10-problemas de campo

Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Delta

Teórico de CÁLCULO AVANZADO

2015

Tema: PROBLEMAS DE CAMPO

Objetivos de aprendizaje •

Germán BRESCIANO

10 PROBLEMAS DE CAMPO................................................................................................. 10-1

10.1 SISTEMAS DISCRETOS. MÉTODO DIRECTO DE LA RIGIDEZ ...................................................... 10-1 10.1.1 Sistemas discretos ....................................................................................................... 10-1 10.1.2 Ecuaciones elementales .............................................................................................. 10-1 10.1.3 Ensamblado del sistema global ................................................................................... 10-2 10.1.4 Elementos discretos usuales ........................................................................................ 10-2

10.1.4.1 Elemento barra ................................................................................................................. 10-2 10.1.4.2 Elemento viga .................................................................................................................. 10-8

10.2 SISTEMAS CONTINUOS. FORMULACIÓN VARIACIONAL ......................................................... 10-10 10.2.1 Variación de un funcional (unidimensional) .............................................................. 10-11 10.2.2 Variación de un funcional (vectorial) ........................................................................ 10-13 10.2.3 Variación de un funcional (orden superior) ............................................................... 10-13 10.2.4 Condiciones de contorno........................................................................................... 10-13 10.2.5 Variación de un funcional (varias variables) ............................................................. 10-14 10.2.6 Variación de un funcional (varias variables sin cond. de Dirichlet en parte de Γ) ...... 10-15 10.2.7 Métodos de resolución .............................................................................................. 10-16

10.2.7.1 Método de diferencias finitas .......................................................................................... 10-16 10.2.7.2 Método de elementos finitos ........................................................................................... 10-17

10.3 INTERPOLACIÓN POR FUNCIONES POLINOMIALES A TROZOS ................................................. 10-17 10.3.1 Normas ..................................................................................................................... 10-17 10.3.2 Caso una variable y grado 1 (poligonales) ................................................................ 10-17 10.3.3 Caso una variable grado k ........................................................................................ 10-18

10.3.3.1 Interpolación de Lagrange .............................................................................................. 10-18 10.3.3.2 Interpolación a trozos ..................................................................................................... 10-19

10.3.4 Propiedades de la interpolación ................................................................................ 10-19 10.3.5 Error de interpolación .............................................................................................. 10-19 10.3.6 Pasaje a norma L2 .................................................................................................... 10-20

10.3.6.1 Teorema de Sobolev (en una variable) ............................................................................ 10-20 10.3.6.2 Propiedad 3 para norma L2 ............................................................................................. 10-20 10.3.6.3 Propiedad 2 para norma L2 (Lema Bramble Hilbert) ........................................................ 10-20 10.3.6.4 Error de interpolación en norma L2 ................................................................................. 10-21

10.3.7 Caso 2 variables - interpolación en el plano .............................................................. 10-21 10.3.7.1 Particiones triangulares................................................................................................... 10-22 10.3.7.2 Particiones rectangulares ................................................................................................ 10-24

10.3.8 Caso 3 variables - interpolación en el espacio. .......................................................... 10-24 10.3.9 Error de interpolación .............................................................................................. 10-24

10.3.9.1 Teorema de Sobolev ....................................................................................................... 10-25 10.3.9.2 Lema Bramble Hilbert .................................................................................................... 10-25 10.3.9.3 Propiedad 3 .................................................................................................................... 10-25 10.3.9.4 Acotación del error ......................................................................................................... 10-25

10.4 MÉTODOS DE ELEMENTOS FINITOS .................................................................................... 10-28

10.4.1 Propiedades de A ...................................................................................................... 10-29 10.4.1.1 Ejemplo (1 variable) ....................................................................................................... 10-29

10.4.2 Cálculo de la matriz A .............................................................................................. 10-31 10.4.2.1 Matrices elementales ...................................................................................................... 10-31

10.4.3 Cálculo del vector f ................................................................................................... 10-32 10.4.3.1 Vectores elementales ...................................................................................................... 10-32

10.4.4 Ensamblado del sistema global ................................................................................. 10-33 10.5 CONDICIONES DE CONTORNO ............................................................................................. 10-33

10.5.1 Condiciones de Dirichlet........................................................................................... 10-33 10.5.2 Condiciones de Newmann ......................................................................................... 10-34

10.5.2.1 Ejemplo (2 Variables)..................................................................................................... 10-34 10.6 ELEMENTOS USUALES ....................................................................................................... 10-38

10.6.1 Elementos unidimensionales ..................................................................................... 10-38 10.6.1.1 Funciones de forma locales y globales ............................................................................ 10-39

10.6.2 Elementos bidimensionales ....................................................................................... 10-39 10.6.2.1 Elementos triangulares ................................................................................................... 10-39 10.6.2.2 Elementos cuadriláteros .................................................................................................. 10-40 10.6.2.3 Funciones de forma locales y globales ............................................................................ 10-40

10.6.3 Elementos tridimensionales ....................................................................................... 10-40 10.7 INTEGRACIÓN NUMÉRICA .................................................................................................. 10-40

10.8 CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS ....................................................... 10-42

10.8.1 Caso 1 variable ........................................................................................................ 10-42 10.8.1.1 Acotación de ∥u-uh∥ ....................................................................................................... 10-43

