos de igual dirección y distinta frecuencia. En la figura se representa la suma compleja deambos. En este caso no es posible sacar factor común la exponencial compleja, y sólo es posible sacar una expresión sencilla para la envolvente de

la amplitud. En esta representación se ha descontado la rotación con frecuencia angular ω =ω1+ω

2

2dada por la exponencial compleja de iωt.


0

0

50

50

100

100

150

150

200

200

250

250

300

300

Figura 1–7 Pulsaciones resultantes de la composición de dos movimientos armónicos simples de frecuencias distintas pero próximas.

una frecuencia angular ω1 − ω2, como en el caso que se muestra en la parte superior de la figura 1–7. Se dice que seproducen pulsaciones.

Otro caso interesante se tiene cuando las dos amplitudes son iguales, tanto si ω1 ≃ ω2 como si no. En este casotan γtot(t) = 0 y la oscilación de la amplitud es entre 0 y 2A, como se muestra en la parte inferior de la figura 1–7.La superposición de las dos oscilaciones es ahora, a partir de la ecuación (1–13)

x = x1 + x2 =

[

Aeiω

1−ω

2

2 t +Ae−iω

1−ω

2

2 t]

eiω

1+ω

2

2 t.

que queda como

x = x1 + x2 = 2A cos

(ω1 − ω2

2t

)

eiω

1+ω

2

2 t.

La parte real de la ecuación anterior se escribe como

x =

[

2A cos

(ω1 − ω2

2t

)

cos

(ω1 + ω2

2t

)]

(1–17)

obteniéndose también pulsaciones. Se denomina frecuencia de las pulsaciones al número de veces por unidad detiempo que el desplazamiento total pasa de un mínimo al siguiente mínimo a través de un máximo. El periodo de lapulsación será obviamente el tiempo en el que la amplitud recorre un ciclo completo.

El fenómeno de las pulsaciones es muy frecuente, especialmente en vibraciones sonoras. Dos notas muy próximas deintensidad muy similar producen fluctuaciones en la intensidad de frecuencia igual a la diferencia entre las frecuenciasde las notas. La frecuencia angular observada no es en realidad la frecuencia angular de variación de la amplitud,(ω1 − ω2)/2, sino el doble, que es precisamente la diferencia de frecuencias angulares (ω1 − ω2), como se ve en lafigura 1–7, coincidiendo en esto los resultados para iguales o distintas amplitudes.


1.4.2. Superposición de movimientos armónicos perpendiculares

Superposición de movimientos armónicos perpendiculares de la misma frecuencia.

Consideremos ahora el siguiente caso, una partícula se mueve en el plano de forma que tanto su coordenada x comosu coordenada y oscilan siguiendo un movimiento armónico simple. Consideremos en primer lugar el caso en el quelos dos movimientos tienen la misma frecuencia, teniéndose para sus coordenadas x e y

x = Ax senωt (1–18)

y = Ay sen(ωt+ δ) (1–19)

donde δ es la diferencia de fase entre las oscilaciones x e y. Como es obvio, la trayectoria de la partícula estará limitadapor el rectángulo definido por los valores límite de las componentes x e y, ±Ax y ±Ay . Si las dos componentes estánen fase, la partícula describe un movimiento armónico simple a lo largo de la recta dada por

y =AyAx

x

y ocurre lo mismo si las dos componentes están en oposición de fase, pero con el movimiento armónico teniendo lugara lo largo de

y = −AyAx

x

en ambos casos con una amplitud√

A2x + A2y . La superposición de dos movimientos armónicos simples de la misma

frecuencia y perpendiculares entre sí da lugar, cuando la diferencia de fase δ entre ambos es de 0 o π, a un movimientoarmónico simple a lo largo de una línea recta. Se habla en este caso de polarización lineal.

Cuando la diferencia de fases δ es π/2 se tiene

y = Ay sen(ωt+ π/2) = Ay cosωt

y se dice que los dos movimientos están en cuadratura. De las ecuaciones que dan las dos componentes se tiene

x2

A2x+

y2

A2y= 1

que es la ecuación de una elipse de radios principales Ax y Ay que se recorre en sentido horario. Para un desfase de−π/2 (o 3π/2) se tiene la misma elipse, pero recorrida en sentido antihorario. En este caso se dice que tenemos pola-rización elíptica, con los radios principales de la elipse dirigidos según las direcciones x e y de los dos movimientosque se componen.

Para el caso particular Ax = Ay , la elipse se transforma en una circunferencia, teniéndose en este caso la denominadapolarización circular. Cuando la diferencia de fase tiene un valor arbitrario la trayectoria también es elíptica, pero conlos radios principales rotados respecto a los ejes de coordenadas.

Superposición de movimientos armónicos perpendiculares de distintas frecuencias

Un caso muy interesante es aquél en el que se superponen movimientos armónicos perpendiculares de distintasfrecuencias, amplitudes y diferencias de fase, de la forma

x = Ax senω1ty = Ay sen(ω2t+ δ)

(1–20)

Las trayectorias resultantes dependen de la relación de frecuencias ω2/ω1 y de la diferencia de fase δ. Se denominanfiguras de Lissajous a las trayectorias resultantes y ejemplos de las mismas se muestran en la figura 1–8 para distintosdesfases y relaciones entre frecuencias en las que éstas son estables.


0 π/4 π/2 3π/4 π

1:1

1:2

1:3

1:4

1:5

2:5

3:5

ω1 : ω2

δ :

Figura 1–8 Figuras de Lissajous. Estas trayectorias resultan de la superposición de movimientos armónicos perpendiculares de distintas relacionesde frecuencias (ω1 : ω2) y distintos desfases δ.


Vibraciones mecánicas

Índice del capítulo2.1. Grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2. El oscilador armónico libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.1. La ecuación diferencial del oscilador armónico libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.2. Energía del oscilador armónico libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.3. El péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.4. El péndulo compuesto o péndulo físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.5. El péndulo de torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3. El oscilador amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4. El oscilador forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.1. Ecuación diferencial del oscilador forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.2. La solución permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5. Resonancia paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.6. Aislamiento de vibraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1. Grados de libertad

Diremos que un sistema mecánico tiene un grado de libertad si la posición geométrica de todos sus elementos puedeexpresarse en cada instante en función de una única variable. Consideremos, por ejemplo, el caso de un pistón que semueve en un cilindro, su posición queda completamente determinada en cualquier instante especificando la distanciaentre el pistón y el fondo del cilindro y por tanto es un sistema con un grado de libertad. Un peso suspendido de unresorte de forma que no pueda moverse más que en una dirección es también un ejemplo de sistema oscilante de unúnico grado de libertad.

En general si son necesarias n variables independientes para especificar completamente la posición de un sistemamecánico, decimos que el sistema tiene n grados de libertad. Así por ejemplo, un disco que se moviera en el planosin restricciones tendría tres grados de libertad, por una parte los desplazamientos x e y de su centro de gravedad ypor otra parte el ángulo de rotación alrededor de ese centro de gravedad. Un cilindro que cae rodando por un planoinclinado tiene un grado de libertad, pero si baja en parte rodando y en parte deslizando tiene dos grados de libertad,uno de traslación y uno de rotación.

