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Matemática

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Santillana

Santillana

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Matemática 5 – Santillana– te acompaña paso a paso en tu estudio para que aprendas más y mejor.

Mirá con atención ‘‘las paradas’’ que encontrarás en el recorrido de los capítulos.

Parada especial

En varios capítulos hay una doble página en la que los contenidos están expresados, fundamentalmente, a través de imágenes.

Temas en imágenes i

Al fi nal del libro, en la sección Taller de técnicas, vas a encon-trar un conjunto de estrategias que te ayudarán a ‘‘aprender a estudiar’’. En los capítulos está indicado cuándo consultarlas.

Técnica 1

En algunos temas hay ventanitas que te invitan a pensar sobre lo que podés hacer para ‘‘aprender a vivir con otros’’.

Por

un c

ambi

o

de actitud

En algunos temas hay ventanitas que te invitan a pensar sobre lo que podés Po

run

cam

bio

de actitud Respetamos la diversidad

En cada capítulo encontrarás tres etapas para ir evaluando tu trabajo:

Momentos de evaluación

A ver qué sé…

Te preparás para lo que vas a empezar a estudiar.

A ver cómo voy…

Parás y revisás lo que aprendiste hasta el momento.

A ver qué aprendí…

Repasás y organizás tus ideas.

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En cada capítulo hay una doble página con todo lo que necesites saber para hacer las actividades. Está todo muy fácil, como si te lo contaras a vos.

Para entender

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A ver qué sé…

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Completá el crucinúmero. Después escribí las referencias que faltan; tenés varias posibilidades, usá tu imaginación.

A B C D

E F

G H

I

J

Los números que usamos

Referencias

HorizontalesA. Quince mil quince.

E. Menor número que se puede for-mar con un nueve y un uno.

F.

G. Veinte mil ciento nueve.

I. J. Mil menos cien.

Los miles y los millones. Cómo es nuestro sistema de numeración. Multiplicaciones y divisiones por 10, 100, 1.000, … El sistema de numeración egipcio.

1

1

1

2

2

9

9

1

2

0

000

Verticales

A. B. C. D. Anterior a sesenta mil.

H.

No me acuerdo de todo, pero si pienso seguro

que me sale.

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Miles y miles

1. Mirá los puntos que sacó Julián jugando en la compu. Sus amigos obtuvieron es-tos otros:

Lorena 444.444 puntos Alfredo 400.400 puntos Sofi 404.000 puntos

¿Cómo pensás que se leen?

2. Tené en cuenta los puntajes que se indican en la actividad anterior y completá la tabla.

Posición Nombre Puntos

1.°

2.°

3.°

4.°

¿Cuánto le falta a cada chico para igualar al que está en la primera posición? No vale hacer cuentas.

¡Pasaste al próximo nivel!

Cuatrocientos mil puntos:

400.000 puntos

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Miles y millones

3. Trabajo con otros. En el juego El navegante hay que comprar un barco que vale $ 5.378.000. Lean en voz alta el precio del buque. ¿Cómo lo pagarían usando la menor cantidad de esos billetes?

Si no tuvieran billetes de $ 1.000, ¿cómo lo pagarían?

4. Dar en la tecla. Usá solo las teclas que se muestran abajo hasta que en la pantalla se vea el número 2.301.004. Escribí cómo lo hiciste.

5. La máquina transforma el número rojo en el azul haciendo solo una suma o una

resta. Descubrí cuál es y escribila arriba de cada flecha.

4.500.080 4.503.090

7.621.000 6.521.000

1.000.000 100.000

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Domingo Lunes Martes Miércoles Jueves

780.0000

6. Daniel trabaja como cajero en un banco. Cuando finalizó el día, el tesorero le pidió que acomodara el dinero que tenía en la caja en paquetes de hasta $ 100.000.

Había reunido $ 2.305.946. ¿Cuántos paquetes armó, si puso la mayor cantidad posible de dinero en cada uno?

En el paquete de menos dinero había solamente billetes de $ 100 y de $ 10, y monedas de $ 1. Escribí con un cálculo qué contenía.

7. La película Los terrestres fue todo un éxito en Marte; hasta el domingo la habían visto 780.000 marcianos y durante los cuatro días siguientes concurrieron otros 5.000 en cada jornada. Completá con el total de espectadores que la habían dis-frutado al finalizar cada día.

