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Joaquín Bernal MéndezCurso 2008/2009

Ingeniería Industrial Dpto. Física Aplicada IIIUniversidad de Sevilla

1

Tema 2: Ondas

Oscilaciones y Ondas

Fundamentos físicos de la ingeniería

Ingeniería Industrial

Primer Curso

Fundamentos Físicos de la IngenieríaCurso 2008/2009

Ingeniería Industrial Dpto. Física Aplicada III – Universidad de Sevilla

Tema 2.-Ondas2/69

ÍndiceIntroducciónFunción de ondaOndas sinusoidalesVelocidad de las ondas mecánicas linealesOnda en una cuerda: energía transmitidaOndas de sonidoEfecto DopplerReflexión y transmisión de ondasSuperposición de ondas



Tema 2.-Ondas5/69

Introducción: ondas mecánicas

Onda: perturbación que viaja sin transferencia de materia

Ondas en el agua, ondas de sonido…

Clasificación según el medio de propagación:Mecánicas: perturbación de un medio.

Ondas en el agua, ondas sísmicas, de sonido, en una cuerda…

Electromagnéticas: no requieren un medio.Luz, rayos X, ondas de radio…

transmiten energía



Tema 2.-Ondas6/69

Ondas mecánicas

La formación y propagación de una onda mecánica requiere:

Una fuente de perturbaciónEj: Piedra que cae en el agua

Un medio que pueda ser perturbadoEj: El agua

Mecanismo físico de interacción entre partículas del medio

Ej: Fuerzas de atracción-repulsión entre las moléculas de agua



Tema 2.-Ondas7/69

Ondas transversales y longitudinales

Clasificación de las ondas según la dirección del desplazamiento de las partículas del medio:

Transversales: perpendicular a la dirección de propagación (Ej: ondas en cuerdas, ondas en el agua)



Tema 2.-Ondas8/69

Ondas transversales y longitudinales

Clasificación de las ondas según la dirección del desplazamiento de las partículas del medio:

Transversales: perpendicular a la dirección de propagación (Ej: ondas en cuerdas, ondas en el agua)

Longitudinales: paralela a la dirección de propagación (Ej: ondas de sonido, ondas en un muelle)



Tema 2.-Ondas9/69




Tema 2.-Ondas10/69

Función de onda

Pulso que viaja en una cuerda:



Tema 2.-Ondas11/69

Función de ondaPulso que viaja en una cuerda:

y

yx

x

0t =( , 0) ( )y x t f x= =

( , ) ( )y x t f x vt= −

P v

t

vt

P′

Px

P Px x vt′ = + ( ) ( )P Pf x vt f x′→ − =

Función de onda



Tema 2.-Ondas12/69

Función de onda

Representa el valor de la coordenada y en cualquier punto x en un instante tEl signo positivo indica onda viajando hacia xdecreciente (la izquierda en nuestro diagrama)Para un t0 fijo y(x,t0) forma de onda: función que proporciona la forma geométrica del pulso

( , ) ( )y x t f x vt= ±



Tema 2.-Ondas13/69

ÍndiceIntroducciónFunción de ondaOndas sinusoidales

Descripción y representaciónEcuación de onda lineal

Velocidad de las ondas mecánicas linealesOnda en una cuerda: energía transmitidaOndas de sonidoEfecto DopplerReflexión y transmisión de ondasSuperposición de ondas



Tema 2.-Ondas14/69

Ondas sinusoidales

Unimos el extremo de una cuerda a un objeto que describe un MAS (diapasón):

Tren de ondas sinusoidales o armónicas

Cada partícula de la cuerda describe un MAS

Todas las ondas pueden representarse como suma de ondas armónicas



Tema 2.-Ondas15/69

Ondas sinusoidales: longitud de onda y amplitud

Longitud de onda (λ): distancia mínima entre dos puntos con la misma posición (y) y velocidad (vy):

Amplitud (A): máximo desplazamiento de cada partícula respecto a su posición de equilibrio

y

x

λ λ A



Tema 2.-Ondas16/69

Frecuencia ( f ): frecuencia del MAS de cada partícula del medio:

Velocidad de la onda: En un tiempo T la onda ha recorrido una distancia λ:

Ondas sinusoidales: frecuencia y velocidad

y

t

T1

fT

=

vT

λ= CUIDADO: No confundir v con vy



Tema 2.-Ondas17/69

Ondas sinusoidales: representación matemática

x

y

( )( ,0) seny x A kx= + δ

2k

π=

λNúmero de onda (m-1)

δ Constante de fase

• En t=0:

Función sinusoidal de amplitud A que se repite cada λ y cuyo valor en x=0 es Asen(δ)



Tema 2.-Ondas18/69

Ondas sinusoidales: representación matemática

En un instante t:

Signo +: onda que viaja hacia x decreciente

Signo -: onda que viaja hacia x creciente

Donde:

Entonces:

( , ) ( ,0)y x t y x vt= ± ( )senA kx kvt= ± + δ

2 2kv

T T

π λ π= = = ω

λFrecuencia angular

( , ) sen( )y x t A kx t= ± ω + δ



Tema 2.-Ondas19/69

Ondas sinusoidales: resumen

( , ) sen( )y x t A kx t= ± ω + δ

• Amplitud:

• Longitud de onda:

• Frecuencia:

•Velocidad de la onda:

1f

T=

λ

A

v fT

λ= = λ

2k

π=

λ

22 f

T

πω = = π frecuencia angular

k

ω=

número de onda



Tema 2.-Ondas20/69

Ecuación de onda lineal( , ) sen( )y x t A kx t= ± ω + δ

cos( )y

yv A kx t

t

∂= = ±ω ± ω + δ

∂2

22

sen( )y

ya A kx t

t

∂= = −ω ± ω + δ

∂

cos( )y

kA kx tx

∂= ± ω + δ

∂2

22

sen( )y

k A kx tx

∂= − ± ω + δ

∂

2 2

2 2 2 2

1 1y y

k x t

∂ ∂=

∂ ω ∂2 2 2

2 2 2

y k y

x t

∂ ∂=

∂ ω ∂

2 2

2 2 2

1y y

x v t

∂ ∂=

∂ ∂



Tema 2.-Ondas21/69

Ecuación de onda lineal

Ecuación diferencial que cumple una perturbación que se propaga como una onda lineal

Ondas armónicas son una posible solución

Solución general: onda viajera

2 2

2 2 2

1y y

x v t

∂ ∂=

∂ ∂

( , ) ( )y x t f x vt= ±



Tema 2.-Ondas22/69

Es solución de la ecuación de ondas lineal

Ecuación de onda lineal

2 2

2 2 2

1y y

x v t

∂ ∂=

∂ ∂

2 2 2

2 2 2

y f f

x x

∂ ∂ ∂φ ∂= =

∂ ∂φ ∂ ∂φ

( , ) ( )y x t f x vt= ±

y f f

x x

∂ ∂ ∂φ ∂= =

∂ ∂φ ∂ ∂φ

• Demostración: x vtφ = ±Fase:

y f fv

t t

∂ ∂ ∂φ ∂= = ±

∂ ∂φ ∂ ∂φ

2 2 22

2 2 2

y f fv v

t t

∂ ∂ ∂φ ∂= ± =

∂ ∂φ ∂ ∂φ



Tema 2.-Ondas23/69

ÍndiceIntroducciónFunción de ondaOndas sinusoidalesVelocidad de las ondas mecánicas lineales

Onda en una cuerdaOnda de sonido

Onda en una cuerda: energía transmitidaOndas de sonidoEfecto DopplerReflexión y transmisión de ondasSuperposición de ondas



Tema 2.-Ondas24/69

Velocidad de las ondas

Las ondas mecánicas con amplitudes pequeñas frente a λ pueden considerarse lineales: cumplen ecuación de ondas lineal.

Ondas mecánicas lineales: Su velocidad depende solamente de las propiedades del medio a través del que se mueven

Ondas de diferente frecuencia se propagan con la misma velocidad



Tema 2.-Ondas25/69

Velocidad de las ondas: onda en una cuerda

Si aumentamos la fuerza de restitución (tensión de la cuerda, ) la onda viaja a mayor velocidadSi usamos una cuerda con mayor densidad de masa la onda viaja más lenta

Para una cuerda homogénea:

tF

tFv =

μdm

dLμ = → densidad de masa lineal

m

Lμ =

L

m



Tema 2.-Ondas26/69

Velocidad de las ondas: ondassonoras

Bv =

ρ

Módulo de compresibilidad:

Densidad de masa

PB

V V

Δ= −

Δ

Para muchos tipos de ondas mecánicas se cumple:

Ondas de sonido en un fluido

v =(propiedad elástica del medio)

(propiedad inercial del medio)



Tema 2.-Ondas27/69

Velocidad de las ondas: ondassonoras

Bv =

ρ343Aire (20º C)

331Aire (0º C)

1482Agua (20ºC)

1402Agua (0º C)

1286Hidrógeno (0º C)

v (m/s)Medio

BT∝

ρ

En un gas:

Aplicación: Calculo aproximado de la distancia un relámpago

83 10 m/s >> c v= × Desprecio el retraso de la luz

0.33 km/sv ≈ 0.333

km s km

s

xd vt x= = =



Tema 2.-Ondas28/69

Velocidad de las ondas: observaciones

La frecuencia de la onda la determina el agente causante de la misma

La velocidad de la onda depende del medio

La longitud de onda se obtiene de:v

fλ =

Ejemplo: sonar de los delfines 510 Hzf ≈

5

14821.5

10

m/scm

1/s

v

fλ = = ≈

Agua a 20º C



Tema 2.-Ondas29/69




Tema 2.-Ondas30/69

Onda en una cuerda: energía transmitida

Una onda que se propaga en un medio transporta energía:

Un trozo de corcho sube y baja en el aguaUn pulso en una cuerda puede levantar una masa

Vamos a suponer una onda sinusoidal en una cuerdaVamos a calcular el trabajo realizado por la fuerza que un segmento de cuerda realiza sobre el vecino



Tema 2.-Ondas31/69


sent t t tP F v Fv= ⋅ = − θ

Potencia:

Ondas lineales A<<λ sen tan θ << → θ ≈ θ ≈ θ

tant t t

y yP Fv F

t x

∂ ∂= − θ = −

∂ ∂Válido para cualquier forma de onda

( , ) sen( )y x t A kx t= − ω

[ ][ ]cos( ) cos( )tP F kA kx t A kx t= − − ω − ω − ω2 2 2( , ) cos ( )P x t v A kx t= μ ω − ω2v μ

vω



Tema 2.-Ondas32/69


Potencia promedio:

Es la mitad de la potencia instantánea máxima

: general para ondas sinusoidales

2 2 2

0 0

1

2

1 1( , ) cos ( )

T T

mP P x t dt v A kx t dtT T

=

= =μ ω − ω∫ ∫

2 21

2mP v A= μ ω

2 2,mP A∝ ω



Tema 2.-Ondas33/69


Energía media que fluye por un punto en un intervalo de tiempo:

m m m

xE P t P

v

Δ= Δ =

2 21

2mE A x= μω Δ

La energía viaja a la velocidad de la onda



Tema 2.-Ondas34/69

ÍndiceIntroducciónFunción de ondaOndas sinusoidalesVelocidad de las ondas mecánicas linealesOnda en una cuerda: energía transmitidaOndas de sonido

Onda de desplazamiento y onda de presión

Efecto DopplerReflexión y transmisión de ondasSuperposición de ondas



Tema 2.-Ondas35/69

Ondas de sonido

Ondas longitudinales

Ondas sonoras armónicas: desplazamiento de las moléculas respecto a su posición de equilibrio:

El desplazamiento de las moléculas provoca variaciones de la densidad y presión del aire: onda de presión y onda de densidad

0( , ) sen( )s x t s kx t= − ω



Tema 2.-Ondas36/69

Ondas de sonidoDesplazamiento respecto al equilibrio

Movimiento de las partículas un instante T/4 antes

Posición de las partículas

• s=0: partícula en su posición de equilibrio (x1 y x3)

• s>0: desplazamiento a la derecha de la posición de equilibrio

• s<0: desplazamiento a la izquierda de la posición de equilibrio



Tema 2.-Ondas37/69


movimiento de las partículas un instante T/4 antes


Densidad del aire

La onda de densidad estádesfasada 90º respecto a la

onda de desplazamiento



Tema 2.-Ondas38/69


movimiento de las partículas un instante T/4 antes


Densidad del aire

Onda de presión

0( , ) sen( )2

p x t p kx tπ

= − ω −



Tema 2.-Ondas39/69

Ondas de sonido

Relación entre las amplitudes de presión y de desplazamiento

0 0p v s= ρ ω

densidad de equilibrio

Donde: velocidad de la onda v

ρ →⎧⎪ →⎨⎪⎩ 0 velocidad longitudinal máximasω →



Tema 2.-Ondas40/69

¿De qué orden es la amplitud de desplazamiento máxima que puede soportar el oído humano?