Un sólido rígido que se mueve libremente tiene seis grados de libertad, tres de traslación que dan la posición en elespacio de su centro de masas en cada instante, y tres de rotación. Por lo tanto son necesarias seis coordenadas paraexpresar su posición en el espacio.

No necesariamente un sistema de un grado de libertad es un sistema simple. Por ejemplo, un motor de automóvil, contoda su complejidad mecánica, si está montado rígidamente puede tener la posición de todos sus elementos en cadainstante de tiempo descrita por una única variable, como podría ser el ángulo de giro del cigüeñal. El valor de eseángulo determinaría la posición de todos los elementos móviles del motor y por tanto el sistema tiene un único gradode libertad. Si el motor está montado sobre un sistema muelles/amortiguadores como ocurre en realidad, el número degrados de libertad aumenta.

En el otro extremo se tienen los sistemas con infinitos grados de libertad. Éste es el caso de una viga deformablesometida a unas restricciones en los apoyos que se carga de forma arbitraria dentro de los límites de resistencia y

11

Agustín Martín Domingo12 Capítulo 2. Vibraciones mecánicas

compatibilidad. Para describir la curva de deformación que se produce en estas condiciones se requiere una funciónf(x) que es equivalente a un número infinito de grados de libertad. En cada posición x en la viga se puede conseguiruna deflexión y distinta de las que hay en los otros puntos y por tanto, en el caso más general, para determinar laposición de todos los elementos de la viga se necesita conocer tantas deflexiones como posiciones en la viga.

2.2. El oscilador armónico libre

2.2.1. La ecuación diferencial del oscilador armónico libre

Consideremos un sistema con un grado de libertad sometido únicamente a una fuerza recuperadora proporcional aldesplazamiento, de la forma F = −krx y por tanto, sin rozamiento.† Como F = ma, la ecuación de movimiento delsistema vendrá dada por

md2x

dt2+ krx = 0, (2–1)

que si denominamos ω0 =√

kr/m a la frecuencia angular natural de oscilación del sistema, queda como

d2x

dt2+ ω20x = 0. (2–2)

La solución general de esta ecuación diferencial es una función armónica (de la forma seno o coseno) que oscila conla frecuencia natural del sistema,

x = A cos(ω0t− αc) o x = A sen(ω0t− αs) (2–3)o una superposición de éstas. Como se vio en la sección 1.3, esta solución también se puede expresar mediante unaexponencial compleja

x = Aei(ω0t−αc) (2–4)siendo también soluciones tanto la parte real como la parte imaginaria.

2.2.2. Energía del oscilador armónico libre

Obtengamos ahora las energías cinética y potencial del oscilador libre. En cualquier instante la energía potencial Epserá 12krx

2 siendo x(t) el desplazamiento alrededor de la posición de equilibrio y kr la constante de recuperación.Sustituyendo la solución (2–3) que acabamos de obtener, se tiene para la energía potencial la expresión

Ep =1

2krx

2 =1

2krA

2 cos2(ω0t− αc). (2–5)

Como vemos la energía potencial no es constante, sino que fluctúa con el movimiento armónico sin hacerse nuncanegativa, aunque se hace cero cuando pasa por la posición de equilibrio. Además, alcanza su valor máximo para elpunto de máxima amplitud x.

La energía cinética se obtiene de la forma

Ek =1

2mẋ2 =

1

2mω20A

2 sen2(ω0 − αc) (2–6)

La energía cinética es nula cuando x alcanza su valor máximo, ya que en esa posición la velocidad ẋ es nula, mientrasque es máxima cuando pasa por la posición de equilibrio, ya que es ahí cuando la velocidad es máxima. La variaciónde la energía cinética es justamente la contraria de la energía potencial.

Por otra parte, la energía total del oscilador debe ser la suma de las energías cinética y potencial,

Et = Ep + Ek =1

2mω20A

2[cos2(ω0t− α) + sen2(ω0t− αc)

]=

1

2mω20A

2, (2–7)

que se mantiene constante durante el movimiento como debe ocurrir en ausencia de fuerzas disipativas. Esta energíatotal depende del cuadrado de la amplitud, siendo por ejemplo, cuatro veces mayor para una amplitud doble. Tanto laenergía potencial promedio como la energía cinética promedio del oscilador son la mitad de la energía total.

†También hay osciladores libres (sin rozamiento) en los que la fuerza recuperadora no es proporcional a la velocidad. Estos osciladores no sonarmónicos, aunque sean libres.

Agustín Martín Domingo2.2. El oscilador armónico libre 13

L

m

mg

mg cos θ

mg sen θ

F

O

θ

a

a′

l

mg

CG

O

O′

θ

~n

~n0

θ

Figura 2–1 Péndulos simple, compuesto y de torsión

2.2.3. El péndulo simple

Consideremos otro ejemplo de movimiento armónico simple, el denominado péndulo simple. Denominamos péndulosimple a un sistema compuesto de una masa m supuestamente puntual suspendida de un punto O mediante una cuerdade longitudL y masa despreciable. Veremos que este péndulo simple describe un movimiento armónico simple cuandose tienen pequeñas oscilaciones de la masa m.

Para estudiar el movimiento de este sistema, escribiremos su ecuación de movimiento y la compararemos con laecuación (2–2). Sobre la masa actuarán su peso y la fuerza tensora F ejercida por la cuerda. En cada instante la sumavectorial de la componente radial del peso y de la tensión F de la cuerda actuando sobre la masa será igual a la fuerzacentrípeta, pero ésta no es la parte que nos interesa. La que produce el movimiento es la componente tangencial delpeso

−mg sen θ,donde aparece un signo negativo, ya que si la partícula está en la parte positiva (θ > 0), la fuerza está dirigida haciael sentido contrario. Como en la dirección tangencial no hay más fuerzas actuando sobre la partícula, esta fuerza seráigual a la aceleración tangencial, dada pormd2s/dt2 donde s es el arco. La ecuación del movimiento tangencial quedaentonces

md2s

dt2= mL

d2θ

dt2= −mg sen θ

que puede escribirse comod2θ

dt2+

g

Lsen θ = 0 (2–8)

Consideremos un caso particular. Si las oscilaciones son pequeñas, podemos hacer la aproximación sen θ ≃ θ (enradianes), quedando la ecuación (2–8) como

d2θ

dt2+

g

Lθ = 0 (2–9)

Esta ecuación es similar a la ecuación (2–2) con el desplazamiento de la posición de equilibrio medido en ángulos envez de en distancias, y por tanto describe un movimiento armónico simple θ = θ0 cos(ω0t− α) de frecuencia angularω0 dada por

ω0 =

√g

Ly periodo T = 2π

√

L

g(2–10)

Ni la frecuencia ni el periodo dependen de la masa del péndulo, únicamente de la longitud de la cuerda y de laaceleración de la gravedad. De hecho éste es un método muy sencillo de medida de la aceleración de la gravedad.


2.2.4. El péndulo compuesto o péndulo físico

Hasta ahora nos hemos referido a oscilaciones pequeñas de un cuerpo que puede ser considerado como un puntomaterial, pero los resultados obtenidos pueden también aplicarse a sistemas más complejos. Consideraremos ahorauno de estos sistemas más complejos, un cuerpo sólido que sometido a la atracción gravitatoria oscila alrededor de uneje horizontal. Se denomina a este sistema péndulo compuesto o péndulo físico.

