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Apuntes de Física de José Luis serrano
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Tema 3º: VIBRACIONES Y ONDAS
INDICE:
1. Movimiento periódico y oscilatorio
2. Movimiento vibratorio armónico simple. Magnitudes
3. Ecuaciones del movimiento: elongación, velocidad y aceleración.
4. Dinámica del movimiento armónico simple: el oscilador armónico.
5. El péndulo simple.
6. Energía del oscilador armónico.
7. Movimiento ondulatorio
8. Tipos y clasificación de las ondas.
9. Magnitudes que caracterizan a una onda.
10. Ecuación de las ondas armónicas unidimensionales.
11. Energía asociada al movimiento ondulatorio.
12. Intensidad. Atenuación de una onda esférica por la distancia al foco.
13. Absorción de ondas planas.
14. Principio de Huygens.
15. Estudio cualitativo de los fenómenos de reflexión, refracción y difracción de
una onda.
16. Estudio cualitativo de las interferencias
17. Ondas estacionarias
18. Ondas sonoras: intensidad y sonoridad.
19. Estudio cualitativo de la contaminación acústica.
20. Estudio cualitativo del efecto Doppler.
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1.3- MOVIMIENTO PERIÓDICO Y OSCILATORIO
Un movimiento es periódico cuando el móvil pasa por un mismo punto a intervalos de
tiempos iguales con las mismas características del movimiento, es decir con la misma
velocidad y la misma aceleración.
Ejem: movimiento circular uniforme, movimiento de rotación de la Tierra alrededor del
Sol, movimiento de un péndulo, etc.
Si además el móvil se encuentra en posiciones máximas y mínimas con respecto al origen,
se dice que es oscilatorio. Ejem: movimiento de un péndulo.
Si además el origen del movimiento se encuentra en el punto medio de ese movimiento
oscilatorio, se dice que es vibratorio.
Si además sus ecuaciones son función de senos o de cosenos, se dice que son armónicos.
2.3- MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMÓNICO SIMPLE. MAGNITUDES
Se obtiene proyectando sobre uno de los ejes (por ejemplo el eje Y) el movimiento de un
punto P que describe un movimiento circular uniforme.
Movimiento rectilíneo variado no uniforme que se obtiene mediante la proyección de un
movimiento circular uniforme sobre uno de sus ejes.
Las características del movimiento son:
Ciclo: movimiento que realiza el móvil desde que pasa por un punto hasta que
llega al mismo punto con las mismas características del movimiento.
Periodo: tiempo que tarda un móvil en recorrer un ciclo.
Frecuencia: número de ciclos que recorre el móvil en la unidad de tiempo. El
periodo y la frecuencia son inversas 𝜗 =1
𝑇
Elongación: distancia al origen del móvil en cada instante.
Amplitud: valor máximo de la elongación que coincide con el radio del movimiento
circular uniforme que origina el movimiento vibratorio (A)
Al proyectar el punto P sobre el eje Y, esta
proyección se mueve hacia arriba y abajo del eje,
describiendo un movimiento rectilíneo con
velocidad y aceleración variables, es pues un
movimiento rectilíneo porque su trayectoria es el
eje y es oscilatorio porque su posición respecto al
origen (centro de la circunferencia) pasa por un
valor máximo y otro mínimo. Enlace
A este movimiento se le denomina vibratorio
armónico simple y se le define como un
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Fase: indica el estado del movimiento en cada instante, y es el ángulo que forman
el radio vector que une el punto P con el origen y cualquier eje que elijamos como
referencia. 𝜑 = 𝜑𝑜 + 𝜔𝑡
Pulsación: coincide con el valor de ω del móvil que describe el movimiento circular
uniforme.
3.3- ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: ELONGACIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
Proyección sobre el eje Y: 𝑦 = 𝐴 sin 𝜔𝑡 + 𝜑𝑜
Si la proyección se hiciera sobre el eje X la ecuación de la elongación sería:
𝑦 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝜑𝑜
Se puede pasar de una a otra incrementando la fase inicial en π/2 radianes ya que:
sin 𝜑 = cos𝜑0 = sin 𝜑0 +𝜋
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ECUACIÓN DE LA VELOCIDAD
La velocidad del movimiento vibratorio armónico es un vector que tiene la misma dirección y
sentido que la elongación y se calcula:
𝑣 =𝑑𝑦
𝑑𝑡= 𝐴𝜔 cos 𝜔𝑡 + 𝜑𝑜 = ±𝐴𝜔 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜔𝑡 + 𝜑𝑜 =
= ±𝜔 𝐴2 − 𝐴2𝑠𝑒𝑛2 𝜔𝑡 + 𝜑𝑜 = ±𝜔 𝐴2 − 𝑦2
Supongamos que el móvil se encuentra
inicialmente en el punto Po y transcurrido un
tiempo t se encuentra en P’ describiendo un
movimiento circular uniforme con velocidad
angular constante ω .El ángulo que inicialmente
forma el radio A con el eje X es 𝜑𝑜 y el que
describe en el tiempo t es 𝜔𝑡 siendo el ángulo
total y por lo tanto la fase 𝜑 = 𝜑𝑜 + 𝜔𝑡 .A la
proyección del punto P sobre el eje Y se la
denomina elongación y se calcula:
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𝑣 = ±𝜔 𝐴2 − 𝑦2 si y= 0 v = vmax = ±𝐴𝜔 (en el origen)
si y = A v = 0 (en los extremos)
ECUACIÓN DE LA ACELERACIÓN
La aceleración es un vector que tiene la misma dirección que la elongación pero sentido
