i° medio matemática 2010 santillana bicentenario docente

8/10/2019 I° medio Matemática 2010 Santillana Bicentenario Docente

http://slidepdf.com/reader/full/i-medio-matematica-2010-santillana-bicentenario-docente 1/152

Guía para el profesor



El material didáctico Guía para el Profesor, Matemática 1, Proyecto Bicentenario, para Primer Año de Educación Media, es una obra colectiva,creada y diseñada por el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección general de

MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA

Coordinación de proyecto Ana María Anwandter Rodríguez

Jefatura de área Marcia Villena Ramírez

Edición María Antonieta Santis Ávalos

Asistente de edición Pedro Rupin Gutierrez - Gerardo Muñoz Díaz

Autores Guía para el profesor Jorge Bozt Ortiz - Fernando Mundaca Pacheco

Autores Texto para el alumno Ángela Baeza Peña - María del Pilar Blanco Casals - Jorge Bozt Ortiz - Felipe Calderón Concha -María José García Zattera - Marcela Guerra Noguera -Pedro Rupin Gutiérrez - Patricia Urzúa Figueroa - Pablo Jorquera Rozbaczylo

Corrección de estilo Astrid Fernández Bravo - Isabel Spoerer Varela

Documentación Paulina Novoa Venturino - María Paz Contreras Fuentes

La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección deVERÓNICA ROJAS LUNA

Con el siguiente equipo de especialistas:

Coordinación Gráfica Carlota Godoy Bustos

Diseño y diagramación Ximena Moncada Lomeña - Teresa Serrano Quevedo

Cubierta La Práctica S.P.A.

Producción Germán Urrutia Garín

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquiermedio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.

SANTILLANA® es una marca registrada de Grupo Santillana de Ediciones, S.L. Todos los derechos reservados.



| 3 |

Índice

Presentación

Ejes del proyecto Bicentenario 4

Organización de la Guía para el Profesor 6

Correspondencia del texto con el Ajuste Curricular Objetivos Fundamentales 8

Contenidos Mínimos Obligatorios 10

Objetivos Fundamentales Transversales 12

Sugerencias metodológicas

Unidad 1: Números racionales y potencias 14

Unidad 2: Factores y productos 34

Unidad 3: Transformaciones isométricas en el plano cartesiano 54

Unidad 4: Funciones lineal y afín 76

Unidad 5: Congruencia de figuras planas 94

Unidad 6: Estadística 116

Unidad 7: Combinatoria y probabilidades 136



| 4 |Santillana Bicentenario

El proyecto Bicentenario, de Editorial Santillana, presenta una propuesta didáctica destinada a

cubrir todos los requerimientos del Ministerio de Educación.

Bicentenario representa una enriquecedora instancia para evocar nuestro pasado y recoger lasexperiencias vividas por la nación en doscientos años de vida republicana. A su vez, constituye unespacio abierto de debate y reflexión para crear, innovar y proyectar con liderazgo el futuro quehoy se construye en nuestras aulas.

El material didáctico que constituye esta serie busca fomentar en los y las estudiantes la

comprensión y valoración del mundo en que viven, a través del modelamiento de situaciones y fenómenos, como también la construcción de conceptos, procedimientos, estrategias derazonamiento y resolución de problemas. También pretende promover una actitud creativa y crítica, y capacidad de resolver problemas, formular conjeturas, verificar la validez de afirmaciones,procedimientos y relaciones, así como lo concerniente a la demostración en matemática y laabstracción y su expresión en el lenguaje simbólico.1

La propuesta editorial contempla el Texto del alumno, el Taller de matemática, la Guía para el

profesor y los Recursos digitales.

Ejes del proyecto Bicentenario

1. Incorporación de los ajustes curricularesLa serie Bicentenario ha sido creada acorde con los Ajustes Curriculares aprobados y publicadosen junio de 2009, por tanto aborda los nuevos requerimientos relacionados con los ObjetivosFundamentales, Contenidos Mínimos Obligatorios y Objetivos Fundamentales Transversales.

El propósito de esta nueva propuesta para el sector de Matemática es acercar a los y las estudianteshacia la comprensión del mundo natural y tecnológico, basándose en el conocimiento propor-cionado por la matemática.

Se pretende que todos los alumnos y alumnas logren, en su formación general, una educaciónmatemática básica que les entregue las herramientas que necesitan para responder y resolver situaciones provenientes de los más variados ámbitos (matemático, ciencias naturales, sociales, del

arte y tecnología).2

Esta perspectiva se expresa en los Objetivos Fundamentales y los ContenidosMínimos Obligatorios, orientados hacia un aprendizaje contextualizado del conocimientomatemático relevante para todos.

Presentación

1 Mineduc. Fundamentos del Ajuste Curricular en el sector de Matemática. Unidad de Currículum yEvaluación. Marzo, 2009.

2 Ídem.



| 5 |

En este contexto, el subsector de Matemática ha quedado estructurado en torno a cuatro ejes temáticos fundamentales y un eje transversal, estos son:

2. Evaluación permanente y explícitaEn los textos del proyecto Bicentenario, la evaluación se ha ido desarrollando en diversos momentosy con distintas intencionalidades a lo largo de cada una de las unidades, con el propósito de obtener

información sobre la calidad de los aprendizajes logrados. En este sentido, se incluyen evaluacionesdiagnóstica, formativa (Ejercicios resueltos, Preparando la PSU y Preparando el SIMCE) y sumativa.Cada evaluación cuenta con su correspondiente pauta de corrección, con indicadores, criterios y actividades remediales y de profundización, estas últimas permiten atender a la diversidad de estilos y ritmo de aprendizaje de los y las estudiantes.

Los tipos de evaluaciones que encontrará en el texto se detallan a continuación.

Evaluación diagnóstica. Se presenta al inicio de cada unidad para identificar los conocimientos previoscon los cuales los estudiantes se enfrentarán a los nuevos aprendizajes y permite detectar falencias quepudieran entorpecer el logro de aprendizajes más complejos. La intencionalidad de esta evaluación esde carácter formativa.Evaluación de proceso. Este tipo de evaluación se trabaja en las páginas de Ejercicios resueltos,Preparando el SIMCE y Preparando la PSU (incorpora autoevaluación), presentes en cada unidad y,dado su carácter formativo, permitirá al estudiante retroalimentar su desempeño y, al docente, realizar a tiempo las modificaciones necesarias para mejorar el logro de los aprendizajes.

Evaluación final. Su carácter es sumativo, pues entrega información acerca del nivel de logro alcanzadorespecto de los aprendizajes esperados al término de la unidad, dando la posibilidad de reforzar losaprendizajes más débiles. Además, presenta ejercicios de refuerzo y profundización, atendiendo a lasdistintas necesidades del grupo curso.

3. Innovación en el diseñoLa propuesta gráfica pone énfasis en los recursos gráficos, como infografías, ilustraciones, fotografías,esquemas, entre otros; con el propósito de apoyar la labor docente, al favorecer la construcción de

aprendizajes a partir de la comprensión visual.

4. Incorporación de las TICCon el objetivo de responder a la amplia gama de recursos tecnológicos y para atender la coberturade alfabetización digital, se han introducido nuevos métodos de enseñanza-aprendizaje que contemplanel uso de las TIC como instrumento cognitivo y para la realización de actividades interdisciplinarias y colaborativas.

Los recursos digitales que contempla el proyecto son tres discos compactos que contienen: el libro delalumno digital, videos tutoriales que muestran al docente cómo utilizar herramientas digitales y la guíadidáctica en formato PDF.

1. Números 2. Álgebra 3. Geometría 4. Datos y azar

Razonamiento matemático


http://slidepdf.com/reader/full/i-medio-matematica-2010-santillana-bicentenario-docente 6/152| 6 |Santillana Bicentenario

La Guía para el Profesor del texto Matemática 1, proyecto Bicentenario, es un material creado por

Editorial Santillana como apoyo al proceso de enseñanza y aprendizaje para el subsector de

Matemática. Esta guía incorpora material concreto de apoyo a la labor docente a través de diversos

elementos que se desarrollan en sus páginas.

A continuación encuentra un esquema de los distintos tipos de páginas y sus contenidos.

1. Páginas de inicio

2. Páginas de orientaciones didácticas

Organización de la Guía para el Profesor

Evaluación diagnóstica. Se

sugieren actividades de

reforzamiento o remediales

para los alumnos y alumnas

que no lograron el

aprendizaje deseado.

Se incluyen sugerencias para

trabajar las páginas de inicio

y orientaciones que ayuden

al docente a activar los

conocimientos previos,

motivar el trabajo de la

unidad y profundizar en

temáticas relevantes para lacomprensión de la unidad.

Presentación de la unidad.

Describe en un pequeño

párrafo el propósito de la

unidad.

Sugerencias metodológicas.

Para cada tema de la unidad

se plantean sugerencias

didácticas para que el

docente trabaje con sus

alumnos y alumnas. Estaspueden ser orientaciones

respecto del contenido,

actividades, preconceptos,

entre otros.


http://slidepdf.com/reader/full/i-medio-matematica-2010-santillana-bicentenario-docente 7/152| 7 |

Fichas de trabajo. Materialdidáctico con diferentesactividades y recursos deaprendizaje destinados areforzar y profundizar loscontenidos y habilidades trabajados en cada unidad.

Prueba de la unidad. A finde evaluar los aprendizajesalcanzados por susalumnos(as), le presentamosuna evaluación de términocon distintos tipos de ítemsy recursos, acordes con lashabilidades y contenidos trabajados en la unidad.

Además, se incluyenejercicios PSU relacionadoscon el tema tratado.

Solucionario. Incluye las

respuestas de todas lasfichas y evaluación incluidasen la Guía para el profesor.

Bibliografía. Corresponde a

un conjunto de sugerenciasde libros y sitios webs,relacionados con loscontenidos de la unidad y que pueden ser consultadospara incorporarlos al trabajocon los(as) estudiantes oprofundizar en el

conocimiento dedeterminados temas.

Sugerencias o remediales.Esta sección tiene comofinalidad profundizar enalgún tema desarrollado enla unidad o que loscomplementa.

Profundización de contenidos.

Contiene ejercicios tipo quepermiten profundizar enalgún tema desarrollado en launidad o que loscomplementa. Cada ejercicioviene con solución.

Ampliación de contenidos.Esta sección tiene comofinalidad complementar algún tema desarrollado enla unidad, a modo deprofundización. Como también, tratar algúncontenido no revisado en launidad en el cual el(la)docente sea quien decida,

según las necesidades de sugrupo curso, revisar conellos el contenido ampliado.


http://slidepdf.com/reader/full/i-medio-matematica-2010-santillana-bicentenario-docente 8/152| 8 |Santillana Bicentenario

En las páginas siguientes se exponen los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatoriospropuestos en el Ajuste Curricular, publicado en junio de 2009, correspondiente al subsector Matemática y su correspondencia con las unidades del Texto del estudiante.

Correspondencia del texto del alumno con el Ajuste Curricular

OBJETIVOS FUNDAMENTALES

UNIDADES TEXTO DEL ALUMNO

1 2 3 4 5 6 7

1. Comprender que los números racionales constituyen un conjunto numéricoen el que es posible resolver problemas que no tienen solución en losnúmeros enteros y caracterizarlos como aquellos que pueden expresarsecomo un cuociente de dos números enteros con divisor distinto de cero.

2. Representar números racionales en la recta numérica, usar la representacióndecimal y de fracción de un racional justificando la transformación de una enotra, aproximar números racionales, aplicar adiciones, sustracciones,multiplicaciones y divisiones con números racionales en situaciones diversas y demostrar algunas de sus propiedades.

3. Comprender el significado de potencias que tienen como base un númeroracional y exponente entero y utilizar sus propiedades.

4. Transformar expresiones algebraicas no fraccionarias utilizando diversasestrategias y utilizar las funciones lineales y afines como modelos desituaciones o fenómenos y representarlas gráficamente en forma manual ousando herramientas tecnológicas.

5. Identificar regularidades en la realización de transformaciones isométricas enel plano cartesiano, formular y verificar conjeturas respecto de los efectos dela aplicación de estas transformaciones sobre figuras geométricas.

6. Comprender los conceptos y propiedades de la composición de funciones y utilizarlos para resolver problemas relacionados con las transformacionesisométricas.

7. Conocer y utilizar conceptos y propiedades asociados al estudio de lacongruencia de figuras planas, para resolver problemas y demostrar propiedades.


http://slidepdf.com/reader/full/i-medio-matematica-2010-santillana-bicentenario-docente 9/152| 9 |


1 2 3 4 5 6 7

8. Interpretar y producir información, en contextos diversos, mediante gráficosque se obtienen desde tablas de frecuencia, cuyos datos están agrupados enintervalos.

9. Obtener la cardinalidad de espacios muestrales y eventos, en experimentos

aleatorios finitos, usando más de una estrategia y aplicarlo al cálculo deprobabilidades en diversas situaciones.

10. Comprender la relación que existe entre la media aritmética de unapoblación de tamaño finito y la media aritmética de las medias de muestrasde igual tamaño extraídas de dicha población.

11. Interpretar y producir información, en contextos diversos, mediante el uso

de medidas de posición y de tendencia central, aplicando criterios referidosal tipo de datos que se están utilizando.

12. Seleccionar la forma de obtener la probabilidad de un evento, ya sea enforma teórica o experimentalmente, dependiendo de las características delexperimento aleatorio.

13. Aplicar modelos lineales que representan la relación entre variables,

diferenciar entre verificación y demostración de propiedades y analizar estrategias de resolución de problemas de acuerdo con criterios definidos,para fundamentar opiniones y tomar decisiones.




CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS


1 2 3 4 5 6 7

1. Identificación de situaciones que muestran la necesidad de ampliar elconjunto de los números enteros al conjunto de los números racionalesy caracterización de estos últimos.

2. Representación de números racionales en la recta numérica, verificación

de la cerradura de la adición, sustracción, multiplicación y división en losracionales y verificación de la propiedad: “entre dos números racionalessiempre existe otro número racional”.

3. Justificación de la transformación de números decimales infinitos periódicosy semiperiódicos a fracción.

4. Sistematización de procedimientos de cálculo escrito y con ayuda deherramientas tecnológicas de adiciones, sustracciones, multiplicaciones y

divisiones con números racionales y su aplicación en la resolución deproblemas.

5. Aproximación de racionales a través del redondeo y truncamiento, y reconocimiento de las limitaciones de la calculadora para aproximar decimales.

6. Extensión de las propiedades de potencias al caso de base racional y exponente entero y aplicación de ellas en diferentes contextos.

7. Resolución de problemas en contextos diversos que involucran númerosracionales o potencias de base racional y exponente entero, enfatizandoel análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resultadosobtenidos.

8. Establecimiento de estrategias para transformar expresiones algebraicasno fraccionarias en otras equivalentes, mediante el uso de productosnotables y factorizaciones.

9. Resolución de problemas cuyo modelamiento involucre ecuacionesliterales de primer grado.

10. Análisis de las distintas representaciones de la función lineal, su aplicaciónen la resolución de diversas situaciones problema y su relación con laproporcionalidad directa.

11. Estudio de la composición de funciones, análisis de sus propiedades y aplicación a las transformaciones isométricas.

12. Uso de un software gráfico en la interpretación de la función afín, análisisde las situaciones que modela y estudio de las variaciones que seproducen por la modificación de sus parámetros.



| 11 |


1 2 3 4 5 6 7

13. Identificación del plano cartesiano y su uso para representar puntos y figurasgeométricas manualmente y haciendo uso de un procesador geométrico.

14. Notación y representación gráfica de vectores en el plano cartesiano y aplicaciónde la suma de vectores para describir traslaciones de figuras geométricas.

15. Formulación de conjeturas respecto de los efectos de la aplicación de traslaciones, reflexiones y rotaciones sobre figuras geométricas en el planocartesiano y verificación, en casos particulares, de dichas conjeturasmediante el uso de un procesador geométrico o manualmente.

16. Relación del concepto de congruencia de figuras planas con las transformaciones isométricas, formulación y verificación de conjeturas, encasos particulares, acerca de criterios de congruencia en triángulos y

utilización de estos criterios en la resolución de problemas y en lademostración de propiedades en polígonos.

17. Obtención de información a partir del análisis de los datos presentados enhistogramas, polígonos de frecuencia y de frecuencias acumuladas,considerando la interpretación de medidas de tendencia central y posición.

18. Organización y representación de datos, extraídos desde diversas fuentes,usando histogramas, polígonos de frecuencia y frecuencias acumuladas,

construidos manualmente y con herramientas tecnológicas.

19. Análisis de una muestra de datos agrupados en intervalos, mediante el cálculode medidas de tendencia central (media, moda y mediana) y medidas deposición (percentiles y cuartiles), en diversos contextos y situaciones.

20. Uso de técnicas combinatorias para resolver diversos problemas queinvolucren el cálculo de probabilidades.

21. Utilización y establecimiento de estrategias para determinar el número demuestras de un tamaño dado, que se puedan extraer desde una poblaciónde tamaño finito, con y sin reemplazo.

22. Formulación y verificación de conjeturas, en casos particulares, acerca de larelación que existe entre la media aritmética de una población de tamañofinito y la media aritmética de las medias de muestras de igual tamañoextraídas de dicha población, con y sin reemplazo.

23. Resolución de problemas en contextos de incerteza, aplicando el cálculode probabilidades mediante el modelo de Laplace o frecuencias relativas,dependiendo de las condiciones del problema.




Los Objetivos Fundamentales Transversales tienen un carácter comprensivo y general orientado aldesarrollo personal, a la conducta moral y social de los y las estudiantes, y deben ser desarrollados enlas diversas actividades a lo largo de todo el período de escolaridad.

Estos objetivos tienen por finalidad la formación de valores fundamentales, desarrollar habilidades paramanejar el “mundo digital”, para desenvolverse en él en forma competente, y desarrollar en los y lasestudiantes una actitud reflexiva y crítica, que les permita comprender y participar activamente, comociudadanos, en el cuidado y reforzamiento de la identidad nacional y la integración social, y en la

solución de los múltiples problemas que enfrenta la sociedad moderna.3

Objetivos Fundamentales Transversales

En el ámbito del crecimiento y la autoafirmación personal, se debe promover:UNIDADES TEXTO DEL ALUMNO

1 2 3 4 5 6 7

• El conocimiento de sí mismo, de las potencialidades y limitaciones decada uno.

• El interés por conocer la realidad y utilizar el conocimiento.

En el ámbito del desarrollo del pensamiento, se debe promover habilidades transversales:

• Las de investigación, que tienen relación con identificar, procesar y sintetizar información de una diversidad de fuentes; organizar información relevante acercade un tópico o problema; revisar planteamientos a la luz de nuevas evidencias y

perspectivas; suspender los juicios en ausencia de información suficiente.

• Las comunicativas, que se vinculan con exponer ideas, opiniones,convicciones, sentimientos y experiencias de manera coherente y fundamentada, haciendo uso de diversas y variadas formas de expresión.

• Las de resolución de problemas, que se ligan tanto con habilidades quecapacitan para el uso de herramientas y procedimientos basados en rutinas,como con la aplicación de principios, leyes generales, conceptos y criterios;

estas habilidades deben facilitar el abordar, de manera reflexiva y metódica y con una disposición crítica y autocrítica, tanto situaciones en el ámbito escolar como las vinculadas con la vida cotidiana a nivel familiar, social y laboral;

• Las de análisis, interpretación y síntesis de información y conocimiento,conducentes a que los alumnos y alumnas sean capaces de establecer relacionesentre los distintos sectores de aprendizaje; de comparar similitudes y diferencias;de entender el carácter sistémico de procesos y fenómenos; de diseñar, planificar

y realizar proyectos; de pensar, monitorear y evaluar el propio aprendizaje; demanejar la incertidumbre y adaptarse a los cambios en el conocimiento.

3 Ídem.



| 13 |

En el ámbito de la formación ética, se debe promover los siguientesaprendizajes:

• Valorar el carácter único de cada persona y, por lo tanto, la diversidad demodos de ser.

• Respetar y valorar las ideas y creencias distintas de las propias, en losespacios escolares, familiares y comunitarios, con sus profesores, familia y pares, reconociendo el diálogo como fuente permanente de humanización,de superación de diferencias y de acercamiento a la verdad.

En el ámbito de la persona y su entorno, se deben afianzar los siguientes

aprendizajes:• Reconocer la importancia del trabajo –manual e intelectual– como forma de

desarrollo personal, familiar, social y de contribución al bien común. Valorar la dignidad esencial de todo trabajo, y el valor eminente de la persona quelo realiza. Valorar sus procesos y resultados con criterios de satisfacciónpersonal y sentido de vida, calidad, productividad, innovación,responsabilidad social e impacto sobre el medio ambiente;

• Conocer y valorar los actores, la historia, las tradiciones, los símbolos, elpatrimonio territorial y cultural de la nación, en el contexto de un mundocrecientemente globalizado e interdependiente, comprendiendo la tensión y la complementariedad que existe entre ambos planos.

• Comprender y valorar la perseverancia, el rigor y el cumplimiento, por unlado, y la flexibilidad, la originalidad, la aceptación de consejos y críticas y elasumir riesgos, por el otro, como aspectos fundamentales en el desarrollo y la consumación exitosa de tareas y trabajos.

• Desarrollar la iniciativa personal, la creatividad, el trabajo en equipo, el espírituemprendedor y las relaciones basadas en la confianza mutua y responsable.

En el ámbito de tecnologías de información y comunicación, se debenpromover las siguientes habilidades:

• Buscar y acceder a información de diversas fuentes virtuales, incluyendo elacceso a la información de las organizaciones públicas.

• Utilizar aplicaciones para representar, analizar y modelar información y situaciones para comprender y/o resolver problemas.

• Hacer un uso consciente y responsable de las tecnologías de la informacióny la comunicación.




Históricamente, el estudio de los números nos sorprende por la amplia posibilidad de relacionar sus patrones y regularidades con múltiples situaciones y fenómenos cotidianos. Sin embargo, endeterminadas ocasiones es necesario ampliar los límites de cada conjunto numérico para modelar y representar matemáticamente estas situaciones y fenómenos. Así, surge la necesidad de trabajar con el conjunto de los números racionales y sus propiedades.

Antes de comenzar la unidad, es importante revisar el fichero que se encuentra al final del texto

del alumno, para evaluar si es necesario repasar contenidos previos.


Los fractales son figuras que presentan determinadas regularidades a distintas escalas producto deiteraciones de un proceso geométrico elemental.

La unidad se inicia con el fractal conocido como la alfombra de Sierpinski, el cual se va formando

con la división constante de un cuadrado que se divide en nueve partes iguales, pintando, en cadapaso, el cuadrado del centro y, fraccionando los cuadrados “del borde” en nueve partes igualesnuevamente, y así sucesivamente.

Presentación de la unidad

Páginas de inicio (Páginas 8 y 9)



| 15 |

Sugerencias para la actividad

La actividad propuesta se enfoca en el cálculo del área y el perímetro de las figuras que resultan en

cada paso de la formación de este fractal. La idea es determinar la multiplicación sucesiva de lamedida del lado de la figura inicial por una potencia cuya base corresponde a un número racional.Si a los alumnos(as) les dificulta poder encontrar la secuencia de formación de este fractal, sesugiere cambiar la medida del lado del cuadrado inicial por un número entero o natural. Luego, unavez encontrada la secuencia de formación, utilizar el número racional de la actividad y generalizar.

Un fractal de características similares en su construcción y resultados aritméticos es la curva deKoch, el cual puede trabajarse como una actividad alternativa o complementaria a la ya propuesta.

Para más información de este último fractal ingrese a las siguientes páginas web:• www.sectormatematica.cl/fractales.html• http://mosaic.uoc.edu/practicas/MatematicasII/asanchezfo_PAC1/fractales/web/fractales_koch.htm

UNIDAD 1 | Números racionales y potencias

Sugerencias o remediales

• Para el indicador Resolver problemas que involucren ordenar y operar con números decimales y

fracciones: es posible que en la resolución surjan dificultades de tipo conceptual. Se sugiere aldocente trabajar la operatoria con números decimales y fracciones, repasar conceptos deamplificación, simplificación y el cálculo del mínimo común múltiplo. Por otra parte, la recta

numérica puede ser utilizada como recurso gráfico para repasar el orden en los números y establecer las comparaciones pertinentes. Si existen dificultades en los ejercicios 7, 14 ó 15, enlos cuales se trabaja el concepto parte-todo, se sugiere realizar ejercicios que impliquen calcular “lo que sobra” o “lo que falta” de una cantidad con relación a una fracción.

• En el indicador Modelar situaciones a través de potencias y aplicar sus propiedades para el cálculo

de ellas: los ejercicios se pueden trabajar de manera alternativa mediante la relación entre elplegado en un papel y las regiones resultantes. Se sugiere también la representación medianteun diagrama de árbol para visualizar la extensión del resultado de una potencia de base natural.En lo que respecta a la operatoria, pueden utilizarse los paréntesis para determinar la prioridadentre las operaciones de multiplicación y de adición.

• Para el indicador Comprender el conjunto numérico de los números enteros y aplicarlo en la

resolución de problemas: recordar a los(as) alumnos(as) que el conjunto de los números enterospermite resolver ecuaciones que no tenían solución en los números naturales. Los conceptosde orden y valor absoluto pueden ser repasados utilizando la recta numérica. También esnecesario repasar la regla de los signos, para esto, se sugiere utilizar regularidades, por ejemplo:3 · 2; 3 · 1, 3 · 0, 3 · (–1), 3 · (–2), etc.

Evaluación diagnóstica (Páginas 10 y 11)




De acuerdo con el Ajuste Curricular aprobado, los(as) alumnos(as) comienzan a trabajar connúmeros decimales y fracciones a partir de 4° Básico: lectura y escritura de estos, las cuatrooperaciones aritméticas y la resolución de problemas. Así, estas páginas cumplen una doble misión:por un lado, pretenden organizar y esquematizar los distintos conjuntos numéricos que los(as)alumnos(as) han aprendido hasta este nivel; y por otro, entregar una definición formal del conjuntode los números racionales. Además, se hace mención de que existen números que no sonracionales, ya que los(as) alumnos(as) han tenido que trabajar con algunos de estos números,llamados irracionales.


• Al comenzar esta unidad, así como a lo largo de ella, los conjuntos numéricos y las operacionesbásicas entre ellos juegan un rol fundamental. Por lo tanto, se sugiere al docente estar atento aaquellas dificultades que los(as) alumnos(as) puedan presentar respecto a estos contenidos.

• Un posible error a considerar es que los(as) alumnos(as) crean que los números racionales solocorresponden a las fracciones, y que, por ejemplo, 0,15 no es un número racional sino unnúmero decimal. Frente a esto se sugiere al docente que, al momento de ejemplificar y en

especial cuando realice operaciones con números racionales, utilice variadas representaciones,ya sean con números enteros, fraccionarios o decimales, incluyendo los infinitos periódicos y semiperiódicos.

• Otro posible error tiene relación con la inclusión de los conjuntos numéricos. Para un(a)alumno(a) puede resultar obvio, por ejemplo, que si 2 es un número natural, no puede ser unnúmero entero ni mucho menos un número racional. Para aclarar esto, se sugiere al docenterealizar una tabla que, contenga, en la primera columna los diferentes conjuntos numéricos y enla primera fila, números a clasificar en los diferentes conjuntos que allí se proponen.

• Para un(a) alumno(a) puede resultar complejo entender por qué existen números que no son

racionales, ya que los números irracionales siempre se muestran utilizando aproximaciones, por

ejemplo: π ≈ 3,14 ó ≈ 1,41. Una propuesta para ayudar a disipar esta dificultad es preguntar

a los(as) estudiantes si conocen, o se les ocurre, alguna fracción cuyo cociente resulte

, para luego proponerles que comparen, con la calculadora, con la fracción . La

calculadora arrojará, para ambos números, el mismo resultado (hasta su décima cifra decimal).

Luego, indicarles que eleven al cuadrado esta fracción, para que verifiquen que el resultado noes 2. Así, con este ejemplo, se evidencian las restricciones de aproximación de la calculadora y,

por otra parte, se muestra que la forma exacta de expresar este irracional es simplemente .

Números racionales (Páginas 12 y 13)

Conjuntos numéricos

Naturales ()

Enteros ()

Racionales ()

; ; –5; 1,58; 3,67; 3; 0,0002; 01

25

2

2 2

2

941.664665.857



| 17 |


• Otra posible dificultad es que los(as) alumnos(as) no están acostumbrados a utilizar distintas

representaciones para un mismo número. Así, por ejemplo, un(a) alumno(a) puede considerar

que , que , o incluso que no es un número racional, pero que sí lo es 4 : 5,

ya que está representado como una división y resulta 0,8.

45

42

Ampliación de contenidos

Historia de los números racionales

Los egipcios (2700-2200 a. C.) trabajaban con fracciones, aunque las notaciones que tenían para ellaseran diferentes a las actuales. Los babilónicos utilizaban un sistema similar a la “notación decimal”, el

cual empleaban con efecto extraordinario en sus mediciones astrológicas. Esta civilización usaba en vez

de la “coma decimal” un “punto y coma (;)” que representaba una “coma sexagesimal”, es decir, los

valores escritos a la derecha de ella eran múltiplos de , etc. Por ejemplo, la lista de

números 12,59;57,17 equivale a , que es aprox. 779,955.

Como ya se mencionó, los babilónicos utilizaron estas notaciones con una gran precisión en laastronomía. Por ejemplo, calcularon que el período orbital de Marte (el tiempo que transcurre entrelas apariciones sucesivas del cuerpo celeste en la misma posición del cielo) era 12,59;57,17 días, esdecir, en nuestro sistema, aproximadamente 779,955 días. La cifra calculada actualmente correspondea 779,936 días.Mucho más tarde, en el siglo V a. C., los griegos, en particular los pitagóricos (seguidores de la

escuela de Pitágoras), descubrieron que, además de los números racionales, existía otro tipo denúmeros: los números irracionales. Para ellos no fue nada fácil aceptar este hecho, porquecontradecía sus más profundas creencias. La siguiente leyenda deja de manifiesto la trascendenciaque tuvo para los pitagóricos este acontecimiento.

“Los pitagóricos formaban una secta religiosa, en la cual uno de sus pilares más importantes era que

todo lo natural podía ser explicado en términos de números enteros o fraccionarios. Sin embargo, uno

de sus seguidores, Hipaso de Metaponto, descubrió que este enunciado era falso. En concreto, demostró

que la diagonal de un cuadrado de lado una unidad no es un número racional (lo que en tiemposcontemporáneos significaría afirmar que es irracional). Cuenta la leyenda que Hipaso cometió el error

de divulgar tal hecho justo cuando los pitagóricos atravesaban el Mediterráneo en barco, y sus

compañeros de culto quedaron tan irritados que decidieron arrojarlo por la borda y este se ahogó”.

Fuente: Stewart, I. Historia de las Matemáticas en los últimos 10.000 años. Barcelona, España, 2007.