La dinámica de un cuerpo rígido que gira tiene una cierta similitud con la de un punto material, si en el papel de lacoordenada correspondiente se utiliza el ángulo de giro θ en el de la masa, el momento de inercia I (respecto del ejede rotación) y en el de la fuerza el momento de ésta, M .

En éste caso, el momento de la fuerza gravitatoria respecto del eje de rotación es M = −mga sen θ, siendo m lamasa del cuerpo, a la distancia del centro de gravedad del cuerpo (CG) al eje de rotación (que en la figura 2–1 pasapor el punto O perpendicularmente al plano del papel) y θ el ángulo que forma la línea OC con la vertical. El signomenos indica que se trata de un momento recuperador. Como para pequeñas oscilaciones el ángulo es muy pequeño,se puede hacer la aproximación sen θ ≃ θ, quedando M ≃ −mgaθ. Si comparamos esta expresión con la expresiónde la fuerza recuperadora para un punto material F = −krx, vemos que la magnitud mga desempeña el papel de laconstante recuperadora kr. Por lo tanto, la frecuencia angular de oscilación del péndulo compuesto será

ω0 =

√mga

I(2–11)

Si comparamos esta expresión con la que nos da la frecuencia angular para el péndulo simple (Ec. (2–10)) se observaque las propiedades del péndulo compuesto coinciden con las de un péndulo simple de longitud

l =I

ma(2–12)

denominándose a esta magnitud longitud equivalente del péndulo compuesto.

Si escribimos el momento de inercia como I = I0 +ma2, donde I0 es el momento de inercia del cuerpo respecto del

eje horizontal que pasa por el centro de gravedad, la longitud equivalente queda en la forma

l = a+I0ma

Supongamos ahora que el péndulo se suspende del eje que pasa por OC′. En este caso, la longitud equivalente será

l′ = a′ +I0ma′

Ahora bien, a′ = l − a = I0/ma y por tanto, l′ = l. Así tenemos que las longitudes equivalentes y por tanto, losperiodos de oscilación de un péndulo compuesto suspendido de dos ejes que se hallen entre sí a una distancia l en eleje OC con el centro de gravedad por medio, son iguales.

2.2.5. El péndulo de torsión

Otro ejemplo de movimiento armónico simple se tiene en el péndulo de torsión. En este caso se tiene un cuerposuspendido de un hilo de forma que éste pasa por el centro de masa del cuerpo.† Cuando se rota el cuerpo en el planohorizontal un ángulo θ alrededor de su posición de equilibrio, el hilo se retuerce y ejerce sobre el cuerpo un momentoMt según el eje que se opone al desplazamiento θ y para pequeñas oscilaciones es proporcional al mismo en la formaMt = −ktorsθ donde ktors es el momento director, constante recuperadora a torsión o coeficiente de torsión del hilo.En concreto, para un hilo cilíndrico de diámetro D, longitud L y módulo de rigidez G = E/2(1 + ν), donde E es elmódulo de Young y ν el coeficiente de Poisson es de la forma

Mt = ktorsθ =πGD4

32Lθ con ktors =

πGD4

32L

†Esto es así cuando el cuerpo está suspendido del hilo. Si se tiene un hilo tenso y el cuerpo está fijo en el medio de ese hilo tenso, sobre estecuerpo actuaría un momento de torsión a través de las dos partes del hilo que se encuentran arriba y abajo, por lo que el momento recuperador totalque actúa sobre el cuerpo es 2Mt.

Agustín Martín Domingo2.3. El oscilador amortiguado 15

Si I es el momento de inercia del cuerpo respecto al eje del hilo, la ecuación angular de movimiento queda en la forma

Id2θ

dt2= −ktorsθ ⇒

d2θ

dt2+

ktorsI

θ = 0 (2–13)

En estas condiciones, el péndulo de torsión describe un movimiento armónico simple de frecuencia angular y periododados por

ω0 =

√

ktorsI

T = 2π

√

I

ktors(2–14)

2.3. El oscilador amortiguado

En el caso del oscilador armónico simple que acabamos de estudiar las oscilaciones mantienen una amplitud constante.Sin embargo, la amplitud de las oscilaciones en un sistema no sometido a fuerzas periódicas externas decrece con eltiempo, el movimiento oscilatorio es en realidad amortiguado.

Para analizar el problema tenemos que considerar la acción de una fuerza de rozamiento. Nos limitaremos al caso en elque ésta es proporcional a la velocidad Fr = −λv, donde v es la velocidad en cada instante y λ [kg s−1] la constantede amortiguamiento, que debe añadirse a la fuerza recuperadora armónica. Esta fuerza amortiguadora, debida a laviscosidad del medio, se opone al movimiento en cada instante (de ahí el signo negativo). En problemas físicos realespueden aparecer otros tipos de fuerzas de rozamiento con distintas dependencias con la velocidad. En nuestro caso, laecuación de movimiento de un cuerpo sometido a estas dos fuerzas es:

Ft = F + Fr = ma = −krx− λv

que puede escribirse como

md2x

dt2+ λ

dx

dt+ krx = 0 (2–15)

o comod2x

dt2+ 2γ

dx

dt+ ω20x = 0 (2–16)

con 2γ = λ/m, siendo γ [s−1] el decremento logarítmico y ω20 = kr/m la frecuencia angular natural del oscilador ofrecuencia angular sin amortiguamiento. Esta ecuación diferencial difiere de la (2–1) para el oscilador armónico libreen el término adicional 2γdx/dt debido al amortiguamiento. La solución general de esta ecuación diferencial será unaque tenga dos constantes arbitrarias independientes a determinar por las condiciones iniciales.

Probaremos, en notación compleja con una solución general que sea superposición de soluciones del tipo

x = AeBt

en función de la constante arbitrariaA (en general compleja) que se determinará en cada caso a partir de las condicionesiniciales (veremos enseguida que B no es independiente). Derivando respecto del tiempo esta expresión y sustituyendoen la ecuación diferencial (2–16) se llega a la siguiente relación

B2 + 2γB + ω20

que da dos posibles soluciones para B,

B = −γ ±√

γ2 − ω20

La solución oscilatoria Si ω0 > γ, la raíz cuadrada será un número complejo y podremos escribir

B = −γ ± i√

ω20 − γ2

siendo la solución general superposición de estas dos soluciones,

x =e−γt[

A1eiωt +A2e−iωt]


0

0

10 20 30 40 50 60

0,5

−0,5

1

−1

ωt (con α=0)

x(×

A)

ωT

+Ae−γt

−Ae−γt

Figura 2–2 Oscilaciones amortiguadas. La amplitud de las oscilaciones decae con el tiempo de forma exponencial y la frecuencia de oscilación yano es la frecuencia natural del sistema.

