modelado numerico de la dispersion de contaminantes...

Modelado numérico de la dispersión de contaminantes

asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de

la Ciudad de Bogotá

Daniel Alfonso García Lozano

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ingeniería,

Departamento de Ingeniería Mecánica y Mecatrónica

Bogotá, Colombia

2012

Modelado numérico de la dispersión de contaminantes

asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de

la Ciudad de Bogotá

Daniel Alfonso García Lozano

Tesis presentada como requisito parcial para optar al título de:

Magister en Ingeniería Mecánica

Director:

MSc. I.M. Carlos Humberto Galeano Ureña

Línea de Investigación:

Simulación de fenómenos de transporte

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ingeniería

Departamento de Ingeniería Mecánica y Mecatrónica

Bogotá, Colombia

2012

Agradecimientos

Agradezco a todas las personas que hicieron parte del desarrollo de este trabajo, de

manera muy especial a mi director el profesor Carlos Humberto Galeano por su

constante apoyo y guía durante la construcción del modelo numérico; al profesor Diego

Alexander Garzón y Juan Miguel Mantilla por su consejos y correcciones y al profesor

Luis Carlos Belalcazar por su orientación sobre los procesos reactivos presentes en los

entorno urbanos.

Igualmente doy gracias a mi familia por su compañía y apoyo incondicional, y a mis

amigos que estuvieron presentes durante el desarrollo de este trabajo.

A mi familia y amigos

IX

Resumen

El siguiente trabajo presenta el desarrollo de un algoritmo numérico para solucionar un

sistema de ecuaciones diferenciales parciales que incluyen los términos advectivo,

difusivo, reactivo y representan matemáticamente el proceso de transporte de masa para

predecir de manera cuantitativa la dispersión de contaminantes atmosféricos reactivos

sobre un centro urbano. Para esto se implementó el método numérico de los elementos

finitos o FEM

formulación convencional de elementos finitos presenta oscilaciones en la solución de

problemas altamente advectivos como el de dispersión de contaminantes atmosférico fue

necesario incluir una técnica de estabilización como es el método Petrov-Galerkin en

contracorriente o SUPG. Se consideraron dos métodos para la solución de este sistema

de ecuaciones: el método tradicional solucionando todos los términos de las ecuaciones

diferenciales de forma acoplada y el método Split, en el cual se separa el término que

representa el proceso reactivo eliminando la no linealidad en el sistema de ecuaciones

debida a la dependencia entre substancias reactivas; para este último método los

procesos advectivo-difusivo y reactivo son solucionados por medio de un procedimiento

en cascada. Por medio de la comparación entre estos dos métodos fue posible apreciar

las ventajas y desventajas de cada uno así como la eficacia en la simulación con

respecto a los resultados encontrados en la bibliografía. Se concluyó que el método Split

es el más adecuado para solucionar este tipo de problemas debido a su fácil

implementación, además de presentar un tiempo de cómputo y un costo computacional

menor al método acoplado.

Palabras clave: Método de los elementos finitos, SUPG, Proceso difusivo-advectivo,

proceso reactivo, método Split, dispersión de contaminantes atmosféricos reactivos.

X

Abstract

This work presents the development of a numerical algorithm for solving a system of

partial differential equations including the advective, diffusive, reactive terms and

represents mathematically the mass transport process to predicting the dispersion of

air reactive pollutants on an urban center. For this we implemented a finite element

numerical method or FEM and an implicit time discretization scheme. Also given that

the conventional finite element formulation presents fluctuations in troubleshooting of

highly advective problem like atmospheric pollutant dispersion, was necessary to

include a stabilization technique such as streamline upwind Petrov-Galerkin method

or SUPG. We considered two methods for solving this system of equations: the

traditional method that solve all the terms of the differential equations in the attached

form and the Split method that separates the term representing the reactive process

removing the nonlinearity of system equation due to the dependence between

reactive substances, for the latter method advective-diffusive and reactive

phenomenon are solved by means of a cascade process. Through the comparison

between these two methods was possible to appreciate the advantages and

disadvantages of each as well as efficiency in the simulation with respect to the

results found in the literature. It was concluded that the Split method is best suited to

solve these problems because of its easy implementation and also presents a

computational cost and time less than the coupled method.

Keywords: Finite element method, SUPG, advective-diffusive process, reactive process,

split method, dispersion of reactive pollutants.

Contenido

Agradecimientos V

Resumen IX

Lista de figuras XIII

Lista de tablas XIX

Lista de símbolos y abreviaturas ................................................................................... XXI

Introducción 1

1 Antecedentes y Justificación ...................................................................................... 7 1.1 Modelos de flujo atmosférico. .............................................................................. 8

1.1.1 Método de solución DNS (Direct Numerical Simulation). ...................... 10 1.1.2 Método de solución LES (Large Eddy Simulation). .............................. 11 1.1.3 Método de solución RANS (Reynolds Average Navier-Stokes). ........... 12 1.1.4 Método de solución DES (Detached Eddy Simulation). ........................ 13 1.1.5 Modelos turbulentos. ............................................................................ 13

1.2 Modelos de transporte de sustancias sobre entornos urbanos. ......................... 22

2 Modelos de transporte de sustancias. ...................................................................... 27 2.1 Modelos Gaussianos. ....................................................................................... 27 2.2 Modelo lagrangianos (de partículas). ................................................................ 29 2.3 Modelos eulerianos. .......................................................................................... 31

2.3.1 Término de ......................................................................... 32 2.3.2 Término de difusión molecular ............................................................. 33 2.3.3 Término de difusión turbulenta. ............................................................ 34 2.3.4 Término de fuente. ............................................................................... 39 2.3.5 Término de reacción. ........................................................................... 40 2.3.6 Consideraciones. ................................................................................. 45 2.3.7 Aplicación. ........................................................................................... 46

3 - -reacción. .. 47 3.1 Planteamiento del método de los elementos finitos. .......................................... 47

3.1.1 Aplicación de la técnica de estabilización de Petrov-Galerkin en contracorriente o SUPG. ...................................................................... 50

3.1.2 Formulación bidimensional empleando elementos cuadriláteros lineales. ............................................................................................... 52

3.1.3 Formulación tridimensional empleando elementos hexaédricos lineales. ............................................................................................... 55

XII Contenido

3.2 Integración numérica. ........................................................................................57 3.3 ..................................................................59 3.4 Método de separación de operadores. ..............................................................60

3.4.1 Método Yanenko. .................................................................................61 3.4.2 M S g “S S g” .......................62

4 Planteamiento y solución de problemas de validación del código. ............................64 4.1 Descripción del código desarrollado. .................................................................64

4.1.1 Inicialización del problema. ...................................................................65 4.1.2 Proceso de solución. ............................................................................71 4.1.3 Solución por paso de tiempo. ...............................................................72

4.2 Problemas de validación inicial. .........................................................................74 4.2.1 Rotación de cuerpos sólidos. ................................................................74 4.2.2 Movimiento advectivo de una función Gaussiana. ................................78 4.2.3 Problema de ROBER............................................................................81 4.2.4 S “B ” .....................................................................84

4.3 Análisis de resultados del modelo numérico desarrollado con el esquema Symmetrized Strang Split (Diseño de experimentos). ........................................89 4.3.1 Análisis del término reactivo. ................................................................91 4.3.2 Análisis de la interacción de los términos de adveccion, difusión y

reacción. ............................................................................................. 110 4.3.3 Conclusiones ...................................................................................... 123

5 Modelado numérico del problema de dispersión de contaminantes atmosféricos ... 125 5.1 Modelado de la dispersión de contaminantes atmosféricos dentro de un

entorno urbano ................................................................................................ 125 5.1.1 Modelado del flujo atmosférico ........................................................... 126 5.1.2 Modelado de dispersión de contaminantes ......................................... 129

5.2 Resultados ...................................................................................................... 141

6 Conclusiones .......................................................................................................... 160 6.1 Aportes del trabajo .......................................................................................... 160 6.2 Productos y publicaciones ............................................................................... 161 6.3 Trabajos futuros ............................................................................................... 161

Bibliografía 163

A. Anexo: Diseño de experimentos para el análisis de interacción entre los términos ............................................................ 176

B. Anexo: Selección del paquete solucionador del flujo atmosferico. .......................... 178

C. Anexo: Datos de la velocidad y selección de la velocidad media del viento. ........... 185

D. Anexo: Resúmenes de los artículos aceptados producto de esta tesis. .................. 187

E. Anexo: Resúmenes de los artículos desarrollados en la maestría. ......................... 188

Lista de figuras

Pág. Figura 1.1. Corredor urbano europeo (A) y representación bidimensional de un

corredor urbano donde se presenta el campo de rotación del flujo

atmosférico (Dabberdt et al., 1973) (B). ..................................................... 22

Figura 2.1. Trasporte de contaminantes con base en un comportamiento

gaussiano. .................................................................................................. 28

Figura 2.2. Modelado del transporte de contaminantes por medio de un esquema

de trayectoria. ............................................................................................ 30

Figura 2.3. Numero de Schmidt turbulento como función de la altura [110]. ................ 38

Figura 3.1.

finitos. ........................................................................................................ 47

Figura 3.2. Funciones de forma para un elemento unidimensional lineal en

coordenadas globales y locales respectivamente. ...................................... 49

Figura 3.3. Función de ponderación sin modificación y modificada por medio de la

técnica de estabilización Petrov-Galerkin en contracorriente

respectivamente. ........................................................................................ 51

Figura 3.4. Elemento cuadrilátero lineal en coordenadas globales (A) y

coordenadas locales (B). ............................................................................ 52

Figura 3.5. Funciones de forma para un elemento cuadrilátero lineal. N1 (A), N2

(B), N3 (C) y N4 (B). ................................................................................... 53

Figura 3.6. Elemento hexaédrico lineal en coordenadas globales (A) y

coordenadas locales (B). ............................................................................ 55

Figura 3.7. Procedimiento de solución por medio del método Yanenko. ..................... 62

Figura 3.8. P “S S g

S ” .......................................................................................................... 63

Figura 4.1. Diagrama de flujo del procedimiento de solución por medio del código

desarrollado. .............................................................................................. 65

Figura 4.2. Formato archivo de malla. .......................................................................... 66

Figura 4.3. Formatos archivo de condiciones iniciales (A) y generación elemental

(B). ............................................................................................................. 66

Figura 4.4. Formato archivo de condición de bordes. ................................................... 67

Figura 4.5. Formato archivo de campo de velocidades y coeficiente de difusión

másica. ...................................................................................................... 68

Figura 4.6. Formato archivo de designación de sustancias. ......................................... 68

Figura 4.7. Formato archivo del mecanismo de reacción y las tasas de reacción. ....... 69

Figura 4.8. Archivo de cambio de unidades. ................................................................ 70

XIV Lista de figuras

Figura 4.9. Formato archivo procedimiento de solución. ............................................... 70

Figura 4.10. Diagrama de flujo del procedimiento de solución del componente

difusivo-advectivo del sistema de ecuaciones tipo DAR. ............................. 72

Figura 4.11. Archivo de resultados del problema solucionado. ........................................ 73

Figura 4.12. Archivo del seguimiento del proceso de solución. ....................................... 73

Figura 4.13. Condición inicial del campo de concentraciones para el caso de rotación

de cuerpos sólidos. ..................................................................................... 75

Figura 4.14. Campos de concentraciones finales para los casos (A) con malla

gruesa y (B) con malla fina del problema de rotación de cuerpos

sólidos. ....................................................................................................... 77

Figura 4.15. Condición inicial del campo de concentraciones para el caso de

transporte de una campana Gaussiana. ..................................................... 79

Figura 4.16. Campos de concentraciones obtenidos a los 0, 0.26, 0.52 y 0.8

segundos de simulación el caso de transporte de una campana

Gaussiana. Resultado exacto (A) y modelado (B). ...................................... 80

Figura 4.17. Concentración nodal de la solución analítica (A) y la solución numérica,

así como el error numérico nodal (C) y el error cuadrático medio (D)

para 800 pasos de simulación del transporte de una campana

Gaussiana. ................................................................................................. 81

Figura 4.18. Perfiles del comportamiento de las sustancias C1 (A), C2 (B) y C3 (C)

en un intervalo de 0 a 1E6 segundos para el problema de ROBER. ......... 83

Figura 4.19. Campos de concentración de las sustancias X y Y obtenidas por medio

del modelo numérico (A) y (B), obtenidos por Twizell et al. (C) y (D) y

h (E) ( ) “B ” ................... 86

Figura 4.20. Perfiles de concentración entre 0 y 5 segundos de simulación de la

sustancia X (A) y la sustancia y (B) para el primer caso de

“B ” .............................................................................................. 87

Figura 4.21. Campos de concentración para el caso 2 de las sustancias X y Y. ............. 88

Figura 4.22. Perfiles de concentración entre 0 y 5 segundos de simulación de la

sustancia X (A) y la sustancia y (B) para el segundo caso de

“B ” .............................................................................................. 88

Figura 4.23. Dominio del problema de prueba para la validación del modelo

numérico desarrollado con el esquema Symmetrized Strang Split. ............. 89

Figura 4.24. Campo de velocidad del problema de prueba para la validación del

modelo numérico desarrollado con el esquema Symmetrized Strang

Split. ........................................................................................................... 90

Figura 4.25. Condición inicial del NO, O3 (A) y NO2 (B) para la validación del

modelo numérico desarrollado con el esquema Symmetrized Strang

Split. ........................................................................................................... 91

Figura 4.26. Comportamiento de las sustancias obtenidas con un paso de tiempo

dt=5 [s] por medio del mecanismo simplificado. .......................................... 92


dt=5E-3 [s] por medio del mecanismo simplificado. .................................... 93

Lista de figuras XV

Figura 4.28. Concentración de las sustancias NO y O3 a los 200 (A), 400 (B), 600

(C) y 800 (D) segundos de simulación por medio del mecanismo

simplificado. ............................................................................................... 94

Figura 4.29. Concentración de la sustancia NO2 a los 200 (A), 400 (B), 600 (C) y

800 (D) segundos de simulación por medio del mecanismo simplificado. .. 95

Figura 4.30. Perfil de conservación molar del oxígeno obtenido con un paso de

tiempo dt=5[s]. ........................................................................................... 96

Figura 4.31. Perfil de conservación molar del nitrógeno obtenido con un paso de

tiempo dt=5[s]. ........................................................................................... 96


dt=5 [s] por medio del mecanismo completo. ............................................. 98


dt=5E-3 [s] por medio del mecanismo completo. ........................................ 98



completo. ................................................................................................... 99


800 (D) segundos de simulación por medio del mecanismo completo. .... 100


tiempo dt=5[s]. ......................................................................................... 101


tiempo dt=5[s]. ......................................................................................... 102


dt=5 [s] por medio del mecanismo completo con ácidos........................... 103


dt=5E-3 [s] por medio del mecanismo completo con ácidos. .................... 104



completo con ácidos................................................................................. 105


800 (D) segundos de simulación por medio del mecanismo completo

con ácidos. ............................................................................................... 106


tiempo dt=5[s]. ......................................................................................... 107


tiempo dt=5[s]. ......................................................................................... 107

Figura 4.44. Comparación del comportamiento de las sustancias NO, O3 (A) y NO2

(B) solucionadas por medio de un dt= 5[s]. .............................................. 108


(B) solucionadas por medio de un dt= 2[s]. .............................................. 108


(B) solucionadas por medio de un dt= 5E-3[s]. ......................................... 109

Figura 4.47. Gráficas de efecto sobre la concentración de las sustancias NO y O3 a

los 200 (A), 400 (B), 600 (C) y 800 (D) segundos de simulación. ............. 113

XVI Lista de figuras

Figura 4.48. Gráficas de efecto sobre la concentración de la sustancia NO2 a los

200 (A), 400 (B), 600 (C) y 800 (D) segundos de simulación. .................. 114

Figura 4.49. Gráficas de efecto sobre la concentración de la sustancia NO, O3 (A) y

NO2 (B) a los 1200 segundos de simulación. ........................................... 115

Figura 4.50. Graficas de efecto sobre los balances molares de oxígeno (A) y

nitrógeno (B) elementales. ........................................................................ 116

Figura 4.51. Grafica de efectos sobre el tiempo de CPU. ............................................. 116

Figura 4.52. E n y difusión sobre la

concentración de las sustancias NO, O3 (A) y NO2 (B) a los 600

segundos de simulación. .......................................................................... 117

Figura 4.53. E y

difusión sobre la concentración de las sustancias NO, O3 (A) y NO2 (B)

a los 600 segundos de simulación. ........................................................... 117

Figura 4.54. E

concentración de las sustancias NO, O3 (A) y NO2 (B) a los 600

segundos de simulación. .......................................................................... 118

Figura 4.55. Efectos debidos a la interacción entre la malla y el proceso de difusión

sobre la concentración de las sustancias NO, O3 (A) y NO2 (B) a los

600 segundos de simulación. .................................................................... 119

Figura 4.56. E

( )

(B) a los 600 segundos de simulación. ..................................................... 119

Figura 4.57. Conservación molar del oxígeno y el nitrógeno para el caso en el que

se presenta un sumidero de masa (Caso 17). .......................................... 120

Figura 4.58. Efecto medio del mecanismo de reacción sobre el balance molar del

oxígeno elemental. ................................................................................... 120

Figura 4.59. Efecto medio de la malla y el paso de tiempo sobre el tiempo de CPU. ... 121

Figura 4.60. Efecto medio de los modelos numéricos sobre el tiempo de CPU. .......... 122

Figura 5.1. Ubicación geográfica del sector urbano de la ciudad de Bogotá

analizado. ................................................................................................. 126

Figura 5.2. Condición de borde de entrada del campo de velocidades en el

problema de dispersión de contaminantes. Perfiles de velocidad (A), de

energía cinética turbulenta (B) y disipación d la energía cinética

turbulenta (C). ........................................................................................... 129

Figura 5.3. Modelo computacional del sector urbano de la ciudad de Bogotá

analizado. ................................................................................................. 129

Figura 5.4. Entorno urbano bidimensional seleccionado para la simulación de

dispersión de contaminantes. ................................................................... 130

Figura 5.5. Campo de velocidades en x para los modelos tridimensional (A) y

bidimensional (B). ..................................................................................... 131

Figura 5.6. Campo de velocidades en y para los modelos tridimensional (A) y

bidimensional (B). ..................................................................................... 131

Figura 5.7. Viscosidad turbulenta para los modelos tridimensional (A) y

bidimensional (B). ..................................................................................... 131

Lista de figuras XVII

Figura 5.8. Campo de velocidades en z para el modelo tridimensional ...................... 132

Figura 5.9. Malla utilizada para discretizar el dominio bidimensional del entorno

urbano. ..................................................................................................... 133

Figura 5.11. Mecanismo de reacción entre las sustancias NO, NO2 y O3 .................. 136

Figura 5.12. Datos usados para el cálculo de la tasa de reacción fotolítica del NO2

a nivel del suelo y un ángulo de zenith solar igual a 40°. .......................... 137

Figura 5.13. Angulo de Zenith Solar ............................................................................. 138

Figura 5.14. Radiación solar global para los días 27, 28, 29 de febrero de 2021

medidos en la estación de medición IDRD. .............................................. 139

Figura 5.15. Expresión matemática del TSR. ............................................................... 139

Figura 5.10. Condiciones de borde del modelo bidimensional de dispersión de

contaminantes atmosféricos. .................................................................... 140

Figura 5.16. Campo de velocidad en x simulado para el modelo físico bidimensional

del entorno urbano de Bogotá. ................................................................. 141

Figura 5.17. Campo de velocidad en y simulado para el modelo físico bidimensional

del entorno urbano de Bogotá. ................................................................. 141

Figura 5.18. Campo de viscosidad turbulenta simulado para el modelo físico

bidimensional del entorno urbano de Bogotá. .......................................... 141

Figura 5.19. Evolución de la concentración de la sustancia NO en el tiempo para el

primer caso solucionado. ......................................................................... 142

Figura 5.20. Evolución de la concentración de la sustancia NO2 en el tiempo para el


Figura 5.21. Evolución de la concentración de la sustancia O3 en el tiempo para el








Figura 5.25. Perfiles de concentración promedio de las sustancias NO y O3 para el

primer caso de Baker [38]. La línea continua y discontinua representan

el perfil de concentración para un tiempo de simulación de 90 y 60

segundos respectivamente....................................................................... 148

Figura 5.26. Perfiles de concentración promedio de las sustancias NO, NO2 (A) y O3

(B) para el segundo caso de Baker [38].La línea continua y discontinua

representan el perfil de concentración para un tiempo de simulación de

90 y 60 segundos respectivamente .......................................................... 149

Figura 5.27. Campos de concentración de las sustancias NO (A), NO2 (B) y O3 (C)

en el corredor vial de la carrera 35A a los 3600 segundos de

simulación. ............................................................................................... 150

Figura 5.28. Dominio computacional implementado para el modelo tridimensional. ..... 151

Figura 5.29. ( ) (B) . 151

XVIII Lista de figuras

Figura 5.30. Campos de velocidad en x (A), y (B), z (C), energía cinética turbulenta

(D), disipación de energía cinética turbulenta (E) y viscosidad

turbulenta (F) resultados del modelo CFD sobre el dominio

computacional del sector urbano seleccionados. ...................................... 152

Figura 5.31. Condición de borde de entrada del campo de velocidades en el

problema de dispersión de contaminantes. Perfiles de velocidad (A), de

energía cinética turbulenta (B) y disipación d la energía cinética

turbulenta (C). ........................................................................................... 153

Figura 5.32. Cortes transversales del dominio computacional de la intersección entre

la carrera 35A y la calle 60 a 7.5 metros (A), 15 metros (B) y 22.5

metros (C) de la cara posterior del dominio. ............................................. 153

Figura 5.33. Campo de velocidad en x para el modelo físico bidimensional sobre los

cortes a 7.5 metros (A), 15 metros (B) y 22.5 metros (C) de la cara

posterior del dominio. ................................................................................ 154

Figura 5.34. Campo de velocidad en y para el modelo físico bidimensional sobre los



Figura 5.35. Campo de velocidad en z para el modelo físico bidimensional sobre los



Figura 5.36. Campo de viscosidad turbulenta para el modelo físico bidimensional

sobre los cortes a 7.5 metros (A), 15 metros (B) y 22.5 metros (C) de la

cara posterior del dominio. ........................................................................ 155


tercer caso solucionado, parte 1. .............................................................. 155











Lista de tablas

Pág. Tabla 1.1 Valor de constantes empíricas del modelo Standard k-ε ............................ 17

Tabla 1.2. Valor de constantes empíricas del modelo Realizable k-ε .......................... 18

Tabla 1.3. Valor de constantes empíricas del modelo RNG k-ε .................................. 20

Tabla 2.1. Números de Schmidt usados en estudios de transporte de

contaminantes sobre entornos urbanos [107]. ............................................ 39

Tabla 2.2. Velocidades de reacción. ............................................................................. 42

Tabla 3.1. Funciones de forma expresada en coordenadas locales para un

elemento cuadrilátero lineal. ........................................................................ 52

Tabla 3.2. Funciones de forma expresada en coordenadas locales para un

elemento hexaédrico lineal. ......................................................................... 55

Tabla 3.3. Formulación cuadratura Gaussiana para elementos de diferentes

dimensiones. ............................................................................................... 58

Tabla 3.4. Coordenadas de los puntos a evaluar en el elemento y valor de los

pesos para (A) un elemento unidimensional, (B) un elemento

bidimensional y (C) un elemento tridimensional. .......................................... 59

Tabla 3.5. Métodos de solución temporal del esquema de Theta ................................ 60

Tabla 4.1. Problemas de prueba. ................................................................................. 74

Tabla 4.2. Planteamiento del problema de rotación de cuerpos sólidos. ...................... 75

Tabla 4.3. Formulación del campo de concentración inicial. ......................................... 76

Tabla 4.4. Planteamiento del problema de transporte de una campana Gaussiana. .... 78

Tabla 4.5. Velocidades de reacción y Concentraciones iniciales para el problema

de ROBER. .................................................................................................. 82

Tabla 4.6. Concentraciones de sustancias, Velocidades de reacción, coeficientes

difusivos y Concentraciones iniciales usados en el sistema de

“B ” ............................................................................................... 85

Tabla 4.7. Características del modelo numérico para solucionar el sistema de

“B ” ............................................................................................... 85

Tabla 4.8. Mecanismo de reacción simplificado. .......................................................... 92

Tabla 4.9. Mecanismo de reacción completo. ............................................................... 97

Tabla 4.10. Mecanismo de reacción completo con ácidos. ........................................... 103

Tabla 4.11. F

.............................................................. 110

Tabla 4.12. Variables respuesta del diseño factorial multinivel para el estudi

.............................................................. 111

XX Lista de tablas

Tabla 4.13. Representación de los factores de diseño. ................................................. 113

Tabla 4.14. Diferencias en concentración de las sustancias NO y O3 entre los

modelos acoplado y en Split. ...................................................................... 122

Tabla 4.15. Diferencias en concentración de la sustancia NO2 entre los modelos

acoplado y en Split. .................................................................................... 122

Tabla 5.1. Parámetros de los perfiles de velocidad, energía cinética turbulenta y

disipación de la energía cinética turbulenta para la construcción de la

condición de borde de entrada del campo de velocidades en el

problema de dispersión de contaminantes. ................................................ 128

Tabla 5.2.

modelos físicos tridimensional y bidimensional. ......................................... 132

Tabla 5.3. Clasificación vehicular de la campaña sobre la carrera 30. ........................ 134

Tabla 5.4. Longitud transversal de las vias que componen la carrera 30 entre las

calles 57 y 61. ............................................................................................ 135

Tabla 5.5. Emisiones de NOx sobre la carrera 30. ...................................................... 135

Tabla 5.6. Masa molecular de las sustancias NO y NO2. ............................................ 136

Tabla 5.7. Emisiones de NO y NO2 sobre la carrera 30. ............................................. 136

Tabla 5.8. Emisiones de NO y NO2 sobre la calle 35A. .............................................. 136

Tabla 5.9. Concentraciones iniciales de las sustancias O2 y O3. ................................ 140

Tabla 5.10. Tasas de reacción para las reacciones químicas presentes en el

problema de estudio. .................................................................................. 140

Tabla 5.11. Concentración máxima de las sustancias NO y NO2 para el primer caso

solucionado. ............................................................................................... 145

Tabla 5.12. Concentración máxima de las sustancias NO y NO2 para el segundo

caso solucionado. ...................................................................................... 147

Tabla 5.13. Emisiones de NO, NO2 y O3 en los dos casos de Baker. .......................... 149

Lista de símbolos y abreviaturas

Símbolos con letras latinas Símbolo Término Unidad SI Definición

Densidad

Velocidad en la dirección

| | Magnitud de la velocidad vectorial

Coordenadas espaciales globales

t Tiempo

ti Tiempo inicial de simulación

tf Tiempo de simulación

Paso de tiempo

Presión

/ Cargas externas al fluido

Energía

Temperatura

Coeficiente de conductividad térmica

Fuente/Sumidero de energía

Presión filtrada con el método LES

Velocidad filtrada con el método LES

Presión media

Velocidad media

Velocidad media

Numero adimensional de Prandtl turbulento

-

Fuente de energía cinética turbulenta

Fuente de disipación de energía cinética turbulenta

Concentración de sustancias

Flujo de emisión de contaminantes

Altura efectiva de la fuente de contaminantes en chimeneas

Posición de partículas.

Tensor diagonal de difusividad

XXII Lista de símbolos y abreviaturas

Símbolo Término Unidad SI Definición

Fuente/sumidero de sustancias

Componente fluctuante de la concentración de sustancias

Coeficiente de difusividad molecular

Transporte advectivo -

Transporte difusivo -

Coeficiente de difusión turbulenta

Distancia media recorrida por una partícula sobre un campo de velocidades

Varianza de la fluctuación de la velocidad

Correlación entre las velocidades de dos puntos en el espacio

-

Escala de tiempo lagrangiana -

Escala de longitud lagrangiana -

Separación entre partículas

No. de partículas vecinas por unidad de separación

-

Coeficiente dependiente de la tasa de disipación de la energía en el fluido

-

Numero adimensional de Schmidt turbulento

-

Coeficiente de difusión térmico turbulento

Constante de von Karman -

Constante universal turbulenta -

Velocidad de fricción

Tasa o velocidad de reacción

Tasa especifica de reacción

Numero de reacciones químicas presentes en el mecanismo

-

Frecuencia de colisión de partículas entre sustancias

Constante del gas

Energía de activación

Radio de las moléculas

Constante de Boltzman -

Masa reducida de las sustancias

Fotón de luz solar -

Frecuencia del fotón de luz

Coeficiente de fotodisociación -

Flujo solar -

Funciones de ponderación

Número de puntos de aproximación - Numero de nodos por elemento

Ejes coordenados locales -

Jacobiano -

Lista de símbolos y abreviaturas XXIII

Símbolo Término Unidad SI Definición

| | Determinante del jacobiano -

Longitud característica del elemento

Numero de Peclet adimensional -

Símbolos con letras griegas Símbolo Término Unidad SI Definición

Parámetro del esquema temporal -

Esfuerzo viscoso

Viscosidad del fluido

Viscosidad dinámica del fluido

Delta Kronecker -

Esfuerzo SGS

Esfuerzo de Reynolds

Energía cinética turbulenta

Energía cinética turbulenta para los modelos SGS

Viscosidad turbulenta

Tensor de velocidad de deformación

Magnitud del tensor de velocidad de deformación

Disipación de la energía cinética turbulenta

Coeficiente de expansión térmica

Disipación especifica de energía turbulenta

Desviación estándar de la dispersión de contaminantes para el método gauss

-

Esfuerzo de cizalladura del viento

Desviación estándar de la fluctuación de la velocidad.

-

Longitud de onda

Sección eficaz de absorción de las moléculas

Absorción de luz solar

Rendimiento cuántico de fotolisis - Angulo de Zenit ° Parámetro de perturbación -

XXI

V

Lista de símbolos y abreviaturas

Abreviaturas Abreviatura Término

FEM Finite element method SUPG Streamline upwind Petrov-Galerkin CFD Computational fluid dynamics DNS Direct numerical simulation LES Large eddy simulation RANS Reynolds Average Navier-Stokes DAG Diffusion-Advection-Reaction

Introducción

La contaminación del aire es un problema ambiental que se remonta aproximadamente a

unos seis mil años atrás, cuando los seres humanos encendían fogatas en cuevas y

cabañas contaminando el aire circundante. A partir de ese momento las actividades

humanas han venido generando contaminación del aire como la observada por el filósofo

romano Séneca en Roma en el año 61 a.C, o la encontrada en Londres en el siglo XI que

originó la prohibición de la quema de carbón en la cuidad.

Sin embargo el problema de contaminación actual, dentro las ciudades, se origina con la

revolución industrial debido a la introducción de los combustibles fósiles como fuente

primaria de energía, y es agravado por el uso masivo del automóvil unos años después.

A lo anterior debe ser agregado el grave y vertiginoso incremento de la población durante

el último siglo. En la actualidad los sectores industriales y el tráfico urbano son las

principales fuentes de contaminación atmosférica, causantes de las altas

concentraciones de polvo, hollín y smog [1].