4

, , 1

603

1

602

1

60

12 · 601

+ 59 · 600

+ 57 · + 17 ·

1

602

1

60

2




Representación fraccionaria de decimales infinitos periódicos y semiperiódicos (Páginas 14 y 15)

De acuerdo al Ajuste Curricular aprobado, los(as) alumnos(as) en 5º Básico comienzan a trabajar con transformaciones de fracciones a números decimales y recién en 1º Medio se trabaja con la justificación de procedimientos para transformar de decimales infinitos periódicos y semiperiódicosa fracción. Nuestro texto en 6º Básico, trata de forma algorítmica la transformación de decimalesinfinitos periódicos y semiperiódicos a fracción, pues en 1º Medio se pide por CMO la justificaciónde estos procedimientos, por tanto, en estas páginas se pretende justificar el algoritmo que se uti liza

para estas transformaciones.


• Puede ser una dificultad para los(as) estudiantes identificar la cantidad por la que se debe multiplicar a ambos lados de la ecuación correspondiente para eliminar el período del número decimal infinito,ya que depende precisamente de la cantidad de cifras que tenga el período, por lo que se sugiereal docente estar atento y ejercitar bastante en caso de presentar este tipo de errores.

• Es muy importante que los(as) alumnos(as) comprendan que la justificación del algoritmo permiteafirmar que cualquier decimal infinito periódico o semiperiódico es siempre un número racional.

Pitágoras y la música

Siguiendo con los números racionales y el mundo griego, Pitágoras realizó el siguiente experimento.

Tensó una cuerda musical que produjo un sonido cuyo tono tomó como base. Luego, marcó lacuerda de forma tal que la dividió en doce partes iguales. Al hacer vibrar la cuerda en su mitad, 6,

notó que se obtenía un sonido consonante con el anterior, es decir, que la cuerda original y la mitad

de esa cuerda producían un sonido armonioso al hacerlas vibrar juntas. Era, precisamente, lo que

hoy se conoce con el nombre de octava superior. Luego, tocó en el 9 (o sea, en las partes de

la longitud de la cuerda) y dio otro sonido consonante con los anteriores: era la cuarta superior.

De la misma forma, tocando en el 8 (es decir, en las partes de la cuerda) se obtiene la quinta

superior. Así, Pitágoras descubrió que estas fracciones de la cuerda original correspondían a los

sonidos consonantes fundamentales: octava, cuarta y quinta.

Los intervalos que se forman al dividir la cuerda de acuerdo a las proporciones señaladas recibenel nombre de octava, cuarta y quinta porque corresponden a esas notas en la escala pitagóricadiatónica (do, re, mi, fa, sol, la, si, do). Esto quiere decir que la cuerda con su longitud original

corresponde a la primera nota (do), al dividir la cuerda en la mitad se obtiene la octava nota (do),al dividirla en las tres cuartas partes se obtiene la cuarta nota (fa), mientras que al dividirla en lasdos tercias partes se obtiene la quinta nota (sol).

Fuente: www.anarkasis.com/pitagoras

3

4

23



| 19 |


De acuerdo al Ajuste Curricular aprobado, los(as) alumnos(as) en 5º Básico han comparadonúmeros decimales y fracciones y los han ubicado en la recta numérica. En estas páginas sepretende que los(as) estudiantes comparen números racionales que no necesariamente estánrepresentados de la misma forma (fraccionaria o decimal) y que los ubiquen, indistintamente de surepresentación, en la recta numérica.


• La representación en la recta numérica puede ser una ayuda para establecer relaciones deequivalencia entre algunas representaciones de números racionales, como por ejemplo, 0,25 y .

• Se sugiere al docente explicar a los(as) estudiantes que, por ejemplo, si bien los números ,

y 0,4 son equivalentes, para representar la fracción es mejor utilizar su expresión

irreductible.

• Al comparar números racionales en su representación decimal, a veces los(as) alumnos(as) seequivocan al establecer el orden, debido a errores conceptuales respecto del valor posicionalde las cifras. Así, por ejemplo, si se le pide a un(a) alumno(a) que compare los números 0,128

y 0,4, puede llegar a la conclusión de que 0,128 > 0,4, porque 128 > 4.

Orden y ubicación en la recta numérica (Página 16)


• Al momento de trabajar la propiedad de clausura de los números racionales, se sugiere recurrir a los conocimientos previos de los(as) alumnos(as) y mostrar lo que sucede en otros conjuntosnuméricos con las cuatro operaciones aritméticas básicas.

• Es posible que los(as) estudiantes se confundan con la propiedad de densidad de los númerosracionales, ya que al aceptar que entre dos números racionales cualesquiera existen infinitos

números racionales, concluyan que la recta numérica “se completa”, imposibilitando de estaforma la existencia de los números irracionales. Por lo tanto, se sugiere al docente señalar alos(as) alumnos(as) que la recta numérica no “se completa” solo con los números racionales.

• La densidad de los números racionales puede ser utilizada para mostrar a los(as) alumnos(as),que, por ejemplo, 0,9 = 1. En efecto, si estos dos números racionales fuesen distintos, por lapropiedad de densidad de los números racionales existirían infinitos números racionales entreellos, mayores que 0,9 y menores que 1, lo cual es imposible.

Clausura y densidad (Página 17)

1

4

2

540

10040

100





Cerradura de un conjunto con respecto a una operación

Definición: Dada la operación Φ, se dice que un conjunto numérico A es cerrado con respecto aΦ si para todo par de elementos a, b ∈ A se tiene que a Φ b ∈A.

Para efectos prácticos, se consideraran los conjuntos numéricos de los naturales (), enteros ()

y racionales ().

Ejemplos

1. , y son conjuntos numéricos cerrados con respecto a la adición, ya que por ejemplo, alsumar dos números naturales su resultado también es un número natural, así como también al

sumar dos números enteros o dos números racionales.2. Solo y son conjuntos numéricos cerrados con respecto a la sustracción, pues en los

naturales, por ejemplo, al sustraer 5 – 8 no resulta un número natural.

Ejercicios

Determina si , o son conjuntos numéricos cerrados con respecto a las siguientes operaciones.

1. La multiplicación.

Respuesta: , y son conjuntos cerrados con respecto a esta operación.

2. La división.Respuesta: solo es cerrado con respecto a esta operación.

3. Se define la operación ∆ como a ∆ b = a · (a + b).

Respuesta: , y son conjuntos cerrados con respecto a esta operación.

4. Se define la operación Ω, donde a Ω b = π + (a · b).Respuesta: , y no son conjuntos cerrados con respecto a esta operación.

Paradoja de Zenón

En la antigüedad, la civilización griega tenía una especial fascinación e interés por la comprensión científica,no tan solo de las figuras geométricas (en especial triángulos y círculos), sino que de todo el cosmos.Uno de sus mayores representantes fue Zenón, quien se caracterizó por hacer descubrimientos quedejaban perplejos a sus contemporáneos; muchos de ellos se conocen actualmente como paradojas.

Zenón estaba fascinado con la idea del infinito, la cual expresa a través de la siguiente paradoja, queguarda estrecha relación con la densidad de los números racionales.

Paradoja

“Zenón confundió en gran manera a sus colegas pensadores al señalar que el heroico Aquiles, por más

aprisa que corriera, no podría alcanzar a una tortuga con una ventaja inicial, puesto que, por ejemplo,

si a la tortuga se le da una ventaja inicial de diez metros, cuando Aquiles haya avanzado esa distancia,

la tortuga también habrá avanzado una distancia, por ejemplo, un décimo de la distancia recorrida por

Aquiles. Luego, cuando Aquiles se desplace hasta llegar al lugar en donde se encontraba la tortuga, esta

nuevamente habrá avanzado una distancia, colocándose adelante del héroe griego. Así, por muy

pequeña que sea la distancia, siempre se mantendrá la tortuga por delante de Aquiles.



| 21 |


En este apartado se pretende mostrar a los(as) estudiantes que tanto la adición como lamultiplicación cumplen con ciertas propiedades fundamentales, no así la sustracción y la división.Para que los alumnos comprendan el real sentido de las propiedades, puede mostrar como enotras operaciones que no es posible llegar inmediatamente a la conclusión correcta.


• Es importante que los(as) alumnos(as) entiendan que la aplicación de las propiedades de laadición y multiplicación constituyen una estrategia para resolver problemas y que no lasconsideren solo como “propiedades que se cumplen” sin darle un sentido de aplicación en laresolución de problemas. Por lo tanto, es fundamental que los(as) estudiantes comprueben quedichas propiedades no se cumplen con cualquier operación y que es esta la razón por la quemerecen una distinción especial. Se sugiere discutir con los(as) alumnos(as) la veracidad dedichas propiedades con las operaciones de sustracción y división.

• A modo de motivación, se sugiere comentar a los(as) alumnos(as) que existen estudios

matemáticos, en especial en el ámbito del álgebra, en donde se intenta trabajar con conjuntosde elementos que cumplen estas propiedades (cuerpos) o algunas de ellas (anillos o grupos).

Por supuesto que en la realidad, Aquiles –o la gran mayoría de las personas– alcanzaría y pasaría a la

tortuga en algún momento de la carrera. La respuesta a esta paradoja, y que está fuertemente ligada

a la propiedad de densidad de los números racionales, queda resuelta con la pregunta que se hizo

Zenón: ¿cómo es posible para un punto en movimiento pasar a través de un número infinito de

posiciones en un tiempo finito?”.

Fuente: Bergamini, D. Matemáticas. México D. F. México, 1965.

Propiedades de las operaciones con números racionales (Páginas 20 y 21)

Estas páginas tienen como finalidad que los(as) estudiantes refuercen, sistematicen y potencien sus

procedimientos para el cálculo con números racionales. Además, que consideren la operatoria conestos números como una forma de modelar y resolver situaciones contextualizadas, razón por lacual se presentan algunos ejemplos que dan cuenta de ello.


• La operatoria con números racionales muchas veces constituye una gran dificultad, tanto en estenivel como en estudios posteriores de álgebra, geometría, cálculo, entre otros. Por esta razón,

se sugiere al docente estar atento a los posibles errores que los(as) alumnos(as) puedanpresentar en este tema.

Operatoria con números racionales (Páginas 22 y 23)




• Al enfocar el contenido desde la resolución de problemas, no solo es importante estar atentoa la forma en que los(as) estudiantes efectúan los cálculos sino que también la manera en quese plantean la situación problema. Es probable que algunos(as) logren dar con la respuesta, pero

no sepan explicar matemáticamente como llegaron al resultado; también es posible quealgunos(as) no logren plantear el problema en cuestión. Frente a esto, se sugiere al docentediscutir en conjunto con los(as) alumnos(as) la forma más conveniente de abordar el problema,sistematizando la manera de resolverlo, es decir, identificando el problema, los datos y luego lospasos a seguir en la operatoria.

• Respecto al orden de las operaciones, cuando estas son solo multiplicaciones y divisiones o solo

adiciones y sustracciones, un posible error de los(as) alumnos(as) es no operar de izquierda a

derecha. Así, por ejemplo, al resolver 8 : 2 · 3, pueden realizar (8 : 2) · 3 = 12 ó 8 : (2 · 3) = ,llegando a dos resultados diferentes al efectuar la multiplicación y la división en cualquier orden.

• Otra posible dificultad se les puede presentar al sumar o restar una fracción con 1 ó 0. Por

ejemplo, 1 + , ya que al obtener el mcm de los denominadores no consideran el 1 como un

número racional equivalente a .

• Al operar con números racionales, las fracciones irreductibles son fundamentales para optimizar tiempos y simplificar cálculos; sin embargo, muchas veces esto no es considerado por los(as)

alumnos(as). Por esta razón, se sugiere al docente señalar a los(as) estudiantes la importanciade simplificar las fracciones antes de operar con ellas. Además, cuando se opera con númerosdecimales y fracciones, no siempre conviene transformar la fracción a decimal, o viceversa; estono lo tienen muy claro los(as) alumnos(as), y probablemente tratan de mecanizar un algoritmoque les sirva para todos los ejercicios. Así, la intervención del docente en este punto vuelve aser crucial, por lo que se sugiere hacer notar estas diferencias con ejemplos que evidencien laconveniencia de una u otra conversión.

En estas páginas nuevamente se trabajan los números racionales en un contexto de aplicación,enfatizando la interpretación de los resultados obtenidos de acuerdo al contexto. Así, losprincipales contenidos a tratar corresponden a la aproximación por redondeo y por truncamiento.


• Es importante que el(la) alumno(a) comprenda que el tipo de aproximación que se utilicedepende del contexto en que esté planteado el problema. Se sugiere al docente que utiliceejemplos en que se apliquen porcentajes o promedios, ya que las aproximaciones variarán enfunción de dar una solución atingente al problema.

Resolución de problemas con números racionales (Páginas 26 y 27)

4

3

2

13 13

13



| 23 |


En estas páginas se retoma la definición de potencias, ya conocida por los alumnos(as), ampliandolaa potencias de base racional y exponente entero. Se propone abordar este tema a partir de lasregularidades y, a través de ello, lograr la generalización.


• Como las potencias con exponentes negativos no se pueden interpretar de la misma maneraque las de exponente natural, es importante señalar a los(as) alumnos(as) las ventajas de usar esta notación. Por ejemplo:

– para trabajar con bases más pequeñas y simples.

Ejemplo: 2 –2 en vez de .

– Extender las propiedades de las potencias que antes no tenían sentido.

Ejemplo: 34

: 36

= 3 –2

– Aplicar propiedades de potencias de igual base, etc.

• Un error clásico al trabajar con potencias de exponente negativo es “traspasar” el signo delexponente a la base, por ejemplo, (0,27)

–3= (–0,27)

3. Por lo tanto, es muy importante que

el(la) docente enfatice que el signo menos en el exponente de una potencia corresponde a unanotación y no tiene relación con el signo de la base.

• Una de las propiedades que los(as) alumnos(as) suelen olvidar es . Para reforzarla se sugiere

proponerles ejercicios que involucren cantidades muy grandes o con muchos decimales o con

varias expresiones algebraicas, elevadas a 0, y que puedan constatar lo práctico que es utilizar

esta propiedad.

• Respecto al punto anterior, es importante recalcar que dicha propiedad es válida para todos losnúmeros racionales, excepto para el 0. Se sugiere discutir con los(as) alumnos(as) lasconsecuencias de que esta propiedad fuese válida también para este racional.

Ejemplo

Revisar con los(as) alumnos(as) una forma de verificar algebraicamente esta propiedad.

40

= 41 – 1

= = 1 Por tanto, 40

= 1

00

= 01 – 1

= Esto carece de sentido.

Esta división es equivalente a preguntarse por un número que multiplicado por 0 dé comoresultado 0, pregunta que tiene infinitas respuestas.

4

4

Potencias de base racional y exponente entero (Páginas 30 y 31)

2

1

2

0a

b

0

0




De acuerdo al Ajuste Curricular aprobado, se espera que los(as) alumnos(as) apliquen laspropiedades de las potencias de base entera y exponente natural a potencias de base racional y exponente entero. Por lo tanto, en estas páginas se busca reforzar las propiedades de las potenciascon base racional, además de extenderlas y generalizarlas para potencias de base racional y exponente entero.


• Se sugiere al docente justificar las propiedades de las potencias mediante ejemplos numéricos,para una mejor comprensión de los(as) alumnos(as).

Ejemplo

Para la propiedad ar

· as

= ar + s

, se puede mostrar que:

• Al simplificar expresiones utilizando propiedades de las potencias, se pueden presentar dificultades, ya que los(as) alumnos(as) tienden a desarrollar las potencias en vez de aplicar laspropiedades respectivas, no considerando el tiempo invertido en ello, y que existe mayor probabilidad de cometer errores. Se sugiere al docente señalar la importancia práctica que tieneutilizar las potencias y sus propiedades cuando se trabaja con cantidades grandes o con númeroscon muchas cifras que dificultan el cálculo.

A continuación se presentan dos fichas de reforzamiento (ficha n° 1 y ficha n° 2) con el propósito de

apoyar a los(as) estudiantes en el aprendizaje de los números racionales, especialmente a aquellos(as)cuyos rendimientos sean insatisfactorios o bien presenten mayores dificultades. Los problemas estánbasados en las actividades propuestas en el texto del estudiante. Luego, se presentan dos fichas deprofundización (ficha n° 3 y ficha n° 4) que buscan ahondar en los aprendizajes y contenidosevaluados en esta unidad. Por esta razón, se recomienda trabajarlas con los(as) alumnos(as) cuyosresultados fueron satisfactorios y lograron obtener todas sus respuestas correctas, sin excluir aaquellos que por interés quieran conocer otras aplicaciones de este contenido.

Propiedades de las potencias (Páginas 32 y 33)

3

· 4

= · · · · · · = 7

= 3 + 42

323

23

23

23

23

23

23

23

23

23



| 25 |





Ficha de trabajo nº 1 Reforzamiento Unidad 1

NOMBRE: CURSO: FECHA:

U n i d a d

1

Objetivos:Reforzar las propiedades de clausura y densidad de los racionales y el cálculo de adiciones y multiplicaciones.

Sean P y Q dos números racionales. Encuentra 5 números racionales A, B, C, D y E tales que se cumpla la siguiente condición:

P < A < B < C < D < E < Q

y, que al ubicarlos en la recta numérica la distancia entre cada par sucesivo sea la misma en cualquiera de los casos.

P A B C D E Q

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

1 3 513

3

11

3

7

3

5

3

Por ejemplo, para P = 1 y Q = 5, se tiene que: A = , B = , C = 3, D = , E = . Para cada par sucesivo de números la

distancia es .2

3

13

3

11

3

7

3

5

3

Encuentra A, B, C, D, y E para los siguientes valores de P y Q.

1. P = 3 y Q = 12 2. P = y Q =83

43

3. P = – y Q =73

23



| 27 |

A =

1;

–2;

2;

–1;

–2

y B =

0;

–1;

1;

–2;

2

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

1

4

1

3

1

3

1

2

1

2



Objetivos:Establecer la relación de orden en potencias de base racional y exponente entero.

U n i d a d

1

Según los conjuntos A y B, responde.

1. Ordena los elementos de cada conjunto de menor a mayor.

2. Ordena los elementos de ambos conjuntos de menor a mayor.

3. Ubica los elementos de ambos conjuntos en una recta numérica.





U n i d a d

1

Objetivos:Comparar fracciones y analizar las restricciones de la calculadora.

Lee con atención las siguientes proposiciones y responde.

1. ¿Las fracciones y son iguales?

¿Qué puedes concluir al usar una calculadora para verificar esta condición? Justifica la respuesta.

84.325

5.831.760

27.457

1.898.875

2. ¿La expresión es igual a ?

Utiliza una calculadora para verificar qué resultados se obtienen en ambos casos. Justifica tu respuesta.

2941.664

665.857

Ficha de trabajo nº 3 Profundización Unidad 1



| 29 |

Ficha de trabajo nº 4


Objetivos:Aproximar un número irracional mediante números racionales, utilizando potencias de base racional y exponenteentero.

U n i d a d

1

Lee con atención y, luego, responde.

es un número irracional, es decir, no puede representarse como fracción. Si este número,

≈ 1,4142135623730950488016887242097 se trunca, por ejemplo, a 3 decimales, se tiene que ≈ 1,414.

Sin utilizar la calculadora, ¿cómo puedes obtener un valor aproximado de ?

Por la aproximación anterior se tiene que 1 < < 2

Al elevar al cuadrado nos queda que 1 < 2 < 4

Si se quiere aproximar esta cifra con un decimal, se consideran valores entre 1 y 2 (con un decimal) y se elevan al cuadrado.

Según estos cálculos, se ubica entre los números 1,4 y 1,5, es decir, 1,4 < < 1,5.

Para aproximar con 2 cifras de precisión, se consideran los números entre 1,4 y 1,5 con 2 decimales. Así, se tiene que:

Lo que implica que: (1,41)2

< 2 < (1,42)2, con lo cual, 1,41 < < 1,42.

Si se itera el proceso, se encontrará una aproximación más precisa de este número, pero considerando que el proceso esinfinito, ya que es un irracional.

Análogamente, para encontrar 3 cifras de exactitud, se consideran los decimales entre 1,41 y 1,42 con 3 decimales, así se tiene que:

Lo que implica que: (1,414)2

< 2 < (1,415)2, con lo cual, 1,414 < < 1,415.

Siguiendo el mismo procedimiento, aproxima:

1. el valor de con tres decimales de exactitud. 2. el valor de con tres decimales de exactitud.

2

2

2

22

2

2

22

2

Profundización Unidad 1

(1,1)2 = 1,21 (1,2)2 = 1,44 (1,3)2 = 1,69

(1,41)2 = 1,9881 (1,42)2 = 2,0164

(1,4)2 = 1,96 (1,5)2 = 2,25

(1,411)2 = 1,990921 (1,412)2 = 1,993744 (1,413)2 = 1,996569 (1,414)2 = 1,999396 (1,415)2 = 2,002225

3 5





U n i d a d

1

Evaluación de la unidad 1

Marca la alternativa correcta de cada una de las siguientes preguntas.

1. ¿Cuál o cuáles de los siguientes números no sonracionales?

I. II. III. π IV. 1,06

A. I y III D. II y III

B. II y IV E. I, III y IVC. I y IV

2. ¿Cuál de las siguientes sucesiones está ordenada demenor a mayor?

A. – ; ; 0,3; D. – ; ; ; 0,3

B. – ; 0,3; ; E. ; 0,3; ; –

C. ; ; 0,3; –

3. La representación decimal de – corresponde a:

A. –1,23 C. –0,43 E. 0,43

B. –0,43 D. 1,23

4. ¿Cuál de las siguientes representaciones corresponde aun número racional?

A. 6 + 4 : (3,4 – 1,2)

B. (π)5 + – 8,37

C. (–1,2)5 + 7 – 2,412

D. 6 – (3,3) –4 ·

E. –0,43 + 5,5 · 2 – (3)3 + π

5. La expresión (0,3)2 es equivalente a:

A. 0,9 D. 0,1B. 0,9 E. No se puede determinar.C. 1

6. La representación fraccionaria de 1,3426 es:

A. D.

B. E.

C.

7. Si N M = NM – N, el valor que falta (x) para quela expresión n x = n sea válida es:

A. –2 D. 1B. –1 E. 2C. 0

8. Un cordel se corta en cuatro partes. La primera

corresponde a del total, la segunda a del total y

la tercera a del total. Si quedan 80 cm, ¿cuál era el

largo del cordel?

A. Casi 360 cm. D. 1,8 mB. 3,2 m E. Otro valor.C. 2,7 m

6.6464.995

3.3232.475

6.6462.250

3.3232.250

3.3239.900

4

6

34

7

5

6

2

5

220

13

12

220

13

12

12

13

220

13

12

220

12

13

220

5

3

π

2

2

15

2

9

15

9



| 31 |

U n i d a d

1

9. El resultado de la expresión es:

A. –

B.

C.

D. –

E. Ninguna de las anteriores.

10. El resultado de la expresión es:

A. 1,1 D. –0,2B. 5,77 E. 5,7C. 4,4

11. Al aproximar por truncamiento y redondeo a la

centésima, respectivamente, resulta:

A. 0,93 y 0,94B. 0,94 y 0,93C. 0,93 y 0,93D. 0,94 y 0,94E. 0,93 y 0,92

12. ¿Qué nota necesito obtener como mínimo en la tercera prueba para que el promedio sea 5,45 si en lasdos pruebas anteriores mis notas fueron 3,5 y 7,0?

A. 5,0B. 5,7C. 5,8

D. 5,9E. 6,0

13. El resultado de corresponde a:

A. 1 D. 1,6B. 2 E. 2,5C. 0,5

14. Al truncar a la milésima la expresión , el resultadoes:

A. 15,630B. 15,626C. 15,635D. 15,625E. Ninguna de las anteriores.

15. La expresión equivale a:

A. D.

B. E. Otro valor.

C.

16. El valor de x que cumple con la igualdad

es:

A. –1 D. –2

B. E. 2

C. 1

12

23

2

3

13

13

–1 + – 0,33

4

2 – 0,25

1 – 1

2

–1 – 1 –1 – 1

2,7 + – 3,5· 1

2,5 – 4

4

6

15

16

–3

25

–183

5 23

5

183

5

–23

5

6

· 3

· 2

· 52

5

3

2

2

5

3

2

–12

· –12

· 23

5

6

8

4

5

(–3)2

x

4

= 81




U n i d a d

1

Solucionario

Ficha de reforzamiento nº 1

1. P = 3; A = ; B = 6; C = ; D = 9; E = ; Q = 12; la distancia entre cada par de números es .

2. P = ; A = ; B = ; C = 2; D = ; E = ; Q = = ; la distancia entre cada par de números es .

3. P = – ; A = – ; B = ; C = ; D = ; E = ; Q = ; la distancia entre cada par de números es .1

2

73

116

43

56

13

16

23

2

9

83

249

229

209

169

149

43

3

2

21

2

15

2

9

2


1. Los conjuntos ordenados de menor a mayor corresponden a:

2. Ambos conjuntos ordenados de menor a mayor corresponden a:

3. La ubicación de ambos conjuntos en la recta numérica es la siguiente:

Ficha de profundización nº 3

1. Las fracciones no son iguales, pero al resolverlas con la calculadora, se obtienen los mismos resultados, 0,0144596142,

debido a la aproximación que la calculadora realiza, ya que no tiene el espacio suficiente para poner más cifras decimales.Para comparar las fracciones sin calcular el cociente que nos induce a error, es conveniente multiplicar cruzado, donde sí seobtiene que los resultados son diferentes: 160.122.634.320 y 160.122.634.375.

2. Nuevamente, las restricciones de la calculadora nos inducen a error, ya que la aproximación que realiza nos entrega

resultados iguales. En este caso, para responder la pregunta se debe tener en cuenta que no es un número racional, por

lo que no es posible escribirlo como fracción, por lo tanto, ambas representaciones no pueden ser iguales.

A = 2

; 1

; –1

; –2

; –2

y B = 2

; 1

; 0

; –1

; –2

23

23

23

23

23

14

12

13

12

13

A B = 2

; 2

; 1

; 1

; 0

; –1

; –2

; –1

; –2

; –2

14

12

13

23

23

23

23

12

23

13

2


1. 1,732 < < 1,733 2. 2,236 < < 2,23753

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

–2

12

94

–113

–1

23

0

23

23

49

19

12

–2

14



| 33 |

Bibliografía

U n i d a d

1

Evaluación de la unidad

1. A 9. A2. B 10. E3. B 11. A4. C 12. D5. D 13. B6. E 14. D7. E 15. B8. D 16. B

• Bergamini, D. Matemáticas. Colección Científica de Life en español, México, 1965.

• De Guzmán, M., Cólera, J., Salvador, A. Matemáticas Bachillerato 1. Grupo Anaya, Madrid, 1987.

• Hanouch, B., Choquer–Raoult, A., Cocault, M. Maths repères premier S. Hachete Éducation, París, 2005.

• Ministerio de Educación, Ajuste Curricular Aprobado, Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios,

Matemática, junio 2009.

• Stewart, I. Historia de las Matemáticas en los últimos 10.000 años. Barcelona, 2007.

Sitios webs

• Hachette Education: www.hachette–education.com

• Éditions du Kangourou: www.mathkang.org

• Ministerio de Educación: www.mineduc.cl

• Sector matemática: www.sectormatematica.cl

• Educarchile: www.educarchile.cl




Esta unidad tiene por objetivo que los(as) alumnos(as) modelen y resuelvan, mediante el lenguajealgebraico, situaciones problemas de diversa complejidad, dominen la operatoria algebraica, enparticular la multiplicativa, y sus aplicaciones.

Antes de comenzar la unidad, es importante revisar el fichero que se encuentra al final del textodel alumno, para evaluar si es necesario repasar contenidos previos.


La actividad de inicio tiene el propósito de que los(as) estudiantes reconozcan medidas expresadas enforma algebraica, reduzcan términos semejantes (contenidos trabajados en 7º Año Básico) y asocien elproducto de estas expresiones con el área de un rectángulo. Esta actividad tiene también por objetivofacilitar la comprensión de la multiplicación de binomios, apoyándose en representaciones geométricas.





| 35 |

UNIDAD 2 | Factores y productos


• Para superar algunos errores relacionados con el indicador Traducir del lenguaje natural al

lenguaje algebraico: se propone utilizar regularidades numéricas simples, incluyendo primero unaoperación y luego combinando dos o más. La valorización de expresiones algebraicas tambiénes un recurso para aquellos estudiantes que presentan dificultades al identificar la expresióncorrespondiente a un enunciado. Por otra parte, al traducir frases del lenguaje natural al lenguajealgebraico se recomienda comenzar con situaciones que involucren una operación, y luego,incluir más operaciones, aumentando la dificultad.

• Si los(as) alumnos(as) presentan problemas con el indicador Valorizar expresiones algebraicas: sesugiere realizar ejercicios en donde la valorización sea, en primer lugar, con números naturales,luego con números enteros negativos y, por último, con números racionales.

• Para facilitar el aprendizaje del indicador Modelar situaciones utilizando lenguaje algebraico: realizar ejercicios de sucesiones sencillas (números pares, múltiplos de números naturales, etc.) endonde se deba encontrar el término general, para luego abordar progresiones aritméticas y geométricas.

• Frecuentemente se presentan dudas relacionadas con el indicador Plantear y resolver ecuaciones

de primer grado con una incógnita reduciendo términos semejantes: estas son, esencialmente, deplanteamiento y de operatoria algebraica. Para los errores de planteamiento se recomiendan lasmismas sugerencias y remediales dados para el primer indicador. En el caso de la resolución deecuaciones y la correspondiente operatoria algebraica, la justificación de los pasos realizados alresolver una ecuación puede ser de gran ayuda para que los(as) alumnos(as) superen sus errores.


De acuerdo con el Marco Curricular aprobado, los(as) alumnos(as) aprenden las primeras nocionesalgebraicas en 5° y 6° Básico, en donde traducen expresiones del lenguaje natural al lenguajealgebraico, y viceversa, junto con plantear y resolver ecuaciones. Por tanto, estas páginas tienen por objetivo recordar las características de un término algebraico y abordar este lenguaje desde sunomenclatura, trabajando la identificación y clasificación de expresiones algebraicas.


• El desarrollo del lenguaje algebraico es bastante actual; por eso, interesa que los(as) estudiantespuedan dimensionar lo difícil que les resultaba a los matemáticos antiguos modelar algunosproblemas. Se sugiere al docente compartir con los(as) estudiantes los datos entregados en lasección Ampliación de contenidos.

• Para la clasificación de expresiones algebraicas, insista a los(as) estudiantes en que primero

reduzcan términos semejantes y luego clasifiquen la expresión.