0

0

0

0

1010 2020 3030 4040 5050 6060

0,5

−0,5

1,5

−1,5

1

−1

0,2

−0,2

0,4

−0,4

0,6

−0,6

0,8

−0,8

ωt (con α=0)ωt (con α=0)

x(×

A)

x(×

A)

Sobreamortiguado

Sobreamortiguado

CríticoCrítico

Oscilante

Oscilante

Figura 2–3 Ejemplos de movimientos oscilatorio, sobreamortiguado y con amortiguamiento crítico. Cada una de las figuras corresponde a un valordeterminado de la constante de amortiguamiento λ y a unas determinadas condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad.En cada figura semuestra el movimiento resultante para distintos valores de la frecuencia natural del oscilador ω0

Agustín Martín Domingo2.3. El oscilador amortiguado 17

donde hemos denominado ω a la frecuencia angular del oscilador amortiguado,

ω =√

ω20 − γ2 =√

krm

− λ2

4m2(2–17)

La solución física debe ser siempre una solución real, por lo que A1 y A2 deben ser complejos conjugados de la forma

A1 =12Ae−iα y A2 = 12Aeiα, quedando la solución general

x =1

2Ae−γt

[

ei(ωt−α) +e−i(ωt−α)]

(2–18)

Cuando ω0 > γ, ω es real y la solución que se acaba de obtener puede escribirse en la forma

x = Ae−γt cos(ωt− α) (2–19)que corresponde a un movimiento oscilante de frecuencia angularω dada por (2–17). Como (2–19) con (2–17) contienedos constantes arbitrarias A y α, es la solución general de la ecuación diferencial, determinándose el valor de lasconstantes A y α a partir de las condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad.

Esta solución refleja dos hechos importantes para el movimiento oscilatorio amortiguado:

• La amplitud de las oscilaciones no es constante, y viene dada por Ae−γt = Ae−t/τ , donde τ = 1/γ esel tiempo de relajación. Esta amplitud decrece con el tiempo como corresponde a un movimiento oscilatorioamortiguado y el tiempo que tarda en disminuir un factor e es precisamente el tiempo de relajación.

• La frecuencia (2–17) de la oscilación amortiguada no es la frecuencia de la oscilación libre, sino que dependedel amortiguamiento. Esto realmente era de esperar, ya que al frenarse el movimiento aumenta el periodo, esdecir, disminuye la frecuencia de las oscilaciones.

Amortiguamiento crítico Según aumenta el amortiguamiento o disminuye la constante recuperadora kr la frecuen-cia de las oscilaciones amortiguadas va haciéndose cada vez menor, hasta que se hace 0 para ω0 = γ, teniéndose el

amortiguamiento crítico. En este caso una función del tipo A2 te−γt es también solución de la ecuación diferencial,por lo que la solución general de ésta será ahora una función de la forma

x = (A1 +A2t)e−γt, (2–20)donde A1 y A2 son constantes a determinar a partir de las condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad. Estasolución representa una situación en la que deja de haber oscilaciones y al liberarse la partícula, ésta se aproxima a suposición de equilibrio de forma gradual y sin realizar ni siquiera una oscilación completa.

Hay ocasiones en las que el amortiguamiento crítico, en el que el sistema vuelve a su posición de equilibrio de formarápida pero sin oscilar, es muy interesante. Por ejemplo en los amortiguadores de los coches se intenta que trabajen encondiciones próximas al amortiguamiento crítico, para evitar oscilaciones de excesiva duración.

Movimiento sobreamortiguado Cuando el amortiguamiento es mayor que el amortiguamiento crítico la frecuencia(2–17) se vuelve imaginaria y las exponenciales en (2–18) se hacen reales, teniéndose el oscilador sobreamortiguado.En este caso, si denominamos

s =√

γ2 − ω20 =√

λ2

4m2− kr

m,

la solución general de la ecuación diferencial es la superposición de dos exponenciales

x =[

A1e−st +A2est]

e−γt. (2–21)En la figura 2–3 se muestran, para las mismas condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad y el mismo coefi-ciente de amortiguamiento λ (y, por tanto, la misma γ) las trayectorias seguidas durante el movimiento amortiguadopara tres valores distintos de la frecuencia angular natural ω0 correspondiente a los casos oscilatorio, amortiguamientocrítico y movimiento sobreamortiguado.


Energía de un oscilador amortiguado Estudiemos ahora cómo se disipa la energía en un movimiento armónicoamortiguado, en el caso en el que el tiempo de relajación es bastante mayor que el periodo de la parte oscilante. Lapérdida de energía del cuerpo en un intervalo de tiempo dt será el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento λv enese intervalo de tiempo, en el cual el desplazamiento ha sido ẋdt,

dE = Frozdx = −λẋ2dt

que puede escribirse comodE

dt= −λẋ2 = −2λ

m

1

2mẋ2

Si la fuerza de rozamiento es relativamente pequeña, se puede utilizar esta expresión para calcular la pérdida mediade energía en un periodo, sustituyendo la energía cinética que aparece por su valor medio. Si tenemos además encuenta que el valor promedio de la energía cinética de un cuerpo oscilante es la mitad de su energía total (véase lasección 2.2.2) la expresión anterior queda como

dE

dt= − λ

mE = −2γE ⇒ dE

E= −2γdt (2–22)

en función de la inversa del tiempo de relajación γ que hemos definido anteriormente. Como se observa en la ecuaciónanterior, la velocidad de disminución de la energía es proporcional a la misma energía. Si integramos la ecuaciónanterior, se obtiene

E = E0e−2γt (2–23)donde E0 es la energía en el instante inicial en el que no ha habido aún la acción de las fuerzas de rozamiento, y esigual a E0 =

12mω

20A

2, con ω0 la frecuencia angular del oscilador libre, m la masa del sistema y A la amplitud inicialdel movimiento.† El amortiguamiento de un oscilador poco amortiguado también se caracteriza mediante el factor decalidad Q. Éste es una magnitud adimensional que se define como

Q = 2πE

|∆E| (2–24)

donde E es la energía total y ∆E es la energía perdida en un periodo.

2.4. El oscilador forzado

En la realidad, en un sistema oscilante siempre están presentes fuerzas de rozamiento de uno u otro tipo, con lo quelas oscilaciones “libres” que se produjeron bajo la acción de la fuerza inicial en realidad no son libres sino que vanamortiguándose con el tiempo. Por tanto si se quiere tener un sistema que oscile de forma continua sin amortiguamientoaparente es necesario comunicarle la energía perdida a causa de la acción de las fuerzas de rozamiento. Estudiaremosa continuación la situación más simple, que corresponde a una fuerza externa armónica actuando sobre el sistema.En realidad este caso nos permite estudiar multitud de casos, ya que una fuerza externa periódica puede, de acuerdocon el teorema de Fourier que se verá en el capítulo siguiente, descomponerse en una superposición de componentesarmónicas. De este modo, si nos encontramos dentro de los límites de validez del principio de superposición, lasolución general será la suma de las soluciones generales correspondientes a cada una de las componentes armónicas.

†Un método alternativo de obtención de esta ecuación consistiría en escribir la energía total promedio en un ciclo como suma de las energíaspotencial promedio

x = Ae−γt cos(ωt − α) ⇒ Ep = 12kr < x2 >=

1

4A2kre−2γt

y cinética promedioẋ = A[−γe−γt cos(ωt − α) − ωe−γt sen(ωt − α)]

⇒ Ek=

1

2mA2e−2γt[−γ cos(ωt − α)− ω sen(ωt − α)]2

⇒ < Ek>=

1

4mω2

0A2e−2γt

quedando la energía total promedio en un ciclo

< E >=< Ep > + < Ek >=1

2mω20A

2e−2γt = 12krA

2e−2γt

Nótese que el promedio se ha realizado únicamente a la parte armónica de las funciones, y no a la exponencial decreciente, de forma consistentecon la consideración inicial de débil amortiguamiento y por tanto débil decrecimiento de la amplitud.