Debido a los efectos nocivos que lleva consigo la contaminación atmosférica, esta ha

pasado a ser de interés público, y desde mediados del siglo XX, tanto la comunidad

científica, como las autoridades ambientales y las organizaciones de la salud han

desarrollado arduos estudios sobre la contaminación en entornos urbanos como se

observan en [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], donde realizan mediciones por

medio de estaciones de monitoreo o predicciones por medio de simulación numérica de

la concentración de los contaminantes, así como estimaciones de las fuentes móviles y

fijas que se observan en las ciudades, de forma que se puedan desarrollar medidas

adecuadas para intentar reducir la concentración de los contaminantes en la atmósfera;

además de estudios de efectos a la salud pública como en [12]. Como conclusión de

algunos de estos estudios, los investigadores encontraron que la contaminación no se ha

estancado en las últimas décadas y que seguirá aumentando peligrosamente mientras no

se encuentre una solución.

2 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo

atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá

En algunos estudios como [3], [13] y [14], se afirma además que por encima del sector

industrial de una ciudad, el tráfico urbano es la fuente más significativa de contaminantes,

debido al aumento del parque vehicular no solo por las necesidades de la población para

transportarse en la ciudad, sino también al aumento desmesurado de la población

mundial en las últimas décadas.

Asimismo en [15] se afirma que el entorno en el que se encuentran los focos que emiten

contaminantes juega un papel importante frente a la concentración de los contaminantes

debido a que no en todos los casos el entorno cuenta con las mismas características, y

por tanto un espacio puede ser más propenso a la acumulación de contaminantes que

otro.

Las especies contaminantes seleccionadas en los estudios de contaminación atmosférica

debido al tráfico urbano dependen esencialmente del tipo de combustible; para el caso de

motores de gasolina, los contaminantes emitidos son esencialmente una mezcla de NO2

y NO, en la cual más del 90% es NO, además de CO e hidrocarburos debidos a la

combustión incompleta como a diferentes factores como evaporación del combustible,

escape de aceite, entre otros. Además en algunos combustibles se adiciona el tetraetilo

de plomo para aumentar el índice de octano de los combustibles, y por esta razón es que

se generan compuesto de plomo como fuentes de contaminación. En cuanto a los

motores diesel, los contaminantes producidos son principalmente partículas sólidas

(material particulado), lo que da lugar a los humos negros, hidrocarburos no quemados,

NO y anhídrico sulfuroso. [1], [16].

Estas sustancias contaminantes presentan un fuerte impacto sobre la flora y la fauna

circundante, afectando los recursos naturales como el agua y el suelo; y generando

deterioro en las estructuras como edificios, estatuas, entre otras. Además llevan consigo

un efecto nocivo para la salud humana, en especial en los grandes núcleos urbanos y

áreas fuertemente industrializadas. Un ejemplo de esto es el CO, el cual es un

contaminantes asfixiante que básicamente afecta los glóbulos rojos del organismo

reduciendo la capacidad de los mismos para transportar oxígeno a los diferentes

órganos, y por lo mismo afectando en gran medida las capacidades normales con las que

cuenta el ser humano. Otro contaminante nocivo para la salud pública es el benceno, el

Introducción 3

cual aumenta el riesgo de sufrir cáncer si se tiene un prolongado tiempo de exposición a

este [12] y [17].

El material particulado o PM es un contaminante generado por motores diesel que

también afecta la salud humana, este contaminante se relaciona con el aumento en la

frecuencia de cáncer pulmonar, muertes prematuras, síntomas respiratorios severos,

irritación de ojos y nariz, iniciación del asma y agravamiento en caso de enfermedades

cardiovasculares [18].

Así mismo los óxidos de nitrógeno o NOx son contaminantes muy peligrosos para la

salud humana debido a que son de los más tóxicos, estos afectan principalmente el

tracto respiratorio produciendo enfermedades respiratorias como enfisema, bronquitis

crónica, entre otros.

El objetivo principal de los estudios de contaminación atmosférica es el diagnóstico del

comportamiento de los contaminantes a través del tiempo, puesto que con esta

información se puede planificar proyectos para reducir la concentración de contaminantes

mediante métodos que faciliten la ventilación en los sectores más afectados, leyes que

ayuden a controlar la contaminación, restricciones que eliminen la emisión de

contaminantes, etc.; además de brindar ideas para una posible planificación territorial y

determinación de puntos de monitoreo atmosférico en los sectores más importantes en

relación a la magnitud de la contaminación. Esto puede observarse no solo en varias

investigaciones presentadas en revistas de investigación, sino además en proyectos de

tesis y software diseñados para el estudio de la calidad del aire a nivel de meso-escala

como el presentado por meteosim en Barcelona, España o el CMAQ producido por

CMAS.

En la actualidad una de las herramientas más usadas para estudiar el comportamiento de

los procesos físicos presentes en la naturaleza y provocados artificialmente es el

modelado numérico, esto debido a que presenta grandes ventajas frente a otros métodos

de estudio. Entre estas se encuentra la posibilidad de desarrollar el análisis tanto de

procesos como de sistemas reales sin los inconvenientes de tiempo y costo que

presentan los otros métodos de estudio. Por esto mismo es de gran utilidad en los

procesos de diseño llevados a cabo en casi todos los campos de la ingeniería, algunos

ejemplos de esto son el diseño de motores de combustión interna, de calderas, de


atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá

turbinas, de bombas, de aeronaves, de barcos, de automóviles, de circuitos electrónicos,

de estructuras como edificios, entre otros.

Por medio del modelado numérico se construyen representaciones matemáticas de

procesos físicos para estudiar el comportamiento de los mismos frente a efectos llevados

a cabo por diferentes factores. Para obtener una adecuada representación numérica es

necesario seleccionar de manera cuidadosa el método matemático utilizado como base

para la construcción de la simulación. Entre los métodos más usados se encuentran los

métodos de

pequeños subdominios que son representados por medio de un conjunto de ecuaciones

algebraicas solucionadas por medio de diferentes técnicas algebraicas que son

fácilmente implementadas computacionalmente.

E

diferencias finitas, el método de los volúmenes finitos y el método de los elementos

finitos, este último es uno de los métodos más avanzados y además presenta excelentes

resultados en la mayoría de los ámbitos donde ha sido usado [19]. Adicionalmente

cuenta con varios complementos llamados técnicas de estabilización como es el caso del

método de las líneas características y el método de Petrov-Galerkin en contracorriente o

SUPG, los cuales son usados para reducir y eliminar las oscilaciones indeseables que

aparecen debido a inestabilidades numéricas presentes en los modelos numéricos

computacionales usados para simular el comportamiento físico de flujos de cualquier

índole [20].

Debido a lo anterior el modelado numérico es una herramienta adecuada para estudiar el

comportamiento de los contaminantes atmosféricos debidos a emisiones del tráfico

urbano y cada vez más usada por la comunidad científica y las entidades encargadas del

control de la calidad del aire en los centros urbanos. Uno de

es el método de los elementos finitos o FEM no solo por presentar buenos resultados a la

hora de modelar estos tipos de fenómenos físicos, sino también por los estudios que se

han realizado para la eliminación de las inestabilidades que se presentan en estas

herramientas.

Introducción 5

El presente documento se estructura de la siguiente manera: en el siguiente capítulo se

hace una revisión del estado del arte de los métodos de estudio llevados a cabo sobre la

contaminación atmosférica tanto en los centros urbanos como en la atmosfera

circundante así como del modelado de los flujos atmosféricos. El segundo capítulo se

enfoca en el planteamiento del modelo numérico de transporte de masa para estudiar el

comportamiento de las sustancias contaminantes. La formulación numérica por

elementos finitos de la ecuación de transporte de masa es presentada en el tercer

capítulo. En el cuarto capítulo se presentan los casos de prueba para comprobar el buen

funcionamiento del modelo numérico, así como una adecuada representación de los

procesos físicos. En el quinto capítulo se plantea el problema de dispersión de

contaminantes atmosféricos debido a las sustancias contaminantes emitidas por el tráfico

urbano en un sector de la ciudad de Bogotá. En la parte final del documento se presentan

las conclusiones, así como una breve discusión sobre los trabajos futuros derivados de

esta tesis.

1 Antecedentes y Justificación

A partir de las múltiples investigaciones que se han realizado sobre la contaminación

atmosférica en diferentes ciudades del mundo, así como del comportamiento

atmosférico, no solo se ha llegado a conocer la variedad de contaminantes que se emiten

al ambiente, sino también a comprender que el flujo de aire atmosférico interviene

fuertemente en la distribución espacio-temporal de estos contaminantes,

transportándolos y dispersándolos, al igual que le sucede a cualquier sustancia vertida

dentro un fluido en movimiento. Debido a esto, varios de los estudios del comportamiento

de los contaminantes en los entornos urbanos no solo se enfocan en los contaminantes

en sí, sino en los flujos atmosféricos ya que estos afectan de manera significativa la

concentración de contaminantes atmosféricos en las ciudades.

Las investigaciones desarrolladas para analizar el comportamiento de los contaminantes

en los entornos urbanos se efectúan por tres diferentes metodologías: la primera de

estas se fundamenta en el método observacional (experimentos de campo) como los

realizados en [21], [22] y [23], la segunda es por medio de los modelos físicos de flujos

de contaminantes a través de túneles de agua o viento como en [24], [25] y [26], y

finalmente por medio de los modelos numéricos como en [27], [28], [29], [30] y [31]. Es de

destacar que debido al acelerado desarrollo de los sistemas de cómputo, así como de los

métodos de cálculo numérico, las últimas investigaciones de dispersión de contaminantes

se han centrado en el modelado numérico, relegando en muchos casos las demás

técnicas a métodos de validación final. Un buen recuento de los más importantes trabajos

y avances en el modelado de dispersión de contaminantes en la atmósfera es mostrado

en [1].

En el estudio de la dispersión de contaminantes por medio de los modelos numéricos se

incluye un modelo adicional implementado para capturar el comportamiento del flujo

atmosférico debido a la importancia de este sobre los procesos de dispersión. Estos

modelos son conocidos normalmente como Modelos de flujo atmosférico.


atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá.

1.1 Modelos de flujo atmosférico.

La simulación de los flujos atmosféricos se trata por medio de la dinámica de fluidos

computacional o CFD por sus siglas en ingles. Esta es una rama de la mecánica de

fluidos que implementa el modelado numérico como base para simular y analizar el

comportamiento de los flujos mediante la solución de las ecuaciones que representan las

leyes de conservación de la masa, del momento y de la energía en los fluidos [19] y [32].

La conservación de la masa de los fluidos es una ley fundamental de la materia por

medio de la cual se especifica que sin importar los efectos que presenten sobre cualquier

sustancia sea que afecten o no la concentración de esta, la masa de todo el sistema

debe mantenerse sin cambios. La ley de la conservación de la masa es presentada en la

ecuación 1.1.

( ) 0i

i

ut x

(1.1)

Donde es la velocidad media del fluido en la dirección respectivamente

y la densidad del fluido. Los fluidos que presentan cambios en el volumen capaces de

alterar significativamente la densidad del mismo son llamados flujos compresibles y se

rigen por medio de la ecuación 1.1, no obstante en casos en donde las densidades

permanecen aproximadamente constantes a lo largo del espacio y del tiempo es posible

considerarlos como incompresibles lo que conlleva a una simplificación de la ecuación

que representa la conservación de la masa como se observa en 1.2.

( ) 0i

i

ux

(1.2)

Por otro lado la ley de conservación del momento es implementada para calcular los

campos de velocidades que representan el movimiento de los fluidos en el espacio. Esta

es una de las leyes más complejas de calcular de manera numérica debido a que la

conservación del momento debe realizarse a través del espacio en cada una de las

direcciones de manera acoplada. Las ecuaciones que representan la conservación del

momento para fluidos newtonianos son llamadas ecuaciones de Navier-Stokes (Ec. 1.3).

[( ) ]j ij

j i j

i j i

u pu u g

t x x x

(1.3)

1. Antecedentes y Justificación 9

2

3

ji kij ij

j i k

uu u

x x x

(1.4)

Donde es la velocidad media del fluido en la dirección respectivamente,

es la densidad del fluido, es la presión, es el esfuerzo viscoso (Ec. 1.4), es la

viscosidad de los fluidos, y es una fuerza externa como es el caso de la gravedad para

la dirección perpendicular a la superficie del planeta.

Por ultimo pero no menos importante se encuentra la ley de conservación de la energía,

esta ley constituye el primer principio de la termodinámica que dice que la energía no

puede crearse ni destruirse, solo se puede transformarse, por lo tanto la cantidad total de

la energía siempre permanecerá constante. La representación matemática de la ley de

conservación de la masa es presentada en 1.5.

[ ]i i ij i i i H

i j i i i

E Tu E k pu u g u q

t x x x x x

(1.5)

Donde es la energía, es la densidad, es la velocidad media del fluido en la

dirección respectivamente, es la temperatura, la conductividad térmica, es la

presión, es el esfuerzo viscoso, el coeficiente de conductividad térmica del fluido,

es una fuerza externa y es una fuente/sumidero de energía.

En el caso de los flujos atmosféricos y en especial en los estudio de dispersión de

contaminantes en las atmosferas urbanas y circundantes a estas, es simplificado el

modelo de dinámica de fluidos computacional o CFD al estudio de un fluido

incompresible esto principalmente a las bajas velocidades presentes en estos casos, lo

cual conlleva al uso simplificado de las representaciones matemáticas de las leyes de

conservación de masa y momento. Este sistema de ecuaciones usado para el estudio de

fluidos incompresibles es conocido como ecuaciones de Navier-Stokes para flujo

incompresible.

Entre los métodos existentes para solucionar este sistema de ecuaciones se encuentran

los métodos DNS, LES y RANS [19] y [33], estos modelos son los más usados no solo

para el estudio de dispersión de contaminantes sino también para el estudio del



comportamiento de los fluidos en varias ramas de la ingeniería. A continuación se

presenta una breve explicación de cada uno de estos métodos.

1.1.1 Método de solución DNS (Direct Numerical Simulation).

Existen varios procesos físicos que se presentan sobre los fluidos en movimiento que

dependen de diferentes factores relacionados con el tipo de fluido y las características

del entorno en el que se encuentra. Uno de los más importantes es el proceso turbulento

presente en la mayoría de los casos donde encontramos un fluido en movimiento, el

análisis de este proceso es muy complejo y en la mayoría de los casos es necesario el

uso de una combinación de datos experimentales y modelo matemáticos para poder

simular el efecto de este sobre el fluido.

E S

las ecuaciones que representan las leyes de la

conservación, entre estas las ecuaciones de Navier-Stokes y así poder simular y analizar

el comportamiento de los fluidos. Sin embargo y debido a que este método soluciona

directamente el sistema de ecuaciones es obligatorio usar una escala espacial lo

suficientemente pequeña para capturar de manera adecuada el proceso turbulento como

lo es la escala de kolmogorov.

La escala de kolmogorov llamada así por Andrey Nikolaevich Kolmogorov que formulo

esta teoría en 1941 [19], [34], es conocida como la escala donde ocurre el proceso de

disipación de la turbulencia transformando la energía cinética en calor. Es

Debido a lo anterior el método el DNS es uno de los métodos que cuenta con un gran

costo computacional. En cuanto a modelos atmosféricos urbanos, se necesitaría de

computadores con enormes capacidades para poder llegar a simular los flujos

atmosféricos en un pequeño sector urbano, de manera completa por medio de este

método.


1.1.2 Método de solución LES (Large Eddy Simulation).

A diferencia del método DNS, en el método LES o large eddy simulation se realiza un

filtrado espacial de las ecuaciones que representan las leyes de conservación, debido a

esto es posible capturar el comportamiento del fluido pero solo hasta cierta escala, la

cual es lo suficientemente grande para no incluir el proceso turbulento. Para representar

lo que ocurre a escala más pequeña el método LES implementa un modelo adicional

llamado SGS (sub-grid scale), con el que se incorporan los efectos en el fluido debido a

la turbulencia, a la energía cinética y a la disipación de esta en calor.

A diferencia del método DNS este método cuenta con un costo computacional mucho

menor esto debido al filtrado espacial y al uso de un modelo de turbulencia que eliminan

la necesidad de usar una escala tan pequeña como la micro-escala de Kolmogorov [19].

Debido al filtro espacial que se implementa en este método para representar el

comportamiento de un fluido incompresible las ecuaciones de conservación de masa y de

momento deben reformularse como en 1.6, 1.7 y 1.8

( ) 0i

i

ux

(1.6)

1 1[ ]

SGS

j ij ij

j i j

i j i i

u pu u g

t x x x x

(1.7)

2

3

ji kij ij

j i k

uu u

x x x

(1.8)

Donde y son la presión y la velocidad filtras o de escala resoluble respectivamente.

El tercer término en el lado derecho de la ecuación 1.7 surge de los términos conectivos

no-lineales, este término es llamado SGS stress y es por medio de este que se

incorporan los modelos SGS para resolver los procesos turbulentos que se llevan a cabo

a pequeña escala [36].

Este método es muy usado para el estudio del flujo atmosférico dentro de las

investigaciones de dispersión de contaminantes en entornos urbanos como se puede

observar en [37], [38], [39], [40] y [41].



1.1.3 Método de solución RANS (Reynolds Average Navier-

Stokes).

El método RANS se basa en la descomposición de las variables que describen el fluido

como es el caso de la velocidad y la presión en una componente media, la cual es

solucionada por medio de las ecuaciones que representan las leyes de la conservación, y

una componente fluctuante debida a la turbulencia que debe ser simulada por medio de

la implementación de un modelo de turbulencia conocidos con el nombre de Reynolds

stress model. Este método es el más usado para describir el comportamiento de los flujos

turbulentos debido principalmente a que los costos computacionales se encuentran muy

por debajo de los requeridos por los métodos DNS y LES, y sus resultados son

satisfactorios [19].

Debido a la descomposición realizada sobre las variables, para representar el

comportamiento de un fluido incompresible las ecuaciones de conservación de la masa y

de momento deben reformularse como en 1.9, 1.10 y 1.11

( ) 0i

i

ux

(1.9)

1 1 1[ ]

R

j ij ij

j i j

i j i i

u pu u g

t x x x x

(1.10)

2

3

ji kij ij

j i k

uu u

x x x

(1.11)

Donde y son la presión y velocidad media. El término adicional al lado derecho de

la ecuación de momento surge de los componentes fluctuantes debidos a la turbulencia

del fluido, este término es llamado Reynolds Stress y es por medio de este que se

incorporan los modelos de turbulencia para resolver los procesos turbulentos.

Adicionalmente se expresa como en 1.12 debido a lo planteado por la hipótesis de

Boussinesq [42].

2 2

3 3

jR i kij i j T ij ij

j i k

uu uu u

x x x

(1.12)


Este es el método más utilizado en los estudios de dispersión de contaminantes y

algunos de estos estudios son [38], [43], [44], [45], [46], [47] y [48].

1.1.4 Método de solución DES (Detached Eddy Simulation).

Aunque los tres métodos presentados anteriormente son los más conocidos y usados, no

son los únicos que han sido desarrollados para solucionar las ecuaciones de

conservación, a medida que se han realizado avances se han creado nuevos métodos,

como el método DES o Detached Eddy Simulation, el cual es un método hibrido que

combina los mejores aspectos de los métodos LES y RANS, en el DES las regiones

cercanas a los bordes del dominio son solucionadas como si se usara un método RANS,

mientras que las demás regiones se solucionan de manera que se usara un método LES

[49].

1.1.5 Modelos turbulentos.

Debido al filtrado que aplica el método LES a las ecuaciones de conservación o la

descomposición de las variables realizada por el método RANS, es necesario

implementar un modelo adicional para solucionar los componentes que fueron

separados, de forma que la simulación del flujo llevado a cabo por medio de estos

métodos se aproxime de buena forma a la realidad.

Los modelos que han sido desarrollados para resolver los componentes separados se

dividen en dos variantes, dependiendo del método de simulación numérica empleado.

Para el caso del método LES los modelos son llamados modelos SGS y se encargan de

modelar el comportamiento del fluido a pequeña escala, mientras que para el caso del

método RANS los modelos se llaman modelos de turbulencia y se encargan se modelar

el comportamiento fluctuante del fluido.

1.1.5.1 Modelos SGS o SUB-GRID SCALE MODELS.

Para modelar las características turbulentas a pequeña escala que fueron filtradas al usar

el método LES se han usado varios modelos, entre estos están el modelo de

Smagorinsky (Smagorinsy model), el modelo dinámico a pequeña escala (Dynamic

subgrid scale model) y el modelo dinámico de energía cinética a pequeña escala

(Dynamic Subgrid Kinetic Energy model).



1.1.5.1.1 Smagorinsky model.

El modelo de Smagorinsky fue propuesto por Smagorinsky y Lili en 1960, este es el más

simple de los modelos usados para resolver el componente filtrado por el método LES, y

por esto es uno de los más usados. Para modelar el comportamiento del fluido a

pequeña escala, este modelo relaciona el término SGS stress con el tensor de velocidad

de deformación o Strain rate tensor del espacio filtrado, basándose en la hipótesis de

Boussinesq por medio de la ecuación 1.13 [36].

2

3

jSGS i kij T ij

j i k

uu u

x x x

(1.13)

Donde es la viscosidad turbulenta o eddy viscosisty, que es definida para este modelo

como:

2( )T C S (1.14)

Para esta expresión matemática es una constante que se encuentra entre los

intervalos 0.1-0.2, es la escala de longitud del filtro y √ es la

magnitud del tensor de velocidad de deformación donde es:

1

2

jiij

j i

uuS

x x

(1.15)

La combinación del método LES con el modelo de Smagorinsky ha sido empleado en

varios estudios relacionados con la dispersión de contaminantes en entornos urbanos.

Algunos de estos estudios han sido plasmados en artículos como en [35], donde se

presenta un estudio de los regímenes del flujo existente y sus valores umbral en un

entorno urbano, usando diferentes relaciones de aspecto y relaciones de altura relativa; o

en [42], donde se presenta el estudio del comportamiento del flujo atmosférico incluyendo

los procesos turbulentos y el efecto de este sobre los contaminantes presentes en un

entorno urbano. Otros estudios que usan el método LES y el modelo de Smagorinsky son

[49], [50], [51], [52], [53] y [41].


1.1.5.1.2 Dynamic sub-grid scale model.

El Dynamic sub-g “ g

E ” G rmano y su grupo de trabajo en 1991. Este modelo es

sencillamente una modificación del modelo de Smagorinsky en donde el coeficiente de

Smagorinsky pasa a ser una variable dependiente del espacio y del tiempo [35].

Al igual que el modelo anterior, el Dynamic subgrid scale model también ha sido

empleado en estudios relacionados con la dispersión de contaminantes, como es el caso

de [39], en el cual se realiza la simulación del comportamiento del flujo atmosférico y del

contaminante en un modelo de entorno urbano. Otro estudio fue plasmado en [40], donde

se usa un programa comercial para estudiar la estructura turbulenta del fluido y el

mecanismo de dispersión asociado a este sobre el domino es un jardín cerrado el cual se

asemeja a una cavidad.

1.1.5.1.3 Dynamic sub-grid kinetic energy model.

El Dynamic Subgrid Kinetic Energy Model fue desarrollado por Kim y Menon en 1997.

Este modelo es una variante del modelo original Dynamic sub-grid scale donde el

coeficiente de viscosidad turbulenta depende de la energía cinética turbulenta y se

calcula por medio de la ecuación 1.16 [54].

( )T SGSC k (1.16)

La energía cinética turbulenta se define en la ecuación 1.17 y es calculada por medio de

la ecuación de transporte 1.18.

2 21

2SGS k kk u u (1.17)

3/2u

uSGSSGS SGS

ij sgsi Tj

j j j k j

kkk C k

t x x x x

(1.18)

Algunos de los estudios que usan el modelo Dynamic subgrid kinetic energy para

desarrollar la simulación de flujo atmosférico y estudiar la dispersión de contaminantes

han sido presentados en [55] y [56].



1.1.5.2 Modelos de turbulencia (REYNOLDS STRESS MODELS).

Para modelar la componente fluctuante debida a la turbulencia de los fluidos filtrada al

usar el método RANS se han desarrollado varios modelos, entre estos se encuentran los

modelos de dos ecuaciones -epsilon ( - models), los modelo de dos ecuaciones -

omega ( - models) y el modelo de Reynolds Stress o Reynolds Stress model (RSM).

1.1.5.2.1 -ε MODEL.

El modelo de dos ecuaciones k-épsilon ( - ) fue propuesto inicialmente en 1968 por

Harlow y Nakayama, pero el desarrollo de este método se realizó hasta el año 1972 por

Jones y Launder. Este es uno de los modelos más comúnmente utilizados para

solucionar la componente filtrada por el método RANS por esto es considerado un

modelo turbulento estándar en la industria.

El modelo se compone de dos ecuaciones para representar la turbulencia de los flujos.

La primera ecuación (Ec. 1.19) define la energía cinética turbulenta que se representa

con la variable ( ), mientras que la segunda (Ec. 1.20) define la disipación de la energía

turbulenta representada con la variable ( ) [42], [57].

1[ ]

Pr

R

ij jT Ti

i j j i T i

u F Tu S

t x x x x x

(1.19)

2

1 3 2

1[ ]

Pr

Ti

i j j

R

ij j T

i T i

ut x x x

u F TC C C S

x x

(1.20)

Donde ⁄ es la viscosidad turbulenta, ⁄ es el número

adimensional de Prandtl turbulento para energía que oscila entre 0.7 a 0.9,

⁄ ⁄ es el coeficiente de expansión térmica, es la difusividad térmica por

turbulencia, es una carga externa, y son las fuentes de energía cinética turbulenta

y de disipación de la energía cinética turbulenta respectivamente y

son las constantes empíricas del modelo de turbulencia.


Este modelo está compuesto por tres variantes que son conocidas como Standard -

model, Realizable - model y RNG - model.

1.1.5.2.1.1 STANDARD -ε MODEL.

El modelo estándar -épsilon fue desarrollado en 1974 por Launder y Spalding. En este

modelo se especificaron los valores de las constantes empíricas, que se encuentran en

las ecuaciones usadas para definir la energía cinética turbulenta y la disipación de

energía cinética turbulenta, como se muestra en la Tabla 1.1 [58].

Tabla 1.1 Valor de constantes empíricas del modelo Standard k-ε.

Constantes Valor

C 0.09

1C 1.44

2C 1.92

3C 1.44

k 1.0

1.3

PrT 0.7

TSc 0.9

Esta primera variante solo puede ser usada para predecir los flujos completamente

turbulentos. Adicionalmente presenta algunas desventajas como son la inexacta

predicción de los flujos en donde se presentan altos gradientes de presión, separación

del fluido debido a la forma del dominio y rápidos cambios de dirección del fluido, además

de su falta de aplicabilidad en las subcapas viscosas cerca de los contornos del modelo,

debido a esto no es muy adecuado para estudios del flujo sobre mecanismo como

compresores, toberas, etc.

No obstante este modelo es usado frecuentemente en estudios de dispersión de

contaminantes y ha demostrado predecir adecuadamente la componente turbulenta de

los flujos atmosféricos en entornos urbanos como en [43], donde se realiza una

simulación del flujo atmosférico y la dispersión de contaminantes en un sector urbano

para entender los procesos dinámicos que ocurren en el fluido y como estos afectan a la

dispersión del contaminante concluyendo que el método numérico es capaz de predecir

razonablemente bien el flujo como la dispersión de contaminantes. También en [59], se



presenta un estudio del flujo y la dispersión de contaminantes en un entorno urbano, en

el cual compraran los resultados de la simulación numérica con datos obtenidos en un

estudio experimental y concluyen que los resultados de la simulación numérica se

adecuan razonablemente bien a los obtenidos con el estudio experimental. Otros

estudios que usan el modelo estándar épsilon son [28], [33], [60], [61] y [62].

3.1.1.1.1.2. REALIZABLE -ε MODEL

La variante desarrollada por Shih, Liou, Sabbir y Zhu en 1995 presenta una modificación

de la ecuación de disipación de energía turbulenta así como en el coeficiente [63].

Esta variación es relativamente mejor que el modelo Standard -épsilon en los casos de

alto gradiente, separación de flujos, flujos rotacionales, flujos libres, entre otros [64].

La nueva ecuación de disipación de energía turbulenta deducida en este modelo es

presentada en 1.21 [63], [64].

2

1 3 2

1[ ]

Pr

Ti

i j j

T

T i

ut x x x

F TC S C C S

x

(1.21)

Donde es la viscosidad cinemática del fluido. Asimismo el coeficiente pasa a ser

dependiente del flujo medio y de las propiedades turbulentas del fluido. Adicionalmente el

valor de las demás constantes empíricas para este caso es presentado en la Tabla 1.2

[65].

Tabla 1.2. Valor de constantes empíricas del modelo Realizable k-ε.

Constantes Valor

1C max 0.43, / (5 )

2C 1.9

3C 1.44

k 1.0

1.2

PrT 0.7

TSc 0.9


Donde ⁄ .

Este modelo no es tan utilizado como el Standard -ε j

atmosféricos y la dispersión de contaminantes en un entorno urbano, sin embargo

existen algunos estudios como el presentado en [65], en el cual realiza un estudio de

dispersión de contaminantes emitidos por una chimenea en el techo de un edificio y en

[66] en el que se realiza una comparación entre el modelo -épsilon y un modelo

experimenta para concluir que aunque el modelo numérico presenta resultados

aproximados al diseño experimental se encuentra sobrevalorados cerca de los bordes del

dominio.

1.1.5.2.1.2 RNG -ε MODEL.

La variante RNG -epsilon o Re-normalization Group -epsilon model fue propuesta por

Yakhot y Orszag en 1986 y desarrollada por Yakhot y Smith en 1992. En esta variante se

usa el método re-normalization group o RNG para renormalizar las ecuaciones de Navier-

Stokes lo cual conlleva a una modificación en la ecuación de disipación de la energía

turbulenta así como en las constantes empíricas del modelo.

Debido a la implementación del método RNG, este modelo contempla el movimiento que

contribuye a la difusión turbulenta en todas las escalas de movimiento lo que conlleva a

una mejor predicción de los procesos turbulentos a costo de usar entre el 10 al 15% más

de tiempo de simulación que el modelo estándar -ε [67].

La ecuación de disipación de la energía turbulenta es modificada obteniendo la ecuación

1.22 [68].

2*

1 3 2

1[ ]

Pr

Ti

i j j

R

ij j T

i T i

ut x x x

u F TC C C S

x x

(1.22)

El nuevo término que se presenta en la ecuación 1.22

por medio de la

ecuación 1.23



3

0*

2 2 3

1

1

C

C C

(1.23)

Donde ⁄ , √ , y . Asimismo el valor de las

constantes empíricas es presentado en la Tabla 1.3 [67].

Tabla 1.3. Valor de constantes empíricas del modelo RNG k-ε.

