Movimiento ondulatorio1. Introduccin

Se llama onda a la propagacin de energa sin transporte neto de la materia. En cualquier caso se cumple que:

- Una perturbacin inicial se propaga sin transporte neto de materia.- Existe un desfase entre el instante de la perturbacin inicial y el instante en que la

perturbacin alcanza los puntos del medio.- La mayora de las ondas necesitan un medio material para propagarse.

Tipos de ondas:

- Mecnicas. Si la perturbacin inicial es de tipo mecnica y necesitan de un medio material elstico para propagarse (ondas sonoras, cuerdas de guitarra...). Adems si la energa mecnica que se propaga es originada por un movimiento armnico simple, las ondas reciben el nombre de ondas armnicas.

- Electromagnticas: se propaga energa electromagntica mediante campos oscilatorios elctricos y magnticos y no necesitan de un medio material para propagarse (rayos x, luz, microondas, ondas de radio...)

2. Ondas mecnicas

Las ondas mecnicas pueden clasificarse segn la direccin de la propagacin de la onda y el nmero de dimensiones en que se propaga la energa.

- Segn la direccin de propagacin

Se denomina onda transversal a aquella en la que la direccin de propagacin es perpendicular a la direccin de vibracin de las partculas. Se caracterizan por la presencia de zonas elevadas llamadas crestas y zonas deprimidas llamadas valles.

Se denomina onda longitudinal a aquella en la que la direccin de propagacin y de vibracin de las partculas del medio son paralelas.

- Segn el nmero de dimensiones en que se propaga la energa

Ondas unidimensionales. La energa se propaga en una dimensin. Por ejemplo la onda que se propaga en una cuerda.

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Ondas bidimensionales. La energa se propaga en un plano. Por ejemplo las ondas que se propagan por la superficie del agua.

Ondas tridimensionales. La energa se propaga en 3 dimensiones. Por ejemplo el sonido.

3. Magnitudes caractersticas de las ondas

Son las producidas por una perturbacin inicial en un medio elstico por un m.a.s. Tienen las siguientes magnitudes:

- Amplitud: elongacin mxima elongacin de las partculas del medio.- Longitud de onda () : distancia mnima entre dos puntos del medio que se encuentran en la misma fase o estado de vibracin.

- Periodo ( T ). Es el tiempo que tarda la cuerda en recorrer la longitud de onda. Puesto que la velocidad de propagacin adems es constante para una onda armnica se tiene que:

= vT

- Frecuencia ( f ). Es el nmero de ondas que pasa por un punto en 1 s. Se mide en Hz.

f = 1T

- Nmero de onda ( k ). Es el nmero de longitudes de ondas comprendidas en una distancia 2 . Se mide en m1 .

k = 2

=2v / f =

2 fv =

v

4. Ecuacin de las ondas armnicas unidimensionales

En primer lugar atenderemos a la definicin de onda armnica como aquella producida en un medio elstico por un m.a.s.

El estado de vibracin de una partcula cualquier del medio (que tambin se mover con m.a.s) depende de la posicin x de dicha partcula y del tiempo. Adems supondremos que la onda se propaga en el sentido positivo del eje x.

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y = f (x,t) = (x,t)

Sea y(t) = Asen(t + ) la ecuacin del m.a.s que origina la onda. Un punto p situado a una distancia x del punto dnde se origina el m.a.s recibir la perturbacin con un retraso de t ' = xv siendo v la velocidad de propagacin (que

recordemos que es constante).Por tanto, la perturbacin del punto P en el instante t es la correspondiente al origen del m.a.s en el tiempo t t ' , es decir:

y(x,t) = Asen( (t t ') +0 ) = Asen(t t '+0 ) = Asen(t xv +0 ) =

Asen(t kx +0 ) = Asen(2 ft 2x +0 ) = Asen(t kx)

En el caso en que la onda se propagase en sentido negativo del eje x, la ecuacin quedara como:

y(x,t) = Asen(t + kx)

Periodicidad de la funcin de ondas

La funcin de onda y(x,t) es doblemente peridica:

- Es peridica en distancia con periodo , es decir, el estado de vibracin de la partcula x se repite en todos los puntos cuyas distancias a dicha partcula sean mltiplos de la longitud de onda.

- Es peridica en el tiempo con periodo T. Es decir, la elongacin de una partcula determinada x toma el mismo valor en los tiempos t,t + T ,t + 2T ... Adems, los puntos que vibran con un nmero entero de periodos se dice que estn en fase.

Velocidad y aceleracin de la onda

Se llama velocidad transversal a la velocidad de vibracin de las partculas del medio:

v = dydt = A cos(t kx +0 )

siendo la velocidad mxima igual a:

vmax = A

La aceleracin de las partculas por tanto queda definida como:

a = dvdt = A2sen(t kx +0 ) = 2y

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siendo la aceleracin mxima:

amax = A 2

5. Energa de una onda

Cuando una partcula del medio es alcanzada por una onda, est sometida a un m.a.s y tendr energa mecnica, suma de la energa cintica y de la potencial.