Agustín Martín Domingo2.4. El oscilador forzado 19

2.4.1. Ecuación diferencial del oscilador forzado

Sea Fext = F0 cosωf t la fuerza oscilante aplicada, de frecuencia angular ωf . Si la partícula está sometida ademása una fuerza recuperadora −krx y a una fuerza de amortiguamiento −λv, su ecuación de movimiento será ma =−krx− λv + F0 cosωf t. Sustituyendo v = dx/dt y a = d2x/dt2 se tiene la ecuación diferencial

md2x

dt2+ λ

dx

dt+ krx = F0 cosωf t (2–25)

que puede también escribirse en la forma

d2x

dt2+ 2γ

dx

dt+ ω20x =

F0m

cosωf t

(

ó =F0meiωf t

)

(2–26)

2.4.2. La solución permanente

Esta ecuación diferencial es una ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden inhomogénea y portanto su solución general consta de dos partes, la solución general de la ecuación diferencial homogénea asociada yuna solución particular de la ecuación completa.

Como la ecuación diferencial homogénea no es sino la del oscilador armónico amortiguado (2–15) su solución generalserá la misma (2–19), una oscilación de frecuencia angular

√

ω20 − γ2 cuya amplitud decrece de forma exponencial.Ésta solución se atenuará con el tiempo haciéndose despreciable con mayor o menor rapidez, por lo que se denominatérmino transitorio o solución transitoria.

En cuanto a la solución particular de la ecuación diferencial completa esperamos que corresponda a una oscilación a lafrecuencia angular ωf de la fuerza aplicada cuya amplitud no decrezca con el tiempo, por lo que se denomina soluciónpermanente. Para obtener esta solución probaremos con una expresión de la forma

x = Af cos(ωf t− αc) (2–27)

en la que se ha dado un signo negativo a αc por conveniencia. Para obtener los valores de Af y αc resulta más cómodoescribir la ecuación (2–27) en forma exponencial compleja:

x = Afei(ωf t−αc) (2–28)de forma que (2–27) realmente sería la parte real de (2–28), y podemos sustituir en la ecuación diferencial (2–26),obteniéndose

(−ω2fAf + i2γωfAf + ω20Af )eiωf te−iαc = F0meiωf t

.

Esta expresión se puede reagrupar como

[(ω20 − ω2f ) + i2γωf ]Af =F0meiαc ,

y la primera parte escribirse como

(ω20 − ω2f) + i2γωf =√

(ω2f − ω20)2 + 4γ2ω2fei arctan

2γωfω2

0−ω2

f

lo que nos da un valor para la amplitud de (2–27) y (2–28)

Af =F0/m

√

(ω2f − ω20)2 + 4γ2ω2f=

F0kr

1√

(1− µ2)2 + 4ξ2µ2(2–29)

con µ = ωf/ω0 el factor de frecuencias y ξ = γ/ω0 el factor de amortiguamiento. Con la solución en la forma (2–27)la fase queda

tanαc =2γωf

ω20 − ω2f=

2ξµ

1− µ2 (2–30)


µ = ωf/ω0

Am

plit

ud(×

F0/kr)

ξ = 0,01

ξ = 0,05

ξ = 0,10

ξ = 0,15

ξ = 0,25

ξ = 1,00

00

0,5 1 1,5 2

2

4

6

8

10

µ = ωf/ω0

Am

plit

udde

velo

cida

d(×

ω0F0/kr)

ξ = 0,01

ξ = 0,05

ξ = 0,10

ξ = 0,15

ξ = 0,25

ξ = 1,00

00

0,5 1 1,5 2

2

4

6

8

10

Figura 2–4 Variación de la amplitud de la oscilación (a) y de la amplitud de la velocidad (b) para oscilaciones forzadas en función de la razón defrecuencias µ = ωf/ω0 para distintos valores del factor de amortiguamiento ξ. La línea adicional de la parte (a) une los máximos de cada una delas curvas.

Si en vez de como (2–27) hubiéramos expresado la solución en la forma

x = Af sen(ωf t− αs) (2–31)

la amplitud habría sido la misma, pero la fase habría sido

tanαs =ω2f − ω202γωf

=µ2 − 12ξµ

(2–32)

Tanto la amplitud Af como la fase inicial α ya no son constantes arbitrarias, sino cantidades fijas que dependen de lafrecuencia angular ωf de la fuerza aplicada y de γ, la inversa del tiempo de relajación τ . Las oscilaciones forzadas noestán amortiguadas, sino que tienen amplitud constante y frecuencia igual a la de la fuerza aplicada. La fuerza aplicadasupera a las fuerzas de amortiguamiento y proporciona la energía necesaria para mantener las oscilaciones.

Como corresponde a una ecuación diferencial de segundo orden, sigue habiendo dos constantes arbitrarias en la solu-ción general que se determinan a partir de las condiciones iniciales, ya que, como se decía al principio, la solucióngeneral es la superposición de las dos soluciones, la transitoria y la permanente. Un ejemplo de superposición de estasdos soluciones se muestra en la figura 2–5 para un caso ficticio.

En la figura 2–4a se representan las amplitudes de la oscilación y de la velocidad en función de la razón de frecuenciasµ = ωf/ω0 para distintos valores del factor de amortiguamiento ξ = γ/ω0. Consideremos ahora algunos límitesinteresantes:

Excitación de baja frecuencia, (ωf ≪ ω0; µ ≪ 1)En estas condiciones, la frecuencia angular ωf de la fuerza excitadora es pequeña y por tanto la razón de frecuenciasµ lo es también. De la ecuación (2–30) se tiene para la fase que αc = 0 y de la ecuación (2–29) que Af = F0/kr,


0

0

5 10 15 20

1

0,8

0,6

0,4

0,2

−0,2

−0,4

−0,6

Tiempo

Am

plit

udtotal

transitoria

permanente

Figura 2–5 Superposición de las soluciones permanente y transitoria en un oscilador forzado.

igual al desplazamiento que produciría F0 sobre el resorte de constante de recuperación kr si actuara en condicionesestáticas.

Es decir, para una excitación de baja frecuencia, la respuesta del sistema está en fase con la excitación. El sistematiene el tiempo suficiente para adaptarse en cada momento a las condiciones de la excitación.

Excitación de alta frecuencia, (ωf ≫ ω0; µ ≫ 1)

En este caso la pulsación de la fuerza excitadora es mucho mayor que la frecuencia angular natural del sistema. De laecuación (2–30) se tiene que tanαc = 0 y de la rama de la tangente correspondiente se tiene que αc = π. A partir dela ecuación (2–29) se tiene que para este caso, la amplitud de la oscilación forzada es muy pequeña.

Es decir, para una excitación de alta frecuencia, la respuesta del sistema está en oposición de fase con la fuerzaexcitadora. Como la frecuencia de la pulsación excitadora es tan grande, el sistema apenas puede responder a ellaoscilando, y por tanto la amplitud de la oscilación es muy pequeña, e intenta oponerse a la pulsación excitadora.