10.8.2 Caso varias variables ............................................................................................... 10-44 10.9 MÉTODO DE LOS RESIDUOS PONDERADOS........................................................................... 10-44

10.10 MÉTODOS NO CONFORMES ............................................................................................. 10-45

10.10.1 Ejemplo (1 variable) ............................................................................................. 10-45 10.10.2 Ejemplo (varias variables) .................................................................................... 10-45 10.10.3 Patch test .............................................................................................................. 10-47 10.10.4 Convergencia........................................................................................................ 10-47

10.11 MÉTODOS MIXTOS ......................................................................................................... 10-48 10.11.1 Ejemplo - Ecuaciones de Navier-Sokes .................................................................. 10-48

10.11.1.1 Aproximación por elementos finitos de 1 ........................................................................ 10-50 10.11.1.2 Caso convergencia de orden 1 ......................................................................................... 10-51

10.12 INTEGRACIÓN REDUCIDA ............................................................................................... 10-53

10.13 SISTEMAS NO EN RÉGIMEN ............................................................................................. 10-53

10.13.1 Problemas parabólicos ......................................................................................... 10-53 10.13.1.1 Ejemplo - Ecuación del calor. ......................................................................................... 10-53

Problemas de campo 10-1

10 Problemas de campo

10.1 Sistemas discretos. Método directo de la rigid ez Antes de estudiar los problemas de campo veremos un método de resolución para sistemas discretos cuya metodología de cálculo es la base del método de elementos finitos.

10.1.1 Sistemas discretos Los sistemas discretos son sistemas físicos compuestos por elementos discretos bien definidos interconectados entre sí. Dos ejemplos de sistemas discretos son las estructuras de barras y circuitos eléctricos. El estado de cada uno de estos elementos puede representarse por el valor de variables de estado en una cantidad finita de nodos y estos valores se relacionan entre sí y con las condiciones del entorno o de acople con los otros elementos mediante un sistema de ecuaciones conocido llamado ley de gobierno del elemento. En una estructura de barras la ley de gobierno de cada barra relaciona el desplazamiento de sus extremos con la tensión en la barra. En un circuito eléctrico la ley de gobierno de cada componente eléctrico relaciona el voltaje en sus extremos con la corriente que pasa por el componente. En cada nodo se cumple una condición de compatibilidad, que implica que ciertas variables de estado de todos los elementos conectados a ese nodo deben tener el mismo valor (escalar o vectorial). En una estructura de barras la condición de compatibilidad en un nodo es que los desplazamientos de todas las barras conectadas sean iguales. En un circuito eléctrico la condición de compatibilidad en un nodo es que los voltajes de todos los componentes conectados sean iguales en ese nodo. También de cumple una condición de equilibrio, que puede ser una ecuación escalar o vectorial que relaciona las variables de cada elemento conectado a ese nodo con cargas externas aplicadas al nodo. La condición de equilibrio suele ser que la suma (escalar o vectorial) de las variables debe ser nula. En una estructura de barras la condición de equilibrio en un nodo es que la suma de todas las tensiones más las cargas externas aplicadas al nodo debe ser nula. En un circuito eléctrico la condición de compatibilidad en un nodo es que la suma algebraica de las corrientes entrantes de los componentes conectados es igual a la corriente externa que ingresa al nodo.

10.1.2 Ecuaciones elementales Usualmente la ley de gobierno de cada elemento puede expresarse como un sistema de ecuaciones lineales de la forma = Se define un vector global de variables con una o más componente por nodo (dependiendo del tipo de problema) y las condiciones de compatibilidad implican que ciertas componentes del

vector (1) de cada elemento conectado a un nodo son iguales entre sí y su valores comunes definen a las componentes de correspondientes a ese nodo.

También se define un vector global con una o más componentes por nodo como la suma

(algebraica o vectorial según el problema) de las componentes del vector (2)

1 Cuando las componentes de corresponden a magnitudes vectoriales en el sistema de referencia estándar del elemento, deben pasarse al sistema de referencia global mediante transformaciones de rotación de coordenadas para obtener las variables que deben ser iguales por la condición de compatibilidad. 2 Cuando las componentes de corresponden a magnitudes vectoriales en el sistema de referencia estándar del elemento, deben pasarse al sistema de referencia global mediante transformaciones de rotación de coordenadas para obtener las variables que deben sumarse en la condición de equilibrio.


(correspondientes a ese nodo) de cada elemento conectado al nodo y la condición de equilibrio implica que debe ser igual a la carga externa aplicada al nodo.

Se puede así establecer que los vectores globales y se relacionan según un sistema global de la forma = Que resume las ecuaciones elementales, las condiciones de compatibilidad y las de equilibrio. El sistema tiene tantas variables y ecuaciones como la cantidad de nodos por los grados de libertad por nodo, que es la cantidad de variables de estado independientes en cada nodo. En un circuito eléctrico hay un solo grado de libertad por nodo (el voltaje). En un sistema de barras 2D hay 2 grados de libertad por nodo (desplazamiento axial y lateral). En un sistema de vigas 2D hay 3 grados de libertad por nodo (desplazamiento axial y lateral y ángulo de flexión).