Constantes Valor

C 0.0845

1C 1.42

2C 1.68

3C 1.42

k 0.7194

0.7194

PrT 0.7

TSc 0.9

Al igual que el modelo k-épsilon estándar esta variante también es ampliamente utilizada

en los estudio de dispersión de contaminantes para solucionar la componente turbulenta

de los flujos atmosféricos. Uno de los estudios que implementa este modelo es

presentado en [68] donde además de simular los flujos atmosféricos y la dispersión de

contaminantes también se tiene en cuenta los procesos reactivos entre especies

contaminantes y el calentamiento de las superficies debido a la irradiación solar. También

en [69] usan el modelo RNG -épsilon para estudiar los efectos de la dirección del viento

en el flujo atmosférico urbano mostrando que los cambios en la dirección afectan la

circulación del flujo atmosférico y en consecuencia la distribución espacial de los

contaminantes.

Otros artículos donde se expone el uso del modelo RNG -épsilon son [70], [71], [72],

[73] y [74].


1.1.5.2.2 -ω MODEL.

Este modelo fue el primer modelo de turbulencia de dos ecuaciones que se construyó,

fue desarrollado por Kolmogorov en 1942. Al igual que el modelo -épsilon es usado para

solucionar la componente turbulenta y cuenta con dos ecuaciones que representan la

turbulencia de los flujos. La primera ecuación define la energía cinética turbulenta que se

representa con la variable ( ), mientras que la segunda define la disipación especifica

que se representa con la variable ( ) [75].

Este método presenta mejores resultados que el modelo -epsilon al predecir el

comportamiento de los fluidos cerca de las superficies de contorno donde se presentan

las capas límite de los fluidos, pero a su vez es más inexacto al momento de describir los

procesos físicos lejos de estas. Asimismo es un modelo numéricamente estable,

especialmente a bajos números de Reynolds en donde obtiene soluciones más

rápidamente y a un menor costo computación que el modelo -épsilon [75], [76].

Algunos de los estudios de dispersión de contaminantes que han implementado este

modelo de turbulencia son [48], [77] y [78].

1.1.5.2.3 REYNOLDS STRESS MODEL.

E R “R ” “S -order

” “ - ” “S - g”

Launder en 1975 y a diferencia de los anteriores modelos resuelve directamente el

término Reynolds Stress sin usar el concepto de viscosidad turbulenta [79] y [80]. Para

esto los componentes del término Reynolds Stress se calculan por medio de la inclusión

de 4 a 6 ecuaciones diferenciales parciales no lineales dependiendo si se trabaja en 2 o 3

dimensiones [81] y [82].

Debido no solo al número de ecuaciones sino al acoplamiento entre ellas, se requiere de

un esfuerzo de cálculo considerable para que el modelo converja. Sin embargo es

considerado el mejor modelo de turbulencia debido a que predice el comportamiento

turbulento de los fluidos de manera precisa aun en los casos más complejos. Algunos

ejemplos son la simulación de flujos rotacionales a gran escala, flujos altamente

turbulentos dentro de cámaras de combustión, flujos rotacionales y secundarios en

pasaje y ductos.



El modelo RSM también es usado en el estudio de dispersión de contaminantes en la

atmosfera. Algunos artículos donde se usó este modelo para la solución del componente

turbulento del fluido fueron [82], en donde se demuestra que este modelo es la mejor

alternativa en comparación al modelo -épsilon, debido a que predice la energía cinética

turbulenta y la disipación de energía con mayor precisión, y [83] donde concluyen que el

modelo RSM presenta resultados más reales de los campos de flujos de aire alrededor

de los edificios que los modelos Standard -epsilon y RNG -epsilon.

1.2 Modelos de transporte de sustancias sobre entornos urbanos.

Debido a las dificultades que conlleva el simular y predecir de manera adecuada el

comportamiento de los flujos atmosféricos sobre los entornos urbanos los modelos de

transporte que se han desarrollado hasta el momento se han centrado en estudiar la

dispersión de contaminantes sobre dominios idealizados como es el caso de los entornos

geométricos llamados corredores urbanos. Este último es una adecuada traducción para

“S ” (Figura 1.1), nombre original para este dominio en particular.

A

B

Figura 1.1. Corredor urbano europeo (A) y representación bidimensional de un corredor urbano donde se presenta el campo de rotación del flujo atmosférico (Dabberdt et al., 1973) (B).

Este problemas se estudia comúnmente por medio de modelos tridimensionales debido a

las geometrías complejas que se presentan en los entornos urbanos y que no pueden ser


capturada desde una perspectiva bidimensional, sin embargo en algunos casos de gran

interés para el estudio de la calidad del aire, como son los sectores residenciales de las

ciudades presentan un esquema repetitivo que puede ser tratado a través de modelos

bidimensionales sin incurrir en errores.

Las primeras investigaciones para el estudio del comportamiento de los contaminantes

dentro de los entornos urbanos son los realizados por Johnson et al. [84] en 1971,

Ludwing y Debberdt [85] en 1972, Debberdt et al. [86] en 1973, Hotchkiss y Harlow [36]

en 1973 y Nicholson [43] en 1975.

Desde estos primeros intentos hasta el día de hoy, se han realizado numerosas

investigaciones, enfocadas al estudio de la sensibilidad de diferentes factores que

influyen en el comportamiento de los contaminantes en los entornos urbanos. Algunos de

estos factores son:

- la geometría del entorno urbano: la cual es incorporada al estudio por medio de

diferentes parámetros, como la relación de aspecto que representa la relación entre la

distancia entre edificio a lado y lado de una calle y la altura de los mismos, así como la

altura relativa de los edificios, algunos de los estudios donde analizan los entornos

urbanos por medio de estos parámetros son [28], [29], [43] [52] y [87].

- las reacciones químicas: dado que las reacciones químicas generadas al interior del

gas contaminante y/o con el oxígeno atmosférico pueden cambiar la distribución de

concentración al producir y consumir una u otra especie química además de provocar

cambios en la temperatura del ambiente circundante. Aunque no se encuentran muchos

trabajos que incorporen estos términos reactivos en los procesos de dispersión

atmosférica de contaminantes, algunos trabajos que esbozan estos efectos son [37], [92],

[88] y [89].

- la temperatura: que afecta el comportamiento del flujo atmosférico, llevando a un

cambio en la dispersión de los contaminantes, así como también a variaciones en las

tasas con la que se desarrollan muchas de las reacciones químicas involucradas.

Algunos estudios que incorporan el efecto de la temperatura se encuentran en [30] y [67].

- el flujo atmosférico: es el factor que más influye sobre este tipo de fenómenos, pues

además de definir la magnitud de los términos de transporte, las componentes



turbulentas de los campos de velocidad modifican significativamente los procesos de

dispersión, jugando un papel preponderante en la caracterización de los términos de

difusión (difusión turbulenta) [28], [29], [30], [87]. Adicionalmente la magnitud y dirección

de la velocidad de entrada del flujo de aire al entorno define la forma del flujo al interior

del mismo, tal como se presenta en [28], [29], [77] y [90].

Asimismo existe un amplio espectro de métodos de solución numérica implementados en

los estudios de dispersión de contaminantes así como en varios problemas de flujo como

de dispersión que implican la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales parciales

entre estas la de Difusión- -Reacción. Efectivamente muchos de los trabajos

desarrollados en forma previa emplean técnicas como las diferencias finitas [47], [52],

[91], los elementos finitos [55] y los volúmenes finitos [28], [31], [40], [43], [46], [67], [76],

[77], [88], [92] entre otros.

Con el fin de reducir los costos computacionales demandados por la solución numérica,

algunos modelos de flujo atmosférico y dispersión de contaminantes son reducidos a dos

dimensiones, como en [28], [45], [52], [92], aunque son muchos los estudios en los que

se implementan soluciones tridimensionales, como se observa en [40], [43], [46], [93].

Adicionalmente la selección del esquema de solución depende de las capacidades

computacionales con las que cuenta el autor y las necesidades del estudio. Cabe aclarar

que aunque los resultados de los modelos 2D y 3D tienen sus diferencias [28], las dos

variantes logran representar el flujo y la dispersión de contaminantes en calles

razonablemente bien, esto es demostrado en [28], [29], [43] y [93].

En conclusión, en muchos de los estudios mencionados, las diferentes variantes y

metodologías empleadas para el análisis del comportamiento del contaminante en un

entorno urbano, se ha logrado, además de caracterizar el comportamiento del flujo y la

circulación entre las calles, ponderar el efecto de varios factores como la geometría del

modelo, la trayectoria de los flujos atmosféricos, la intensidad turbulenta, entre otros [28],

[29], [30], [31], [47], [52], [76], [87].

El presente proyecto pretender el desarrollo de una formulación por elementos finitos

para la solución de una ecuación de Difusión- -Reacción, dentro de un modelo

para ser utilizado en el análisis de la dispersión de los contaminantes en un entorno

urbano caracterizado por la presencia de edificaciones y construcciones urbanas además


de fuentes de contaminación vehicular fijas. Dentro de esta formulación será necesario el

estudio del flujo atmosférico turbulento al interior de este dominio específico, empleando

las ecuaciones de Navier-Stokes, un modelo de turbulencia y un software de dinámica de

fluidos computacional. Más allá de lograr modelar los fenómenos de transporte y

dispersión para una masa de gas, se pretende incorporar al modelo los términos

reactivos y por ende sus efectos, que tiene origen en la cinética de reacción de las

especies químicas que componen los gases contaminantes y el aire atmosférico. Los

términos reactivos permiten analizar y diferenciar la forma como diferentes especies

químicas que hacen parte de las emisiones contaminantes se concentra en diferentes

zonas espaciales.

Con esto se pretende aportar a los estudios previamente mencionados sobre la

dispersión atmosférica de contaminantes en calles. Así mismo se pretende aplicar el

modelo desarrollado a un ambiente urbano particular en la ciudad de Bogotá de modo

que se muestre este tipo de análisis como valioso para estudios de contaminación

ambiental futuros, una posible planificación territorial y la determinación de puntos de

monitoreo de contaminación atmosférica en los sectores más importantes, además de

ayudar a proveer de soluciones prácticas que contemplen la reducción de los niveles de

contaminación.

2 Modelos de transporte de sustancias.

El transporte de masa es un proceso físico que ocurre comúnmente en la naturaleza.

Este proceso es el responsable de que sustancias y compuestos sean transportados y

dispersados a través de diferentes entornos como son la atmosfera terrestre, los cuerpos

de agua, entre los que se encuentran las aguas superficiales y las aguas subterráneas, y

a través de sistemas de ingeniería como reactores, plantas térmicas y turbinas. Estas

sustancias y compuestos pueden presentarse en varios de estos entornos debido a

procesos naturales, como es el caso de la emisión de cenizas en los volcanes, las

sustancias exhaladas por los organismos vivos, así como por procesos artificiales, como

son la emisión de sustancias contaminantes debido a la combustión de combustibles

fósiles o el vertimiento de aguas negras o sustancias contaminantes en ríos.

Asimismo la industria basa muchos de sus procesos en este fenómeno, como es el caso

de los laboratorios clínicos los cuales desarrollan los medicamentos por medio de un

proceso de transporte de masa que termina en una deposición de partículas sólidas las

cuales al ser aglomeradas conforman los medicamentos.

Debido a la necesidad de entender mejor el comportamiento de este proceso físico se

han desarrollado diferentes modelos numéricos capaces de replicar el transporte de

masa a través de varios entornos físicos. Estos modelos se clasifican en modelos

gaussianos, lagrangianos y modelos eulerianos.

2.1 Modelos Gaussianos.

Este tipo de modelo es usado en los casos en los que el transporte de sustancias puede

ser descrito exitosamente utilizando una distribución gaussiana, normalmente se usa

para simular la dispersión de los contaminantes emitidos por chimeneas, presentes en

plantas térmicas, carboneras, entre otras.



Figura 2.1. Trasporte de contaminantes con base en un comportamiento gaussiano.

En este caso se considera que las sustancias luego de ser emitidas al entorno, son

transportadas en una dirección y a una velocidad específica dependiendo del flujo y el

proceso de dispersión se lleva a cabo por las turbulencias existentes en las direcciones

perpendiculares al movimiento del fluido. Este modelo simula el proceso de dispersión

por medio de la ecuación 2.1, desarrollada por O. G. Sutton en 1932 en [94], como se

muestra en la Figura 2.1.

2 2 2

2 2( , , ) exp exp exp

2 2 2 2y z y z z

z H z HQ yC x y z

u

(2.1)

Donde es la concentración de contaminante en un punto con coordenadas ,

es el flujo de emisión del contaminante, es la velocidad del viento, es la altura

efectiva de la fuente y y son coeficiente de dispersión turbulenta que pueden ser

expresadas como desviaciones estándar en las direcciones y y z respectivamente.

2. Modelos de transporte de sustancias. 29

Este modelo ha sido usado ampliamente para la predicción del comportamiento de los

contaminantes que son emitidos a grandes alturas y algunos de los artículos que

presentan este modelo como base del estudio son [95] y [96]. Sin embargo también

puede ser usado en los estudios de dispersión de contaminantes vertidos en cuerpos de

agua como los son los ríos, los océanos, entre otros.

Este modelo es normalmente aplicado para predecir la dispersión de las sustancias en un

ámbito no reactivo debido a que este fenómeno adicional, que existe comúnmente en la

naturaleza, no es fácilmente acoplado, sin embargo existen algunos modelos gaussianos

que comprenden los procesos reactivos pero para casos muy específicos.

2.2 Modelo lagrangianos (de partículas).

Los modelos lagrangianos son modelos que usan un sistema de referencia que se ajusta

al movimiento de las sustancias, lo cual significa que el análisis realizado por este medio

es llevado a cabo por el seguimiento de un volumen de control que va cambiando su

posición de acuerdo con la velocidad y la dirección del flujo.

Estos modelos hace uso de un cierto número de partículas ficticias para predecir el

comportamiento de una o varias sustancias presentes en un campo de flujo así como

para estimar la concentración de las sustancias en diferentes lugares y tiempos dentro

del dominio de simulación.

Los efectos sobre las sustancias pueden ser modelados internamente entre cada

partícula como es el caso del comportamiento reactivo entre sustancias, o por medio de

la predicción de las trayectorias de las partículas, debido a los desplazamientos y

choques efecto del campo de velocidades y las fluctuaciones turbulentas del flujo

presente en el dominio. Adicionalmente por medio de las trayectorias es posible deducir

la concentración y el comportamiento de los contaminantes en el entorno de simulación

[97], [98].



Figura 2.2. Modelado del transporte de contaminantes por medio de un esquema de trayectoria.

Existe algunas variante del modelo lagrangiano entre estas el modelo de nubes

g “L g g G ” E se predice el movimiento de

las partículas efecto de los campos de velocidad y las fluctuaciones del fluido debido a la

turbulencia por medio de un esquema lagrangiano y adicionalmente el comportamiento

interno de las partículas se simula basándose en una distribución gaussiana de forma

que las partículas van creciendo continuamente en volumen, dependiendo de los efectos

dispersivos que se simulen por medio de esta. A diferencia del modelo estándar, en este

modelo se puede presentar sobre posición entre partículas (nubes).

Para obtener la posición de las partículas en el espacio en cada paso de tiempo, así

como las trayectorias de las partículas sobre el dominio de simulación este modelo hace

uso de la ecuación 2.2.

1 ( )t t t t

pi pi ix x t u x u (2.2)

Donde es la posición de la partícula en el tiempo , es el valor de la

velocidad media del fluido en la posición donde se encuentra la partícula en el tiempo y

es la velocidad de difusión debida a las fluctuaciones dadas por las vorticidades más

pequeñas que no alcanzan a estar incluidas en el campo de velocidades [98] [99] [100]

[101].


Varios autores han realizado estudios por medio del modelo lagrangiano tanto para

analizar la trayectoria de las sustancias contaminantes, como en la investigación

realizada por Ryu y Baik expuesta en [98], en el que se presenta un estudio de la

trayectoria de las partículas en el interior de una cavidad urbana; como para predecir la

concentración de los contaminantes en el interior de un entorno urbano, como en [93] y

[102].

Este modelo es aplicado en evaluaciones de calidad de aire en donde se presentan

grandes desplazamientos de las sustancias donde no es necesario una resolución muy

grande para obtener una predicción adecuada del comportamiento de las sustancias,

adicionalmente es adecuado para los casos en los que existen limitaciones en la

información sobre las emisiones y el comportamiento del fluido presente en la región de

simulación.

Este modelo sin embargo presenta una gran desventaja y es que para modelar

problemas que necesitan gran resolución requieren de una enorme cantidad de

partículas para predecir de forma adecuada la concentración de las sustancias en el

entorno de simulación y esto implica un costo computacional grande así como un costo

temporal enorme.

2.3 Modelos eulerianos.

Los modelos eulerianos son unos de los modelos más completos a la hora de modelar

los fenómenos de transporte. Estos modelos se fundamentan en calcular para cada

punto del espacio en cada instante de tiempo el valor de las propiedades y

concentraciones de las sustancias contaminantes dependiendo de si estos ocupan o no

los puntos en el instante específico. Para esto se describe numéricamente el

comportamiento de las sustancias o compuestos contenidos dentro de un volumen fijo de

manera global por medio de una ecuación de transporte conocida comúnmente como

ecuación de difusión- -reacción (Ec.2.3).

[ ] 1, , en Ωi ij i i i

j j j

C Cu C K f Nc

t x x xi

(2.3)



Donde es la concentración media del contaminante , representa el

campo de velocidades del flujo presente en el dominio de simulación, es el tensor

diagonal de difusividad, es la fuente o generación externa para cada sustancia y es

el número de sustancias o especies consideradas en el estudio [43].

Esta ecuación es modificada como en 2.4 para los casos en los que es necesario incluir

los efectos debido a los fenómenos turbulentos, así como a procesos naturales

relacionados directamente con la interacción entre sustancias como es el caso de los

procesos reactivos. Otros procesos que pueden ser incluidos son los procesos

fisicoquímicos como es el caso de la deposición que para un estudio atmosférico se

deben principalmente a la humedad y la lluvia.

[ ] 1, , en Ωi ij i i j i i i

j j j j

C Cu C D u c R f Ni c

t x x x x

(2.4)

En esta ecuación es la velocidad media del flujo, y

son las fluctuaciones en la

velocidad y la concentración respectivamente debidas a la turbulencia, es la

difusividad molecular para cada sustancia , es el término que representa los procesos

reactivos entre sustancias.

En la ecuación 2.4 el primer término representa la variación en el tiempo de las

concentraciones de las substancias sobre un punto en específico dentro del entorno de

simulación, es debido a esto que se conoce como derivada local o tendencia local en el

tiempo.

Los demás términos son presentados de manera más completa a continuación:

2.3.1 Término de advección.

E

movimiento de los fluidos causado por la variación de las propiedades como son la

presión y la temperatura, así como por la presencia de otros procesos artificiales.

El transporte advectivo ( ) se expresa como una función del campo vectorial de los

fluidos a lo largo del dominio (Ec. 2.5).


a j iJ u C (2.5)

Donde es la velocidad del fluido en la dirección y es la concentración de la

sustancia . Remplazando en la ecuación de conservación de las especies (Ec. 2 )

(E 2.7).

j

c J

t x

(2.6)

[ ]ij i

j

Cu C

t x

(2.7)

Como se puede observar esta ecuación es una simplificación de la ecuación 2.4, donde

solo se incluyen los efectos de dispersión debido al movimiento de los fluidos.

2.3.2 Término de difusión molecular

Este término considera la difusión molecular, que es un proceso físico que conlleva a la

dispersión de las sustancias presentes en un espacio debido a los movimientos

aleatorios que presentan sus moléculas.

Por medio de este proceso las sustancias tienden a difundirse en el espacio hasta lograr

una uniformidad de la concentración presente en el mismo, esto por medio del transporte

de las sustancias desde regiones de alta concentración hacia regiones de baja

concentración.

Los movimientos moleculares que comprenden este tipo de difusión solo dependen de la

temperatura, la viscosidad y el tamaño de las moléculas de las sustancias, debido a esto

es que el proceso de difusión molecular se presenta aun cuando no existe una diferencia

de concentración de los contaminantes en el espacio.

La difusión de las sustancias en el espacio se representa matemáticamente por medio de

la primera ley de Fick (Ec. 2.8).

id i

j

CJ D

x

(2.8)



Donde es la tasa de transporte de sustancias por difusión, es la concentración de la

sustancia , es el coeficiente de difusión para la sustancia que representa la facilidad

en que una sustancia puede dispersarse en un fluido, y el signo negativo presente en la

ecuación se debe a que el transporte de sustancias se realiza en sentido contrario al

gradiente de concentración.

Remplazando en la ecuación de conservación de las especies (Ec. 2.6) se obtiene la

segunda ley de Fick (2.9) o ecuación de transporte de sustancias por difusión [103],

donde se incluye el término de difusión molecular presente en la ecuación 2.4.

i ii

j j

C CD

t x x

(3.9)

2.3.3 Término de difusión turbulenta.

Este término considera la dispersión de sustancias debió a las fluctuaciones (turbulencia)

presente en los fluidos. Este proceso llamado difusión turbulenta genera una deformación

anisotr h

fluctuaciones aleatorias presentes en los flujos turbulentos generando un efecto dispersor

sobre las sustancias [104].

Los efectos turbulentos son incluidos en el modelo numérico por medio del segundo

término de la derecha en la ecuación de difusión- -reacción (Ec. 2.4). Este

término conocido como el término de difusividad turbulenta se encuentra relacionado con

las fluctuaciones del flujo por medio de . Debido a la complejidad del cálculo directo del

término turbulento, este último se modela por medio de la ecuación 2.10.

ij i i

j

Cu c Kc

x

(2.10)

Donde es el coeficiente de dispersión turbulenta. Este coeficiente es el encargado de

introducir los efectos de dispersión sobre las sustancias debido al comportamiento

turbulento de los fluidos y debido a que la turbulencia no es un proceso isotrópico este

coeficiente debe ser calculado para cada punto dentro del dominio.


2.3.3.1 Estimación del coeficiente de difusión turbulento.

2.3.3.1.1 Estimación del coeficiente difusivo por medio de la teoría de Taylor.

Uno de los primeros desarrollos para calcular la magnitud del coeficiente de difusión

turbulenta fue por medio de los estudios de turbulencia de G. I. Taylor en 1921, donde

demostró que el coeficiente de difusión turbulenta está fuertemente ligado a las

propiedades del flujo.

Taylor por medio de la ecuación 2.11, con la que se calcula la distancia recorrida de una

partícula a través del tiempo, y considerando la variación del desplazamiento de la

partícula debido a las fluctuaciones presentes en el flujo formulo la ecuación 2.12 [105].

0

t

jx u d (2.11)

2 2

00

2

Tt

X u R d dt (2.12)

Donde es la distancia media recorrida por la partícula, es la varianza

de la fluctuación de la velocidad y es el coeficiente de correlación entre los valores de

velocidad de la partícula en cualquier instante y el valor de velocidad de la misma

partícula después de un intervalo de tiempo . El coeficiente depende del intervalo de

tiempo, donde para largos periodos de tiempo es igual a 0 mientras que para intervalos

de tiempo próximos a 0 es igual a 1.

Para calcular el tiempo máximo o la distancia máxima de recorrido de las partículas en el

que es lo suficientemente grande para considerar que no se presentan fluctuaciones

significativas debido a la turbulencia, se usan las ecuaciones 2.13 y 2.14.

0

LT R d

(2.13)

L LL Tu (2.14)

Donde y son la escala de tiempo lagrangiana y la escala de longitud lagrangiana

respetivamente.



Taylor por medio de la ecuación 2.13 reformulo la ecuación 2.12 para calcular la

fluctuación de la distancia media recorrida por las partículas debido a la turbulencia

presente en los fluidos (Ec. 2.15).

222 L

d Xu T

dt (2.15)

Para calcular el coeficiente de difusión turbulenta por medio de la ecuación 2.15, se

considera la ecuación ⁄ que relaciona la desviación estándar de la

distribución de la concentración a través del tiempo con el coeficiente de difusión.

Considerando la distancia media recorrida de una partícula debido a la turbulencia

equivalente a la desviación estándar de la dispersión de las partículas, el término de

difusión turbulenta puede escribirse como 2.16.

2

LKc u T (2.16)

Este coeficiente de difusión turbulenta solo puede ser usado cuando el intervalo de

tiempo es superior a . Asimismo para el caso en el que se cuenta con un intervalo de

tiempo inferior a , el coeficiente de difusión turbulenta es igual a 2.17.

21

2Kc u t (2.17)

Para este caso no es constante y aumenta linealmente con el tiempo.

2.3.3.1.2 Estimación del coeficiente difusivo por Richardson.

Richardson, el cual en 1926 investigo y demostró que la difusividad debido a la

turbulencia está fuertemente ligada a la extensión espacial de la nube de la sustancia, es

decir la dispersión de las partículas de la nube está ligada a la separación entre las

mismas, describió la dispersión relativa por medio de una ecuación de difusión (Ec.2.18)

[106].

2

2

, ,1q t q tF

t

(2.18)

En esta ecuación Richardson definió la variable , como la separación entre partículas y

la función como el número de partículas vecinas por unidad de separación . Este

“ - gh g h” E


difusividad turbulento Richardson lo estableció de manera empírica siguiendo la ley de

los 4/3, de forma que y por medio de la adición de una constante

dependiente de la tasa de disipación de energía en el fluido, el coeficiente de difusión

turbulenta quedo como , dond α

disipación de la energía en el fluido.

E implementando la micro-escala de Kolmogorov que fue propuesta por Kolmogorov en

1941, donde se presentan el coeficiente de disi g (ε) el

coeficiente de difusión turbulenta fue reformulado obteniendo la ecuación 2.19.

1 3 4 3

0Kc k (2.19)

Donde es una constante adimensional.

2.3.3.1.3 Estimación del coeficiente difusivo por medio del número de Schmidt.

Otra forma de calcular el coeficiente difusivo turbulento es por medio del número de

Schmidt turbulento. Con este número es posible relacionar las ecuaciones de Navier-

Stokes, discretizadas por medio de los métodos de solución LES o RANS, con la

ecuación de transporte de sustancias.

El número de Schmidt turbulento llamado así en honor a Ernst Schmidt, es un número

adimensional definido como el cociente entre el coeficiente de difusión turbulento de

cantidad de movimiento y el coeficiente de difusión de masa turbulento. Este número de

Schmidt se define como en 2.20 [107], [108].

TtSc

Kc

(2.20)

Donde es el número de Schimdt turbulento, es la viscosidad turbulenta y es el

coeficiente de difusión de masa debido a la turbulencia.

Este número es similar al número adimensional de Schmidt el cual relaciona la difusión

molecular de cantidad de momento con la difusión de masa molecular y análogo en

transferencia de calor al número de Prandtl turbulento, el cual se define como

, donde es el coeficiente de difusión térmica debido a la turbulencia del

fluido.



El número de Schmidt ha sido estudiado ampliamente por varios investigadores los

cuales han desarrollado diferentes métodos de cálculo que se encuentran relacionados

con las vorticidades, las difusiones moleculares y la distancia a las superficies sólidas. Un

ejemplo es la ecuación 2.21, formulada usando el método estándar Monin-Obukhov por

Sawford and Guest en 1988 [109].

*

04 4

*1

vTt

W m

u zSc C

Kc u

(2.21)

Donde es la constante de von Karman, es la cizalladura del viento adimensional,

es la desviación estándar de la fluctuación en la velocidad vertical del fluido, es la

disipación de energía cinética turbulenta, es una constante universal turbulenta y es

la velocidad de fricción. Algunos de los números de Schmidt que han sido calculados y

son usados hoy en día se presentan en la Figura 2.3 [110].

Figura 2.3. Numero de Schmidt turbulento como función de la altura [110].

En esta figura se presentan adicionalmente los resultados de un estudio experimental

desarrollado por Konrad Koeltzch donde se modela la emisión de sustancias en tres

alturas diferentes en un túnel de viento y se presentan los números de Schmidt

calculados a diferentes alturas desde la superficie inferior. La dimensión de la altura en la

figura es normalizada con el espesor de la capa límite igual a 90 mm.


Entre los números de Schmidt más usados se encuentran presentado por

Spalding en 1971 y con el cual los modelos numéricos presentaban grandes similitudes

con los experimentos, y calculado por Launder en 1978 para la turbulencia

cerca de las superficies sólidas.

Para el caso del transporte de sustancias contaminantes sobre los entornos urbanos

también se han desarrollado varios estudios para calcular el número de Schmidt. Algunos

de los números de Schmidt calculados y normalmente usados en este caso de transporte

de masa se presentan en la Tabla 2.1 [107].

Tabla 2.1. Números de Schmidt usados en estudios de transporte de contaminantes

sobre entornos urbanos [107].

tSc Autor Año

0.63 Lien et al. 2006

0.7 Li y

Stathopoulos 1997

0.7 Wang y

McNamara 2006

0.77 Zhang et al. 1996

0.8 Brzoska et al. 1997

0.9 Delaunay 1996

0.9 Baik et al. 2003 0.9 Kim et al. 2003 0.9 Santiago et al. 2007

2.3.4 Término de fuente.

Las diferentes fuentes de sustancias contaminantes que son emitidas a la atmosfera

debido a fenómenos naturales como artificiales, son clasificadas en fuentes fijas y

fuentes móviles.

Las fuentes fijas son puntos de emisión de sustancias que se encuentran estáticas en el

tiempo y que son representadas matemáticamente por medio del término fuente como

una tasa de masa emitida al entorno por unidad de volumen. Algunos ejemplos de estas

fuentes son las instalaciones industriales presentes dentro de las ciudades o en sectores

alejados a los entornos urbanos, así como las instalaciones domesticas como es el caso

de los sistemas de calefacción.



Por otra parte las fuentes móviles a diferencia de las fuentes fijas se desplazan en el

espacio como es el caso de los automóviles, los barcos y las aeronaves los cuales

emiten sustancias contaminantes a la atmosfera mientras se encuentran en movimiento.

Para modelar matemáticamente este fenómeno es necesario incluir el desplazamiento

del punto o volumen de emisión, esto por medio de la adaptación de una función

gaussiana o simplemente con el cambio de posición de la fuente en el espacio luego de

un intervalo de tiempo.

2.3.5 Término de reacción.

Entre las sustancias contaminantes presentes en la atmosfera se encuentran los

contaminantes primarios, que son las sustancias emitidas directamente a la atmósfera

tanto por las fuentes fijas como por las fuentes móviles, algunas de estas especies

contaminantes que se emiten en los entornos urbanos son:

Los compuestos de Azufre (SOx), que resultan de la oxidación del azufre presente en la

quema de combustibles fósiles. Entre estos el compuesto de azufre emitido en mayores

cantidades a la atmósfera es el SO2.

Los hidrocarburos (HC), que resultan de la combustión incompleta en los vehículos son

compuestos orgánicos que contienen carbono e hidrógeno, y al igual que SO2 se

presentan en grandes cantidades sobre las ciudades.