8. Completá el cuadro y leé todos los números en voz alta.

Anterior Número Siguiente

13.509.899

91.000.010

40.789.999

9. Indicá los números que van en los puntos rojos de esta recta.

31.0

00.0

00

31.5

00.0

00

33.5

00.0

00

35.0

00.0

00

37.0

00.0

00

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Temas en imágenes i

Sistema de numeración egipcio

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Temas en imágenes i

La civilización egipcia fue muy evolucionada en muchos aspectos, por ejemplo, en Matemática. La necesitaban para administrar, demarcar tierras y edificar gigantescas construcciones que aún hoy podemos ver.

Palo1

Cuerda enroscada

100

Dedo10.000

Traba para el ganado

10

Planta de loto1.000

Renacuajo100.000

Dios sujetando el cielo

1.000.000

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Mirá las imágenes y res-pondé estas preguntas re-feridas al sistema egipcio de numeración.

¿Necesitaban los egip-cios un símbolo para representar el 0?

¿Puede ocurrir que para escribir un número más grande que otro se usen menos símbolos?

¿Es cierto que cambia el valor de cada sím-bolo según la posición que ocupa dentro del número?

Ahora que ya respondiste todo, escribí algo que te parezca importante acer-ca de estos números.

Yo opino:

Los símbolos se podían escribir hasta nueve veces cada uno.

Siempre se sumaban los valores fijos.

6.006

128

Para escribir un número, los símbolos se podían colocar en distinto orden, como se ve en los papiros, pero solían escribirse de mayor a menor, de izquierda a derecha.

¡Qué poca imaginación! Traen el mismo regalo y

la misma cantidad, ambos escribieron 18.

Los símbolos se podían escribir hasta nueve veces cada uno.

6.006

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Para entender

24.320.105

Vale 20.000.000. Vale 20.000.

Sistemas de numeración

Sistema de numeración decimal

¿Cómo leo estos números?

¿Y este otro? 24.320.105 Veinticuatro millones trescientos veinte mil ciento cinco.

10 veces 10 es 100; 10 veces 100 es 1.000;10 veces 1.000 es 10.000;etcétera.

Para escribir los números se usan diez símbolos.

Además, es posicional, porque el valor de cada cifra o símbolo depende de su posición en el número.

¿Cómo puedo descomponer un número?

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

10.000 Diez mil100.000 Cien mil

1.000.000 Un millón10.000.000 Diez millones

¿Cómo es nuestro sistema de numeración?

Es decimal porque se agrupa de a diez.

Tengo en cuenta cómo se forman nuestros números, es decir que agrupo de a diez y considero el valor de cada cifra.

Algunas descomposiciones de 24.320.105:24.000.000 + 320.000 + 10520.000.000 + 4.000.000 + 300.000 + 20.000 + 100 + 52 × 10.000.000 + 4 × 1.000.000 + 3 × 100.000 + 2 × 10.000 + 100 + 5

¿Cómo puedo descomponer un número?

Tengo en cuenta cómo se forman nuestros números, es decir que agrupo de a diez y considero el valor de cada cifra.

Algunas descomposiciones de 24.320.105:24.000.000 + 320.000 + 10520.000.000 + 4.000.000 + 300.000 + 20.000 + 100 + 52 × 10.000.000 + 4

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Otros sistemas de numeración

Multiplicación y división por 10, 100, 1.000, …

No, hay algunos que no lo son, como el sistema egipcio que vi en las páginas 14 y 15. Por eso, los símbolos para escribir un número se pueden disponer en distinto orden, como muestra este ejemplo:

¿Por qué agrego un cero cuando multiplico por 10?

Como en nuestro sistema de numera-ción se agrupa de a 10, al multiplicar por 10 las unidades se transforman en decenas, las decenas en centenas y así sucesivamente.

¿Y cuando multiplico por 100 o por 1.000?

Multiplicar por 100 equivale a multi-plicar dos veces por 10, por eso agre-go dos ceros. Si es por mil, equivale a multiplicar tres veces por 10, por eso agrego tres ceros.

¿Y cuando divido?