contrario, y dirigido siempre hacia el centro de la vibración. Se calcula:
𝑎 =𝑑𝑣
𝑑𝑡= −𝐴𝜔2 sin 𝜔𝑡 + 𝜑𝑜 = −𝜔2𝑦
𝑎 = −𝜔2𝑦 si y = 0 a = 0 (en el origen)
si y = A a = amax (en los extremos)
Esta expresión indica que siempre que un móvil se mueva con movimiento rectilíneo con
una aceleración que sea proporcional y de signo contrario a la distancia al origen y dirigida
hacia el centro, podemos decir que ese móvil tiene un movimiento vibratorio armónico en
el cuál la aceleración es máxima en los extremos y nula en el origen, con un periodo cuyo
valor es:
Como 𝜔 es constante podemos poner a = -k y donde k = 𝜔2 y 𝜔 = 𝑘
Y como 𝜔 =2𝜋
𝑇 ;
2𝜋
𝑇= 𝑘 𝑇 =
2𝜋
𝑘
La representación gráfica de estas 3 ecuaciones, elongación, velocidad y aceleración es:
4.3- DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE: EL OSCILADOR ARMÓNICO
Cuando un móvil se mueve con un movimiento armónico simple, está sujeto a una
aceleración 𝑎 = −𝜔2𝑦 Si el móvil tiene una masa m quiere decir que sobre él actúa una
fuerza que es: F = m a = - m 𝜔2 y como m y 𝜔 son ctes ; F = m a = - m 𝜔2 y = - k y
Esto quiere decir que la fuerza que origina el movimiento vibratorio armónico simple tiene
la misma dirección y sentido que la aceleración, es decir que siempre está dirigida hacia el
origen (centro), por lo tanto, siempre que sobre un cuerpo que se mueve sobre una recta
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actúa una fuerza que depende de la elongación y que está dirigida hacia el centro, obliga al
cuerpo a realizar un movimiento vibratorio armónico simple, cuyo periodo es:
K = m 𝜔2 = m 4𝜋2
𝑇2 ; 𝑇 = 2𝜋 𝑚
𝑘
Ejemplo el movimiento de un cuerpo que cuelga de un muelle elástico:
describa un movimiento vibratorio armónico (Enlace)
5.3- EL PENDULO SIMPLE
Para ángulos muy pequeños, se puede sustituir el arco (s) por la cuerda (x)
Cuando separamos la esfera de su posición de equilibrio una altura (h), le comunicamos
una energía potencial que al dejarla libre se va transformando en energía cinética de tal
forma que en el punto medio (punto de equilibrio), toda la energía potencial se ha
transformado en energía cinética.
La componente Fx es la causante del movimiento oscilatorio del péndulo, y no es un
movimiento vibratorio armónico porque esta fuerza depende del seno del ángulo, no de la
elongación.
Consideremos una masa m que cuelga de un muelle elástico.
Cuando el muelle está en equilibrio le estiramos una distancia
“y” y al soltarle se pone a vibrar gracias a la fuerza de
elasticidad de Hooke cuyo valor es F = -ky siendo la fuerza que
hemos realizado para estirarlo F = ky .Por el principio de acción
y reacción, en donde k es La constante de elasticidad del
muelle, las dos fuerzas son iguales pero de sentido contrario y
como la fuerza elástica F = -ky tiene la misma dirección que “y”
pero dirigida siempre hacia el origen, hace que el muelle
El péndulo simple o matemático, es un péndulo que está
formado por un punto material que cuelga de un hilo
inextensible y sin masa.
El péndulo simple no existe pero se puede construir en la
práctica, haciendo colgar una esfera pequeña de gran
densidad de un hilo muy resistente y fino.
Las 2 únicas fuerzas que actúan sobre la esfera son su
peso y la tensión del hilo, y en el punto de equilibrio se
anulan, pero en cualquier otro punto, las fuerzas no se
anulan pudiendo descomponer el peso (P) en dos
componentes perpendiculares entre sí que son:
T = Fy = P cosα = mg cosα T y Fy se anulan
Fx = - P senα = - mg senα
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Fx siempre es tangente al arco en cada punto, y el signo (-) es porque disminuye a medida que
nos acercamos al punto de equilibrio, en el cuál su valor es cero.
Para ángulos muy pequeños, menores de 5º, se puede sustituir el seno del ángulo por el valor
del ángulo expresado en radianes.
Fx = - mg senα = - mgα y como s = α.l y α= s/l sustituyendo Fx = – mg s/l y cómo
podemos sustituir el arco (s) por la cuerda (x) queda:
Fx = - mg x/l y como m,g y l son ctes : Fx = - kx que es la fuerza que produce un movimiento
vibratorio armónico, por lo que podemos decir que para ángulos menores de 5º el movimiento
de un péndulo es un movimiento vibratorio armónico en el cuál k = mg/l y el periodo de
vibración es:
𝑇 = 2𝜋 𝑚
𝑘= 2𝜋
𝑚𝑚𝑔𝑙
= 2𝜋 𝑙
𝑔
Mediante un péndulo se puede calcular aproximadamente el valor de la gravedad en cualquier
parte de la superficie terrestre.
𝑇2 = 4𝜋2𝑙
𝑔 𝑔 =
4𝜋2𝑙
𝑇2
6.3-ENERGÍA DEL OSCILADOR ARMÓNICO
Un oscilador armónico es un sistema material que realiza un movimiento armónico simple. La
energía del punto material que vibra, si se desprecia las pérdidas de energía por rozamiento,
es siempre igual en cada instante a la suma de la energía cinética y la energía potencial.
Em = Ec + Ep Teniendo en cuenta que 𝑣 = ±𝜔 𝐴2 − 𝑦2
𝐸𝑐 =1
2𝑚𝑣2 =
1
2𝑚𝜔2 𝐴2 − 𝑦2 Si y=A Ec = 0 (En los extremos)
Si y=0 Ec = Em = Ecmax (En el origen)
La Ec será nula en los extremos y máxima en el origen.
Para calcular la Ep hay que tener en cuenta que la fuerza no es constante.