Los óxidos de nitrógeno (NOx), que resultan de la oxidación del N2 presente en la quema

de combustibles fósiles. El óxido de nitrógeno o NO es un gas incoloro y toxico que

resulta directamente de la oxidación incompleta del N2, mientras que el NO2 es un gas

irritante y asfixiante proveniente de la oxidación del NO, siendo un subproducto en los

procesos de combustión.

Los óxidos de carbono, entre los cuales se encuentra el CO que es una sustancia tóxica

producida por la quema incompleta de combustibles a base de carbono. Este

contaminante se presenta en grandes cantidades en el interior y alrededor de las

ciudades. Otro compuesto presente en esta familia es el CO2 el cual es una sustancia

asfixiante para los seres vivos.


Adicionalmente existen otras familias de sustancias presentes en la atmosfera que son

resultado de las reacciones químicas entre las diferentes sustancias emitidas o presentes

en la atmosfera. Estas sustancias son conocidas como contaminantes secundarios y

algunos son:

El SO3 que es un compuesto formado a partir del SO2 y es el responsable del smog así

como del H2SO3, el cual es un contaminante secundario responsable de la lluvia acida.

Este último se genera debido a la reacción química entre el SO3 y la humedad presente

en la atmosfera. Y el NO3 que es otro contaminante secundario procedente de la

oxidación del NO2 con el O3 y posee un papel importante en la formación del smog

fotoquímico.

Para contemplar estos contaminantes secundarios que se forman en la atmosfera es

necesario adicionar un término a la ecuación de transporte de masa de las sustancias,

este término llamado término reactivo es el encargado de modelar los procesos de

formación y eliminación del contaminante mientras se encuentra en el dominio del

problema.

Para modelar estos procesos por medio del término de reacción se debe representar

matemáticamente los mecanismos cinéticos por los cuales se llevan a cabo, así como la

velocidad o cinética de reacción con que transcurren estas reacciones químicas, que

depende de factores como la temperatura, la presión y las concentraciones de las

sustancias involucradas en las reacciones.

El término reactivo es básicamente una tasa de generación/eliminación de una sustancia

contaminante debida a las reacciones químicas presentes en el sistema. Este término es

expresado en 2.22.

i iR r (2.22)

Donde es la tasa o velocidad de reacción de la especie presente en la reacción . La

tasa de reacción se compone de dos parámetros como se observa en la ecuación 2.23.

[ ][ ]i ir k fc (2.23)



Donde [ ] es la tasa específica de reacción y [ ] es una función que depende de la

concentración de las sustancias presentes en la reacción, así como del número de

sustancias presentes en el proceso reactivo.

La función [ ] fue determinada por medio de estudios experimentales debido a la

necesidad de establecer la relación existente entre la velocidad de reacción de los

mecanismos de reacción y de la concentración de las sustancias presentes en esta. Para

el caso de una reacción molecular simple la función [ ] se define como en 2.24

[ ] r r

i kfc C C (2.24)

Donde y son coeficiente que representan el orden de reacción para cada sustancia.

Para calcular las velocidades de reacción de las demás sustancias presentes en la

reacción es posible usar la relación de los co

observa en Tabla 2.2.

Tabla 2.2. Velocidades de reacción.

Reacción química R

Velocidades de reacción

[ ] [ ]

[ ] [ ]

a A b B

c C d D

CA B Drr r r

a b c d

/

/

/

A A A B

B A

C A

D A

r k C C

r b a r

r c a r

r d a r

Donde las letras en mayúscula representan las sustancias químicas y las letras en

minúsculas los coeficientes estequiométricos.

Para el caso en el que el sistema o mecanismo de reacción cuente con más de un

proceso reactivo, lo cual ocurre normalmente en la naturaleza, es necesario primero

calcular las velocidades o tasas de reacción netas de todas las sustancias como se

observa en 2.25.

,1 ,2 , ,1

Nr

i i i i Nr i jjr r r r r

(2.25)

Donde es el número de reacciones presentes en el mecanismo de reacción.

Adicionalmente para calcular las tasas específicas de reacción es posible implementar


algunos métodos como son la teoría del estado de transición, la ecuación de Arrhenius,

la teoría de las colisiones, y en el caso en el que se presenten procesos reactivos debido

a la irradiación solar la teoría de la fotodisociación.

2.3.5.1 Teoría del estado de transición.

La teoría del estado de transición fue desarrollada por Eugene Wigner, Henry Eyring,

Maichel Polanyi y Meredith Gwynne Evans en 1935.Esta teoría propone que para que se

produzca un proceso reactivo entre sustancias, las moléculas primero necesitan llegar a

un equilibrio químico donde se disocian formando un complejo activado para luego

generarse los productos de la reacción.

2.3.5.2 Ecuación de Arrhenius.

La ecuación de Arrhenius es una expresión matemática que fue formulada por Jacobus

H ‘ H 1884 S h 1889 E

presentada en 2.26, fue obtenida mediante observaciones experimentales para calcular

entre otras cosas la dependencia de la tasa específica de reacción frente a la

temperatura.

AE

RTAk e

(2.26)

En la ecuación 2.26 la constante representa la frecuencia de colisión entre sustancias y

es calculada de manera experimental, es la temperatura, es la constante del gas y

es la energía de activación que es la cantidad mínima de energía necesaria para que se

genere el proceso reactivo.

El valor de la constante así como de la energía de activación han sido calculados de

manera experimenta y se pueden encontrar en la bibliografía.

2.3.5.3 Teoría de las colisiones.

La teoría de las colisiones fue desarrollada por Max Trautz y William Lewis en 1918. Esta

teoría propone que para producirse una reacción química, es necesario que se

experimenten colisiones entre partículas.



Esta teoría además permite la deducción teórica de la ecuación de Arrhenius dándole un

sentido físico. La expresión matemática formulada por medio de esta teoría para calcular

el valor de la tasa específica de reacción es presentada en 2.27.

1/2

2 8 AE

B RTA B

r

k Tk r r e

(2.27)

Donde y son los radios de las moléculas, es la constante de Boltzman,

es la masa reducida, es la temperatura, es la constante del gas y

es la energía de activación que es la cantidad mínima de energía necesaria para que

se produzcan las reacciones.

2.3.5.4 Teoría de la fotodisociación.

Un caso especial que debe ser mencionado debido a que ocurre comúnmente en la

atmósfera es la reacción de fotolisis o fotodisociación, este tipo de reacción se da por

medio de la interacción entre uno o más fotones de luz y las moléculas de una sustancia.

La fotolisis ocurre cuando los fotones que cuentan con suficiente energía para romper los

enlaces químicos de las moléculas colisionan con estas últimas y dan lugar a la

descomposición de las sustancias. Las reacciones de este tipo se representan

normalmente como en 2.28.

A hv B C (2.28)

Donde representa el fotón de luz de frecuencia . Para este caso la tasa o velocidad

de generación/eliminación está dada por

[ ][ ]i i ir J C (2.29)

Donde [ ] es el coeficiente de fotodisociación y es calculado usando la ecuación 2.30

1

2

, , ,ai rT T I dJ

(2.30)

Donde y son el intervalo espectral sobre el cual las moléculas de la sustancia se

pueden disociar, es la sección eficaz de absorción de las moléculas de la sustancia ,

es el rendimiento cuántico de la fotolisis y es flujo solar capaz de causar la

disociación molecular, es la temperatura y, es la longitud de onda y es el Angulo de


zenit. La interacción entre y representa el número de fotones que son absorbidos al

colisionar con las moléculas de la sustancia [111].

El coeficiente de fotodisociación es homologa a la tasa específica de reacción por lo tanto

en el caso en que se presente un proceso reactivo debido a la fotolisis en paralelo con

otras reacciones químicas, como ocurre normalmente en el entorno atmosférico, es

posible incluir directamente la tasa o velocidad de generación/eliminación debida al

proceso de fotolisis en las velocidades de reacción netas.

2.3.6 Consideraciones.

Debido a que la ecuación de difusión- -reacción se encuentra ligada al

comportamiento de los flujos del entorno, es necesario incluir y solucionar las ecuaciones

básicas de la dinámica de fluidos como son el principio de conservación de masas, del

momento y de la energía, así como las ecuaciones necesarias para comprender los

efectos de turbulencia del fluido, para un procesos de simulación de transporte de masa.

[112]

En algunos casos en los que las sustancias o especies que se presentan en el entorno

de simulación exhiben valores de concentración lo suficientemente bajos, como es el

caso de las especies contaminantes presentes en las atmosferas urbanas, es válido

suponer que estas no afectan el comportamiento del fluido y por tanto la predicción del

flujo realizado por medio de las ecuaciones básicas de la dinámica de fluidos puede

obtenerse independiente del análisis de transporte de masa.

Entre las ventajas que presenta este modelo está la facilidad de predecir el

comportamiento de una o varias sustancias cuando se presentan esquemas complejos

de emisión, un ejemplo de esto son los sectores industriales urbanos que presentan

numerosas y diversas fuentes de emisión sobre un área específica. Asimismo en los

casos en donde es importante tener en cuenta los procesos reactivos entre sustancias,

debido a que pueden llegar a jugar un papel importante en el comportamiento de las

sustancias, como es el caso de los estudios sobre contaminantes secundarios, los cuales

solo son productos de la reacción entre los contaminantes que son emitidos a la

atmosfera. Asimismo por su fácil implementación y su notable apreciación de diversos



efectos debidos a diferentes procesos presentes normalmente en esta clase de

problemas.

2.3.7 Aplicación.

Varias de las investigaciones que se han realizado por medio de los modelos eulerianos

se basan tanto en el análisis del recorrido de los contaminantes, que a diferencia de los

modelos lagrangianos, se refiere a la trayectoria de la nube de los contaminantes, como

en la predicción de la concentración de los mismos en el espacio dentro del dominio. [17]

[28], [29] y [43].

Además en algunas de las investigaciones también se analizaron los efectos de los

procesos naturales como en [76] donde se estudiaron las reacciones químicas y su

efecto sobre la dispersión espacial y temporal de las sustancias, [70] donde se estudió el

efecto del calentamiento de las superficies, debido a la irradiación solar, en el

comportamiento del fluido así como en la dispersión de contaminantes y [30] donde se

realizó un análisis de los efectos sobre el flujo y el transporte de sustancias debido a la

interacción entre el proceso reactivo y el calentamiento de las superficies dentro del

dominio debido a la irradiación solar. En algunos casos también se analiza la

perturbación sobre los flujos y el transporte de masa debida al constante cambio en el

entorno como es el caso de los automóviles en movimiento [113].

Otros estudios presentados sobre el comportamiento de las sustancias contaminantes

sobre un ambiente urbano son presentados en [5], [12], [20], [36].

3 ormulación por elementos finitos de la ecuación de difusión-ad ección-reacción.

Una de las técnicas numéricas comúnmente utilizada para solucionar la ecuación

diferencial del transporte de sustancias o ecuación de - -reacción (DAR)

es el método de los elementos finitos o FEM por sus siglas en ingles. Este método es uno

de los más precisos no solo por la capacidad de predecir de manera satisfactoria la

mayoría de los fenómenos físicos que se presentan en la naturaleza, sino además por la

capacidad de eliminación de inestabilidades numéricas [114].

3.1 Planteamiento del método de los elementos finitos.

El método de los elementos finitos o FEM por sus siglas en inglés

g equeñas sub-regiones o

elementos compuestos por un número determinado de puntos llamados nodos que

interconectan a los elementos formando una malla como se observa en la Figura 3.1.

Figura 3.1. Discreti ación del dominio por medio del método de los elementos finitos.

El primer paso de la implementación del método de los elementos finitos para solucionar

la ecuación DAR (Ec. 3.1) es la aplicación del método de los residuos ponderados. Por



medio de esto se obtiene la formulación por residuos ponderados en la forma fuerte (Ec.

3.2).

[ ]i i ij i i i i i

j j j j j

C C Cu C D Kc R f

t x x x x x

(3.1)

[ ]i il l j i l i i

j j j

l i l i

C CW d W u C d W D Kc d

t x x x

W R d W f d

(3.2)

Donde son las funciones peso, representa las sustancias y

la dirección de la derivada dependiendo de la dimensión del problema. Aplicando

integración por partes sobre el término de segundo orden que representa el fenómeno de

difusión se obtiene la forma débil de esta ecuación como se observa en 3.3.

[ ]i l il l j i i i

j j j

il i l i l i i

j

C W CW d W u C d D Kc d

t x x x

CW R d W f d W D Kc d

x

(3.3)

Suponiendo una aproximación discreta elemental lineal para la variable (Ec. 3.4), la

ecuación de residuos ponderados debilitada pasa a ser escrita como en 3.5

,

1

Noe e

i m m i

m

C N C

(3.4)

Donde es la aproximación elemental lineal, es el número de puntos usados para la

aproximación que es igual al número de nodos que presenta

son las funciones de forma lineales definidas para el elemento, y

son los valores nodales de la variable solución .

Para el caso de un elemento unidimensional de dos nodos las funciones de forma son

presentadas en la Figura 3.2.

3. Formulación por elementos finitos de la ecuación de

- -reacción.

49

Figura 3.2. Funciones de forma para un elemento unidimensional lineal en coordenadas globales y locales respectivamente.

,

1

,

1

e

e e

e e e

eNom ie

l m

m

Noe e em l m

l j i i m i

e m j j j

ee e ei

l i l l i i

j

CW N d

t

N W NW u d D Kc d C

x x x

CW R d W f d W D Kc d

x

(3.5)

Adicionalmente la ecuación 3.5 es mapeada a un sistema coordenado local para facilitar

el proceso de resolución de las ecuaciones así como el cálculo de las funciones de

forma, como se observa en 3.6.

,

1

,

1

e

eNom i

l m j

m e

Noem l m

l j j i i j m i

e m j j je e

eei

l i j l j l i i

je e

CW N J d

t

N W NW u J d D Kc J d C

x x x

CW R J d W f J d W D Kc d

x

(3.6)

Donde son los ejes coordenados locales y | | es el determinante del

jacobiano que relaciona el espacio global con el espacio de mapeo. Por simplicidad la

ecuación debilitada de residuos ponderados en coordenadas locales es presentada en su

forma matricial (Ec. 3.7).

,

,[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

e

m ie e e e e e

m i

CCC A D R F

t

(3.7)

Donde



1

[ ]No

e

l m j

m e

C W N J d

(3.8)

1

[ ]No

e ml j j

m je

NA W u J d

x

(3.9)

1

[ ]No

e l mi i j

m j je

W ND D Kc J d

x x

(3.10)

[ ]e

l i j

e

R W R J d (3.11)

[ ]e

e eil j l i i

je

CF W f J d W D Kc d

x

(3.12)

Donde [ ] , [ ] , [ ] y [ ] son las matrices capacitiva, advectiva, difusiva y reactiva

elemental y [ ] es el vector de cargas elemental.

Para obtener la solución en el dominio global se debe ensamblar las ecuaciones

elementales en su forma matricial (Ec. 3.7) de manera tal que la ecuación matricial

resultante represente el comportamiento de la solución en la región completa del

problema (Ec.3.13).

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]ii

CCC A D R F

t

(3.13)

Donde [ ] es la matriz capacitiva, [ ] es la matriz advectiva, [ ] es la matriz difusiva, [ ]

es la matriz reactiva y [ ] es l vector de cargas.

3.1.1 Aplicación de la técnica de estabilización de Petrov-

Galerkin en contracorriente o SUPG.

En la formulación convencional de elementos finitos conocida con el nombre de Bubnov-

Galerkin la función peso es considerada igual a las funciones de forma , no

obstante en problemas altamente advectivos como es el caso de la dispersión de

contaminantes atmosférico se presentan inestabilidades numéricas en la solución siendo

necesario incluir una técnica de estabilización como es el método Petrov-Galerkin en

contracorriente o SUPG.


- -reacción.

51

Por medio de la técnica de estabilización se realiza una modificación de las funciones de

peso de forma que se afecte la ponderación de los resultados nodales y se reduzcan las

oscilaciones presentes debido a los procesos altamente advectivos como se presenta en

la Figura 3.3. La función peso modificada por medio del SUPG es presentada en la

ecuación 3.14.

Figura 3.3. Función de ponderación sin modificación y modificada por medio de la técnica de estabilización Petrov-Galerkin en contracorriente respectivamente.

2 j

m

j

m

j

l

u NhW N

u x

(3.14)

Donde es la longitud característica del elemento, es la velocidad media en la

dirección , | | es la magnitud de la velocidad vectorial y es el parámetro de

perturbación que se obtiene por medio de 3.15.

1 1 1

0 1

PePe

Pe

(3.15)

Donde es el número de Peclet adimensional definido como | | ⁄ .

Por medio de la modificación de las funciones peso se introduce implícitamente una

cierta cantidad de difusión artificial en los elementos solo en la dirección del campo de

velocidades elemental para eliminar las oscilaciones producidas por las altas velocidades

presentes en el modelo [115].



3.1.2 Formulación bidimensional empleando elementos

cuadriláteros lineales.

Los elementos cuadriláteros lineales son elementos de primer orden bidimensional que

se encuentran compuestos por cuatro nodos posicionados en las esquinas del mismo

como se observa en la Figura 3.4.

A B

Figura 3.4. Elemento cuadrilátero lineal en coordenadas globales (A) y coordenadas locales (B).

Las funciones de forma en coordenadas locales implementadas en la formulación por

elementos finitos al utilizar estos elementos como base para el procedimiento de

del dominio de estudio son presentadas en la Tabla 3.1 y la Figura 3.5.

Tabla 3.1. Funciones de forma expresada en coordenadas locales para un elemento cuadrilátero lineal.

Propiedades Valor

Coordenadas globales

( , )jx x y

Coordenadas locales

( , ) [ 1,1]j j

Funciones de forma

1 3

2 4

1 1(1 )(1 ) (1 )(1 )

4 4

1 1(1 )(1 ) (1 )(1 )

4 4

N N

N N


- -reacción.

53

A

B

C

D

Figura 3.5. Funciones de forma para un elemento cuadrilátero lineal. N1 (A), N2 (B), N3 (C) y N4 (B).

Asimismo la matriz de transformación jacobiana así como su determinante deben ser

calculados para este elemento en particular, de forma que se pueda relacionar el espacio

global con el espacio local. La matriz de transformación jacobiana para este tipo de

elemento es presentado en 3.16.

4 4

1 1

4 4

1 1

i ii i

i i

i ii i

i i

N Nx yx x

Jx y N N

x y

(3.16)

Donde



1 1

2 2

3 3

4 4

( 1) ( 1)

4 4

(1 ) ( 1)

4 4

(1 ) ( 1)

4 4

(1 ) (1 )

4 4

N N

N N

N N

N N

(3.17)

Y el determinante del jacobiano se expresa como en 3.18.

11 22 21 12J J J Jx y x y

J

(3.18)

Asimismo para un problema bidimensional la función de ponderación es expresada como

en 3.19 debido a la implementación de la técnica de estabilización SUPG.

2

yx m ml m

uu N NhW N

u x u y

(3.19)

Por último las integrales del dominio elemental deben remplazarse para un elemento

bidimensional, debido a esto las matrices [ ] , [ ] , [ ] , [ ] y el vector [ ] se deben

modificar como se observa en 3.19, 3.20, 3.21, 3.22 y 3.23 respectivamente.

1 1

1 1

[ ]e

m mC W N J d d

(3.19)

1 1 1 1

1 1 1 1

[ ]e m mm x m y

N NA W u J d d W u J d d

x y

(3.20)

1 1 1 1

1 1 1 1

[ ]e m mi i i i

N NW WD D Kc J d d D Kc J d d

x x y y

(3.21)

1 1

1 1

[ ]e

m iR W R J d d

(3.22)

1 1

1 1

[ ]e e

e e ei im m i i m i i

C CF W f J d d W D Kc d W D Kc d

x y

(3.23)


- -reacción.

55

3.1.3 Formulación tridimensional empleando elementos

hexaédricos lineales.

Los elementos hexaédricos lineales son elementos de primer orden tridimensional que se

encuentran compuestos por ocho nodos posicionados en las esquinas del mismo como

se observa en la Figura 3.6.

A B

Figura 3.6. Elemento hexaédrico lineal en coordenadas globales (A) y coordenadas locales (B).

Para la formulación tridimensional del método de los elementos finitos usando elementos

hexaédricos lineales son implementadas las funciones de forma en coordenadas locales

presentes en la Tabla 3.2.

Tabla 3.2. Funciones de forma expresada en coordenadas locales para un elemento hexaédrico lineal.

Propiedades Valor

Coordenadas globales

( , , )jx x y z

Coordenadas locales

( , , ) [ 1,1]j j

Funciones de forma

1 5

2 6

3 7

4 8

1 1(1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )

8 8

1 1(1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )

8 8

1 1(1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )

8 8

1 1(1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )

8 8

N N

N N

N N

N N



La matriz de transformación jacobiana para este tipo de elemento es presentado en 3.24.

8 8 8

1 1 1

8 8 8

1 1 1

8 8 8

1 1 1

i i ii i i

i i i

i i ii i i

i i i

i i ii i i

i i i

N N Nx y zx x z

N N Nx y zJ x y z

x y z N N Nx y z

(3.24)

Donde

1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 4 4

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )

8 8 8

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )

8 8 8

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )

8 8 8

(1 )(1 ) (1 )(1 )

8 8

N N N

N N N

N N N

N N N

5 5 5

6 6 6

7 7 7

8 8

(1 )(1 )

8

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )

8 8 8

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )

8 8 8

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )

8 8 8

(1 )(1 ) (1 )(1

8

N N N

N N N

N N N

N N

8) (1 )(1 )

8 8

N

(3.25)

El determinante del jacobiano se expresa como en 3.26.

11 22 33 12 23 31 21 32 13

13 22 31 21 12 33 11 23 32

J J J J J J J J J J

J J J J J J J J J

(3.26)

La función peso es expresada como en 3.27 teniendo en cuenta la implementación de la

técnica de estabilización SUPG.

2

yx m m mzm m

uu N N NuhW N

u x u y u z

(3.27)


- -reacción.

57

Por último las integrales del dominio elemental deben remplazarse para un elemento

tridimensional, debido a esto las matrices [ ] , [ ] , [ ] , [ ] y el vector [ ] se deben

modificar como se observa en 3.28, 3.29, 3.30, 3.31, 3.32 respectivamente.

1 1 1

1 1 1

[ ]e

m mC W N J d d d

(3.28)

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1

1 1 1

[ ]e m mm x m y

mm z

N NA W u J d d d W u J d d d

x y

NW u J d d d

z

(3.29)

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

[ ]e mi i

mi i

mi i

NWD D Kc J d d d

x x

NWD Kc J d d d

y y

NWD Kc J d d d

y y

(3.30)

1 1 1

1 1 1

[ ]e

m iR W R J d d d

(3.31)

1 1 1

1 1 1

[ ]

e e

e

m

e ei im i i m i i

F W f J d d d

C CW D Kc d W D Kc d

x y

(3.32)

3.2 Integración numérica.

Los métodos numéricos son una herramienta útil para solucionar integrales esto debido a

que son más fáciles de solucionar lo cual conlleva a que presenten un costo mucho

menor frente a una solución directa, adicionalmente la implementación de estos métodos

es más fácil en especial cuando se necesita solucionar integrales complejas como las

que se pueden presentar en las discretizaciones llevadas a cabo por medio de los

elementos finitos.



Uno de los métodos usado para solucionar las integrales presentes en la

espacial llevada a cabo por medio del método de los elementos finitos es la cuadratura

Gaussiana, este método de solución es uno de los métodos más precisos y

adicionalmente se implementa sobre un rango de -1 a 1, lo cual es conveniente debido al

mapeo realizado sobre las funciones de forma [19].

Para solucionar numéricamente las integrales por medio de la cuadratura Gaussiana se

usa la siguiente expresión.

21

211

( ) ( )nP

n n nn

d ff d f O

d

(3.33)

Donde es el número de puntos a evaluar en el dominio del elemento, es un punto

dentro del dominio del elemento donde es evaluada la función y es el peso

dependiendo del número de puntos de gauss.

La ecuación 3.33 es modificada como se observa en la Tabla 3.3 dependiendo de las

dimensiones del dominio del elemento, donde el elemento unidimensional es una línea, el

elemento bidimensional es un cuadrilátero y el elemento tridimensional es un cubo.

Tabla 3.3. Formulación cuadratura Gaussiana para elementos de diferentes dimensiones.

Elemento Formulación

Unidimensional 1

11

( ) ( )P

n j

n

f d f

Bidimensional

1 1

1 11 1

( , ) ( , )P P

n r n r

n r

f d d f

Tridimensional

1 1 1

1 1 11 1 1

( , , ) ( , , )P P P

n r q n r q

n r q

f d d d f

La coordenada de los puntos evaluados dentro del dominio así como el valor de los

pesos para una cuadratura Gaussiana de orden 2 son mostrados en la Tabla 3.4.


- -reacción.

59

Tabla 3.4. Coordenadas de los puntos a evaluar en el elemento y valor de los pesos para (A) un elemento unidimensional, (B) un elemento

bidimensional y (C) un elemento tridimensional.

Elemento mapeado a coordenadas locales Putos de gauss Peso

1

2

1 3

1 3

1 1

1

1

2

2

1 3

1 3

1 3

1 3

1

2

1

1

1

1

1

2

2

2

1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

1

2

3

1

1

1

3.3 Técnicas de discreti ación temporal

Para solucionar la componente temporal en la ecuación 3.13

cias finitas conocido como el esquema de Theta, por medio

de este método se discretiza el tiempo modificando la ecuación debilitada de residuos

como se observa en 3.34.



11 1[ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]1

t t t

i i i

t

i

t

t

C C CC

A D R

A

t

D R FC

(3.34)

Donde el superíndice se refiere al paso de tiempo, es el incremento temporal y el

el parámetro del esquema. Por medio de se selecciona el método de solución temporal

dependiendo del valor que se seleccione como se observa en la Tabla 3.5.

Tabla 3.5. Métodos de solución temporal del esquema de Theta

Parámetro Método de

Solución Estabilidad

Forward-Euler

(Explicito)

Condicionalmente

estable

Crank-Nicolson

(Semi-implícito)

Condicionalmente

estable

Backward-Euler

(Implícito)

Incondicionalmente

estable

3.4 Método de separación de operadores.

Al modelar el comportamiento de diferentes sustancias en un entorno en particular por

medio del método de los elementos finitos es necesario implementar un sistema de

ecuaciones debilitadas de residuos ponderados (Ec. 3.34), donde cada una de las

ecuaciones representa una sustancia en particular.

El termino reactivo existente en estas ecuaciones es uno de los responsables que se

presenten acoplamientos entre ecuaciones de transporte de masa debido a la interacción

entre sustancias presente en los mecanismos de reacción, así como por no linealidades

dependiendo de la complejidad del proceso reactivo.

Debido a lo anterior el proceso de solución por medio del método de los elementos finitos

es más complejo obligando a utilizar no solo intervalos de tiempo de solución pequeños,

sino además la implementación de procesos iterativos como un Newton-Rapshon en

cada paso de tiempo lo cual conlleva a un costo computacional enorme así como un

tiempo de computo mucho mayor [116].


- -reacción.

61

E “ g h ” g

herramienta útil para solucionar esta clase de problemas eliminando las desventajas que

provoca el acoplamiento debido a los términos de reacción. Esta técnica fue

originalmente desarrollada para reducir los modelos numéricos multidimensionales a un

número determinado de modelos unidimensionales, de forma que se podían solucionar

individualmente haciendo que el procedimiento de solución fuera más fácil y en algunos

casos más rápido.

P

-difusión-

reacción son divididas en un número determinado de expresiones matemáticas para

solucionar independientemente los términos presentes en estas ecuaciones por medio de

diferentes métodos de solución.

Existen varios métodos de separación de operadores entre esto se encuentra el método

de Yanenko y el método simetrizado de Strang [117].

3.4.1 Método Yanenko.

El método Yanenko es un método de separación de operadores que se basa en dividir la

ecuación de transporte de masa en dos componentes (Ec. 3.35).

1 2dondt

e

L L L L (3.35)

Donde es la variable respuesta, c

y

representan los dos componentes en los que es separada la ecuación de transporte de

masa.

El procedimiento de solución implementado para este caso es un proceso en cascada

donde primero es calculado el componente y con el valor de la variable respuesta

obtenida se calcula el componente , como se observa en la Figura 3.7, la

representación matemática de este procedimiento es presentado en 3.36. Adicionalmente

los dos componentes son solucionados sobre el mismo intervalo de tiempo, aunque

dependiendo del fenómeno físico es posible realizar sub-pasos de tiempo para capturar

de forma adecuada estos fenómenos.



Figura 3.7. Procedimiento de solución por medio del método Yanenko.

1/2*1/2*

1 1

1 1/2*1 1/2*

2 2

1

1

t tt t

t tt t

t

t

t

L L

L

L L

(3.36)

Por medio del método de Yanenko la ecuación 3.34 es dividida en las dos expresiones

matemáticas (Ec.3.35-3.36) solucionadas en cascada para cada paso de tiempo.

2 11/ * [ ][ ] [ ]1t t

i i

t tC C R R

t

C

(3.37)

1 1/2* 1 1/2*[ ][ ] [ ] ] ]1 [ [ ] [t t t t

i i i iC C C Ct

CA D A D F

(3.38)

La primera ecuación es usada para resolver el término de reacción, mientras que por

medio de la g Para

resolver la ecuación 3.37 es posible implementar un solucionador de ecuaciones

diferenciales ordinarias.

3.4.2 Método simetri ado de Strang o “Symmetrized Strang”.

El método simetrizado de Strang es otro método basado en la división de la ecuación de

transporte de masa en dos componentes donde el procedimiento de solución consta de

tres pasos como se presenta en la Figura 3.8.


- -reacción.

63

Figura 3.8. Procedimiento de solución por medio del método “Symmetri ed Strang Split”.

Asimismo la representación matemática del procedimiento de solución es presentada en

3.39.

1/21/2

1 1

1/2* 1/21/2* 1/2

2 2

1 1/2*1 1/2*

1 1

/

/ 2

1

1

2

1

t tt t

t tt t

t tt t

t

t t

t

L L

L L L

L L

(3.39)

El procedimiento de solución desarrollado para este método inicia con la solución del

primer componente sobre la mitad del paso de tiempo ( ), seguido de la solución del

segundo componente sobre el paso de tiempo completo ( ) y para finalizar se soluciona

de nuevo el primer componente sobre la mitad del paso de tiempo ( ).

Para este método la ecuación 3.34 es dividida en las mismas expresiones matemáticas

que en el método de Yanenko (Ec.3.35-3.36). Donde la primera ecuación es usada para

resolver el término de reacción y con g

4 Planteamiento y solución de problemas de validación del código.

En este capítulo se describe el algoritmo desarrollado por medio de la formulación

planteada en el capítulo anterior para predecir la dispersión de sustancias por medio de

la solución de un sistema de ecuaciones tipo DAR.

Asimismo se presentan algunas pruebas de escritorio presentes en la literatura para

comprobar la validez de las simulaciones obtenidas por medio del algoritmo numérico. En

estas pruebas se solucionan problemas de transporte de sustancias debidos a procesos

advectivos, difusivos y reactivos.