10.1.3 Ensamblado del sistema global El proceso de obtener la matriz A y el vector F a partir de las matrices y vectores elementales de cada elemento, sumando cada coeficiente en la fila y columna correspondiente de la matriz global y el vector global se llama ensamblado del sistema global. Usualmente los nodos de un elemento tienen una numeración local (que indica su número dentro del elemento) y una numeración global (que indica su número único en el sistema global). Las matrices elementales tienen tantas filas y columnas como grados de libertad tenga el elemento. Una vez obtenidas las matrices elementales, para ensamblar la matriz global debemos sumar cada coeficiente (cuyos subíndices en numeración local, i y j, corresponden a un par de nodos del elemento) en la fila correspondiente a la numeración global del nodo i y la columna correspondiente a la numeración global del nodo j. Para ensamblar el vector F se procede en forma similar, sumando para cada coeficiente del

vector de cada elemento (que corresponde a un nodo del elemento) en la fila correspondiente a la numeración global del nodo. Luego se debe tener en cuenta la condición de equilibrio del nodo que usualmente implica que la suma es igual a la carga externa aplicada al nodo.

10.1.4 Elementos discretos usuales Este método suele aplicarse a elementos con geometría unidimensional pero que forman estructuras bidimensionales o tridimensionales.

10.1.4.1 Elemento barra

En estos elementos hay un solo gradoio de libertad por nodo. Puede tratarse de • Barras con carga axial • Resortes con carga axial • Elementos de circuito eléctrico • Tramo de cañería de circuito hidráulico • Conductor de calor unidimensional

El estado de cada elemento queda definido por el desplazamiento en cada extremo. Las matrices elementales en coordenadas locales son de 2x2. En el caso de las barras y resortes la variable de estado es el desplazamiento, que es unidimensional en el sistema de coordenadas local, pero es vectorial en el sistema de coordenadas global ya que el alargamiento tendrá la dirección del elemento. La ecuación de equilibrio en cada nodo será vectorial (2D o 3D) pues depende de la geometría en la que están dispuestos los elementos. Las matrices elementales en coordenadas globales son de 4x4 (2D) o 6x6 (3D).


En los otros casos la geometría es irrelevante pues la condición de equilibrio de cada nodo es escalar (suma de flujos nula).

Ejemplo Determinar los voltajes en cada nodo del circuito R1 = 10 Ω R2 = 3 Ω R3 = 2 Ω R4 = 7 Ω R5 = 12 Ω R6 = 5 Ω R7 = 4 Ω R8 = 9 Ω V6 = 12V I2 = 0.1A Cada nodo tiene una numeración global (en verde) y una numeración local (en amarillo) que indica su número dentro

del elemento.

Primero debemos definir cada elemento, indicando cuáles son sus nodos, es decir la correspondencia entre la numeración local de sus nodos y la numeración global.

Elemento Nodo 1 Nodo 2 Resistencia

1 1 2 10 Ω 2 2 3 3 Ω 3 3 4 2 Ω 4 5 4 7 Ω 5 6 5 12 Ω 6 3 5 5 Ω 7 2 5 4 Ω 8 1 6 9 Ω

Las ecuaciones de gobierno de cada elemento relacionan los valores nodales de las variables de estado. Estas ecuaciones se expresan normalmente en la numeración local, pues se considera al elemento en forma aislada. Para cada resistencia su ecuación elemental es =

= o sea 1 11 1

=

Donde y son las intensidades entrante del elemento e en su nodo 1 y 2 y y son los voltajes en el nodo 1 y 2 del elemento e. Por tanto las ecuaciones elementales (en numeración local) son

1 11 1 =

1 11 1 =

1 11 1

=

1 11 1 =


1 −1−1 1 ()() = ()

() 1 −1−1 1 ( )( ) = ( )

( )

1 −1−1 1 ()() = ()

() ! 1 −1−1 1 (")

(") = (")(")

En cada nodo debe cumplirse la ecuación de equilibrio. En este caso la suma de las intensidades (de los elementos que lo incluyen) debe ser igual a la intensidad externa entrante. Por tanto vamos a ensamblar el sistema global sumando los coeficientes de cada matriz elemental en la fila y columna correspondientes a la numeración global de sus nodos. Del lado derecho tendremos la suma de las intensidades, que debe ser igual a la intensidad externa entrante.

#$$$$$$$$$$$% 110 + 19 − 110 0 0 0 − 19− 110 110 + 13 + 14 − 13 0 − 14 0

0 − 13 13 + 12 + 15 − 12 − 15 00 0 − 12 12 + 17 − 17 00 − 14 − 15 − 17 17 + 112 + 15 + 14 − 112− 19 0 0 0 − 112 112 + 19./

//////////0

#$$$$% ./

///0 =

#$$$$% 00.1000 ./

///0

Como sabemos que = 12 sustituimos su valor en cada ecuación y pasamos restando el término al lado derecho. Además eliminamos la ecuación correspondiente al este nodo, obteniendo el siguiente sistema reducido:

#$$$$$$$$$% 110 + 19 − 110 0 0 0

− 110 110 + 13 + 14 − 13 0 − 140 − 13 13 + 12 + 15 − 12 − 150 0 − 12 12 + 17 − 170 − 14 − 15 − 17 17 + 112 + 15 + 14./////////0

#$$$%./

//0 =

#$$$$% 1290.1001 ./

///0

Al resolver este sistema obtenemos

#$$$%./

//0 =

#$$$%12,388512,820212,753512,737612,6819./

//0

Sustituyendo estos valores y el conocido de en la ecuación que habíamos eliminado del sistema sin reducir, obtenemos el valor de = −0,1