𝐹 𝑒𝑙𝑎𝑠 = −𝑘𝑦 ; 𝑊12 = 𝐹 . 𝑑 𝑦
2
1
= − 𝑘𝑦 . 𝑑 𝑦
2
1
= −𝑘 𝑦𝑑𝑦 cos 02
1
= −𝑘 𝑦2
2
1
2
= −1
2𝑘𝑦2
2 − −1
2𝑘𝑦1
2 =1
2𝑘𝑦1
2 −1
2𝑘𝑦2
2
Como el trabajo que realiza la fuerza elástica solo depende del estado inicial y el estado final,
la fuerza elástica es una fuerza conservativa
Por ser una fuerza conservativa:
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𝑊12 = −∆𝐸𝑝 = − 𝐸𝑝2
− 𝐸𝑝1 = 𝐸𝑝1
− 𝐸𝑝2
Comparando con la anterior expresión se deduce que: 𝐸𝑝𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎=
1
2𝑘𝑦2
Luego: 𝐸𝑝 =1
2𝑘𝑦2 Si y = A Ep = Epmax = Em (En los extremos)
Si y = 0 Ep = 0 (En el origen)
En el movimiento vibratorio armónico la Ep es máxima en los extremos y nula en el origen, y
en cualquier otro punto la energía es la suma de ambas.
𝐸𝑚 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝 =1
2𝑚𝜔2 𝐴2 − 𝑦2 +
1
2𝑘𝑦2 Pero como 𝑘 = 𝑚𝜔2 queda:
𝐸𝑚 =1
2𝑚𝜔2 𝐴2 − 𝑦2 +
1
2𝑘𝑦2 =
1
2𝑘 𝐴2 − 𝑦2 +
1
2𝑘𝑦2 =
1
2𝑘𝐴2
La representación gráfica de la Ec y la Ep elástica en función del tiempo y del desplazamiento
ponen de manifiesto que ambas energías son siempre positivas y que su suma en todo
momento es igual a 1
2𝑘𝐴2
7.3- MOVIMIENTO ONDULATORIO
Si sobre las moléculas de un medio elástico como el agua, el aire y el acero, se ejerce una
fuerza elástica que las hace vibrar, se produce una perturbación que se transmite a lo largo de
todo el medio elástico porque al estar unidas las moléculas del medio unas a otras, cuando una
se pone a vibrar arrastra a las otras y así las hace vibrar, creándose un movimiento
ondulatorio que se define como un movimiento vibratorio armónico que se transmite a lo
largo de un medio elástico en forma de ondas, considerándose una onda a toda perturbación
que se propaga por un medio elástico, y siendo una perturbación toda energía que
comunicamos a las moléculas de un medio elástico que las hace vibrar. Por lo tanto en un
movimiento ondulatorio, lo que se transmite es la energía y no las partículas del medio.
Cuando la perturbación es individual, lo que se transmite es un pulso de tal forma que una vez
pasado el pulso, las partículas se quedan en equilibrio. (Enlace)
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Mientras que una perturbación continuada genera un tren de ondas.
Se denomina frente de ondas al lugar geométrico del medio elástico en el que en un instante
determinado todas las moléculas se ponen a vibrar porque les llega la perturbación.
Los frentes de ondas pueden ser:
Esféricos: Se propagan en todas las direcciones. Ejemplo: las ondas del sonido.
Circulares: Se propagan en dos direcciones. Ejemplo: las ondas de un estanque
Puntuales: Se propagan en una sola dirección. Ejemplo: una cuerda tensa
Planos: El foco emisor de ondas se encuentra muy lejos del frente de ondas. Ejemplo:
la luz que proviene del Sol
8.3- TIPOS Y CLASIFICACIÓN DE LAS ONDAS
Las ondas se pueden clasificar de varias formas
1º) En función del tipo de energía que se transmite
Mecánicas: transmiten energía mecánica y por lo tanto necesitan un medio material
para propagarse. Ejemplo: El sonido, ondas en un estanque, vibración de una cuerda,
etc.
Electromagnéticas: transmiten energía electromagnética producida por las vibraciones
de las cargas eléctricas. No necesitan un medio material para propagarse, pueden
hacerlo en el vacío. Todas las ondas electromagnéticas en el vacío se propagan a una
velocidad de v = 3 . 108 m/s
2º) En función de las dimensiones en las que se transmite la energía de la onda
Unidimensionales: se propagan en una sola dirección. Ejemplo: la cuerda
Bidimensionales: se propagan en dos direcciones. Ejemplo: el agua de un estanque.
Tridimensionales: se propagan en tres direcciones. Ejemplo: ondas sonoras.
3º) En función de la dirección de propagación y de la dirección de vibración
Transversales: la dirección de propagación es perpendicular a la dirección de
vibración. Ejemplo: la cuerda
Longitudinales: la dirección de propagación es paralela a la dirección de vibración.
Ejemplo: El sonido, un muelle, etc. (Enlace)
9.3- MAGNITUDES QUE CARACTERIZAN UNA ONDA
Fase: indica en cada instante el estado de movimiento del cuerpo elástico, como es la
elongación, la velocidad, etc.
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Se dice que dos puntos del movimiento ondulatorio se encuentran en fase cuando sus
elongaciones tienen el mismo valor, la misma dirección, y el mismo sentido, y en
oposición de fase cuando tienen el mismo valor, la misma dirección pero sentido
contrario.
λ
A y C están en fase ; A y B están en oposición de fase
Longitud de onda (λ): distancia que hay entre 2 puntos consecutivos que se
encuentran en fase. En el S.I se mide en m.
Periodo (T): tiempo que la onda tarda en recorrer una distancia igual a la longitud de
onda. Coincide con el periodo del movimiento vibratorio armónico y en el S.I se mide
en s
Frecuencia (ν): indica el nº de longitudes de onda que hay en 1 segundo. Coincide con
la frecuencia del movimiento vibratorio armónico y en el S.I se mide en Hz. La
frecuencia y el periodo son inversas T = 1/ν
Nº de ondas (K): indica el nº de longitudes de ondas que hay en 2π radianes. En el S.I
se mide en m-1 y su fórmula es K = 2π/λ
Amplitud (A): máxima elongación del movimiento vibratorio armónico que se
transmite. En el S.I se mide en m
Velocidad de propagación: indica la velocidad con la que la onda se propaga por el
medio y no hay que confundir con la velocidad de vibración. En un medio homogéneo,
las ondas se propagan en todas las direcciones con velocidad cte, pero si cambiamos
de medio, cambia la velocidad de propagación. Se calcula:
𝑣 =𝜆
𝑇 𝑜 𝑣 = 𝜆 . 𝜈
10.3- ECUACIÓN DE LAS ONDAS ARMÓNICAS UNIDIMENSIONALES
La ecuación de una onda es una expresión matemática que permite obtener el estado de
vibración en cualquier instante de una partícula del medio.