Igualmente se presenta un problema de validación basado en el cálculo del campo de

concentraciones del mecanismo reactivo simplificado de la familia del NOx sobre un

campo de velocidades rotacional. En este caso se presentaran y comparan los resultados

obtenidos por medio del modelo desarrollado con el esquema simetrizado de Strang de

separación de operadores y el modelo estándar acoplado.

4.1 Descripción del código desarrollado.

El código para la solución de sistemas de ecuaciones tipo DAR fue desarrollado en el

lenguaje FORTRAN 90 implementando el procedimiento de solución presentado en la

Figura 4.1.

4. Planteamiento y solución de problemas de validación del código. 65

Figura 4.1. Diagrama de flujo del procedimiento de solución por medio del código desarrollado.

Donde tf es el tiempo de simulación. Para mayor claridad del procedimiento de solución

se presenta a continuación el seguimiento del proceso paso a paso.

4.1.1 Inicialización del problema.

Como primero y luego de haber seleccionado el problema así como la región de estudio,

por medio de una malla compuesta

por un número finito de elementos los cuales a su vez se componen de un número dado

de nodos dependiendo del tipo de elemento así como de las dimensiones de estudio.



La información de la malla es guardada en un archivo que luego es leído por el algoritmo

desarrollado. El archivo de malla es escrito en el mismo formato usado por los archivos

de entrada del software comercial de elementos finitos ABAQUS, como se observa en la

Figura 4.2 “ ”.

Figura 4.2. Formato archivo de malla.

Por medio de la malla es posible complementar los demás parámetros de entrada como

son las condiciones iniciales del problema, las condiciones de borde y la generación

elemental si es el caso. Estos datos son calculados por medio de algoritmos de pre-

procesamiento desarrollados en el paquete MATLAB y escritos en archivos separados.

Los formatos de los archivos que contienen las condiciones iniciales así como la

generación elemental son presentados en la Figura 4.3.

A B

Figura 4.3. Formatos archivo de condiciones iniciales (A) y generación elemental (B).


Donde el archivo de condiciones iniciales contiene un listado de valores de la variable

solución para todos los nodos en el tiempo inicial, y el archivo de generación elemental

contiene una lista de valores de generación para cada uno de los elementos que

componen la malla. Asimismo el formato del archivo que contiene la información de las

condiciones de borde es presentado en la Figura 4.4.

Figura 4.4. Formato archivo de condición de bordes.

Donde los nombres en rojo representan la posición en la cual se deben escribir los

valores numéricos de los parámetros para la introducción de las condiciones de borde del

problema en el algoritmo, además los nodos que componen las condiciones de borde se

incluyen en filas de 6 nodos como se observa en el recuadro azul.

Los archivos de condiciones iniciales, generación y condiciones de borde son nombrados

“ ” “ ” “ ”



y representa la variable solución a la que pertenecen los datos. es el

número de variables respuesta presentes en el sistema de ecuaciones.

Los campos de velocidad y los coeficientes de difusión son escritos para cada nodo del

h “ ” E h

presentado en la Figura 4.5.

Figura 4.5. Formato archivo de campo de velocidades y coeficiente de difusión másica.

Donde , y son las velocidades del flujo en las direcciones

respectivamente y es el coeficiente de difusión. Para el caso en el que se seleccione un

problema sobre un entorno bidimensional el formato del archivo es simplificado a tres

columnas que contienen la información de las velocidades en , y el coeficiente de

difusión.

Para incluir el mecanismo de reacción así como las sustancias y las tasas de reacción,

se implementan dos archivos escritos en el formato presentado en la Figura 4.6 y la

Figura 4.7 respectivamente.

Figura 4.6. Formato archivo de designación de sustancias.

En el primer archivo (“ ”) se designan las sustancias o variables de

solución que se presentan en el mecanismo de reacción mientras que el segundo archivo

(“ ”) contiene la información del mecanismo completo de reacción

escrito como un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, así como las

expresiones matemáticas para calcular las tasas de reacción.


Figura 4.7. Formato archivo del mecanismo de reacción y las tasas de reacción.

Para el cálculo de las velocidades de reacción así como para la transformación de

unidades usada en el proceso de solución del sistema de ecuaciones de reacción se

incluye un archivo adicional el cual es presentado en la Figura 4.8.



Figura 4.8. Archivo de cambio de unidades.

P ú h “ ”

del código así como datos adicionales necesarios para la solución. El formato del archivo

es presentado en la Figura 4.9.

Figura 4.9. Formato archivo procedimiento de solución.


Donde el número de ecuaciones hace referencia al número de variables respuesta

presentes en el estudio que a su vez es igual al número de ecuaciones presentes en el

sistema. E “ ”

algoritmo imprime los resultados.

Adicionalmente y debido a que este algoritmo presenta la posibilidad de solucionar el

sistema de ecuaciones tipo DAR de manera acoplada se incluye el parámetro de la

condición de convergencia (Resmax) para el procedimiento de Newton-Raphson

necesario en esta variación.

Por último son incluidos los valores de tolerancia para el solucionador de ecuaciones

diferenciales ordinarias, necesarios para el caso en el que se implementa el esquema de

separación de operadores. El primero representa la tolerancia relativa del sistema, y los

demás los valores de tolerancia para cada una de las variables respuesta.

El último parámetro es un dato de inicialización para el solucionador de ODEs que es

igual a 1.

4.1.2 Proceso de solución.

En el algoritmo es posible seleccionar entre los métodos de separación de operadores de

Yanenko y Strang sin embargo en el procedimiento de solución (Figura 4.1) se

implementó el método simetrizado de Strang, esto debido a que es un método de

segundo orden en el tiempo lo que conlleva a una mejor precisión en los cálculos.

Para solucionar los pasos que competen el componente reactivo del sistema de

ecuaciones, primer y tercer paso para el método de Strang, se implementó una

traducción al leguaje Fortran90 del solucionador de sistemas de ecuaciones diferenciales

ordinarias VODE.

Igualmente para solucionar el paso donde se presentan los componentes de difusión y

g S g se implementó el procedimiento

presentado en la Figura 4.10 y el solucionador de sistemas de ecuaciones matriciales

incluido en el paquete de algebra lineal LAPACK.



Figura 4.10. Diagrama de flujo del procedimiento de solución del componente difusivo-advectivo del sistema de ecuaciones tipo DAR.

4.1.3 Solución por paso de tiempo.

El algoritmo soluciona el sistema de ecuaciones para cada paso de tiempo e imprime los

resultados en un archivo llamado “ ”. Este archivo es escrito basado en

el formato de lectura usado por el paquete comercial Tecplot (Figura 4.11) para

problemas solucionados por medio del método de los elementos finitos.

Para cada paso de tiempo se imprimen en columnas la posición nodal, los campos de

velocidad, el coeficiente de difusión y los valores de las variables solución del problema

seguido de una lista en la que se presentan los nodos que pertenecen a cada uno de los

eleme


Figura 4.11. Archivo de resultados del problema solucionado.

Además de los resultados también se presenta un archivo de seguimiento del proceso de

solución, este archivo es nombrado “ ” (Figura 4.12).

Figura 4.12. Archivo del seguimiento del proceso de solución.



Donde ti es el tiempo inicial del problema. En este archivo se imprimen además los

tiempos de CPU usados para solucionar cada paso de tiempo así como el tiempo de

CPU final.

4.2 Problemas de validación inicial.

En la primera sección se presentan cinco problemas de prueba que fueron

implementados y sus resultados fueron comparados con los datos reportados en la

literatura. Las pruebas numéricas que se desarrollaron se presentan en la Tabla 4.1.

Tabla 4.1. Problemas de prueba.

Problema de prueba Fenómeno físico

Rotación de cuerpos solidos

Movimiento advectivo de una función

Gaussiana

Problema de ROBER Reacción

S “B ” Difusión Reacción

4.2.1 Rotación de cuerpos sólidos.

El primer problema de prueba fue usado para verificar la simulación del proceso

advectivo en el modelo numérico. La base del problema es simular el transporte de una

concentración inicial, que se encuentra sobre un campo de velocidades, sin que se

presenten grandes distorsiones de forma [115].

La ecuación que representa matemáticamente este problema es una simplificación de la

ecuación de transporte de masa (Ec. 4.1), donde los términos de difusión y reacción son

eliminados. La expresión matemática que representa el problema de rotación de cuerpos

solidos es presentada en 4.2.

[ ]j

j j j j j

C C Cu C D Kc R f

t x x x x x

(4.1)

[ ] 0j

j

Cu C

t x

(4.2)

Donde es la concentración y es la magnitud de la velocidad en la dirección .


El planteamiento del problema que fue solucionado por medio del modelo numérico

formulado es presentado en la Tabla 4.2.

Tabla 4.2. Planteamiento del problema de rotación de cuerpos sólidos.

Representación Gráfica Característica Magnitud

Dominio del problema (0,1)x(0,1)

Condiciones de bode

Dirichlet en las cuatro

esquinas del dominio

[ ].

Campo de velocidades ( , ) (0.5 , 0.5)v x y y x

Intervalo de tiempo ( ) 10E-3-3

Tiempo de solución 2

Esquema temporal Backward-Euler

El campo de concentraciones inicial está compuesto de tres geometrías que son Un

cilindro ranurado, un cono puntiagudo y un cono suavizado, como se observa en la

Figura 4.13.

Figura 4.13. Condición inicial del campo de concentraciones para el caso de rotación de cuerpos sólidos.

Estas geometrías se construyeron por medio de las ecuaciones matemáticas

presentadas en la Tabla 4.3.



Tabla 4.3. Formulación del campo de concentración inicial.

Geometría Posición eje de

revolución Construcción matemática

Cilindro ranurado 0 0( , ) (0.5,0.75)x y

0Si 0.025 0.851( , )

0 En otro caso

x x yC x y

Cono puntiagudo 0 0( , ) (0.5,0.25)x y ( , ) 1 ( , )C x y r x y

Cono suavizado 0 0( , ) (0.25,0.5)x y

1 cos( ( , ))( , )

4

r x yC x y

Donde 2 2

0 0

1( , ) 1

0.15r x y x x y y

S E

medio de una malla formada por 2500 elementos y 2601 nodos, mientras que en la

segunda se utilizó una malla de 9801 elementos y 10000 nodos.

4.2.1.1 Resultados

La solución exacta para este problema en particular viene dado por la conservación de la

forma del campo de concentraciones mientras este es transportado por el campo de

velocidades presente en el dominio.

El campo de concentraciones obtenido por los dos modelos planteados luego de que

transcurriera el tiempo suficiente para que la condición inicial rotara media revolución es

presentado en la Figura 4.14.


A

B

Figura 4.14. Campos de concentraciones finales para los casos (A) con malla gruesa y (B) con malla fina del problema de rotación de cuerpos sólidos.

Como se observa para los dos casos se presentó una distorsión de la geometría inicial

del campo de concentraciones, esto se debe principalmente a la técnica de estabilización

SUPG, a la resolución de la malla y a las pequeñas inestabilidades que se logran

presentar en los modelos numéricos.

Como se comentó anteriormente la técnica de estabilización SUPG reduce las

oscilaciones presentes en el modelo computacional por medio de la introducción de

difusión artificial, esta difusión artificial provoca un efecto de dispersión en el modelo

generando que la geometría inicial del campo de concentraciones no sea preservada.

Adicionalmente y debido a que la difusión artificial incluida por la técnica de estabilización

SUPG es directamente proporcional al tamaño de los elementos presentes en la malla, la

solución obtenida con una malla gruesa presenta una distorsión del campo de

concentraciones mucho mayor que en el caso solucionado con una malla fina.



4.2.2 Movimiento advectivo de una función Gaussiana.

El problema de transporte de una función Gaussiana es ampliamente utilizado para

validar los modelos numéricos desarrollados con el propósito de modelar los e

y difusión simultáneamente [116].

L g

4.3

[ ] 0j

j j j

C Cu C D

t x x x

(4.3)

Donde es la concentración, es la magnitud de la velocidad en la dirección y es el

coeficiente de difusión de masa.

El planteamiento del problema es presentado en la Tabla 5.4, donde se puede ver el

tamaño del dominio, las condiciones de borde y las características del campo de flujo, así

como el esquema temporal usado.

Tabla 4.4. Planteamiento del problema de transporte de una campana Gaussiana.

Característica Magnitud

Dominio del problema ( 0.25,0.25)x( 0.25,0.25)

Condiciones de bode Dirichlet en las cuatro esquinas

del dominio [ ]

Campo de velocidades ( , ) ( 4 ,4 )v x y y x

Coeficiente difusivo 5E-5

Intervalo de tiempo ( ) 10E-3

Tiempo de solución /2


Para este caso la configuración inicial del campo de concentraciones es dada por la

ecuación 4.4, por medio de la cual se construye una campana gaussiana dentro de un

dominio cuadrado como se observa en la Figura 4.15 [117].


2 2

0 0

2

( ) ( )( , ) exp

2

x x y yC x y

(4.4)

En esta ecuación ( ) son las coordenadas del centro de la campana

gaussiana y es la desviación estándar.

Figura 4.15. Condición inicial del campo de concentraciones para el caso de transporte de una campana Gaussiana.

La malla usada para discretizar espacialmente el dominio del problema cuenta con 2500

elementos y 2601 nodos.

4.2.2.1 Resultados

La solución exacta para este problema de prueba es dada por la ecuación 4.5.

2 22

0 0

2 2

( ) ( )2( , , ) exp

2 4( ) 2 4( )

x x y yC x y t

D t D t

(4.5)

En la Figura 4.16 se presentan los campos de concentraciones obtenidos por medio del

modelo numérico y la ecuación 4.5 para diferentes tiempos de simulación.



A

B

Figura 4.16. Campos de concentraciones obtenidos a los 0, 0.26, 0.52 y 0.8 segundos de simulación el caso de transporte de una campana Gaussiana. Resultado exacto (A) y modelado (B).

Adicionalmente en la Figura 4.17 son presentados los valores de concentración nodal

para cada paso de tiempo, el error nodal y el error cuadrático medio.

A

B

C

D


Figura 4.17. Concentración nodal de la solución analítica (A) y la solución numérica, así como el error numérico nodal (C) y el error cuadrático medio (D) para 800 pasos de simulación del transporte de

una campana Gaussiana.

Como se observa en la Figura 4.16-B la mancha obtenida por medio de la simulación

presenta un alargamiento en dirección al flujo rotacional. Esto puede deberse a la

difusión artificial que se presenta en esta misma dirección al implementar el método de

estabilización SUPG. Debido a lo anterior el proceso dispersivo simulado difiere

ligeramente de la solución exacta.

En la Figura 4.17 se observa que la diferencia entre los resultados obtenidos con el

modelo numérico y la ecuación 4.5 no sobrepasa el valor de 0.08 lo cual solo representa

un 8% en relación al valor inicial de concentración de 1. Asimismo se observa que el

error cuadrático medio es pequeño, del orden de 2E-4, y además que este comienza a

disminuir luego de los 150 pasos de simulación.

4.2.3 Problema de ROBER.

El problema de ROBER fue propuesto por H.H. Robertson en 1966 [118] para

representar matemáticamente la cinética de una reacción auto-catalítica. El mecanismo

de la reacción es presentado en 4.6, donde , y son las velocidades de reacción y

, y son las sustancias químicas.

1

2

3

1 2

2 2 3 2

2 3 1 3

k

k

k

C C

C C C C

C C C C

(4.6)

El modelo matemático formulado para solucionar el problema de ROBER consiste en un

sistema rígido de 3 ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales definidas como en 4.7.

, 1,2,3ii

dCf C i

dt (4.7)

Donde es una función que depende del valor de la variable respuesta . Esta

función es presentada en 4.8 para cada una de las tres ecuaciones del sistema reactivo.



1 1 1 3 2 3

2

2 1 1 3 2 3 2 2

2

3 2 2

( )

( ) ( )

( )

i

f C k C k C C

f C f C k C k C C k C

f C k C

(4.8)

Los datos de las velocidades de reacción así como el valor de concentración inicial para

cada una de las sustancias son presentados en la Tabla 4.5.

Tabla 4.5. Velocidades de reacción y Concentraciones iniciales para el problema de ROBER.


Velocidades

de reacción

1k 0.04

2k 3107

3k 104

Condiciones

iniciales

1(0)C 1

2 (0)C 0

3(0)C 0

El problema es solucionado en el intervalo de tiempo de 0 a 1E8 segundos, con tres

pasos de tiempo iguales a 1E-4, 1E-3 y 1 segundos. Los pasos de tiempo fueron

seleccionados para capturar de forma adecuada el proceso de generación y eliminación

de las sustancias presentes en el problema y adicionalmente reducir los costos

computacionales que conllevaría el uso de solo un paso de tiempo pequeño en relación

al intervalo de tiempo presentado.

Los perfiles de comportamiento de las sustancias obtenidos por medio del modelo

numérico, así como los mostrados en [118] se presentan en la Figura 4.18.


A

B

C

Figura 4.18. Perfiles del comportamiento de las sustancias C1 (A), C2 (B) y C3 (C) en un intervalo de 0 a 1E6 segundos para el problema de ROBER.

Como se observa los resultados obtenidos por medio del modelo numérico presentan

una excelente aproximación al comportamiento de las sustancias presentado por

Robertson en [118].

Adicionalmente se puede concluir que el uso de un paso de tiempo mayor para reducir el

costo computacional del problema hubiera provocado que la simulación entregara una

predicción pobre del proceso reactivo.



4.2.4 Sistema de “Brusselator”.

E “B ” para describir un tipo de

reacción auto-catalítica, como son la formación de ozono debido a la triple colisión de

átomos de oxígeno o las reacciones enzimáticas. Por medio de este sistema se modela

el comportamiento reactivo de las sustancias así como los efectos debidos a la difusión

molecular.

E “B ”

presentado en 4.9, donde son las velocidades de reacción para cada reacción

individual y , , , , y son sustancias químicas.

1

2

3

4

2 3

k

k

k

k

A X

B X Y D

X Y X

X E

(4.9)

En este mecanismo los valores de , , y son conocidos y constantes por lo tanto el

modelo matemático formulado se reduce a solo dos ecuaciones diferenciales ordinarias

(Ec. 4.10).

2

1 2 3 4

2

3 2

X

j j

Y

j j

CD

x x

CD

x

Xk B k X Y k AX k X

t

Xk AX k X

t xY

(4.10)

En la Tabla 4.6 [119], [120] se presenta los valores de las sustancias y , los datos de

las velocidades de reacción, los coeficientes de difusión y la concentración inicial para

cada una de las sustancias y , “B ”


Tabla 4.6. Concentraciones de sustancias, Velocidades de reacción, coeficientes difusi os y Concentraciones iniciales usados en el sistema de “Brusselator”.

Características Bruss 1 Bruss 2

Concentraciones

sustancias

conocidas

A 1 1

B 2 0.5

Velocidades de

reacción ik 1 1

Coeficientes

difusivos ,X YD

0.002 0.002

Condiciones

iniciales

( , ,0)X x y 2 0.25y 2 30.5 0.333x x

( , ,0)Y x y 1 0.8x 2 30.5 0.333y y

Asimismo el tamaño del dominio, las condiciones de borde y los datos temporales son

presentados en la Tabla 4.7.

Tabla 4.7. Características del modelo numérico para solucionar el sistema de “Brusselator”.


Dominio del problema (0,1)x(0,1)

Condiciones de bode Tipo Neumann en las cuatro

esquinas del dominio.

Intervalo de tiempo ( ) 0.001

Tiempo de solución 5


Los campos de concentraciones de y obtenidos para el primer caso (Bruss 1) son

presentados y comparados con los resultados obtenidos por Arshed Ali [119] y por

Twizell et al. [120], en la Figura 4.19.



A

B

C

D

E

F

Figura 4.19. Campos de concentración de las sustancias X y Y obtenidas por medio del modelo numérico (A) y (B), obtenidos por Twizell et al. (C) y (D) y por

Arshed Ali (E) y ( ), para el primer caso de “Brusselator”.


Adicionalmente se construyó una gráfica de concentraciones a través del tiempo (Figura

4.20) sobre el punto que representa el centro del dominio para poder comparar esta

información con la presentada por Arshed Ali en [119].

A

B

Figura 4.20. Perfiles de concentración entre 0 y 5 segundos de simulación de la sustancia X (A) y la sustancia y (B) para el primer caso de “Brusselator”.

Como se observa en los campos de concentraciones (Figura 4.19) así como en los

perfiles de concentración del punto medio del dominio (Figura 4.20), los resultados

obtenidos por medio del modelo numérico son muy similares a los obtenidos por los otros

autores.

Para el segundo caso (Bruss 2), los campos de concentraciones obtenidos para las

sustancias X y Y son presentados en la Figura 4.21.



A

B

Figura 4.21. Campos de concentración para el caso 2 de las sustancias X y Y.

La comparación entre los perfiles de concentración a través del tiempo obtenido por

medio del modelo numérico y presentado por Whye-Teong Ang en [121] sobre el punto

medio del dominio, son presentados en la Figura 4.22.

A

B

Figura 4.22. Perfiles de concentración entre 0 y 5 segundos de simulación de la sustancia X (A) y la

sustancia y (B) para el segundo caso de “Brusselator”.

Al igual que en el primer caso, el modelo numérico presenta una excelente aproximación

a lo presentado por Whye-Teong Ang en el artículo [121].


4.3 Análisis de resultados del modelo numérico

desarrollado con el esquema Symmetrized Strang

Split (Diseño de experimentos).

El problema de prueba que se implementó para la validación representa el transporte de

las sustancias reactivas NO, NO2 y O3 dentro de un campo de velocidades rotacional en

un dominio cuadrado. El mecanismo de reacción seleccionado incluye parte de las

especies contaminantes presentes en la atmosfera de los centros urbanos debido a los

gases emitidos por varios mecanismos y que afectan negativamente a los seres vivos.

Adicionalmente el dominio fue seleccionado debido a su similitud con el problema de

“ ” j

diferencia que es posible capturar la conservación de sustancias dentro del dominio. La

representación matemática de este problema está dada por la ecuación 4.11.

[ ]i ij i i i i

j j j

C Cu C D Kc R f

t x x x

(4.11)

El dominio del problema es una placa rectangular con dimensiones de 20x20 metros

como se observa en la Figura 4.23, además todas las fronteras presentan condiciones de

borde del tipo Neumann (Ec. 4.12).

Figura 4.23. Dominio del problema de prueba para la validación del modelo numérico desarrollado con el esquema Symmetrized Strang Split.



0iN j

j

Cn

x

(4.12)

El campo de velocidades representa un flujo rotacional como se muestra en la Figura

4.23 y la Figura 4.24. Este campo es basado en una campana gaussiana y su

representación matemática es presentada en 4.13.

Figura 4.24. Campo de velocidad del problema de prueba para la validación del modelo numérico desarrollado con el esquema Symmetrized Strang Split.

2 2 2/ 2*x cx y cy a

vU F e

(4.13)

Donde y son las coordenadas del centro del dominio, y son las coordenadas de

los puntos dentro del dominio, es la amplitud de la campana y es el valor máximo de

velocidad.

La condición inicial se muestra en la Figura 4.25, donde las concentraciones para las

sustancias NO y O3 al principio del problema son cero, mientras que para la sustancia

NO2 se presenta una campana de concentración con un valor máximo igual a 10 [ppb] y

una concentración total en el dominio igual a 2552.7 [ppb].


A

B

Figura 4.25. Condición inicial del NO, O3 (A) y NO2 (B) para la validación del modelo numérico desarrollado con el esquema Symmetrized Strang Split.

La validación del mod

los códigos son comparados con los presentados por Sasha Madronich en el capítulo

“ h h h h g ” “ h R h

Stra h G Ch g ” [1 2].

4.3.1 Análisis del término reactivo.

Se probaron tres mecanismos de reacción que representan el comportamiento de las

sustancias NO, NO2 y O3. Para solucionar el sistema de ecuaciones se implementó un

modelo numérico desarrollado por medio del esquema acoplado, un modelo numérico

desarrollado con el esquema Symmetrized Strang Split y un tercer modelo construido en

el software MATLAB. Adicionalmente se utilizaron tres pasos de tiempo diferentes iguales

a 5, 2 y 5E-3 segundos.

4.3.1.1 Mecanismo simplificado.

En el primer caso se probó el sistema de reacción utilizado por Baik et al. [76]. Los datos

sobre el sistema reactivo se presentan en la Tabla 4.8.



Tabla 4.8. Mecanismo de reacción simplificado.

Mecanismo de reacción Sustancias presentes en la reacción

NO2+hv=>NO+O3

O3+NO=>NO2+O2 NO, NO2, O3

Tasas de reacción

Kr(1)=8.14e-3*(0.97694+8.37e-4*(T-273.15)+4.5173e-6*(T-273.15)^2)

Kr(2)=44.05e-3*exp(-1370/T)

T=Temperatura

Para este caso las unidades de concentración utilizadas son [ppb], esto debido a que las

constantes de reacción están formuladas para interactuar con estas dimensiones en

particular.

Los resultados de las simulaciones del fenómeno físico de transporte de sustancias

desarrollados por medio del mecanismo simplificado y los intervalos de tiempo de 5 [s] y

5E-3 [s] son presentados en la Figura 4.26 y la Figura 4.27 respectivamente.

Figura 4.26. Comportamiento de las sustancias obtenidas con un paso de tiempo dt=5 [s] por medio del mecanismo simplificado.


Figura 4.27. Comportamiento de las sustancias obtenidas con un paso de tiempo dt=5E-3 [s] por medio del mecanismo simplificado.

Como se puede observar en los dos perfiles de comportamiento para el caso del modelo

acoplado el proceso reactivo es aparentemente más completo que los otros dos modelos,

esto debido posiblemente a las oscilaciones numéricas incluidas a la hora de usar un

modelo robusto. Sin embargo y en relación a la magnitud de las concentraciones

presentes en la reacción la diferencia entre los comportamientos de sustancias simulados

no es significativa. Asimismo se observa que sin importar el modelo utilizado no se

observa una sensibilidad notable frente al paso de tiempo.

Adicionalmente se desarrolló un análisis cuantitativo de los efectos de la selección del

modelo numérico y el paso de tiempo a los 200, 400, 600 y 800 segundos de simulación

para cada una de las sustancias. Los resultados del análisis son presentados en la

Figura 4.28 y la Figura 4.29 para las sustancias NO, O3 y NO2 respectivamente.



A

B

C

D

Figura 4.28. Concentración de las sustancias NO y O3 a los 200 (A), 400 (B), 600 (C) y 800 (D) segundos de simulación por medio del mecanismo simplificado.

5E-3[s]2[s]5[s]

3.2400E-08

3.2300E-08

3.2200E-08

3.2100E-08

3.2000E-08

INTERVALO DE TIEMPO (dt)

Me

an

Acoplado

Split

Matlab

MODELO

Data Means

5E-3[s]2[s]5[s]

3.8400E-08

3.8300E-08

3.8200E-08

3.8100E-08

3.8000E-08

3.7900E-08

3.7800E-08

3.7700E-08

3.7600E-08

3.7500E-08


Me

an

Acoplado

Split

Matlab

MODELO

Data Means

5E-3[s]2[s]5[s]

3.9500E-08

3.9250E-08

3.9000E-08

3.8750E-08

3.8500E-08


Me

an

Acoplado

Split

Matlab

MODELO

Data Means

5E-3[s]2[s]5[s]

3.9750E-08

3.9500E-08

3.9250E-08

3.9000E-08

3.8750E-08

3.8500E-08


Me

an

Acoplado

Split

Matlab

MODELO

Data Means


A

B

C

D

Figura 4.29. Concentración de la sustancia NO2 a los 200 (A), 400 (B), 600 (C) y 800 (D) segundos de simulación por medio del mecanismo simplificado.

Como se observa en las figuras anteriores los valores de concentración obtenidos por

medio del modelo acoplado difieren un poco de los obtenidos por los otros dos modelos,

lo cual confirma que el modelo acoplado simula un proceso reactivo más completo.

Asimismo los modelos en Split y de Matlab no son sensibles al paso de tiempo usado

para solucionar el modelo entre el rango de 5E-3 a 5 segundos, mientras que el modelo

acoplado si presenta sensibilidad a este factor en especial en los primeros 600 segundos

de simulación, mientras el procesos reactivo no ha empezado a estabilizarse.

Por medio de un análisis de conservación molar elemental es posible verificar si el

modelo numérico conserva la masa total de las sustancias presentes en el modelo como

ocurre en un proceso físico real. Para esto se realizan los perfiles de concentración de

5E-3[s]2[s]5[s]

8.7000E-09

8.6000E-09

8.5000E-09

8.4000E-09

8.3000E-09


Me

an

Acoplado

Split

Matlab

MODELO

Data Means

5E-3[s]2[s]5[s]

3.2000E-09

3.0000E-09

2.8000E-09

2.6000E-09

2.4000E-09

2.2000E-09


Me

an

Acoplado

Split

Matlab

MODELO

Data Means

5E-3[s]2[s]5[s]

2.2000E-09

2.0000E-09

1.8000E-09

1.6000E-09

1.4000E-09

1.2000E-09


Me

an

Acoplado

Split

Matlab

MODELO

Data Means

5E-3[s]2[s]5[s]

2.2000E-09

2.0000E-09

1.8000E-09

1.6000E-09

1.4000E-09

1.2000E-09

1.0000E-09


Me

an

Acoplado

Split

Matlab

MODELO

Data Means



las sustancias de oxígeno (Figura 4.30) y nitrógeno (Figura 4.31), los cuales son los

elementos principales de los compuestos NO, NO2 y O3.

Figura 4.30. Perfil de conservación molar del oxígeno obtenido con un paso de tiempo dt=5[s].

Figura 4.31. Perfil de conservación molar del nitrógeno obtenido con un paso de tiempo dt=5[s].

Los perfiles de conservación molar para los tres pasos de tiempo son similares debido a

esto solo se presentaron los obtenidos por medio del paso de tiempo igual a 5 segundos.


Como se puede observar en la Figura 4.30 el problema presenta una generación molar

de oxigeno que viola la conservación molar del mismo, sin embargo esta generación no

se debe a ningún problema del tipo numérico sino al mecanismo de reacción en sí, esto

debido a las simplificaciones realizadas en el mecanismo para reducir la complejidad del

modelado numérico.

No obstante los tres modelos presentan una conservación molar del nitrógeno adecuada,

por lo tanto cualquiera de estos modelos puede considerarse adecuado para modelar

mecanismos de transporte sencillos.

4.3.1.2 Mecanismo completo.

En el segundo caso se probó el sistema de reacción completo que representa el proceso

de producción de ozono en la troposfera debido a los óxidos de nitrógeno NOx. Los datos

sobre el sistema reactivo se presentan en la Tabla 4.9.

Tabla 4.9. Mecanismo de reacción completo.


NO2+hv=>NO+O

O+O2+M=>O3+M

O3+NO=>NO2+O2

O, O2,

NO, NO2, O3

Tasas de reacción

Kr(1)=8.14e-3*(0.97694+8.37e-4*(T-273.15)+4.5173e-6*(T-273.15)^2)

Kr(2) = 217.5971294*(T/300)^-2.4

Kr(3) = 1.806642449e6*exp(-1500/T)

T=Temperatura

Las unidades de concentración usadas en este mecanismo son [mol/m3], debido a las

unidades estándar de las tasas de reacción para este mecanismo.