Ondas de sonido: aplicación

Frecuencias de sonido audible para el hombre: 20 Hz – 20000 Hz

Frecuencias mayores: ultrasonidos

Frecuencias menores: infrasonidos

Máxima amplitud de presión que el oído humano puede tolerar: 28 Pa

( ) ( )0

0

2811

343 1.21 2 10003

Pa m

m/s kg/m Hz

ps

v= = = μ

ρω π



Tema 2.-Ondas41/69




Tema 2.-Ondas42/69

Efecto Doppler

Cambio en la percepción del sonido cuando existe movimiento relativo entre emisor y receptor

Ejemplo: Sirena de ambulancia o de coche de policía

Debe su nombre al físico austriaco Christian J. Doppler (1803-1853)

Causa: diferencia entre la frecuencia percibida por el receptor ( fr ) y la emitida por la fuente ( ff )

Efecto asociado a todo tipo de ondas



Tema 2.-Ondas43/69

• Cuando el receptor y la fuente se acercan los frentes de onda se juntan: fr > ff

• Cuando el receptor y la fuente se alejan los frentes de onda se separan: fr < ff

Efecto Doppler



Tema 2.-Ondas44/69

Efecto Doppler

Fuente y receptor estáticos

F R

λv

λ

• Tiempo emisión entre frentes de onda:

• Velocidad de los frentes de onda:

• Distancia entre frentes:

• Tiempo entre frentes:

• Frecuencia recibida:

v

1f

f

Tf v

λ= =

1r

r

vf

T= =

λr ff f=

rTv

λ=



Tema 2.-Ondas45/69

Efecto Doppler

Receptor en movimiento

F R

λv

rv

• Tiempo entre frentes:


• R se acerca a F ( ):

• R se aleja de F ( ):

• Si :

rr

Tv v

λ=

+

rr

v vf

+=

λ

0rv >

0rv <

r ff f>

r ff f<

0rv = r ff f=

rr f

v vf f

v

+=



Tema 2.-Ondas46/69

Efecto Doppler

Fuente en movimiento

RF fv

• Velocidad de los frentes:

• Distancia entre frentes:


r f fv Tλ = λ −

rλ

v

v

f fv T

F′

r ff f f

v vf f

v T v v= =

λ − −

Si F se aleja de R: 0fv <



Tema 2.-Ondas47/69

Efecto Doppler: ecuación general

Si receptor y fuente están en movimiento:

Cuando F se mueve hacia R: vf > 0, en caso contrario vf < 0Cuando R se mueve hacia F: vr > 0, en caso contrario vr < 0

rr f

f

v vf f

v v

+=

−

Las velocidades vf y vr se miden respecto al aire



Tema 2.-Ondas49/69

Efecto Doppler: ondas de choque

Si

Esta ecuación no sirve para

Si las ondasse concentran tras el foco y forman una onda de choque

rr f

f

v vf f

v v

+=

−

f rv v f= ⇒ = ∞ ó r fv v v v≥ ≥

fv v>



Tema 2.-Ondas50/69




Tema 2.-Ondas51/69


Cono de Mach

Ángulo de Mach

θ

Tangente común de todos los frentes de onda

Estampido sónico



Tema 2.-Ondas52/69


v tΔ

fv tΔ

θ

senf f

v t v

v t v

Δθ = =

Δ

Número de Mach

• Δt: tiempo desde la emisión del frente de ondas en P

• Espacio recorrido por el avión: vf Δt

• Espacio recorrido por el frente de ondas: vΔt

fvv

P



Tema 2.-Ondas53/69




Tema 2.-Ondas54/69


Vehículo THRUST SSC superando el récord de velocidad terrestre (Mach 1,020)



Tema 2.-Ondas55/69


Bala desplazándose con un número de Mach 2,45



Tema 2.-Ondas56/69

ÍndiceIntroducciónFunción de ondaOndas sinusoidalesVelocidad de las ondas mecánicas linealesOnda en una cuerda: energía transmitidaOndas de sonidoEfecto DopplerReflexión y transmisión de ondas