Vamos a suponer una onda transversal que se propaga a lo largo de una cuerda sobre el eje X
en sentido positivo, y consideremos un punto que se encuentra a una distancia x del origen
que tarda en recorrer la onda un tiempo t’ siendo t el tiempo durante el cual está vibrando el
origen.
La ecuación de vibración que se propaga es: 𝑦 = 𝐴 sin 𝜔𝑡 + 𝜑0
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Siendo el tiempo durante el cual está vibrando el punto x (t-t’) luego la ecuación de vibración
de ese punto es:
𝑦 = 𝐴 sin 𝜔 𝑡 − 𝑡′ + 𝜑0 = 𝐴 sin 2𝜋
𝑇 𝑡 − 𝑡′ + 𝜑0 = 𝐴 sin 2𝜋 𝑡 − 𝑡′ + 𝜑0 =
𝐴 sin 2𝜋 𝑡
𝑇−
𝑥
𝜈 .𝑇 + 𝜑0 = 𝐴 sin 2𝜋
𝑡
𝑇−
𝑥
𝜆 + 𝜑0 = 𝐴 sin
2𝜋𝑡
𝑇−
2𝜋𝑥
𝜆 + 𝜑0 =
𝐴 sin 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝜑0
La ecuación 𝑦 = 𝐴 sin 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝜑0 es la ecuación de una onda que se propaga en el
sentido positivo del eje X. Si la onda se propaga en el sentido negativo del eje X sería:
𝑦 = 𝐴 sin 𝜔𝑡 + 𝑘𝑥 + 𝜑0
Con carácter general la ecuación de un movimiento ondulatorio (de una onda armónica
unidimensional) es:
𝑦 = 𝐴 sin 𝜔𝑡 ± 𝑘𝑥 + 𝜑0
La ecuación de onda es doblemente periódica: respecto al tiempo t, y respecto a la distancia x.
Respecto al tiempo porque se repite para un tiempo t = T y con respecto a la distancia porque
se repite para una distancia x = 𝜆
11.3- ENERGÍA ASOCIADA AL MOVIMIENTO ONDULATORIO
Teniendo en cuenta que un movimiento ondulatorio es la propagación de un movimiento
vibratorio a lo largo de un medio elástico, y que solamente se propaga la energía, la energía de
una onda coincide con la energía del movimiento vibratorio que se propaga, por lo tanto la
energía de la onda es igual a la energía cinética de vibración máxima (origen) o a la energía
potencial máxima (extremos).
Eonda = Ecmax = ½ m v2max
𝑦 = 𝐴 sin 𝜔𝑡 + 𝜑0 ; 𝑣 =𝑑𝑦
𝑑𝑡= 𝐴𝜔 cos 𝜔𝑡 + 𝜑0 𝑠𝑖 cos 𝜔𝑡 + 𝜑0 = 1 𝑣𝑚𝑎𝑥 = 𝐴𝜔
Y sustituyendo: 𝐸𝑜𝑛𝑑𝑎 =1
2𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥
2 =1
2𝑚𝐴2𝜔2 =
1
2𝑚𝐴24𝜋2𝜈2 = 2𝑚𝐴2𝜋2𝜈2
𝐸𝑜𝑛𝑑 𝑎 = 2𝑚𝐴2𝜋2𝜈2
La energía de la onda es directamente proporcional a su amplitud al cuadrado y a su frecuencia
al cuadrado.
Como a medida que nos alejamos del foco emisor si la onda es esférica hay un mayor número
de moléculas que se ponen a vibrar simultáneamente repartiéndose la energía, a medida que
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nos alejamos del foco emisor, disminuye la energía de la onda, a este fenómeno se le
denomina atenuación de la onda.
Si además hay pérdidas de energía por rozamiento, se produce el fenómeno de amortiguación
de la onda.
12.3- INTENSIDAD. ATENUACIÓN DE UNA ONDA ESFÉRICA POR LA DISTANCIA AL FOCO.
La intensidad de una onda es la energía que atraviesa en un segundo a la unidad de superficie
colocada perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda.
𝐼 =𝐸
𝑆. 𝑡=
𝑃
𝑆
En el S.I la unidad de intensidad es el J/m2.s o W/m2
En una onda esférica que se propaga por un medio homogéneo la intensidad de la onda
disminuye proporcionalmente a la distancia al foco elevada al cuadrado, o lo que es lo mismo
la intensidad de una onda en un punto es inversamente proporcional a la distancia al foco
elevada el cuadrado.
Por otra parte la energía de una onda es directamente proporcional a su amplitud al cuadrado,
y la intensidad es a su vez directamente proporcional a la energía. Por lo tanto la intensidad de
una onda es directamente proporcional a su amplitud al cuadrado.
𝐸 = 2𝑚𝐴2𝜋2𝜈2 𝐼1
𝐼2=
𝐴12
𝐴22
𝐼 =𝐸
𝑆.𝑡=
𝑃
𝑆
Como tenemos 𝐼1
𝐼2=
𝑟22
𝑟12 y
𝐼1
𝐼2=
𝐴12
𝐴22 implica que
𝐴12
𝐴22 =
𝑟22
𝑟12
𝐴1
𝐴2=
𝑟2
𝑟1
Ecuación que relaciona la amplitud de una onda con su distancia al foco emisor.
A este fenómeno de la disminución de la intensidad y de la amplitud de la onda con la distancia
al foco se la denomina atenuación
𝐼2 =𝑃
𝑆2=
𝑃
4𝜋𝑟22
Considerando un foco emisor de ondas que emite en todas las
direcciones en un medio homogéneo y midiendo la intensidad
de ese foco a una distancia r1 y a una distancia r2
𝐼1 =𝑃
𝑆1=
𝑃
4𝜋𝑟12
𝐼1
𝐼2=
𝑃
4𝜋𝑟12
𝑃
4𝜋𝑟22
𝐼1
𝐼2=
𝑟22
𝑟12
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Si la onda es plana y no existen pérdidas por rozamiento, como toda la intensidad que
atraviesa una superficie es idéntica a la que atraviesa a otra colocada paralelamente y a una
distancia mayor no existe el fenómeno de atenuación
13.3-ABSORCIÓN DE ONDAS PLANAS
En realidad en todo medio material por el que se propaga una onda, siempre va a haber
pérdidas por rozamiento. Si consideramos una onda plana, experimentalmente se deduce que
cuando esa onda atraviesa un medio material de espesor “l” se produce una absorción de la
onda cuyo valor es directamente proporcional a la intensidad de la onda de incidencia, al
coeficiente de absorción del medio yal espesor del medio
Expresión que sirve para calcular la absorción de una onda que atraviesa un medio material.