Lenguaje algebraico (Páginas 46 y 47)





Los babilonios y la ecuación de segundo grado

Los babilonios utilizaban, en lugar de papel, bloques de arcilla en los que dibujaban y escribían,desechándolos posteriormente. Sin embargo, debido al calor o la acción del fuego, muy pocas tablillas se han podido conservar hasta hoy. Para fortuna de los investigadores, en algunas de estasse plantean problemas sobre cantidades desconocidas y los métodos para encontrarlas. Un ejemplointeresante es la resolución de lo que hoy se conoce como ecuación de segundo grado. Unproblema tomado de la tablilla BM 13901 plantea:

“He sumado siete veces el lado de mi cuadrado y once veces el área, obteniendo 6;15” (aquí

6;15 está escrito en notación sexagesimal y significa 6 más , es decir, 6 en la notación actual).Dado que los babilonios no contaban con un lenguaje algebraico que les permitiera generalizar losresultados que obtenían, solo daban solución al problema planteado señalando los pasos quehabían seguido. Para el ejemplo anterior, los babilonios proponían lo siguiente:

“Escribe 7 y 11. Multiplica 6;15 por 11, obteniendo 1,8;45. Divide 7 por la mitad, obteniendo 3;30 y 3;30.

Multiplica, obteniendo 12;15 (esto es 3,30 · 3,30 ). Suma esto a 1,8;45, obteniendo resultado 1,21. Esto

es el cuadrado de 9. Resta 3;30, que multiplicaste, de 9. Resultado 5;30. El recíproco de 11 no puede

encontrarse. ¿Pero, qué debo multiplicar por 11 para obtener 5;30? 0;30, el lado del cuadrado es 0;30”.

Por no contar con un lenguaje algebraico formal, era tarea del estudiante generalizar la soluciónobtenida y aplicarla a otro tipo de ecuación.


Si ahora se utiliza el lenguaje algebraico actual para describir el problema anterior y su solución, se tiene que:

a = 11, b = 7, c = 6;15 = 6 , por lo que la ecuación toma la forma: ax2 + bx = c, para aquellos

valores de a, b y c.

Para deducir el valor de x, la solución babilónica dice lo siguiente:

1° Multiplicar c por a, lo que da ac.

2° Dividir b por 2, lo que da .

4º Sumar lo anterior a ac, obteniendo ac + .

5º Tomar su raíz cuadrada, es decir, .

6º Restar a lo anterior , obteniendo .b

2

b2

4

b

2

1

4

1

4

15

60

3° Elevar al cuadrado, obteniendo .b2

4

b

2

acb

+

2

4

acb b

+ −

2

4 2



| 37 |


7º Dividir en a, obteniendo así que x = , que es equivalente a la fórmula que se

usa en la actualidad para resolver una ecuación de segundo grado.

Tartaglia y la ecuación cúbica

En épocas pasadas, los matemáticos recurrían a diversas notaciones y formas de expresarse, paracomunicar los resultados obtenidos. Un ejemplo es el propuesto por Tartaglia para resolver ecuaciones de tercer grado. En el siglo XVI, dos matemáticos –Tartaglia y Fiore– se trenzaron enun duelo que consistía en resolver treinta problemas relacionados con la ecuación de tercer grado,ya que el primero aseguraba que tenía un método para resolverlas y el segundo acusaba a Tartagliade impostor. Ambos apostaron su dinero y el plazo máximo para resolverlos era de cuarenta días.Finalmente, Tartaglia ganó el duelo, resolviéndolos en solo dos horas.Para resumir sus técnicas, Tartaglia redactó los siguientes versos:

“Cuando el cubo con la cosa cerca, se iguala a cualquier número discreto, se encuentran dos, diferentes

en eso. Después tendrás esto por norma: que su producto sea siempre igual al tercio cubo de la cosa

limpia. El resto general de los lados del cubo bien restados será tu cosa principal”.

Fuente: Vera, F. 20 Matemáticos Célebres. Buenos Aires, Argentina, 1959.

Se pueden interpretar los versos de Tartaglia de la siguiente manera:

Pese a las diferencias con los métodos actuales, hay un notorio avance con respecto a losbabilonios, pues Tartaglia sí entrega una fórmula de resolución general y no solo un caso particular.

acb b

a

+ −

2

4 2

“Cuando el cubo con la cosa cerca,

se iguala a cualquier número discreto,

El cubo: x3

La cosa “cerca”: px

Igualadas a un número discreto: x3 + px = q

se encuentran dos, diferentes en eso.Se deben encontrar dos números, a y b,

tales que: a – b = q

Después tendrás esto por norma:

que su producto sea siempre igual

al tercio cubo de la cosa limpia.

El producto de a y b debe ser igual al cubo

de un tercio de p: ab =

3p

3

El resto general de los lados del cubo

bien restados será tu cosa principal”.

Los lados del cubo son una forma dereferirse a la raíz cúbica. Es decir:

x a b=3 3 –




¿Cuándo y cómo surgió el álgebra?

A lo largo de los años se han creado los sistemas de notación para abreviar la escritura matemática,

los que han ido complementándose y perfeccionándose hasta llegar al que se usa hoy en día.Diofanto de Alejandría fue uno de los primeros en utilizar símbolos en lugar de númerosdesconocidos. Su Aritmética (escrita alrededor del año 250) se centraba en la solución deecuaciones algebraicas. No obstante, su notación difiere notoriamente de la que se usaactualmente, y su trabajo se mantuvo desconocido por mucho tiempo, por el abandono quesufrieron las ciencias durante la Edad Media.Los árabes tuvieron el mérito de haber sistematizado el estudio del álgebra, además de ser losúnicos que contribuyeron a la matemática en occidente durante gran parte de la Edad Media. La

palabra álgebra procede del árabe al-jabr, un término empleado por Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi que comenzó a popularizarse en el año 820. Su obra Al-Kitab al-jbr w’al-mugabala

explicaba métodos generales para resolver ecuaciones manipulando cantidades desconocidas,aunque aún sin utilizar símbolos para las operaciones.Fue recién en el período renacentista cuando la notación simbólica comenzó a acelerarse, utilizandoletras del alfabeto para designar algunas cantidades desconocidas y símbolos para representar ciertas operaciones, dándole así forma a lo que hoy se conoce como álgebra.


A continuación, se señalan datos históricos de algunos símbolos matemáticos usados en laactualidad.

Origen de algunos símbolos matemáticos

Signo de igualdad: en 1557, el matemático inglés Robert Recorde inventó el signo = para referirsea una igualdad. Para argumentar su elección señaló “No hay dos cosas que se parezcan más que

dos líneas paralelas de una misma longitud”. Cabe destacar que el símbolo original propuesto por Recorde utilizaba líneas más largas que las utilizadas hoy, algo así como . Esta notación tuvobuena aceptación y poco a poco se fue acortando su longitud.

Signo de adición y sustracción: en el siglo XV comenzaron a emplearse algunos símbolos para lasoperaciones elementales. Para la adición y la sustracción se empleaban las letras p y m,

respectivamente (plus y minus, en latín). Sin embargo, los símbolos + y – acabaron imponiéndosea estas abreviaturas, los cuales eran utilizados por los mercaderes alemanes para distinguir excesoo defecto en la medida de sus artículos.

Signo de multiplicación: William Oughtred introdujo el símbolo x para la multiplicación, el cual fueadoptado y usado por otros matemáticos de la época. No obstante, Oughtred fue rotundamentecriticado por otro matemático, Leibniz, ya que dicho símbolo se confundía con la letra x. Así, amenudo Leibniz relacionaba dos cantidades con un punto interpuesto, estableciéndose así la otranotación para la multiplicación.Para mayor información, ingresa a la página: www.epsilones.com.



| 39 |


En 7º Básico, los(as) alumnos(as) han sumado y restado términos algebraicos cuya parte literal solo

estaba compuesta por una letra; por lo tanto, en estas páginas se pretende ampliar esta operatoria

con términos semejantes más complejos, por ejemplo: 2a2x3 y –6a2x3.


• Un error frecuente que cometen los(as) estudiantes en la reducción de términos semejantes,es no considerar la conmutatividad de la multiplicación, por ejemplo que ab ≠ ba. Posiblemente

este error se deba a que les cuesta asumir que se trata de una multiplicación.• Se sugiere al docente estar atento a los siguientes errores: x2 = x + x o x · x = 2x.

• La ansiedad de los(as) alumnos(as) es un factor importante al momento de reducir expresionesalgebraicas, ya que se requiere de un trabajo paciente y riguroso, especialmente cuando se tratade eliminar paréntesis u operar con signos. Se sugiere al docente comenzar realizando ejerciciospaso a paso, para luego agilizar la resolución.

Adición y sustracción de expresiones algebraicas (Páginas 48 y 49)

En este contenido, la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición es fundamental.Aunque esta propiedad ha sido enunciada y ejemplificada, pocas veces se hace necesaria si solo seopera con números; en cambio, al multiplicar expresiones algebraicas surge su verdadera utilidad. Enestas páginas se ha optado por una justificación geométrica, para que el procedimiento les resulte másnatural a los(as) estudiantes.


• Se recomienda al docente estar atento a interpretaciones erróneas de la propiedad distributiva, tales como 2(x · y) = 2x · 2y.

• Se sugiere repasar la aplicación de las propiedades de las potencias, utilizando términosalgebraicos para los ejemplos y ejercicios, y así evitar errores tales como: a

3b

2= (ab)

5.

• Al multiplicar dos polinomios, es probable que los(as) alumnos(as) olviden multiplicar algunos

términos. El profesor(a) puede indicarles que una forma de corroborar si se omitió algunamultiplicación puede ser contar la cantidad de términos que se obtuvieron, antes de reducir términos semejantes.Recordar que si se multiplica una expresión que tiene: – 2 términos algebraicos por una que tiene 3 términos algebraicos, debe resultar –antes de

reducir términos semejantes, si los hay–, una expresión con 6 términos algebraicos (2 · 3 = 6).

Ejemplo: (x + y)(a + b + c) = xa + xb + xc + ya + yb + yc

– Asimismo, si se multiplica una expresión que tiene 4 términos algebraicos por una que tiene

2 términos algebraicos, debe resultar –antes de reducir términos semejantes, si los hay–, unaexpresión con 8 términos algebraicos (4 · 2 = 8), etc.Ejemplo: (1 + a – b + m2)(m + n) = m + n + am + an – bm – bn + m3 + m2n

Multiplicación de expresiones algebraicas (Páginas 50 y 51)




Profundización de contenidos

Con los siguientes ejercicios los(as) estudiantes podrán relacionar los conocimientos de geometría

con los adquiridos hasta el momento en álgebra, en particular la adición y multiplicación depolinomios. Se sugiere discutir la resolución de los problemas junto con los(as) estudiantes.

Desafío 1: En la figura, ABCD es un rectángulo y m(FE) = 2x.

a. ¿Cuál es el área del rectángulo ABCD? Respuesta: 6x2 + x – 2.

b. ¿Cuál es el área del triángulo BEC? Respuesta: 2x2 – x.

c. ¿Cuál es el área de la figura ABECD? Respuesta: 8x2 – 2.

Desafío 2: La siguiente figura está formada por tres semicircunferencias, una de color azul, otra decolor verde y otra de color rojo. El diámetro de la circunferencia de color azul es 2a + b, el de lacircunferencia de color verde es a – b y, el de la circunferencia de color rojo es 3a – 2b.

a. Encuentra una expresión, en términos de a, b y π, para el perímetro de cada una de lassemicircunferencias que aparecen en la figura.

Respuesta: para la semicircunferencia de color azul: aπ + bπ; para la semicircunferencia de

b. ¿Cuál es el perímetro de la figura en términos de a, b y π?Respuesta: el perímetro de la figura es 3aπ – bπ.

12

color verde: aπ – bπ; para la semicircunferencia de color rojo: aπ – bπ.3

2

1

2

1

2

2x – 1

3x + 2

D

A B

F

C

E



| 41 |



• Antes de comenzar con este contenido, se sugiere comprobar si los(as) alumnos(as) dominan lamultiplicación de polinomios (incluyendo las propiedades de las potencias), la identificación delgrado de un término y de una expresión, y la clasificación de los polinomios según sus términos.

• Se recomienda obtener los productos notables a partir de la regularidad que se produce alresolver cada uno de ellos y así evitar que los alumnos(as) lleguen a conclusiones tales como:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2, (a + b)3 = a3 + 3ab + b3, (a + b)4 = a4 + 4ab + b4, etc.• Algunos(as) estudiantes pueden presentar dificultades al desarrollar el cuadrado de un binomio,

cuando se trata de una diferencia, y obtener, por ejemplo: (a – 2b)2 = a2 – 4ab – 4b2.

• En general, a los(as) estudiantes no les cuesta reconocer una suma por diferencia sencilla; sinembargo, cuando los términos involucrados son más complejos, suelen presentarse mayoresdificultades. Frente a esto, es importante que el(la) docente los(as) conduzca al reconocimientode este producto notable incluso cuando es necesario agregar paréntesis. Por ejemplo, la suma

por diferencia: (a + b)2 – c2 = (a + b + c)(a + b – c).

• Se sugiere realizar ejercicios, como por ejemplo: (a + b)(b – a), para mostrar que, aunque se

trata de una suma por diferencia, podría ser desarrollada erróneamente como a

2

– b

2

.• Se sugiere trabajar, a modo de profundización, expresiones más complejas que puedan ser

tratadas como productos notables; por ejemplo: a4 + 2(ab)2 + b4 o .


A continuación se presentan ejercicios que relacionan conceptos geométricos con productosnotables.

Desafío 1: En la siguiente figura se tienen dos círculos concéntricos. El radio del círculo de color rojo mide R cm, mientras que la diferencia entre los radios de los círculos es de 2 cm.

a. Expresa en términos de π y R el área de los círculos.Respuesta: el área del círculo rojo es R2

π cm2, mientras que el área del círculo de color

verde es (R2 + 4R + 4)π cm2.

b. Expresa en términos de π y R el área de la superficie de color verde.Respuesta: el área de la superficie de color verde es (4R + 4)π cm

2.

2 5 5 2+ +( )( )b b – –

Productos notables (Páginas 52 a 55)

O




Desafío 2: Considera un cubo de arista (3a + 2) cm, tal como se muestra en la f igura:

a. Expresa, en función de a, el volumen del cubo.

Respuesta: el volumen del cubo es (3a + 2)3

cm3

, es decir, (27a3

+ 54a2

+ 36a + 8) cm3

.

b. Calcula el volumen del cubo para a = 3.

Respuesta: 1.331 cm3.

c. ¿Es cierto que el área total del cubo, en función de a, es igual a 54a2

+ 72a + 24?Demuéstralo.Respuesta: la superficie total del cubo es 6(3a + 2)2, que es igual a 54a2 + 72a + 24.


• En la diferencia de cuadrados, una de las principales dificultades recae en la identificación de los términos que dan origen a los cuadrados que se están restando, ya que, por ejemplo, reconocerlosen la expresión 4 – x2 es relativamente sencillo, pero no lo es al identificarlos en 4t2s6 – 9r10s8

(los términos corresponden a: 2ts3 y 3r5s4).• En la factorización de trinomios de la forma ax2 + px + q (y dado que no se aborda en este

nivel la resolución de la ecuación de segundo grado), se debe tener especial cuidado enseleccionar ejemplos que permitan una factorización sencilla.


Desafío 1: La siguiente figura consta de dos cuadrados,ABCD y EFGD. Tales que m(AD) = 3 cm y m(ED) = (3x + 1) cm.

a. Encuentra el área de los cuadrados ABCD y EFGD.

Respuesta: el área del cuadrado ABCD es igual a 9 cm2, mientras que el área del cuadradoEFGD es igual a (3x + 1)

2cm

2.

Factorización (Páginas 58 a 63)

3a + 2

D G C

A

FE

B




Desafío 4: En la siguiente figura, m(AB) = 2bc + b2 + c2 – a2 y h = 2bc – b2 – c2 + a2.

c. ¿Es cierto que el área del ABC es igual a (a + b + c)(a + b – c)(–a + b + c)?

Sugerencia: Intenta primero factorizar las expresiones de AB y h.

Respuesta: por un lado se tiene que:

m(AB) = 2bc + b2 + c2 – a2 = (2bc + b2 + c2) – a2 = (b + c)2 – a2

= (b + c + a)(b + c – a)

Por otro lado:h = 2bc – b2 – c2 + a2 = a2 – (b2 – 2bc + c2) = a2 – (b – c)2 = (a + b – c)(a – b + c)

Por lo tanto, el área del triángulo ABC es igual a:

(m(AB) • h) = (a + b + c)(a + b – c)( –a + b + c)1

2

1

2

1

2


A continuación se presentan dos fichas de reforzamiento (ficha n° 1 y ficha n° 2) con el propósito de

reforzar el aprendizaje de los productos notables y la factorización, especialmente para los(as)

alumnos(as) con rendimiento insatisfactorio. Los problemas están basados en las actividades propuestas

en el texto del estudiante. Luego, se presentan dos fichas de profundización (ficha n° 3 y ficha n° 4) que

buscan ahondar en los aprendizajes evaluados en esta unidad. Por esta razón, se recomienda trabajarlas

con los(as) alumnos(as) cuyos resultados fueron satisfactorios y lograron obtener todas sus respuestas

correctas, sin excluir a aquellos que por interés quieran conocer otras aplicaciones de este contenido.

C

BA

h




| 45 |


Fi h d b j º 1






U n

i d a d

3

Objetivos:Identificar y clasificar una expresión algebraica. Reducir términos semejantes.

Une cada expresión algebraica con su correspondiente clasificación.

1. 6ab4c2d9

2. a3 – + 3

3. –4 + 3r – 3r 2 + 5r 3

4. w6 + 4,6w4 – 3w2 + 0,7w – 6

5. 3rs – 3r 2 + 5s2

Completa la tabla.

Grado respecto a cada variable Grado absoluto

6. n2 + 14nm – 21n2m3 + 0,3m4

7. 2j2 + 14j4k – 2,4j3h3 + 16h5

Reduce las siguientes expresiones algebraicas.

8. 3r – 12r + 0,5r =

9. –4 – 3g + 4f + 5f – 4g + 3 =

10. –a4 + a2 – 2a – 6a2 – a + 3a3 – 5a4 – 3a3 =

11. p + p2 – p – p2 + p =

12. –0,5n – 14n + 6n =

13. 3j + 7h – 5 + 6h – 4j + 2 =

14. a3 – a2 + a4 + 2a – 5a3 – 4a4 + a + 4a2 =

15. – p + p + p2 + p – p2 =23

23

25

43

14

12

13

52

25

56

y 4

Monomio

Binomio

Trinomio

Polinomio

Fi h d b j º 2 R f U d d 2





Objetivos:Multiplicar expresiones algebraicas aplicando productos notables.

U n

i d a d

3

Une cada expresión con su desarrollo.

1. (x + 2)2 x2 – 4x + 4

2. (x – 2)2 2x + 4

3. (1 – 2x)2 1 – 4x2

4. (x + 2)(x – 2) 1 – 4x + 4x2

5. (1 – 2x)(1 + 2x) 3x – 3

6. (x + 3)(x + 2) – (x + 1)(x + 2) x2 + 4x + 4

7. (x + 3)(x + 2) + 3(x + 1)(x + 3) x2 – 4

8. (x + 3)(x – 2) – (x + 1)(x – 3) 1 + 4x + 4x2

9. (1 + 2x)2 4x2 + 17x + 15

Responde.

10. Calcula el volumen del cuerpo geométricoAyuda: considera el volumen de una pirámide de base rectangular como un tercio del producto de la superficie de la basepor la altura de la pirámide.

S

D C

GH

I

6

3

x + 2

3x

FE

A B

| 47 |

Fi h d t b j º 3 f





U n

i d a d

2

Objetivos:Sumar expresiones algebraicas y resolver ecuaciones lineales.

Un cuadrado mágico es una matriz compuesta por números de manera tal que la suma de cada una de sus filas, columnas y

diagonales es la misma.

1. ¿El siguiente arreglo es un cuadrado mágico?

2. ¿Qué valor debe tomar la incógnita x para que el siguiente arreglo de números sea un cuadrado mágico?


2c – 3 3c – 4 –2c + 1

–3c + 2 c – 2 5c – 6

4c – 5 –c –1

2x + 2 x x + 1

x – 2 x + 2 5x – 6

3x – 3 2x + 1 x – 1

Ficha de trabajo nº 4 P f di ió U id d 2



| 49 |



Objetivos:Resolver productos notables y aplicar factorizaciones.

U n

i d a d

2Responde.

1. Desarrolla y compara las multiplicaciones (a + b + c)2

y (a + b + c + d)2. ¿Cómo podrías describir el desarrollo del

cuadrado de un polinomio? Exprésalo geométricamente, como se hizo con el cuadrado de binomio.

Factoriza las siguientes expresiones algebraicas.

2. x3 + 2x2 + x =

3. 3x5 – 48x =

4. 2x4 + 12x3 + 24x2 + 16x =

5. x4 + x2y + x3 + xy + x2 + y =

6. x3 + x2 + x + 1 =

7. x3 + 2x2 – x – 2 =


E l ió d l id d 2





U n

i d a d

2



1. Las expresiones correspondientes a trinomios son:

I. a2 – bx + 3

II. 0,5x + 1

III. 2n4 + n3 + 4n

A. Solo IB. Solo IIIC. I y IID. I y IIIE. II y III

2. El grado absoluto de n6 – 5n3m2 + 4n4m2 – 4 es:

A. 2B. 3C. 4D. 5E. 6

3. La expresión que al reducirla da como resultado4x – 3y es:

A. (2x + y) + (–x + y) – (4y + 3x – 2y)B. (2x – 3y) + (2x + y) – (4y – 3x – 2y)C. (2x + y) + (–x + 2y) + (–4y + 3x – 2y)D. –(–2x – y) + (–x + y) + (–4y – 3x + 2y)


4. La expresión [(a + b) – (–b + a)] + [(2b – a) – (2a + b)]

al ser reducida resulta:

A. b – 3aB. 3b – 3aC. 3a – 3bD. a – 3bE. a – b

5. La propiedad que se utiliza en el desarrollo de losproductos de la forma A(B + C) = AB + AC se llama:

A. distributiva.B. asociativa.C. conmutativa.

D. multiplicativa.E. Ninguna de las anteriores.

6. El desarrollo de la expresión (x + y)(y – 3x)

corresponde a:

A. x2 – 2xy + 3y 2 D. –x2 – 2xy + 3y 2

B. –3x2 – 2xy + y 2 E. –3x2 + 2xy – y 2

C. 3x2 – 2xy + y 2

7. Al reducir la expresión 0,6 f + g + 3 –2 – f se obtiene:

A. f 2 – fg – f – g – 6

C. f 2 – fg – f – g – 6


8. El resultado de reducir la expresión(2m + 3n)2 + (m – 2n)(2n + m) es:

A. 5m2 + 12mn + 5n2

B. m2 + 12mn + 9n2

C. –3n2 + 12mn + 13m2

D. –5n2

+ 12mn + 5m2

E. n2 + 12mn + 9m2

316

54

315

56

5

6

1

2

1

2

B. –f 2 – fg + f + g – 631556

D. f 2 + fg + f + g + 6315

56



| 51 |

U n

i d a d

2

9. 9. El área de la figura achurada corresponde a:

A. 4x2

+ 21x + 20B. 4x2 + 42x + 8

C. 4x2 + 28x + 16

D. 6x2 + 24x + 18

E. 4x2 + 29x + 16

10. La expresión desarrollada de p – 4t3

corresponde a:

A. –64t3 + 24pt2 + 3p2 t –

C. –64t3 + 24pt2 – 3p2 t +


11. ¿Qué términos faltan en la factorización de

n2 + 5n – 24 = (n + )(n + )?

A. 8 y –3B. 6 y –4C. 12 y –2D. 4 y –6E. 3 y –8

12. ¿Cuál es el término que falta para que la igualdad

(5x2 – 3y) · = 25x

4 – 30x

2y + 9y

2 se mantenga?

A. 5x2 + 3y

B. 5x2 – 3y

C. 5x – 3y 2

D. 5x + 3y 2

E. 5x2 + 3y 2

13. La factorización de la expresión 20a2 + 13a – 15

corresponde a:

A. (5a – 5)(4a + 3)B. (4a – 5) (5a + 3)C. (20a + 15)(a – 1)D. (4a + 5)(5a – 3)E. (5a + 5)(4a – 3)

14. El valor de x en la ecuación(x + 5)

2+ (x + 3)(x – 3) = 2(x – 4)(x – 2) es:

A. –

B. 0

C.

D. 1

E.

15. El valor de n en la ecuación an + 6n = 2a2

+ 6a + 3n

es:

A. n = 6B. n = 0C. n = –aD. n = aE. n = 2a

16. Si la temperatura en grados Fahrenheit (F) y Celsius (C)se relacionan según F = 32 + 1,8C, ¿a cuánto equivalen –40 ºC en grados Fahrenheit?

A. –40 ºFB. –39,8 ºFC. –24,8 ºFD. 39,8 ºFE. Ninguna de las anteriores.

1210

1012

1012

p38

p3

8

1

2

B. 64t3 + 24pt2 + 3p2 t + p3

8

D. –64t3 + 24p2 t – 3pt2 + p3

8

x + 4

3x + 3

2x + 6

x + 8

Solucionario




U n

i d a d

2

Solucionario


1. Monomio. 2. Trinomio. 3. Polinomio. 4. Polinomio. 5. Trinomio.

6. El grado con respecto a n es 2; con respecto a m es 4; el grado absoluto es 5.

7. El grado con respecto a h es 5; con respecto a j es 4; con respecto a k es 1; el grado absoluto es 6.

8. –8,5r 9. 9f – 7g – 1 10. –6a4 – 5a2 – 3a

11. – – p + – p212. –8,5n 13. 13h – j – 3


1. x2 + 4x + 4 2. x2 – 4x + 4 3. 1 – 4x + 4x24. x2 – 4 5. 1 – 4x2

6. 2x + 4 7. 4x2 + 17x + 15 8. 3x – 3 9. 1 + 4x + 4x2

10. Volumen paralelepípedo (x + 2) · 3 · 6 = 18x + 36. Luego, es (18x + 36) unidades cúbicas.

Volumen total vol. paralelepípedo + vol. pirámide (3x2 + 18x + 24) unidades cúbicas.


1. Sí. Cada columna, fila y diagonal suman 3c – 6.

2. Sumar alguna de las filas (o columnas); luego, comparar los resultados mediante una ecuación, cuya solución es x = 3.


1. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc.

(a + b + c + d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd

El cuadrado de un polinomio puede expresarse como la suma de los cuadrados de cada término del polinomio, más el doblede cada uno de los productos de dos términos que puedan formarse.Expresados geométricamente se tiene que:

115

76

a

2

a

a b c

b

c

a

a b c d

b

c

d

b2

c2

ab

ba

ca

bc

cb

ac a

2

b2

c2

ab

ba

ca

da db dc d2

bc bd

cb cd

ac ad

Volumen pirámide · 3(x + 2)(3x – 6) = 3x2 – 12. Luego, es (3x2 – 12) unidades cúbicas.13

14. –3a4 – 4a3 + 3a2 + 3a 15. p – p2415

74



| 53 |

Bibliografía

U n

i d a d

2

2. x(x + 1)2

3. 3x(x – 2)(x + 2)(x2 + 4)

4. 2x(x + 2)3

5. (x2 + x + 1)(x2 + y)

6. (x + 1)(x2 + 1)

7. (x2 – 1)(x + 2)


1. D 9. E2. E 10. C3. C 11. A4. B 12. B5. A 13. D6. B 14. B7. E 15. E8. A 16. A

• Hanouch, B., Choquer-Raoult, A., Cocault, M. Maths repères premier S. Hachete Éducation. París, 2005.

• Ministerio de Educación, Propuesta Ajuste Curricular, Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios,Matemática. Junio, 2009.

• Stewart, I., Historia de las matemáticas en los últimos 10.000 años. España, Barcelona, 2007.

• Vera, F. 20 Matemáticos célebres. Argentina, Buenos Aires, 1959.

Sitios webs


• Epsilones: www.epsilones.com







Las transformaciones isométricas son aplicaciones de las transformaciones lineales, que conservanmedidas. En esta unidad se pretende reforzar nociones geométricas de la educación básica, como también formalizar los conceptos de vector, composición de transformaciones, a partir de traslaciones, rotaciones y simetrías (axial y central), utilizando como referencia el plano cartesiano.

Antes de comenzar la unidad revisar el fichero que se encuentra al final del texto del alumno, paraevaluar si es necesario repasar contenidos previos.


En las páginas de inicio se expone el tema de la conservación de reliquias arquitectónicas que seven afectadas por las crecidas del Nilo, y de cómo el hombre se enfrenta a la necesidad de cambiar la ubicación de un templo para protegerlo. El concepto presentado es el de traslación y puedeasociarse no solo al movimiento de objetos sino también de personas (migraciones) y, por supuesto, de objetos matemáticos. De este modo, dichas transformaciones, que preservan formas,

y sus aplicaciones tanto en la vida diaria como en un contexto abstracto, son el objeto de estudiode esta unidad.Para más información del templo ingrese a la página: www.egiptologia.org/arte/templos



UNIDAD 3 | Transformaciones isométricas en el plano cartesiano



| 55 |


La actividad inicial apunta a repasar nociones de movimiento isométrico asociándolo al concepto

de traslación. A partir de esto, se incorpora el concepto de vector como un elemento queestablece condiciones para realizar dicho movimiento, posibi litando, por una parte, la comparaciónde vectores, el paralelismo y también la suma de las distancias recorridas.Para complementar esta actividad, se sugiere como tarea aplicar este concepto en situacionescotidianas, por ejemplo; la movilización de las personas que viajan de sus casas a sus trabajos oestudios y que utilizan los medios de transporte público, como buses, colectivos, metro, etc. Esdecir, medios de transporte que tienen un recorrido con una ruta definida, que involucran direccióny distancia de traslado.

Los(as) estudiantes durante la educación básica han trabajado las transformaciones isométricas a través de su construcción con regla y compás y también con softwares geométricos. Para reconocer los contenidos que dominan se propone una evaluación diagnóstica, cuyas sugerencias o remedialespara cada indicador se presentan a continuación.


• Para el indicador “Identificar y caracterizar simetrías a partir del eje de simetría”, es posible quelos(as) alumnos(as) tengan dificultades para determinar bajo qué parámetro (eje) se realiza la transformación. En caso de que los(as) alumnos(as) no reconozcan la recta, se recomiendarealizar ejercicios en donde deban contrastar dos imágenes en el plano, de modo que seaposible encontrar el eje. Otra estrategia es la de plegar un papel, y recortar una figura, y luego,

al extender la hoja este presente una imagen simétrica. Esta extensión permitiría trabajar lasimetría en dos dimensiones y tres dimensiones.

• Para reforzar el objetivo “Identificar y caracterizar traslaciones a partir del vector que las define”,se sugiere utilizar juegos de salón (ludo, dama, etc.) como una manera lúdica de trasladar objetos mediante condiciones dadas. Para el uso de coordenadas, se sugiere la ubicación en unmapamundi, lo cual permitirá hacer la analogía con un plano cartesiano y los movimientosmediante posiciones determinadas con álgebra vectorial.