Lo que hicimos puede programarse en Scilab: //CIRCUITO ELECTRICO mode( 0) // Sólo muestra resultados si no se pone ; en la lí nea clc // Borra la consola //DATOS GEOMETRICOS Coor =[ 0 0; 0 1; 0 2; 1 2; 1 1; 1 0] ; //Coordenadas nodos (para el dibujo) //DATOS ELECTRICOS R=[ 10 3 2 7 12 5 4 9] ; // [ohm] Resistencia de los elementos //TABLA DE CONECTIVIDAD TC=[ 1 2; 2 3; 3 4; 5 4; 6 5; 3 5; 2 5; 1 6] ; nn=size ( Coor, 'r' ) ; //Numero de nodos nne=size ( TC, 'c' ) ; //Numero de nodos por elemento ne=size ( TC, 'r' ) ; //Numero de elementos //GRADOS DE LIBERTAD PRESCRITOS (Voltajes) gdlp =[ 6] ; ngdlp =size ( gdlp, 'c' ) ; Vp=zeros ( nn, 1) ; Vp( gdlp, 1) =12; //GRADOS DE LIBERTAD LIBRES gdll =zeros ( nn - ngdlp, 1) ; gdll =[ 1 2 3 4 5] ; //Corrientes APLICADAS Iap =zeros ( nn, 1) ; Iap ( 2) =0.10 ; //MATRICES DE RIGIDEZ kb =zeros ( nne,nne ) ; kb =[ 1 - 1; - 1, 1] ; //MATRICES Y VECTORES GLOBALES Kg=zeros ( nn,nn ) ; Vg=zeros ( nn, 1) ; for i =1: ne ke =1/ R( i ) * kb; //Matriz de rigidez elemental //Ensamblaje de la matriz de rigidez ind =[ TC( i, 1) TC ( i, 2)] ; Kg ( ind,ind ) =Kg( ind,ind ) +ke; end


//REDUCCION DEL SISTEMA DE ECUACIONES Kred =zeros ( nn- ngdlp, nn - ngdlp ) ; Ired =zeros ( nn- ngdlp, 1) ; Ured =zeros ( nn- ngdlp, 1) ; Kred =Kg( gdll,gdll ) ; Ired =Iap ( gdll, 1) - Kg( gdll,gdlp ) * Vp( gdlp ) ; //Resta al vector las columnas de los //grados prescritos por los valores prescritos. //SOLUCION DEL SISTEMA REDUCIDO Vred =Kred \ Ired; //CALCULO DE LOS Voltajes Y LAS Intensidades NODALE S Vg( gdll ) =Vred; Vg( gdlp ) =Vp( gdlp ) ; //CALCULO DE LAS Intensidades entrantes en los nodo s I =Kg* Vg; //SALIDA DE RESULTADOS disp ( "Voltajes prescritos" ) disp ([ " Nodo Volt" ]) disp ([ gdlp ' Vp ( gdlp )]) disp ( "Intens aplicadas" ) disp ([ " Numero Inten" ]) disp ([ gdll ' Iap ( gdll )]) Kg Iap Kred disp ([ " Ired Vred" ]) disp ([ Ired Vred ]) disp ([ " Vg I Iap" ]) disp ([ Vg I Iap ]) //Grafica elementos delete ( gcf ()) ; mx=min ( Coor ( : , 1)) ; Mx=max( Coor ( : , 1)) ; my=min ( Coor ( : , 2)) ; My=max( Coor ( : , 2)) ; dx =Mx- mx; dy =My- my; mx=mx- dx / 10; Mx=Mx+dx / 10; my=my- dy / 10; My=My+dy / 10; plot ([ mx Mx] , [ my My] , 'w' ) ; plot ( Coor ( : , 1) ,Coor ( : , 2) , 'o' ) for e =1: ne x =[ Coor ( TC( e, 1) , 1) Coor ( TC( e, 2) , 1)] ; y =[ Coor ( TC( e, 1) , 2) Coor ( TC( e, 2) , 2)] ; plot ( x,y, '-' ) end


Voltajes prescritos Nodo Volt 6. 12. Intens aplicadas Nodo Inten 1. 0. 2. 0.1 3. 0. 4. 0. 5. 0. Kg = 0.2111111 - 0.1 0. 0. 0. - 0.1111111 - 0.1 0.6833333 - 0.3333333 0. - 0.25 0. 0. - 0.3333333 1.0333333 - 0.5 - 0.2 0. 0. 0. - 0.5 0.642857 1 - 0.1428571 0. 0. - 0.25 - 0.2 - 0.142857 1 0.6761905 - 0.0833333 - 0.1111111 0. 0. 0. - 0.0833333 0.1944444 Iap = 0. 0.1 0. 0. 0. 0. Kred = 0.2111111 - 0.1 0. 0. 0. - 0.1 0.6833333 - 0.3333333 0. - 0.25 0. - 0.3333333 1.0333333 - 0.5 - 0.2 0. 0. - 0.5 0.642857 1 - 0.1428571 0. - 0.25 - 0.2 - 0.142857 1 0.6761905 Ired Vred 1.3333333 12.388538 0.1 12.820247 0. 12.753483 0. 12.737586 1. 12.681949 Vg I Iap 12.388538 2.220D-16 0. 12.820247 0.1 0.1 12.753483 - 2.220D-15 0. 12.737586 - 2.220D-16 0. 12.681949 0. 0. 12. - 0.1 0.