Si la onda es una onda esférica además de producirse el fenómeno de atenuación, se producirá
el fenómeno de absorción.
Tanto para una onda plana como para una onda esférica se produce una disminución de la
intensidad y de la amplitud de la onda a medida que nos alejamos del foco emisor, pero la
frecuencia prácticamente no varía, porque el foco emisor emite siempre a la misma
frecuencia.
14.3- PRINCIPIO DE HUYGENS
Intensidad de la
onda incidente
Intensidad de la
onda después
de atravesar el
medio
L = espesor del medio
−𝑑𝐼 = 𝛼𝐼. 𝑑𝑥 ; 𝑑𝐼
𝐼= −𝛼𝑑𝑥
𝑑𝐼
𝐼= −𝛼 𝑑𝑥
𝑙
0
𝐼
𝐼0
𝑙𝑛𝐼
𝐼0= −𝛼𝑙 𝐼 = 𝐼0𝑒
−𝛼𝑙
Matemáticamente:
El principio de Huygens explica cómo se propaga una onda
y dice que cada punto de un frente de onda se convierte
en un centro emisor de ondas con las mismas
características, de tal forma que la envolvente de todas las
ondas elementales producidas por las partículas de un
frente de ondas, se convierte a su vez en el nuevo frente
de ondas.
Se denomina rayo a cada una de las infinitas direcciones
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De propagación de la onda. Todo rayo es perpendicular al frente de ondas.
Mediante el principio de Huygens podemos explicar fenómenos ondulatorios: reflexión,
refracción y difracción.
15.3- ESTUDIO CUALITATIVO DE LOS FENÓMENOS DE REFLEXIÓN, REFRACCIÓN Y
DIFRACCIÓN DE UNA ONDA
REFLEXIÓN: Fenómeno ondulatorio que consiste en que cuando una onda se propaga
por un medio y choca contra un obstáculo, retrocede por el mismo camino cambiando
de dirección.
La reflexión se rige por dos leyes:
1ª Ley = El rayo incidente, el normal y el reflejado se encuentran en el mismo plano.
2ª Ley = El ángulo de incidencia es igual al ángulo reflejado: 𝑖 = 𝑟
Demostración de la 2ª Ley
REFRACCIÓN: Fenómeno ondulatorio que se produce cuando una onda atraviesa
oblicuamente la superficie de separación de dos medios por los que se propaga a
distinta velocidad, produciéndose un cambio en la dirección de propagación de la
onda.
i = onda incidente
r = onda reflejada
N es la normal. Es la perpendicular al plano en
el que se encuentra el obstáculo.
i = ángulo de incidencia
r = ángulo de reflexión
Consideremos una onda plana que incide
sobre un obstáculo. Cuando el punto A del
frente de onda llega al punto C, el B llega al
punto D y cuando el D llega al punto F el C
llega al E. Como la velocidad de
propagación es la misma, los triángulos CDF
y CFE son iguales porque tienen iguales la
hipotenusa y los lados CE y DF luego
𝛼 = 𝛽 y como 𝛼 = 𝑖 𝑦 𝛽 = 𝑟 𝑖 = 𝑟
𝑖 = rayo incidente
𝑟 = rayo refractado
𝑖 = ángulo de incidencia
𝑟 = ángulo de refracción
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La refracción se rige por dos leyes que son:
1ª Ley: el rayo incidente, el refractado y la normal se encuentran en el mismo plano.
2ª Ley: el cociente entre el seno del ángulo de incidencia partido por el seno del ángulo de
refracción es una constante para dos medios dados e igual al cociente entre las velocidades de
propagación en cada medio.
sin 𝑖
sin 𝑟 =
𝑣1
𝑣2= 𝑛 (Ley de Snell)
Demostración de la 2ª Ley
𝑣1 =𝐷𝐹
𝑡
𝑣1
𝑣2=
𝐷𝐹 𝑡
𝐶𝐸 𝑡
=𝐷𝐹
𝐶𝐸
𝑣2 =𝐶𝐸
𝑡
sin 𝛼
sin 𝛽=
𝑣1
𝑣2=
sin 𝑖
sin 𝑟
sin 𝛼 =𝐷𝐹
𝐶𝐹
sin 𝛼
sin 𝛽=
𝐷𝐹 𝐶𝐹
𝐶𝐸 𝐶𝐹
=𝐷𝐹
𝐶𝐸
sin 𝛽 =𝐶𝐸
𝐶𝐹
𝑣1 . sin 𝑟 = 𝑣2 . sin 𝑖 𝑠𝑖 𝑣1 > 𝑣2 sin 𝑟 < sin 𝑖 En este caso el rayo se acerca a la
normal pero si 𝑣1 < 𝑣2 sin 𝑟 > sin 𝑖 el rayo refractado se aleja de la normal.
DIFRACCIÓN: Fenómeno que se produce cuando una onda que se propaga por un
medio, al chocar contra un obstáculo que tiene un orificio de unas dimensiones
parecidas a la longitud de onda, se propaga al otro lado del obstáculo en todas las
direcciones y con las mismas características.
Este fenómeno se explica mediante la teoría de Huygens según la cual cada punto del
orificio pequeño se convierte en un nuevo foco emisor de ondas propagándose en
todas las direcciones con las mismas características.
Este fenómeno se utiliza en Física para medir distancias muy pequeñas como tamaños
de átomos, redes cristalinas, longitudes de enlace, etc. Explica por qué detrás de una
esquina, no puede verse lo que sucede (la luz tiene longitudes de onda muy pequeñas)
pero si puede oírse (el sonido se difracta más).