Los resultados de las simulaciones desarrolladas por medio del mecanismo completo

para los intervalos de tiempo de 5 [s] y 5E-3 [s] son presentados en la Figura 4.32 y la

Figura 4.33 respectivamente.



Figura 4.32. Comportamiento de las sustancias obtenidas con un paso de tiempo dt=5 [s] por medio del mecanismo completo.

Figura 4.33. Comportamiento de las sustancias obtenidas con un paso de tiempo dt=5E-3 [s] por medio del mecanismo completo.

En este caso se puede observar una ligera diferencia en el perfil de concentración de las

sustancias entre los modelos acoplado y en Split con el modelo de Matlab, esta

diferencia se presenta entre los 100 y los 500 segundos de simulación. Adicionalmente y


al igual que el mecanismo simplificado se observa un comportamiento reactivo mayor

entre las sustancias para el caso solucionado con el modelo acoplado. Asimismo se

observa que ninguno de los modelos utilizados presenta una sensibilidad notable al paso

de tiempo.

Los resultados de un análisis cuantitativo similar al desarrollado en el mecanismo anterior

son presentados en la Figura 4.34 y la Figura 4.35 para las sustancias NO, O3 y NO2

respectivamente.

A

B

C

D

Figura 4.34. Concentración de las sustancias NO y O3 a los 200 (A), 400 (B), 600 (C) y 800 (D) segundos de simulación por medio del mecanismo completo.

5E-3[s]2[s]5[s]

3.2400E-08

3.2200E-08

3.2000E-08

3.1800E-08

3.1600E-08

3.1400E-08


Me

an

Acoplado

Split

Matlab

MODELO

Data Means

5E-3[s]2[s]5[s]

3.8400E-08

3.8200E-08

3.8000E-08

3.7800E-08

3.7600E-08

3.7400E-08

3.7200E-08


Me

an

Acoplado

Split

Matlab

MODELO

Data Means

5E-3[s]2[s]5[s]

3.9400E-08

3.9200E-08

3.9000E-08

3.8800E-08

3.8600E-08

3.8400E-08

3.8200E-08


Me

an

Acoplado

Split

Matlab

MODELO

Data Means

5E-3[s]2[s]5[s]

3.9500E-08

3.9250E-08

3.9000E-08

3.8750E-08

3.8500E-08


Me

an

Acoplado

Split

Matlab

MODELO

Data Means



A

B

C

D

Figura 4.35. Concentración de la sustancia NO2 a los 200 (A), 400 (B), 600 (C) y 800 (D) segundos de simulación por medio del mecanismo completo.

Como primero se confirmar por medio de estas gráficas que el modelo acoplado presenta

el mismo comportamiento reactivo observado en el mecanismo anterior, evidencia de

esto es que a los 600 y 800 segundos se observa una concentración mayor de NO, O3 y

una concentración menor de NO2 a lo presenciado en los otros dos modelos.

Como segundo aunque se observa que entre los 200 y 600 segundos de simulación los

resultados del modelo acoplado y en Matlab tienden a parecerse esto se debe al proceso

sobre reactivo que presenta el modelo acoplado y que conlleva a que los perfiles de

reacción se corten en el momento en el que el proceso reactivo comienza a estabilizarse.

5E-3[s]2[s]5[s]

9.2000E-09

9.0000E-09

8.8000E-09

8.6000E-09

8.4000E-09

8.2000E-09


Me

an

Acoplado

Split

Matlab

MODELO

Data Means

5E-3[s]2[s]5[s]

3.5000E-09

3.2500E-09

3.0000E-09

2.7500E-09

2.5000E-09


Me

an

Acoplado

Split

Matlab

MODELO

Data Means

5E-3[s]2[s]5[s]

2.4000E-09

2.2000E-09

2.0000E-09

1.8000E-09

1.6000E-09

1.4000E-09

1.2000E-09


Me

an

Acoplado

Split

Matlab

MODELO

Data Means

5E-3[s]2[s]5[s]

2.4000E-09

2.2000E-09

2.0000E-09

1.8000E-09

1.6000E-09

1.4000E-09

1.2000E-09

1.0000E-09


Me

an

Acoplado

Split

Matlab

MODELO

Data Means


Adicionalmente para este mecanismo los resultados obtenidos por medio de los tres

modelos numéricos presentan sensibilidad al paso de tiempo por lo menos entre los

primeros 600 segundos de simulación.

Las diferencias entre los resultados del modelo en Split y Matlab en los primeros pasos

puede deberse a la presencia de oscilaciones numéricas que alcanzan a afectar

relativamente el comportamiento simulado de las sustancias en especial por los bajos

ordenes de magnitud en los que se modela la concentración.

Para verificar la conservación de masa total de los modelos usados en el mecanismo

completo se construyeron los perfiles de concentración del oxígeno y de nitrógeno como

se observa en la Figura 4.36 y la Figura 4.37 respectivamente.




Figura 4.37. Perfil de conservación molar del nitrógeno obtenido

con un paso de tiempo dt=5[s].

Al igual que en el mecanismo anterior el paso de tiempo no influye en los perfiles de

concentración del oxígeno y el nitrógeno, por lo tanto solo se presentaron las gráficas de

los resultados obtenidos con un paso de tiempo igual a 5 segundos. Como se evidencia

para el mecanismo completo se preservan tanto las moles de oxigeno como las de

nitrógeno, implicando que todos los modelos numéricos pueden considerarse adecuados

para modelar mecanismos de transporte similares.

4.3.1.3 Mecanismo completo con ácidos.

En el tercer caso se probó un sistema de reacción completo el cual representa no solo la

producción de ozono en la troposfera debido a los óxidos de nitrógeno NOx sino también

la producción de dos sustancias contaminantes que conllevan a la lluvia acida. Los datos

para este caso se presentan en la Tabla 4.10.


Tabla 4.10. Mecanismo de reacción completo con ácidos.


NO2+hv=>NO+O

O+O2+M=>O3+M

O3+NO=>NO2+O2

OH+NO2+M => HNO3+M

OH+SO2+M => HOSO2+M

O, O2,

NO, NO2, O3

SO2, OH, HNO3, HOSO2

Tasas de reacción

Kr(1)=8.14e-3*(0.97694+8.37e-4*(T-273.15)+4.5173e-6*(T-273.15)^2)

Kr(2) = 217.5971294*(T/300)^-2.4

Kr(3) = 1.806642449e6*exp(-1500/T)

Kr(4) = 6.527913883e5*(T/300)^-3

Kr(5) = 1.196784211e5*(T/300)^-4.3

T=Temperatura

Las unidades de concentración usadas en este mecanismo son [mol/m3]. Los resultados

obtenidos de la simulación del fenómeno físico de transporte de sustancias desarrolladas

por medio de este mecanismo para los intervalos de tiempo de 5 [s] y 5E-3 [s] son

presentados en la Figura 4.38 y la Figura 4.39.

Figura 4.38. Comportamiento de las sustancias obtenidas con un paso de tiempo dt=5 [s] por medio del mecanismo completo con ácidos.



Figura 4.39. Comportamiento de las sustancias obtenidas con un paso de tiempo dt=5E-3 [s] por medio del mecanismo completo con ácidos.

Los resultados obtenidos por medio de este mecanismo presentan una gran similitud con

los del caso anterior. Se presenta la misma ligera diferencia entre los modelos Acoplado

y Split con el modelo en Matlab, así como el comportamiento reactivo elevado del modelo

acoplado y la mayor sensibilidad frente al intervalo de tiempo en frente al mecanismo

simplificado.

Adicionalmente se desarrolló un análisis cuantitativo similar al desarrollado en los casos

anteriores y los resultados son presentados en la Figura 4.40 y Figura 4.41 la para las

sustancias NO, O3 y NO2 respectivamente.


A

B

C

D

Figura 4.40. Concentración de las sustancias NO y O3 a los 200 (A), 400 (B), 600 (C) y 800 (D) segundos de simulación por medio del mecanismo completo con ácidos.

5E-3[s]2[s]5[s]

3.2400E-08

3.2200E-08

3.2000E-08

3.1800E-08

3.1600E-08

3.1400E-08


Me

an

Acoplado

Split

Matlab

MODELO

Data Means

5E-3[s]2[s]5[s]

3.8400E-08

3.8200E-08

3.8000E-08

3.7800E-08

3.7600E-08

3.7400E-08

3.7200E-08

3.7000E-08


Me

an

Acoplado

Split

Matlab

MODELO

Data Means

5E-3[s]2[s]5[s]

3.9400E-08

3.9200E-08

3.9000E-08

3.8800E-08

3.8600E-08

3.8400E-08

3.8200E-08

3.8000E-08


Me

an

Acoplado

Split

Matlab

MODELO

Data Means

5E-3[s]2[s]5[s]

3.9500E-08

3.9250E-08

3.9000E-08

3.8750E-08

3.8500E-08


Me

an

Acoplado

Split

Matlab

MODELO

Data Means



A

B

C

D

Figura 4.41. Concentración de la sustancia NO2 a los 200 (A), 400 (B), 600 (C) y 800 (D) segundos de simulación por medio del mecanismo completo con ácidos.

Como se observa los perfiles de concentración a través del tiempo obtenidos con este

mecanismo para las sustancias NO, NO2 y O3 son idénticos a los obtenidos con el

mecanismo anterior.

Adicionalmente se graficó el comportamiento del oxígeno y el nitrógeno para verificar si

los modelos conservan la masa al usar como base el mecanismo de reacción completo

con ácidos. En la Figura 4.42 y Figura 4.43 se presentan los gráficos de comportamiento.

5E-3[s]2[s]5[s]

9.2000E-09

9.0000E-09

8.8000E-09

8.6000E-09

8.4000E-09

8.2000E-09


Me

an

Acoplado

Split

Matlab

MODELO

Data Means

5E-3[s]2[s]5[s]

3.5000E-09

3.2500E-09

3.0000E-09

2.7500E-09

2.5000E-09


Me

an

Acoplado

Split

Matlab

MODELO

Data Means

5E-3[s]2[s]5[s]

2.4000E-09

2.2000E-09

2.0000E-09

1.8000E-09

1.6000E-09

1.4000E-09

1.2000E-09


Me

an

Acoplado

Split

Matlab

MODELO

Data Means

5E-3[s]2[s]5[s]

2.2000E-09

2.0000E-09

1.8000E-09

1.6000E-09

1.4000E-09

1.2000E-09

1.0000E-09


Me

an

Acoplado

Split

Matlab

MODELO

Data Means



Figura 4.43. Perfil de conservación molar del nitrógeno obtenido con un paso de tiempo dt=5[s].

Para este mecanismo de reacción los tres modelos preservan tanto las moles de oxigeno

como las de nitrógeno de manera similar a lo observado con el mecanismo completo, sin

embargo en este caso se presentan fluctuaciones más discontinuas en la conservación

del nitrógeno que las observadas en los dos casos anteriores.



4.3.1.4 Validación del término reactivo.

Para verificar la adecuada predicción del comportamiento de las sustancias se realizó

una comparación gráfica entre los resultados obtenidos con los tres métodos numéricos y

los presentados por Sasha Madronish en [122]. En la Figura 4.44, Figura 4.45 y Figura

4.46 se muestran los perfiles de concentración solucionados con un paso de tiempo igual

a 5, 2 y 5E-3 segundos respectivamente.

A

B

Figura 4.44. Comparación del comportamiento de las sustancias NO, O3 (A) y NO2 (B) solucionadas por medio de un dt= 5[s].

A

B

Figura 4.45. Comparación del comportamiento de las sustancias NO, O3 (A) y NO2 (B) solucionadas por medio de un dt= 2[s].


A

B

Figura 4.46. Comparación del comportamiento de las sustancias NO, O3 (A) y NO2 (B) solucionadas por medio de un dt= 5E-3[s].

Como se observa en las gráficas los perfiles de concentración obtenidos por medio de los

modelos numéricos para todos los pasos de tiempo exhiben un comportamiento similar al

presentado por Sasha Madronich en [122], No obstante los valores de concentración de

las sustancias NO y O3 son sobrestimadas así como la concentración de la sustancia

NO2 es subestimada al parecer por una simulación sobrevalorada del comportamiento

reactivo mayor entre sustancias llevando consigo a una elevada generación y eliminación

de sustancias.

Este efecto de sobre-reacción puede deberse a oscilaciones presentes en los modelos

numéricos que afectan relativamente los perfiles de concentración, así como por las

simplificaciones presentes en los mecanismo de reacción que limitan a las sustancias a

solo reaccionar entre estas, lo que no ocurre normalmente en la naturaleza.

Entre los modelos numéricos desarrollados el modelo en Split aparentemente es el más

adecuado para solucionar problemas de este tipo. Esto se debe primero a presentar los

perfiles de concentración más aproximados al perfil experimental presentado en [122],

así como por su mencionado bajo costo y tiempo de cómputo en la literatura.



4.3.2 Análisis de la interacción de los términos de adveccion,

difusión y reacción.

Hasta el momento no se han aplicado los efectos advectivos y difusivos en la simulación.

Estos fenómenos físicos se presentan normalmente en la naturaleza, el primero debido al

campo de velocidades del fluido que para el caso de prueba seria el flujo de aire

atmosférico, y el segundo se presenta por la turbulencia del mismo fluido, así como por la

difusión intrínseca que presentan los gases llamada difusión molecular.

En un adecuado proceso de simulación de transporte de masa reactiva, es de esperar

que los efectos advectivos y difusivos no perturben notablemente el proceso reactivo

entre sustancias, así como también que se capture la dispersión es

Para comprobar que los modelos simulan de manera adecuada el comportamiento de las

sustancias contaminantes luego de adicionar los efectos advectivos y difusivos, se realizó

un proceso de verificación donde se implementó un diseño factorial multinivel. Primero

fue necesario decidir cuales iban a ser los factores de diseño, puesto que sin una

adecuada selección el diseño de experimentos no presentaría resultados confiables y el

análisis planteado sobre la simulación de los efectos seria inexacta. Los factores de

diseño seleccionados son presentados en la Tabla 4.11.

Tabla 4.11. Factores de diseño del diseño factorial multinivel para el estudio de los términos de ad ección y difusión.

FACTOR Niveles Valor Unidades

Malla Gruesa 121 Nodos

Fina 1681 Nodos

Paso

de tiempo (dt)

Pequeño 5E-1 [s]

Grande 2 [s]

Mecanismo de

reacción

Simplificado 2 Ecuaciones

Completo 3 Ecuaciones

Coeficiente difusivo Molecular 1E-5 [m2/s]

Turbulento 1 [m2/s]

Valor máximo de

velocidad

Pequeño 0.01 [m/s]

Grande 10 [m/s]

Modelo numérico Acoplado - -

Split - -


Donde los primeros dos factores fueron seleccionados debido a que se encuentran

relacionados directamente con los métodos de solución y pueden afectar los resultados.

Los tres factores intermedios están relacionados con los procesos físicos que se incluirán

en el problema, donde el factor del mecanismo de reacción contiene los mecanismos

completo y simplificado presentados anteriormente, el factor de coeficiente difusivo es

incluido para agregar los efectos dispersivos debidos a un fenómeno de turbulencia como

a la difusión molecular y el coeficiente advectivo que se incluye debido a los efectos que

presentan las diferentes magnitudes de velocidad para un mismo problema.

El último factor es el más importante debido a que por medio de este es que se realiza la

comparación entre el modelo numérico acoplado y el modelo numérico desarrollado con

el esquema Symmetrized Strang Split.

Por medio de los factores multinivel que se seleccionaron se construyó un diseño de

experimentos completo que consta de 64 casos. La configuración del diseño de

experimentos es presentado en el ANEXO A.

Tabla 4.12. Variables respuesta del diseño factorial multinivel para el estudio de los términos de ad ección y difusión.

Variables

respuesta Definición Unidades

Balance molar

[O]

Comparación entre la concentración

inicial y final de las moles de oxígeno. [%]

Balance molar

[N]

Comparación entre la concentración

inicial y final de las moles de nitrógeno. [%]

Concentración

T1

Concentración de las sustancias en los

200 segundos de simulación. [mol/m]

Concentración

T2



Concentración

T3



Concentración

T4



Concentración

Final



Tiempo de CPU Tiempo de CPU para cada caso

solucionado. [-]



Por ultimo fueron seleccionados los parámetros y propiedades presentes en el problema

que pueden ser usados como variable respuesta para analizar el efecto de los factores

sobre los resultados de las simulaciones. Las variables respuesta seleccionadas para el

diseño de experimentos son presentadas en la Tabla 4.12.

Entre las variables respuesta se encuentran la concentración de las sustancias a los 200,

400, 600, 800 y 1200 segundos de simulación, por medio de esta se verificara cuáles de

los factores perturba más el comportamiento de las sustancias a través del tiempo de

simulación.

Asimismo se encuentran dos parámetros que representan la conservación molar del

oxígeno y el nitrógeno elemental. Por medio de estos parámetros es posible verificar que

factores afectan la conservación de masa total y en qué porcentaje.

Por último se encuentra el tiempo de CPU, este es uno de las variables respuesta de

gran importancia debido a que por medio de esa no solo se conocerá que factores

afectan en mayor medida el tiempo necesario para solucionar el problema sino además

corroborar o no si el modelo en Split presenta una reducción de tiempo significativa frente

a un modelo acoplado.

4.3.2.1 Resultados del diseño factorial

Con los resultados obtenidos del diseño de experimentos y por medio de un análisis

factorial es posible calcular los efectos de cada uno de los factores sobre el

comportamiento de las sustancias NO, NO2 y O3, la conservación de la masa total del

sistema y el tiempo de simulación.

A continuación se presentan las gráficas de efecto, por medio de las cuales es posible

observar los efectos de los factores así como de sus interacciones sobre las variables

respuesta. Los efectos son presentados en su forma estandarizada absoluta debido a la

ventaja frente a los órdenes de magnitud usados en este problema, adicionalmente los

factores son simbolizados en las gráficas por medio de letras como se observa en la

Tabla 4.13.


Tabla 4.13. Representación de los factores de diseño.

Factor Definición

A Malla

B Paso de tiempo [ ]

C Mecanismo de reacción

D Coeficiente difusivo [ ]

E Valor máximo de velocidad [ ]

F Modelos numérico

En la Figura 4.47 y la Figura 4.48 se presentan los efectos de todos los factores sobre el

comportamiento de las sustancias a los 200, 400, 600 y 800 segundos de simulación.

A

B

C

D

Figura 4.47. . Gráficas de efecto sobre la concentración de las sustancias NO y O3 a los 200 (A), 400 (B), 600 (C) y 800 (D) segundos de simulación.

20 15 10 5 0 Efecto estandarizado absoluto

DE AE

E

D


DE AE

E

D

16 14 12 10 8 6 4 2 0 Efecto estandarizado absoluto

DE AE

E

D

16 14 12 10 8 6 4 2 0 Efecto estandarizado absoluto

DE

AE

AD

E

D

SD=5.386 SD=11.754

SD=14.875

SD=16.989



A

B

C

D

Figura 4.48. . Gráficas de efecto sobre la concentración de la sustancia NO2 a los 200 (A), 400 (B), 600 (C) y 800 (D) segundos de simulación.

Como se observa en las g g

L

que también afecta el comportamiento de las sustancias sin embargo esto se debe a la

resolución de la malla que afecta la precisión de los modelos y por tanto la simulación de

las sustancias. Entre los efectos significativos también se encuentra el método numérico,

aunque en unos ordenes de magnitud menor.

Para el paso de tiempo igual a 1200 segundos o paso final de la simulación, las gráficas

de efecto son presentadas en la Figura 4.49.


EF DF

DE

AF

AE

AD F

E D

C B

A


EF DF

DE

AF

AE AD

F

E

D

A

35 30 25 20 15 10 5 0 Efecto estandarizado absoluto

EF DF

DE

AE AD

F

E

D

A


EF DF

DE

AE AD

F

E

D

A

SD=2.0137

SD=4.236

SD=4.955 SD=5.185


A

B

Figura 4.49 . Gráficas de efecto sobre la concentración de la sustancia

NO, O3 (A) y NO2 (B) a los 1200 segundos de simulación.

Como se observa en las gráficas la concentración final de las sustancias NO, NO2 y O3

es afectada por los mismos factores que afectan el comportamiento de las sustancias a

través del tiempo de simulación.

Los efectos sobre los balances molares de oxígeno y nitrógeno elementales son

presentados en la Figura 4.50. En estas gráficas se puede observar que para el balance

molar del oxígeno el factor de mayor importancia es el mecanismo de reacción, mientras

que para el balance molar de nitrógeno aunque se presentan factores dentro de los

efectos significativos, estos pueden considerarse despreciables debido a que son lo

suficientemente pequeños en relación al tiempo de simulación y a la concentración de

nitrógeno presente en la atmosfera.

30 25 20 15 10 5 0 Efecto estandarizado absoluto

EF DF

DE

AE AD

F

E

D

A


AE AD

D

A

SD=5.1048

SD=21.1181



A

B

Figura 4.50 . Graficas de efecto sobre los balances molares de oxígeno (A) y nitrógeno (B) elementales.

Los factores que afectan el tiempo de CPU son presentados en la Figura 4.51. Por medio

de esta grafica además de observar los efectos de los factores sobre el tiempo de

simulación es posible verificar cuál de los dos modelos numéricos presenta un tiempo de

cómputo mucho menor, lo que significa una ventaja debido a que este es uno de los

parámetros dentro de los modelos numéricos que siempre se busca minimizar.

Figura 4.51 . Grafica de efectos sobre el tiempo de CPU.


CD AE AD

D

C


DE

AE

AD

E

D A


CF

BF

AF

AC

AB

F

C

B

A

SD=0.7282

SD=1.4777

SD=46815


4.3.2.2 Análisis.

Como se observa en la Figura 4.52 y la Figura 4.53 g

de generación de NO y O3 así como la tasa de eliminación del NO2. Esto puede deberse

a la dispersión espacial generada por estos procesos, que tiende a homogenizar la

concentración de todas las sustancias a través del tiempo amplificando el dominio en el

que se puede efectuar el fenómeno reactivo y produciendo que las sustancias reaccionen

de forma más completa.

A

B

Figura 4.52 . Efecto medio de los procesos de ad ección y difusión sobre la concentración de las sustancias NO, O3 (A) y NO2 (B) a los 600 segundos de simulación.

A

B

Figura 4.53 . Efectos debidos a la interacción entre los procesos de ad ección y difusión sobre la

concentración de las sustancias NO, O3 (A) y NO2 (B) a los 600 segundos de simulación.

TurbulentoMolecular

2550

2500

2450

2400

2350

2300

AltoBajo

Coeficiente difusivo

Co

nce

ntr

acio

n

Valor maximo de velocidad

TurbulentoMolecular

225

200

175

150

125

100

75

50

AltoBajo


Co

nce

ntr

acio

n


AltoBajo

2550

2500

2450

2400

2350

2300

2250

2200


Co

nce

ntr

acio

n

AltoBajo

400

300

200

100

0


Co

nce

ntr

acio

n



Adicionalmente y por medio de la Figura 4.53

presentarse un fenómeno difusivo de gran magnitud los efectos debidos a procesos

advectivos no son significativos.

Por otro lado la malla es otro de los factores que afecta los resultados de la simulación,

esto debido a su influencia directa en la precisión del modelado como se observa en la

Figura 4.54. Por medio de esto y teniendo en cuenta la literatura presente sobre este

tema se puede concluir que una malla de baja resolución podría llegar a provocar un

resultado erróneo o por lo menos inexacto.

A

B

Figura 4.54 . Efecto medio de los procesos de ad ección y difusión sobre la concentración de las sustancias NO, O3 (A) y NO2 (B) a

los 600 segundos de simulación.

El efecto más importante presente en este problema se da por la interacción entre la

malla y los facto (Figura 4.55 y

Figura 4.56), esto debido a que el comportamiento de las sustancias simulado se

encuentra muy relacionado con los procesos de advecc

una malla adecuada para predecir correctamente estos procesos puede presentarse un

error numérico en la simulación.

FinaGruesa

2408

2406

2404

2402

2400

2398

2396

2394

2392

Malla

Co

nce

ntr

acio

n

FinaGruesa

150

140

130

120

110

Malla

Co

nce

ntr

acio

n


A

B

Figura 4.55. Efectos debidos a la interacción entre la malla y el proceso de difusión sobre la concentración de las sustancias NO, O3 (A)

y NO2 (B) a los 600 segundos de simulación.

A

B

Figura 4.56. Efectos debidos a la interacción entre la malla y el proceso de ad ección sobre la concentración de las sustancias O, O (A)

y NO2 (B) a los 600 segundos de simulación.

Este es el caso de los sumideros de masa. En algunos casos en particular se presencia

la aparición de sumideros de masa al centro del dominio debido a oscilaciones numéricas

que no logran estabilizarse al usar mallas de bajo orden en el problema.

El sumidero de masa es un problema que conlleva a la eliminación de las sustancias

afectando no solo la conservación molar de los elementos químicos sino el perfil de

TurbulentoMolecular

2550

2500

2450

2400

2350

2300

2250


Co

nce

ntr

acio

n

TurbulentoMolecular

250

200

150

100

50


Co

nce

ntr

acio

n

AltoBajo

2500

2450

2400

2350

2300


Co

nce

ntr

acio

n

AltoBajo

250

200

150

100

50


Co

nce

ntr

acio

n



concentraciones de las sustancias presentes en el modelo. La grafica de conservación

molar para un caso en el que se presenta este problema es presentada en la Figura 4.57.

Figura 4.57. Conservación molar del oxígeno y el nitrógeno para el caso en el que se presenta un sumidero de masa (Caso 17).

Adicionalmente los balances molares del oxígeno y el nitrógeno elemental son afectados

por otros factores y sus interacciones. En el caso del oxígeno el efecto más significativo

se debe al factor que representa el mecanismo de reacción, sin embargo es un efecto

que no debe ser tomado en cuenta debido a que su presencia se debe a la simplificación

que presenta el mecanismo simplificado y que obliga a la generación de átomos de

oxigeno dificultando la conservación de este elemento. Como se observa en la Figura

4.58 se presenta un efecto medio entre el 90 y el 100% lo que representa el porcentaje

de generación de oxígeno en el mecanismo simplificado para cumplir con la demanda de

oxigeno de la reacción.

Figura 4.58 . Efecto medio del mecanismo de reacción sobre el balance molar del oxígeno elemental.

CompletoSimplificado

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0

Mecanismo de reaccion

[%]


Los demás factores no perturban el balance molar de oxigeno más allá del 6.742%, lo

cual es un valor irrelevante teniendo en cuenta los órdenes de magnitud en los que se

lleva a cabo el proceso reactivo y por tanto pueden considerarse como factores con

efectos no significativos.

Lo mismo ocurre con el balance molar del nitrógeno donde la perturbación no sobrepasa

el 4.374%. Esta perturbación posiblemente ocurre por la presencia de oscilaciones

numéricas debidas al uso de mallas de baja resolución o casos altamente advectivos.

Asimismo el tiempo de CPU es perturbado por varios de los factores como se observa en

la Figura 4.51. La malla y el paso de tiempo como se puede observar en Figura 4.59 son

unos de los factores que más afectan el tiempo de solución debido a los costos

computacionales que conllevan, de igual forma el mecanismo de reacción también afecta

el tiempo de CPU debido a los costos computacionales que conlleva un número mayor

de sustancias en la simulación.

Figura 4.59 . Efecto medio de la malla y el paso de tiempo sobre el tiempo de CPU.

Así también el tiempo de CPU se ve perturbado por el factor que representa el modelo

numérico como se observa en la Figura 4.60. Por medio de esta gráfica se observa que

el modelo en Split necesita un tiempo de CPU aproximadamente diez veces menor que el

modelo acoplado para solucionar el problema de prueba.

FinaGruesa

60000

50000

40000

30000

20000

10000

0

GrandePequeno

Malla

Tie

mp

o d

e C

PU

[s]

Paso de tiempo



Figura 4.60 . Efecto medio de los modelos numéricos sobre el tiempo de CPU.

Por último y como se observa en la Tabla 4.14 y la Tabla 4.15 los perfiles de

concentración de las sustancias obtenidos por medio del modelo acoplado y el modelo en

Split difieren ligeramente. En estas tabas se presentan las diferencias en unidades [ppb]

así como en porcentaje, obtenido dividendo el efecto por la concentración de la sustancia

media para cada paso.

Tabla 4.14. Diferencias en concentración de las sustancias NO y O3 entre los modelos acoplado y en Split.

NO / O3

Efecto 200[s] 400[s] 600[s] 800[s] 1200[s]

Valor 7.91 13.92 16.37 18.32 19.89

% 0.39 0.59 0.68 0.76 0.82

Tabla 4.15. Diferencias en concentración de la sustancia NO2 entre los modelos acoplado y en Split.

NO2

Efecto 200[s] 400[s] 600[s] 800[s] 1200[s]

Valor 7.91 13.91 16.36 18.32 19.89

% 1.43 7.14 12.86 16.45 19.98

Para las sustancias NO y O3 la diferencia entre los modelos no sobrepasa los 20 [ppb]

que en relación al valor medio de concentración que se encuentra entre los 1993.3 y los

2410.27 [ppb] no presenta un valor significativo. En cuanto a la sustancia NO2 la

SplitAcoplado

50000

40000

30000

20000

10000

0

Modelo numerico

Tie

mp

o d

e C

PU

[s]


diferencia entre los modelos es menor al 20% de perturbación frente al valor medio de

concentración que se encuentra entre 99.5 y 551.3 [ppb], sin embargo y debido a que

esta sustancia conlleva un proceso de eliminación y presenta valores de concentración

pequenos puede ser considerado irrelevante la diferencia entre los modelos. La

diferencia que contienen las sustancias NO, NO2 y O3 entre modelos numéricos es

idéntica lo que daría peso a la hipótesis que el la perturbación de los resultados se debe

esencialmente a al modelado del proceso de reacción entre sustancias.

4.3.3 Conclusiones

Uno de las mayores problemáticas que presenta la simulación de los fenómenos de

transporte es la conservación de la masa y en especial cuando adicional a lo

aunque por medio de los modelos desarrollados el comportamiento de las sustancias es

ligeramente perturbado, la conservación molar se preserva en especial con el mecanismo

de reacción completo, por lo tanto cualquiera de los modelos numéricos es adecuado

para solucionar esta clase de problemas.

El modelo en Slip es el que ha presentado mayor factibilidad para simular y predecir

fenómenos físicos que se pueden

–difusión-reacción, esto debido a su aproximada predicción de los

perfiles de concentración presentado en [122], así como por su bajo costo y tiempo de

CPU obtenidos de solucionar los términos no lineales presentes por el termino reactivo,

de manera separada usando diferentes métodos de solución. Asimismo el modelo en

Split no presenta una mayor dificultad de implementación frente al modelo acoplado.