En divisiones como estas quito ceros.

45 × 10 = 450237 × 10 = 2.370

57.824 × 10 = 578.240309.761 × 10 = 3.097.610

12 × 100 = 1.200345 × 100 = 34.500

12 × 1.000 = 12.000345 × 1.000 = 345.000

58.000 : 10 = 5.80058.000 : 100 = 58058.000 : 1.000 = 58

391.000 : 10 = 39.100391.000 : 100 = 3.910391.000 : 1.000 = 391

5.800580

5839.100

3.910391

¿Todos los sistemas son posicionales?

21.300

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A ver qué aprendí…

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Repaso1. De los números que figuran rodeá el once mi-

llones cien mil once y escribí con letras cómo se leen los demás.

11.101.011 11.110.101

11.100.011 11.111.011

2. Rodeá los cálculos con los que se obtiene el número 435.215.

435 × 1.000 + 2 × 100 + 10 + 5

43 × 10.000 + 5 × 1.000 + 5 + 10 + 2 × 100

4 × 100.000 + 3 × 100.000 + 5.215

4 × 100.000 + 35 × 1.000 + 2 × 100 + 1 × 10 + 5

Proponé otra forma de escribir ese núme-ro usando multiplicaciones por 10, 100, 1.000, etcétera.

3. Dar en la tecla. Proponé un cálculo para pasar del 8.880.888 al 8.000.808, y otro para convertir el primer número en 9.999.999. Des-pués comprobalo con la calcu.

4. Leé las pistas y respondé.

La cantidad de habitantes de la ciudad A es el mayor número de 7 cifras distintas;

la ciudad B tiene un millón diez mil cien ha-bitantes menos que A.

¿Cuántos habitantes tiene cada una de las ciudades?

Escribí los números e indicá cómo se leen.

5. Se borraron algunas cifras de estos números. ¿Podés escribirlas?

785.7 9 > 785.789 42. 37.800 < 42.108.000

6.401.001 > 6.401.

6. ¿Cuál es el número más grande que podés escribir, que sea mayor que ocho millones qui-nientos mil y menor que nueve millones? ¿Y el más chico?

7. Para jugar de a dos. Uno inventa un número que esté entre noventa millones y noventa millones novecientos noventa mil, lo escribe en un papel sin que el otro lo vea, y lo dice en voz alta. El compañero lo escribe y luego comparan. Si el que escuchó lo hizo bien, se anota 1 punto. Si el que lo dijo en voz alta lo hizo mal, se resta 1 punto. Luego cam-bian los roles. Pueden jugar 10 rondas.

8. Dar en la tecla. Tenés que poner un nú-mero de 4 cifras menor que 2.500 en la calcu y empezar a restar 100 todas las veces que puedas. Si lográs que aparezca el 0 en el visor, ganás 1 punto. ¿Cómo te podés asegurar el punto antes de empezar?

9. Calculá mentalmente y completá.

2.300 × = 2.300.000

× 100 = 98.654.000

450.000 : = 4.500

: 10 = 3.967.450

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A ver qué sé…

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Mirá el plano de Plantópolis y respondé.

¿Qué calles o avenidas delimitan la casa de gobierno?

¿Cómo es la avenida de los Clave-les respecto de la avenida de las Prímulas?

¿Y la avenida de los Claveles con res-pecto a la calle de las Amapolas?

¿Cómo son entre sí la diagonal de las Begonias y la Av. de las Prímulas?

¿Qué le responderías a Tati? Explicá tu respuesta.

Construcciones

Rectas paralelas, perpendiculares y secantes. Circunferencia y círculo. Ángulos. Los lados y los ángulos de los triángulos.

5

¿Se cortarán la diagonal de los Nardos y la aveni-

da de los Jazmines?

Tati

Avenida de los Jazmines

Diag. de la

s Begonias

Diag. de los Nardos

Calle de las RosasAv

. de

los

Clav

eles

Calle

de

las

Azal

eas

Av. d

e la

s Pr

ímul

as

Calle de las Amapolas

Casa de Gobierno

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Paralelas y perpendiculares

1. Observá estas obras del pintor argentino Xul Solar (1887-1963). Este artista fue muy amigo del escritor Jorge Luis Borges e ilustró varios de sus libros. Su verda-dero nombre era Oscar Agustín Alejandro Schulz Solari.

