problemas de física bloque 4 interacción electromagnética solucionados 2015_2016_unlocked

8/18/2019 Problemas de Física Bloque 4 Interacción Electromagnética Solucionados 2015_2016_unlocked

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Departamento de Física y Química Física 2º Bachillerato Curso 2015/2016

Fernando Moreno Polonio Página 1

Problemas de Física Bloque 4 Interacción

electromagnética Solucionados

1.‐ Una bolita, cargada eléctricamente, de 1 gramo de masa es atraída por una placa

cargada de modo que forma un ángulo de 45° con la vertical, como se muestra en la figura:

a) Dibuja un diagrama con las fuerzas que actúan sobre la

bola cuando se encuentra en equilibrio.

b) Si el campo eléctrico en las proximidades de la placa es de

1050 V ∙ m−1, calcula el módulo y el signo de la fuerza que

actúa sobre la bolita.

c) Calcula la carga que posee la bola cuando se encuentra en

equilibrio.

Solución: a) Sobre la bolita actúan las fuerzas que se indican en la siguiente figura. Estas fuerzas

son su propio peso, P

; la fuerza eléctrica de atracción, eF

, que se produce entre cargas de distinto signo, y la tensión que

soporta el hilo, T

, cuya dirección y sentido son los que se indican:

b) Planteamos el equilibrio de fuerzas en direcciones OX y OY : OX → −T ∙ sen 45° + F e = 0 → T ∙ sen 45° = q ∙ E OY → T ∙ cos 45° −m ∙ g = 0 → T ∙ cos 45° = m ∙ g

Sustituyendo valores en la segunda expresión, podemos calcular la tensión: 3

22

10 9,8

cos 45º 1, 387 10cos 45º cos 45º

mkg

m g sT m g T N

Conocida la tensión, resulta inmediato calcular la fuerza eléctrica: 2 345º 1,387 10 45º 9,81 10

eF T sen N sen N

c) Una vez calculada la fuerza eléctrica, podemos despejar la carga de la bolita: 3

69,81 10 9, 34 10

1050

ee

F N F q E q C

V N E m C


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2.‐ Tres cargas iguales, de +100 μC, están situadas en el vacío, en los puntos

A (0, 0), B (0, 4) y C (3, 0). Las coordenadas se expresan en metros. Calcula la fuerza que las dos primeras cargas ejercen sobre la tercera y el vector

intensidad del campo eléctrico en el punto (3, 0).

Solución: La situación de las cargas es la que se muestra en la figura:

Para determinar la fuerza total que actúa sobre la carga C debido a la acción de A y B, aplicamos el principio de superposición, calculando por separado la fuerza que ejerce cada carga ( A y B) sobre C , y sumando ambos resultados.

La fuerza que ejerce A sobre C es:

2 6 69

22 2

100 10 100 109 10 10

3 AC r

Q q N m C C F K u i iN

r C m

Para calcular la fuerza que ejerce B sobre C , calculamos en primer lugar el vector unitario de la dirección en que está dirigida esa fuerza:

2 2 2 2

3 4 3 40,6 0,8

5 53 4 3 4r u i j i j i j

La

fuerza

que

ejerce B

sobre C

es,

por

tanto:

2 6 69

2 22 2

100 10 100 109 10 0,6 0,8 2,16 2,88

3 4 BC r

Q q N m C C F K u i j i j N

r C m m

Al sumar ambas fuerzas, resulta:

12,16 2,88 AC BC F F i j N

Para calcular la intensidad del campo eléctrico, aplicamos, al igual que en el apartado anterior, el principio de superposición. Para la carga A resulta:

2 6

9 522 2 100 109 10 10

3 AC r Q N m C N E K u i i

r C C m

Mientras que para la carga B:

2 69 4

2 22 2

100 109 10 0,6 0,8 2,16 2,88 10

3 4 BC r

Q N m C N E K u i j i j

r C C m m

Al sumar ambos campos, obtenemos el resultado que nos piden:

412,16 2,88 10 AC BC N

E E i jC


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3.‐ Dos pequeñas bolitas, de 20 g cada una, están sujetas por hilos de

2,0 m de longitud suspendidas de un punto común. Cuando ambas se cargan con la

misma carga eléctrica, los hilos se separan hasta formar un ángulo de 15º.

Suponiendo que se encuentran en el vacío, próximas a la superficie de la Tierra:

a) Calcula la carga eléctrica comunicada a cada bolita.

b) Se duplica la carga eléctrica de la bolita de la derecha. Dibuja en un esquema las

dos situaciones (antes y después de duplicar la carga de una de las bolitas) e indica

todas las fuerzas que actúan sobre ambas bolitas en la nueva situación de equilibrio.

Solución: a) Las bolitas se separan por aparecer en ellas una fuerza de repulsión al tener la misma carga eléctrica. Esta fuerza de repulsión mueve las bolitas hasta alcanzar una posición de equilibrio, es decir, hasta que la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre cada bolita sea nula. El esquema de fuerzas en esta posición de equilibrio aparece en la figura adjunta. La tensión de la cuerda puede descomponerse en sus componentes:

Tx = T ∙ sen 7,5º Ty = T ∙ cos 7,5º

En esta situación de equilibrio, F = 0

Ecuación que podemos resolver por ejes, de acuerdo con el sistema de referencia

elegido en la figura adjunta. Así, en el eje y tenemos que, F = 0 Fy = Ty – P = 0 T ∙ cos 7,5º = m ∙ g

En el eje x tenemos,

Fx = Fe – Tx = 0 T ∙ sen 7,5º = Fe Si dividimos adecuadamente estas expresiones:

3 2

2

7,5ºtan 7,5º tan 7,5º 20 10 9,8 0,13 2,6 10

cos7,5º

e ee

F F T sen mF m g kg N

T m g m g s

Por otra parte, la fuerza de repulsión electrostática acata la ley de Coulomb, es decir, 2

2e

qF K

r

donde q es la carga de cada bolita y r es la distancia entre ambas. Para calcular esta distancia (ver figura anterior),

2 27,5º 4 7,5º 0,522 4

r r r

sen r m sen ml m m

Despejando y sustituyendo,

222

7

2

92

2,6 10 0,528,87 10

9 10

e N mF r

q C

mK N C


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b) Si duplicamos la carga eléctrica de la derecha el esquema de fuerzas cambia de la siguiente manera: En él se puede observar que las fuerzas que

actúan sobre ambas bolitas no cambian en dirección y sentido en la nueva situación de equilibrio. Además las fuerzas del eje y no cambian en módulo pues la fuerza peso no ha cambiado y es compensada por Ty. Pero en el eje x, el módulo de la fuerza de repulsión sí ha cambiado (aumentado) y, por tanto, Tx, también cambia. Por tanto la tensión de la cuerda cambia y el ángulo de separación también. En esta nueva situación de equilibrio,

2' ' ' ' '

2

' ' '

20

0 cos

x e x e

y y

qF F T T sen F K

r

F T P T m g

Dividiendo adecuadamente ambas expresiones, ' ' 2

'

' ' 2

2tan

cos

T sen K q

T m g r

En esta expresión desconocemos el ángulo y la distancia.

4.‐ Se tienen tres cargas en los vértices de un triángulo equilátero cuyas coordenadas,

expresadas en cm, son:

A (0, 2), B ( 3 , –1), C ( 3 , –1). Se sabe que las cargas situadas en los puntos B y C son

iguales y de valor 2 C y que el campo

eléctrico en el origen de coordenadas es nulo.

a) Dibuje el diagrama correspondiente y determine el valor de la carga situada sobre el

vértice A.

b)

Calcule el potencial en el origen de coordenadas.