• Con respecto al indicador “Identificar y caracterizar rotaciones a partir del centro de rotación y

del ángulo de rotación”, es necesario identificar el centro de rotación en cada caso. Si estogenera un problema para los(as) alumnos(as), se sugiere analizar los puntos de rotación en lasruedas de bicicleta en movimiento (puede ser con un CD y girarlo); también presentar casosdonde el centro sea externo a la figura (visualizar con el sistema solar).





Esta es la primera vez que los(as) alumnos(as) se ven enfrentados a este contenido. Sin embargo,

durante los años anteriores, han contado con un cuaderno cuadriculado para la asignatura dematemáticas, en el cual probablemente hayan realizado más de algún dibujo o línea. Por lo tanto,la idea intuitiva de plano cartesiano probablemente les resulte bastante familiar, ya que siempre han trabajado, sin saberlo, con él. Así, el apoyarse en el diseño del cuaderno puede acercar bastante alos(as) estudiantes al contenido, en especial a aquellos(as) menos familiarizados con la geometría.


• Al momento de construir los ejes coordenados para el plano cartesiano, muchos(as) estudiantes tienden a numerar las abscisas y ordenadas sin fijarse en la necesidad del ejercicio, perdiendo tiempo. Es importante que los(as) alumnos(as) logren comprender que dependiendo de lo quese quiera ubicar en el plano es como se definirán los ejes coordenados. Así, por ejemplo, si sequiere ubicar el punto (1, 2) y el (2, 3), no es necesario construir un plano cartesiano con ejescoordenados en donde se especifique en el eje X y en el eje Y desde el –20 hasta el 20. Paraesto se sugiere que primero sean ellos quienes construyan el plano y los ejes y que luego el(la)docente los induzca a cuestionarse sobre lo útil de su construcción.

• Se sugiere estar atento a la escala que consideran los(as) alumnos(as) para la construcción delos ejes coordenados, ya que un posible error es considerar magnitudes diferentes, las quedistorsionarán el dibujo a ubicar en el plano cartesiano.

• También se sugiere que el(la) docente oriente constantemente a los(as) alumnos(as) aestablecer la relación entre las figuras en el plano euclidiano y las figuras en el plano cartesiano,de manera que puedan apreciar la utilidad que este último nos presta.

• A pesar de ser un CMO de III Medio, para complementar los contenidos revisados aquí y parauna ampliación en la ejercitación, se sugiere al docente señalar a los(as) alumnos(as) cómo

obtener el punto medio entre dos puntos a partir de sus coordenadas. En el taller dematemática, cuaderno de ejercicios complementario al texto del estudiante, se presentanalgunas actividades en las que deberán determinar el punto medio entre dos puntos dados.


Para que los(as) alumnos(as) se ejerciten en el manejo del plano cartesiano, así como también parafomentar en ellos el espíritu crítico–matemático en los mismos, se presenta el siguiente desafío, elcual se sugiere proponerlo y luego discutir su solución.

Desafío: Los puntos A(2, 3) y B(5, 3) corresponden a los vértices de la base del triángulo ABC. Sise sabe que el área del triángulo ABC es 6 unidades cuadradas, ¿cuáles deben ser las coordenadasdel vértice C? ¿Este problema tiene una o más soluciones?

Respuesta: en este caso, el problema tiene infinitas soluciones. La única condición que debe cumplir C es que esté a distancia 4 unidades de la recta AB, es decir, puede ser cualquier punto de la rectay = 7 o y = –1. (Recuerde que los(as) alumnos(as) no manejan el concepto de ecuación de la recta,

pero sí es posible presentarles este tipo de rectas como aquellas paralelas al eje X y que pasan por la ordenada 7 y –1, respectivamente).

Plano cartesiano (Páginas 82 y 83)




| 57 |

Vectores en el plano cartesiano (Páginas 84 y 85)

El concepto de vector como CMO en este nivel, aparece por primera vez en el marco curricular

oficial de junio 2009, pero en el texto de 8° Básico Bicentenario se trabajó la traslación de figuras a través de vectores. Sin embargo, en este texto se comienza a partir de la idea de vector construidade manera intuitiva, para luego formalizar su concepto analíticamente utilizando el plano cartesiano.


• Un error bastante recurrente en los(as) estudiantes es confundir un vector con un punto,debido a la notación que se usa para describirlo. Frente a esto, se sugiere que el docente le

señale al alumno(a) la razón por la que se describe un vector a través de las coordenadas deun punto (sus componentes), poniendo especial énfasis en que primero se ubica el punto (deacuerdo a sus coordenadas) y luego se traza el vector.

• En general, a los(as) estudiantes les cuesta comprender por qué dos vectores que tienendistintas componentes pueden ser equivalentes. Se sugiere estar atento(a) a esta confusión y aclararla desde la definición de un vector.

• Otro error recurrente, cuando se comienza el estudio de vectores, es confundir el vector 0 conel número 0. Si bien esto no presenta demasiados obstáculos en este contenido, debido a su

poca aplicación en las transformaciones isométricas, en contenidos futuros y más complejos (enfísica y posteriormente en el álgebra lineal) sí lo hará, ya que el operar entre vectores y escalares,solo por dar un ejemplo, se requiere la diferenciación entre estos dos conceptos.

Traslaciones en el plano cartesiano (Páginas 88 y 89)

De acuerdo al Ajuste Curricular aprobado, los(as) alumnos(as) trabajan con traslaciones en 8° Básico,pero solo en el plano euclidiano, por lo tanto, les será bastante familiar, aplicarlas en el planocartesiano. En caso de que los(as) alumnos(as) no hayan trabajado este contenido previamente, el(la)docente deberá considerar, además de ver traslaciones en el plano cartesiano, la idea básica e intuitivade traslación.


• Para abordar este contenido es vital comprender la traslación como un movimiento en el planoa partir de un vector de traslación, por lo que el(la) docente debe estar atento(a) al nivel decompresión que tienen los(as) estudiantes al respecto.

• Para clarificar lo que está sucediendo al efectuar una traslación según un determinado vector,se sugiere dibujar con líneas punteadas los vectores que se forman entre los puntos de la figuraoriginal y los puntos de la imagen, puesto que allí se ve claramente que el vector que trasladaa cada uno de los puntos es siempre el mismo (misma magnitud, dirección y sentido).

• Se sugiere, a modo de profundización de contenidos, discutir qué es lo que sucede si en lugar

de puntos se traslada, por ejemplo, un segmento en el plano cartesiano según un vector, unarecta según un vector, etc.





Para profundizar en el concepto de traslación y la forma de efectuarla en el plano cartesiano, se

propone el siguiente ejercicio a modo de desafío. Se sugiere trabajarlo también con un softwaregeométrico, de manera que los(as) alumnos(as) puedan manipular los objetos geométricos y así logren deducir lo que se propone demostrar.

Desafío: En la siguiente figura, ABC es un triángulo y ABED es un rectángulo. Por los vértices C,

D y E se han trazado rectas perpendiculares a los lados DE, BC y CA, respectivamente. ¿Es ciertoque estas tres rectas concurren en un mismo punto?

Para resolver este problema, contesta primero lo siguiente.a. ¿Cuáles son las imágenes de estas tres rectas al efectuarles una traslación según el vector EB

→

?b. ¿Puedes concluir algo al respecto?Respuesta: la clave está en darse cuenta de que si se trasladan rectas que son concurrentes, lasnuevas rectas también lo serán. Así, al efectuarles a las rectas una traslación según el vector EB

→

seobtienen tres nuevas rectas, las cuales corresponden a las alturas del triángulo ABC, es decir, estasconcurren en un mismo punto (el ortocentro). Por lo tanto, las tres rectas originales, que son las traslaciones de las alturas del triángulo según el vector BE

→

, sí son concurrentes.

Suma de vectores (Página 90)

La finalidad de definir la suma entre vectores es justificar la forma de proceder en la composiciónde traslaciones. Es por esta razón que este contenido se sugiere verlo en este momento y noinmediatamente después de ver el concepto de vector.


• Al tratar con vectores, es muy importante que el docente se asegure de que los contenidos

revisados anteriormente han sido comprendidos de manera correcta, poniendo especialatención a los posibles errores y confusiones que se señalan en las sugerencias metodológicascorrespondientes.

Y

X

A

D

C

B

E




| 59 |

• Es necesario que el(la) estudiante logre rescatar las principales ventajas que nos entrega cadauno de los métodos propuestos para sumar vectores, ya que mientras uno es más rápido y sencillo de calcular, el otro nos muestra gráficamente qué es lo que sucede con la suma de

vectores.


Para reforzar en los(as) alumnos(as) el concepto de vector, así como la forma de operar con ellos,se presentan los siguientes desafíos. Se sugiere proponerlos y luego discutir su solución.

Desafío1: Representa sobre la siguiente figura los vectores u→

= AB→

+ CD→

y v→

= AD→

+ BC→

Respuesta:

Desafío 2:a. Ubica los puntos A(2, 1), B(6, 1) y C(4, 3) en el plano cartesiano y forma con ellos el triángulo

ABC.

b. Llama M1 al punto medio del lado AB, M2 al punto medio del lado BC y M3 al punto mediodel lado CA. Determina las coordenadas de los puntos M1, M2 y M3.

Respuesta: las coordenadas de los puntos son M1(4, 1), M2(5, 2) y M3(3, 2).

c. Determina las componentes de los vectores CM1, AM2 y BM3.

Respuesta: CM1 = (0, –2), AM2 = (3, 1) y BM3 = (–3, 1)

d. Calcula la suma CM1 + AM2 + BM3. ¿Se obtendrá la misma suma si se cambian las coordenadasde los vértices del triángulo ABC?Respuesta: la suma de dichos vectores es el vector 0. Se sugiere trabajar en esta última conjeturacon la ayuda de algún software matemático, como por ejemplo GeoGebra. Este ejercicio puedeser más interesante y lúdico si se asocia a la idea de que el centro de gravedad de un triánguloes “su punto de equilibrio”. Por ejemplo, se les puede comentar a los(as) estudiantes que si en

dicho punto se pusiera una aguja muy fina y se intentara suspender el triángulo en el airemediante dicha aguja, el triángulo se mantendría en equilibrio, relacionando este hecho físico conque la suma de los vectores correspondientes sea siempre el vector (0, 0).

Y

X

Y

X

→

→ → →

→ → →

→ →

→

u→ v→

A

B C

D

CB

A

D




Aquí se espera que los(as) alumnos(as) descubran que la composición de traslaciones siempre dará

como resultado una nueva traslación, ya que la suma de vectores es siempre un vector.


• Se sugiere mostrar a los(as) alumnos(as) que la composición de traslaciones es conmutativa, esdecir, que al realizar traslaciones sucesivas, da igual el orden en el que se efectúan.


Para reforzar la composición de traslaciones, así como los conceptos de traslación y vector, sepropone el siguiente desafío.

Desafío: Observa la figura y luego, realiza las actividades.

a. Si se busca un punto C tal que ABCD sea un paralelogramo, ¿cómo podrías determinar suubicación?Respuesta: se traslada el punto B según el vector AD, o bien se determina el vector u = AD + AB,

donde uno de sus extremos corresponderá al punto C.

b. Traslada el triángulo SAR según el vector AD. Luego, trasládalo nuevamente según el vector AB. ¿Qué puedes observar? ¿Existe alguna relación entre el área del triángulo SAR y la delparalelogramo ABCD? ¿Cuál?Respuesta: el área del triángulo SAR es igual a la mitad de la del paralelogramo ABCD, pues alhacer una traslación del triángulo SAR según el vector u = AD + AB se obtiene el triánguloACD, el cual tiene por área la mitad de dicho paralelogramo.

Composición de traslaciones (Página 91)

Y

X

→

→

→

→→ →

→→ →

B

D

A

R

S




| 61 |


• Se sugiere, para evitar cualquier tipo de confusión, señalar a los(as) alumnos(as) que cuando semencionan los ejes de simetría no se refiere exclusivamente a los ejes tradicionales (el eje X y el eje Y), sino a cualquier recta que se use para efectuar la simetría.


Para profundizar en el concepto de simetría axial y en sus aplicaciones, se proponen los siguientes

ejercicios a modo de desafío. El primero está pensado para trabajarlo como construcción con laayuda de un software geométrico, aplicando simetría axial y complementándolo con la puesta enpráctica de algunos conocimientos previos de geometría; con el segundo interesa que el(la)alumno(a) deduzca algunos resultados importantes de la simetría axial.

Desafío 1: Construye la figura, considerando que m(OI) = m(MI) = 4 cm, y que los puntos I y J

son simétricos con respecto a la recta MK. ¿Cuál es la naturaleza del triángulo IJK? ¿Cuál es elperímetro de la figura achurada?

Respuesta: el triángulo es isósceles, ya que el segmento KJ es el simétrico del segmento KI conrespecto a la recta. El perímetro de la figura achurada es 8 + 8π?

Simetría axial (Páginas 94 y 95)

I

M

J

K

O




Desafío 2: Observa la figura y realiza las siguientes actividades.

a. Construye el triángulo A’B’C’, simétrico del triángulo ABC con respecto al eje r.

b. Construye D’, simétrico del punto D con respecto a la recta r. ¿Pertenece este punto alsegmento B’C’? Respuesta: sí.

c. Si se considera un punto cualquiera perteneciente al segmento BC y se construye su simétricocon respecto a la recta r, ¿pertenecerá también al segmento B’C’? Respuesta: sí.

d. Y si se considera cualquier punto perteneciente al segmento AD y se construye su simétricocon respecto a la recta r, ¿pertenecerá al segmento A’D’? Respuesta: sí.

e. ¿Qué puedes concluir? Respuesta: si se considera un punto de un segmento, el simétrico deéste pertenecerá al simétrico del segmento original.

f. ¿Es cierto que los segmentos B’C’ y A’D’ son perpendiculares? Respuesta: sí.g. ¿Qué puedes concluir?

Respuesta: la simetría axial de dos segmentos perpendiculares corresponde a dos nuevossegmentos perpendiculares entre sí.


• Se sugiere seguir señalando con líneas punteadas las distancias entre los puntos originales y sussimétricos, de manera que el(la) estudiante pueda observar y reforzar constantemente elconcepto de simetría en el plano y el tipo de movimiento que esta implica.

• Es importante que el(la) docente sea insistente en que el centro de simetría corresponde alpunto medio del segmento, cuyos extremos son el punto original y su simétrico con respectoa dicho centro.

Simetría central (Páginas 96 y 97)

Y

A

C

B

r

D

X




| 63 |


Desafío 1: Considera un triángulo ABC y M el punto medio del segmento AB, tal como lo muestra

la figura. ¿Es cierto que los puntos A y B están a igual distancia de la recta r? Para demostrar estocontesta las siguientes preguntas.

a. ¿Cuál es el simétrico del punto A con respecto al punto M?Respuesta: B.

b. ¿Cuál es el simétrico del punto A’ con respecto al punto M?Respuesta: B’.

c. ¿Cuál es el simétrico del segmento AA’ con respecto al punto M?Respuesta: el segmento BB’.

d. ¿Qué puedes concluir con respecto a las distancias desde los puntos A y B a la recta r?Respuesta: los puntos A y B se encuentran a igual distancia de la recta.

Desafío 2: En la figura, ABDC es un paralelogramo, P y P’ son dos puntos del segmento CB talesque: m(CP) = m(P’B). ¿Es cierto que AP’DP siempre es un paralelogramo, independiente de laelección de P? Para demostrar esto contesta las siguientes preguntas.

a. Traza la diagonal AD del paralelogramo ABCD y denomina O a la intersección de susdiagonales. ¿Qué relación se puede establecer entre los puntos P, O y P’?Respuesta: P’ es el simétrico de P con respecto a O.

b. ¿Qué relación puedes establecer entre los puntos A, O y D?Respuesta: D es el simétrico de A con respecto a O.

c. ¿Cuál es la imagen del segmento AP por una simetría central de centro O?Respuesta: el segmento P’D.

d. ¿Cuál es la imagen del segmento PD por una simetría central de centro O?Respuesta: el segmento P’A.

Y

X

r

A

A’

MB’

B




e. ¿Qué puedes concluir?Respuesta: como P’D y P’A son segmentos simétricos con respecto a O de los segmentos AP

y PD, respectivamente, estos son paralelos a sus preimágenes correspondientes. Por lo tanto,

AP’DP es un paralelogramo. Se sugiere trabajar este ejercicio con algún software geométrico, demanera que los(as) alumnos(as) puedan hacer variar la posición del punto P, construir la figuradel problema y conjeturar posibles hipótesis a partir de la manipulación de los objetos en juego.

De acuerdo al Ajuste Curricular Aprobado, corresponde trabajar este contenido en 8° Básico, por lo que el concepto de rotación como movimiento en torno a un punto en un cierto ángulo seespera que les resulte bastante familiar. Se sugiere que, en caso de no haber sido cubierto este

contenido previamente, el(la) docente ponga especial atención en la idea intuitiva de rotación antesde contextualizarla en el plano cartesiano.


• Al hablar de rotación, es elemental considerar el ángulo, en especial su relación con la circun-ferencia. Este es un contenido correspondiente a 8° Básico, por lo que se espera que los(as)estudiantes lo recuerden y lo puedan aplicar en una rotación. Se sugiere al docente estar atento

al manejo de estos conceptos por parte de los(as) alumnos(as), aclarándolos en caso de ser necesario.

• Es probable que algunos(as) alumnos(as) cometan errores al rotar figuras a favor de lasmanecillas del reloj. En este caso, es importante que el(la) docente les señale cómo se midenlos ángulos (en sentido antihorario) y que es esta la razón por la que se rota así. Además, puederesultar una muy buena experiencia para los(as) alumnos(as) encontrar el ángulo que permiteobtener la figura imagen bajo una rotación en sentido horario.

Rotaciones (Páginas 100 a 103)

Y

X

C

A

B

D

P

P’




| 65 |


Para profundizar el concepto de rotación, trabajar la demostración y aplicar los contenidos

revisados en esta unidad con la ayuda de un software geométrico (se sugiere GeoGebra). Seproponen los siguientes desafíos.

Desafío 1: En la figura, ABCD y CEFG son dos cuadrados tales que m(CD) = m(CE). ¿Quérelación hay entre las medidas de los segmentos DE y BG? Para resolver este problema, respondeprimero las siguientes preguntas.

a. ¿Qué rotación (con qué centro y qué ángulo) permite obtener el segmento CB a partir delsegmento CD?Respuesta: una rotación con centro en C y ángulo 90º.

b. ¿Qué rotación (con qué centro y qué ángulo) permite obtener el segmento CG a partir delsegmento CE?Respuesta: la misma que la anterior, es decir, una rotación con centro en C y ángulo 90º.

c. ¿Qué se obtiene si se aplica alguna de las rotaciones obtenidas en a. al segmento DE?Respuesta: la rotación transforma al segmento DE en el segmento BG.

d. ¿Qué puedes concluir respecto a los segmentos DE y BG?Respuesta: como la rotación no modifica medidas, los segmentos DE y BG miden lo mismo. En este

caso, el cuadrado CEFG corresponde a la rotación del cuadrado ABCD con centro C y ángulo 135º.

Por esta razón, resulta interesante ver que independiente del ángulo en el que se rote el cuadrado

ABCD para formar la figura que se muestra, siempre se tendrá que m(DE) = m(BG).

Y

X

A B

D C

G

E

F




Desafío 2: En la figura, ABC es un triángulo cualquiera. Al exterior de él se han construido tres triángulos equiláteros: BCA’, CAB’ y ABC’.

a. ¿Existe alguna relación entre el área de los triángulos BCB’ y A’CA? Sugerencia: Observa quésucede si el triángulo A’CA se rota en torno al punto C en un ángulo de 60º.

Respuesta: al rotar el triángulo A’CA en torno a C en un ángulo de 60º se obtiene el triánguloBCB’; es decir, los triángulos A’CA y BCB’ tienen la misma área (de hecho, son congruentes,por lo que este ejercicio puede ser propuesto en esta unidad o luego de ver congruencia de triángulos, contenido que corresponde, de acuerdo al nuevo marco curricular, a I Medio).

b. ¿Qué se puede decir sobre los triángulos C’BC y ABA’? Sugerencia: Observa qué sucede si sele efectúa una rotación al triángulo ABA’ con centro en B y ángulo 60º en sentido contrario.Respuesta: al rotar el triángulo ABA’ en torno al vértice B en un ángulo de 60º se obtiene el triángulo C’BC; es decir, los triángulos ABA’ y C’BC son congruentes. Por las características deeste problema, se sugiere trabajarlo con la ayuda de un software geométrico, de manera queel(la) estudiante pueda manipular los objetos y conjeturar al respecto, logrando apreciar queeste resultado es independiente de la elección del triángulo ABC.

Desafío 3: En la figura, ABC es un triángulo cualquiera y A’B’C’ es la rotación del triángulo ABC en torno a un determinado punto O. ¿Puedes determinar dicho centro de rotación? Para encontrarlo,se te sugiere que analices lo siguiente.

a. Determina las simetrales de los segmentos BB’, AA’, y al punto de intersección denomínalo P.

b. ¿Cómo deben ser las longitudes de los segmentos PB y PB’?Respuesta: deben medir lo mismo.

c. Según la respuesta anterior, ¿qué tipo de triángulo se forma con los puntos B, B’ y P?Respuesta: el triángulo BB’P es isósceles.

d. Analiza lo mismo que en la parte b., pero esta vez con los segmentos PA y PA’.

e. Haz una rotación del triángulo ABC en torno al punto P con respecto al ángulo BPB’. ¿Quérelación hay entre P y el centro de rotación O?Respuesta: son el mismo punto.

Y

X

C’

A

B’

C

A’

B




| 67 |

f. Conjetura una forma de obtener el centro de esta rotación.Respuesta: la intersección de las simetrales de los segmentos AA’, BB’ y CC’ corresponde alcentro de rotación O.

A continuación se presentan dos fichas de reforzamiento (n° 1 y n° 2) con el propósito de apoyar el aprendizaje de los(las) alumnos(as) en relación a las transformaciones isométricas, especialmenteen aquellos(as) cuyos rendimientos sean insatisfactorios o bien presenten mayores dificultades. Losproblemas están basados en las actividades propuestas en el texto del estudiante. Luego, sepresentan dos fichas de profundización (n° 3 y n° 4) que buscan ahondar en los aprendizajes y contenidos evaluados en esta unidad. Por esta razón, se recomienda trabajarlas con aquellosalumnos(as) cuyos resultados fueron satisfactorios y lograron obtener todas sus respuestascorrectas, sin excluir a aquellos que por interés quieran conocer otras aplicaciones de este

contenido.

Y

X

A B

C

A’

B’C’






U n

i d a d

3

Objetivos:Identificar y analizar qué tipo de transformación isométrica está presente en el diseño de cada uno de los naipes.

Indica qué tipo de transformación isométrica está presente en cada una de las siguientes cartas del naipe inglés.




| 69 |


Objetivos:Trabajar el concepto y la aplicación de la traslación.

U n

i d a d

3La búsqueda del tesoro

En las últimas vacaciones en Coquimbo, Jorge encontró una botella abandonada que contenía un papel enrollado en su interior.Al leer el mensaje que estaba escrito, reconoció que se trataba del mapa de un tesoro oculto por un pirata no muy conocido.

Intrigado por la situación, Jorge decidió seguir las instrucciones, sin embargo, aparecían trazadas dos rutas, como se indican acontinuación.

• Desde el cañón (ubicado en (0, 0)), diríjase 2 m al poniente, desde ese punto avance 5 m hacia el norte, luego 6 m hacia eloriente y 4 m hacia el norte. Después, diríjase 3 m al poniente y luego 8 m al sur, para continuar 3 m hacia el oriente. Por último, caminar 1 m hacia el poniente y 5 m hacia el sur. Ahí se encuentra el tesoro.

• Desde el cañón de hierro, camine 3 m hacia el norte, desde ese punto dirigirse 7 m hacia el oriente, continúe 6 m hacia elnorte, para luego caminar 4 m al poniente. Ubicado en ese sitio, 5 m al sur y luego 3 m al oriente. Dicha ubicación es el lugar

donde está enterrado el cofre repleto de grandes tesoros.

Si se tiene como referencia el siguiente mapa del sector, ¿qué camino es el que efectivamente eligió el pirata para ocultar su tesoro y el que debe recorrer Jorge en su aventura?

mar

calabozo

cañón

2

–2

–4

4

6

8

2 4 6 8 10 –2 –4






U n

i d a d

3

Objetivos:Utilizar la simetría central como método de resolución de una demostración geométrica en un paralelogramo.

Lee y resuelve.

Sea un paralelogramo ABCD y el punto O la intersección de sus diagonales. Demuestra que la medida del segmento EO es iguala la medida del segmento OF.

Sugerencia: Determina el centro de simetría del paralelogramo.

A B

CD

O

E

F




| 71 |


Objetivos:Aplicar las transformaciones isométricas, en especial la traslación, como un método de estudio de las propiedadesde las figuras geométricas planas.

U n

i d a d

3

Lee y resuelve.

Sea el paralelogramo ABCD cuyo vértice C está fuera de los márgenes de la hoja. Trazar la parte visible del segmento , sabiendoque las coordenadas de los vértices conocidos son A(7, 2) ; B(1, 3) y D(2, –2).

Justifica el procedimiento que permite resolver esta tarea.

¿Es posible utilizar otra técnica que permita resolver de manera alternativa este problema? Justifica.

A (7, 2)

B (1, 3)

D (2, –2)






U n

i d a d

3


1. ¿Cuáles son las componentes del vector cuyo origen esel punto (5, 1) y su extremo el punto (6, –4)?

A. (11, –3) D. (–1, 5)B. (11, –5) E. (1, 3)C. (1, –5)

2. Si u→

= (–9, 7) y v→

= (12, –13), el resultado deu→

+ v→

es :

A. (21, 20) D. (3, 6)B. (–21, –20) E. (3, –6)C. (3, –20)

3. ¿Cuál es el vector que, al trasladar el punto P(2, –1),

forma un cuadrado con los puntos A(3, 2), B(3, –3) y C(–2, –3)?

A. (–2, 2) D. (–3, 4)B. (5, 0) E. (–4, 3)C. (3, –4)

4. Un punto P(4, 3) se traslada hasta el punto P’(2, –2).

¿Cuál es el vector de traslación correspondiente?

A. (–2, –5) D. (–2, –1)B. (–2, 5) E. (–2, 3)C. (–2, 1)

5. Si se rota un segmento de extremos A(5, 1) y B(3, 3)

en torno a O(0, 0), con un ángulo de 90º, las nuevascoordenadas son:

A. A’(–1, 5) y B’(1, 3)B. A’(–1, 5) y B’(–3, 3)C. A’(1, –5) y B’(3, –3)

D. A’(3, –3) y B’(1, –3)E. A’(3, –3) y B’(3, –7)

6. ¿Cuál de las imágenes representa una rotación de lafigura 1 en 90º en torno al punto P?

I. II.

A. Solo IB. Solo IIC. I y IID. Ninguna.E. No se puede determinar.

7. Al rotar P(9, –1) respecto al origen, en un ángulo de270º, las coordenadas de la imagen son:

A. P’(9, –1) D. P’(–1, –9)B. P’(–9, 1) E. P’(1, 9)C. P’(–9, –1)

8. Sea P un punto del primer cuadrante. H y J lossimétricos de P con respecto al eje X e Y, siempre

ocurre que:

A. H, J, P son colineales.

B. HJ↔

es bisectriz del ángulo formado por los ejes

coordenados.C. El segmento HJ es paralelo al eje X.

D. El segmento HJ pasa por (0, 0).

E. P es centro de rotación entre H y J.

Figura 1

P P

Figura 1



| 73 |

U n

i d a d

3

9. Las coordenadas de los puntos A(1, 3) y B(6, 4)

después de aplicar las simetrías con respecto a L1, L2

y L3 son:

A. A(–3, –5) y B(2, –4)B. A(–5, –5) y B(2, –4)C. A(–3, –5) y B(–2, –6)D. A(1, 3) y B(6, 4)E. A(–3, –5) y B(2, –6)

10. En la imagen, ¿qué puntos son simétricos?

A. A y A’ D. D y D’B. B y B’ E. NingunoC. C y C’

11. En un triángulo equilátero, ¿cuál de estas rectascorresponden a un eje de simetría?

I. Altura II. Bisectriz III. Simetral

A. Solo IB. I y IIC. I y IIID. II y IIIE. I, II y III

12. ¿Cuáles son las coordenadas del punto que estableceuna simetría central en la figura?

A. (4, 2) D. (3, 2)B. (5, 2) E. No existen.C. (4, 1)

13. Una simetría central siempre es equivalente a:

A. una traslación.B. una rotación en 270º.

C. una simetría axial.D. una rotación en 180º.

E. No tiene equivalencia.

14. Al realizar una simetría central a P(11, –4) respecto alorigen, las coordenadas de la imagen son:

A. P’(–4, 11) D. P’(11, 4)B. P’(–11, 4) E. P’(4, –11)C. P’(–11, –4)

15. Sea un triángulo de vértices A(0, 1), B(6, 2) y C(5, 4).

Si se aplica una simetría central, con centro O(0, 1),

¿cuáles son las coordenadas del triángulo imagen?

A. A’(0, 1); B’(–6, 2); C’(–5, 4)B. A’(2, 3); B’(–6, 0); C’(–5, 2)C. A’(0, 1); B’(–4, 2); C’(–3, 0)D. A’(0, 1); B’(–6, 0); C’(–5, 2)E. A’(2, 3); B’(–4, 2); C’(5, 2)

A

L3

L2

L1

B

C

B

A

C

A’

B’

D’

C’D

A B

CD

Solucionario




U n

i d a d

3



Seguir ambos caminos determina puntos diferentes, en el primer caso el punto de coordenadas (3, –4) y el segundo (6, 4). Sinembargo, el modo de discriminación sería por la factibilidad de enterrar el cofre en tierra firme o bajo el agua.


Como las diagonales de un paralelogramo se dimidian, se determina que O es el punto medio de los segmentos DB y AC,

respectivamente. Por lo tanto, el punto B es el simétrico del punto D con respecto a O; análogamente, A es el simétrico de Ccon respecto a O, y viceversa. Luego, el segmento AB es simétrico del segmento DC, también con respecto a O.

Como E es un punto perteneciente al segmento DC, el simétrico de E (el punto F), con respecto a O, debe pertenecer alsegmento AB. Por lo tanto, por definición de simetría, O es el punto medio del segmento EF, es decir, la medida del segmentoEO es igual a la medida del segmento OF.