Cuando el punto A llega al C el punto B del frente de
onda se encuentra en D, y cuando el D se encuentra
en F el C se encuentra en E pero como la onda se
propaga a distinta velocidad el segmento DF es
distinto al CE pero los triángulos CDF y CEF tienen la
misma hipotenusa CF
Luego se cumple:
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16.3 ESTUDIO CUALITATIVO DE LAS INTERFERENCIAS
En un medio pueden propagarse simultáneamente dos o mas ondas producidas por distintos
focos. A la superposición de dos o mas ondas que se propagan por el mismo medio en un
instante determinado y en el mismo punto se denomina interferencias. La interferencia
origina una nueva onda que es la suma vectorial de las ondas que se superponen, pero una vez
producida la interferencia, cada una de las ondas continúa su desplazamiento sin modificar
ninguno de sus parámetros. A este principio se le llama principio de superposición de ondas.
Cuando se superponen dos movimientos ondulatorios que se propagan por el mismo medio,
existen puntos donde la perturbación es máxima porque las elongaciones de los dos
movimientos tienen el mismo sentido y la interferencia es constructiva, y otros en los que es
mínima porque tiene sentidos contrarios y la interferencia es destructiva.
Si tenemos en cuenta la relación trigonométrica
sin 𝐴 + sin𝐵 = 2 sin𝐴 + 𝐵
2cos
𝐴 − 𝐵
2
𝑦 = 𝐴2 sin 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥1 + 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥2
2cos
𝜔𝑡 − 𝑘𝑥1 − 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥2
2
= 𝐴2 sin2𝜔𝑡 − 𝑘 𝑥1 + 𝑥2
2cos
𝑘 𝑥2 − 𝑥1
2
= 2𝐴 cos𝑘 𝑥2 − 𝑥1
2sin 𝜔𝑡 −
𝑘 𝑥1 + 𝑥2
2
𝑦 = 𝐴 sin 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥1 + 𝐴 sin 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥2
Sea P un punto sometido a la acción de dos movimientos
ondulatorios, cuyos focos emisores son A y B. La distancia de
P a dichos focos es x1 y x2, respectivamente. Si los dos
movimientos ondulatorios tienen la misma frecuencia,
amplitud y velocidad de propagación, de acuerdo con el
principio de superposición, la perturbación y en el punto P
es la suma de las perturbaciones que originan en dicho
punto cada onda: y = yA + yB
Por tanto, para este caso particular de dos movimientos
ondulatorios iguales:
Apuntes de Física de José Luis serrano
16
Por tanto: 𝑦 = 𝐴′ sin 𝜔𝑡 − 𝑘𝑑 siendo 𝐴′ = 2𝐴 cos𝑘 𝑥2−𝑥1
2 y 𝑑 =
𝑥1+𝑥2
2
Es decir, A’ es la amplitud en el punto P. Esta amplitud depende de la diferencia de caminos
recorridos por las ondas; sus valores máximo y mínimo son:
En la interferencia constructiva (máximo de interferencia): ± 2A
implica que cos 𝑘 𝑥2−𝑥1
2= ±1; esta situación se da para los ángulos: 0, π, 2π, 3π…es decir
para nπ radianes: 𝑘 𝑥2−𝑥1
2= 𝑛𝜋 ;
2𝜋
𝜆
𝑥2−𝑥1
2= 𝑛𝜋 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 = 𝒏𝝀
Se produce un máximo de interferencia cuando la diferencia de caminos es un múltiplo de la
longitud de onda.
En la interferencia destructiva (mínimo de interferencia): 0
Implica que 𝑘 𝑥2−𝑥1
2= 0 ; esta situación se da para los ángulos:
𝜋
2,
3𝜋
2,
5𝜋
2… es decir para
(2n + 1) π/2 radianes (siendo n = 0,1,2,..)
𝑘 𝑥2 − 𝑥1
2= 2𝑛 + 1
𝜋
2
2𝜋
𝜆
𝑥2 − 𝑥1
2= 2𝑛 + 1
𝜋
2 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 = 𝟐𝒏 + 𝟏
𝝀
𝟐
Se presenta un mínimo de interferencia cuando la diferencia de caminos es un múltiplo impar
de la semilongitud de onda
El conjunto de puntos cuya amplitud es cero
constituye una línea nodal. Para una longitud de
onda determinada, dando valores a n se obtiene las
distintas líneas nodales que tienen forma de
hipérbola
Si las dos ondas que interfieren poseen amplitudes diferentes A1 yA2 en los puntos de
interferencia constructiva A’ = A1 + A2 y en los puntos de interferencia destructiva A’ = A1 – A2
17.3- ONDAS ESTACIONARIAS
Si sujetamos una cuerda por un extremo y la hacemos vibrar por el otro, al llegar la vibración al
punto fijo, se refleja produciendo una onda estacionaria que es el resultado de la
superposición de dos ondas de igual frecuencia, amplitud y velocidad de propagación, pero
que avanzan en sentidos opuestos. (Enlace)
Apuntes de Física de José Luis serrano
17
Luego las ondas estacionarias son un caso particular de interferencias que se forman en los
tubos sonoros, cuerdas de un piano, etc. Se dice que son estacionarias por que dan la
sensación de no avanzar, presentando unos puntos inmóviles llamados nodos en donde las
amplitudes se anulan, y otros que vibran con una amplitud máxima que son los vientres donde
las amplitudes se suman. Como entre dos nodos la energía permanece estancada, las ondas
estacionarias no transportan energía
La ecuación de la onda estacionaria se obtiene sumando en cada punto y en cada instante las
dos ondas que interfieren, la que va y la que vuelve.