Este circuito puede modelarse también en un software de Elementos Finitos usando elementos unidimensionales de dos nodos. Se definen primero los nodos y luego los elementos. Se definen las características de cada elemento y finalmente las cargas y restricciones.

Se resuelve el modelo obteniéndose el valor del voltaje en cada nodo y la corriente en cada elemento.

Node Electric Potential 1 12.3885379627693 2 12.8202468102907 3 12.7534825350345 4 12.7375862790211 5 12.6819493829743 6 12

Material Element Current 10_Ohm 1 0.0431708847521447

3_Ohm 2 -0.0222547584187402 2_Ohm 3 -0.00794812800669309 7_Ohm 4 -0.00794812800669372

12_Ohm 5 0.0568291152478572 5_Ohm 6 -0.0143066304120484 4_Ohm 7 -0.0345743568291157 9_Ohm 8 -0.0431708847521447

10.1.4.2 Elemento viga

En estos elementos la carga en el extremo tiene componente axial y transversal y también hay momentos flectores. El estado de cada elemento queda definido por el desplazamiento longitudinal y transversal y los ángulos de flexión en cada extremo Las matrices elementales son de 6x6 (2D) o 10x10 (3D).


Ejemplo Determinar los desplazamientos y giros no prescritos y las fuerzas y momentos de reacción en los empotramientos

A=1,000 mm 2 IZ=20,000 mm4 E=200,000 MPa En este caso también se puede usar un software de Elementos Finitos para modelar el sistema.

Node X Y Z

Displacem

ent in X

Displacem

ent in Y

Rotation

about Z

Tensile

Force

Shear

Force V

Bending Moment

about W

1 0 0 0 0 0 0 -4.119 147 -49.158

2 750 750 0 0,109623 -0,418585 -0,007574 -5.981 211 -18.716

3 0 750 0 0 0 0 29.233 276 62.928


10.2 Sistemas continuos. Formulación variacional Los problemas de campo son problemas en los que se tiene un sistema físico que ocupa una región llamada campo, donde en cada punto y momento el estado del sistema puede describirse con una serie de “variables de campo”. Los valores de estas variables de campo y sus derivadas espaciales y temporales cumplen ciertas leyes naturales, es decir, se relacionan entre sí por ecuaciones llamadas ecuaciones de gobierno del sistema. Generalmente el entorno del sistema impone ciertas restricciones sobre las variables de campo en la frontera del sistema (condiciones de contorno) o el problema parte de un estado inicial conocido (condiciones iniciales). Algunos ejemplos de variables de campo son: temperatura, desplazamientos, flujo de calor, velocidad del fluido, presión, tensión, concentración de sustancias químicas, etc. Generalmente los problemas de campo pueden formularse de dos maneras. En la primera de ellas el problema se plantea como una ecuación diferencial 3. La ecuación diferencial describe el comportamiento local de las variables, o sea, en una región infinitesimal. Como tiene muchas soluciones, se usan condiciones iniciales y/o de contorno para determinar la solución particular de la ecuación diferencial que describe la solución del problema. En la segunda formulación se plantea el problema como uno de minimización de un funcional J , que se define por una adecuada integración sobre toda la región ocupada por el campo de las incógnitas en el dominio4. Ambas formulaciones son matemáticamente equivalentes. En la formulación de minimización toda la información necesaria está contenida en una sola ecuación y no hay necesidad de condiciones auxiliares. La formulación de minimización será de la forma: Hallar u∈V | J(u)≤J(v) ∀ v∈V siendo

V el conjunto de funciones admisibles J:V→R un funcional5

Las funciones v∈V representan variables de campo, como desplazamientos de un cuerpo elástico, temperatura, etc., en función de las coordenadas espaciales o temporales. El funcional J usualmente tiene algún significado físico, como la energía potencial de un cuerpo elástico, o la entropía en un sistema termodinámico aislado.

1) Ejemplo : Trayectoria de tiempo mínimo (braquistócrona) Dados dos puntos A y B deseamos hallar la trayectoria entre A y B que minimice el tiempo de caída sin rozamiento de una partícula. Para simplificar el problema consideraremos la aceleración de la gravedad en la dirección del eje x, que A es el origen de coordenadas y B está en el primer cuadrante. Sea s(t) la distancia recorrida por la partícula 78 = 9:98 ⇒ < = = 98>

= = 9:7> = = ?1 + @′7 9BC

C

Pero

7 = ?2gx ⇒ < = = G1 + @′2Hx 9B CC = 1?2H = G1 + @′x 9B C

C

⇒ ?2H < = = G1 + @′x 9B CC

≡ J(@)

el problema es minimizar el funcional J en el conjunto K@: MB, BN → P | @ 9RST7UVWR ∧ @(0) = 0 ∧ @(B) = @Y

3 En muchos casos esta ecuación diferencial se deriva de aplicar un principio de conservación de alguna de las variables de campo en una porción infinitesimal del campo, de donde se obtiene una relación entre unas variables y el gradiente de otra y luego se introduce una ley natural que suele relacionar esta variable con el gradiente de otra. Se obtiene así una relación entre derivadas segundas de esta última variable con los valores de otras variables, es decir una ecuación diferencial de segundo orden. 4 Un ejemplo es cuando se aplica el principio de mínima energía potencial. 5 Un funcional es una función de un espacio de funciones en R.