La forma ms sencilla de calcular la Energa Mecnica del sistema ser calcular la energa cintica mxima, es decir:

Em = Ec,max =12 mvmax

2 =12 mA

2 2 = 12 mA2 4 2 f 2 = 2 2mA2 f 2

Finalmente la potencia de la onda queda definida como:

P = Et =2 2mA2 f 2

t

6. Intensidad de una onda

- Se denomina frente de onda al lugar geomtrico de los puntos que en un instante dado estn en fase.

- A la direccin de propagacin de la onda se le denomina rayo y en los medios homogneos es perpendicular al frente de onda.

En funcin del frente de onda, las ondas se pueden clasificar como:

- Planas, si el frente de onda es una superficie plana.- Circulares, si el frente de onda es una circunferencia.- Esfricas, si el frente de onda es una esfera.

- Se denomina intensidad de una onda a la energa por unidad de tiempo que atraviesa la unidad de superficie perpendicular a la direccin de propagacin de la onda medida en W / m2

I = Et S =PS

En el caso de dos ondas esfricas con radios R1 y R2 la intensidad queda como:

I1 =Et S1

=E

t 4R12

I2 =Et S2

=E

t 4R22

Por tanto:4

I1I2

=R22R12

Adems como la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud se tiene que:

I1I2

=A12A22

A12A12

=R22R12

A1A2

=R2R1

7. El sonido

El sonido es una perturbacin mecnica de un cuerpo que se propaga en forma de ondas en un medio material elstico. Las ondas de propagacin de sonido se llaman ondas sonoras. El odo humano capta sonidos comprendidos entre 20 y 20.000 Hz. Los sonidos por debajo de 20 Hz se denominan infrasnicos y por encima de 20.000 Hz se llaman ultrasnicos.Las ondas sonoras son ondas longitudinales y se caracterizan por compresiones y dilataciones de las partculas del medio.

Cualidades del sonido

- Intensidad fsica u objetiva es la energa por unidad de tiempo que atraviesa la unidad de superficie perpendicular a la direccin de propagacin de la onda.

I = Et S =PS W / m

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- Intensidad fisiolgica o subjetiva la definimos como la sensacin de mayor o menor intensidad que percibe el odo humano. El intervalo de intensidad para el odo humano va desde I0 = 1012W / m2 (intensidad umbral) hasta Imax = 1W / m2 llamada intensidad de dolor.

- Para medir la intensidad se toma una escala logartmica y se mide en decibelios (dB)

= 10 log II0

8. Interferencia de ondas

Cuando dos o ms ondas concurren en un mismo punto la perturbacin resultando es igual a la suma de las perturbaciones que producira cada onda por separado.

Interferencia de ondas coherentes

Diremos que dos ondas armnicas son coherentes si estn en fase o la diferencia de fase es constante. Para estudiar el fenmeno de interferencia de ondas supondremos dos ondas con la misma frecuencia y la misma longitud de onda o nmero de onda.

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Por ejemplo, sean y1 , y2 dos ondas que van a interferir de ecuaciones:y1 = Asen(t kx1);y2 = Asen(t kx2 );

La interferencia por tanto queda como:

y1 + y2 = Asen(t kx1) + Asen(t kx2 ) = A(sen(t kx1) + sen(t kx2 ) =

= 2Asen t kx1 +t kx22

cos t kx1 (t kx2 )2

= 2Acos kx2 kx12

sen t k x1 + x22

Por tanto la onda resultante tiene la misma frecuencia y la misma longitud de onda que las ondas que interfieren. La amplitud resultante queda como:

A ' = 2Acos kx2 kx12

La interferencia ser totalmente constructiva cuando la amplitud resultante sea mxima, es decir, cuando:

cos kx2 kx12

= 1 k x2 x12 = n

2x2 x12 = n x2 x1 = n

Es decir, la interferencia ser totalmente constructiva cuando la diferencia de caminos recorrida sea un nmero entero de longitudes de onda. Este resultado tambin puede expresarse de la siguiente forma:

La diferencia de fase entre las dos ondas iniciales es:

= t kx1( ) t kx2( ) = k x2 x1( )

Y por tanto la amplitud de la nueva onda se puede expresar como:

A ' = 2Acos 2

Y por tanto la amplitud ser mxima cuando:

2 = n = 2n

As que la interferencia ser totalmente constructiva tambin si la diferencia de fase es un nmero par de .