𝑦 = 𝑦← + 𝑦→ = 𝐴 sin 𝜔𝑡 + 𝑘𝑥 + 𝐴 sin 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥
Teniendo en cuenta la suma de los senos de dos ángulos vistos anteriormente se obtiene:
𝑦 = 2𝐴 cos 𝑘𝑥 sin 𝜔𝑡 = 𝐴′ sin𝜔𝑡 en donde A’ es la amplitud y vale 𝐴′ = 2𝐴 cos𝑘𝑥
Esta ecuación es para el caso de que la onda estacionaria presente un vientre en el origen, ya
que para x = 0 implica 𝐴′ = 2𝐴 cos 𝑘0 = 2𝐴
En este caso los valores máximo y mínimo de la amplitud de la onda estacionaria se presenta
en:
Máximo (vientres) cos 𝑘𝑥 = ±1 → 𝑘𝑥 = 0, 𝜋, 2𝜋, 3𝜋, …𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑘𝑥 = 𝑛𝜋 𝑟𝑎𝑑
𝑘𝑥 = 𝑛𝜋 → 2𝜋
𝜆𝑥 = 𝑛𝜋 → 𝑥 = 𝑛
𝜆
2= 0,
𝜆
2, 𝜆,
3𝜆
2, 2𝜆
Mínimo (nodos) cos 𝑘𝑥 = 0 → 𝑘𝑥 =𝜋
2,
3𝜋
2,
5𝜋
2… . . 2𝑛 + 1
𝜋
2 𝑟𝑎𝑑 Por tanto
𝑘𝑥 = 2𝑛 + 1 𝜋
2 →
2𝜋
𝜆𝑥 = 2𝑛 + 1
𝜋
2 → 𝑥 = 2𝑛 + 1
𝜆
4
Se comprueba que la distancia entre dos nodos (o vientres) consecutivos es 𝜆/2, mientras que
un nodo y un vientre consecutivos distan 𝜆/4
En el caso de que en el origen haya un nodo, la ecuación es:
𝑦 = 2𝐴 sin 𝑘𝑥 cos 𝜔𝑡 = 𝐴′ cos 𝜔𝑡 ya que para x = 0 𝐴′ = 2𝐴 sin𝑘0 = 0
En este caso los nodos y los vientres se encuentran en los puntos:
Mínimo (nodos) ; sin kx =0 𝑘𝑥 = 0, 𝜋, 2𝜋, 3𝜋… = 𝑛𝜋 ; 2𝜋
𝜆𝑥 = 𝑛𝜋 ; 𝑥 = 𝑛
𝜆
2
Apuntes de Física de José Luis serrano
18
Máximo (vientres) ; sin𝑘𝑥 = ±1 𝑘𝑥 =𝜋
2,
3𝜋
2,
5𝜋
2… = 2𝑛 + 1
𝜋
2 𝑟𝑎𝑑
𝑘𝑥 = 2𝑛 + 1 𝜋
2 →
2𝜋
𝜆𝑥 = 2𝑛 + 1
𝜋
2 → 𝑥 = 2𝑛 + 1
𝜆
4
En una cuerda de una guitarra los extremos son fijos, luego los nodos se encuentran en los
puntos 0,𝜆
2, 𝜆,
3𝜆
2, 2𝜆 y si la longitud de la cuerda es L las únicas ondas estacionarias que se
pueden dar son aquellas en las que se cumple: (Enlace)
𝐿 = 𝑛𝜆
2 𝜆 =
2𝐿
𝑛 𝑦 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝜈 =
𝑣
𝜆
𝑣
𝜈=
2𝐿
𝑛 𝜈 = 𝑣
𝑛
2𝐿 si n = 0 tenemos la
frecuencia fundamental y para n = 1,2,3,.. tendríamos los armónicos
En los tubos sonoros, en la boca hay un vientre y en el fondo un nodo, como la distancia entre
un nodo y un vientre es 𝜆
4 la relación entre la profundidad del tubo L y la frecuencia que
produce una onda es:
𝐿 = 2𝑛 + 1 𝜆
4 ; 𝐿 = 2𝑛 + 1
𝑣
𝜈
4 𝜈 = 2𝑛 + 1
𝑣
4𝐿 para n = 0 también tendríamos
la frecuencia fundamental y para n = 1,2,3,.. los armónicos
18.3- ONDAS SONORAS: INTENSIDAD Y SONORIDAD
Cuando un cuerpo elástico vibra, se producen compresiones y descompresiones de las
partículas del medio que están en contacto con él, estas diferencias de presión se propagan
por el medio constituyendo el sonido.
Sonido: Onda producida por la vibración de un cuerpo elástico que se propaga por un medio
material en forma de ondas longitudinales en todas las direcciones y con velocidad constante
si el medio es homogéneo, pero que se propaga a distinta velocidad en distintos medios.
En el aire a 20 ºC aproximadamente se propaga a 340 m/s pero en el agua a unos 1500 m/s y
en el hierro a 5130 m/s.
Las ondas sonoras se caracterizan y se distinguen unas de otras por 3 cualidades que son:
Apuntes de Física de José Luis serrano
19
Sonoridad: relacionada con la intensidad de la onda
Tono: relacionado con la frecuencia de la onda
Timbre: relacionado con la forma de la onda
INTENSIDAD: como el sonido es una onda, su intensidad se define como la energía que
atraviesa la unidad de superficie colocada perpendicularmente a la dirección de propagación
de la onda en la unidad de tiempo.
𝐼 =𝐸
𝑆.𝑡=
𝑃
𝑆
Su unidad en el S.I es el W/m2
Como la intensidad es directamente proporcional a la amplitud de la onda elevada al
cuadrado, en función de la intensidad los sonidos se clasifican en fuertes si la amplitud es muy
grande y débiles si la amplitud es pequeña.
SONORIDAD: percepción que tiene el oído humano cuando recibe sonidos de distinta
intensidad. Por lo tanto, la sonoridad depende de la intensidad del sonido pero también
depende de la frecuencia del sonido.
El oído humano percibe sonidos que van desde una intensidad mínima o intensidad umbral de
10-12 W/m2 hasta una intensidad máxima a partir de la cual produce dolor (1 W/m2) y con unas
frecuencias que van desde una frecuencia mínima o frecuencia umbral desde 20 Hz hasta la
máxima de 20.000 Hz.