Solución: a) La distancia de las cargas B y C al origen de coordenadas es:

2

2 23 1 4 2 2 10r cm cm m El campo creado por qB en el origen es:

29

27

222

9 10

4,5 10

2 10 B

m N

K q N C E

r C m


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El vector unitario:

cos30 30 0,86 0,5r i sen j i j

Por lo tanto, el vector:

7 74,5 10 0,86 0,5 cos30 30 3,87 2, 25 10 B r N

E i j i sen j i j

C

El campo creado por qC en el origen tiene el mismo módulo:

74,5 10C N

E C

Pero ahora el vector.

cos30 30 0,86 0,5r i sen j i j

Por lo que:

7 74,5 10 0,86 0,5 3,87 2, 25 10C N E i j i jC

El campo creado por las cargas B y C en total será:

7, 4,5 10 B C B C

N E E E j

C

La carga qA tiene que ser positiva para que el campo creado por ella sea el opuesto al

, B C E

y así ser nulo el campo en el origen 7, , 4,5 10 A B C A B C N

E E E E C

Hallamos qA:

29

27

22 2

9 10

4,5 102 10

A A

A

A

m N q

q N C E K r C m

Por lo que despejando:

qA =2 ∙ 10 –6

C = 2C b) El potencial es una magnitud escalar de valor:

i

i i

qV K

r

Por lo que en el origen de coordenadas será:

2 6 6 6

9 62 2 2 22 10 2 10 2 109 10 2,7 102 10 2 10 2 10

C A B

A B C

qq q m C C C V K N V r r r C m m m

5.‐ Dibuje el vector campo eléctrico en los puntos

A y B de la figura y determine el valor de su

módulo en función de q y d , sabiendo que los dos puntos y las cargas están contenidos en el mismo

plano.

Solución:


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Hallamos el campo eléctrico en A teniendo presente que q1=q2=q, aunque de distinto signo.

2 29 9

2 2

1, 2 2

9 10 36 10

2

A

m m N q N q

C C E d d

2 29 9

2 2

2, 2 2

9 10 36 10

2

A

m m N q N q

C C E d d

Los dos vectores serían del mismo módulo, dirección y sentido, y su vector unitario el

mismo (para el eje X , sería el i

). El vector campo eléctrico resultante será:

29

2

1, 2,2

72 10

A A

m N q

C E E E id

Siendo el módulo

9

2

72 10 q N

d C

Para hallar el campo eléctrico en B: 2 2

9 9

2 2

1, 2,2 2

9 10 18 10

2

B B

m m N q N q

C C E E d d

Para expresar los vectores, hay que utilizar losunitarios:

,1 cos 45 45 0,7 0,7r i sen j i j

29

2

1,2

18 10

0,7 0,7 B

m N q

C E i jd

Por otro lado:

,2 cos 45 45 0,7 0,7r i sen j i j

29

2

2,2

18 10

0,7 0,7 B

m N q

C E i jd

29

2

1, 2,2

25,2 10

B B B

m N q

C E E E id

Su módulo

29

2

2

25,2 10 m

N q

C d


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6.‐ Calcular la fuerza total que se ejerce sobre la carga q –

y

la fuerza sobre una carga de +1 C situada en el centro del

cuadrado de la figura. Datos: q+=q

–= 10

‐8 C, a = 0,5 m.

Solución: a) Para resolver este problema hay que utilizar el principio de superposición, teniendo cuidado de sumar vectorialmente las fuerzas.

2 8 89 6

12 22 2

10 109 10 1,8 10

2 2 0,52

q q q q m C C F K K N N

a C ma

2 8 8

9 62 32 22

10 109 10 3,6 10

0,5

q q m C C F F K N N

C a m

Ahora sumamos vectorialmente las fuerzas: a) Geométricamente: proyectamos en el eje de la resultante

3 2 1 3

6 6

45º 45º

4,87 10 4,87 10

T F F sen F i F cos F j

i j N

Calculando ahora el módulo:

2 2

6 6 64,87 10 4,87 10 6,88 10T F N

b) Fuerza sobre una carga de +1C situada en el centro

Si analizamos la geometría de las fuerzas que experimenta la carga de 1 C, podemos simplificar el problema: ‐ Las fuerzas F2 y F3 son iguales pero de sentido contrario (mismo módulo y dirección pero sentido contrario), por lo que se anulan y no las tenemos que considerar ‐ Las fuerzas F1 y F4 son iguales (mismo módulo,

dirección y sentido), por lo que se pueden sumar directamente.

1 2 3 4 1 4 12T F F F F F F F F

Nota: la distancia de la carga de 1C a la carga se obtiene por trigonometría.

2 2 22 2

2 2 4 2 2

a a a a ad

Por tanto:


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2 89

2 22 2

1 10 12 4 4 9 10 1440

0,5

2

T

q C q m C C F K K N N

a C ma

1018 1018T F i j N

Dirección y sentido: La de la línea que va de 1

q

a 4

q

del dibujo.

7.‐ Disponemos de tres cargas q1, q2, q3 (q1 = +5∙10 –5

C, q2

= q3= 1

2

q ) sobre una circunferencia de radio 1 m, como

indica la figura.

a) Calcular la fuerza total ejercida sobre la carga q1.

b) Calcular la fuerza total ejercida sobre una carga de +1

C situada en el centro de la circunferencia.

Solución:

223

32 2

r d r r r

= 30º

a) Lo primero que tenemos que hacer en este problema es analizar la geometría para

determinar las distancias entre cargas y las direcciones de las fuerzas.

221

1 2 12,1 3,1

2 2 2

1

2

3 6

qq q qF F K k k

d r r

Ahora hacemos la composición de fuerzas: 2

131 21

2

3cos30º cos30º

6T

qF F F K

r

252

9

22

3 5 109 10 6,495

6 1T

C mF N N

C m


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b)

11

2

1q C F K

r

;

1

2 32

12

qC

F F K

r

1 2 3cos 60º cos60ºT F F F F

1 1 1 1

2 2 2 2

1 1 11 1 3

2 2 2 2 2T

q C q C q C qF K K K K

r r r r

Sustituimos valores:

2 59 5

22

5 101,5 9 10 6,75 10

1T

m C F N N

C m

Dirección y sentido. Vertical y hacia abajo. Nota: Las fuerzas obtenidas son muy elevadas dado que las cargas también lo son

(normalmente se utilizan cargas menores a 1 C en electrostática).

8.‐ Una esfera de plástico de 2 g se encuentra suspendida de un hilo de 20 cm de

longitud y, al aplicar un campo eléctrico uniforme y horizontal de 103

N ∙ C‐1, el hilo

forma un ángulo de 15º con la vertical. [K=9∙109

Nm2C

‐2; g=10 ms

‐2]

a) Dibuje en un esquema el campo eléctrico y todas las fuerzas que actúan sobre la

esfera, y determine su carga eléctrica.

b) Explique cómo cambia la energía potencial de la esfera al aplicar el campo

eléctrico.

Solución: a) Suponemos que la esfera tiene carga positiva (si fuese negativa todo el razonamiento sería idéntico pero el dibujo cambiaría porque se habría desplazado hacia el otro lado). Como la esfera se encuentra en reposo, la velocidad no cambia, su aceleración es cero y, por tanto, la fuerza resultante en cualquier dirección es cero. Hemos tomado como direcciones los ejes X (horizontal) e Y (vertical), pues así sólo hay que descomponer la tensión de la cuerda.

,

,

con esta igualdad se calcula la T

con esta se puede calcular la carga

de la esfera

y Tierra Esfera

X Campo Esfera

T F

T F

, 20 y T eT F m g N Entonces:

20cos15º 20,71

cos15º

yT N

T N T

b) Consideramos el estado a cuando el hilo está vertical y la esfera en reposo, y el estado B cuando el hilo forma 15º con la vertical y de nuevo la esfera está en reposo. Sobre la esfera actúan dos fuerzas conservativas: la que ejerce el campo gravitatorio


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terrestre y la que ejerce el campo eléctrico, por tanto vamos a considerar como sistema: la esfera, el campo eléctrico y el campo gravitatorio terrestre.