¿Encontrás trazos perpendiculares en estas obras? ¿Y paralelos? ¿Y secantes?

Ahora te toca a vos. Animate a componer en la carpeta o en una hoja de dibujo tu propia creación, que muestre líneas paralelas, perpendiculares y secantes. Utilizá la escuadra.

2. Prepará la escuadra y los lápices negro, azul y rojo, y seguí estos pasos:

1.º Trazá con azul una recta perpendicular a R que pase por p.

2.º Marcá un punto que no esté sobre R ni en la recta azul, y llamalo m.

3.º Trazá con rojo una recta perpendicular a la recta azul que pase por m.

4.º Con negro trazá una recta que pase por p y por m. Lla-mala T.

¿Cómo son las rectas T y R

¿Cómo son entre sí las rectas R y la roja? ¿Cómo te das cuenta?

Proyecto Fachada Delta, Xul Solar, 1954.

Técnica 3¿Cómo usás la escuadra para trazar perpendiculares?

Vuel Villa, Xul Solar, 1936.

R

p

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Ángulos

6. Marcá un arquito azul en los ángulos rectos que descubras en la senda, uno verde en los agudos y uno rojo en los obtusos. Ayudate con la escuadra.

8. Dibujá en tu carpeta un ángulo de 35º, otro de 110º y por último uno de 75º. Debajo de cada uno escribí qué clase de ángulo es.

7. Medí cada ángulo y escribí su amplitud.

Técnica 3¿Cómo usás la escuadra para clasifi car ángulos?

Técnica 5¿Cómo usás el transportador?

A ver cómo voy…Ponete a prueba contestando estas preguntas.

Una hormiga avanza manteniéndose siempre a 1 metro de la boca del hormiguero. ¿Qué figura forma su recorrido cuando vuelve a pasar por donde empezó?

¿En cuánto tiempo la aguja que marca las horas de un reloj recorre un ángulo recto?

¿Cuánto tarda la aguja que marca los minutos en girar un ángulo de 90º?

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Triángulos

9. Utilizá la regla y el compás para construir en tu carpeta dos triángulos que tengan un lado de 5 cm y otro de 4 cm, y que sean distintos. Después compará tus dibujos con los de tus compañeros. ¿En qué se diferencian?

Ahora dibujá un triángulo con los mismos datos que los del punto anterior y con el tercer lado de 6 cm.

¿Qué opinás? ¿Podrías dibujar otros diferentes, o sea, que tengan otra forma, o el que hiciste es el único posible?

10. Darío va a armar una maqueta de su barrio, que tiene una plaza triangular con la forma que muestra el dibujo. Él quiere que haya 7 cm entre los puntos rojos. ¿Po-dés dibujar un triángulo con esos datos? Usá la regla y el transportador.

Discutan en grupos si el que hicieron es el único triángulo posible o si se pueden construir otros diferentes con esos datos.

Técnica 4Si trazás el lado de 5 cm, ¿cómo encontrás un punto que esté a 4 cm de un vértice y a 6 cm del otro?

Por

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de actitud

¿Sabías que los senderos de los parques y las plazas deben tener los bordes de material para que las personas con discapacidad visual puedan guiarse? Además, deben estar libres de ramas y arbustos, para que nadie se lastime. Por otra parte, los bancos de las plazas no deben colocarse sobre los senderos, sino en un espacio contiguo.Eliminar los obstáculos que puedan afectar a todas las personas, en especial a las de movilidad o comunicación reducidas, no solo contribuye a disminuir accidentes, tam-bién nos permite usar más y mejor el espacio urbano, y favorece el aumento de la inclusión social de todos.

Respetamos la diversidad

Por

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7 cm50º 20º

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Para entenderLas construcciones

¿Cómo puedo dibujar dos rectas en una hoja?

¿Cómo se clasifican los ángulos según su amplitud?

¿Qué es una circunferencia? ¿Y un círculo?

Rectas

Ángulos

Circunferencia y círculo

Una circunferencia está formada por todos los puntos que están a la misma distancia de otro llamado centro. Esa distancia es el radio. Cualquier segmento que une dos puntos de una circunferencia es una cuerda. Si una cuerda pasa por el centro, es un diámetro.