Una posible solución es trasladar el paralelogramo de modo que los cuatro vértices estén totalmente contenidos en el papel,

por ejemplo, considerando el vector (2, 0) u otro que sea pertinente. Luego, se traza el segmento A’C’ y se concluye trasladandoeste último en el sentido contrario (dirección opuesta) al vector inicial.Una segunda solución es la rotación del paralelogramo en torno a un punto específico (podría ser un vértice), de modo que laimagen de la rotación esté contenida totalmente en la hoja. Luego, se construye el segmento A’C’’ para luego hacer la rotacióninversa, en torno al mismo centro escogido.De modo similar, es posible utilizar una simetría axial en torno a los segmentos AB y AD. La dificultad pasa por establecer laimagen de los segmentos inconclusos, pero es posible utilizar puntos auxiliares que estén en los segmentos correspondientes y luego hacer las proyecciones correspondientes para encontrar su intersección. Por último, se construye el simétrico del segmento

A’C’’ con respecto al eje inicialmente determinado.

Simetría axial en torno a los ejes señalados.

Simetría central respecto del centro de la carta.

Rotación en 180º respecto del centro del naipe.

No hay ninguna transformación isométrica.

Simetría axial, cuyo eje se representa con unalínea roja sobre la carta.

Rotación en torno al centro de la carta, con unángulo de 180º.

Simetría central con centro el centro de la

rotación anterior.


Simetría central con centro el centro de larotación anterior.


Simetría central con centro el centro de larotación anterior.



| 75 |

Bibliografía

U n

i d a d

3


1. C 9. E2. E 10. B

3. E 11. E4. A 12. A5. B 13. D6. B 14. B7. D 15. D8. D

• Carral, Michel, Géométrie. Ediciones Ellipses, París, 1995.

• Hanouch, B., Choquer–Raoult, A., Cocault, M, Maths repères premier S, Hachete Éducation, París, 2005.

• Manual esencial Santillana: Geometría. Editorial Santillana, Santiago de Chile, 2007.

• Ministerio de Educación, Propuesta ajuste curricular, Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios,Matemática, junio 2009.

Sitios webs

• Cabrilog: www.cabri.com/es


• Educarchile: www.educarchile.cl

• Geometría dinámica: www.geometriadinamica.cl







El estudio de las funciones lineal y afín permite relacionar el álgebra con la geometría analítica(contenido que será revisado en profundidad en 2º y 3º Medio), asociando la pertenencia de unpunto a una recta con el cumplimiento de una relación algebraica. Esta unidad tiene por objetivoque los(as) alumnos(as) aprendan a modelar situaciones cotidianas y matemáticas a través de estasfunciones, que conozcan sus parámetros y puedan manejar algún software, para observar lasposibles consecuencias de sus variaciones.

Antes de comenzar la unidad revisar, es importante el fichero que se encuentra al final del textodel alumno, para evaluar si es necesario repasar contenidos previos.


Para la actividad inicial propuesta es importante tener en cuenta la existencia de planes telefónicosque mantienen tarifas constantes por determinados minutos de llamado y cobros extras por minuto adicional hablado. Este tipo de situaciones se modela con una función ramificada, la cual nose aborda en este nivel.



UNIDAD 4 | Funciones lineal y afín



| 77 |

Con el Marco Curricular aprobado, los(as) alumnos(as) de 8° Básico comienzan a trabajar con los

conceptos de función, dominio, recorrido, y su representación gráfica; es por ello que se evalúan alinicio de la unidad.


• Para el indicador Utilizar funciones para modelar situaciones: se sugiere ordenar los datos en una tabla, para que puedan relacionar las variables dependiente e independiente y, a partir de esto,distinguir la función correspondiente.

• Como remedial para el indicador Identificar funciones, sus elementos y su gráfica: se sugiereconstruir el gráfico de la función dada y compararlo con los propuestos. O bien, se les puedepedir que escojan un punto de la recta cuyas coordenadas sean fácilmente identificables, y verifiquen si la expresión algebraica de la función modela la relación entre la ordenada y laabscisa, remplazando los valores correspondientes. Si los(as) estudiantes tienen dificultades pararelacionar las variables, se recomienda no asignar en primera instancia las letras x e y, sino letrasmás cercanas al contexto del problema.

• Para el indicador Analizar situaciones de proporcionalidad directa mediante sus distintas

representaciones: se sugiere, en caso de dificultades, ejercitar la comparación de fracciones, yasea igualando denominadores o mediante la multiplicación cruzada.


Como se mencionó anteriormente, los(as) alumnos(as) comienzan el estudio de las funciones en8° Básico, definiendo variables (dependiente e independiente), su notación algebraica, dominio y

recorrido y, abordando la representación gráfica de una función utilizando las relaciones deproporcionalidad. Se sugiere repasar estos contenidos, pues seguramente los(as) alumnos(as) quecursan actualmente 1° Medio no los habrán trabajado con la misma profundidad. Recordar que alfinal del texto del alumno encontrará un fichero, en el cual podrá trabajar este contenido en formaparticular.


• Es importante que los(as) alumnos(as) comprendan que una función permite describir elcomportamiento de una variable según la variación de otra. Para esto, se requiere que puedanexplicar el procedimiento para obtener sus resultados, y logren comprender la relación que seestablece en la función o “fórmula” obtenida.

• Para modelar una situación mediante una función, se recomienda la utilización de tablas, paraque así relacionen directamente la información y aprendan a manejarla de manera ordenada.

Concepto de función (Páginas 116 y 117)

E l d l di d fi f ió “ l ió d i bl d




• En el texto del estudiante se define función como: “una relación entre dos variables x e y, demodo que a cada valor de x le corresponde un único valor de y”. Esta definición se basa en queuna relación matemática entre dos variables es una función solo cuando para cada pre-imagen

existe una única imagen. Si bien en el texto del alumno no se trabajan las funciones como unarelación que cumple ciertas condiciones (ya que no es CMO del nivel), sí se trabaja con él enla presente guía didáctica en la sección Ampliación de contenidos, para que el docente puedaexplicar este contenido según las necesidades de su grupo curso.

• De acuerdo con el Marco Curricular aprobado, los(as) alumnos(as) estudiarán el conjunto delos números reales en 2° Medio, por tanto, en esta unidad, los ejemplos o ejercicios referidosal dominio y recorrido de alguna función corresponderán al conjunto numérico que los(as)estudiantes conocen, es decir, al de los números racionales ().


Relaciones y funciones

Definición: sean A y B dos conjuntos. Se denomina producto cartesiano entre A y B (y se anotaA x B) al conjunto de todos los pares ordenados de la forma (a, b), siendo a un elemento de A y b uno de B, es decir:

Ejemplo: si A = 4, 5, 6 y B = 1, 2, 3, 4, entonces:

A x B = (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4)

Definición: sean A y B dos conjuntos. Se denomina relación entre A y B (y se anota R: A → B) acualquier subconjunto del producto cartesiano entre A y B, es decir:

Definición: una función es una relación f: A → B, en la que a cada elemento de A le correspondeun único elemento de B.

Ejemplo 1

Sean los conjuntos M = 1, 2, 3, 4 y N = 2, 4, 6, 8.Se establece la condición “que el elemento de N sea el doble del elemento de M”. Así, la relaciónR1: M → N corresponde al conjunto de pares ordenados:

R 1 = (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)

Como se puede observar, este conjunto es un subconjunto de M x N.Además, se puede destacar que a cada elemento de M se le asocia un único elemento de N. Por

tanto, la relación R1 es una función.

R es una relación si R A x B

A x B = (a, b) / a ∈ A, b ∈ B


Ej l 2



| 79 |

Ejemplo 2Sean los conjuntos P = a, b, c, d, e y Q = f, g, h, i.Se establece la condición “que el elemento de P sea vocal y que el elemento de Q sea

consonante”. Así, la relación R2: P→

Q corresponde al conjunto de pares ordenados:

R 2 = (a, f), (a, g), (a, h), (e, f), (e, g), (e, h)

Como se observa, este conjunto es un subconjunto de P x Q.Además, se puede aclarar que solo algunos elementos de A forman parte de esta relación, y a estosse les asigna más de un elemento de Q. Por tanto, la relación R2 no es una función.

Cabe señalar que una relación no necesariamente se puede describir a través de una expresión;por ejemplo, en los conjuntos A = a, b, c, d, e y B = f, g, h, i se puede establecer la relaciónR3 = (a, i), (a, g), (b, h), (c, f), (d, h), (d, i) y en ella no existe una forma determinada de expresar los pares ordenados.

En una relación, el conjunto formado por las primeras componentes de los pares ordenados sedenomina dominio, y el conjunto formado por las segundas componentes se llama recorrido.Considerando los ejemplos de R1 y R2, se tiene:


Dados los conjuntos A = 1, 3, 5, 7, B = 1, 4, 6, 9 y C = 2, 6, 10, 14, escribe las siguientesrelaciones e identifica el dominio y el recorrido en cada una de ellas.

1. R: A → B, tal que el elemento de A sea menor que el elemento de B.Respuesta: R = (1, 4), (1, 6), (1, 9), (3, 4), (3, 6), (3, 9), (5, 6), (5, 9), (7, 9);Dom R = A; Rec R = 4, 6, 9

2. R: A → C, tal que el elemento de A sea mayor que el elemento de C.Respuesta: R = (3, 2), (5, 2), (7, 2), (7, 6);Dom R = 3, 5, 7; Rec R = 2, 6

3. R: C → A, tal que el elemento de C sea el doble que el elemento de A.Respuesta: R = (2, 1), (6, 3), (10, 5), (14, 7);Dom R = C; Rec R = A

4. R: B → C, tal que el elemento de B sea el antecesor del elemento de C.Respuesta: R = (1, 2), (9, 10);Dom R = 1, 9; Rec R = 2, 10

5. Determina cuál o cuáles de las relaciones de los ejercicios 1 a 4 son funciones.Respuesta: la relación establecida en el ejercicio 3 es una función.

Dom R 1 = 1, 2, 3, 4 = M

Rec R 1 = 2, 4, 6, 8 = N

Dom R 2 = a, e

Rec R 2 = f, g, h

P l d d d f ó l l (Pá i 118 121)




Proporcionalidad directa y función lineal (Páginas 118 a 121)

Según el Marco Curricular aprobado, los(as) alumnos(as) de 8° Básico modelan situaciones de

proporcionalidad directa mediante una función. En estas páginas, a partir de estos conocimientosse define la función lineal, en la cual se relaciona el coeficiente de dirección (valor de la pendienteen una ecuación de la recta) con la constante de proporcionalidad y se representa gráficamente.


• Los(as) estudiantes reconocen que dos variables son directamente proporcionales si el cociente

entre sus valores correspondientes es constante . Sin embargo, este cociente no estádefinido cuando x = y = 0. Por ello, se sugiere hacer notar la diferencia entre modelar una

situación de proporcionalidad directa como = k y como y = kx.

• Asimismo, se establece que en 2° Medio se estudia el conjunto de los números reales. Por estarazón, si bien el gráfico de la función se efectúa sobre ejes coordenados reales, en esta unidadse traza la recta para visualizar el comportamiento de la función correspondiente; pero, en rigor,

no es correcto hacerlo, pues se está trabajando con el conjunto numérico de los racionales.

yx

Pendiente de una recta (Páginas 126 y 127)

En las páginas anteriores se identificó la pendiente como el coeficiente que acompaña a la variableindependiente en una función lineal. A partir de la proporcionalidad ya estudiada, es posiblepresentarla como la razón entre los incrementos de las ordenadas y las abscisas de dos puntos

cualesquiera de la recta, permitiendo calcularla e interpretarla en cada caso.


• Una posible dificultad para los(as) estudiantes es determinar la pendiente de una recta a partir de dos puntos cuyas coordenadas involucren números negativos (por errores derivados delmanejo de los signos). Por ello, se sugiere al docente indicarles que deben apoyarse con lagráfica de la recta, ya que en ella será más fácil determinar la distancia que hay entre las abscisas

y las ordenadas de los puntos.

• Por otro lado, no siempre la gráfica y la cuadrícula son de ayuda para determinar la pendiente; por

ejemplo, para los puntos . Por lo tanto, se sugiere generalizar, en conjunto con

los(as) alumnos(as), y obtener la expresión algebraica para el cálculo de la pendiente de una recta.

• Para facilitar la interpretación de la pendiente de una recta y comprender las consecuencias que

tiene su valor en la gráfica, se recomienda discutir diferentes casos.

= k yx

A , y B , 47

16

15

23


F ió fí (Pá i 128 129)



| 81 |

Función afín (Páginas 128 y 129)


• Antes de establecer la expresión algebraica de la función afín, al igual que en el caso de lafunción lineal, se sugiere apoyarse con tablas para modelar las situaciones propuestas comoejemplos o ejercicios.

• En ocasiones se considera que la función lineal es exclusivamente la función de la forma y = mx,siendo un caso particular de la función afín (con n = 0), la que, de acuerdo a esta definición, nosería lineal. Sin embargo, el término “lineal” también se asocia de manera general a las expresionesde primer grado, por lo que suele considerarse que la función y = mx + n es lineal, por tener

asociada una expresión de primer grado. Por otro lado, algunos plantean que es inadecuado decir que una función afín es lineal, por aspectos propios del álgebra lineal. Para lo que nos interesa aquí,se mantendrá esta distinción, advirtiendo a los(as) estudiantes sobre estas diferencias.

Aplicaciones de la función afín (Páginas 130 y 131)


Se sugiere presentar a los(as) estudiantes situaciones que no correspondan a funciones lineales oafines, de modo que no se asuma inmediatamente que toda función que modela una situación debeser de este tipo.


A continuación, a modo de ampliación de los contenidos, se presentan otras funciones que pueden

ser revisadas y estudiadas en esta unidad.

Función valor absolutoSe define la función valor absoluto como aquella que a cada número le asigna el mismo número osu inverso aditivo, según sea positivo o negativo, respectivamente. Es decir:

cuyo gráfico es:

f(x) = x =x, x 0

–x, x 0Y

X

Ad á i D f R f +

U 0




Además, se tiene que Dom f = y Rec f = U 0.Se observa que para dos pre-imágenes distintas se tiene la misma imagen.Recuerde que si trabaja esta función con los alumnos, ellos no conocen el conjunto numérico de

los números reales (). (Para aclarar este punto, leer las sugerencias metodológicas de las páginas116 y 117).

EjemploEl 10 y el –10 (pre-imágenes) tienen como imagen al 10.


EjercicioAnalizar y discutir las funciones f(x) = x + a y f(x) = x + a, para distintos valores de a. Se sugiereutilizar algún software, como por ejemplo Wiris.

A modo de ejemplo, se grafican algunas funciones para su análisis y discusión.

Gráfico de funciones:f(x) = x ; g(x) = x + 1 ; h(x) = x – 1 ; g(x) = x + 2 ; h(x) = x – 2

Gráfico de funciones:f(x) = x ; g(x) = x + 1; h(x) = x – 1; g(x) = x + 2; h(x) = x – 2

Y

X

Y

X


Función parte entera



| 83 |

Función parte enteraLa función parte entera, f(x) = [x], asocia a cada número el mayor entero que sea menor o iguala dicho número.

Ejemplos1. [2,3] = 2 2. [ –1,45] = –2 3. [1] = 1

Su gráfica es:

Se observa que a cada pre-imagen se le asigna una única imagen.

Es necesario hacer notar a los(as) estudiantes que el gráfico de esta función es considerablementedistinto a los de las funciones que hasta ahora han sido estudiadas, ya que no presenta continuidad.

Además, para esta función se tiene que: Dom f = y Rec f = .

En esta función, un error común es considerar, por ejemplo, [–0,5] = 0, en lugar de [–0,5] = –1.

Se sugiere al docente mostrar a los(as) alumnos(as) lo que sucede con la parte entera de losnúmeros positivos y de los números negativos.

EjercicioAnalizar y discutir las funciones f(x) = [x + a], f(x) = [x] + a, f(x) = x + [x] y f(x) = x – [x] paradistintos valores de a. Propóngales utilizar algún software, por ejemplo Wiris.

Uso de un software (Páginas 132 a 135)





• Motivar a los(as) estudiantes a aprender a utilizar Wiris; así podrán ejercitarse de maneraautónoma cada vez que lo necesiten.

• Se recomienda utilizar este software, también para las funciones valor absoluto y parte entera,con las variaciones correspondientes de sus parámetros.

Uso de un software (Páginas 132 a 135)

En estas páginas se pretende definir la composición de funciones y estudiar sus principalespropiedades. Se espera que el(la) alumno(a) logre componer funciones lineales y afines y, engeneral, cualquier tipo de función relativamente sencilla. Además, que aplique la composición defunciones en las transformaciones isométricas.


• Un error que pueden cometer los(as) alumnos(as) al componer funciones se relaciona con lanotación usada, ya que se asemeja a la multiplicación. Así, por ejemplo, al componer f(x) = x + 1y g(x) = 2x, pueden realizar lo siguiente: (f o g)(x) = (x + 1)(2x) obteniendo 2x

2+ 2x, en lugar

de 2x + 1, que es lo correcto, ya que (f o g)(x) = f(g(x)) = f(2x) = 2x + 1 = 2x + 1.Por lo tanto, destaque la diferencia entre componer y multiplicar funciones.

• Una dificultad común en el aprendizaje de funciones, y en su composición, es comprender quex es el argumento de la función, es decir, “lo que entra” (considerando la función como unamáquina transformadora), y que es independiente de la letra o expresión que se utilice para ella.

Composición de funciones (Páginas 140 a 143)

Continuando con el estudio de la composición de funciones, en estas páginas se presenta unaaplicación de este contenido: composición de transformaciones isométricas cuyo resultado es unanueva transformación. Para este ejercicio, es vital la comprensión del concepto de función, ya quese trabajará con funciones de R

2en R

2, es decir, con más de una variable.


• Una de las principales dificultades consiste en la representación algebraica de una transformaciónisométrica. Se propone trabajar con los(as) estudiantes la notación de una transformaciónisométrica como una abreviación y elaborar, en conjunto, las expresiones algebraicas que permitenrealizar dicha transformación, cuidando de indicar siempre sus parámetros en la forma adecuada.

Transformaciones isométricas y composición de funciones (Páginas 144 y 145)


A continuación se presentan dos fichas de reforzamiento (n° 1 y n° 2), con el propósito de reforzar



| 85 |

a p a a a ( y ), p p ael aprendizaje de las funciones lineal y afín, especialmente para los(as) alumnos(as) con rendimientoinsatisfactorio. Los problemas están basados en las actividades propuestas en el texto delestudiante. Luego, se presentan dos fichas de profundización (n° 3 y n° 4), que buscan ahondar enlos aprendizajes evaluados en esta unidad. Por esta razón, se recomienda trabajarlas con los(as)alumnos(as) cuyos resultados fueron satisfactorios y lograron obtener todas sus respuestascorrectas, sin excluir a aquellos que por interés quieran conocer otras aplicaciones de estecontenido.


NOMBRE CURSO FECHA





U n i d a d

4

Objetivos:Determinar funciones afines y compararlas mediante su representación gráfica.

ABCD y CEFG son dos rectángulos, cuyas medidas están expresadas en centímetros.

1. Escribe, en función de x, el perímetro P(x) del rectángulo

ABCD.

3. Representa en un mismo gráfico ambas funciones P(x) y P’(x).

Observando el gráfico, determina el valor de x para el cualambos perímetros tienen igual medida.

2. Escribe, en función de x, el perímetro P’(x) del rectánguloCEFG.

4. Determina algebraicamente el resultado anterior.

A

Dx

C

m(DG) = 5 cm

E F

1

G

2

B





| 87 |


Objetivos:Identificar una proporcionalidad directa, considerando como referencia el cambio de unidades de medida.Utilizar la regla de tres para determinar el valor desconocido y establecer la función lineal correspondiente.

U n i d a d

4Un tren tiene una longitud de 125 m y avanza con una rapidez media de 136 km/h. Desde el momento en que ingresaa un túnel hasta el momento en que sale completamente, transcurren 27 segundos.

1. ¿Cuál es la longitud del túnel?

2. Determina una función que relacione la variable tiempoen horas y su equivalencia en segundos.

3. Determina una función que relacione la variable distanciaen kilómetros y su equivalencia en metros.

Considera un cuadrado, cuyo lado mide x centímetros.

4. Completa la siguiente tabla.

5. ¿El perímetro es proporcional a la longitud del lado del cuadrado?De ser cierto, determina la función que relaciona esta variable conla longitud del lado del cuadrado.

4. ¿El área es proporcional a la longitud del lado del cuadrado?Si es cierto, determina la función que relaciona esta variablecon la longitud del lado del cuadrado.

x (cm)

Perímetro

Área

1 2 3 4 5 6







U n i d a d 4

Objetivos:Determinar funciones lineales y afines a partir de su gráfica.

Determina la función correspondiente a cada recta.

Considera un rectángulo, cuyas medidas de sus lados corresponde a 2,5 cm y x cm.

5. Completa la siguiente tabla.

1. f 1(x) =

2. f 2(x) =

3. f 3(x) =

4. f 4(x) =

x (cm)

Perímetro

Área

1 2 3 4 5 6

6. ¿El perímetro es proporcional a x? ¿El área es proporcionala x.

7. Construye el gráfico correspondiente. ¿Qué conclusionespuedes obtener?

8

6

4

2

–2

–4

–6

–8

–8 –6 –4 –2 2 4 6 80 X

Y

f 1f 3

f 2

f 4






| 89 |


Objetivos:Utilizar el concepto de pendiente para mostrar que tres puntos son colineales.

U n i d a d 4

Sean los puntos M y G en el plano cartesiano, cuyas coordenadas son M(150, 70) y G(–60, –28). Muestra que los puntos M,G y el origen O son colineales.







U n i d a d 4


1. Si el precio de las naranjas es $ 350 por kilogramo,¿cuánto debo pagar si compro 3,2 kilogramos?

A. $ 1.137B. $ 1.138C. $ 1.120D. $ 1.121E. $ 1.225

2. Si un vehículo rinde 16 km (d) por cada litro debencina (B), ¿cuál es la función que representa talrelación?

A. B = 16d

B. B = d · 16C. 16 = B · dD. d = 16BE. d = 16 + B

3. El siguiente gráfico corresponde a la función:

A. f(x) = 2xB. f(x) = –0,5xC. f(x) = xD. f(x) = 0,5xE. f(x) = –2x

4. Al completar la tabla de proporcionalidad directa, losvalores que corresponden a J y K son:

A. 18 y 10,5B. 63 y 7,5C. 7,5 y 63D. 10,5 y 63

E. 10,5 y 18

5. ¿Cuál es la pendiente de la función que contiene lospuntos A(3, 5) y B (6, 11)?

A. 2 D. 8B. 0,5 E. 0,125C. –2

6. La pendiente de la función corresponde a:

A. 7 D. 1B. 2 E. 0,5C. 1,5

7. ¿Qué puedes decir de los gráficos que representan las

funciones f(x) = 3x y ?

A. Representan rectas paralelas.B. Ambos representan relaciones de proporcionalidad

directa.C. Representan rectas perpendiculares.

D. Representan rectas que se intersectan en dospuntos.


8. ¿Cuál o cuáles de las siguientes funciones tienencoeficiente de posición igual a –3?

A. f(x) = 4x – 3 y g(x) = –2 + 3xB. f(x) = 3x + 3 y g(x) = 3xC. f(x) = 5x – 3 y g(x) = x – 3D. f(x) = –3x + 3 y g(x) = –3x + 7E. f(x) = 5x + 3 y g(x) = 2x + 3

27 45 K

J 17,5 7

f(x) = x + 712

g(x) = – x + 213

3

2

1

–1

–1 1 2 3 4 50 X

Y



| 91 |

U n i d a d 4

9. Determina el parámetro t de la función afín:h(x) = tx + 1, de manera que se cumpla h(–3) = 7.

A. –2B. 3C. 2D. 0E. 1

10. Si se considera como dominio de la función

f(x) = 4,1x + 2 el conjunto , ¿cuál es el recorridocorrespondiente?

A. Los racionales mayores que 2.B. Los racionales mayores o iguales que 2.C. Los racionales menores que 2.D. Los racionales menores o iguales que 2.E. Ninguna de las anteriores.

11. Una empresa A cobra $ 22.000 diarios por el arriendode un vehículo, más una garantía de $ 50.000. Laempresa B cobra $ 25.000 diarios más una garantía de$ 20.000. ¿Qué empresa conviene contratar durante10 días de uso del vehículo?

A. A, pues es más económica después del 8º día.

B. A, pues es más económica después del 9º día.C. Da lo mismo, el valor es el mismo.D. B, pues es más económica después del 9º día.E. B, pues es más económica después del 8º día.

12. Dadas las funciones f(x) = –2x + 5 y g(x) = 3x – 8,¿cuánto resulta la composición (g o f)(x)?

A. (g o f)(x) = x – 3B. (g o f)(x) = –6x – 40C. (g o f)(x) = 9x – 32D. (g o f)(x) = –6x + 21E. (g o f)(x) = –6x + 7

13. Considerando las funciones f(x) = 0,5x + 2,g(x) = x – 3,5 y h(x) = x

2, determina el valor de

(h o f o g)(6,5).

A. 6,5 D. 12,25B. 21,375 E. 19,625C. 3,0625

14. Sean f(x) = 3x – 2 y g(x) = x + 1. El siguiente gráficorepresenta:

A. (f o f)(x)B. (f o g)(x)V. (g o f)(x)D. (g o g)(x)E. Ninguna de

las anteriores.

15. Si f(x) = 5x + t y g(x) = x – t, ¿cuál es el valor de tpara que f(g(3)) = 7?

A. 3

B.

C.

D. 2

A. No se puede determinar.

16. La transformación isométrica equivalente a realizar lasimetría axial con respecto al eje Y del punto P(x, y) y,

luego, trasladarlo según el vector = (0, b) corresponde a:

A. una traslación según el vector = (–2x, b).

B. una traslación según el vector = (2x, b).

C. una traslación según el vector = (2x, –b).

D una traslación según el vector = (–2x, –b).

E. una traslación según el vector = (2x, –b + x).

v

→

v→

v→

v→

v→

v→

433

4

7

5

3

1

1 2 30 X

Y

Solucionario

Ficha de reforzamiento nº 1 14Y




U n i d a d 4

1. P(x) = 4 + 2x2. P’(x) = 12 – 2x3. y 4.

El valor de x, para el cual ambos perímetros tienen igual medida, es 2. Lo obtenemos igualando las expresiones de ambasfunciones.

4 + 2x = 12 – 2x / + (2x)4 + 4x = 12 / + (–4)

4x = 8 / : 4x = 2


1. Desde que un tren ingresa al túnel hasta que su parte posterior sale de él, transcurren 27 segundos. Si la longitud del túnel

son x metros, el tren recorrió entonces (125 + x) metros en 27 segundos. Es decir, su rapidez es .

Para comparar, se expresa la velocidad del tren (136 km/h) en metros por segundo, es decir, ya que, 136 kilómetros

equivalen a 136.000 metros y, 1 hora a 3.600 segundos.

Luego,

Por último, igualando los resultados obtenidos, se tiene que:

Luego, la longitud del túnel es de 895 metros.

2. Sea s la variable tiempo en horas de la función h(s) = 3.600 s; transforma el tiempo en horas a segundos.3. Sea m la variable distancia en kilómetros de la función k(m) = 1.000 m, transforma la distancia de kilómetros a metros.

4.

m/s125 + x

27m/s,

3409

= 3409

136.0003.600

= =

125 + x = 1.020

x = 895

102027

3409

125 + x27

x (cm)

Perímetro

Área

1 2 3 4 5 6

4 8 12 16 20 24

1 4 9 16 25 36

12

10

8

6

4

2

1 2 3 4 5 60 X

5. El perímetro es proporcional al lado del cuadrado y su función lineal correspondiente es P(x) = 4x.6 El área no es proporcional al lado del cuadrado por lo tanto la función que los relaciona no es lineal



| 93 |

U n i d a d 4

6. El área no es proporcional al lado del cuadrado, por lo tanto, la función que los relaciona no es lineal.


1. f 1(x) = x; f 2(x) = ; f 3(x) = x + 2; f 4(x) = – x + 2

2.

3. Solo el área es proporcional a la medida de x.4. Al graficar, se verifica que el área es proporcional a la medida de x,

y se relacionan mediante la función lineal A(x) = 2,5x.


Se determina la pendiente de la recta que pasa por los puntos M y O, y se verifica que es la misma pendiente de la recta quepasa por G y O, y M y G.

Luego, cada par de puntos determina una única recta cuya pendiente es la misma en todos los casos. Por lo tanto, los tres puntospertenecen a una misma recta, lo que muestra que son colineales.

Otra estrategia para resolver este problema es determinar la función lineal que contiene los puntos M y G, para luego comprobar que también el origen pertenece a dicha función.

12

23

x2

32

= = = 0,4670 – –28150 – –60

–28 – 0 –60 – 0

70 – 0150 – 0

x (cm)

Perímetro

Área

1 2 3 4 5 6

7 9 11 13 15 17

2,5 5 7,5 10 12,5 15


1. C 5. A 9. A 13. D2. D 6. E 10. E 14. B3. D 7. C 11. C 15. D

4. E 8. C 12. E 16. A

Bibliografía• Ministerio de Educación, Propuesta Ajuste Curricular, Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios,

Matemática, junio, 2009.

Sitios webs

• Éditions du Kangourou: www.mathkang.org • Ministerio de Educación: www.mineduc.cl• Educarchile: www.educarchile.cl • Sector matemática: www.sectormatematica.cl

10

8

6

4

2

2 4 6 8 100 X

Y





En esta unidad se estudiará el concepto de congruencia de figuras planas y las condiciones mínimas

que permiten establecerla. Se presenta una nueva herramienta matemática: la demostración. Junto

con los criterios de congruencia, se profundiza en el estudio de algunas propiedades de las figuras

geométricas.




• Para reproducir figuras idénticas a una original, el hombre ha creado diversos mecanismos y

tecnologías: desde el calcado en papel, el estarcido o las fotocopias, entre otras; al aplicar estas

técnicas se crea una isometría entre las figuras. Puesto que esta es la manera preliminar de

comparar objetos en el espacio, en el plano se necesitarán criterios que permitan establecer una

relación de congruencia; es ahí en donde las transformaciones isométricas tienen protagonismo,

ya que dadas dos figuras, determinar si efectivamente una es la transformación de la otra

entregará una primera aproximación a los criterios de congruencia.


UNIDAD 5 | Congruencia de figuras planas

• Para complementar la actividad propuesta en el libro, pueden considerar otras transformaciones

aparte de la simetría axial La regla y el compás pueden facilitar el trabajo de los(as) estudiantes



| 95 |


• Para el indicador Caracterizar y clasificar triángulos según las medidas de sus lados y ángulos : si

observa errores en el concepto de desigualdad triangular, pueden realizar construcciones de

triángulos con regla y compás, y considerar medidas en las cuales la construcción no sea posible

de realizar.

• Para el indicador Reconocer los elementos secundarios de un triángulo y calcular áreas, perímetros

u otras medidas: se propone estudiar los triángulos y sus diferentes elementos secundarios desde

las construcciones con regla y compás. El uso de softwares de geometría dinámica permite

mostrar una serie de propiedades de una manera interactiva (en particular, para resolver

problemas como el de la pregunta 6).