,3

20,71 15º15º 0,052

20,71 10

X X C e

T q E N senT F q E sen q C

N T N C

La energía potencial gravitatoria del sistema aumenta ya que la distancia entre la Tierra y la esfera se hace mayor. La energía potencial eléctrica del sistema disminuye porque la esfera (de carga positiva) se ha desplazado a favor del campo eléctrico (hacia potenciales menores). Por tanto, la energía potencial total no ha cambiado.

W = ∆Epg + ∆Epe + ∆Ec 0 = ∆Epg + ∆Epe ∆Epg = –∆Epe

9.‐ Dos cargas puntuales de +2 C, se encuentran situadas sobre el eje X, en los

puntos x1 = –1 m y x2 = 1 m, respectivamente.

a) Calcule el potencial electrostático en el punto (0, 0,5) m.

b) Determine el incremento de energía potencial electrostática al traer una tercera

carga de ‐3 C, desde el infinito hasta el

punto (0,05) m.

Solución: a) Para calcular el potencial en el punto (0, 0,5), debemos primero calcular el potencial creado por cada una de las cargas por separados. Después, la suma de ellos nos da el potencial en ese punto (V= V1+V2). No sabemos la distancia que hay entre las cargas y el punto, que es la misma para

ambas, así que vamos a calcularla utilizando el Teorema de Pitágoras:

2 2

1 0,5 1,12r m m m Utilizamos ahora la fórmula para calcular el potencial:

K qV

d

Como las dos cargas son iguales y están a la misma distancia del punto, V1 = V2 Entonces, aplicando el principio de superposición:

V = 16071,4 V + 16071,4 V = 32142,9 V Esto quiere decir que si un objeto virtual de carga +1C se colocara en ese punto, el sistema formado por el campo y el objeto tendría una energía potencial de 32142,9 V. b) Primero vamos a establecer el sistema: campo – objeto. Ahora vamos a indicar los estados: A (cuando la carga se encuentra en el infinito) y B (cuando la carga se encuentra en el punto (0, 0´5). Sabemos que VA = 0 y que VB = 32142,9 V.

∆V = ∆VB – ∆VA = 32142,9 V – 0 = 32142,9 V Ahora sólo hace falta aplicar la fórmula de la energía potencial:

63 10 32142,9 0,096 p objeto E q V C V J

En ese desplazamiento, la energía potencial disminuye en 0,096 J.

2

9 6

29 10 2 10

16071, 41,12

m N C

C V V

m


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10.‐ El campo eléctrico en las proximidades de la superficie de la

Tierra es aproximadamente 150 N ∙C –1, dirigido hacia abajo.

a) Compare las fuerzas eléctrica y gravitatoria que actúan sobre un electrón situado

en esa región.

b) ¿Qué carga debería suministrarse a un clip metálico sujetapapeles de 1g para que

la fuerza eléctrica equilibre su peso cerca de la superficie de la tierra?

Datos_ [me = 9’1 ∙10 –31

kg; e = 1’6 ∙10 –19

C; g = 10 m ∙ s –2]

Solución: a) Que el campo eléctrico en las proximidades de la superficie de la Tierra sea de 150 N ∙ C‐1 dirigido hacia abajo significa que si colocamos un objeto virtual con una carga de +1C, se vería sometido a una fuerza INSTANTÁNEA de 150 N hacia abajo. Entonces, la fuerza eléctrica que actúa sobre el electrón es (en módulo):

150 N ∙ C –1 ∙ (1’6∙10 –19 C) = 2’4∙10 –17 N Como la carga del electrón es negativa (–e), ese campo eléctrico ejercerá una fuerza

instantánea sobre él de 2’4∙10 –17

N dirigida hacia arriba. El campo gravitatorio en la superficie de la tierra es (g), es decir, 10 m ∙ s –2. O lo que es lo mismo, 10 N ∙ kg –1, por lo que el campo gravitatorio existente en la superficie de la tierra ejercería sobre un objeto virtual de masa 1 kg al colocarlo en el campo una fuerza INSTANTANEA de 10 N dirigida hacia abajo. La fuerza que ejerce sobre el electrón es: P = – 10 m ∙ s –2 ∙ (9’1 ∙ 10 –31kg) = 9’1∙10 –30 N Al colocar un electrón en las proximidades de la superficie de la Tierra, el campo gravitatorio ejercerá una fuerza instantánea sobre él de 9’1∙10 –30N dirigida hacia abajo. Como vemos esta fuerza gravitatoria es menor que la que ejerce el campo eléctrico. La relación entre ambas fuerzas es:

17 12

302,4 10 2,64 109,1 10

e

g

F N F N

Es decir, la fuerza que ejerce ese campo eléctrico sobre el electrón es un billón de veces mayor que la que ejerce ese campo gravitatorio sobre el electrón.

b) Para saber la carga que se le debe suministrar a un clip metálico de 1g (0,001 kg) para que la fuerza eléctrica equilibre su peso cerca de la superficie de la tierra, primero debemos calcular cuál es la fuerza peso que actúa sobre el clip: Fuerza del campo gravitatorio, clip = 10 N ∙ kg –1 ∙ 0’001 kg = 0’01N (hacia abajo)

Después, debemos calcular la carga del clip para que el campo eléctrico le empuje con 0’01N hacia arriba. Como el campo eléctrico va hacia abajo, la carga ha de ser negativa si queremos que le empuje hacia arriba, y el valor absoluto de la carga será: 0’01 N / 150 N/C = 6,67∙10 –5 C Conclusión: debemos suministrar al clip de 1 g de masa una carga de –6,67 ∙ 10 –5 C.

11.‐ Un electrón se mueve con una velocidad de 5 ∙105

m ∙ s –1

y penetra en un campo

eléctrico de 50 N ∙C –1

de igual dirección y sentido que la velocidad.

a) Haga un análisis energético del problema y calcule la distancia que recorre el

electrón antes de detenerse.

b) Razone qué ocurriría si la partícula incidente fuera un protón.

[e = 1,6 ∙10 –19

C; me = 9,1 ∙10 –31

kg; mp = 1,7 ∙10 –27

kg]


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Solución: E = 50 N/C Si se colocase un objeto de q = +1C el campo lo empujaría con una F = 50 N en esa dirección y sentido. En este caso como lo que

entra

en

el

campo

es

un

electrón,

que

tiene

carga negativa, el campo lo empuja en esa dirección pero sentido contrario; es decir, lo empuja en sentido contrario al movimiento y, por lo tanto, lo frenará. Como no hay fuerzas exteriores, la energía mecánica del sistema no cambia, de forma que todo lo que disminuye la Ec durante el frenazo se invertirá en aumentar la Ep del sistema.

2 -19

0 p

1v 1,1375 10 J+ E 0

2ext c p sist p

W E E m E

-19 pE 1,1375 10 J

a) Distancia que recorre: solución mediante análisis energético. Si la Ep aumenta, el potencial del campo disminuye pues el electrón tiene carga negativa. Además, recordemos que el electrón se mueve en el mismo sentido que la intensidad de campo, que apunta hacia donde disminuye el potencial. Por tanto, desde A hasta B:

-19

-19

1,1375 10 J0,71

-1,6 10

p

p e campo campo

e

E E q V V V

q C

-0,71V0,0142

50

campo campo

campo

campo

V V E r m

N r E C

Distancia que recorre: solución mediante análisis dinámico.

ReRe

ss

F F m a a

m

La Fres es la fuerza que ejerce el campo sobre el electrón, puesto que no hay fuerza exterior, y es igual a la intensidad de campo por la carga del electrón.

-19 18

Re 50 1,6 10 8 10s N

F m C N C

2

52

0

18

31

5 10v

0,01428 102

29,1 10

ms

r m N a

kg

12.‐ Razone las respuestas a las siguientes preguntas:

a) Una carga negativa se mueve en la dirección y sentido de un campo eléctrico

uniforme. ¿Aumenta o disminuye el potencial eléctrico en la posición de la carga?