Un círculo está formado por una cir-cunferencia junto con todos los pun-tos que encierra.

Paralelas

No se cortan.

Secantes

Se cortan en un punto.

Perpendiculares

Se cortan formando 4 ángulos iguales.

radiocentro

arco

cuerda

diámetr

o

radio centro

Circunferencia

Círculo

Ángulo recto. Mide 90º.

Ángulo agudo. Mide más de 0º y menos de 90º.

Ángulo obtuso. Mide más de 90º y menos de 180º.

Ángulo llano. Mide 180º.

Ángulo deun giro.

Mide 360º.

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Triángulos

¿Cómo se clasifican los triángulos?

¿Qué propiedad cumplen los lados de cualquier triángulo?

¿Cuánto suman los ángulos interiores de cualquier triángulo?

La longitud de cada lado es menor que la suma de las longitudes de los otros dos.

Siempre suman 180º.

Si conozco dos ángulos, puedo saber cuánto mide el tercero sin usar el transportador.

Estos segmentos no pueden ser los lados de un triángulo, porque 6 no es menor que 2 + 3.

El ángulo rojo mide 180º – 35º – 45º = 100º.

Según sus lados

Escaleno:los tres lados distintos.

Isósceles:dos lados iguales.

Equilátero: los tres lados iguales.

Según sus ángulos

Acutángulo:los tres ángulos agudos.

Rectángulo:tiene un ángulo recto.

Obtusángulo: tiene un ángulo obtuso.

2 cm 3 cm

6 cm

45º35º

?

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Taller de técnicas tCuando hacemos Matemática es necesario interpretar bien lo que nos piden para poder armar un plan

de trabajo. También es muy importante revisar lo que hicimos.

En este taller te ofrecemos algunas técnicas que van a ayudarte con estas cuestiones y podrás resol-

ver mejor los problemas.

También hay técnicas que van a servirte para usar en forma correcta los

instrumentos de geometría.

Manejar todas estas técnicas con soltura te permitirá disfrutar mientras

aprendés, y lograr mejores resultados.

Índice

Técnica 1: Interpreto enunciados .......................................................................... 131

Técnica 2: Armo un plan y chequeo los resultados ............................................... 132

Técnica 3: Uso la escuadra .................................................................................... 134

Técnica 4: Uso el compás ...................................................................................... 136

Técnica 5: Uso el transportador ............................................................................ 138

También hay técnicas que van a servirte para usar en forma correcta los

Manejar todas estas técnicas con soltura te permitirá disfrutar mientras

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Técnica 1

Interpreto enunciadosPara resolver un problema de Matemática, lo primero que hay que hacer es comprender el enunciado.

Te mostramos un ejemplo.

Esta es la máquina que se usará para pintar las líneas blancas del borde de una ruta. ¿Cuál es la menor cantidad de veces que habrá que cargar la máquina para pintar una línea de 106.540 m?

Para interpretar lo que hay que hacer, podés seguir estos pasos:

1.º Leo el enunciado con atención; no dejo de observar si las imágenes aportan información.

¿Entiendo el signifi cado de

todas las palabras?

2.º Cuento el problema con mis propias palabras.

Para eso, hacerme preguntas puede ayudarme.

Una forma de contar el problema con mis pala-

bras podría ser:

3.º Escribo las respuestas de las dos preguntas que siguen.

La menor cantidad de veces que hay que cargar la máquina.

Se pueden pintar hasta 10.000 metros con cada car-ga. Hay que pintar 106.540 metros.

Pinta 10.000 m con la carga máxima.

¿Qué hay que averiguar?

¿Qué datos me dan?

Si no sé el de alguna, la busco en el diccionario.

Además, si no recuerdo algo, puedo fi jarme en la car-

peta o en el libro.

Por ejemplo,

¿Qué se pide? ¿Hay que cargar la máquina muchas veces o pocas? ¿Por qué?

Hay que pintar una línea blanca de 106.540 metros. Como la máquina llena pinta 10.000 metros, hay que cargarla varias veces y tiene que ser la menor cantidad de veces.

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Para realizar la actividad 19 de la página 108.

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