2) Ejemplo : Catenaria Se desea saber qué forma tomará una cuerda uniforme, flexible pero inelástica, de largo L colgada entre dos puntos A y B. La cuerda tomará la forma que minimice la energía potencial E = = @9:[

= = @?1 + @′9B CC

≡ J(@) El problema es minimizar el funcional J en el conjunto

\@: MB, BN → P | @ 9RST7UVWR, @(B) = @ ∧ @(B) = @ ∧ = ]1 + @^9B CC

= _`

10.2.1 Variación de un funcional (unidimensional) Consideremos el funcional

Ec. 10-1 a() ≡ b (c, , ^, ")ec cfcg

Con F diferenciable. Queremos minimizar J en = Kh: MB, BN → P con derivada segunda | h(B) = h ∧ h(B) = h Y Si u0 fuera solución entonces J(u0) ≤ J(u) ∀u∈V

Sean: tuv = Ku: MB, BN → P con derivada segunda | u(B) = u(B) = 0YwvP

Consideremos u=u0+εφ con φ∈V0 entonces J(u0) ≤ J(u0+εφ) ∀ε∈R ∧ ∀φ∈V0. Para φ fija definamos g:R→R | g(ε) ≡ J(u0+εφ) entonces g(0) ≤ g(ε) ∀ε∈R entonces g tiene mínimo en 0 y g es derivable, por tanto debe ser g’(0)=0. Como H(w) ≡ = x(B, h + wu, h + wu′, h" + wu")9B C

C

⇒ H^(w) = = yxz(B, h + wu, h + wu′, h" + wu")u + xz^(B, h + wu, h + wu′,CC h" + wu")u′ + xz"(B, h + wu, h + wu′, h" + wu")u"9B ⇒

0 = H^(0) = = yxz(B, h, h, h" )u + xz|(B, h, h, h" )u′ + xz"(B, h, h, h" )u"9B CC≡ J(h, u)

Donde J(h, u) ≡ ~~ J(h + wu) es la "variación del funcional J"

Este nuevo funcional que hemos definido es análogo al concepto de diferencial. Obsérvese que J(h, u) ≡ w J(h + wu) = lim→

J(h + wu) − J(h)w

Nótese que la condición necesaria para que u0 sea la solución que minimiza J es que

Ec. 10-2 a(, ) = ∀ ∈

En el caso que estábamos considerando esta es la formulación variacional del problema de minimización de un funcional . J(h, u) = = xzu C

C+ = xz|u′ C

C+ = xz"u" C

C

Integrando por partes el 2° y 3° sumando: = xz|u′ CC

= xz|u|CC − = ~~Cxz|u CC

= − = ~~Cxz| u CC


= xz"u"CC = xz"u′|CC = ~~Cxz"u^C

C = xz"u^|CC ~~Cxz" uCC + = ~~Cxz" u C

C= xz"u^|CC + = ~~Cxz" u CC

⇒ Jh, u = = xz ~~Cxz| + ~~Cxz" uCC + xz"u′|CC

Como debe ser ∂J(u0,φ)=0 ∀φ∈V0 eso implica que

Ec. 10-3 c| + fcf" = Mcg; cfN

Ec. 10-4 (6) "cg = "cf =

Ec. 10-3 y Ec. 10-4 son las ecuaciones de Euler Lagrange del funcional J (Ec. 10-1) y corresponden a la formulación del problema como ecuación diferencial . Como la condición ∂J(u0)=0 es una condición necesaria pero no suficiente de minimización de J, entonces la solución de las ecuaciones de Euler Lagrange no necesariamente minimiza J, pues podría ser un máximo o punto de inflexión.

1. Ejemplo : Catenaria En el problema de catenaria debíamos minimizar J@ = = @?1 + @′9BC

C

en t@ | @B = @, @B = @, b @?1 + @′9BCC = _

Para este funcional: x(B, @, @^) = @?1 + @′ x" = 0 x = ?1 + @′

x^ = @@′?1 + @′

⇒ x^B = B @@′?1 + @′ = @′ + @′ + @@"(1 + @′) ⁄

En este caso Ec. 10-3 queda:

⇒ ?1 + @′ − @^ + @^ + @@"(1 + @^) ⁄ = 0 ⟺ (1 + @^) − @^ + @^ + @@" = 0 ⟺

1 + 2@^ + @^ − @^ − @^ − @@" = 0 ⟺ 1 + @^ − @@" = 0 ⟺ @" = 1 + @^@

2. Ejemplo Sea J(@) = b @′9B CC x" = 0 x = 0

x^ = 2@^ ⇒ x|B = 2@" En este caso la ecuación de Euler Lagrange Ec. 10-3 queda: x − ~~Cx| + ~~Cx" = 0 ⇒ 0 − 2@"+0=0 ⇒ @" = 0

6 A menos que se exija φ’(x1)=φ’(x2)=0, por ejemplo si hay condiciones de Newmann (u’(x1)=u’1 y u’(x2)=u’2), en cuyo caso esta ecuación no es necesaria.