¿Aumenta o disminuye su energía potencial?

b) ¿Cómo diferirían las respuestas del apartado anterior si se tratara de una carga positiva?


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Solución: a) Si la carga creadora del campo es una carga puntual Q, el potencial a una distancia r de ellaes:

r

KQ

V Donde hay que tomar Q con su signo, por lo que podemos tener potenciales (V) positivos o

negativos. Así, el V creado por una carga positiva va desde 0 (a distancias muy lejanas a Q)

hasta ∞ (para puntos muy próximos a ella) y para una carga negativa va desde 0 (a distancias

muy lejanas a Q) hasta – ∞ (para puntos muy próximos a ella). Así:

Si la carga que crea el campo es (+), la carga (negativa o positiva) que se mueve en la direccióny sentido del campo, se está alejando de Q, con lo que el potencial (positivo), está acercándose a

cero y por tanto disminuyendo.

Si la carga que crea el campo es (–), la carga (negativa o positiva) que se mueve en la dirección y sentido del campo, se está acercando a Q. Al disminuir r y ser el potencial (–), varía desde 0 a

– ∞

con lo que también está disminuyendo. Como qV Epe ; 2 1 pe E q V q V V Siendo V2 el potencial en el punto final y V1 en el punto inicial. Como en ambos supuestos V2


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Si las cargas son idénticas, sus potenciales tendrán el mismo signo, por lo que

en ningún caso al sumarlos dará cero

Principio de superposición para E

: el campo creado por un conjunto de cargas puntuales en un

punto es la suma vectorial de los creados por cada una de ellas como si estuviera sola.

En este caso, en el centro de la línea que une dos cargas idénticas, los vectores campo

debidos a cada una de ellas serán de igual módulo pero de sentidos opuestos, por lo que sí será nulo el valor de la intensidad del campo en dicho punto medio. Ambas afirmaciones son falsas.

14.‐ a) Explique las analogías y diferencias entre el campo eléctrico creado por una

carga puntual y el campo gravitatorio creado por una masa puntual, en relación con

su origen, intensidad relativa, dirección y sentido.

b) ¿Puede anularse el campo gravitatorio y/o el campo eléctrico en un punto del

segmento que une a dos partículas cargadas? Razone la respuesta.

Solución:

a) Analogías

Su expresión matemática es semejante. Describen fuerzas que son proporcionales a la magnitud física que interacciona, las masas en las fuerzas gravitatorias y las cargas en las eléctricas. En ambas leyes las fuerzas son inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia. Tanto las fuerzas gravitatorias como las eléctricas son fuerzas centrales, es decir, actúan en la dirección de la recta que une las masas o las cargas, respectivamente. La fuerza gravitatoria está asociada a la masa y la fuerza eléctrica a la carga. Diferencias

La fuerza gravitatoria es de atracción (porque solo hay un tipo de masa) y la fuerza eléctrica puede ser de atracción o de repulsión (porque hay dos tipos de cargas). El valor de la constante G no depende del medio mientras que el valor de la constante K depende del medio en el que estén las cargas. El valor de G es muy pequeño frente a K: la interacción gravitatoria es mucho más débil que la eléctrica. b) El campo gravitatorio puede anularse, como se ve en la figura

Para que se anule el campo eléctrico, las cargas han de ser de igual signo

15.‐ Una partícula de masa m y carga –10 –6

C se encuentra en reposo al estar

sometida al campo gravitatorio terrestre y a un campo eléctrico uniforme E = 100 N ∙

C –1

de la misma dirección.

a) Haga un esquema de las fuerzas que actúan sobre la partícula y calcule su masa.

b) Analice el movimiento de la partícula si el campo eléctrico aumentara a 120 N ∙C –1

y determine su aceleración.

Dato: g = 10 m ∙ s –2


15/53



Solución: a) La partícula se encuentra en reposo porque la fuerza resultante que actúa sobre ella es cero, por lo tanto los módulos de FG y FE han de ser iguales

6

5

2

10 100

despejando 10

10

N C

q E C m g q E m kgmg

s

b) Al aumentar el módulo del campo eléctrico a 120 N ∙ C –1 la fuerza eléctrica se hace mayor que el peso de la partícula y esta sale acelerada hacia arriba, en la dirección de FE.

6 52

5 2

10 120 10 10 2

10

N mC kgF q E m g mC sF m a am m kg s

16.‐ Una carga eléctrica positiva se mueve en un campo eléctrico uniforme. Razona

cómo varía su energía potencial electrostática si la carga se mueve:

a) En la misma dirección y sentido del campo eléctrico. ¿Y si se mueve en sentido

contrario?

b) En dirección perpendicular al campo eléctrico. ¿Y si la carga describe una

circunferencia y vuelve al punto de partida?

Solución: a) Como el campo eléctrico es conservativo:

( ) ( ) p P inicial p finalW E E E

Al moverse la carga positiva en la dirección del campo, el

trabajo es positivo lo que implica ( ) ( )P inicial p final E E luego la energía potencial disminuye.

Si la carga positiva se mueve en dirección contraria al campo

el trabajo eléctrico es negativo lo cual

implica ( ) ( )P inicial p final E E , la energía potencial aumenta.

b) Como la carga positiva se mueve por una superficie equipotencial, no hay variación de la energía potencial. Si se desplaza por una línea cerrada (circunferencia), la posición inicial y final es la misma y como el campo

eléctrico

es

conservativo,

no

hay

variación de energía potencial.


16/53



17.‐ Un electrón, con una velocidad de 6 ∙ 106

m ∙ s –1, penetra en un campo eléctrico

uniforme y su velocidad se anula a una distancia de 20 cm desde su entrada en la

región del campo.

a) Razone cuáles son la dirección y el sentido del campo eléctrico.

b) Calcule su módulo.

Datos: e = 1,6 ∙10 –19

C; me = 9,1 ∙10 –31

kg

Solución: a) El campo ha de tener la misma dirección y sentido que la velocidad del electrón, como se ve en la figura, para que la fuerza eléctrica sea contraria a la velocidad y así lo detenga.

b) La disminución de la energía cinética del electrón se transforma en trabajo que se realiza contra el campo, aumentando así la energía potencial del electrón

0 0 E C CF C C W E E E E

cos180º E E E E W F r F x F x

; 2

0

1v

2 E e

F x m

2

31 6

2170

9,1 10 6 10v

8,19 10

2 2 0, 2

e E

mkg

m sF N

x m

17

19

8,19 10512

1,6 10

E E F F N N

E Q e C C

18.‐ Una esfera pequeña de 100 g, cargada con 10 –3

C, está sujeta al extremo de un

hilo aislante, inextensible y de masa despreciable, suspendido del otro extremo fijo.

a) Determine la intensidad del campo eléctrico uniforme, dirigido horizontalmente,

para que la esfera se encuentre en reposo y el hilo forme un ángulo de 30º con la

vertical.

b) Calcule la tensión que soporta el hilo en las condiciones anteriores.

Dato: g = 10 m ∙ s –2

Solución: a) Tx = T ∙ sen 30º ; Ty = T ∙ cos 30º Aplicando las condiciones de equilibrio entre los ejes:

Eje OX: Tx = Fe ; T ∙ sen 30º = Q ∙E

Eje OY: Ty = m ∙ g; T ∙ cos 30º = m ∙g

Dividiendo las dos ecuaciones entre sí:


17/53



2

3

0,1 10 30º30º

577,3510

mkg tag

m g tag N s E Q C C

b) Despejando de la primera ecuación:

310 577,35

1,1530º 0,5

N C Q E C T N

sen

19.‐ Una partícula con carga 2 ∙ 10 –6C se encuentra en reposo en el punto (0,0). Se

aplica un campo eléctrico uniforme de 500 N ∙C –1

en el sentido positivo del eje OY.

a) Describa el movimiento seguido por la partícula y la transformación de energía

que tiene lugar a lo largo del mismo.

b) Calcule la diferencia de potencial entre los puntos (0,0) y (0,2) m y el trabajo

realizado para desplazar la partícula entre dichos puntos.

