Microsoft Word - problemas10_soluciones.doc

Problema 1

En el conjunto P de los nmeros pares se definen dos operaciones, una de ellas es la adicin ordinaria y a otra est definida en la siguiente forma:

x,yP x*y=x . y/2

Demostrar que (P, +, *) tiene estructura de anillo.

Solucin

La condicin necesaria y suficiente para que un subconjunto P de Z sea subanillo de (Z, +, *) es que sea subgrupo para Ia suma y para el producto.

(Z, +) es un grupo abeliano, por lo tanto, si (P, +) cumple:

Resolviendo

Por lo tanto (P, +) es un grupo abeliano.

Para (P, *) cumple las siguientes propiedades

Ley de composicin interna en P

Propiedad asociativa

Por lo tanto

Propiedad conmutativa

Por lo tanto

Propiedad distributiva respecto de la adicin ordinaria

Por lo tanto

Por lo tanta de acuerdo al cumplimiento de la propiedades anteriores, se puede decir que (P, +, *) tiene estructura de anillo.

Problema 2

Cul de los siguientes grafos no se puede dibujar sin levantar el lpiz del papel y sin dibujar dos veces la misma arista?

ABC

Solucin:

Para resolver este ejercicio hay que analizar el grado de cada vrtice.

Para que se pueda dibujar sin levantar el lpiz del papel y sin dibujar dos veces la misma arista debe ocurrir una de las siguientes condiciones: Todos los grados son pares, entonces es un grafo euleriano, es decir, admite un circuito euleriano. Dos y exactamente dos vrtices tienen grado impar, entonces se podra dibujar un camino euleriano que parta de uno de los vrtices de grado impar y termine en el otro.

Grafo A

El grafo A admite un camino euleriano, partiendo de uno de los vrtices sealados por una flecha y terminando en el otro

Grafo B

El grafo B tambin admite un camino euleriano, partiendo de uno de los vrtices sealados por una flecha y terminando en el otro

Grafo C

El grafo C tiene ms de dos vrtices con grado impar, luego no admite camino euleriano y no se puede dibujar sin levantar el lpiz del papel y sin dibujar dos veces la misma arista

Problema 3

Un profesor juega con uno de sus alumnos utilizando una calculadora. El profesor introduce en la calculadora el nmero 12345679 y se la pasa al alumno. Le pide al alumno que piense un nmero entre el 1 y el 9 y que lo multiplique por el nmero que le aparece en pantalla. A continuacin la calculadora pasa nuevamente al profesor. ste hace una nueva multiplicacin, siempre la misma, y la pantalla muestra un nmero que tiene todas sus cifras iguales... al nmero que haba pensado el alumno. Qu multiplicacin es la que realiza el profesor? Por qu resulta siempre un nmero con todas las cifras iguales?

Solucin

El nmero 12345679 est formado por la sucesin de cifras significativas, excepto el 8.

Si se multiplica por uno cualquiera de los 9 primeros mltiplos de 9: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, el producto se compondr de 9 cifras iguales.

As tendremos:

12345679* 9 = 11111111112345679*18 = 22222222212345679*27 = 333333333

En general siendo n una cifra cualquiera resultar:

12345679*(9*n) = nnnnnnnnn