5 Modelado numérico del problema de dispersión de contaminantes atmosféricos

En los capítulos anteriores se presentó el planteamiento y la formulación del modelo

numérico para solucionar problemas que se

-difusión-reacción aplicando el método de los Elementos finitos, la técnica de

estabilización de Petrov-Galerkin en contracorriente y el método de separación de

“S S g S ” mbién se desarrollaron varios casos y

problemas de prueba por medio de los cuales se mostró que el modelo numérico es

bastante exacto.

5.1 Modelado de la dispersión de contaminantes atmosféricos dentro de un entorno urbano

La contaminación atmosférica debido a las emisiones del tráfico urbano es uno de los

temas de estudio de mayor importancia en los centros urbanos esto debido a los efectos

perjudiciales para la salud que pueden generar algunas de las sustancias emitidas.

Para Bogotá la importancia de estos estudios se ve reforzada por el desmesurado

incremento del parque automotor en los últimos años así como la presencia de

automóviles que no cumplen con las normas establecidas para limitar las emisiones de

contaminantes al ambiente lo que comprende un riesgo potencial para la salud pública.

Por lo cual el desarrollo de un algoritmo para la simulación de la dispersión de sustancias

contaminantes en la atmosfera sobre los entornos urbanos a nivel de micro escala seria

de utilidad esto debido a que esta herramienta permitiría predecir el comportamiento de

las sustancias contaminantes dentro del espacio aéreo del entorno urbano ayudando a

los estudios de contaminación ambiental futuros así como ayudando al planeamiento de

soluciones prácticas que contemplen la reducción de los niveles de contaminación

reduciendo de esta forma el riesgo para la salud pública.



El modelo desarrollado se probó en el estudio de la dispersión de los contaminantes NO,

NO2 y O3 sobre un dominio de prueba que representa un sector urbano de la ciudad de

Bogotá ubicado en el costado accidental de la carrera 30 frente al Coliseo el Campin en

la localidad de Teusaquillo. En la Figura 5.1 se muestra la ubicación del sector

seleccionado para la construcción del modelo físico.

Figura 5.1. Ubicación geográfica del sector urbano de la ciudad de Bogotá analizado.

Este sector es adecuado para probar el modelo numérico esto debido a la presencia de

vías como la carrera 30 que presenta un alto tráfico vehicular y vías secundarias que no

cuentan con mucha presencia vehicular.

5.1.1 Modelado del flujo atmosférico

El comportamiento del flujo atmosférico es uno de los parámetros de entrada al modelo

de dispersión y es por esto que debe ser calculado con anterioridad para predecir el

comportamiento de los contaminantes.

5. Modelado numérico del problema de dispersión de contaminantes

atmosféricos

127

P j R S “R g

Navier-S k ”

muy por debajo de los requeridos por los otros modelos y además presenta resultados

satisfactorios a la hora de modelar flujos en especial con velocidades similares a las que

se presentan normalmente dentro y en los alrededores de los centros urbanos, asimismo

los resultados obtenidos en varios artículos validan la selección del método al presentar

resultados satisfactorios en relación a modelos experimentales desarrollados en túneles

de viento u obtenidos por medio de estudios de campo.

Así mismo el modelo de turbulencia que se seleccionó para acompañar el método de

solución numérica es el modelo de viscosidad turbulenta RNG k-épsilon esto debido a

que simulan bastante bien el comportamiento turbulento de los fluidos mientras no se

presenten gradientes altos de presiones o flujos de alta velocidad.

La solución numérica para el modelo de flujo atmosférico se obtuvo por medio del

paquete de licencia libre Openfoam (ANEXO B).

5.1.1.1 Condiciones de bode del modelo de flujo atmosférico.

Para modelar el comportamiento del flujo atmosférico sobre el entorno urbano se calculó

como primero las condiciones del flujo atmosférico sobre la superficie que representa la

entrada del fluido al dominio del problema por medio de las ecuaciones presentadas por

Castro y Apsley en 1997 en el artículo [123].

*

0

ln( )in v

u yz h

u y k y

u z h

(5.1)

2

2

*1/2

11 0.9

( )

0.9

in

zu z h

y C h

z h

(5.2)

3/4 3/2

( )in

in

v

Cy

k y

(5.3)

Estas ecuaciones representan los perfiles de velocidad (Ec. 5.1), de energía cinética

turbulenta (Ec. 5.2) y de disipación de la energía cinética turbulenta (Ec. 5.3), donde ,



, , , y son la velocidad de fricción, la velocidad del viento media, la energía

cinética turbulenta ambiente, la longitud de la rugosidad, la altura de la capa limite y la

constante de von Karman respectivamente además es una constante igual a 0.0845.

Los valores seleccionados para , y y son presentados en la Tabla 5.1

Tabla 5.1. Parámetros de los perfiles de velocidad, energía cinética turbulenta y disipación de la energía cinética turbulenta para la construcción de la condición de borde de entrada del campo de

velocidades en el problema de dispersión de contaminantes.

Parámetro Valor Unidades

0.05 [m]

100 [m]

1.52 [m/s]

0.08 [m/s]

La longitud de la rugosidad es un parámetro que representa la distancia teórica a la cual

la velocidad del fluido es cero debido a los obstáculos que se presentan en el entorno. El

valor de 0.05 metros fue escogido basado en la suposición de un terreno plano con

presencia de obstáculos aislado esto sin incluir el montaje del museo de Arena. Para el

valor de la altura de la capa limite se utilizó el presentado en el artículo [77] de Kim y

Baik.

La velocidad del viento media se seleccionó basada en la información presentada por la

secretaria distrital de medio ambiente. Los datos de la magnitud de la velocidad del

viento seleccionado son presentados en el ANEXO C.

El valor de la velocidad de rugosidad es calculada por medio de la educación 5.4

*

0ln

vu ku

y y

(5.4)

Igualmente la dirección del viento fue seleccionada considerando el caso donde las

emisiones de los vehículos que transitan sobre la carrera 30 son transportadas y

dispersadas sobre el sector urbanizado.

Los perfiles de velocidad, energía cinética turbulenta y disipación de la energía cinética

turbulenta obtenidos para este caso se presentan en la Figura 5.2.


atmosféricos

129

A B C

Figura 5.2. Condición de borde de entrada del campo de velocidades en el problema de dispersión de contaminantes. Perfiles de velocidad (A), de energía cinética turbulenta (B) y disipación d la energía

cinética turbulenta (C).

Adicionalmente las condiciones de borde empleadas para las fronteras solidas son de

velocidad igual a cero o velocidad nula.

5.1.2 Modelado de dispersión de contaminantes

El modelo físico que representa el sector urbano en tres dimensiones es presentado en la

Figura 5.3.

Figura 5.3. Modelo computacional del sector urbano de la ciudad de Bogotá analizado.



Donde las dimensiones del dominio son de metros, adicionalmente los

edificios en azul presentan una altura igual a metros y los edificios en café cuentan

con una altura igual a metros.

Para la simulación de dispersión de contaminantes se implementó un dominio

bidimensional como se muestra en la Figura 5.4, esto debido a que el desarrollo del

modelo se realizara en dos dimensiones.

Figura 5.4. Entorno urbano bidimensional seleccionado para la simulación de dispersión de contaminantes.

Para realizar una simulación adecuada de la dispersión de contaminantes se seleccionó

la posición del dominio bidimensional sobre el entorno urbano donde los campos de

velocidad así como los valores de energía cinética turbulenta y disipación de la energía

cinética turbulenta obtenidos sobre el dominio bidimensional y el modelo físicos

tridimensional son similares (Figura 5.5, Figura 5.6 y Figura 5.7), así como también las

velocidades en la dirección transversal al plano bidimensional son lo suficientemente

pequeñas para considerar sus efectos insignificantes sobre la dispersión de

contaminantes en el entorno urbano (Figura 5.8).


atmosféricos

131

A B

Figura 5.5. Campo de velocidades en x para los modelos tridimensional (A) y bidimensional (B).

A B

Figura 5.6. Campo de velocidades en y para los modelos tridimensional (A) y bidimensional (B).

A B

Figura 5.7. Viscosidad turbulenta para los modelos tridimensional (A) y bidimensional (B).



Figura 5.8. Campo de velocidades en z para el modelo tridimensional

L dispuso para la solución del modelo del flujo atmosférico sobre

el dominio tridimensional y bidimensional fue desarrollada por medio de elementos

hexaédricos y cuadriláteros respectivamente. El número de elementos y nodos para cada

caso son presentados en la Tabla 5.2.

Tabla 5.2. umero de nodos y elementos usados en la discreti ación de los modelos físicos tridimensional y bidimensional.

Modelo Elementos Nodos

Tridimensional 43795 49397 Bidimensional 8850 9158

Para el modelado de dispersión de contaminantes sobre el dominio bidimensional se

implementó la misma malla usada para el cálculo del comportamiento del flujo

atmosférico de forma que se pudiera utilizar directamente los datos calculados de

velocidad y turbulencia, de forma que no se necesitara de ningún preproceso adicional

que podría conllevar a una reducción de la precisión del cálculo del campo de velocidad

así como de los valores de la energía cinética turbulenta y la disipación de la energía

cinética turbulenta. En la Figura 5.9 se presenta la malla implementada para el cálculo

del problema de transporte de sustancias sobre el dominio bidimensional.


atmosféricos

133

Figura 5.9. Malla utilizada para discretizar el dominio bidimensional del entorno urbano.

Adicional al campo de velocidades es necesario calcular el coeficiente de difusión debido

a la turbulencia que se presenta en el flujo atmosférico, para esto como se comentó en el

capítulo 2.3.3 existen varios métodos entre esto la implementación del número

adimensional de Schmidt turbulento, por medio del cual se relaciona el coeficiente de

difusión másica con la viscosidad turbulenta del flujo.

El número de Schimdt seleccionado para calcular el coeficiente de difusión másica

turbulenta sobre el dominio bidimensional que representa una sección del entorno

Bogotano es igual a 0.7, esto debido no solo a que es uno de los números de Schmidt

implementados en estudios de transporte de contaminantes sobre entorno urbanos como

los desarrollados por Li y Stathopoulos, y Wang y McNamara, sino también porque es

uno de los números de Schmidt más usados para el cálculo de dispersión de sustancias

debido a los procesos turbulentos de los fluidos. Este número fue presentado por

Spalding en 1971 y en los estudios en donde se ha implementado han presentado

buenas aproximaciones al comportamiento experimental de las sustancias.

El siguiente paso fue calcular los valores de emisión de NOx sobre la carrera 30 para

incluirlos en el modelo numérico. Estos datos fueron obtenidos de la campaña de

medición realizada por el departamento de ingeniería química de la Universidad Nacional

de Colombia sobre la carrera 30 entre las calles 57 y 61 los días 27, 28 y 29 de Febrero

de 2012. El procedimiento que se utilizó para calcular la emisión de las sustancias NOx

en el ambiente debido al tráfico urbano es presentado a continuación:

Primero se realizó una medición de la cantidad de vehículos que transitaron durante tres

días por la carrera 30 entre la calle 57 a la calle 61, estos datos se organizaron

dependiendo del tipo de vehículo así como de la hora del día en el que transitaron. En la

Tabla 5.3 se presenta la clasificación utilizada en este estudio.



Tabla 5.3. Clasificación vehicular de la campaña sobre la carrera 30.

Clasificación Símbolo

Automóviles L Colectivos CP, CG

Buses y Busetas BT, B, AL Buses escolares pequeños,

grandes y ambulancias ESP

Bus intermunicipales INT Camiones de 2 ejes pequeño C2P

Camones de 2 o más ejes grandes C2G, C3, >C3 Motos M

Luego se seleccionaron los factores de emisión para cada categoría vehicular (Tabla

5.3).

Clasificación Factor de emisión [ ] L 1.5978

CP, CG 3.8059 BT, B, AL 10.5073

ESP 5.99, 15.21, 1.01 INT 15.21 C2P 5.0968

C2G, C3, >C3 6.9535 M 0.2381

Por medio de los datos medidos así como los factores de emisión se calculó la cantidad

de sustancias emitidas por segundo sobre la carrera 30. Para esto se implementó la

ecuación 5.7.

3600

Fe NvehEm

(5.7)

Donde es la cantidad de sustancias emitida por segundo, es el factor de emisión y

es el número de vehículos que transitan por hora. Las unidades de la cantidad de

sustancias emitida por segundo son [ ⁄ ].


atmosféricos

135

Tabla 5.4. Longitud transversal de las vias que componen

la carrera 30 entre las calles 57 y 61.

Vía Longitud Unidades

1- Norte-Sur 10 [m] 2- Norte-Sur (Rápido) 6 [m]

3- Sur Norte 12 [m]

Para el calculó de la emisión de sustancias por unidad de volumen se midió el ancho de

las tres vías que componen la carrera 30 (Tabla 5.4) y se consideró una altura de emisión

igual a 0.5 metros y por medio de la ecuación 5.8 se obtuvo el valor de emisión por

unidad de volumen para cada una de las vías.

a

EmEm

l a

(5.8)

Donde es el ancho de la vía y es la altura promedio de emisión de las sustancias. Los

valores de emisión calculados para cada una de las vías son presentados en la Tabla

5.5.

Tabla 5.5. Emisiones de NOx sobre la carrera 30.

Emisiones totales de NOx [ ]

Vía 8 a.m. 9 a.m. 10 a.m. Promedio N-S 0.462 0.443 0.421 0.442

N-S (R) 0.570 0.614 0.606 0.597 S-N 0.605 0.519 0.570 0.564

Con los valores de emisión promedios de para cada una de las vías y considerando

la masa molecular para las sustancias y (Tabla 5.6) así como su relación de

concentraciones igual a 24/76, se calcularon los valores de emisión en [ ] para

estas sustancias. Los valores calculados son presentados en la Tabla 5.7.



Tabla 5.6. Masa molecular de las sustancias NO y NO2.

Sustancia Masa molecular

[ ] 30.00615

46.00558

Tabla 5.7. Emisiones de NO y NO2 sobre la carrera 30.

Vía

[ ]

[ ] N-S 1.28E-05 1.28E-06

N-S (R) 1.72E-05 1.72E-06 S-N 1.63E-05 1.63E-06

Extrapolando los datos medidos sobre la carrera 30 se calculó el número de vehículos

promedio que transita por la calle 35A y realizando el mismo procedimiento usado para

calcular los valores de emisión sobre la carrera 30, se obtuvo el valor de emisión de las

sustancias y . Los valores de emisión para la calle 35A son presentados en la

Tabla 5.8.

Tabla 5.8. Emisiones de NO y NO2 sobre la calle 35A.

[ ]

[ ] 4.39E-7 4.39E-8

C

g

difusión se incluyeron los

procesos reactivos que se presentan entre estas sustancias sobre la atmosfera urbana

(troposfera). El mecanismo de reacción implementado es presentado en la Figura 5.10.

2

3

2

2 3

3 2 2

k

k

NO hv NO O

O O M O M

O NO NO O

Figura 5.10. Mecanismo de reacción entre las sustancias NO, NO2 y O3

En el mecanismo de reacción además de las sustancias NO, NO2 y O3 se presentan las

sustancias O2 y O debido a esto el modelo de transporte debe incluir no solo el análisis


atmosféricos

137

de las primeras tres sustancias sino además el comportamiento en el espacio de las

sustancias O2 y O dando así un sistema de cinco ecuaciones tipo DAR.

El proceso de fotodisociación de la sustancia NO2 es representado matemáticamente

como un proceso reactivo normal con la diferencia que la tasa de reacción para este caso

sería igual a la tasa de disociación debida a la irradiación solar llamada tasa de reacción

fotolítica. Para calcular este coeficiente se implementó la ecuación 5.5 propuesta por

Shetter.

2

2 2(25 ) 0.97694 8.37 4 273.15 4.5173 6 273.15NO NO CJ J E T E T (5.5)

Donde la tasa de reacción fotolítica a 25 Celsius es calculada por medio de la ecuación

2.30 considerando que el proceso de disociación debido a la irradiación solar para la

sustancia NO2 ocurre solo en el intervalo de longitud de onda de 290 a 430 nm. Los

datos de la sección eficaz de absorción de las moléculas, el rendimiento cuántico de la

fotolisis y el flujo solar para el caso en el que se presenta un ángulo de Zenith solar igual

a 40° son presentados en la Figura 5.11, estos datos son extraídos del libro de física y

química atmosférica de Seinfield y Pandis [125].

Figura 5.11. Datos usados para el cálculo de la tasa de reacción fotolítica del NO2 a nivel del suelo y un ángulo de zenith solar igual a 40°.

Como se observa en la tabla el valor calculado para la tasa de reacción fotolítica es igual

a [ ].



En el modelo se estudia el proceso de dispersión de sustancias en las horas de la

mañana aproximadamente entre las 8 y las 9 am por lo tanto el valor de la tasa de

disociación para la sustancia NO2 calculada para un ángulo de zenith solar de 40° es

adecuado para el estudio. Cabe aclarar que el ángulo de zenith solar es el ángulo que se

forma entre una línea vertical (zenith) perpendicular a la superficie terrestre en un punto y

la línea imaginaria que conectar este punto con el sol como se observa en la Figura 5.12.

Figura 5.12. Angulo de Zenith Solar

Adicional a la ecuación 2.30 se han desarrollado varias expresiones matemáticas por

medio de las cuales se puede calcular el valor del coeficiente de fotodisociación, entre

estas se encuentra la desarrollada por Schere y Demerjain en 1978 que se compone de

tres ecuaciones que permiten el cálculo del coeficiente de fotodisociación para la

sustancia NO2 por medio de la radiación solar global o TSR por sus siglas en inglés y el

ángulo de zenith solar. Las ecuaciones propuestas por Schere y Demerjain son

presentadas a continuación:

2

2

2

1.09 44.23 4

5.82 4

0.997 4 1.2 3

0 47

47 64

64 901

NO

NO

NO

EJ TSR E

Cos

J TSR E

J TSR E E Cos

(5.6)

Este modelo incluye los efectos de la nubosidad y la bruma directamente por medio de la

radiación solar global lo que representa una ventaja sobre los otros métodos de cálculo

del coeficiente de fotodisociación.

Para calcular el coeficiente de fotodisociación del NO2 en el problema planteado por

medio de las ecuaciones presentadas en 5.6, se extrajo la información de la radiación

solar global (TSR) de la red de monitoreo de Calidad del Aire de Bogotá (RMCAB) para


atmosféricos

139

los días 27, 28 y 29 de febrero de 2012 sobre el punto de monitoreo más cercano al

entorno urbano seleccionado para el estudio (Figura 5.13).

Figura 5.13. Radiación solar global para los días 27, 28, 29 de febrero de 2021 medidos en la estación de medición IDRD.

Por medio de la información obtenida de la estación de medición se construyó una

expresión matemática para calcular el TSR promedio dependiendo del ángulo de zenith

solar entre las 8 y las 10 de la mañana (Figura 5.14).

2TSR 0.14 29.389 1476.7

Figura 5.14. Expresión matemática del TSR.

Con la ecuación presentada en la Figura 5.14 y la primera ecuación presentada en 5.6 se

calcula el coeficiente de fotodisociación entre las 8 y 10 am horario en el cual se

desarrollara el modelado del proceso dispersivo del comportamiento de los

contaminantes NO, NO2 y O3 sobre el entorno urbano seleccionado.



Las tasas de reacción de la segunda y la tercera reacción presentes en el mecanismo de

reacción presentado en la Figura 5.10 son calculadas por medio de las ecuaciones

“Ch K Ph h U

h S E 17” S 10 J

2011. Las ecuaciones así como los parámetros son presentados en la Tabla 5.9.

Tabla 5.9. Tasas de reacción para las reacciones químicas presentes en el problema de estudio.

Reacción Ecuación Parámetros Unidades

2

2 3

k

O O M O M 2300

mT

kr A

217.597A 2.4m

6

2

m

mol s

3

3 2 2

k

O NO NO O 2 e

AE

RTkr A

1.81 6A E 1500AE

R

3m

mol s

Las condiciones de borde empleadas en el modelo numérico son condiciones tipo

Neumann homogéneas como se presenta en la Figura 5.15.

Bordes Condición de borde

Neumann Homogéneo

Figura 5.15. Condiciones de borde del modelo bidimensional de dispersión de contaminantes atmosféricos.

Asimismo las condiciones iniciales de la simulación presentan un ambiente atmosférico

sin presencia de NOx. Las concentraciones iniciales planteadas para este problema son

presentadas en la Tabla 5.10.

Tabla 5.10. Concentraciones iniciales de las sustancias O2 y O3.

Sustancia Concentración inicial [ ] 8.1086

7.74E-7

0


atmosféricos

141

La simulación de la dispersión de contaminantes atmosféricos se realizó entre las 8 y las

9 de la mañana con un paso de tiempo de simulación igual a 1 segundo. El esquema

temporal implementado es el esquema Backward-Euler.

5.2 Resultados

El campo de velocidades obtenido en estado estable así como los valores de la

viscosidad turbulenta, parámetro necesario para el cálculo del coeficiente de difusión

turbulenta de masa, son presentados en la Figura 5.16, Figura 5.17 y Figura 5.18.

Figura 5.16. Campo de velocidad en x simulado para el modelo físico bidimensional del entorno urbano de Bogotá.

Figura 5.17. Campo de velocidad en y simulado para el modelo físico bidimensional del entorno urbano de Bogotá.

Figura 5.18. Campo de viscosidad turbulenta simulado para el modelo físico bidimensional del entorno urbano de Bogotá.

Para la simulación de la dispersión de contaminantes se desarrollaron dos variantes

dependiendo del método de cálculo del coeficiente de fotodisociación empleado. Para el



primer caso en el cual se implementó el método de solución del coeficiente de

fotodisociación por medio de la ecuación 2.30 y un ángulo de zenit solar igual a 40

grados se obtuvo la predicción del comportamiento de la sustancia NO, NO2 y O3

presentadas en la Figura 5.19, Figura 5.20 y Figura 5.21 respectivamente.

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

Figura 5.19. Evolución de la concentración de la sustancia NO en el tiempo para el primer caso solucionado.


atmosféricos

143

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

Figura 5.20. Evolución de la concentración de la sustancia NO2 en el tiempo para el primer caso solucionado.



[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

Figura 5.21. Evolución de la concentración de la sustancia O3 en el tiempo para el primer caso solucionado.

Lo primero que se puede observar con el comportamiento de las sustancias a través del

tiempo es que para los casos en los que no se presenta un cambio abrupto en el

comportamiento del flujo atmosférico, la distribución de las sustancias emitidas a la

atmosfera alcanzan un estado de estabilidad aproximadamente a los 30 minutos (1800

segundos) de haberse iniciado el proceso de emisión dentro del dominio en estudio.

Asimismo también es posible observar que el edificio presente al costado occidental de la

carrera 30 genera un efecto de acumulación de las sustancias NO y NO2 sobre la zona

peatonal afectando principalmente a los transeúntes así como a las personas que residen

en esta edificación. Adicionalmente sobre el extremo opuesto se presenta un vórtice que

genera un efecto de estancamiento de las sustancias sobre el corredor vial presente en

este sector del domino urbano.


atmosféricos

145

Los valores máximos de concentración de las sustancias NO y NO2 (Tabla 5.11) se

encuentran localizados sobre la carrera 30 y la vía peatonal presenta al costado

occidental de la misma.

Tabla 5.11. Concentración máxima de las sustancias NO y NO2 para el primer caso solucionado.

Sustancia Concentración

Máxima Unidades

NO 3.4075E-5

NO2 4.1664E-6

Para el segundo caso, en el cual se calculó el coeficiente de fotodisociación por medio de

la expresión matemática propuesta por Schere y Demerjai, se obtuvieron los resultados

presentados en la Figura 5.22, Figura 5.23 y Figura 5.24 para las sustancias NO, NO2 y

O3 respectivamente.

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

Figura 5.22. Evolución de la concentración de la sustancia NO en el tiempo para el primer caso solucionado.



[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

Figura 5.23. Evolución de la concentración de la sustancia NO2 en el tiempo para el primer caso solucionado.


atmosféricos

147

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

Figura 5.24. Evolución de la concentración de la sustancia O3 en el tiempo para el primer caso solucionado.

Al igual que en el caso anterior las sustancias alcanzan un comportamiento estable

aproximadamente a los 30 minutos de iniciado el proceso de emisión de los

contaminantes sobre la carrera 30 y carrera 35A. Adicionalmente los valores máximos de

concentración (Tabla 5.12) observados para este caso presentan un incremento ligero en

relación a los resultados obtenidos en el caso anterior esto posiblemente por la

implementación del coeficiente de fotodisociación dependiente del ángulo de zenit solar.

Tabla 5.12. Concentración máxima de las sustancias NO y NO2 para el segundo caso solucionado.

Sustancia Concentración

Máxima Unidades

NO 3.999E-5 NO2 4.2497E-6



Teniendo en cuenta los resultados obtenidos por medio de los dos casos solucionados es

posible concluir que para el estudio de dispersión de las sustancias NOx cualquiera de

los dos métodos implementados para el cálculo del coeficiente de fotodisociación es

adecuado, sin embargo se aconseja implementar la expresión matemática desarrollada

por Schere y Demerjain para los casos en los que es posible medir u obtener los datos

de radiación solar global promedio sobre el sector de estudio.

Adicionalmente los contornos de concentración de las sustancias NO, NO2 y O3 que

fueron obtenidos por medio del modelo numérico para los dos casos desarrollados

presenta una distribución consistente con los resultados mostrados por Baker et al. en el

artículo [37].

Baker et al. presenta los perfiles de concentración promedio de las sustancias NO, NO2 y

O3 modelados para dos casos de dispersión de contaminantes sobre un corredor urbano.

El primer caso presenta una condición de borde tipo cíclico sobre los bordes de entrada y

salida del flujo y los perfiles de concentración promedio de las sustancias NO y O3

obtenidas para este caos son presentados en la Figura 5.25.

Figura 5.25. Perfiles de concentración promedio de las sustancias NO y O3 para el primer caso de Baker [37]. La línea continua y discontinua representan el perfil de concentración para un tiempo de simulación de 90 y 60 segundos respectivamente.

Asimismo en la Figura 5.26 se presentan los perfiles de concentración de NO, NO2 y O3

del segundo caso, el cual cuenta con las mismas condiciones de borde y difiere del

primer caso únicamente en el valor de la emisión de las sustancias en el dominio. Los

valores de emisión para los dos casos calculados por Baker et al. son presentados en la

Tabla 5.13.


atmosféricos

149

A B

Figura 5.26. Perfiles de concentración promedio de las sustancias NO, NO2 (A) y O3 (B) para el segundo caso de Baker [37].La línea continua y discontinua representan el perfil de

concentración para un tiempo de simulación de 90 y 60 segundos respectivamente

Tabla 5.13. Emisiones de NO, NO2 y O3 en los dos casos de Baker.

Caso

[ ]

[ ] 1 11.2 1.7 2 112 17

Los contornos de concentración obtenidos por medio del modelo numérico desarrollado

presentan un comportamiento de las sustancias similar al presentado en la Figura 5.25 y

la Figura 5.26, donde la concentración de las sustancias NO y NO2 decrecen con la

altura mientras que la concentración del ozono (O3) se incrementa.

El aumento de la concentración de las sustancias NO y NO2 cerca del suelo se debe

principalmente por la emisión de estas sustancias en los puntos específicos dentro del

dominio así como los fenómenos de estancamiento debido a las vorticidades del flujo

atmosférico y el proceso reactivo presente en el modelo. Así mismo la baja concentración

de ozono sobre la superficie del entorno urbano es causa principal de los procesos

reactivos que consumen el ozono para la producción de otras sustancias.

Adicionalmente la relación de concentración de las sustancias dentro de los corredores

urbanos presenta un comportamiento similar al observado en los dos casos solucionados

por Baker et al. Como se observa en la Figura 5.27 para el caso de la carrera 35A las

sustancias NO y NO2 cerca de la cara del sotavento presentan una mayor concentración

que cerca de la cara del barlovento mientras que para el ozono (O3) se presenta el

efecto contrario.



A B

C

Figura 5.27. Campos de concentración de las sustancias NO (A), NO2 (B) y O3 (C) en el corredor vial de la carrera 35A a los 3600 segundos de simulación.

La razón de que la sustancia O3 presenta un comportamiento inverso a las sustancias

NO y NO2 se debe a que al aire rico en ozono entra al corredor vial por el lado del

barlovento del corredor vial.

Por medio de los dos casos anteriores es posible observar el comportamiento de los

contaminantes atmosféricos sobre el entorno urbano, sin embargo para el análisis de la

dispersión de contaminantes sobre corredores urbanos con geometrías complejas que no

pueden ser predichos por medio de un modelo bidimensional es necesaria la

implementación de un modelo tridimensional.

La variante en tres dimensiones del algoritmo programado fue implementada en un tercer

caso para la simulación del transporte de las sustancias NO, NO2 y O3 sobre la

intersección que se presenta entre la carrera 35A y la calle 60. En este caso solo se tuvo

en cuenta la emisión de contaminantes que se presenta sobre la carrera 35A

desarrollando un estudio particular del comportamiento de las sustancias presentes en la

atmosfera urbana debido al tránsito de vehículos sobre esta vía.

El dominio computacional construido del cruce entre la carrera 35A y la calle 60 se

extrajo del modelo computacional del entorno físico presentado en la Figura 5.3 como se

observa en la Figura 5.28.


atmosféricos

151

Figura 5.28. Dominio computacional implementado para el modelo tridimensional.

L h

empleando 18830 nodos y 16640 elementos como se observa en la Figura 5.29.

A

B

Figura 5.29. Dominio computacional (A) y discreti ación espacial (B) del tercer caso.

Para calcular los campos de velocidad así como los valores de viscosidad turbulenta se

construyó una condición de borde de entrada de flujo por medio de los datos de



velocidad, energía cinética turbulenta y disipación de energía cinética turbulenta

obtenidos del modelo CFD calculado sobre el dominio computacional del sector urbano

seleccionado completo (Figura 5.30). Los perfiles de la condición de borde para este

caso son presentados en la Figura 5.31.

A

B

C

D

E

F

Figura 5.30. Campos de velocidad en x (A), y (B), z (C), energía cinética turbulenta (D), disipación de energía cinética turbulenta (E) y viscosidad turbulenta (F) resultados del modelo CFD

sobre el dominio computacional del sector urbano seleccionados.


atmosféricos

153

A B C

Figura 5.31. Condición de borde de entrada del campo de velocidades en el problema de dispersión de contaminantes. Perfiles de velocidad (A), de energía cinética turbulenta (B) y disipación d la

energía cinética turbulenta (C).

Donde la línea en azul presenta el perfil extraído de los datos calculados por medio del

modelo CFD y la línea negra representa la aproximación matemática implementada para

la construcción de la condición de borde de entrada de flujo en el tercer caso.

Los resultados obtenidos del modelo CFD se presentan sobre tres cortes realizados en el

dominio, transversales a la carrera 35A (Figura 5.32). Los campos de velocidad para las

direcciones x, y y z en unidades de [m/s] son presentadas en la Figura 5.33, Figura 5.34

y Figura 5.35; adicionalmente el valor de la viscosidad turbulenta en [m2/s] es presentado

en la Figura 5.36.