Solución: a) Al ser la carga positiva, la fuerza eléctrica que actúa sobre ella tendrá también en el sentido positivo del eje OY

La carga describirá un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en el sentido

positivo del eje OY de aceleración q E

a jm

El trabajo realizado por el campo sobre la

carga (positivo) se invierte en aumentar su energía cinética a costa de disminuir su energía potencial.

b) Partimos de la expresión de la diferencia de potencial entre dos puntos en un campo eléctrico uniforme

B AV V 500 2 0 1000 B A V E y y m V m

Para calcular el trabajo realizado para trasladar q del punto A (0,0) al B (0,2) usamos la expresión que relaciona el trabajo con la diferencia de potencial

B AW q V V si observamos el resultado anterior: 1000 A BV V V

Por lo tanto: 6 3 2 10 1000 2 10W C V J

20.‐ a) Explique las características de la interacción eléctrica entre dos cargas

puntuales en reposo.

b) ¿Es nulo el campo eléctrico en algún punto del segmento que une dos cargas puntuales de igual valor absoluto pero de signo contrario? Razone la respuesta.


18/53



Solución: a) Entendemos por interacción electrostática la fuerza que se ejerce entre cargas en reposo, está regulada por la ley de Coulomb: “La fuerza con que se repelen o se atraen dos cargas es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las

separa”.

Podemos escribir la expresión anterior de la siguiente forma:

'

2 r

Q QF k u

r

En esta expresión, r u

es un vector unitario en la dirección de la recta que une Q y Q’

cuyo sentido

apunta

hacia

la

separación

relativa

de

las

cargas

como

se

ve

en

la

figura.

De este modo si las cargas son de distinto signo, la fuerza tiene signo negativo, lo que significa que la atracción es atractiva y si son del mismo signo, es repulsiva. El valor de la constante k depende del medio en que se encuentren las cargas. No es pues una

constante universal y tiene en el vacío el valor:

29

29 10

N mk

C

b) Como vemos en la figura, el vector intensidad de campo que crea una carga positiva es saliente, mientras que el que crea una carga negativa es entrante

por lo tanto es imposible que se anule el vector intensidad de campo eléctrico en cualquier punto del segmento que une a dos cargas de distinto signo sea cual sea su valor, porque ambos vectores tendrán la misma dirección.

21.‐ El potencial eléctrico en un punto P, creado por una carga Q situada en el origen,

es 800 V y el campo eléctrico en P es 400 N ∙C –1.

a) Determine el valor de Q y la distancia del punto P al origen.

b) Calcule el trabajo que se realiza al desplazar otra carga q = 1,2 ∙ 10 –6

C desde el

punto (3, 0) m al punto (0, 3) m. Explique por qué no hay que especificar la

trayectoria seguida.

Dato: K= 9 ∙109

N ∙m2

∙C –2

Solución: a)

2 2400

Q N Q E K

d C d

Dividiendo: 1 1

22

d mm d

800Q Q

V V K d d


19/53



b) Como las distancias de A y B a la carga que crea el campo son iguales (3 m), los potenciales en ambos puntos son iguales, por lo tanto, VA – VB = 0

0 A BW Q V V

No hay que especificar la trayectoria porque el campo eléctrico es conservativo.

22.‐ a) Explique la relación entre campo y potencial electrostáticos.

b) Una partícula cargada se mueve espontáneamente hacia puntos en los que el

potencial electrostático es mayor. Razone si, de ese comportamiento, puede

deducirse el signo de la carga.

Solución: a)Cuando situamos una carga de prueba Q´ en el seno de un campo eléctrico,

este ejerce sobre ella una fuerza 'F Q E

. Esta fuerza realiza un trabajo a medida que

la carga se desplaza bajo su acción en el campo. El trabajo realizado por el campo al desplazar la carga entre dos puntos cualesquiera A y B es:

' B B

A AW F dr Q E dr

Como el campo eléctrico es conservativo, podemos decir W = −ΔEp , quedándonos la expresión anterior de la siguiente manera:

' ' B B

p p A A

E Q E dr E Q E dr

'( ) ( ) B

p p A

E B E A Q E d r

Por la definición de potencial, V, en un punto, podemos escribir

'( ) ( ) B p p

B A A

E B E AV V E dr

Q

Esta expresión también podemos ponerla en su forma diferencial

dV dV E d r E

dr

b) Teniendo en cuenta que el potencial creado por una carga en un punto es

inversamente proporcional a la distancia entre la carga y el punto y que este es del

17

2

9

2

800 21,77 10

9 10

V d V mQ C

N mK

C


20/53



mismo signo que la carga que crea el campo Q

V K r

, si

suponemos que la carga que crea el campo, Q, es positiva, al alejarnos de ella el potencial disminuye

V1 > V2

Si Q’ se mueve espontáneamente hacia V1 está claro que será una carga negativa. Si suponemos que la carga que crea el campo es negativa (potenciales negativos)

V2 > V1

Si Q’ se mueve espontáneamente hacia V2 está claro que será una carga negativa, como en el caso anterior. Por lo tanto de ese comportamiento se deduce que la carga es negativa, independientemente del signo de la carga que crea el campo.

23.‐ Una partícula de 5 ∙ 10 –3

kg y carga eléctrica q = –6 ∙ 10 –6

C se mueve con una

velocidad de 0,2 m ∙ s –1

en el sentido positivo del eje X y penetra en la región x > 0,

en la que existe un campo eléctrico uniforme de 500 N ∙C –1

dirigido en

el sentido positivo del eje Y.

a) Describa, con ayuda de un esquema,

la trayectoria seguida por la partícula y

razone si aumenta o disminuye la

energía potencial de la partícula en su

desplazamiento.

b) Calcule el trabajo realizado por el

campo eléctrico en el desplazamiento

de la partícula desde el punto (0, 0) m

hasta la posición que ocupa 5 s más

tarde.

g = 10 m ∙ s –2.

Solución: a) En el momento en que la carga entra en la región x > 0 sobre ella actúan dos fuerzas, la gravitatoria (peso) y la eléctrica, ambas dirigidas hacia los valores negativos del eje Y; son constantes en módulo, dirección y sentido ya que el campo eléctrico es uniforme, la fuerza resultante es

0,053 RES E F F P Q E j m g j Q E m g j jN


21/53



El hecho de que la fuerza resultante sea constante y perpendicular a la velocidad inicial nos dice que estamos ante un tiro horizontal y por tanto la trayectoria es parabólica. La partícula está sometida a dos campos conservativos, gravitatorio y eléctrico, en ambos casos, el trabajo lo realizan las fuerzas del campo a costa de la disminución de

la energía potencial, es decir, la energía potencial, tanto gravitatoria como eléctrica, de la partícula disminuyen en su desplazamiento.

b) Calculamos la aceleración de la partícula:

3 2

0,05310,6

5 10

RES F jN ma j

m kg s

El movimiento de la partícula lo estudiamos como una composición de un movimiento uniforme en el eje X y otro uniformemente acelerado en el eje Y con aceleración

210,6

m j

s

. Calculamos la posición para t = 5 s

Eje X: x = x0 + v0xt (x0 = 0; v0x = 0,2 m/s) x = 1m Eje Y: y = y0 + v0yt + ½ at

2 (y0 = 0; v0y = 0; a = –10,6 m/s

2); y = –135,5 m

La posición de la partícula a los 5 s es el punto (1, ‐132,5) m, como la posición inicial es el punto (0, 0) podemos escribir el vector desplazamiento

0 132,5r r r i j m

Al ser la fuerza eléctrica constante a lo largo del desplazamiento, podemos calcular el trabajo eléctrico mediante la ecuación

E W F r

Para lo cual, calculamos primero la fuerza eléctrica

6 36 10 500 3 10 E

N F Q E C j jN

C

El trabajo eléctrico será

33 10 132,5 0,3975 E W F r jN i j m J

También podemos calcular el trabajo realizado por el campo eléctrico, usando criterios energéticos en lugar de dinámicos, como el campo eléctrico es conservativo se cumple

pW E Como el campo eléctrico es uniforme, la variación de energía potencial eléctrica viene dada por la expresión

p E Q E d Siendo d la distancia recorrida en la dirección del campo, en este caso d = –132,5 m, por lo tanto

66 10 500 132,5 0,3975 p N

E C m J C

0,3975 pW E J


22/53



24.‐ a) Explique la interacción de un conjunto de cargas puntuales.

b) Considere dos cargas eléctricas +Q y –Q, situadas en dos puntos A y B.