• Para el indicador Reconocer y aplicar transformaciones isométricas: las transformaciones

isométricas involucradas en un mosaico pueden determinarse con instrumentos de medición.

Para reforzar este contenido, se sugiere realizar una serie de ejercicios, comenzando con

mosaicos de polígonos regulares, para luego aumentar la dificultad con polígonos irregulares. Es

muy útil utilizar material concreto para mostrar la posibilidad de construcciones mediante

distintas transformaciones isométricas.

• Para el indicador Calcular medidas de lados, ángulos, áreas o perímetros en cuadriláteros y figuras

compuestas: considere la triangulación de los polígonos para trabajar con propiedades

pertinentes a los triángulos y, a partir de esto, la extensión a la figura original.

aparte de la simetría axial. La regla y el compás pueden facilitar el trabajo de los(as) estudiantes,

para confirmar o descartar la congruencia entre las figuras. Por otra parte, esta misma actividad

puede ser apoyada mediante un software de geometría dinámica, como por ejemplo Cabrí II ó

GeoGebra, que permita mover una figura para hacerla coincidir (si es que es posible) con otra.

También puede realizarse un trabajo conjunto con el subsector de artes visuales en relación con

distintas técnicas de calcado o copiado de imágenes.



• Antes de explicar el concepto de congruencia es conveniente hacer una pequeña recapitulación

de las transformaciones isométricas.

• El concepto de congruencia puede resultar de fácil comprensión para los(as) alumnos(as), ya

que tiene mucha relación con el concepto de igualdad. Por esta razón, se sugiere al docente

comenzar la unidad desde las ideas previas que tengan y, si no es posible utilizar un software

geométrico (como el que se señala en el texto), presentar a los estudiantes diferentes figuras,

Congruencia (Páginas 160 y 161)

algunas congruentes y otras no, y pedirles que intenten superponerlas, para luego formalizar la

definición de congruencia y determinar su relación con las transformaciones isométricas




definición de congruencia y determinar su relación con las transformaciones isométricas.

• El movimiento de traslación, para establecer si dos figuras son congruentes, suele entenderse

intuitivamente, porque no implica un giro o una inversión de la figura. Sin embargo, los movimientos

de simetría y rotación pueden presentar mayores dificultades para los(as) alumnos(as). Por esta

razón, hay que estar atentos a este hecho, ya que algunos(as) estudiantes pueden conformarse solo

con trasladar la figura y decidir que no son congruentes, cuando sí lo son.

• Una dificultad común para los(as) estudiantes es la determinación de los lados correspondientes

u homólogos entre dos triángulos. Frente a esto, apóyelos(as) con material concreto, para que

luego realicen de manera abstracta la correspondencia. Además, se sugiere recurrir a lo práctico,

o sea, escribir la congruencia respetando la correspondencia de los lados, ya que de esta

notación se puede deducir fácilmente, de las letras, aquellos lados que son congruentes.

• Muchos(as) alumnos(as) confunden los conceptos de igualdad y congruencia, suelen concluir

que si dos triángulos son congruentes, entonces, “son iguales”. Es importante que comprendan

que, al tener dos triángulos congruentes, sus lados y ángulos correspondientes tienen igual

medida, pero los triángulos siguen siendo dos figuras totalmente independientes. Aclare,

entonces, que lo correcto es hablar de medidas iguales, y no de elementos geométricos iguales,

sino congruentes. Se sugiere, por lo mismo, ser riguroso en la notación.

De acuerdo con el Marco Curricular aprobado, los(as) estudiantes construyen ángulos en 6º Básico

y los elementos de un triángulo (bisectrices, transversales, etc.), los revisan en 7º Básico. En este

mismo curso se estudia construcción de triángulos a partir de las medidas de sus lados y ángulos.

En estas páginas se aplican criterios de congruencia a partir de las condiciones necesarias y

suficientes para construir un triángulo utilizando regla y compás.


• Para que los alumnos y alumnas adquieran mayor dominio en la construcción de triángulos,

discuta con ellos acerca de las condiciones o datos necesarios y suficientes para ello.

Pregúnteles:

- ¿siempre es posible construir un triángulo dadas tres condiciones?

- ¿qué sucede si solo se dan dos condiciones?,

- ¿qué sucede si se dan más de tres condiciones?, ¿se puede construir?

• Alternativo a la construcción con regla y compás se sugiere al docente utilizar algún software

geométrico.

Construcción de triángulos y congruencia (Páginas 162 y 163)


Criterios de congruencia (Páginas 164 y 165)



| 97 |


• Es importante que los(as) alumnos(as) comprendan la importancia de la argumentación antes

de concluir la congruencia de dos triángulos; es decir, especificar las condiciones que nos

permiten obtener el criterio que verifica la congruencia.

A través de estas páginas se pretende acercar a los(as) alumnos(as) a la demostración formal

matemática. Para ello se propone una tabla de dos columnas, en la primera está escrita la afirmación

en notación geométrica, y en la segunda, la argumentación o justificación de la afirmación. Se espera

que, con apoyo del docente, puedan dominar esta nueva forma de demostrar propiedades

geométricas.

Además, al final del texto del estudiante se presentan dos páginas dedicadas a la demostración

matemática utilizando diversos contextos para ejemplificar.


• Para presentar el tema, comente a los(as) alumnos(as) que desde la antigüedad el hombre ha

manifestado la necesidad de mostrar (y demostrar) algún enunciado a través de un conjunto de

pasos lógicos.

• Generalmente, la primera confusión que se les crea a los(as) estudiantes es cuando se les pide

demostrar verificando para un caso particular. Por lo tanto, se sugiere aclararles en la diferencia

entre demostrar formalmente y solo verificar un enunciado.

• Se recomienda al docente, dar inicialmente, mayor importancia a la comprensión de una

demostración, tanto en lo que se demuestra como en la forma que se procede para ello. Luego,

puede invitar a los(as) estudiantes a demostrar enunciados que involucren congruencia de

triángulos.

• Un paso clave en la demostración es la correcta identificación de las hipótesis, ya que se puede

incurrir en el error de considerar solo casos particulares.

• En estos ejercicios es bastante común que los(as) alumnos(as) se guíen por el dibujo de la

situación e ignoren los datos propios del enunciado, incurriendo así en errores. Para corregir esta práctica, se sugiere realizar ejercicios con y sin ilustraciones, y enfatizar que, independiente

del dibujo, lo que importa son las condiciones que se dan en el enunciado del problema.

• Recalque la necesidad de usar del lenguaje algebraico para la demostración, pues se busca

sintetizar lo que se escribe.

• A modo de estrategia, realice primero una demostración informal del enunciado, para luego

estructurarla formalmente.

Aplicaciones de la congruencia (Páginas 168 a 171)





Como actividades complementarias se proponen los siguientes ejercicios de aplicación de la

congruencia de triángulos, y sus respectivas soluciones. Una alternativa didáctica es modelar la

situación planteada con algún software geométrico y, a partir de ello, conjeturar junto con los(as)

estudiantes.

Desafío 1

Sea ABC un triángulo y A’ el punto medio de BC. tal como se muestra en la figura.

Demuestra que las distancias de B y C al segmento AA’ son iguales.

(Nota: La distancia de un punto a un recta es el segmento perpendicular a la recta que pasa por

el punto. Revisar página 169 del texto).

Respuesta

Hipótesis: BA’ ≅ CA’, BE ⊥ AA’, CF ⊥ AA’

Tesis: BE ≅ CF

Para demostrar esta tesis se verificará si los A’EB y A’FC son congruentes. Si se demuestra que

A’EB ≅ A’FC, se verifica que BE ≅ CF.

Demostración:

Afirmación Justificación

1. m(BEA) = m(CFA’) = 90º Por la definición de distancia de un punto a un segmento

o recta.

2. BA’ ≅ CA’ Por hipótesis.

3. EA’B ≅ FA’C Por ser ángulos opuestos por el vértice.

4. A’EB ≅ A’FC Por las afirmaciones 1, 2 y 3, se verifica el criterio ALA.

5. BE ≅ CF Por la afirmación 4. (q.e.d.)

A’

F

C

A

E

B


Desafío 2

Sea ABC un triángulo cualquiera. Al exterior de este triángulo se construyen tres triángulos



| 99 |

g q g y g

equiláteros CBA’, ACB’ y BAC’, tal como lo indica la figura:

Demuestra que AA’, BB’ y CC’ son congruentes.

Respuesta

Hipótesis: CBA’, ACB’ y BAC’ son equiláteros.

Tesis: AA’ ≅ BB’ ≅ CC’

Se demostrará que BCB’ ≅ A’CA. De aquí es inmediato que AA’ ≅ BB’. De manera similar, se

puede demostrar que BAB’ ≅ C’AC, de donde es inmediato que BB’ ≅ CC’.

Demostración:

* De manera similar, se demuestra que BB’ ≅ CC’.


1. m(B’CA) = m(BCA’) = 60º Ya que ACB’ y CBA’ son equiláteros.

2. m(B’CB) = m(B’CA) + m(ACB) Por construcción.

3. m(ACA’) = m(ACB) + m(BCA’) Por construcción.

4. B’CB ≅ ACA’ Por las afirmaciones 1, 2 y 3.

5. AC ≅ CB’ Por ser el ACB’ equilátero.

6. A’C ≅ CB Por ser el CBA’ equilátero.

7. BCB’ ≅ A’CA Por las afirmaciones 4, 5 y 6 se verifica el criterio LAL.

8. AA’ ≅ BB’ Por la afirmación 7. (q.e.d.)

B’

A’

C’

A B

C

Desafío 3

En la figura se muestra una cuadrado ABCD, en el cual los puntos I y J se ubican en los segmentos




g , p y J g

AB y BC, respectivamente, tal que AI ≅ BJ, y K es el punto de intersección de los segmentos

IC y JD.

Demostrar que JKC es un ángulo recto.

Respuesta

Hipótesis: ABCD es un cuadrado; AI ≅ BJ; IC ∩ JD = K

Tesis: m( JKC) = 90º

Se demostrará que IBC ≅ JCD. Esto nos permitirá afirmar que ICB ≅ JDC y que BIC ≅CJD.

Con esta congruencia de ángulos, y relacionándolos con los ángulos del KJC, se podrá concluir que

la suma de las medidas de los KCJ y CJK debe ser igual a 90º, y que el ángulo JCK es recto

(quedando entonces demostrada nuestra tesis).

Demostración:

En el texto del estudiante se demuestra que la transversal de gravedad respecto a la base de un

triángulo isósceles corresponde también a la altura de dicho triángulo. Luego, es posible demostrar

que la simetral con respecto a la base de dicho triángulo coincide con la altura respectiva. Este

resultado permite demostrar, entre otras cosas, que las simetrales de un triángulo concurren en un

punto, resultado que se propone como profundización de contenidos y que más adelante es

utilizado en esta guía para otra ampliación de los mismos.


1. AB ≅ BC Por hipótesis.

2. AI ≅ BJ Por hipótesis.

3. IB ≅ JC Por las afirmaciones 1 y 2.

4. BC ≅ CD Por hipótesis.

5. m(CBI) = m(DCJ) = 90º Por ser ABCD un cuadrado.

6. IBC ≅ JCD Por las afirmaciones 3, 4 y 5, se verifica el criterio LAL.

7. ICB ≅ JDC Por la afirmación 6.

8. BIC ≅ CJD Por la afirmación 6.

9. m(ICB) + m(BIC) = 90º Por teorema de los ángulos interiores de un triángulo

y por la afirmación 5.

10. m(KCJ) + m(CJK) = 90º Por las afirmaciones 7, 8 y 9.

11. m( JKC) = 90º Por teorema de los ángulos interiores de un triángulo

y por la afirmación 10. (q.e.d.)

A B

D

K

J

I

C


Desafío 4

Demostrar que las simetrales de un triángulo concurren en un punto.



| 101 |

q g p

Respuesta

Hipótesis: S1, S2 y S3 simetrales del triángulo ABC.

Tesis: S1 ∩ S2 ∩ S3 = S

Demostración:


1. S1 ∩ S2 = S Por ser dos rectas que se cortan.

2. ASC es isósceles de base AC. Por ser S2 simetral del ASC, también es altura del

triángulo y, por tanto, dimidia a la base AC.

3. SA ≅ SC Por la afirmación 2.

4. ASB es isósceles de base AB. Por ser S1 simetral del ASB, también es altura del

triángulo, y por tanto dimidia a la base AB.

5. SB ≅ SA Por la afirmación 4.

6. SB ≅ SC Por las afirmaciones 3 y 5.

7. BSC es isósceles. Por la afirmación 6.

8. La simetral del BSC que pasa Por la afirmación 7.

por S dimidia al segmento BC.

9. S3 coincide con la altura del Por la afirmación 8.

BSC que pasa por S.

10. S3 pasa por S. Por la afirmación 9.

11. S1, S2 y S3 concurren en un Por las afirmaciones 1 a 10. (q.e.d.)

mismo punto S.

S3 S2

S

A

B CS1

Congruencia y construcciones con regla y compás (Páginas 172 y 173)




En estas páginas se enfatiza en la justificación de una construcción con regla y compás a través de

los criterios de congruencia.


• Una de las inquietudes que pueden manifestar los estudiantes es por qué construir con regla y

compás, y no utilizar otras herramientas (escuadra, transportador, softwares, etc.). Se sugiere al

docente argumentar, por ejemplo, que en la construcción de viviendas se deben utilizar diversas

estrategias, dada la imposibilidad de ocupar escuadras gigantes.

• Es importante precisar en que los criterios de congruencia de triángulos nos garantizan la

posibilidad de la construcción.


• Para ilustrar los diferentes tipos de cuadriláteros, en particular los paralelogramos, se sugiere

diversificar los dibujos, para que los(as) estudiantes no se centren en un solo tipo de

representación; por ejemplo, un romboide para un paralelogramo.


Utilizando las propiedades de los paralelogramos y las demostraciones revisadas anteriormente en

esta unidad, se propone, a modo de profundización de contenidos, la siguiente demostración.

Desafío 1

Demostrar que en un triángulo cualquiera ABC, las alturas se intersectan en un mismo punto.

Respuesta

Hipótesis: ABC es un triángulo cualquiera; Ha, Hb y Hc corresponden a las alturas, respectivamente.

Tesis: Ha, Hb y Hc concurren en un punto (H: ortocentro).

Para demostrar este teorema, se trazarán rectas, por cada uno de los vértices del ABC, paralelas

a los lados opuestos de dichos vértices. La intersección de estas rectas permite obtener un nuevo

EDF. Se demostrará que las alturas Ha, Hb y Hc del ABC corresponden a las simetrales del

EDF, y, por la demostración anterior (las simetrales de un triángulo concurren en un punto), se

obtendrá finalmente la demostración de la tesis.

Demostración: Para demostrar este enunciado, se considera un ABC. Sus alturas Ha, Hb y Hc.

Además, se han construido las rectas L1, L2 y L3, paralelas a BC, AC y AB, respectivamente, talcomo lo indica la siguiente figura.

Propiedades de los cuadriláteros y congruencias (Páginas 174 y 175)


Hc Hb

A

E D

L3



| 103 |


1. L1 // BC Por hipótesis.

2. EA // BC y AD // BC Por la afirmación 1.

3. L2 // AC Por hipótesis.

4. EB // AC y BF // AC Por la afirmación 3.

5. L3 // BA Por hipótesis.

6. FC // BA y CD // BA Por la afirmación 5.

7. BCAE es un paralelogramo. Por las afirmaciones 2 y 4.

8. BCDA es un paralelogramo. Por las afirmaciones 2 y 6.

9. EA ≅ BC Por la afirmación 7 y por propiedad de los

paralelogramos.

10. AD ≅ BC Por la afirmación 8 y por propiedad de los

paralelogramos.

11. EA ≅ AD Por las afirmaciones 9 y 10.

12. A es punto medio de ED. Por la afirmación 11.

13. Ha ⊥ L1 Por la afirmación 1, y por ser Ha la altura desde

el vértice A.

14. Ha es simetral del segmento ED Por las afirmaciones 12 y 13.

en el

EDF.

15. Ha, Hb y Hc son las simetrales Por verificaciones anteriores.

del EDF.

16. Ha, Hb y Hc concurren en un Por la afirmación 14, y porque las simetrales de

mismo punto. un triángulo concurren en un punto. (q.e.d.)

* De manera similar, se demuestra que Hb es simetral del segmento EF en el EDF, y que

Hc es simetral del segmento FD.

* Como se probó anteriormente, las simetrales de un triángulo concurren en un mismo

punto. Por lo tanto, la demostración concluye así:

Ha

A

B C

F

E DL1

L2

Uso de GeoGebra (Páginas 178 y 179)




Al trabajar con elementos geométricos, el apoyo en un software es de gran ayuda. Además, es útil

para que los(as) alumnos(as) se atrevan a conjeturar antes de demostrar algún enunciado o algunapropiedad.


• GeoGebra es una poderosa herramienta, la cual no solo permite construir y conjeturar, sino

también comprobar los resultados para un gran conjunto de casos, al hacer variar las figuras. Sin

embargo, esto puede transformarse en un obstáculo para la comprensión de la demostración, ya

que los(as) estudiantes pueden creer que con la comprobación es suficiente. Por lo tanto,

aclararles que un software geométrico permite verificar, pero además, se necesita la demostración

formal que garantice que se cumplirá para todos los casos.

A continuación se presentan dos fichas de reforzamiento (n° 1 y n° 2), con el propósito de reforzar

el aprendizaje de la congruencia de figuras planas, especialmente para los(as) alumnos(as) con

rendimiento insatisfactorio. Los problemas están basados en las actividades propuestas en el texto

del estudiante. Luego, se presentan dos fichas de profundización (n° 3 y n° 4) que buscan ahondar

en los aprendizajes evaluados en esta unidad. Por esta razón, se recomienda trabajarlas con los(as)

alumnos(as) cuyos resultados fueron satisfactorios y lograron obtener todas sus respuestas

correctas, sin excluir a aquellos que por interés quieran conocer otras aplicaciones de este

contenido.




| 105 |






U

n i d a d

5

Objetivos:Demostrar propiedades de polígonos utilizando los criterios de congruencia de triángulos.

Realiza las siguientes demostraciones utilizando el formato de dos columnas (formato trabajado en el texto). Indicando, de

manera ordenada, las afirmaciones que la componen y sus respectivas justificaciones.

1. De acuerdo con las siguientes hipótesis: AB ≅ CB, EF ≅ ED, ABE ≅ CBE, AED ≅ CEF, demostrar que AD ≅ CF.

2. En el hexágono ABCDEF de la figura, las diagonales AD y FC se dimidian (m(AO) = m(OD) y m(FO) = m(OC)).

Demostrar que AF // CD.



B

A CD

AB

C

O

DE

F

F

E





| 107 |

Objetivos:Demostrar propiedades de polígonos regulares utilizando los criterios de congruencia de triángulos.

U

n i d a d

5

Realiza las siguientes demostraciones utilizando el formato de dos columnas (formato trabajado en el texto). Indicando, de

manera ordenada, las afirmaciones que la componen y sus respectivas justificaciones.

1. Se sabe que ABCDEF es un hexágono regular. Demostrar que 1 ≅ 2.

(Ayuda: primero demuestra que AE ≅ DB).


A B

C

DE

F

1

2






U

n i d a d

5

Objetivos:Relacionar algebraicamente el concepto de desigualdad triangular con el de perímetro de figuras.

Demuestra lo pedido.

1. Sea ABCD un cuadrilátero. Demuestra que la medida de cada una de sus diagonales es menor que la mitad de su perímetro.

Por ejemplo, m(AC) < .

2. Demuestra que en todo cuadrilátero el perímetro es mayor que la suma de las longitudes de las diagonales.

m(AB) + m(BC) + m(CD) + m(DA)

2






| 109 |

Objetivos:Demostrar teoremas de triángulos utilizando los criterios de congruencia.

U

n i d a d

5Demuestra las siguientes propiedades de los triángulos.

1. Sea el triángulo ABC. Considera un punto P en su interior, tal que CP ≅ CB. Demostrar que m(AP) es menor que m(AB).






U

n i d a d

5


1. Sean A(4, 1), B(7, 5) y C(7, 1) las coordenadas de un

triángulo. ¿Con cuál de las siguientes coordenadas del

punto C’ se tiene que ABC ≅ BAC’?

A. C’(4, 4) D. C’(3, 4)

B. C’(5, 4) E. C’(4, 5)

C. C’(4, 3)

2. Si el polígono ABCDE es congruente al polígono

A’B’C’D’E’, entonces es verdadero que:

I. BC ≅ B’C’

II. DEA ≅ D’E’A’

III. CD proporcional a C’D’.

A. Solo I D. II y III

B. Solo II E. I, II y III

C. I y II

3. ¿Cuál de las siguientes siglas no corresponde a un

criterio de congruencia de triángulos?

A. LLL

B. ALA

C. LAL

D. AAA

E. LLA

4. ¿Qué criterio es el que permite determinar la

congruencia de los siguientes triángulos?

A. LLL

B. LAA

C. LAL

D. AAA

E. LLA

5. Si ABC ≅ DEF, entonces la medida de EF es:

A. 6

B. 9

C. 14D. 26

E. No puede determinarse.

6. Sea el triángulo ABC. ¿Cuántos triángulos congruentes

al original pueden obtenerse mediante transforma-

ciones isométricas que lleven A a B y B a A?

A. 1 D. 4

B. 2 E. Ninguna de las anteriores.

C. 3

7. Para demostrar el teorema: “si dos lados de un triángulo

son congruentes, entonces los ángulos que opuestos a

dichos lados son congruentes”, la hipótesis correspon-

dería a:

A. un triángulo con sus lados congruentes.

B. dos lados congruentes.

C. ángulos opuestos congruentes.

D. un triángulo con dos lados congruentes.

E. un triángulo con ángulos opuestos congruentes.

8. Para demostrar el teorema: “los ángulos interiores de un

hexágono regular miden todos 120º”, la tesis corres-

pondería a:

A. un hexágono.

B. un hexágono regular.

C. los ángulos interiores de un hexágono regular.

D. miden 120º en todo hexágono.

E. la medida de todos los ángulos es 120º.

D

137°

17°

26°14

96137°

C

B

A

F

E

9. En la siguiente figura es cierto que: 13. En el paralelogramo SRTQ, se divide en tres partes

iguales la diagonal ST y se unen los puntos como



| 111 |

U

n i d a d

5

A. CDE es escaleno.

B. AC ≅ CB

C. EB ≅ ED

D. CDE ≅ BDE

E. Todas las anteriores.

10. Prueba TIMSS, 2003. En el paralelogramo WXYZ,

¿cuál de estas afirmaciones no es falsa?

A. WOX ≅ WOZ

B. YZO ≅ YZX

C. WXZ ≅ WYZ

D. WOX ≅ YOZ

E. WYX ≅ ZXY

11. Al trazar la diagonal PR en el rombo PQRS, se cumple:

I. EG ≅ EF II. ES ≅ EQ III. SPR ≅ QPR

A. Solo I

B. II y III

C. I y IIID. I, II y III


12. Prueba TIMSS, 2003. ABCD es un trapecio. Otro

trapecio, GHIJ, es congruente con ABCD. El ángulo

cuyo vértice es G y el ángulo cuyo vértice es J miden

70º cada uno. ¿Cuál de estas afirmaciones podría ser verdadera?

A. GH ≅ AB

B. El ángulo cuyo vértice es H es un ángulo recto.

C. Todos los lados de GHIJ tienen la misma longitud.

D. El perímetro de GHIJ es tres veces el perímetro

de ABCD.

E. El área de GHIJ es menor que el área de ABCD.

iguales la diagonal ST y se unen los puntos como

muestra la figura. Se afirma siempre que:

A. VRMQ ≅ QMRT

B. RMQV es rombo.

C. SRMQ ≅ TQVR

D. Todas las anteriores.


14. Dado un triángulo cuyas medidas de sus lados son 7 cm,

15 cm y 7 cm, se puede decir que el triángulo es:

A. isósceles.

B. equilátero.

C. escaleno.

D. obtusángulo.

E. No se forma un triángulo con esas medidas.

15. EF es simetral de AB; AD ⊥ AB; BC ⊥ AB. Con esta

información es cierto que:

A. EAF ≅ EBF

B. ABD ≅ BAC

C. AD ≅ BC

D. Todas las anteriores.


16. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera?

A. Dos triángulos rectángulos son congruentes si susángulos agudos respectivos son congruentes.

B. Dos triángulos son congruentes si sus lados

correspondientes miden lo mismo.

C. Dos triángulos son congruentes si sus ángulos

respectivos son iguales.

D. Para demostrar que dos triángulos son congruen-

tes, se puede utilizar el criterio AAL.

E. Todos los triángulos equiláteros son congruentes.

AS R

M

V

TQ

D

E

C

BA F

B

E

C

D

Z Y

XW

O

S R

QP

EG

F

Solucionario


1. Hipótesis: AB ≅ CB, EF ≅ ED, ABE ≅ CBE; AED ≅ CEF

T i AD ≅ CF




U

n i d a d

5

Tesis: AD ≅ CF

Demostración:

2. Hipótesis: AO ≅ OD, FO ≅ OC

Tesis: AF // CD

Demostración:


1. AB ≅ CB Por hipótesis.

2. ABE ≅ CBE Por hipótesis.

3. BE ≅ BE Por el principio de identidad.

4. ABE ≅ CBE Por las afirmaciones 1, 2 y 3 se verifica el criterio LAL.

5. EA ≅ EC Por afirmación 4.

6. AED ≅ CEF Por hipótesis.

7. EF ≅ ED Por hipótesis.

8. AED ≅ CEF Por las afirmaciones 5, 6 y 7 se verifica el criterio LAL.

9. AD ≅ CF Por la afirmación 8. (q.e.d.)


1. AO ≅ OD Por hipótesis.

2. FO ≅ OC Por hipótesis.

3. AOF ≅ DOC Por ser ángulos opuestos por el vértice.

4. AOF ≅ DOC Por las afirmaciones 1, 2 y 3 se verifica el criterio LAL.

5. AFO ≅ OCD Por afirmación 4.

6. AFO ≅ OCD Son ángulos alternos internos de la transversal FC↔

.

7. AF // CD Por la afirmación 6. (q.e.d)


Para demostrar que AE ≅ DB, se demuestra que AFE ≅ DCB. Luego, usando AE ≅ DB se demuestra que:

AEB ≅ DBE, de donde se desprende la congruencia de los ángulos AEB y DBE, que es lo que se desea.



| 113 |

U

n i d a d

5

, p g g y , q q

Hipótesis: ABCDEF hexágono regular.

Tesis: AEB ≅ DBE

Demostración:


1. Hipótesis: ABCD cuadrilátero.

Tesis: m(AC) < y m(BD) <

Demostración:


2


2

La demostración de que m(BD) < es análoga.m(AB) + m(BC) + m(CD) + m(DA)2


1. ABCDEF hexágono regular Por hipótesis.

2. AF ≅ CD Por afirmación 1.

3. FE ≅ BC Por afirmación 1.

4. AFE ≅ DCB Por afirmación 1.

5. AFE ≅ DCB Por afirmaciones 2, 3 y 4 se verifica el criterio LAL.

6. AE ≅ DB Por afirmación 5.

7. AB ≅ DE Por afirmación 1.

8. BE ≅ EB Por principio de identidad.

9. AEB ≅

DBE Por afirmaciones 6, 7 y 8 se verifica el criterio LLL.10. AEB ≅ DBE Por la afirmación 9. (q.e.d.)


1. ABCD cuadrilátero. Por hipótesis.

2. Entre A, B, C, D no hay tres puntos colineales. Por afirmación 1.

3. ABC es un triángulo. Por afirmación 2.

4. m(AC) < m(AB) + m(BC) Por la desigualdad triangular.

5. ACD es un triángulo. Por afirmación 2.

6. m(AC) < m(DA) + m(CD) Por la desigualdad triangular.

7. 2m(AC) < m(AB) + m(BC) + m(DA) + m(CD) Por afirmaciones 4 y 6.

8. m(AC) < Dividiendo a ambos lados por 2 en 7. (q.e.d.)m(AB) + m(BC) + m(CD) + m(DA)

2

Solucionario

2. Hipótesis: ABCD cuadrilátero.

Tesis: m(AC) + m(BD) < m(AB) + m(BC) + m(CD) + m(DA)

Demostración:




U

n i d a d

5

Demostración:


1. ABCD cuadrilátero. Por hipótesis.

2. m(AC) < Por demostración anterior.

3. m(BD) < Por demostración anterior.

4. m(AC) + m(BD) < m(AB) + m(BC) + m(CD) + m(DA) Por afirmaciones 2 y 3. (q.e.d.)


2


2


Hipótesis: ABC triángulo y P un punto interior, CP ≅ CB.

Tesis: m(AP) < m(AB)

Demostración:


1. ABC triángulo Por hipótesis.

2. P un punto interior del ABC. Por hipótesis.

3. CP ≅ CB Por hipótesis.

4. L bisectriz de PCB. Construcción de la bisectriz de un ángulo.

5. L ∩ AB = M La intersección de un segmento con una recta es un punto.

6. MC es bisectriz de PCB. Segmento contenido en la recta L.

7. PCM ≅ BCM Por afirmación 6.

8. CM ≅ CM Por principio de identidad.

9. CPM ≅ CBM Con las afirmaciones 3, 7 y 8 se verifica el criterio LAL.

10. PM ≅ BM Por afirmación 9.

11. m(AP) < m(AM) + m(PM) Por la desigualdad triangular en APM.

12. m(AM) + m(PM) = m(AM) + m(MB) Por afirmación 11.

13. m(AM) + m(MB) = m(AB) Puesto que A, M y B son colineales.

14. m(AP) < m(AB) Por las afirmaciones 11, 12 y 13. (q.e.d.)

Solucionario


1. E 9. B

2 C 10 D



| 115 |

U

n i d a d

5

Bibliografía• Carral, M., Géométrie, Ellipses, París, 1995.

• Mercado, C., Test de matemática, Editorial Universitaria, Santiago, 1978.

• Ministerio de Educación, Propuesta Ajuste Curricular, Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios, Matemática,

junio, 2009.

• Omer, C., Geometría, Chile, 1965.

Sitios webs


• International Association for the Evaluation of Educational Achievement: http://timss.bc.edu/

2. C 10. D

3. D 11. C4. E 12. A

5. A 13. C

6. B 14. E

7. D 15. D

8. E 16. B





Desde su origen, la Estadística se ha extendido por varias disciplinas del conocimiento. Su constanteaplicación para el registro, ordenación y análisis de datos, en diversos ámbitos, ya sea en el mundode la ciencia, académico, comercial, social, educacional, etc., como en la vida cotidiana hacenecesario su estudio.

Antes de comenzar la unidad, es importante revisar el fichero que se encuentra al final del textodel alumno, para evaluar si es necesario repasar contenidos previos.