Resonancia en amplitud, (ωa =√

ω20 − 2γ2; µ =√

1− 2ξ2)

La amplitud tiene un máximo cuando el denominador de (2–29) es mínimo. Esto ocurre para la frecuencia angularωa =

√

ω20 − 2γ2. Cuando la frecuencia angular ωf de la fuerza aplicada es igual a ωa, se dice que hay resonanciaen amplitud. Cuanto menor es el amortiguamiento más pronunciada es la resonancia, y cuando ξ es cero esta amplitudse hace infinita para ωa = ω0 =

√

kr/m. En la figura se muestra también la variación de la razón de frecuencias a laque se produce la resonancia en amplitud para distintos valores del factor de amortiguamiento ξ.

Resonancia en frecuencias o en energías, (ωf = ω0; µ = 1)

Consideremos ahora la velocidad del oscilador forzado, a partir de la expresión (2–31) en forma de seno

v =dx

dt= ωfAf cos(ωf t− αs) = v0 cos(ωf t− αs) (2–33)


la amplitud de la velocidad es

v0 = ωfAf =ωfF0/m

√

(ω2f − ω20)2 + 4γ2ω2f=

ω0F0kr

µ√

(1 − µ2)2 + 4ξ2µ2(2–34)

Como se ve, la amplitud de velocidad también varía con ωf y alcanza su valor máximo cuando ωf = ω0 (y µ = 1)con independencia del valor de ξ, como se ve en la figura 2–4b. Para esta frecuencia de la fuerza aplicada, la velocidady, por tanto, la energía cinética de las oscilaciones son máximas y se tiene resonancia en energía.

En condiciones de resonancia en energía (ωf = ω0), la fase αs de la velocidad es 0◦ y por lo tanto, la velocidad está

en fase con la fuerza excitadora. Obviamente, éstas son las condiciones más favorables para la transferencia de energíaal oscilador, ya que el trabajo realizado por unidad de tiempo sobre el oscilador por la fuerza aplicada es Fv, que esuna cantidad siempre positiva cuando F y v están en fase.

Veamos esto en más detalle. En el caso general, fuera de la resonancia en energías, la potencia media absorbida en unperiodo es:

< Ẇ >=1

T

∫ T

0

Fe(t)v(t)dt (2–35)

con Fe = F0 cosωf t y v = v0 cos(ωf t − αs) = ωfAf cos(ωf t − αs) (Ec. 2–33). Con estos valores, la ecuaciónanterior queda

< Ẇ >= F0ωAf1

T

∫ T

0

cos(ωf t− αs) cosωf t dt

y desarrollando el coseno, se tiene

1

T

∫ T

0 (cosωf t cosαs + senωf t senαs) cosωf t dt =

cosαs1

T

∫ T

0cos2 ωf t dt+

1

Tcosαs

∫ T

0senωf t cosωf t dt.

El promedio correspondiente al primer sumando es el bien conocido promedio de una función cos2 en un ciclo, quees 1/2. En el segundo sumando se promedia la expresión senωf t cosωf t = sen 2ωf t que es una función impar cuyopromedio en el ciclo es cero. Así, la potencia promedio (2–35) queda

< Ẇ >=1

2F0ωfAf cosαs. (2–36)

Teniendo en cuenta la relación trigonométrica cosα = 1/√1 + tan2 α y la expresión (2–32), el coseno del ángulo de

fase αs queda

cos2 αs =1

1 + tan2 αs=

1

1 +(ω2f − ω20)2

4γ2ω2f

=4γ2ω2f

(ω2f − ω20)2 + 4γ2ω2f=

4ξ2µ2

(µ2 − 1)2 + 4ξ2µ2

y sustituyendo además los valores de Af (eq. 2–29) queda

< Ẇ >=1

2F0ωf

F0/kr√

(µ2 − 1)2 + 4ξ2µ22ξµ

√

(µ2 − 1)2 + 4ξ2µ2=

F 20 ω0kr

ξµ2

(µ2 − 1)2 + 4ξ2µ2 (2–37)

que se representa en la figura 2–6. Como ya se ha visto, el máximo valor de la potencia absorbida por el osciladorcorresponde a una frecuencia de la oscilación forzada igual a la frecuencia natural del sistema.

En este caso se tiene la resonancia en frecuencia, siendo, como se ve en la figura 2–6a mayor la intensidad en el movi-miento del oscilador cuanto menor sea ξ. A partir de la ecuación (2–37) se pueden obtener los factores de frecuencia alos que la potencia promedio es la mitad de su valor máximo. Estos son µ1 =

√

1 + ξ2 + ξ y µ2 =√

1 + ξ2 − ξ, porlo que la semianchura de la curva de potencia dada en (2–37) es 2ξ. Cuanto menor es el amortiguamiento, más agudoes el máximo de la resonancia y más alta y estrecha es la curva de la misma.


µ = ωf/ω0

Pot

enci

apr

omed

io(×

ω0F

2 0/kr)

00,1

0,5

1

1

1,5

2

2,5

10

ξ = 0,1

ξ = 0,2

ξ = 0,5ξ = 1

µ = ωf/ω0Á

ngul

ode

fase

αc

00,1 1 10

π

π/2

ξ = 0,1

ξ = 0,3

ξ = 0,6ξ = 1

ξ = 2

Figura 2–6 (a) Variación de la potencia promedio con el factor de frecuencias µ para distintos valores del factor de amortiguamiento. (b) Depen-dencia de la fase αc con el factor de frecuencias µ para distintos valores del factor de amortiguamiento.

En condiciones de resonancia, el valor máximo del desplazamiento es

xmáx =F0

2mω0γ

inversamente proporcional a la inversa del tiempo de relajación γ, lo que obliga a no despreciar el rozamiento delsistema en condiciones de resonancia, incluso si este rozamiento es pequeño.

Comparemos ahora el valor máximo del desplazamiento xmáx con el que sufriría el cuerpo cuando actúa sobre él unafuerza estática igual a F0 (sin la dependencia armónica). Éste último sería xest = −F0/kr, que con kr = mω20 da lasiguiente relación entre ambos desplazamientos

xmáxxest

=ω02γ

.

Para sistemas poco amortiguados esta relación puede alcanzar un valor muy elevado. En general, cuando el amorti-guamiento es muy pequeño, no hay gran diferencia entre las frecuencias correspondientes a la resonancia en amplitudy a la resonancia en energía. Para pequeño amortiguamiento se puede ver que el cociente entre la frecuencia angularnatural ω0 y la semianchura de la curva de potencia 2–6 (diferencia de frecuencias entre los puntos en los que lapotencia se hace la mitad de su valor máximo) coincide con el factor de calidad que se ha visto anteriormente,

Q =ω0∆ω

(2–38)

de forma que el factor de calidad nos indica cómo es la resonancia de aguda.

En la figura 2–6b se observa como a medida que aumenta ωf la fase tiende a π, es decir, el desplazamiento delsistema tiende a estar en oposición de fase con la fuerza excitadora. Para un amortiguamiento muy débil (ξ ≪ 1),la fase αc cambia bruscamente de 0 a π para ωf = ω0, pasa de concordancia de fase a oposición de fase con soloaumentar un poco la frecuencia angular ωf de la fuerza excitadora. Esto ayuda a explicar el origen de la amplificaciónde las oscilaciones en condiciones resonantes. Cuando la frecuencia de la fuerza externa es distinta de la frecuencianatural del oscilador, las fases de esta fuerza y de la velocidad son algo distintas, por lo que siempre hay una partedel movimiento en el que ambas son opuestas, frenándose el movimiento. En cambio en la resonancia, ambas fasescoinciden de forma que la fuerza actúa siempre en el sentido del movimiento, favoreciéndolo siempre. Algo similar,aunque con una fuerza no armónica se tiene cuando se empuja a un niño en un columpio. En cada ciclo se realiza un


a

a

mgmg

l

~F

θ

A

B

C

Figura 2–7 Péndulo de longitud variable como ejemplo de oscilador paramétrico.

pequeño trabajo sobre el niño que da lugar a una pequeña amplificación de las oscilaciones, pero que al cabo de variosciclos da lugar a grandes oscilaciones.