Razone cuál sería el potencial electrostático en el punto medio del segmento que

une los puntos A y B. ¿Puede deducirse de dicho valor que el campo eléctrico es nulo

en dicho punto?

Solución: a) Entendemos por interacción electrostática la fuerza que se ejerce entre cargas en reposo, está regulada por la ley de Coulomb: “La fuerza con que se repelen o se atraen dos cargas es directamente proporcional al

producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que

las separa”. Podemos escribir la expresión anterior de la siguiente forma: '

2 r

Q QF K u

r

En esta expresión, r u

es un vector unitario en la dirección de la recta que une Q y Q’ y cuyo sentido apunta hacia la separación relativa de las cargas como se ve en la figura. De este modo si las cargas son de distinto signo, la fuerza tiene signo negativo, lo que significa que la atracción es atractiva y si son del mismo signo, es repulsiva. El valor de la constante k depende del medio en que se encuentren las cargas. No es pues una constante universal y tiene en el vacío el valor

29

29 10

N mK

C

La ley de Coulomb describe lo que ocurre cuando dos cargas en reposo interaccionan. Pero ¿cambia la fuerza que actúa entre esas dos cargas cuando en sus proximidades situamos otra u otras cargas puntuales? Las evidencias experimentales permiten afirmar: ‐ La fuerza de interacción entre dos cargas puntuales no varía en presencia de otras cargas. ‐ La fuerza resultante que actúa sobre una carga dada es igual a la suma vectorial de las fuerzas individuales que sobre dicha carga ejercen las demás.


23/53



Si nos fijamos en el sistema de la figura, vemos que la fuerza que actúa sobre la carga Q 4 es:

14 24 34TotalF F F F

Por tanto

3 41 4 2 414 24 34

2 2 2

14 24 34

TOTAL

Q QQ Q Q QF K u u u

r r r

b) Las cargas son iguales en valor numérico y de distinto signo, como las distancias de ambas al punto medio del segmento que las une son iguales, el potencial en dicho punto es cero (V = 0). Como vemos en la figura, el vector intensidad de campo que crea una carga positiva es saliente, mientras que el que crea una carga negativa es entrante

Por lo tanto es imposible que se anule el vector intensidad de campo eléctrico en cualquier punto del segmento que une a dos cargas de distinto signo sea cual sea su valor, porque ambos vectores tendrán la misma dirección y sentido.

25.‐ Dos cargas eléctricas están situadas sobre el eje X. Una carga q1 positiva de valor

2 C en la posición (–1, 0) y otra q2 en la posición (1, 0) donde las coordenadas están

expresadas en metros. Determina el valor de q2 en cada uno de los casos siguientes:

a) El campo eléctrico en el punto (0, 2) está en el eje Y. Calcula además el valor de

dicho campo. b) El potencial eléctrico en el punto

(–2, 0) es nulo

Dato: 2

9

29 10

N mK

C

Solución: La disposición de cargas descrita en el enunciado es la siguiente:

a) Sabemos que el campo en el

punto P(0, 2) no tiene componente X. Por simetría, esto significa que q2 debe ser igual a q1, luego q2 = 2 μC. El módulo del campo eléctrico en ese punto será el doble de la componente Y del campo creado por una cualquiera de las dos cargas:

1

22 cos

Q E K

d

Sustituyendo datos, resulta:

2 6

9

2 2

2 102 9 10 cos 0,5 6439,9

5

m C N E N arctg

C m C

Donde hemos determinado d aplicando el teorema de Pitágoras y por sen y cos


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b) El potencial en el punto Q (–2, 0) es la suma de los potenciales creados por las dos cargas:

1 2

1 3

q qV k k

m m

Sabemos que este potencial es nulo. Simplificando, resulta:

21 2 10 3 6

3

qq q q C

m

26.‐ Sobre un electrón, que se mueve con velocidad v, actúa un campo magnético B

en dirección normal a su velocidad.

a) Razone por qué la trayectoria que sigue es circular y haga un esquema que

muestre el sentido de giro del electrón.

b) Deduzca las expresiones del radio de la órbita y del período del movimiento.

Solución: a) La trayectoria es circular porque la fuerza que actúa sobre el electrón siempre va a ser perpendicular al vector velocidad.

b) El módulo de la fuerza debida al campo magnético es:

F = q ∙ v ∙ B sen 90º ; F = q ∙ v ∙ B. Esa fuerza es la fuerza responsable del giro, la fuerza centrípeta, que se podría calcular:

F = m v2/r. Igualando ambas expresiones:

q ∙ v ∙ B = m ∙ v2/r q ∙ B = m ∙ v/r r = (m ∙ v)/(q ∙ B) Periodo es el tiempo que la partícula emplea en completar una vuelta a la órbita (2πr):

v = e/t t = e/v T = (2 π r) / v Sustituyendo el valor del radio, que se ha determinado anteriormente:

T = {2 π [(m v)/(q B)]} / v T = (2π ∙ m)/(q ∙ B)

27.‐ Razone las respuestas a las siguientes cuestiones:

a) Observando la trayectoria de una partícula con carga eléctrica, ¿se puede deducir

si la fuerza que actúa sobre ella procede de un campo eléctrico uniforme o de un

campo magnético uniforme?


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b) ¿Es posible que sea nula la fuerza que actúa sobre un hilo

conductor, por el que circula una corriente eléctrica, situado en un campo

magnético?

Solución:

a) Supongamos

que

la

carga

es

positiva

y

el

campo

es

eléctrico uniforme. Si entra con una velocidad de la misma dirección y sentido que el campo, su trayectoria es rectilínea y su aceleración positiva, como se ve en la figura

En el caso de tratarse de un campo magnético uniforme, si la partícula entra con una velocidad de la misma dirección que el campo, (θ = 0º ó θ = 180º), como la expresión que regula el módulo de la fuerza magnética es F M = Q ⋅ v ⋅ B ⋅ senθ y como sen90º = sen180º = 0 la fuerza sería nula y la trayectoria de la partícula sería recta con movimiento uniforme.

Si la velocidad es perpendicular al campo magnético, al actuar la fuerza magnética como fuerza centrípeta, la trayectoria sería una circunferencia.