El análisis estadístico consiste en observar la realidad para interpretarla por medio de datos o deinformación, y así obtener conclusiones que permitan describir ciertos fenómenos de esa realidad.Para organizar la información se utilizan tablas y gráficos, con los cuales es posible inferir relacionesentre variables como determinadas conclusiones. Para realizar esto se propone la actividad de iniciode la unidad, la cual entrega información acerca de los resultados obtenidos por algunos países deSudamérica, incluyendo el nuestro, en la prueba internacional PISA.


Para complementar este inicio de unidad, se propone una actividad previa que considera unamenor cantidad de datos.

UNIDAD 6 | Estadística



| 117 |

El siguiente histograma presenta la información de algunos colegios de Santiago que participaron

de un proyecto para mejorar la actividad física, combatir el sedentarismo y el sobrepeso de losadolescentes.

1. Determina el porcentaje de colegios por comuna que participó en el proyecto.

2. ¿Cuál es el porcentaje de participación de los colegios de las zonas Oriente, Norte y Sur?

3. ¿Cuál es el promedio de colegios por comuna participante?Respuesta: 6,69 colegios.

4. ¿Qué comunas están por sobre dicho promedio?Respuesta: Macul, La Florida, Las Condes, Ñuñoa, Pudahuel y Maipú.

Comuna Porcentaje (%)

Macul 13,79

La Florida 13,79

Las Condes 11,49

Renca 6,90

Ñuñoa 9,20

La Reina 4,60

San Ramón 5,75

Comuna Porcentaje (%)

Pudahuel 12,64

El Bosque 2,30

San Miguel 2,30

Recoleta 3,45

Conchalí 5,75

Maipú 8,05

Zona Porcentaje (%)

Oriente 39,08

Norte 9,20

Sur 24,14

14

12

10

8

6

4

2

0

M a c u l

L a F l o r i d a

L a s C o n d e s

R e n c a

N u ñ o a

L a R e i n a

S a n R a m ó n

P u d a h u e l

E l B o s q u e

S a n M i g u e l

R e c o l e t a

C o n c h a l í

M a i p ú

Comunas de Santiago

C a n t i d

a d d e c o l e g i o s






De acuerdo con el Marco Curricular aprobado, los(as) alumnos(as) en 7º Básico analizan tablas de

frecuencias y en 8º Básico construyen tablas con datos agrupados. Para Iº Medio se proponecontinuar con datos agrupados, pero desde la interpretación y análisis de gráficos, medidas de tendencia central y de posición.


• En la tabla del texto, la amplitud de cada intervalo no siempre es la misma, por lo que se sugiereseñalar a los(as) alumnos(as) que en una tabla se pueden presentar los intervalos de esta forma,

lo cual determinará el tipo de análisis que se hará de ella. La elección de la amplitud de losintervalos dependerá del objeto de análisis, así, por ejemplo, si se quiere comparar entre gruposde edades homogéneas, lo más adecuado serán intervalos de igual amplitud, mientras que si sequiere comparar entre niños, jóvenes y adultos, los intervalos por edad serán en función dedichas etapas de la vida, por lo que no todos tendrán la misma amplitud.

• Se sugiere trabajar con tablas de datos agrupados usando información relevante para los(as)estudiantes, tanto para su formación personal, como para acercarlos(as) a la realidad nacional;por ejemplo: las consecuencias del tabaco, las drogas o la pobreza.

Tablas con datos agrupados (Página 190)


• Para el indicador Leer y analizar información presentada a través de gráficos : se sugiere queprimero se trabaje con gráficos de barra relacionando solo dos variables y, posterior a esto, tresvariables. Luego, realizar el trabajo de gráficos combinados (como el de la pregunta 1). Estemismo remedial se propone para la construcción de histogramas.

• Para el indicador Organizar e interpretar datos en tablas de frecuencias: se recomienda al docenterecordar los conceptos de frecuencia absoluta y relativa y sus distintas representaciones(expresión decimal y fraccionaria). Al momento de agrupar datos, es conveniente comenzar concantidades pequeñas, que tengan dos o tres categorías, para luego aumentar la complejidad.

• En los ejercicios tipo de la pregunta 8, correspondientes al indicador Calcular y relacionar medidas

de tendencia central en datos no agrupados: si los(as) alumnos(as) no logran obtener la ecuación,sugerirles que utilicen la estrategia ensayo y error, con valores similares al de los dados. En losejercicios tipo de la pregunta 9, se recomienda resolverlos junto con los(as) estudiantes, y discutir acerca de las posibles conclusiones que se pueden obtener del enunciado. Por ejemplo,que si la moda es 17, este dato puede estar repetido 2 ó 3 veces o que en los dos casosanteriores es posible obtener la mediana, pero que solo en el segundo caso es posible calcular la media.


Construcción de tablas (Página 191)

Para los(as) alumnos(as) que estudiaron bajo el currículum antiguo, se presenta esta página con el



| 119 |

( ) ( ) q j g , p p g

objetivo de reforzar los conocimientos previos necesarios para el posterior análisis de lainformación.


• Antes de construir la tabla, se sugiere identificar claramente las variables involucradas en elestudio.

• Al calcular la amplitud, para definir los intervalos, es posible que este valor no pertenezca alámbito numérico de los datos (por ejemplo, se está trabajando con números enteros y laamplitud resulta un número decimal), por esto, sugerir a los(as) alumnos(as) estar atentos al tipode variable con la que se trabaja, antes de realizar los cálculos, para luego tomar la mejor decisión (leer SOS Mat de esta página en el texto del alumno).

• Aclarar a los(as) estudiantes que cuando la variable estudiada es continua, se utiliza para susintervalos la notación [ - [, lo que implica que el extremo inferior no se considera. En el casode variables no continuas, se debe sumar un delta al extremo inferior para obtener el extremosuperior del siguiente intervalo, este delta dependerá de los valores que tomen los datos (valor que tenga la misma cantidad de cifras decimales que la variable estudiada).

• Comentar con los(as) estudiantes las ventajas y desventajas que tiene trabajar con tablas dedatos agrupados. Por ejemplo, son muy útiles para organizar y analizar los datos como conjunto,pero se pierde la información que entrega cada uno de ellos por separado, es decir, ya no se trabaja con el dato directamente, sino que con un grupo o con un representante del intervalo.

• Es importante señalar a los(as) alumnos(as) que las frecuencias relativas son útiles cuando lacantidad de datos agrupados “son muchos”, ya que nos permiten comparar entre los distintosgrupos a través de los porcentajes. Sin embargo, cuando los datos son pocos (por ejemplo, diezdatos), las frecuencias absolutas permiten establecer comparaciones, sin necesidad de recurrir

al cálculo de las frecuencias relativas.• Proponer a los(as) alumnos(as) que para comprobar los cálculos realizados, para obtener los

distintos tipos de frecuencias, verifiquen la suma de ellas (por ejemplo, que la suma de lasfrecuencias relativas debe ser 1, y la porcentual debe sumar 100, etc.).

• Señalar que el cálculo de las frecuencias acumuladas dependerá del tipo de variable que se estéanalizando.

Construcción de gráficos: Histogramas (Página 192)

De acuerdo con el Marco Curricular aprobado (junio 2009), los(as) alumnos(as) desde 5º Básicocomienzan a construir y analizar gráficos (de barra, de líneas, circulares, etc.). El enfoque en Iº Medioes construir gráficos a partir de tablas con datos agrupados, y analizar la tendencia que muestranpara inferir acerca de la distribución de los datos.


• Explicar a los(as) estudiantes que el gráfico que se utilice dependerá del tipo de datos o de cómo




estos se presenten. Por ejemplo, un histograma es útil cuando los datos están agrupados y se conoce

la frecuencia absoluta; en cambio, si los datos no están agrupados y se tiene la frecuencia relativaporcentual, el gráfico más adecuado sería uno circular o de torta.

• A pesar de que el enfoque de estas páginas es la interpretación de los gráficos, es importanteque los(as) alumnos(as) los construyan manualmente para una mejor comprensión.

Construcción de gráficos: Polígono de frecuencias (Página 194)


• El polígono de frecuencias es un gráfico muy utilizado en los medios de comunicación,principalmente en el área de la economía, por lo que se puede comentar en torno a estos y otros ejemplos. Una de las utilidades de este gráfico es visualizar la tendencia que presentan losdatos, estableciendo posibles predicciones de lo que pueda acontecer con otros valores para lavariable analizada.

Construcción de gráficos: Polígono de frecuencias acumuladas (Página 195)


• Se sugiere comparar las interpretaciones que se puedan hacer de este gráfico y del polígono de

frecuencias, y enfatizar que, mientras este último muestra la frecuencia de cada uno de los intervalos,el polígono de frecuencias acumuladas permite obtener información relativa de un conjunto dedichos intervalos.

Construcción de gráficos con un software (Páginas 196 a 199)


• Comentar con los(as) alumnos(as) las ventajas que tiene construir tablas con un software, ya queeste posee diferentes herramientas que les facilitarán el trabajo, por ejemplo: ordenar los datos,contar aquellos que posean cierta característica, etc.

• En el texto del estudiante se propone construir los gráficos con una planilla de cálculo. Sinembargo, estas planillas de cálculo varían de acuerdo al año del software, por lo que se debeconsiderar esto antes de realizar la actividad. De todas maneras, cabe señalar que mientras más

actual sea el software, más adecuadas son las herramientas para graficar y más fácil resulta realizar los pasos descritos en el texto.


• Es importante comentar con los(as) estudiantes que el uso de un software, para realizar losgráficos, permite optimizar tiempo en la construcción y dedicar más tiempo a la interpretación.



| 121 |

Medidas de tendencia central: Media aritmética y moda (Páginas 202 y 203)

De acuerdo con el Marco Curricular aprobado, los(as) alumnos(as) en 8º Básico interpretaninformación utilizando las medidas de tendencia central y calculan la media y la moda para datosagrupados. En Iº Medio se incorpora el cálculo de la mediana para datos agrupados; enfocando suestudio en la interpretación de estas medidas para caracterizar la tendencia de un conjunto de datos.


• Utilizar el termino “media aritmética”, alternativo a promedio, y aclarar que existen otrasmedias, como la media geométrica, la media armónica, la media cuadrática, las cuales son usadasen otros contextos.

• El cálculo de las medidas de tendencia central (MTC), a partir de una tabla con datos agrupados,dependerá de la construcción en que se realizaron los intervalos (ya que estos se determinansegún la cantidad de intervalos que se quieran tener). Es decir, si se tienen dos tablas en las

cuales los intervalos son distintos, y se quiere calcular las MTC, estás serán distintas, ya que susmarcas de clase, sus los límites inferiores y superiores de los intervalos de la clase modal, clasemediana, las frecuencia correspondientes a cada intervalo, etc., también lo serán.

• Se sugiere señalar a los(as) estudiantes que las fórmulas, aparte de “ahorrar espacio” deescritura, simplifican los cálculos.

• Se sugiere discutir casos extremos en relación a la moda, como por ejemplo: la existencia demás de una moda o qué sucede si todas las frecuencias de los intervalos son iguales. La idea esenfatizar acerca de la necesidad de la interpretación en estos casos y la importancia que tiene

el contexto al que pertenecen los datos.• Comentar a los(as) alumnos(as) que en algunas ocasiones, los datos extremos (valores quedifieren demasiado del resto de los datos) se excluyen para calcular los indicadores de tendenciacentral, y así el resultado sea un valor representativo de los datos.

Medidas de tendencia central: Mediana (Páginas 204 y 205)


• Un error frecuente es determinar la mediana en datos que no están ordenados previamente.Para evitar este error, se sugiere insistir en que este indicador solo se puede obtener en datosordenados, ya sea de menor a mayor (forma creciente) o viceversa (forma decreciente).

• Es importante mencionar que la media y la mediana son aplicables solo a datos cuantitativos, en tanto la moda es posible utilizarla como indicador en datos cuantitativos y cualitativos.


A continuación se presenta la justificación de la fórmula para el cálculo de la mediana en datosd b á d l á i d b d hi t




agrupados, basándose en el área que encierra cada barra de un histograma.

Ejemplo:

En este histograma se representan los siguientes datos:a : límite inferior de la clase mediana.b : límite superior de la clase mediana.Me : mediana.f i

: frecuencia absoluta del intervalo i.

El área de la superficie determinada por el histograma está dada por la expresión:

Área = (b – a)f 1 + (b – a)f 2 + (b – a)f 3 + … + (b – a)f n = (b – a) ·

Si N corresponde al total de datos, se tiene: = N

Además, como la mediana corresponde al dato central (considerando los datos ordenados de

menor a mayor, o viceversa), el área de la superficie determinada por el histograma hasta Me debeser la mitad del área total, es decir: (b – a) · = (b – a) · N = (b – a)

Luego, se tiene la siguiente igualdad para la mitad del área del histograma:

(b – a)f 1 + (b – a)f 2 + (b – a)f 3 + (Me – a)f Me = (b – a)

(b – a)[f 1 + f 2 + f 3] + (Me – a)f Me = (b – a)

La frecuencia acumulada de la clase que precede a la mediana corresponde a f 1

+ f 2

+ f 3,

denominándola FMe – 1

. Remplazándola en la igualdad se obtiene:

(b – a)FMe – 1 + (Me – a)f Me = (b – a)

Despejando (Me – a)f Me

, se obtiene:

(Me – a)f Me = (b – a) – (b – a)FMe – 1N2

N2

N

2

N2

N2

12

12

Σi=1

nf i

Σi=1

nf i

Σi=1

nf i

f Me

f 1

f 2

f 3

a Me b


Factorizando:

(Me – a)f Me = (b – a) – FMe – 1N2



| 123 |

Se divide a ambos lados de la igualdad por f Me:

Finalmente, se remplaza b – a por A, ya que corresponde a la amplitud de cada intervalo,obteniendo la siguiente fórmula:


• Para ayudar a los(as) estudiantes a establecer las posibles relaciones entre gráficos y medidas de tendencia central, se propone trabajar con un software, variando los datos de las tablas, y así obtener los diferentes gráficos que se especifican en el texto.

• Un ejercicio alternativo puede ser identificar gráficos dadas las medidas de tendencia central.

Interpretación de medidas de tendencia central a partir de tablas y gráficos (Páginas 206 y 207)


• Se sugiere repasar el cálculo de porcentajes, ya que este procedimiento es fundamental paracomprender e interpretar percentiles.

• Se sugiere señalar a los(as) alumnos(as) que el valor de la mediana, en el caso de datosagrupados, es el mismo que el del percentil 50. Sin embargo, en datos no agrupados no es así,ya que corresponde al dato central, mientras que en datos agrupados corresponderá al valor situado en el 50%. Además, mientras la mediana es un indicador que sirve para conocer la tendencia de los datos, el percentil correspondiente sirve para analizar cuáles son los valoresque se encuentran dentro de cierto intervalo.

• La deducción de la fórmula para calcular percentiles es esencialmente la misma que se mostróanteriormente para el caso de la mediana.

Medidas de posición: Percentiles (Páginas 210 y 211)

Me = a +

– FMe – 1

· A

N

2f Me

(Me _ a) = (b _ a) – FMe – 1

· A

N2

f Me


Medidas de posición: Cuartiles (Páginas 212 y 213)




• El(la) docente debe aclarar que las medidas de posición son valores de los datos y no intervalos,como muchas veces se considera para interpretarlos.

• Los cuartiles dividen los datos en cuatro partes iguales, las cuales permiten obtener una ideageneral de las características de estos. Una de las aplicaciones importantes que tienen es elgráfico “Blox-Plot”, el cual se detalla a continuación.


Un tipo de gráfico que se utiliza tanto en la estadística descriptiva como en la representación delas medidas de posición para visualizar la distribución de los datos es el Box-Plot o gráfico de caja.

Este gráfico fue introducido por John Tukey, en el año 1977, y su nombre original era Box and

whisker plot, es decir, diagrama de caja y bigotes. El gráfico consiste en un rectángulo (caja) del cualse desprenden dos segmentos (bigotes).A continuación se presenta un esquema que muestra su construcción y la descripción de cada unade sus partes.

Algunas interpretaciones

• Mientras más larga sea la caja y los bigotes, más dispersos son los datos entre sí.• La línea que representa la mediana (en el gráfico Q

2) indica la simetría existente entre los datos.

Así, si la línea es más próxima a la del primer cuartil se podrá hablar de una simetría positiva,mientras que en el caso de que se aproxime más a la del tercer cuartil se podrá inferir unasimetría negativa respecto de los datos.

• La mediana puede incluso coincidir con alguno de los cuartiles. Esto sucede cuando muchos delos datos se concentran en un mismo valor.

Máximo Corresponde al máximo de los datos (bigote).Q3 Corresponde al valor del tercer cuartil.Q2 Corresponde al valor de la mediana.Q1 Corresponde al valor del primer cuartil.

Mínimo Corresponde al mínimo de los datos (bigote).A y B Corresponde a aquellos valores extremos

dentro de la muestra de datos, es decir,aquellos que difieren demasiado encomparación con el resto y que se les aíslapara que las medidas de tendencia central yde posición no arrojen resultados engañososo poco representativos de la situación.

A

U n i d a d

d e m e d i d a

Máximo

Mínimo

Q1

Q2

Q3

B



Interpretación de medidas de posición a partir de tablas y gráficos (Páginas 214 y 215)



| 125 |

• Para ayudar a los(as) estudiantes a establecer las posibles relaciones entre gráficos y medidas deposición, se propone trabajar con un software, variando los datos de las tablas, y así obtener losdiferentes gráficos que se especifican en el texto.

• El concepto de simetría que los(as) alumnos(as) conocen es el de las trasformacionesisométricas; por lo tanto, se sugiere al docente aclarar que la simetría buscada en un histogramano es cualquiera, sino una semejante a la forma de una campana.

A continuación se presentan dos fichas de reforzamiento (n° 1 y n° 2) con el propósito de reforzar el aprendizaje de la unidad, especialmente para los(as) alumnos(as) con rendimiento insatisfactorio.Los problemas están basados en las actividades propuestas en el texto del estudiante. Luego, sepresentan dos fichas de profundización (n° 3 y n° 4) que buscan ahondar en los aprendizajesevaluados en esta unidad. Por esta razón, se recomienda trabajarlas con los(as) alumnos(as) cuyosresultados fueron satisfactorios y lograron obtener todas sus respuestas correctas, sin excluir aaquellos que por interés quieran conocer otras aplicaciones de este contenido.



Objetivos:




U

n i d a d 6

Objetivos:

Calcular e interpretar la mediana en tablas con datos agrupados.

En un hospital, el último registro, en relación a las atenciones efectuadas durante las últimas Fiestas Patrias, producto de

accidentes vehiculares en la carretera, es el siguiente:

Determina la mediana correspondiente a los datos y, luego, interprétela.

Edad de los pacientes atendidos Número de personas atendidas

[10 - 20[ 8

[20 - 30[ 20

[30 - 40[ 14

[40 - 50[ 8

[50 - 60[ 2

[60 - 70[ 2[70 - 80[ 1

Total 55



Objetivos:



| 127 |

Objetivos:

Construir una tabla de frecuencias y calcular las medidas de tendencia central y de posición, a partir de un histograma.

U

n i d a d 6

Durante la preparación del campeonato de natación, los competidores pertenecientes a un mismo equipo tienen un ranking

de carreras ganadas en el entrenamiento, como se muestra en el siguiente histograma. El eje horizontal representa los

triunfos obtenidos y el eje vertical, la cantidad de competidores.

1. Determina las frecuenciasabsolutas y relativascorrespondientes al gráfico.

2. Calcula las medidas de tendenciacentral de los triunfos obtenidospor los competidores.

3. Determina la cantidad de carrerasque ha realizado el competidor que está por sobre Q

2y Q

3.

5

4

3

2

1

05 6 7 8 9 10 11 12 13

Triunfos

C a n t i d a d d e c o m p e t i d o r e s


Objetivos:





U

n i d a d 6

j

Calcular la mediana en datos agrupados.Interpretar las diferencias producidas en el valor de la mediana al agrupar los datos de distintas maneras.

1. Construye una tabla de frecuencias con datos agrupados para las siguientes amplitudes de clase:

La tabla que se presenta a continuación representa la cantidad de inasistencia de un curso de 45 alumnos durante 20 días.

Día n°

Ausentes

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0 1 1 2 1 0 1 2 2 3 2 3 3 1 1 2 1 1 3 3

a. 5 b. 4 c. 2

2. Determina e interpreta la mediana para cada uno delos casos anteriores.

3. Al comparar la mediana obtenida en cada uno de los tres casos, ¿qué puedes concluir al respecto?



Objetivos:




| 129 |

j

Calcular percentiles en datos agrupados.

U

n i d a d 6

La siguiente tabla de datos entrega información del tiempo en que distintas personas reaccionan al veneno de una araña de

rincón.

1. Con amplitud 1 minuto, clasifica los datos y construye una tabla de frecuencias absolutas y otra de frecuencias acumuladas.

2. Calcula los percentiles 10, 25, 40, y 80.

2:47 3:48 5:26 5:24 6:18 4:06 4:58

6:17 3:35 3:31 4:34 6:40 5:18 3:16

6:29 2:37 5:17 4:46 6:54 5:13 2:37

6:11 6:55 4:28 5:32 3:00 6:48 4:34

6:48 6:19 6:48 5:25 5:28 4:42 6:52







U

n i d a d 6

g p g

1. En una tabla de frecuencias, el intervalo [20 - 40[ tienefrecuencia 18, la marca de clase corresponde a:

A. 18B. 20C. 30D. 40

E. 60

2. Según la siguiente tabla, ¿en qué clase la frecuenciarelativa no corresponde?

A. IB. IIC. IIID. IVE. V

3. En la tabla se muestra el tiempo de traslado al colegiode los estudiantes. La clase mediana corresponde a:

A. 1 a 15B. 15 a 30C. 30 a 45D. 45 a 60E. No puede

determinarse.

4. Para los datos del problema anterior, ¿cuál es la modaaproximada?

A. 31B. 33C. 35D. 38E. 39

5. Según la tabla, ¿en qué intervalo se concentra el 40%

de los partidos jugados?

A. Enero a marzo.B. Abril a junio.C. Junio a septiembre.D. Octubre a diciembre.E. Mayo.

6. A partir del siguiente polígono de frecuencias esposible calcular:

A. la frecuencia absoluta.B. la mediana.C. la moda.D. la frecuencia acumulada.E. Todas las anteriores.

7. El puntaje promedio obtenido, considerando todos losdisparos de tiro al blanco es, aproximadamente:

A. 14,57 puntos.B. 14,5 puntos.C. 14 puntos.D. 14,28 puntos.E. 14,2 puntos.

Clase Frecuencia Frecuenciaabsoluta relativa

I 45 0,225

II 22 0,110

III 45 0,225

IV 31 0,126

V 57 0,285

Tiempo Cantidadde traslado de alumnos

[1 - 15[ 21

[15 - 30[ 37

[30 - 45[ 39

[45 - 60[ 3

Mes del año Partidos jugados

Enero a marzo 6

Abril a junio 6

Julio a septiembre 7

Octubre a diciembre 9

70

60

50

40

30

20

10

0

50 puntos

30 puntos10 puntos0 puntos

1 a 5

6 a 1 0

1 1 a 1 5

1 6 a 2 0

2 1 a 2 5

2 6 a 3 0

3 1 a 3 5

xx x x

xx xxx

x

xxxx

xxxx x

xx x

xx

xx

xx

8. En un polígono de frecuencias acumuladas es cierto

que:12. El siguiente histograma representa el tiempo de espera

en la atención de un consultorio. ¿Cuál o cuáles de lassiguientes proposiciones son verdaderas?



| 131 |

U

n i d a d 6

A. tiene una tendencia decreciente.B. el último punto corresponde a la cantidad total dedatos analizados.

C. las barras representan las categorías.D. cada punto representa la frecuencia absoluta.E. Todas las anteriores.

9.Ensayo PSU, DEMRE, 2005. Si se tabulan lasfrecuencias de las estaturas y color de ojos de losalumnos de un curso, ¿cuál de las opciones siguienteses siempre verdadera?

A. Con la moda de las estaturas se determina laestatura promedio del curso.

B. Con la mediana del color de ojos se determina elcolor de ojos que predomina.

C. Con el promedio de las estaturas se determina laestatura más frecuente.

D. Con la mediana de las estaturas se determina laestatura más frecuente.

E. Con la moda del color de ojos se determina elcolor que predomina.

10. El valor equivalente al percentil 50, corresponde al:

A. cuartil 1.

B. cuartil 2.

C. cuartil 3.

D. cuartil 4.

E. No tiene equivalencia.

11. Los cuartiles Q2

y Q3

de los datos corresponden,respectivamente, a:

A. 7 y 10B. 7 y 14C. 10 y 14D. 7 y 11E. 11 y 14

I. Para ser atendidas, la mayoría de las personas espera23,4 min aproximadamente.

II. La mitad de las personas son atendidas antes de los27,8 min.

III. El promedio de tiempo de espera es de 9 min.

A. Solo IB. Solo IIC. I y IID. II y IIIE. I, II y III

13. El percentil 25, de la siguiente tabla de frecuencias,corresponde a:

A. 17,25B. 19,42C. 21,59

D. 23,76E. 25,93

14. Si luego de calcular los cuartiles de un conjunto dedatos se obtiene que Q

3 – Q

2> Q

2 – Q

1, entonces

es posible concluir que la distribución de frecuencia es:

A. asimétrica positiva.B. simétrica positiva.C. asimétrica negativa.D. simétrica negativa.E. simétrica.

16

14

12

10

8

6

4

2

0

0 a 9

1 0 a 1 9

2 0 a 2 9

3 0 a 3 9

4 0 a 4 9

5 0 a 5 9

Tiempo de espera (min)

C a n t i d a d d e p e r s o n

a s

Clase Frecuencia Frecuenciaabsoluta acumulada

[10 - 15[ 3 3

[15 - 20[ 5 8[20 - 25[ 7 15

[25 - 30[ 4 19

[30 - 35[ 2 21

Total 21

10 13 4 7 8

11 10 3 6 9

9 4 13 20 17

10 16 14 8 18

12 18 5 16 7

10

Solucionario


1. La tabla de frecuencias queda determinada de la siguiente manera.




U

n i d a d 6

Considerando que la clase mediana corresponde a [20 - 30[, se tiene entonces que la mediana corresponde a:

Esto significa que el 50% de las personas atendidas por accidentes de tránsito, en las últimas Fiestas Patrias, tienen una edadinferior o igual a los 29 años con 9 meses.


1. Las frecuencias absolutas pueden obtenerse del gráfico anterior.

2. Promedio de triunfos 9,19Mediana de triunfos 10Moda de triunfos 5 y 11

3. Puesto que la cantidad de deportistas corresponde a 21 personas, los cuartiles correspondientes son:Q1 = 25% · 21 = 5,25

Q2 = 50% · 21 = 10,5Q3 = 75% · 21 = 15,75

* Los resultados de frecuencia relativa han sido aproximados.

Edad de los pacientes atendidos Número de personas atendidas Frecuencia acumulada

[10 - 20[ 8 8

[20 - 30[ 20 28

[30 - 40[ 14 42

[40 - 50[ 8 50

[50 - 60[ 2 52

[60 - 70[ 2 54[70 - 80[ 1 55

Total 55

Me = 20 + – 8 · 10 = 29,75

55

220

Trinfos

F. absoluta

F. relativa *

F. relativa %

5 6 7 8 9 10 11 12 13

4 1 1 2 2 2 4 3 2

0,19 0,05 0,05 0,10 0,10 0,10 0,19 0,14 0,10

19,05 4,76 4,76 9,52 9,52 9,52 19,05 14,29 9,52

De acuerdo con esto, el competidor 11 es aquel que está inmediatamente por sobre Q2

(Q2

= 10,5 ≈ 11), y ha ganado

10 carreras. Por otra parte, el competidor 16 está inmediatamente por sobre Q3

(Q3

= 15,75 ≈ 16) y, a su vez, ha ganado

11 carreras.



| 133 |

U

n i d a d 6


a. b. c.

2. La mediana para cada uno de los casos anteriores corresponde, respectivamente, a:12,75; 12,4 y 12,4.

3. Al comparar los valores obtenidos se puede concluir que, independiente de laagrupación de datos, la mediana es la misma, es decir, el 50% de las ausencias

registradas se concretaron en el 12º día de clases.


[1 - 6[ 5 5

[6 - 11[ 8 13

[11 - 16[ 10 23

[16 - 20] 10 33


[1 - 5[ 4 4

[5 - 9[ 4 8

[9 - 13[ 10 18

[13 - 17[ 7 25

[17 - 20] 8 33


[1 - 3[ 1 1

[3 - 5[ 3 4

[5 - 7[ 1 5

[7 - 9[ 3 8

[9 - 11[ 5 13

[11 - 13[ 5 18

[13 - 15[ 4 22

[15 - 17[ 3 25

[17 - 19[ 2 27

[19 - 20] 6 33


1. Para construir la tabla, se transformaronlos tiempos a segundos y se obtuvolo siguiente:

2. P10 = 180 + · 59 = 185,9 ≈ 186 segundos. P40 = 240 + · 59 = 290,57 ≈ 291 segundos.

P25 = 240 + · 59 = 246,32 ≈ 246 segundos. P80 = 360 + · 59 = 384,58 ≈ 385 segundos.

– 310 · 35

1005

– 825 · 35

1007

– 840 · 35

1007

– 2380 · 35

10012

Tiempo de reacción al veneno

Intervalos de tiempo (segundos) Frecuencia absoluta Frecuencia acumulada

120 a 179 3 3180 a 239 5 8

240 a 299 7 15

300 a 359 8 23

360 a 419 12 35

Total 35


1. C 8. B2. D 9. E3. B 10. B




U

n i d a d 6

Bibliografía• Batanero, C., Grupo de Educación Estadística, Universidad de Granada, Didáctica de la Estadística, 2001.

• Beltramone, J. P., Déclic 1ºs, Mathématiques, Hachette Education, París, 2005.

• Ministerio de Educación, Propuesta Ajuste Curricular, Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios,

Matemática, junio 2009.

Sitios webs

• www.cesma.usb.ve/~npena



• www.demre.cl/text/publicaciones2009/octubre/publicacion25(021008)a.pdf

• Instituto Nacional de Estadísticas: www.ine.cl

• www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/d_7.html

3. B 10. B4. A 11. C5. B 12. C6. E 13. A7. D 14. A



| 135 |

U

n i d a d 6





En esta unidad se formalizan y generalizan estrategias de conteo para el cálculo de probabilidades, tales como permutaciones y variaciones, a partir de contextos cercanos y diversos, para facilitar la

comprensión de estos nuevos conceptos. Estos contenidos, según el currículum antiguo,

corresponderían a 3º Medio.




• Uno de los requisitos para tomar decisiones es saber cuáles son las opciones que se tienen. Sin

embargo, muchas de estas están sujetas a la incertidumbre, ya sea por sus consecuencias o

resultados. Pues bien, la actividad propuesta apunta a conocer las posibilidades de elección, a

través de las técnicas de conteo. Por otra parte, es interesante la asignación de la probabilidad

para las apuestas.