A

B

C

Figura 5.32. Cortes transversales del dominio computacional de la intersección entre la carrera 35A y la calle 60 a 7.5 metros (A), 15 metros (B) y 22.5 metros (C) de la cara posterior del dominio.



A

B

C

Figura 5.33. Campo de velocidad en x para el modelo físico bidimensional sobre los cortes a 7.5 metros (A), 15 metros (B) y 22.5 metros (C) de la cara posterior del dominio.

A

B

C

Figura 5.34. Campo de velocidad en y para el modelo físico bidimensional sobre los cortes a 7.5 metros (A), 15 metros (B) y 22.5 metros (C) de la cara posterior del dominio.

A

B

C

Figura 5.35. Campo de velocidad en z para el modelo físico bidimensional sobre los cortes a 7.5 metros (A), 15 metros (B) y 22.5 metros (C) de la cara posterior del dominio.


atmosféricos

155

A

B

C

Figura 5.36. Campo de viscosidad turbulenta para el modelo físico bidimensional sobre los cortes a 7.5 metros (A), 15 metros (B) y 22.5 metros (C) de la cara posterior del dominio.

Solucionado el modelo de fl j la dispersión de contaminantes

sobre el dominio computacional para un tiempo de simulación igual a 1350 segundos.

Los resultados de la simulación son presentados a continuación para los pasos de tiempo

iguales a 150, 300, 450, 900 y 1350 segundos.

[ ]

[ ]

[ ]

Figura 5.37. Evolución de la concentración de la sustancia NO en el tiempo para el tercer caso solucionado, parte 1.



[ ]

[ ]

Figura 5.38. Evolución de la concentración de la sustancia NO en el tiempo para el tercer caso solucionado, parte 2.

[ ]

[ ]

[ ]

Figura 5.39. Evolución de la concentración de la sustancia NO2 en el tiempo para el tercer caso solucionado, parte 1.


atmosféricos

157

[ ]

[ ]

Figura 5.40. Evolución de la concentración de la sustancia NO2 en el tiempo para el tercer caso solucionado, parte 2.

[ ]

[ ]

[ ]

Figura 5.41. Evolución de la concentración de la sustancia O3 en el tiempo para el tercer caso solucionado, parte 1.



[ ]

[ ]

Figura 5.42. Evolución de la concentración de la sustancia O3 en el tiempo para el tercer caso solucionado, parte 2.

Como se observa el fenómeno de rotación de las sustancias sobre el corredor urbano de

la carrera 35A es diferente al observado en el modelo bidimensional, esto debido a la

modificación del flujo atmosférico que se presenta en este dominio por la presencia de la

intersección entre las vías modeladas.

Asimismo sobre la intersección de las vías (carrera 35A y calle 60) los contaminantes son

transportados directamente a través de la calle 60 hasta el exterior del dominio de

estudio, debido a que el flujo atmosférico es paralelo al corredor urbano generando un

fenómeno de arrastre de sustancias a través del dominio computacional.

La diferencia que se presenta sobre los valores de concentración de las sustancias NO,

NO y O3 sobre el dominio de estudio tridimensional se debe principalmente por la no

implicación de la emisión de sustancias sobre la carrera 30, así como por el transporte y

extracción de los contaminantes que se lleva a cabo por el flujo atmosférico que se

presenta sobre el corredor vial de la calle 60.

Con los resultados obtenidos en este caso es posible corroborar que los modelos

bidimensionales no son adecuados para estudio de dispersión de contaminantes sobre

entornos con geometrías complejas como ocurre en el modelo tridimensional

seleccionado, donde las perturbaciones del flujo atmosférico cerca de las esquinas

presentes en el cruce entre la carrera 35A y la calle 60 afectan el comportamiento de las


atmosféricos

159

sustancias, lo cual no puede ser capturado en su totalidad por medio de un modelo

bidimensional.

Por medio de los casos solucionados en este capítulo se puede concluir que los

algoritmos numéricos desarrollados para los dominios bidimensional y tridimensional

presentan ventajas notables para el estudio de dispersión de contaminantes debido a que

pueden ser fácilmente implementados para simular el comportamiento de cualquier

sustancia contaminante sobre cualquier dominio de estudio. Asimismo pueden ser

utilizados en estudios de emisión particulares como se observó en el tercer caso

desarrollado en este capítulo (caso tridimensional), lo cual presenta un mayor grado de

dificultad en los otros métodos de estudio existentes.

6 Conclusiones

6.1 Aportes del trabajo

El trabajo actual es un paso importante para el desarrollo de modelos más realistas sobre

el estudio de dispersión de contaminantes en corredores viales así como en sectores

urbanos incluyendo varios aspectos de dispersión y reacción química para capturar el

comportamiento de este fenómeno físico.

En este trabajo se desarrollaron dos modelos numéricos implementando el método d

P -G k

-

reacción que representa el proceso de dispersión de los contaminantes en un entorno

urbano. El algoritmo fue programado en lenguaje FORTRAN y validado a través de

problemas de prueba y la comparación con un estudio de dispersión de contaminantes

presentado en la literatura.

En el presente trabajo se analizan los fenómenos que se presentan e

estudiados en diferentes artículos y textos, así como el proceso de reacción que es uno

de los fenómenos más importantes en los estudios de dispersión de contaminantes

debido a los efectos de perturbación sobre la concentración de las sustancias.

E

matemáticamente el fenómeno de dispersión presenta un elevado costo computacional

así como una compleja implementación debido al acoplamiento entre ecuaciones y a la

no linealidad que conlleva el término que representa los procesos reactivos entre

sustancias. Debido a lo anterior en este trabajo se implementó un novedoso método por

medio del cual el problema es dividido en un número determinado de sub-problemas que

6. Conclusiones 161

son solucionados de manera separada y luego sus resultados son acoplados para

obtener el resultado del proceso de dispersión global.

Por medio de este método se logró no solo reducir los costos computacionales del

modelo numérico para solucionar un problema de dispersión de contaminantes, sino

además mantener una elevada precisión en el cálculo de las ecuaciones diferenciales

que representan el fenómeno de dispersión obteniendo así predicciones adecuadas del

comportamiento de las sustancias.

6.2 Productos y publicaciones

Como producto de este trabajo se realizó un artículo (Anexo B), aceptado para ponencia

oral en el décimo congreso en mecánica computacional realizado entre los días 8 y 13 de

J 01 S P B

“S S g S ”

Por otro lado, el desarrollo del j j g

E g h

problemas en los que se presenta un efecto advectivo predominante. El algoritmo

desarrollado es altamente flexible de forma que puede ser empleado para múltiples tipos

de problemas que se expresan a través de la ecuación diferencial del transporte de

sustancias.

6.3 Trabajos futuros

Entre los trabajos que se pueden desarrollar con base en el problema solucionado esta

una comparación más a fondo con un estudio de campo o experimental sobre el

fenómeno de dispersión de contaminantes para desarrollar un proceso de optimización

en el algoritmo desarrollado para realizar una mejor predicción de la calidad del aire

sobre los entornos urbanos.

La optimización del algoritmo numérico para la reducción del costo computacional

innecesario lo cual presenta grandes ventajas no solo en la reducción del tiempo de



computo, sino adicionalmente en la capacidad del mismo para la simulación de

problemas de mayor tamaño espacial y temporal no solo en un ámbito bidimensional sino

también tridimensional.

Para complementar el modelo de dispersión de contaminantes se está desarrollando un

modelo de dinámica de fluidos computacional conocido con el nombre de Characteristic

Based Split, este modelo es solucionado por medio del método de los elementos finitos y

un esquema en Split para solucionar las ecuaciones que representan matemáticamente

la conservación de la masa, el momento y la energía para un problema de este tipo. Con

este se busca mejorar la aproximación de los estudios de dispersión de contaminantes al

modelar paralelamente el comportamiento de los fluidos así como la introducción de los

efectos debidos al calentamiento de las superficies presentes en estos problemas debido

a la irradiación solar, así como el estudio del microclima que se genera en los entorno

urbanos debido a las temperaturas de emisión de los gases contaminantes.

Asimismo se podría implementar un método estocástico a la formulación del modelo

numérico como es el caso del método de los elementos finitos estocásticos espectrales o

SSFEM por sus siglas en inglés, para incluir los comportamiento estocásticos de algunos

de los fenómenos físicos que se modelan en estos problemas como es el caso de la

turbulencia en los fluidos, los procesos difusivos de las sustancias, entre otros.

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a -

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Sons, 2006.

A. Anexo: Dise o de e perimentos para el análisis de interacción entre los términos de ad ección, difusión y reacción.

Casos de

prueba Malla

Paso de

tiempo

Mecanismo

de reacción

Coeficiente

difusivo

Máxima

Velocidad

de flujo

Método

numérico

1 Gruesa Pequeño Simplificado Molecular Pequeño Acoplado

2 Fina Pequeño Simplificado Molecular Pequeño Acoplado

3 Gruesa Grande Simplificado Molecular Pequeño Acoplado

4 Fina Grande Simplificado Molecular Pequeño Acoplado

5 Gruesa Pequeño Completo Molecular Pequeño Acoplado

6 Fina Pequeño Completo Molecular Pequeño Acoplado

7 Gruesa Grande Completo Molecular Pequeño Acoplado

8 Fina Grande Completo Molecular Pequeño Acoplado

9 Gruesa Pequeño Simplificado Turbulento Pequeño Acoplado

10 Fina Pequeño Simplificado Turbulento Pequeño Acoplado

11 Gruesa Grande Simplificado Turbulento Pequeño Acoplado

12 Fina Grande Simplificado Turbulento Pequeño Acoplado

13 Gruesa Pequeño Completo Turbulento Pequeño Acoplado

14 Fina Pequeño Completo Turbulento Pequeño Acoplado

15 Gruesa Grande Completo Turbulento Pequeño Acoplado

16 Fina Grande Completo Turbulento Pequeño Acoplado

17 Gruesa Pequeño Simplificado Molecular Grande Acoplado

18 Fina Pequeño Simplificado Molecular Grande Acoplado

19 Gruesa Grande Simplificado Molecular Grande Acoplado

20 Fina Grande Simplificado Molecular Grande Acoplado

21 Gruesa Pequeño Completo Molecular Grande Acoplado

22 Fina Pequeño Completo Molecular Grande Acoplado

23 Gruesa Grande Completo Molecular Grande Acoplado

24 Fina Grande Completo Molecular Grande Acoplado

25 Gruesa Pequeño Simplificado Turbulento Grande Acoplado

26 Fina Pequeño Simplificado Turbulento Grande Acoplado

27 Gruesa Grande Simplificado Turbulento Grande Acoplado

28 Fina Grande Simplificado Turbulento Grande Acoplado

29 Gruesa Pequeño Completo Turbulento Grande Acoplado

Anexos 177

30 Fina Pequeño Completo Turbulento Grande Acoplado

31 Gruesa Grande Completo Turbulento Grande Acoplado

32 Fina Grande Completo Turbulento Grande Acoplado

33 Gruesa Pequeño Simplificado Molecular Pequeño Split

34 Fina Pequeño Simplificado Molecular Pequeño Split

35 Gruesa Grande Simplificado Molecular Pequeño Split

36 Fina Grande Simplificado Molecular Pequeño Split

37 Gruesa Pequeño Completo Molecular Pequeño Split

38 Fina Pequeño Completo Molecular Pequeño Split

39 Gruesa Grande Completo Molecular Pequeño Split

40 Fina Grande Completo Molecular Pequeño Split

41 Gruesa Pequeño Simplificado Turbulento Pequeño Split

42 Fina Pequeño Simplificado Turbulento Pequeño Split

43 Gruesa Grande Simplificado Turbulento Pequeño Split

44 Fina Grande Simplificado Turbulento Pequeño Split

45 Gruesa Pequeño Completo Turbulento Pequeño Split

46 Fina Pequeño Completo Turbulento Pequeño Split

47 Gruesa Grande Completo Turbulento Pequeño Split

48 Fina Grande Completo Turbulento Pequeño Split

49 Gruesa Pequeño Simplificado Molecular Grande Split

50 Fina Pequeño Simplificado Molecular Grande Split

51 Gruesa Grande Simplificado Molecular Grande Split

52 Fina Grande Simplificado Molecular Grande Split

53 Gruesa Pequeño Completo Molecular Grande Split

54 Fina Pequeño Completo Molecular Grande Split

55 Gruesa Grande Completo Molecular Grande Split

56 Fina Grande Completo Molecular Grande Split

57 Gruesa Pequeño Simplificado Turbulento Grande Split

58 Fina Pequeño Simplificado Turbulento Grande Split

59 Gruesa Grande Simplificado Turbulento Grande Split

60 Fina Grande Simplificado Turbulento Grande Split

61 Gruesa Pequeño Completo Turbulento Grande Split

62 Fina Pequeño Completo Turbulento Grande Split

63 Gruesa Grande Completo Turbulento Grande Split

64 Fina Grande Completo Turbulento Grande Split

B. Anexo: Selección del paquete solucionador del flujo atmosférico.

En la actualidad existen muchos paquetes tanto comerciales como de licencia libre

desarrollados para solucionar problemas de dinámica de fluidos computacional. Algunos

de los paquetes más conocidos y utilizados son Fluent, Openfoam, CFDdesign, Comsol,

Flotran y Elmer. La mayoría de estos algoritmos fueron desarrollados basándose en el

método de solución de los volúmenes finitos y solo algunos como Comsol y Elmer

implementan el método de los elementos finitos.

Entre los paquetes CFD mencionados se seleccionaron Fluent Y Openfoam como

candidatos debido a su amplio uso en los temas de dinámica de fluidos atmosféricos.

Para seleccionar el paquete más apropiado se desarrolló un diseño factorial en el

software Minitab basado en el problema de prueba presentado en la Tabla B.1.

Tabla B.1. Planteamiento del problema de prueba para la selección del paquete CFD.

Dominio del problema Características del

problema Valores

Método de solución

RANS -

Modelo de turbulencia

RNG k-epsilon

-

Condones de borde

Entrada (Ent)

Velocidad (Ec. 5.1)

Presión 0P

K (Ec. 5.2) Epsilon (Ec 5.3)

Paredes (Par)

Velocidad Presión 0P

Superior (Sup)

Velocidad 0yv n

Presión 0P

Salida (Sal)

Velocidad 0v

Presión Diseño de experimentos

Anexos 179

Donde [ ] es la velocidad de fricción, [ ] es la rugosidad,

[ ] es la altura de la capa limite y es la constante de von karman.

Los factores de diseño seleccionados son presentados en la Tabla B.2.

Tabla B.2. Factores de diseño del problema de prueba para la selección del paquete CFD.

FACTOR Niveles Valor Unidades

Paquete Fluent Paquete Comercial -

Openfoam Paquete libre -

Malla Gruesa 488 Elementos

Fina 5285 Elementos Refinada 1751 Elementos

Condición de borde de Salida (B. C.)

dPout 0P [ ⁄ ]

Pout 0P [ ]

El primer factor de diseño representa el paquete CFD de esta forma se puede comparar

los resultados obtenidos por medio de los dos paquetes para concluir cuál de los dos es

el más adecuado para ser implementado.

Adicional al paquete CFD se incluyeron dos factores, uno que representa la resolución de

la malla y otro que representa el tipo de condición de presión en el borde de salida, esto

para incluir en el estudio los efectos debidos al tamaño de los elementos usados en la

malla así como el tipo de condición de salida que es seleccionado para el problema de

prueba. Los casos del diseño de experimentos obtenidos por medio de los factores de

diseño seleccionados son presentados en la Tabla B.3.

Tabla B.3. Diseño de experimentos del problema de prueba para la selección del paquete CFD.

Casos Paquete Malla B.C. Salida

1 Openfoam Gruesa dPout 2 Fluent Refinada dPout 3 Openfoam Fina Pout 4 Fluent Gruesa Pout 5 Fluent Fina Pout 6 Fluent Fina dPout 7 Fluent Refinada Pout 8 Fluent Gruesa dPout 9 Openfoam Gruesa Pout 10 Openfoam Refinada Pout 11 Openfoam Refinada dPout 12 Openfoam Fina dPout

180 Anexos

Finalmente las variables respuesta seleccionadas son presentadas en la Tabla B.4.

Tabla B.4. Variables respuesta del problema de prueba para la selección del paquete CFD.

Variables respuesta Unidades

Presión [Pa]

Velocidades [m/s]

K [m2/s2]

Epsilon [m2/s3]

Tiempo de CPU [s]

Estas variables respuesta fueron seleccionadas convenientemente para comparar los

resultados obtenidos por medio de los dos paquetes de datos así como para observar los

efectos causados por los factores de diseño sobre la solución del problema planteado.

Las primeras cuatro variables respuesta son evaluadas en cuatro puntos dentro del

dominio de simulación, esto debido a que con un solo punto no es posible hacer un

análisis profundo de los efectos de los factores sobre los resultados. Estos puntos son

presentados en la Figura B.1.

Figura B.1. Puntos de evaluación de los valores de presión, velocidad, k y épsilon para el problema de prueba para la selección del paquete CFD.

Adicionalmente las coordenadas de los cuatro puntos son presentadas en la Tabla B.5.

Anexos 181

Tabla B.5. Coordenadas de los puntos de evaluación de los valores de presión, velocidad, k y epsilon para el problema de prueba

para la selección del paquete CFD.

Punto [ ] [ ] 1 20 21 2 22 15.6 3 4.5 20.75 4 37 20.75

Con el diseño factorial completo así como la solución de todos los casos planteados se

prosiguió al análisis de resultados. Primero se presentan los efectos principales de los

factores sobre el valor de la presión, la velocidad, k y épsilon para el primer punto.

A

B

C

D

Figura B.2. Efecto de los factores sobre los valores de Presión (A), velocidad (B), k (C) y épsilon (D) para el primer punto del problema de prueba para la selección del paquete CFD.

Como se observa en las gráficas las diferencias que se presentan entre los resultados

obtenidos con los dos paquetes en relación al valor medio de las variables no son

significativas, asimismo el tipo de condición de borde no influye notablemente en los

resultados. En cuanto a la malla se observa un efecto mayor sobre los resultados aunque

a un nivel no tan relevante.

Para los demás puntos los efectos principales de los factores sobre la presión, la

velocidad, k y epsilon se presentan en las figuras B.3, B.4 y B.5.

OpenfoamFluent

0.4

0.2

0.0

RefinadaFinaGruesa

0.4

0.2

0.0

Pout=0dPout=0

0.4

0.2

0.0

Paquete

Pre

sio

n [

Pa

] Malla

Condicion de borde (Salida)

OpenfoamFluent

1.20

1.12

1.04

RefinadaFinaGruesa

1.20

1.12

1.04

Pout=0dPout=0

1.20

1.12

1.04

Paquete

Ve

locid

ad

[m

/s]

Malla


OpenfoamFluent

0.28

0.24

0.20

RefinadaFinaGruesa

0.28

0.24

0.20

Pout=0dPout=0

0.28

0.24

0.20

Paquete

k [

m2

/s2

] Malla


OpenfoamFluent

0.030

0.024

0.018

RefinadaFinaGruesa

0.030

0.024

0.018

Pout=0dPout=0

0.030

0.024

0.018

Paquete

ep

sil

on

[m

2/s3

]

Malla


182 Anexos

A

B

C

D

Figura B.3. Efecto de los factores sobre los valores de Presión (A), velocidad (B), k (C) y épsilon (D) para el segundo punto del problema de prueba para la selección del paquete CFD.

A

B

C

D

Figura B.4. Efecto de los factores sobre los valores de Presión (A), velocidad (B), k (C) y épsilon (D) para el tercer punto del problema de prueba para la selección del paquete CFD.

A

B

C

D

Figura B.5. Efecto de los factores sobre los valores de Presión (A), velocidad (B), k (C) y épsilon (D) para el cuarto punto del problema de prueba para la selección del paquete CFD.

OpenfoamFluent

0.4

0.2

0.0

RefinadaFinaGruesa

0.4

0.2

0.0

Pout=0dPout=0

0.4

0.2

0.0

Paquete

Pre

sio

n [

Pa

]

Malla


OpenfoamFluent

0.09

0.06

0.03

RefinadaFinaGruesa

0.09

0.06

0.03

Pout=0dPout=0

0.09

0.06

0.03

Paquete

Ve

locid

ad

[m

/s]

Malla


OpenfoamFluent

0.004

0.003

0.002

RefinadaFinaGruesa

0.004

0.003

0.002

Pout=0dPout=0

0.004

0.003

0.002

Paquete

ep

sil

on

[m

2/s3

]

Malla


OpenfoamFluent

0.60

0.45

0.30

RefinadaFinaGruesa

0.60

0.45

0.30

Pout=0dPout=0

0.60

0.45

0.30

Paquete

Pre

sio

n [

Pa

] Malla


OpenfoamFluent

1.2

0.9

0.6

RefinadaFinaGruesa

1.2

0.9

0.6

Pout=0dPout=0

1.2

0.9

0.6

Paquete

Ve

locid

ad

[m

/s]

Malla


OpenfoamFluent

0.6

0.4

0.2

RefinadaFinaGruesa

0.6

0.4

0.2

Pout=0dPout=0

0.6

0.4

0.2

Paquetek

[m

2/s2

] Malla


OpenfoamFluent

0.2

0.1

0.0

RefinadaFinaGruesa

0.2

0.1

0.0

Pout=0dPout=0

0.2

0.1

0.0

Paquete

ep

sil

on

[m

2/s3

]

Malla


OpenfoamFluent

0.00

-0.25

-0.50

RefinadaFinaGruesa

0.00

-0.25

-0.50

Pout=0dPout=0

0.00

-0.25

-0.50

Paquete

Pre

sio

n [

Pa

] Malla


OpenfoamFluent

0.36

0.33

0.30

RefinadaFinaGruesa

0.36

0.33

0.30

Pout=0dPout=0

0.36

0.33

0.30

Paquete

Ve

locid

ad

[m

/s]

Malla


OpenfoamFluent

0.85

0.80

0.75

RefinadaFinaGruesa

0.85

0.80

0.75

Pout=0dPout=0

0.85

0.80

0.75

Paquete

k [

m2

/s2

] Malla


OpenfoamFluent

0.090

0.084

0.078

RefinadaFinaGruesa

0.090

0.084

0.078

Pout=0dPout=0

0.090

0.084

0.078

Paquete

ep

sil

on

[m

2/s3

]

Malla


Anexos 183

Como se observa en las gráficas anteriores los efectos principales de los factores para

los demás puntos seleccionados dentro del dominio son muy similares a los observados

en el primer punto. Como primero las diferencias presentes en los resultados debido al

paquete CFD aparentemente mantiene la misma variación frente al valor medio,

adicionalmente el tipo de condición de borde de presión de salida no presenta una

variación relevante en los resultados, y para el caso de la malla en los demás puntos se

presenta una aproximación entre los datos obtenidos con una malla fina y una malla

refinada.

Por último se presentan los efectos de los factores sobre el tiempo de CPU en la Figura

B.6.

Figura B.6. Efecto de los factores sobre el tiempo de CPU en el problema de prueba para la selección del paquete CFD.

Como se puede observar en la gráfica de efecto el paquete comercial Fluent necesita

aproximadamente 5 veces el tiempo de CPU que necesita Openfoam para solucionar el

mismo problema de dinámica de fluidos. Adicionalmente era de esperar que el tiempo de

CPU fuera inversamente proporcional a la resolución de la malla debido a que un mayor

número de elementos conlleva a un costo computacional mayor que a su vez se

representa como un tiempo de CPU mayor. En cuanto a la condición de borde es lógico

que el uso de una condición de borde tipo dirichlet conlleve a un tiempo mayor de CPU,

esto se debe al paso adicional que se debe realizar para incluir este tipo de condición de

borde en el algoritmo.

OpenfoamFluent

250

200

150

100

50

0

RefinadaFinaGruesa Pout=0dPout=0

Paquete

Tie

mp

o d

e C

PU

[s]

Malla Condicion de borde (Salida)

184 Anexos

Conclusión

Con lo observado hasta el momento se puede afirmar que sin importar que paquete CFD

se use para solucionar modelos numéricos de este tipo, se obtendrán resultados muy

similares, no obstante es preferible el paquete de licencia libre Openfoam esto debido a

que presenta un tiempo de CPU y un costo computacional (no presentado en el diseño

de experimentos) menor, además siendo un paquete no comercial es posible modificar

el código para implementar procesos adicionales en el estudio, condiciones de borde

dependientes de variables y parámetros de estudio, entre otros.

C. Anexo: Datos de la velocidad y selección de la velocidad media del viento.

Para el cálculo de la velocidad del viento sobre el entorno seleccionado se utilizó la

información presentada por la red de monitoreo de calidad del aire de Bogotá (RMCAB)

en el informe trimestral de calidad del aire de Bogotá para el segundo trimestre del 2011.

En el capítulo 4 del informe se presentan los datos meteorológicos medidos a través de

los meses de Abril, Mayo y Junio de 2011. En la Tabla C.1 se presenta los datos de la

velocidad del viento promediadas mensualmente para las horas de la mañana entre las 7

y las 12 am.

Tabla C.1. Velocidad del viento mensual promedio entre las 7 y las 12 am en el segundo trimestre de 2011.

Considerando la proximidad de la estación IDRD en el parque Simon Bolivar así como la

similitud de la consideración del tipo de terreno para la condición de borde de entrada del

fluido se selección la velocidad promedio medida en esta estación como base para la

construcción del perfil de velocidades.

186 Anexos

Teniendo en cuenta que la altura del punto de medición se encuentra a 10 metros de

altura, como se observa en la Tabla C.2, y la velocidad medida es de 1.1 [m/s], se calcula

por medio de la ecuación 5.1 la velocidad del viento media ( ) obteniendo un valor igual

a 1.52 [m/s].

Tabla C.2. Descripción de la estación de monitoreo de la red RMCAB IDRD ubicada en el parque Simón Bolívar.

D. Anexo: Resúmenes de los artículos aceptados producto de esta tesis.

Resumen del artículo presentado en el WCCM, 10th World Congress on Computational

Mechanics, realizado en la ciudad de Natal, Brasil, entre los días 8 y 13 de Julio de 2012.

Formulation of a reactive-diffusive-convective

model solved by the finite element method

coupled by symmetrized strang split

Daniel Alfonso García Lozano, [email protected]

Carlos Humberto Galeano Ureña, [email protected]

Abstract

This work develops a mass transport model coupled with a reactive kinetics model

through the Finite element method, to simulate the behavior of pollutants substances in

an urban atmosphere. In this work a Symmetrized Strang Split method is used to couple

the mass transport model with the reactive kinetics model. This split method solves

separately the diffusion, advection and reaction effects in a cascade process. The

formulation of the mass transport process is showed and its results are compared with a

fully coupled finite element method. This comparison is important to show the solution

time and computational cost and validity of the split model.

Keywords: Finite element method, Symmetrized Strang Split, mass transport model,

cascade process.

E. Anexo: Resúmenes de los artículos desarrollados en la maestría.

Resumen del artículo presentado en el encuentro nacional de investigación ENID,

realizado en la ciudad de Bogotá, Colombia, entre los días 24 y 26 de agosto de 2011.

Implementación del método de elementos finitos

estocásticos espectrales para la solución de las

ecuaciones de difusión

Adel F. Sarmiento, Daniel A. García y Diego A. Garzón-Alvarado

Resumen

En este artículo se pretende implementar el método de los elementos finitos

estocásticos para la solución de modelos de difusión cuando se presenta incertidumbre

con respecto al coeficiente de difusión. Se presentan las ecuaciones básicas de difusión,

y como se representan e incorporan los términos de las expansiones estocásticas de

Karhunen-Loeve, que representan el coeficiente de difusión y las expansiones en

polinomios del caos para expresar las variables de solución, y se muestra su

implementación para solucionar computacionalmente.

Palabras Clave— Elementos finitos estocásticos espectrales, difusión, expansiones de

Karhunen-Loeve.

Resumen del artículo presentado en el encuentro nacional de investigación ENID,

realizado en la ciudad de Bogotá, Colombia, entre los días 24 y 26 de agosto de 2011.

Análisis de problemas de dinámica de fluidos

solucionados mediante el método Smoothed

Particle Hydrodynamics

Ricardo Reyes, Edgar A. Patiño, Daniel A. García y Diego A. Garzón-Alvarado

Resumen

En este trabajo se presenta una aplicación para la solución de problemas benchmark que

describen el comportamiento de un fluido sobre una geometría definida (Dam Break,

driven cavity y transferencia de calor bidimensional). Se emplean las ecuaciones de

Navier-Stokes para describir el comportamiento del fluido, realizando la formulación, la

discretización y la implementación del problema por medio del método Smoothed Particle

Hydrodynamics (SPH), el cual es un método basado en una formulación lagrangiana. Se

solucionan los problemas benchmark y se comparan con otros métodos de solución

ampliamente validados. El método SPH ofrece una forma eficiente de solucionar los

problemas de contacto y superficies libres en los fluidos, simplificando la discretización e

implementación en los problemas de fluidos sobre geometrías definidas.

190 Anexos



PARTICLE METHOD FOR THE SOLUTION OF

STOCHASTIC PROBLEMS: FORMULATION

Ricardo Reyes Sotomayor, [email protected]

Adel F. Sarmiento, [email protected]

Daniel A. Garcia, [email protected]

Juan M. Mantilla, [email protected]

D. A. Garzón-Alvarado [email protected]

Edgar A. Patiño, [email protected]

Abstract

This work presents the initial approach of to a novel method for numerical solution of

stochastic differential equations, showing the proper formulation for the stochastic term in

a Lagrangian method. The mathematical formulation for the uncertainty properties terms

of the model, based in the Karhunen –Loeve expansions used in the spectral stochastic

finite element method (SSFEM). The particle method used is the Smoothed Particle

Hydrodynamics (SPH), which is modified to represent the randomness of the output

variables that are affected by the stochastic inlet properties behavior. This method

formulation acquires importance for the solution of high deformation problems where

there exists an uncertainty on the model properties.

Keywords: Smoothed Particle Hydrodynamics, Stochastic Spectral Methods, Stochastic

Differential Equation.

Anexos 191



IMPLEMENTATION OF THE METHOD

SMOOTHED PARTICLE HYDRODYNAMICS TO

SOLVE PLASTIC DEFORMATION IN METALS

Edgar A. Patiño, [email protected]

Ricardo Reyes, [email protected]

Daniel A. Garcia, [email protected]

Adel F. Sarmiento, [email protected]

Jose M. Arroyo, [email protected]

Abstract

This work implements the numerical method of Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH)

to solve plastic deformation problems. The SPH is a meshfree particle method, based on

a Lagrangian formulation; this is a computationally efficient method that provides

precision and stable solutions to integral and differential equations. This formulation

includes the continuum mechanics equations for solids, modified by the Johnson-Cook

model to represent the plastic behavior of metallic materials. Benchmarks problems and

experimental validation are provided.

Keywords: Smoothed Particle Hydrodynamics; Plastic Deformation

modelado numerico de la dispersion de contaminantes...

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