Vistos los razonamientos anteriores podemos decir que si los vectores velocidad y campo tienen la misma dirección, no se puede identificar el tipo de campo en función de la trayectoria que sigue la

partícula, puesto que tanto el eléctrico como el magnético producen trayectorias rectilíneas. Sin embargo, si la velocidad y el campo son perpendiculares, si se puede deducir si la fuerza que actúa es eléctrica o magnética porque la trayectoria sería parabólica o circular respectivamente. b) La fuerza que actúa sobre un hilo conductor rectilíneo de longitud l, por el que circula una corriente de intensidad I, situado en un campo magnético B viene dada por

la siguiente expresión xF I l B

siendo l

un vector de la misma dirección que el conductor y el mismo sentido que la corriente. El módulo de dicha fuerza es F = I ⋅l ⋅ B⋅ senθ siendo θ el ángulo que forma el conductor con el campo magnético. De aquí se deduce que la fuerza es nula, si el conductor se sitúa paralelamente al

campo (θ = 0º y por lo tanto sen 0º = 0). Solución resumida

a) Sí, si la trayectoria es parabólica o recta corresponderá a un campo eléctrico (la fuerza eléctrica va a ser constante, la misma dirección, sentido y módulo) y si es circular a un campo magnético (La fuerza magnética siempre será perpendicular a la velocidad de la partícula). b) Sí, si las líneas de campo y el conductor y son paralelos. |F| = q ∙ v ∙ B sen α, Al ser paralelos α = 0 ó α = 180, sen α = 0 y |F|=0

28.‐ Suponga dos hilos metálicos largos, rectilíneos y paralelos, perpendiculares al

plano del papel y separados 60 mm, por los que circulan corrientes de 9 y 15 A en el

mismo sentido.


26/53



a) Dibuje en un esquema el campo magnético resultante en el punto

medio de la línea que une ambos conductores y calcule su valor.

b) En la región entre los conductores, ¿a qué distancia del hilo por el que circula la

corriente de 9 A será cero el campo magnético?

Dato: μ0 = 4π ∙10 –7

N A –2

Solución: a) I1 = 9 A ; I2 = 15 A ; d = 0,03 m

0

2

I B

d

7

25

1

7

24

2

4 10 9

6 102 0,03

4 10 1510

2 0,03

N A

A B T m

N A A B T

m

BT = B2 – B1 = 4 ∙ 10 –5

T

b) d1 = x ; d2 = 0,06 – x

para que BT = 0 tiene que cumplirse

que B1 = B2

5 0 09 15

6 10 2 2 0,06

A A

T x m x

9 ∙ (0,06 m – x) = 15 x

X = 0,0225 m

29.‐ Un electrón, un protón, un neutrón y un núcleo de helio se mueven en la misma

dirección y con la misma velocidad en una zona en la que existe un campo

magnético, constante y uniforme, en dirección perpendicular a la velocidad de las

partículas. Explique: a) Sobre cuál de ellas es mayor la fuerza magnética.

b) Cuál de ellas experimentará mayor aceleración.

Solución: a) La fuerza magnética viene dada por la fórmula de Lorentz

v x M F Q B

Como v

y B

son iguales para las tres partículas, la fuerza magnética será mayor para la que tenga mayor carga. En este caso el núcleo de helio (Q = 2e).

b) La fuerza y la velocidad son perpendiculares, la aceleración creada es por tanto centrípeta.


27/53



Toda masa que esté bajo la acción de una fuerza ha de cumplir la 2ª ley de Newton

despejando y como nos quedaCP M

CP CP M CP CP CP

F F F m a a F F a

m m

Tendrá mayor aceleración el electrón, ya que aunque la fuerza magnética es la mitad que la del núcleo de helio (Q = e) y la misma que la del protón, su masa es miles de veces menor.

30.‐ Una partícula con carga q = 3,2 ∙10 –19

C se desplaza con una velocidad v por una

región en la que existe un campo magnético B y un campo eléctrico E.

m Nv = 2i + 4 j+ k ; B = 2i + 4 j+ k T ; E = 4i - j - 2k s C

a) ¿Cuál es la fuerza total ejercida sobre la partícula?

b) ¿Y si la partícula se moviera con velocidad – v?

Solución: a) La fuerza total viene dada por la fórmula

v x v xT E M F F F Q E Q B Q E B

Como α (ángulo entre v

y B

) es cero, el producto vectorial v x 0 B

18 19 191, 28 10 3, 2 10 6, 4 10T F Q E i j k N

b) Si se moviera con una velocidad v

el ángulo sería α = 180º y v x 0 B

T F Q E

es decir la misma fuerza que en el apartado anterior.

31.‐ Un electrón atraviesa sin desviarse una zona del espacio donde existen un

campo eléctrico y otro magnético.

a) Razone qué condiciones deben cumplir los campos.

b) ¿Y si se

tratara de

un

protón?

Solución: a)


28/53



Para que el electrón no se desvíe y su velocidad sea constante, la

fuerza resultante sobre él ha de ser cero F E = F M Q ∙ E = Q ⋅ v x B v E

B los

campos han de ser perpendiculares entre sí y la razón entre sus módulos igual al módulo de la velocidad del electrón. b)

Si se tratara de un protón, las fuerzas cambiarían pero como se ve en la figura las condiciones serían las mismas que en el apartado anterior.

32.‐ a) Un haz de electrones atraviesa una región del espacio sin desviarse, ¿se puede

afirmar que en esa región no hay campo magnético? De existir, ¿cómo tiene que ser?

b) En una región existe un campo magnético uniforme dirigido verticalmente hacia

abajo. Se disparan dos protones horizontalmente en sentidos opuestos.

Razone qué trayectorias describen, en qué plano están y qué sentidos tienen sus

movimientos.

Solución: a) La fuerza que actúa sobre una carga eléctrica al entrar con velocidad v

en

un campo magnético B

viene dada por la expresión de Lorentz

v x M F Q B

Por lo tanto, si existe, es siempre perpendicular a la velocidad y haría desviarse a la carga de su trayectoria rectilínea. Esto significa que si la carga no se desvía, es porque no hay fuerza magnética (FM = 0). Si observamos la expresión del módulo de la fuerza

de Lorentz (θ es el menor ángulo formado entre v

y

B

) M F Q v B sen vemos que no se puede afirmar que en esa región no existe un campo magnético, basta con que sen θ = 0, es decir θ = 0º ó θ = 180º, para que FM = 0 y la carga no se desvíe. El campo ha de ser de la misma dirección que la velocidad.

b) Como se ve en la figura ambos siguen trayectorias circulares en el plano del papel,

porque la fuerza magnética, perpendicular a la velocidad y de módulo constante, actúa de fuerza centrípeta. Los sentidos de giro en ambos casos, son anti horarios.


29/53



33.‐ Sobre un electrón, que se mueve con velocidad v

, actúa un campo magnético

B

en dirección normal a su velocidad.

a) Razone por qué la trayectoria que sigue es circular y haga un esquema que

muestre el sentido de giro del electrón. b) Deduzca las expresiones del radio de la órbita y del período del movimiento.

Solución: a) Como se ve en la figura, el electrón sigue una trayectoria circular porque la fuerza magnética es, por definición, perpendicular a la velocidad (producto

vectorial v x M F Q B

), y además al ser

constantes los módulos de v

y de B

, su módulo

también es constante, con lo cual la fuerza magnética actúa de fuerza centrípeta.

b) Como M F

y v

son perpendiculares (θ = 90º)

M F Q v B sen Q v B Según el apartado anterior: FCPT = FM

2 vvv despejando e

e

mm e B r

r e B

El periodo es el tiempo que tarda en dar una vuelta completa: T = 2r/v v

2 2 v 22v v v

e

e e

m

m mr e BT e B e B

34.‐ En un experimento se aceleran partículas alfa (q = +2e) desde el reposo,

mediante una diferencia de potencial de 10 kV. Después, entran en un campo

magnético B = 0,5 T, perpendicular a la dirección de su movimiento.

a) Explique con ayuda de un esquema la trayectoria de las partículas y calcule la

velocidad con que penetran en el campo magnético.

b) Calcule el radio de la trayectoria que siguen las partículas alfa en el seno del

campo magnético.