10.2.2 Variación de un funcional (vectorial) Si la función incógnita es vectorial Jh ≡ = xB, h, h, … , h , h′, h′, … , h′9B C

C

con las condiciones hB = h, hB = h, … , hB = h, hB = h Podemos definir la variación del funcional en cada una de las funciones incógnitas y todos deben ser cero en el mínimo: Jz = Jz = ⋯ = Jz = 0 Las ecuaciones de Euler Lagrange que se obtienen son iguales pero vectoriales.

Ec. 10-5 c^ = cg = gcf = f ∀ = g, f, … ,

Ejemplo : longitud mínima entre dos puntos Hallar la curva de longitud mínima entre los puntos (x1, y1, z1) y (x2, y2, z2). Si parametrizáramos la curva en [0, 1] (x(t), y(t), z(t))

x(0)=x1, x(1)=x2 y(0)=y1, y(2)=y2 z(0)=z1, z(2)=z2

Hay que minimizar JB, @, = b ?B′ + @′ + ′98 Las ecuaciones de Euler Lagrange Ec. 10-5 serán: xC ~~xC| = 0 ⇒ 0 ~~ 2B^

]B^ + @^ + ^ = 0 ⇒ B^ = C?B′ + @′ + ′

x ~~x| = 0 ⇒ 0 ~~ 2@^]B^ + @^ + ^ = 0 ⇒ @^ = C]B^ + @^ + ^

x ~~x| = 0 ⇒ 0 ~~ 2^]B^ + @^ + ^ = 0 ⇒ ^ = C?B′ + @′ + ′

⇒ B^, @^, ′ = ?B′ + @′ + ′ C , , = 8C , , O sea que la dirección de (x’, y’, z’) no varía con t, entonces la curva es una recta.

10.2.3 Variación de un funcional (orden superior) Si se desea minimizar Jh ≡ b xB, h, h^, h", … , h9B CC

con condiciones de contorno para u, u’, u”, …, u(n-1) se obtiene la ecuación de Euler Lagrange

Ec. 10-6 c| + fcf" ⋯ + gc =

10.2.4 Condiciones de contorno Hasta ahora hemos usado condiciones de contorno en la frontera (problema de Dirichlet). Si en parte de la frontera no se fija condición de contorno, la ecuación de Euler Lagrange cambia.

Si deseamos minimizar Jh ≡ b xB, h, h^9B CC en Kh: MB, BN → P | h(B) = hY Sean tu: MB, BN → P | u(B) = 0w ∈ P


Si J(u0) es mínimo entonces J(u0) ≤ J(u0+εφ) ∀ε∈R ∧ ∀φ ⇒ 0 = Jh, u = w Jh + wu = = MxzB, h, hu + xz|B, h, hu′N9B CC =

= = xzu CC + = xz|u′ C

C = = xzu CC + xz|u|CC = ~~Cxz|u C

C == = xz ~~Cxz| u C

C + xz^BuB Pues φ(x1)=0 Esto se cumple ∀φ | φ(x1)=0 En particular ∀φ | φ(x1)=φ(x2)=0 se verifica = xz ~~Cxz| u C

C = 0 ⇒ xz ~~Cxz| = 0 en MB, BN

Entonces ∀φ | φ(x1)=0 se cumple Fu’(x2) φ(x2)=0 por tanto debe ser Fu’(x2)=0 Obsérvese que en x1 fijamos la condición u(x1)=u1 y en x2 como no fijamos u(x2), surge sola la condición Fu’(x2)=0 como 2ª condición de contorno .

10.2.5 Variación de un funcional (varias variables) Notación hB = hB, B, B: → PΓ ≡ Ω£ ≡ hB , ¤ ≡ hB , S ≡ hB

Deseamos minimizar Jh ≡ b xB, B, B, h, £, ¤, S9B¥

en el conjunto = Kh: → P | h = H R¦ §Y Sean: u: Ω → P | u = 0 R¦ Γw ∈ Ph ∈ :¨Wh©Tó¦7 ≡ h + wu v « ⇒ Jh ≤ J7 ∀w ∈ P

⇒ 0 = Jh, u = ~~ Jh + wu es condición necesaria, entonces

0 = Jh, u = w = xB, B, B, h + wu, hB + w uB , hB + w uB , hB¥+ w uB9B =

= = xzu + x® uB + x uB + x° uB¥ = = xzu + ∇u ∙ x®, x , x°¥ ⇒

Ec. 10-7 = a, = b + ³ ∙ ´, µ, ¶·

Según el Teorema de Green b ∇ ∙ x¥ = b x ∙ ¦9¸¹¥ Además ∇ ∙ 7º = ∇7 ∙ º + 7∇ ∙ º

⇒ = ∇7 ∙ º + 7∇ ∙ º¥ = = ∇ ∙ 7º¥ = = 7º ∙ ¦9¸¹¥ ⇒


Ec. 10-8 b ³» ∙ ¼· = b »³ ∙ ¼· + b »¼ ∙ e½¾·

Aplicando Ec. 10-8 a Ec. 10-7 : Ec. 10-9 0 = = xzu¥ + = ∇u ∙ x®, x , x°¥= = xzu¥ = u∇ ∙ x®, x , x°¥ + = ux®, x , x° ∙ ¦ 9¸¿ ⇒

Ec. 10-10 = b · b ³ ∙ ´, µ, ¶·

pues φ=0 en Γ ⇒ = uyxz ∇ ∙ x®, x , x°¥ = 0 ∀u | u = 0 R¦ Γ ⇒ xz − ∇ ∙ x®, x , x° = 0 R¦ Ω ⇒

Ec. 10-11 + ´cg + µcf + ¶cÀ = · es la ecuación de Euler Lagrange.