Los sonidos emitidos por debajo de 20 Hz son infrasonidos, y los emitidos por encima de
20.000 Hz ultrasonidos.
Sonidos con la misma intensidad no se perciben igual a distintas frecuencias. La frecuencia a la
que normalmente mejor se percibe la intensidad de un sonido está entre 2000 y 3000 Hz
La sonoridad se calcula: 𝑠 = 10 log𝐼
𝐼0 en donde 𝐼0 es la intensidad umbral que vale
10-12 W/m2
En el S.I la sonoridad se mide en decibelios (dB) que va desde 0 decibelios el valor mínimo
hasta 120 dB el valor a partir del cual comienza el umbral del dolor
Valor mínimo: 𝑠 = 10 log10−12
10−12 = 10 log 1 = 0 𝑑𝐵
Umbral del dolor: 𝑠 = 10 log1
10−12 = 10 log 1012 = 120 𝑑𝐵
TONO: cualidad del sonido que permite distinguir entre sonidos graves y agudos. Los graves
son los que emiten a frecuencias bajas y los agudos a frecuencias altas.
TIMBRE: cualidad del sonido que permite distinguir entre sonidos emitidos por dos
instrumentos distintos que tienen igual intensidad y tono. Esto es debido a que los sonidos
emitidos por cualquier instrumento tienen una onda fundamental sobre la que se superponen
Apuntes de Física de José Luis serrano
20
más o menos armónicos que son sonidos cuyas frecuencias son múltiplos enteros de la onda
fundamental y en función de los armónicos superpuestos las notas suenan distintas.
19.3- ESTUDIO CUALITATIVO DE LA CONTAMINACIÓN ACÚSTICA
Se considera ruido al conjunto de sonidos cuyas frecuencias no guardan ninguna relación entre
sí.
La contaminación acústica es el conjunto de sonidos y ruidos que se propagan por el aire en el
entorno en que vivimos.
Los ruidos de nivel superior a 60 dB actuando durante largos periodos de tiempo, pueden
producir una pérdida de audición para determinadas frecuencias.
Si los ruidos tienen una intensidad superior a 120 dB producen sensaciones dolorosas, pero si
son de más de 140 dB pueden provocar la ruptura del tímpano.
Aparte de los ya mencionados, los ruidos provocan pérdidas de audición, interfieren en el
sueño, disminuye la capacidad de concentración, producen trastornos en el aparato digestivo,
dan lugar a una conducta agresiva debido al aumento de la secreción de adrenalina, afectan al
sistema cardiovascular porque alteran el ritmo cardiaco y aumentan la tensión e incluso
pueden producir desequilibrios psíquicos.
Las principales fuentes de contaminación acústica provienen de los vehículos a motor (80%) de
las industrias (10%) de los ferrocarriles (6%) y de los locales públicos (4%).
La mejor forma de luchar contra la contaminación acústica es suprimir el ruido en origen, pero
si esto no es posible hay que controlar los silenciadores de los tubos de escape de los
vehículos, poner pantallas acústicas en las vías rápidas, obligar a los trabajadores a ponerse
cascos protectores de ruidos, etc.
20.3- ESTUDIO CUALITATIVO DEL EFECTO DOPPLER
Cuando escuchamos el sonido de la sirena de una ambulancia que pasa velozmente frente a
nosotros, nos parece agudo cuando el vehículo se aproxima, y grave cuando se aleja.
Este fenómeno fue observado y descrito por el austriaco Christian Doppler en el siglo XIX
El efecto Doppler es el cambio que experimenta la frecuencia con la que se percibe un sonido
respecto de la frecuencia con la que se ha originado, debido al movimiento relativo entre la
fuente y el receptor.
El efecto Doppler no es exclusivo del sonido sino que es general de todos los movimientos
ondulatorios.
Podemos considerar 3 casos:
Apuntes de Física de José Luis serrano
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1er Caso: Observador en reposo y foco en movimiento
La frecuencia aparente de un foco sonoro en movimiento aumenta cuando se aproxima el
observador y disminuye cuando se aleja del mismo, debido a que cuando se acerca los frentes
de onda se agolpan en el sentido del movimiento y se distancian en el sentido opuesto.
La frecuencia que percibe el observador cuando se acerca es: 𝜈′ = 𝜈𝑣
𝑣−𝑣𝑓𝑜𝑐𝑜
Y cuando se aleja: 𝜈′ = 𝜈𝑣
𝑣+𝑣𝑓𝑜𝑐𝑜 en donde 𝜈 es la frecuencia del foco, v es la velocidad
de propagación de la onda y 𝑣𝑓𝑜𝑐𝑜 velocidad del foco.
2º Caso: Observador en movimiento y foco en reposo
En este caso la frecuencia percibida aumenta al acercarse el observador al foco y disminuye
cuando se aleja del mismo, porque aunque la separación entre dos frentes de ondas
permanece constante, se modifica la velocidad relativa con la que se propagan las ondas
respecto al observador.
Cuando el observador se acerca al foco 𝜈′ = 𝜈𝑣+𝑣𝑜𝑏𝑠
𝑣
Cuando el observador se aleja del foco 𝜈′ = 𝜈𝑣−𝑣𝑜𝑏𝑠
𝑣
3er Caso: Observador y foco en movimiento
Aunque cuantitativamente los efectos no son iguales, la frecuencia aparente de un foco sonoro
aumenta cuando la distancia relativa disminuye, haciéndose más aguda y si la distancia relativa
aumenta, la frecuencia aparente del foco disminuye y el sonido se torna más grave.
La frecuencia final que percibe el observador es: 𝜈 ′ = 𝜈𝑣+𝑣𝑜𝑏𝑠
𝑣−𝑣𝑓𝑜𝑐𝑜
En donde las velocidades de acercamiento tienen signo positivo y las de alejamiento signo
negativo.
El efecto Doppler tiene aplicaciones en diversos campos de la Física. Por ejemplo el radar,
además de detectar objetos y determinar su posición, permite establecer la velocidad de estos
respecto del radar, a partir de la diferencia entre las frecuencias de la onda emitida y la
reflejada.
También sirve para otras ondas como la luz emitida por una estrella en movimiento, gracias a
la cual podemos determinar que las galaxias se alejan porque la frecuencia de la luz que
emiten tiene un corrimiento hacia el rojo que en el espectro visible es la que tiene menor
frecuencia.