El conocimiento del fenómeno de la resonancia es de gran importancia tanto si interesa utilizarlo para ampliar lasoscilaciones como si lo que interesa es justo lo contrario, minimizar su efecto.

2.5. Resonancia paramétrica

La acción de una fuerza periódica externa no es la única forma de producir una resonancia. También se puede llegara una situación resonante a través de una variación periódica de los parámetros del sistema oscilatorio, en lo que sedenomina resonancia paramétrica. Un ejemplo muy familiar se tiene en la persona que, al balancearse en un columpio,se agacha cuando cae y se incorpora cuando llega al punto más alto, variando de forma periódica la posición de sucentro de gravedad.

Para ver como funciona este mecanismo recurriremos al siguiente ejemplo. Consideremos un péndulo en el que esposible acortar o alargar la longitud de la cuerda durante el movimiento del péndulo. Supongamos que cada vez que elpéndulo pasa por la posición de equilibrio (es decir, por la vertical) la fuerza externa tira del péndulo, desplazándolouna pequeña distancia a (pequeña en comparación con la longitud l del péndulo) y en cambio, en cada posiciónextrema, cuando el péndulo forma un ángulo θ0 con la vertical, la cuerda desciende la misma distancia a, como semuestra en la figura 2–7. Así, en cada periodo, el péndulo se habrá alargado dos veces y se habrá acortado otrastantas y por tanto, la frecuencia de variación de la longitud del péndulo es dos veces mayor que la frecuencia de lasoscilaciones propias. Como el alargamiento en el extremo tiene lugar cuando el péndulo está inclinado un ángulo θ, laaltura a la que desciende será a cos θ, menor que la altura a que se eleva al pasar por la posición de equilibrio.

De esta forma, para cada subida de la cuerda al pasar por la posición de equilibrio B, la fuerza externa que la accionarealiza un trabajo contra la fuerza gravitatoria

WB = mga

mientras que el trabajo realizado al bajar la cuerda en la posición extrema A (o C) es

WA = −mga cosθ0al ser a cos θ0 el cambio de altura en este extremo. Además, la fuerza externa realiza un trabajo contra la fuerzacentrífuga. Como el valor de esta última es mv2B/l (con vB la velocidad máxima del péndulo) en la posición vertical

Agustín Martín Domingo2.6. Aislamiento de vibraciones 25

B y cero en las posiciones extremas A y C, el trabajo total realizado por la fuerza externa contra la fuerza centrífugaen cada trayecto desde la izquierda hacia la derecha es

W cf = W cfA +WcfB = 0 +m

v2Bla = mθ̇2Bla

donde θ̇B es el valor máximo de la velocidad angular, que tiene lugar cuando la masa pasa por la posición de equilibrio.Si el desplazamiento del péndulo viene dado por la ecuación θ = θ0 cos(ω0t− α), la velocidad angular en cada puntode su movimiento será θ̇ = ω0θ0[− sen(ωt− α)] = −ω0θ0 sen(ωt− α) y su cuadrado será θ̇2 = ω20θ20 sen2(ωt− α),por lo que su valor máximo será precisamente θ̇2B = ω

20θ

20 = θ

20g/l, quedando el trabajo realizado contra la energía

cinética comoW cf = mgθ20a

El trabajo total realizado por la fuerza F en el trayecto ABC será entonces

WABC = mga(1− cos θ0) +mgθ20a = mga(1− cos θ0 + θ20).

Si las oscilaciones son pequeñas puede desarrollarse en serie el coseno, quedando

WABC = mga3θ202

y por tanto para un ciclo completo el trabajo realizado por la fuerza F será

Wciclo = 3mgaθ20 = 6

a

l

mv202

. (2–39)

El trabajo realizado por la fuerza externa sobre el péndulo es positivo y proporcional a la energía del mismo. De estemodo, la energía del péndulo aumenta de forma sistemática, con un pequeño incremento en cada periodo, proporcionala la misma energía y a la magnitud a/l.

Como vemos, la variación periódica de los parámetros del sistema oscilatorio puede implicar un aumento sistemáticode la energía total E, con una velocidad de aumento proporcional a esta energía E,

dE

dt= 2κE

siendo κ una constante pequeña. Como se observa, esta relación es parecida a la ecuación (2–22) para el osciladoramortiguado con la importante diferencia de que la derivada es ahora positiva en vez de negativa y por tanto hay unaumento continuo de la energía, que resulta depender exponencialmente del tiempo.

Como en realidad siempre hay un cierto rozamiento que tiende a amortiguar las oscilaciones, para que efectivamentehaya resonancia paramétrica con amplificación, el factor de amplificación κ debe ser superior a un cierto valor mínimo,que resulta ser igual a la constante de amortiguamiento γ debida a la acción de las fuerzas de rozamiento.

2.6. Aislamiento de vibraciones

Consideremos la situación en la que la fuerza excitadora está desarrollada por una máquina. Parte de esta fuerzaes transmitida a la base a través del sistema muelles-amortiguadores. Éste puede considerarse como una fuente devibraciones que actúa sobre el suelo. En general se intentará escoger los elementos aislantes más apropiados para quela fuerza transmitida sea lo menor posible.

Consideremos una fuerza excitadora de la forma Fext = F0 cosωf t. A través del sistema aislante se transmitirá unafuerza a la base, con una componente elástica pura dada por krx y una componente de amortiguamiento puro, dadapor λv, ya que las fuerzas sobre la masa son respectivamente −krx y −λv. La fuerza total transmitida será la suma deambas componentes y estará dada por

Ftrans = λẋ+ krx = λdx

dt+ krx (2–40)


λkr

m

Fe

Figura 2–8 Aislamiento de las vibraciones producidas por una máquina

Como se acaba de ver, el desplazamiento x de la masa m viene dado, en notación compleja por x = Afei(ωf t−αc),y su derivada por ẋ = iωfAfei(ωf t−αc). La expresión (2–40) anterior quedaría como

Ftrans = λiωfAfei(ωf t−αc) + krAfei(ωf t−αc) = Af (kr + iλωf )ei(ωf t−αc)

Si escribimos el término entre paréntesis en función de kr = mω20 y de 2γ = λ/m, esta expresión queda en la forma

Ftrans = Afm(ω20 + i2γωf)ei(ωf t−αc)

pudiéndose escribir el término entre paréntesis en forma exponencial compleja como

ω20 + i2γωf =√

ω40 + 4γ2ω2fe

i arctan2γωf

ω20

Si tenemos en cuenta el valor de la amplitud de las oscilaciones forzadas de (2–29), la expresión anterior puedeescribirse como

Ftrans = F0

√

ω40 + 4γ2ω2f

√

(ω20 − ω2f )2 + 4γ2ω2fei arctan

2γωf

ω20 ei(ωf t−αc) (2–41)

El cociente entre las amplitudes de la fuerza oscilante aplicada y la fuerza oscilante transmitida es la transmisibilidadque queda como

T =F 0transF 0

=

√

ω40 + 4γ2ω2f

(ω20 − ω2f )2 + 4γ2ω2f, (2–42)

en función de la frecuencia angular propia del oscilador ω0 y de la inversa del tiempo de relajación o decrementologarítmico γ = λ/2m. A menudo esta expresión se escribe en función del factor de amortiguamiento ξ = λ/2mω0y de la razón de frecuencias µ = ωf/ω0, quedando en la forma

T =F 0transF 0

=

√

1 + 4ξ2µ2

(1− µ2)2 + 4ξ2µ2 (2–43)

El objetivo sería conseguir el mínimo valor de T . Consideraremos varios casos:

• Si T = 1 La base recibiría la totalidad de F0. En este caso sobrarían el muelle y el amortiguador, ya que el mismoresultado se obtendría colocando directamente la máquina sobre la base.