Reflexión totalTransmisión

Superposición de ondas



Tema 2.-Ondas57/69

Reflexión y transmisión de ondas

Hasta ahora hemos estudiado la transmisión de ondas en un medio infinitoVamos a analizar lo que ocurre cuando una onda alcanza la frontera entre dos medios.Fenómenos relacionados:

Reflexión: onda que regresaEjemplo: eco

Transmisión: onda se propaga a través del nuevo medio

Ejemplo: luz en el agua



Tema 2.-Ondas58/69


Reflexión total: onda en una cuerdaCuerda con extremo fijo

Pulso reflejado con la misma forma que el pulso incidente, pero invertido



Tema 2.-Ondas59/69


Reflexión total: onda en una cuerdaCuerda con extremo libre

Pulso reflejado con la misma forma que el incidente



Tema 2.-Ondas60/69


Reflexión-transmisión: onda en una cuerdaCuerda pesadaunida a otra másligera

Cuerda ligera unida a otra máspesada

Onda reflejada no se invierte

Onda reflejada es invertida



Tema 2.-Ondas61/69


Una onda se verá parcialmente transmitida y parcialmente reflejada en la superficie de separación entre dos medios en los cuales su velocidad sea diferente

Si las velocidades son parecidas: transmisión es dominante

Ejemplo: oído interno de los peces

Si las velocidades son muy diferentes: reflexión es dominante

Ejemplo: radiocomunicación



Tema 2.-Ondas62/69


Principio de superposiciónInterferencia de ondas armónicas



Tema 2.-Ondas63/69


En un medio puede propagarse varias perturbaciones simultáneamente

Ejemplo: varias personas hablando a la vez

Principio de superposición:

Se deduce de la linealidad de la ecuación de ondas

Cuando dos o más ondas se combinan en un determinado punto la perturbación resultante es la suma de las perturbaciones provocadas por cada onda



Tema 2.-Ondas65/69


Consecuencia del Principio de Superposición: dos ondas pueden pasar la una a través de la otra sin ser destruidas ni modificadas

Interferencia: fenómeno ondulatorio que se presenta cuando dos o más ondas se superponen



Tema 2.-Ondas66/69

Onda resultante con la misma f y λLa amplitud depende de δ (diferencia de fase)

Superposición de ondas: interferencia de ondas armónicas

1

2

sen( )

sen( )

y A kx t

y A kx t

= − ω= − ω + δ

1 2 2 22 cos( )sen( )y y A kx tδ δ+ = − ω +

2 2sen sen 2cos( )sen( ) )a b a ba b − ++ =( Donde hemos usado:



Tema 2.-Ondas67/69

Onda 1

Onda 2 Onda resultante

Superposición de ondas: interferencia de ondas armónicas

Si δ=0, cos(δ/2)=1 y A’=2A; interferencia constructiva

Si δ=π, cos(δ/2)=0 y A’=0; interferencia destructiva

1 2 2 22 cos( )sen( )y y A kx tδ δ+ = − ω +

Onda 2

Onda 1

Onda resultanteA′



Tema 2.-Ondas68/69

Resumen del tema (I)

Onda: perturbación que se propaga sin transmisión de materia. La ondas mecánicas son las que requieren de un medio material para propagarse.Una forma de onda que se propaga sin deformarse se denomina onda lineal, tiene la ecuación f(x±vt) y es solución de la ecuación de ondas lineal.La ondas sinusoidales son una solución particular de la ecuación de ondas lineal. La velocidad de una onda lineal sólo depende del medio en que se propaga, pero no de su frecuencia.La energía transmitida por una onda aumenta con el cuadrado de su amplitud y de su frecuencia.



Tema 2.-Ondas69/69

Resumen del tema (II)

El efecto Doppler:Es un cambio en la frecuencia de la onda percibida respecto a laemitidaSe produce en todos los tipos de onda cuando existe movimiento relativo entre el emisor y el receptor

Cuando una onda atraviesa la superficie de separación entre dos medios en los cuales se propaga a diferente velocidad aparecen los fenómenos de reflexión y transmisión.El principio de superposición para ondas lineales:

Es una consecuencia de la linealidad de la ecuación de ondasEstablece que cuando dos o más ondas se combinan en un determinado punto la perturbación resultante es la suma de las perturbaciones provocadas por cada onda

Se denomina interferencia al fenómeno que se produce cuando se superponen dos o más ondas.

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