Función Probabilidad. P

Dado que el espacio muestral es un evento seguro, y si deseamos asignar una medida de su ocurrencia, esta sería la máxima, en oposición, el evento vacío debe tener la menor medida. Si decidimos que la medida de la ocurrencia de debe ser 1 y que la medida de debe ser 0, se tendrá en forma natural, que para cualquier evento A, la medida de su ocurrencia debe ser un valor entre 0 y 1, formalmente se tiene lo siguiente:

Dado el espacio muestral , la “ Probabilidad de un evento A”, que se denota con P(A) se define como el número que cumple los siguientes axiomas:

La probabilidad de cualquier evento es un número no negativo, esto es; P(A) 0 A.

La probabilidad del espacio muestral es 1. Esto es P( ) = 1. Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de la

unión de estos eventos es la suma de las probabilidades de cada uno de ellos. Es decir P( ) = P(A) + P(B)

Observación.Probabilidad mide la ocurrencia de un evento.P es una función que a cada evento le hace corresponder un número entre cero y uno.

Propiedades de la Función Probabilidad.

1. La probabilidad del evento vacío es igual a cero, es decir, P( ) = 02. Si A B, entonces P(A) P(B).3. La probabilidad es un número entre 0 y 1, esto es. 0 P(A) 1.4. La probabilidad del complemento de un evento A es igual a 1 – P(A).5. Si A y B son dos eventos cualesquiera, entonces P( ) = P(A) + P(B) – P(

)Nota. Es conveniente observar que si P(A) = 0, no necesariamente es A =

Ejemplo.

Dados = {1, 2, 3}, A = {1} B = {3} C = {2} y P(A) = ½ P(B) = 1/5 Halle: a. P(C) b. P(A B) c. P( ) d. P( B) e. P( ) Solución.

a. ¿P( C )? 𝜴= { 1 ,2, 3} = = 1 = P( 𝜴 ) = P{1} + P{2} + P{3} = P( A ) + P(C) + P( B ) Los eventos elementales son mutuamente excluyentes. 1 = 1 / 2 + P( C ) + 1/ 5 P( C ) = P{ 2 }= 1 – 0.7 = 0.3

b. P( A ⋃ B ) = P( A ) + P( B ) = 0.5 + 0.2 = 0.7c. P ( Ā ) =? P ( Ā ) = 1 – P(A) = 1 – 0.5 = 0.5 aplicando propiedades

6 Lic. María A. Zacarías Díaz

d. P( Ā ∩ B) = ¿? Ā = { 2 , 3 } B = { 3 } ⇨ Ā ∩ B = { 3 } ⇨ P (Ā ∩ B ) = P{ 3 } = 0.2e. = ¿? Ā = { 2 , 3} = { 1 , 2 } estos son 2 eventos cualesquiera, es decir no son

mutuamente excluyentes, ⇨ P(Ā ⋃ ) = = 0.5 + 0.8 - 0.3 = 1

Ejercicio

Dado un experimento en el que P(A) = ½ P( B) = ½ P(A B) = 2/3 Halle: a. P( ) b. P( ) c. P( A B) d. P( ) e. P( ) f. P( A ) g. P( B) h. P( B)

Asignación de Probabilidades en Espacios Muestrales Finitos.

Sea el E: un experimento aleatorio. es el espacio muestral asociado a E, que está constituido por n eventos elementales w i, i =

1, ….., n.La probabilidad de cada evento elemental es: P(wi) = 1/n , es decir el espacio muestral es equiprobable.

Un evento cualesquiera(A) está compuesto por eventos elementales, entonces la probabilidad de A puede hallarse de la siguiente manera:

Número de resultados favorables al evento n(A) P(A) = ---------------------------------------------------- = ------ Número total de resultados posibles n( ) Ejemplo Suponga que una urna contiene 50 fichas numeradas del 1 al 50. Sean los eventos: A: La ficha seleccionada muestra un número par. B: La ficha seleccionada muestra un número mayor que 15. C: La ficha seleccionada muestra un número múltiplo de 5. D: La ficha seleccionada muestra un número impar.

i. Indique la acción y lo que interesa observar.ii. ¿El espacio muestral es equiprobable?iii. Halle la probabilidad de los eventos dados.iv. Halle la probabilidad de los eventos: , e indique la

proposición asociada a cada evento.Solución.

i. Acción. Seleccionar una ficha.Int. Observar que carta es o que número posee la carta.

ii. = { 1, 2, 3, … , 50} este espacio muestral es equiprobable, ya que cada evento elemental tiene la misma probabilidad de ocurrir es decir: P(w i ) = 1 / 50 i = 1, 2, ……, 50

7 Lic. María A. Zacarías Díaz

iii. Los elementos de los eventos propuestos son:A = { 2, 4, 6, … , 50} luego su probabildad es : P (A ) = 25 / 50B = { 16, 17, 18, … , 50 } luego su probabilidad es : P ( B ) = 35 / 50C = { 5, 10, … , 50 } luego su probabilidad es: P( C ) = 10 / 50D = { 1, 3, … , 49 } luego su probabilidad es : P( D ) = 25 / 50

iv. : La ficha seleccionada muestra un número par o un número mayor que 15. Estos eventos no son mutuamente excluyentes, luego P( ) = P(A) +P(B) –P(AB) = 25 / 50 + 35 / 50 – 18 /50 = 42 / 50

: La ficha seleccionada muestra un número mayor que 15 y es múltiplo de 5P( ) =7 /50

: La ficha seleccionada muestra un número par y un número par.P( ) = 0

Ejemplo

Si se saca un naipe al azar de una baraja común de 52 cartas. ¿En qué consiste el experimento? ¿El espacio muestral es equiprobable? ¿cuál es la probabilidad de que la carta seleccionada sea de color rojo? ¿Qué sea un diamante? ¿Qué sea un as? ¿Qué sea un as de diamantes?