• Si T > 1 El sistema muelle-amortiguador haría que el sistema percibiera una fuerza aún mayor que la que percibiríasi no estuvieran colocados.

Agustín Martín Domingo2.6. Aislamiento de vibraciones 27

0,1 0,2

0,2

0,3

0,3

0,5

0,5

1

1,0

2

2

3

3

5

5

10

10

0,01

0,02

0,03

0,05

0,10

√2

µ = ωf/ω0

T=

Ft 0/F

e 0ξ = 0,01

ξ = 0,05

ξ = 0,10

ξ = 0,20

ξ = 0,50

ξ = 1,0

Figura 2–9 Relación entre la transmisibilidad T y la razón de frecuencias µ = ωf/ω0 para distintos valores del factor de amortiguamiento ξ

• Si T < 1 En este caso, estamos en las condiciones que interesa conseguir. Para analizar el aislamiento utilizaremosla relación entre la transmisibilidad T y la razón de frecuencias µ = ωf/ω0 para distintos valores del factor deamortiguamiento ξ como se muestra en la figura 2–9.

Como se observa en la gráfica la transmisibilidad es menor que la unidad para µ = ωf/ω0 >√2. Se consigue

por lo tanto un buen montaje cuando

ω0 <ωf√2⇒√

krm

<ωf√2


es decir, si el elemento elástico tiene una frecuencia propia baja comparada con la de la fuerza excitadora.

También se observa que para valores de µ >√2, las curvas correspondientes a factores de amortiguamiento

ξ 6= 0, es decir para sistemas con amortiguamiento, tienen una posición relativa más alta, en el gráfico, quelas que corresponden a amortiguamiento nulo. Esto podría inducir a pensar en un análisis rápido que dichoamortiguamiento es innecesario. Sin embargo, hay que considerar que además del régimen permanente se tieneel régimen transitorio, en el que si el amortiguamiento es muy pequeño, el sistema vibraría prácticamente consu frecuencia angular natural ω0 sin que su amplitud apenas disminuya con el tiempo. Así, la combinación deambos podría dar lugar a daños en el sistema mecánico si el amortiguamiento es muy pequeño.

En la práctica se fija primero el valor del amortiguamiento en función del término transitorio y de las disponibi-lidades y después se escoge el valor de la constante de recuperación del sistema.

Puede verse que el máximo de la curva de transmisibilidad para cada valor del factor de amortiguamiento ξ viene dadopor

µ(Tmáx) =

√

−1 +√

1 + 8ξ2

2ξ(2–44)

que en general estará próximo a µ = 1 salvo que el factor de amortiguamiento sea alto.


Sistemas con múltiples grados de libertad.

Índice del capítulo3.1. Modos normales de vibración en un sistema con dos grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.1. Sistema formado por dos masas acopladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.2. Análisis del sistema de dos masas acopladas mediante el círculo de Mohr . . . . . . . . . . . 32

3.1.3. El atenuador dinámico de vibraciones sin amortiguamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2. Sistemas de n grados de libertad sin amortiguamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.1. Modos normales de vibración en un sistema con dos grados de libertad

Hemos estudiado las vibraciones de un sistema con un único grado de libertad, tanto en el caso de un sistema noamortiguado, como en el caso de un sistema amortiguado, con o sin la acción de una fuerza armónica. Aunque estopermite obtener información interesante sobre un cierto número de sistemas, está claro que hay muchos otros cuyoestudio no puede abordarse con un tratamiento tan simple.

Subiremos un grado en la escala de complejidad de los sistemas estudiando el caso de sistemas con dos grados delibertad, que ya permite abordar muchos más problemas prácticos, en concreto buena parte de los sistemas de amorti-guamiento de vibraciones.

3.1.1. Sistema formado por dos masas acopladas

Comencemos estudiando el sistema oscilante libre con dos grados de libertad que se muestra en la figura 3–1. Estesistema está formado por dos masas acopladas entre sí por un muelle de constante recuperadora kr3 y cada unade ellas unida a su vez a un soporte inmóvil mediante muelles de constantes recuperadoras kr1 y kr2. Estas masaspueden deslizar libremente sobra la superficie, y por tanto, suponemos que no hay rozamiento entre las masas y dichasuperficie, ni tampoco en los muelles. Asimismo supondremos que las masas tienen su movimiento restringido deforma que sólo pueden moverse en la dirección x. Como cada masa puede desplazarse independientemente de suposición de equilibrio el sistema tiene dos grados de libertad.

Calculemos las oscilaciones libres de este sistema. Sobre la masa m1 actúa por una parte la fuerza que ejerce sobreella el muelle de constante de recuperación kr1, y por otra la fuerza ejercida por el muelle de acoplamiento entre lasdos masas. Si denominamos x1 y x2 a los desplazamientos de las masas m1 y m2 respecto de su posición de equilibrio(con valores positivos hacia la derecha), la fuerza ejercida sobre la masa m1 a través del muelle kr1 será −kr1x1,

m1 m2

x1 x2

kr1 kr2kr3

Figura 3–1 Sistema oscilante con dos grados de libertad compuesto por dos osciladores acoplados.

29

Agustín Martín Domingo30 Capítulo 3. Sistemas con múltiples grados de libertad.

mientras que la fuerza ejercida a través del muelle de acoplamiento será −kr3(x1 −x2) al ser x1 −x2 el acortamientodel muelle de constante k1. Así, la ecuación de movimiento de la masa m1 puede escribirse como

m1d2x1dt2

= −kr1x1 − kr3(x1 − x2) ⇒ m1d2x1dt2

+ (kr1 + kr3)x1 − kr3x2 = 0 (3–1a)

Para la masa m2, la fuerza ejercida por el muelle de acoplamiento será kr3(x1 − x3) y la fuerza ejercida a través delotro muelle −kr2x2. Así, la ecuación de movimiento de la masa m2 queda

m2d2x2dt2

= −kr2x2 + kr3(x1 − x2) ⇒ m2d2x2dt2

+ (kr2 + kr3)x2 − kr3x1 = 0 (3–1b)

Deberemos ahora obtener la solución de las ecuaciones de movimiento (3–1a) y (3–1b). Para ello probaremos consoluciones para x1 y x2 de la forma

x1 = A1eiωtx2 = A2eiωt

(3–2)

donde A1 y A2 son parámetros genéricos que pueden tener una fase, es

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