UNIDAD 7 | Combinatoria y probabilidades





| 137 |

• Para el indicador Comprendo e interpreto el concepto de probabilidad: se sugiere trabajar el

concepto de experimento aleatorio con ejemplos concretos. Una posibilidad es comparar

experimentos determinísticos (doblar una rama seca, quemar un papel, etc.) con otros cuyo

resultado sea incierto (determinar la hora en que caerá la próxima lluvia, el próximo resultado

de un partido de fútbol, etc.). Entre los experimentos aleatorios, considerar otros en que los

resultados sean excluyentes pero complementarios a la vez (lanzar una moneda solo tiene dos

posibilidades, obviando que pueda caer de forma perpendicular).

• Para el indicador Identifico el espacio muestral de un experimento y los sucesos pertenecientes a él:

realizar un experimento en el cual sus sucesos sean equiprobables y observar sus resultados. A

partir de esto, comparar diferentes sucesos versus el espacio muestral. Un experimento que

considere dos posibles resultados puede ser útil para mostrar la variabilidad de la probabilidad.

Por ejemplo, calcular la probabilidad de elegir un varón en un curso mixto, al cual se incorporan

mujeres para variar la proporción entre los estudiantes.

• Para el indicador Calculo probabilidades de manera experimental o teórica: analizar en cada

pregunta si es posible establecer una probabilidad experimental o teórica. En el segundo caso,

puesto que las probabilidades se representan mediante un número decimal, se sugiere hacer el

traspaso de dicha cifra a fracción, para determinar la relación entre casos favorables y casos totales.


De acuerdo al Marco Curricular aprobado (junio 2009), los(as) estudiantes comienzan a determinar

experimentalmente probabilidades desde 6º Básico. En 8º Básico se formaliza el cálculo de

probabilidad de forma teórica mediante la regla de Laplace. En 1º Medio el enfoque se amplía al

análisis de experimentos aleatorios para que los(as) alumnos(as) identifiquen si es posible calcular una

probabilidad teórica o experimental.

• Se recomienda al docente comenzar esta unidad, rescatando las ideas que los(as) estudiantes tienen de los conceptos de probabilidad, azar, aleatorio, etc.

• Es importante que los(as) alumnos(as) comprendan que el azar es un concepto ajeno a las

matemáticas, sin embargo, se utiliza para modelar situaciones en las que se desee determinar

probabilidades. Si se dobla una vara hasta romperla, se puede decir que es un experimento

determinístico –se sabe el resultado de antemano– pero también se podría decir que es un

experimento aleatorio con un único resultado, que tiene probabilidad uno. En otros casos, se

conocen todos los resultados posibles de antemano, pero no cuál de ellos, específicamente, será

el que “salga”. A esto es lo que generalmente se denomina experimento aleatorio. También hay ocasiones en que no es posible predecir, por lo que se deben realizar experimentos repetidas

Probabilidad experimental y teórica (Páginas 228 y 229)

veces y utilizar la estadística para obtener conclusiones. En otras, intuitivamente se dice que la

probabilidad “es baja”, pero no hay forma de asignarle un número (¿basados en qué se dice que

la probabilidad de encontrarse con un amigo en el estadio es baja?). Todas estas consideraciones

pueden ayudar a aclarar a los alumnos(as) que la probabilidad se estudia seleccionando

i i b i d d d d l d á i




situaciones y obviando otras, de manera que puedan ser modeladas matemáticamente.• Se sugiere explicar a los(as) estudiantes que los casos extremos en el cálculo de probabilidades,

como por ejemplo, lanzar una moneda y que esta caiga de canto, se descartan para poder

modelar matemáticamente la probabilidad, de hecho, la probabilidad de que esto ocurra no es

cero, pero es tan despreciable que no se considera entre los posibles resultados, por lo tanto,

se asume matemáticamente que es cero, pero no significa que nunca ocurra.

• Un error bastante común en los(as) estudiantes es confundir el concepto de probabilidad como

algo determinístico, en lugar de comprenderlo como una predicción de lo que puede acontecer.

Así, por ejemplo, al experimentar lanzando un dado, si la probabilidad de obtener un 3 resulta 0,2,puede creer que eso significa que de cada 10 lanzamientos, exactamente 2 de ellos correspon-

derán a un 3. Se sugiere, entonces, enfatizar que la probabilidad se refiere a la posibilidad de que

ocurra un suceso.

• Se propone repasar los contenidos de porcentajes y frecuencia relativa, ya que son fundamentales

para calcular e interpretar la probabilidad experimental.


• Se sugiere al docente subrayar las ventajas y desventajas que tiene cada uno de los métodos

aquí presentados, por ejemplo, el método experimental se ajusta mejor a la realidad y siempre

es posible aplicarlo en cualquier tipo de experimento; el método teórico permite adelantarnos

a los hechos y predecir lo que sucederá, pero no es posible aplicarlo en cualquier experimento.

• Mencionar a los(as) alumnos(as) que la Ley de los Grandes Números es la que afirma que mientras

mayor sea el número de experimentos, la probabilidad experimental tenderá a la teórica.

Comentarles también, que a pesar de que no es posible demostrar matemáticamente esta ley, sí

la pueden comprobar a través de la experimentación.

• Para trabajar la ley de los grandes números se sugiere utilizar un software, por ejemplo, una

planilla de cálculo, la cual no solo permite simular experimentos aleatorios (a través de la función

ALEATORIO) sino que también da la posibilidad de realizar muchas repeticiones de ellos.• Como al determinar probabilidades experimentales se utilizan las frecuencias relativas, que, en

ocasiones, se aproximan, resultando que la suma de estas frecuencias no sea igual a uno. Esto

puede producir confusiones en los(as) alumnos(as), ya que pueden inferir que, por ejemplo, la

probabilidad de un evento puede ser mayor que uno o que hay eventos que no han sido

considerados. Para evitar estas confusiones se sugiere insistir en las diferencias entre probabilidad

experimental y teórica.

Comparación entre probabilidad experimental y teórica (Páginas 230 y 231)


La estrategia gráfica de conteo empleada en estas páginas (diagrama de árbol) está estrechamente

ligada, en una primera instancia, a la idea de potencia, contenido que, de acuerdo al Marco Curricular

b d l ( ) l ( ) d d 6º B i Si b d d

Técnicas de conteo y probabilidades: Principio multiplicativo (Páginas 234 y 235)



| 139 |

aprobado, los(as) alumnos(as) tratan desde 6º Básico. Sin embargo, esta se puede extender a un

proceso multiplicativo, ya que permite hacer variadas combinaciones.


• Destacar la generalización del principio multiplicativo a partir de un diagrama de árbol, de

manera que los(as) estudiantes recurran al principio más que al diagrama cuando necesiten

determinar la cantidad de casos posibles.

• El uso de diagramas de árbol, para determinar el total de casos posibles, es una herramienta muy útil, pero a la vez requiere de mucho tiempo en su construcción, cuando son muchas las

combinaciones. Se sugiere discutir con los(as) estudiantes las ventajas y desventajas que presenta

esta estrategia, proponiendo construcciones de diferentes tamaños y números de casos.


• Como es la primera vez que los(as) alumnos(as) trabajarán con el factorial de un número, la

definición de 0! (cero factorial) puede producir conflictos, ya que, según la regularidad que se

presenta, 0! debiese ser igual a 0. Por esta razón, se sugiere recalcar que 0! = 1.

Técnicas de conteo y probabilidades: Permutaciones (Páginas 236 y 237)


• En estas páginas se amplía el contenido visto anteriormente, por lo que es esencial que los(as)alumnos(as) comprendan el concepto de permutación y la aplicación del número factorial.

• Se sugiere justificar el por qué dividir por las permutaciones de los elementos repetidos

presentando diversos ejemplos en los que los(as) estudiantes constaten que es necesario dividir

por esa cantidad, ya que de lo contrario estarían considerando los casos repetidos. La

diagramación del ejemplo y la agrupación de los casos repetidos puede ser útil también.

• Una posible dificultad para los(as) alumnos(as) es identificar, en el enunciado, cuándo se trata

de una permutación con elementos repetidos y cuando no. Se sugiere realizar ejercicios, como

por ejemplo, con 2 mujeres y 1 hombre, y otro con nombres para cada uno, así los(as)

estudiantes verán que en el primer caso no se distingue entre las mujeres, por lo que se trata

Técnicas de conteo y probabilidades: Permutaciones con elementos repetidos (Páginas 238 y 239)

de una permutación con repetición. Sin embargo, en el segundo caso, si se identifica a cada una

de las mujeres Pamela y Anita, no será lo mismo que estén en el orden A-P-H o P-A-H, por lo

que se trata de una permutación sin repetición.

• Se sugiere al docente mostrar a los(as) alumnos(as) lo práctico que resulta simplificar

i t l l i i lifi 9! 5! d d l9!




expresiones tales como , en las que conviene simplificar 9! y 5!, quedando en el nume-

rador el producto 6 · 7 · 8 · 9 lo cual es mucho más simple de calcular.

• Un argumento a favor de la notación empleada para las técnicas de conteo (permutaciones,

variaciones y combinaciones), es que permiten ordenar los datos, indicar el cálculo que se debe

hacer y comunicar a otros lo que se está realizando.

• Es necesario que los(as) alumnos(as) entiendan la importancia del orden en las permutaciones,

porque es crucial a la hora de calcular probabilidades, ya que si no lo tienen claro pueden

considerar menos sucesos de los que realmente son. Por ejemplo, en el ejercicio del texto, se tienen dos bolas de color azul y una de color rojo, se debe hacer la distinción entre los eventos

A1-A2-R y A2-A1-R (donde A1 es una bola de color azul, A2 es la otra bola de color azul y

R es la bola de color rojo), si no se podría considerar el caso A-A-R como un solo evento.

9!3! · 5! · 2!

Las variaciones corresponden a una profundización y ampliación del concepto de permutación.

Nuevamente el principio multiplicativo y el cálculo de factoriales son piezas clave para la comprensión

de estos contenidos.


• Se sugiere destacar el uso de la calculadora como herramienta de apoyo para el cálculo de

factoriales, pero insistir en que la calculadora por sí sola no resolverá los problemas.

Técnicas de conteo y probabilidades: Variaciones (Páginas 240 y 241)

Las combinaciones representan una profundización y ampliación de la idea de variación, por lo que

también está fuertemente ligada a las otras estrategias de conteo revisadas. Esta corresponde a la

última estrategia de conteo presentada en la unidad.


• Una posible dificultad en los(as) alumnos(as) es identificar cuándo una situación representa una

variación y cuándo una combinación. Para esto, sugerirles que analicen la importancia del orden,

y resumirles que en el caso de la variación sí importa y en la combinación no importa.

Técnicas de conteo y probabilidades: Combinaciones (Páginas 242 y 243)


• Las combinaciones de r objetos entre n presentan simetría, es decir: Cn

= Cn

. Una forma

de justificar esto es desarrollar la fórmula y mostrar que se obtiene el mismo resultado. Sin

embargo, más enriquecedor puede resultar resolver una situación como la siguiente:

“Mostrar que ordenar 3 elementos entre 10 es lo mismo que ordenar 7 entre 10 Es decir de los

r n – r



| 141 |

Mostrar que ordenar 3 elementos entre 10 es lo mismo que ordenar 7 entre 10. Es decir, de los10 elementos se seleccionan las posibles combinaciones de 3 y se registran. Luego, de los

10 elementos se seleccionan las posibles combinaciones de 7 elementos, pero se registran solo los

3 elementos que no fueron considerados en la selección. Así, al seleccionar todas las posibles

combinaciones de 7 elementos, se habrán registrado todas las posibles combinaciones de

3 elementos, por lo que la cantidad de combinaciones de 7 entre 10 es la misma que de 3 entre 10”.

• Volver a revisar la situación planteada en las páginas de inicio, ya que las actividades están

relacionadas con la simetría de las combinaciones.

• A modo de profundización de contenidos, se propone calcular la probabilidad de ganar el pozo

máximo en un juego de azar nacional, como por ejemplo el Loto o el Kino. En el caso del Loto,

se deben calcular las posibles combinaciones que se pueden hacer de 7 elementos entre

36 (C36

= 8.347.680), siendo entonces la probabilidad de acertar igual a . Del mismo

modo, en el caso del Kino, se deben calcular las posibles combinaciones de 14 elementos entre

25. Cabe destacar que ahora la cantidad de aciertos para obtener el pozo máximo es menor que

antes (15 aciertos), sin embargo, la probabilidad de ganar también es menor.


Reparticiones

“Un padre le hereda a sus tres hijos 11 caballos. ¿De cuántas maneras pueden ser repartidos estos

caballos?”

Este problema plantea una repartición de la herencia, para lo cual se propone la siguiente idea:

Se agregarán 2 “caballos virtuales”, es decir, que no existen pero que se considerarán para la

repartición, de manera de particionar el conjunto de 13 caballos en 3 subconjuntos (pues son 3 hijos).

Representando por C a los caballos y por V a los “caballos virtuales”, se tienen las siguientesreparticiones de los caballos entre los 3 hijos:

CCCVCCCCVCCCC Aquí, el primer hijo recibe 3 caballos, el segundo 4 y el tercero 4.

CCCCCCVCCVCCC Aquí, el primer hijo recibe 6 caballos, el segundo 2 y el tercero 3.

CCCCCCCCCCCVV Aquí, el primer hijo recibe 11 caballos, el segundo 0 y el tercero 0.

Luego, el problema se resume a las posibles combinaciones que se pueden obtener de 2 elementos(que en el ejemplo corresponden a los “caballos virtuales” V) entre 13, C

13. Es decir, al querer

repartir entre 3 hijos, se tuvieron que agregar 2 “caballos virtuales” para particionar el conjunto en

3 subconjuntos.

Generalizando

Si se quiere repartir n objetos entre r, se agregan r – 1 “objetos virtuales”, para particionar el conjunto.

Luego, se obtiene las posibles combinaciones de r – 1 objetos entre n + r – 1, es decir, Cn + r – 1

.

1

8.347.6807

2

r – 1

Ejercicios

1. Un hombre debe repartir su herencia entre 5 personas. Si la herencia consiste en 50 prendas de

vestir, ¿de cuántas maneras diferentes podría repartir la herencia este hombre?

Respuesta:

Si quiere repartir 50 prendas entre 5 personas debe calcular C54

lo que da 316 251 maneras en4




Si quiere repartir 50 prendas entre 5 personas, debe calcular C , lo que da 316.251 maneras enque puede repartir la herencia.

2. La señora Ana María fue al almacén a comprar unas galletas surtidas para sus hijos, pero aún no

decide cuántas les dará a cada uno. Si Ana María tiene 4 hijos y en total compró 90 galletas,

a. ¿de cuántas maneras diferentes puede repartirlas?

b. Si la mamá decide repartirlas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al mayor le toquen 40, al

que sigue 15, al siguiente 15 y al menor 20?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que a alguno de ellos le toquen 40, a otro 15, a otro 15 y al otro 20?d. ¿Cuál es la probabilidad de que a alguno de ellos le toquen 34 galletas?

Respuesta:

a. Si se quiere repartir 90 galletas entre 4 hijos, se calcula C93

= 129.766.

b. Se tiene un caso favorable, aquel que se especifica en el enunciado, por lo tanto, la probabilidad

de que esta repartición se realice es .

c. Existen 4! casos favorables, pues son todas las permutaciones posibles que se pueden hacer

entre 4 personas, por lo tanto, la probabilidad de que esto suceda es: = .

d. En este caso, las 34 galletas les pueden corresponder a cualquiera de los cuatro hijos, por lo

que se tienen 4 casos. Para cada uno de ellos se considera que ya se entregaron 34 galletas a

uno de ellos y quedan 56 galletas por repartir entre los otros tres. Luego, el número de posibles

reparticiones que se pueden hacer de las 56 galletas viene dado por C58

= 1.653. Como son

4 los posibles casos en los que se hará esta repartición, en total se tiene 4 · 1.653 casos

favorables, es decir, 6.612. Por lo tanto, la probabilidad, en este caso, es ≈ 0,051.6.612129.766

12

64.883

24

129.766

1

129.766

En estas páginas se estudia una de las muchas relaciones existentes entre las probabilidades y laestadística. Introducir este tema comentando con los(as) estudiantes que ambos conceptos asumen

ciertos supuestos a favor de la matemática; por ejemplo, la estadística asume la “distribución

uniforme” de los datos, mientras que la probabilidad asume la Ley de los Grandes Números.


• Se recomienda repasar los conceptos de población y muestra, y comentar con los(as) alumnos(as),

a partir de sus intuiciones, qué condiciones debiera cumplir una muestra para que sea representativa

de una población.

Relación entre la media de una población y las medias de muestras extraídas

con y sin reemplazo (Páginas 248 a 251)

4

3

2


• Se sugiere enfatizar que una muestra representativa, a pesar de que no corresponde a toda la

población, nos permite obtener la tendencia de esta. Como ejemplo, se puede analizar la forma

en que se realizan las encuestas para los pronósticos de elecciones presidenciales, en donde se

considera una muestra representativa de 1.000 personas, y se generalizan los resultados

obtenidos para millones de personas



| 143 |

obtenidos para millones de personas.• Se sugiere destacar la utilidad de los elementos combinatorios en este contenido, ya que nos

permite obtener el número total de muestras de un tamaño determinado.

• Se recomienda analizar con los(as) estudiantes la suma de los errores muestrales. El resultado

es bastante intuitivo, pues al considerar muestras de un tamaño determinado se toman en

cuenta todos los datos (los que quedan distribuidos en las distintas muestras), por lo que al

promediar todas las medias muestrales se obtendrá la media poblacional, es decir, las diferencias

entre la media poblacional y cada una de las medias muestrales se van compensando, razón por

la cual la suma de los errores muestrales siempre será igual a 0.

A continuación se presentan dos fichas de reforzamiento (n° 1 y n° 2) con el propósito de reforzar

el aprendizaje de la unidad, especialmente para los(as) alumnos(as) con rendimiento insatisfactorio.

Los problemas están basados en las actividades propuestas en el texto del estudiante. Luego, se

presentan dos fichas de profundización (n° 3 y n° 4) que buscan ahondar en los aprendizajes

evaluados en esta unidad. Por esta razón, se recomienda trabajarlas con los(as) alumnos(as) cuyos

resultados fueron satisfactorios y lograron obtener todas sus respuestas correctas, sin excluir aaquellos que por interés quieran conocer otras aplicaciones de este contenido.



Objetivos:

Utilizar una planilla de cálculo para comprobar la convergencia de la frecuencia relativa a la probabilidad teórica de



Santillana Bicentenario

U

n i d a d

7

Utilizar una planilla de cálculo para comprobar la convergencia de la frecuencia relativa a la probabilidad teórica deun experimento.

En una planilla de cálculo, trabajar la relación entre la frecuencia relativa y la probabilidad teórica en el lanzamiento de un

dado no cargado.

Antes de comenzar, tener en cuenta lo siguiente:

La función “=ALEATORIO()”, entrega un número entre 0 y 1.La función “=ENTERO(n)”, entrega la parte entera de un número decimal n.

La función “=TRUNCAR(n; k)”, entrega el número n truncado con k decimales.

La función “=CONTAR.SI(j; k)”, entrega la cantidad de veces que se repite el número k en el rango descrito por j.

1. Considerando que estas funciones pueden sumarse y/o multiplicarse por un número, encuentra la fórmula para obtener un

número entero entre 1 y 6. Luego, sigue los pasos:

2. A partir de estos resultados, presiona la tecla F9, ¿qué sucede?

3. Construye un gráfico de las frecuencias relativas, utilizando el gráfico XY (dispersión) y escogiendo Dispersión de puntos,

sin rectas de conexión.

4. Presiona nuevamente F9. ¿Qué sucede con el gráfico?

5. Ahora, extiende la cantidad de datos de la columna A, hasta 20, 50, 100, 200 datos y presiona F9. ¿Qué sucede con el

gráfico?, ¿qué sucede con la frecuencia acumulada?, ¿a qué valor tiende esta última?

1º Copia la fórmula obtenida desde la celda A1 hasta la celda A10, arrastrando la esquina inferior derecha

de la celda A1.

2º En otra columna, escribe los posibles sucesos de lanzar un dado.

3º Con la función =CONTAR.SI(), obtén la frecuencia absoluta para cada suceso en la columna

A; por ejemplo, para contar la cantidad de veces que aparece el número 2, se escribe en una

celda =CONTAR.SI(A1:A10;2).

4º Luego, en otra columna, obtén la frecuencia relativa para cada suceso.



Objetivos:

Calcular probabilidades



| 145 |

Calcular probabilidades.

U

n i d a d

7

Responde.

En las fondas de fiestas patrias, Pedro se entretuvo en un puesto jugando con un tablero como el que se muestra en la figura.

El juego consiste en dejar caer una ficha (representada con el color rojo) por el interior del tablero, la cual rebotará en cada una

de las barreras (representadas con el color negro) para luego caer en alguna de las casillas señaladas en la parte inferior.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que la ficha caiga en la 3ª casilla?, ¿y en la 6ª casilla?

2. Si el tablero se extendiese hasta tener 7 filas de obstáculos, ¿cuál será la probabilidad de que la ficha caiga en la 3ª casilla?

1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º


Objetivos:

Calcular probabilidades utilizando técnicas de conteo.





U

n i d a d

7

Calcular probabilidades utilizando técnicas de conteo.

Una urna, de la cual no se ve su interior, contiene 3 bolitas de color blanco y 2 de color negro. Todas ellas indistinguibles

al tacto. Se sacan 2 bolitas sucesivamente. Si la primera de ellas es de color negro se devuelve a la urna; si es blanca, no se

devuelve.

1. Al extraer 2 bolitas de la urna, ¿cuál es la probabilidad de obtener 2 bolitas de color blanco?, ¿y 2 bolitas de color negro?

2. Al extraer 2 bolitas de la urna, ¿cuál es la probabilidad de obtener exactamente 1 bolita de color blanco?



Objetivos:

Demostrar utilizando combinatoria.




| 147 |

U

n i d a d

7Demuestra en cada caso lo pedido.

1. Cn

= Cn

2. Cn

= n

3. Cn

= Cn

4. Cn

+ Cn

= Cn + 1

0 n

k n – k

k k + 1 k + 1

l







U

n i d a d

7

1. Se tira una moneda equilibrada 4 veces seguidas. ¿Cuál

es la probabilidad de obtener 2 caras y luego 2 sellos?

A. 0,005

B. 0,0125

C. 0,0625

D. 0,25

E. 0,50

2. ¿De cuántas maneras 3 atletas podrán llegar a la meta?

(Considera que pueden o no, llegar simultáneamente

a la meta).

A. Si llegan los 3 juntos, hay 1 posibilidad.

B. Si llegan 2 juntos, hay 3 posibilidades.C. Si llegan los 3 por separado, hay 6 posibilidades.

D. Alternativas A, B y C son correctas.


3. En una urna se tiene 1 bolita de color rojo, y 2 de color

azul y, por otra parte, 1 moneda. ¿Cuál es la probabilidad

de que, al tirar la moneda y extraer una bolita, seobtenga sello y una bolita de color azul?

A. 0,16 –

B. 0,3 –

C. 0,5

D. 0,6 –

E. 0,83 –

4. Se lanza una moneda equilibrada 100 veces seguidas.

Salió “cara” 52 veces y “sello” 48 veces. Se propone

lanzar una vez más, entonces se espera que:

A. salga “cara”, porque tiene mayor frecuencia.

B. salga “sello”, porque el experimento es

equiprobable.

C. ambos tienen la misma probabilidad de salir.D. salga “sello”, porque debe superar la cantidad

de “caras”.

E. salga “sello”, porque tiene menor frecuencia.

5. Una urna contiene N bolitas indistinguibles. Se extraen

40 bolitas y a cada una se le hace una marca. Se

devuelven a la urna y en un segundo turno se sacan40 bolitas más, de las cuales 8 tienen una marca. ¿Qué

puedes decir de N?

A. N = 40

B. N = 80

C. N = 72

D. N > – 72

E. No se puede determinar.

6. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado

cargado se obtenga el número 2, sabiendo que la

probabilidad de que salga 6 es el tripe que cualquier

otro número? (Asumir equiprobabilidad en los otros

casos).

A. 0,125

B. 0,16 –

C. 0,2

D. 0,3 –

E. No se puede calcular.

7. Un alumno que rinde un examen debe elegir para

contestar, 9 de las 12 preguntas de la prueba. ¿De

cuántas maneras puede elegirlas si las 4 primeras son

obligatorias?

11. En la palabra CINEMA, ¿cuál es la probabilidad de que

al permutar el orden de dichas letras, la segunda y la

última sean vocales?

A 0 00694 –



| 149 |

U

n i d a d

7

g

A. 495

B. 220

C. 70

D. 56

E. 8

8. ¿Cuántas permutaciones existen de la palabra

CUADERNO, si fijamos las letras C y O en la primera

y última ubicación, respectivamente?

A. 720

B. 5.040

C. 10.080

D. 20.160

E. 40.320

9. ¿Cuántas letras de 5 signos con 3 rayas y 2 puntos

podría tener el alfabeto Morse?

A. 24

B. 12

C. 20

D. 6

E. 10

10. Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ¿cuántos números de

3 cifras se pueden construir?

A. 28 númerosB. 35 números

C. 210 números

D. 999 números

E. 1.000 números

A. 0,00694

B. 0,2

C. 0,00138 –

D. 0,5

E. 0,6

12.La expresión C

n

equivale a:

A.

C.

E.

13. El promedio de edad de los jugadores de las

selecciones de fútbol de Chile, Uruguay y Colombia es

24, 29 y 28, respectivamente. Entonces, la media de

población corresponde a:

A. 24

B. 25

C. 27

D. 28

E. 29

14. La suma de todos los errores muestrales es:

A. igual al promedio muestral.

B. un valor que depende de la cantidad de datos.

C. cero.

D. siempre positiva.

E. siempre negativa.

(n + 1)

2

n(n – 1)

2

n(n + 1)

2

2

B.n(n – 1)(n – 2)

2

D. (n – 1)2

Solucionario


1. La fórmula que entrega un número entero, entre 1 y 6, es “=TRUNCAR(6*ALEATORIO()+1;0)”, con esto se obtiene el

experimento del lanzamiento de un dado. Un ejemplo se ilustra a continuación.




U

n i d a d

7

2. Al presionar la tecla F9, los valores del resultado del experimento varían, cambiando también las frecuencias absolutas y

relativas.

3. El gráfico dependerá de los datos de cada alumno. A continuación se muestra un ejemplo.

4. Al presionar F9 sucesivamente, se aprecia la movilidad de los datos de acuerdo con el resultado del experimento de lanzar

10 veces un dado.

5. Luego, al extender el experimento a 20, 50, 100 y 200 lanzamientos, la frecuencia relativa se aproxima a la probabilidad

teórica correspondiente a 0,16666…


Cada vez que la ficha roja entra en juego esta se verá obligada a chocar ante alguna barrera, dando la posibilidad de tomar

2 caminos para seguir cayendo (izquierda o derecha). Así, para llegar a caer en la tercera casilla del tablero habrá chocado con

6 barreras, teniendo 1 de 64 opciones (26). Sin embargo, para llegar de forma particular a la tercera casilla, es posible recorrer

15 caminos Por lo tanto la probabilidad de que la ficha de color rojo caiga en la tercera casilla es de 15 · o bien de1



| 151 |

U

n i d a d

7

15 caminos. Por lo tanto, la probabilidad de que la ficha de color rojo caiga en la tercera casilla es de 15 , o bien de

C6

· 6

.

La probabilidad de caer en la sexta casilla es de C6

· 6

.

Para el caso de tener un tablero con 7 filas de obstáculos, la probabilidad de caer en la tercera casilla es de C7

· 7.


Este es un tipo de probabilidad en que la elección está considerada con reposición. Para su desarrollo debe precisarse que el

orden de extracción es fundamental, puesto que determina la probabilidad de la segunda extracción, según si la primera bolita

escogida al azar resulta blanca o negra. Se distinguirán por N y B los colores negro y blanco de las bolitas.

1. Los casos posibles son Ω = NN, BN, NB, BB y los favorables aquellos en que solo aparecen bolitas del mismo color.

Usaremos el diagrama de árbol para ilustrar esta situación.

Luego, se tiene que la probabilidad de cada uno de los eventos

se obtiene mediante el principio multiplicativo y corresponde a:

P(NN) = ; P(BB) = .

2. El cálculo de la probabilidad pedida es equivalente a calcular el complemento de la probabilidad de tener el mismo color en

ambas extracciones, es decir,1 – P(NN) + P(BB).

Por lo tanto, la probabilidad de obtener exactamente una bolita blancacorresponde a: P(NB ∨ BN) = + = .

27

50

6

20

6

25

6

20

4

25

12

1

2

1

2

64

2

2

5

Ω

N

B

N NN

B NB

BN

BB

N

B

2

5

2

5

24

2

4

3

5

3

5

Solucionario


1. Para el caso de Cn

= Cn

= 1 se utilliza la definición:

Análogamente,

Cn

= = = 1.n!

I · n!

n!

0! · (n – 0)!

Cn = = = = 1n!! 1

n!! 0!

n!! ( )!

n

n

00



U

n i d a d

7

Bibliografía

g

2. Para

3.

4.

• Batanero, C., Grupo de Educación Estadística, Universidad de Granada, Didáctica de la Estadística, 2001.

• Ministerio de Educación, Propuesta Ajuste Curricular, Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios,

Matemática, junio, 2009.

• Serradó A., Cardeñoso M. J., Azcárate P., Los obstáculos en el aprendizaje del conocimiento probabilístico: su incidencia desde

los libros de texto España 2003


1. C 6. A 11. B

2. D 7. D 12. C

3. B 8. A 13. C

4. C 9. E 14. C

5. D 10. C

n! · 1n! · 0!n! · (n – n)!n

Cn

= = = = 1n

l!

n · (n – 1)!

l! · (n – 1)!

n!

l! · (n – 1)!l

Cn

= = = = = Cnn!

(n – k)! · (n – (n – k))!

n!

(n – k)! · (n – n + k)!

n!

(n – k)! · k!

n!

k! · (n – k)!k

Cn

+ Cn

= + = +n!

(k + 1) · k! · (n – k – l)!

n!

k! · (n – k) · (n – k – l)!

n!

(k + 1)! · (n – k – l)!

n!

k! · (n – k)!

= · + = · n + l

(n – k)(k + l)

n!

k! ·(n – k – l)!

1

k + l

1

n – k

n!

k! · (n – k – l)!

= = = = Cn + l

(n + l)!(k + l)!(n + l – (k + l))!(n + l)!(k + l)(n – k)!n! · (n + l)k! · (n – (k + l))! · (n – k) · (k + l)

k k + 1

k + 1

n – k

i° medio matemática 2010 santillana bicentenario docente

Documents