Solución.Exp.Acción. Seleccionar un naipe.Int: Observar que carta es.

= {As de diamantes, dos de diamantes,…….., As de trébol, dos de trébol, ……, As de espadas, dos de espadas, ……, As de corazones, dos de corazones }

Este espacio muestral es equiprobable, es decir P(wi ) = 1 / 52 i = 1, 2, 3, …… , 52La respuesta a las preguntas son:Sean los eventos:A: el naipe sea de color rojo P(A) = 26 / 52B: el naipe sea un diamante P(B) = 13 / 52C: el naipe sea un As P(C) = 4 / 52D: el naipe sea un as de diamantes P(D) = 1 / 52

Ejemplo Se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener 7 u 11 puntos?Solución.Exp.Acción. Lanzar dos dados.Int. Observar los puntos que muestran los dos dados.

= { (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)}Este espacio muestral es equiprovableSean los eventos:A: la suma de los puntos sea 7 A = { (1,6) (6,1) (2,5) (5,2) (3,4) (4,3) }B: la suma de los puntos sea 11 B = { (5,6) (6,5) }

8 Lic. María A. Zacarías Díaz

P(A) = 6/36 P(B) = 2/36A y B son mutuamente excluyentes, P( ) = P(A) + P(B) = 6 / 36 + 2 / 36 = 8 / 36

Ejemplo Para el curso de Estadística I se necesita un profesor Jefe de Práctica y un profesor Ayudante. Se cuenta con 4 candidatos que son las siguientes personas: Hugo, José, Eduviges y Katherine.1) Si lo que interesa observar, es qué personas cubren las vacantes, ¿cuál es el espacio

muestral? ¿cuántos elementos tiene este espacio muestral? ¿El espacio muestral es equiprobable?

2) Si lo que interesa observar es, si cada una de las vacantes es cubierta por un hombre o una mujer. ¿cuáles son los elementos del espacio muestral? El espacio muestral es equiprobable?a) Halle la probabilidad de los siguientes eventos:

i) A: Las personas que cubren las vacantes son del mismo sexoii) B: Una de las vacantes es cubierta por una mujer iii) C: Una de las vacantes es cubierta por lo menos por un hombre.

Solución.1. Exp. Acción: seleccionar dos personas de un grupo de 4, para cubrir las vacantes de jefe

de prácticas y ayudante. Interesa: observar que personas cubren las vacantes. = {(H.J), (H,E), (H,K), (J,H), (J,E), (J,K), (E,H), (E,J), (E,K), (K,H), (K,J) (K,E)} El número de elementos de este espacio muestral, es decir n( ) es 12. La probabilidad de cada evento elemental, es decir P(wi) = 1/12 i = 1, 2, …, 12 Por lo tanto el espacio muestral es equiprobable.

2. . Exp. Acción: seleccionar dos personas de un grupo de 4, para cubrir las vacantes de jefe de prácticas y ayudante.

Interesa: observar si es hombre o mujer. = {(H.H), (H,M), (M,M), (M,H)} El número de elementos de este espacio muestral, es decir n( ) es 4. La probabilidad de cada evento elemental, es decir P(wi) no es 1/4 i = 1, 2, 3, 4, ya

que cada evento elemental de está formado por los siguientes eventos: : {(H,H)}= {(H.J), , (J,H)} {(H,M)}= { (H,E), (H,K), (J,E), (J,K)} {(M,M)}= {(E,K), (K,E)} {(M,H)}= { (E,H), (E,J), (K,H), (K,J)} La probabilidad de cada evento elemental es: P{(H,H)}= 2/12 P{(H,M)}= 4/12 P{(M,M)} = 2/12 P{(M,H)} = 4/12 Como la probabilidad de cada uno los eventos elementales de es diferente

concluimos que el espacio muestral no es equiprobable.Cuando se cuenta con un espacio muestral no equiprobable a éste se le llama espacio muestral reducido y cómo para hallar la probabilidad de cada evento elemental de se debe conocer el espacio muestral original, es decir el equiprobable, a éste espacio muestral lo denotaremos por: ’y para hallar el número de elementos del espacio muestral original utilizaremos técnicas de conteo ( permutaciones y combinaciones)

9 Lic. María A. Zacarías Díaz

2.a. Sean los eventos:i. A: Las personas que cubren las vacantes son del mismo sexo Cuya P(A) = P{(H;H); (M;M)} = 4/12

ii B: Una de las vacantes es cubierta por una mujer Cuya P(B) = P{ (H,M), (M,H)} = 8/12

iii C: Una de las vacantes es cubierta por lo menos por un hombre. Cuya P(C)= P{ (H,M), (M,H), (H;H)} = 10/12

Ejemplo.Considere el problema anterior, pero suponga que lo que se necesita es dos profesores ayudantes.

a. ¿Cuál es el espacio muestral, si lo que interesa es observar es: ¿qué personas cubren las vacantes? ¿Cuál es el valor de n( )? ¿El espacio muestral es equiprobable?

b. Si lo que interesa observar, es si cada una de las vacantes es cubierta por un hombre o una mujer, ¿cuáles son los elementos del espacio muestral (si los alumnos se seleccionan simultáneamente)? ¿El espacio muestral es equiprobable? ¿qué nombre tiene este espacio muestral?

c. Halle la probabilidad de los eventos propuestos.

10 Lic. María A. Zacarías Díaz