Datos: e = 1,6 ∙10 –19 C ; m = 6,7∙10 –27 kg

a) Solución: Trayectoria circular por las mismas causas que en el problema anterior. Para calcular la velocidad con la que penetran en el campo magnético, hemos de tener en cuenta que al partir del reposo, la energía cinética inicial es nula (ECI = 0), por lo tanto

ELEC C CF CI CF W E E E E

21

2 2e V m v


30/53



19 45

27

2 4 1,6 10 109,77 10

6,7 10

e V C V mv

m kg s

b) Como FCTP =

FM 2

2 90º 2v

m e v B sen e v Br

27 5

19

6,7 10 9,77 10

0,042 2 1,6 10 0,5

mkg

m v sr me B C T

35.‐ Dos conductores rectilíneos, paralelos y muy largos, separados 10 cm,

transportan corrientes de 5 y 8 A, respectivamente, en sentidos opuestos.

a) Dibuje en un esquema el campo magnético producido por cada uno de los

conductores en un punto del plano definido por ellos y situado a 2 cm del primero y

12 cm del segundo y calcule la intensidad del campo total.

b) Determine la fuerza por unidad de longitud sobre uno de los conductores,

indicando si es atractiva o repulsiva.

Dato: μ0 = 4π ∙10 –7

N ∙A –2

Solución: a) I1 = 5 A ; I2 = 8 A ; d1 = 0,02 m ; d2 = 0,12 m

7 250 1

1

1

4 10 55 10

2 2 0,02

I N A A B T

d m

BT = B1 – B2 = 3,67 ∙ 10 –5

T 7 2

50 22

2

4 10 81,33 10

2 2 0,12

I N A A B T

d m

en la dirección y sentido que indica la figura.


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b) La fuerza ejercida sobre el conductor 2 por el campo magnético

creado por el conductor 1 (F2,1) viene dada por la expresión: 0 1 22,12

r

I I lF u

d

así

que la fuerza por unidad de longitud es: 2,1 0 1 2

2

r

I I F u

l d

cuyo módulo es

7 22,1 54 10 5 8 8 10

2 0,1

F N A A A N

l m m

la fuerza es repulsiva al tener la misma dirección y sentido que el producto vectorial

xl B

xF I l B

, como se ve en la figura

36.‐ Considere dos hilos largos, paralelos, separados una distancia d, por los que

circulan intensidades I1 e I2 (I1


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al ser I1 < I2 implica que x1 < x2 por lo tanto, dicho punto está máscerca del conductor 1.

b)

Como se ve en la figura, en este caso no pueden anularse los campos magnéticos 1 B

y

2 B

en ningún punto del segmento d.

37.‐ Dos partículas con cargas eléctricas, del mismo valor absoluto y diferente signo,

se mueven con la misma velocidad, dirigida hacia la derecha y en el plano del folio.

Ambas partículas penetran en un campo magnético de dirección perpendicular al

folio y dirigido hacia abajo.

a) Analice con ayuda de un gráfico las trayectorias seguidas por las dos partículas.

b) Si la masa de una de ellas es doble que la de la otra (m1 = 2 m2) ¿Cuál gira más

rápidamente?

Solución: a)

Como se ve en la figura, ambas partículas siguen trayectorias circulares de sentidos opuestos, porque la fuerza magnética (FM) es perpendicular a la velocidad (producto

vectorial x M F Q v B

y además al ser constantes los módulos de v

y de B

, su

módulo también es constante. Con lo cual la fuerza magnética actúa de fuerza centrípeta

b) Como se

ha

visto

en

el

apartado

anterior

FCPT =

FM

2v

m Q v Br


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despejando m v

r Q B

consideraremos que gira más rápido la masa

que tenga un periodo menor, como2 r

T v

, sustituimos el valor del radio

2 mT

Q B

y para cada masa 1

1

2 mT

Q B

y 2

2

2 mT

Q B

al ser m1 = 2 ∙ m2 implica que T1 > T2

concretamente T1 = 2 ∙ T2 luego gira más rápido la partícula 2, la de menor masa.

38.‐ Un hilo recto, de longitud 0,2 m y masa 8 ∙10 –3

kg, está situado a lo largo del eje

OX en presencia de un campo magnético uniforme 0,5 B jT

a) Razone el sentido que debe tener la corriente para que la fuerza magnética sea de

sentido opuesto a la fuerza gravitatoria, g gF F k

b) Calcule la intensidad de corriente necesaria para que la fuerza magnética equilibre

al peso del hilo.

g = 10 m ∙ s –2

Solución: a) El sentido de la corriente ha de ser el

mismo que el del vector l

(sentido positivo del eje OX), para que al multiplicarlo

vectorialmente por el vector B

nos salga la fuerza magnética en el sentido positivo del

eje

OZ,

oponiéndose

así

a

la

fuerza

gravitatoria como se ve en la figura

b) Para que ambas fuerzas se equilibren ha de cumplirse que sus módulos sean iguales

F m = F g I ⋅ l ⋅ B = m ⋅ g

3

28 10 10

0,80,2 0,5

mkg

m g s I Al B m T

39.‐ a) Al moverse una partícula cargada en la dirección y sentido de un campo

eléctrico, aumenta su energía potencial. ¿Qué signo tiene la carga de la partícula?

b) La misma partícula se mueve en la dirección y sentido de un campo magnético.

¿Qué trabajo se realiza sobre la partícula?

Razone las respuestas.

Solución: a) El campo eléctrico es conservativo, por lo tanto ha de cumplirse W = −ΔE al ser ∆Ep > 0 , el trabajo, que proviene de la disminución de energía cinética, es negativo es decir se realiza contra el campo para lo cual la fuerza eléctrica ha de ser de

sentido contrario al campo y por tanto a la velocidad , la carga ha de ser negativa como se ve en la figura


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b) Cuando una partícula cargada se mueve en el seno de un campo magnético, la fuerza que actúa sobre ella se denomina fuerza de Lorentz y viene dada por la

expresión: x M F Q v B

como el ángulo que forman yv B

es 0º (sen 0º = 0) no existe

fuerza magnética y no se realiza trabajo.

40.‐ a) Un electrón incide en un campo magnético perpendicular a su velocidad.

Determine la intensidad del campo magnético necesaria para que el período de su

movimiento sea 10 –6

s.

b) Razone cómo cambiaría la trayectoria descrita si la partícula incidente fuera un protón.

e = 1,6 ∙10 –19

C ; me = 9,1 ∙10 –31

kg ; mp = 1,7 ∙10 –27

kg

Solución: a) T = 10 –6 s La fuerza magnética ejerce de fuerza centrípeta,

FCPT = FM sustituyendo obtenemos: 2

v vm Q v B m Q B

r r

Como v = ∙ r m ∙ = Q ∙ B como 2

T

Nos queda 2 m

T Q B

despejando

2 m B

Q T

Sustituyendo los valores:

315

19 6

2 9,1 103,57 10

1,6 10 10

kg B T

C s

b) En el ejemplo de las figuras (campo magnético perpendicular y entrante al papel) el electrón describe una trayectoria circular en sentido

horario

y

el

protón

lo

hace

en

sentido

contrario

(anti

horario), para las mismas condiciones (B = 3,57 ∙ 10 –5 T) podemos calcular el periodo de giro del protón

273

19 5

2 2 1,7 101,87 10

1,6 10 3,57 10

pm kgT s

Q B C T

También cambiaría su radio.


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41.‐ Sean dos conductores rectilíneos paralelos por los que circulan corrientes

eléctricas de igual intensidad y sentido.

a) Explique qué fuerzas se ejercen entre sí ambos conductores.

b) Represente gráficamente la situación en la que las fuerzas son repulsivas,

dibujando el campo magnético y la fuerza sobre cada conductor.

Solución: a) Aplicamos la expresión de la fuerza que ejerce un campo magnético sobre

un conductor rectilíneo: xF I l B

para saber el sentido de la fuerza 21F

que ejerce el campo magnético creado por el

conductor 1 1 B

sobre el conductor 2, hemos de multiplicar vectorialmente 2l

(en el

sentido de I2) por 1 B

, si hacemos lo mi

problemas de física bloque 4 interacción electromagnética solucionados 2015_2016_unlocked

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