La interferencia de dos ondas es totalmente destructiva cuando la amplitud resultante es nula, es decir:

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cos kx2 kx12

= 0 k(x2 x1)2 = (2n +1)

2 x2 x1 = (2n +1)

2 ;

o lo que es lo mismo

cos 2

= 0 2 = (2n +1)

2 = (2n +1)

Es decir, la interferencia ser totalmente destructiva cuando la diferencia de caminos recorrida es un nmero impar de semilongitudes de onda o cuando la diferencia de fase es un nmero impar de .

Interferencia de ondas estacionarias

Es la interferencia de ondas idnticas que se propagan en sentidos contrarios, es decir:

y1 = Asen t kx( );y2 = Asen(t + kx);

Y por tanto:

y(x,t) = y1 + y2 = Asen t kx( ) + Asen t + kx( ) = 2Asent kx +t + kx

2

cos t kx t kx2

=

2Acos 2kx2

sen t( ) = 2Acos kx( )sen t( ) = 2A 'sen t( )

La amplitud queda como:

A ' = 2Acos(kx)

Atendiendo al resultado podemos ver como el resultado de la interferencia de dos ondas estacionarias NO es una onda, porque la elongacin no depende de x y t a la vez.

La amplitud ser mxima (vientres) cuando:

cos kx( ) = 1 kx = n 2x = n x = n 2 = 2n

4

La amplitud por tanto ser mxima cuando la distancia al foco emisor sea un nmero par de cuartos de longitud de onda.

La amplitud ser mnima (nodos) cuando:

cos kx( ) = 0 kx = (2n +1)2 2x = (2n +1)2 x = (2n +1)

4

Es decir la amplitud ser mnima cuando la distancia al foco emisor sea un nmero impar de cuartos de longitud de onda.

7

La distancia entre dos vientres consecutivos ser:

dv = 2n4 (2n 2)

4 =

2

La distancia entre dos nodos consecutivos ser:

dv = (2n +1)4 (2n 1)

4 =

2

Y la distancia entre un vientre y un nodo consecutivos ser:

dvn = 2n4 (2n 1)

4 =

4

8

Formulario

Velocidad de propagacin

= vp T

Ecuacin de una onda armnica

y(x,t) = Asen(t kx +0 )

Cuando la onda se propaga en sentido positivo del eje x la frmula lleva el signo - y cuando se propaga en sentido negativo se usa el signo +.

A = amplitud (m) = 2 f = pulsacin (rad / s)

k = 2

= nmero de onda ( m1 )

0 = fase inicial

T= 1f = periodo (s)

= longitud de onda, que es la distancia mnima entre dos puntos que estn en fase ( tienen el mismo estado de vibracin ).

Si dos puntos estn en fase d =2n = n

Si dos puntos estn en oposicin de fase d = (2n +1) = (2n +1)2

Energa de una onda mecnica

Ec =12 mv

2

Ep =12 ky

2

Em = 2 2mA2 f 2 =12 m

2A2

Potencia de una onda

I = PS =ES t

En el caso de ondas esfricas se tiene que I = P4R2 y adems:

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I1I2

=R22R12

A1A2

=R2R1

Diferencia de fase entre dos puntos

= (t kx1 +0 ) (t kx2 +0 ) = k(x2 x1)

Medida de la intensidad sonora

Se establece una escala logartmica y el nivel se mide en decibelios (dB)

= 10 log II0

= nivel de intensidad sonora (dB)I = Intensidad del sonido ( W / m2 )I0 = intensidad umbral por debajo de la cual los sonidos no se oyen. Para el odo humano I0 = 1012W / m2

Interferencia de ondas coherentes

Dos ondas armnicas son coherentes si estn en fase o la diferencia de fase es constante.

y1 = Asen(t kx1)y2 = Asen(t kx2 )

= A 'sen t k x1 + x22

con A'=2Acos k x2 x12

La interferencia ser totalmente constructiva cuando la diferencia de caminos recorrida sea un nmero entero de longitudes de onda o la diferencia de fase sea un nmero par de .

x2 x1 = n = 2n

La interferencia ser totalmente destructiva cuando la diferencia de caminos recorrida sea un nmero impar de semilongitudes de onda o cuando la diferencia de fase sea un nmero impar de .

x2 x1 = (2n +1)2

= (2n +1)

Interferencia de ondas estacionarias10

Es la interferencia de ondas idnticas que se propagan en sentidos contrarios:

y1 = Asen t kx( )y2 = Asen(t + kx)

= A 'sen t( ) con A'=2Acos(kx)

Ntese que el resultado de la interferencia no es una onda puesto que la elongacin no depende de x y para ser onda debe depende de x y t.

La amplitud ser mxima (vientres) cuando: x = 2n 4La amplitud ser mnima (nodos) cuando x = (2n +1)4La distancia entre dos vientres consecutivos es: dv =

2

La distancia entre dos nodos consecutivos es: dn =2

La distancia entre un nodo y un vientre consecutivo es: dvn =4

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