Ejemplo

J(h) ≡ = |∇h|¥

En este caso x(B, B, B, h, £, ¤, S) = £ + ¤ + S ⇒ xz = 0, x® = 2£, x = 2¤, x° = 2S La ecuación de Euler Lagrange queda:

0 − Á2£B + 2¤B + 2SBÂ = −2 ÃhB + hB + hB Ä = 0

⇒ ∇h = 0 o bien Δh = 0 (7)

10.2.6 Variación de un funcional (varias variables sin cond. de Dirichlet en parte de Γ)

El caso es como el anterior pero la condición de contorno solo se exige en Γ1 (Γ=Γ1 ∪Γ2) (Condición de Dirichlet en Γ1) En este caso a φ solo le exigimos φ=0 en Γ1 para que v=µ0+εφ∈V . Usando el teorema de Green (Ec. 10-8) llegamos a Ec. 10-9 como antes:

0 = = xzu¥ − = u∇ ∙ x®, x , x°¥ + = ux®, x , x° ∙ ¦ 9¸¿

Pero ahora el tercer término no es nulo sino que

= ux®, x , x° ∙ ¦ 9¸¿ = = ux®, x , x° ∙ ¦ 9¸¿

pues φ=0 en Γ1

⇒ 0 = = uyxz − ∇ ∙ x®, x , x°¥ + = ux®, x , x° ∙ ¦ 9¸¿ ∀u | u = 0 R¦ Γ

7 ∆≡Laplaciano=∇

2=∇‧∇


Pero en particular ∀φ | φ=0 en Γ se cumple 0 = = uyxz ∇ ∙ x®, x , x°¥ ⇒ xz ∇ ∙ x®, x , x° = 0 R¦ Ω

Que es lo mismo que Ec. 10-11 ⇒ = ux®, x , x° ∙ ¦ 9¸¿ = 0 ∀u | u = 0 R¦ Γ ⇒

Ec. 10-12 ´, µ, ¶ ∙ = Æf

Obsérvese que al no tener condición de Dirichlet para u en Γ2 surge esta condición de Newmann para F en Γ2.

1. Ejemplo

Igual que la vez anterior hay que minimizar J(h) ≡ b |∇h|¥ en = Kh: Ω → P | h§ = H R¦ ΓY x® = 2£, x = 2¤, x° = 2S Ecuación Euler Lagrange: Δh = 0 R¦ Ω Condición de Dirichlet h = H R¦ Γ

Condición de Newmann x®, x , x° ∙ ¦ = 0 R¦ Γ x®, x , x° ∙ ¦ = (2£, 2¤, 2S) ∙ ¦ = 2(£, ¤, S) ∙ ¦ = 2∇h ∙ ¦ = 0 R¦ Γ ⇒ ∇h ∙ ¦ = 0 R¦ Γ o

¹Ç¹ = 0 R¦ Γ

2. Ejemplo

Igual al anterior con J(h) ≡ b (|∇h| − h)¥ ,

Ahora Fu=-f en Ω ⇒ Δh = − R¦ Ωh = H R¦ ΓÈÇÉ = 0 R¦ Γ

Observación En los ejemplos que hemos visto usamos funcionales cuadráticos que son funcionales convexos. Estos funcionales no tienen máximos ni puntos de inflexión, por lo tanto las ecuaciones de Euler Lagrange que son siempre condición necesaria de minimización, en este caso son también condición suficiente.

10.2.7 Métodos de resolución Hemos visto la equivalencia entre los problemas de minimización de un funcional y las ecuaciones de Euler Lagrange (que son Ecuaciones Diferenciales Parciales) La resolución analítica de estas ecuaciones diferenciales parciales es en general imposible, por lo que debemos recurrir a métodos numéricos.

10.2.7.1 Método de diferencias finitas

Este método representa el continuo Ω con una malla de puntos que se superpone a Ω. Las ecuaciones diferenciales son sustituidas por ecuaciones algebraicas reemplazando las derivadas por fórmulas en diferencias finitas. La solución del sistema de ecuaciones algebraicas resultante de esta “discretización” representará una aproximación a la solución verdadera en los puntos de la malla.


10.2.7.2 Método de elementos finitos

Este método se basa en la formulación variacional de los problemas físicos. Se divide a Ω en un pequeños elementos (elementos finitos) y en lugar de minimizar J entre todas las u que verifiquen las condiciones de contorno, se restringe a las u que sean, por ejemplo, lineales en cada elemento. O sea que en lugar de minimizar J en V se minimiza en un subespacio de V de dimensión finita. Se obtiene un problema de optimización con una cantidad finita de variables, por lo que en lugar de las ecuaciones de Euler Lagrange, se llega a un sistemas de ecuaciones algebraicas.

10.3 Interpolación por funciones polinomiales a tro zos

10.3.1 Normas Usaremos varias normas en espacios de funciones ‖B‖[ËÌ ≡ supC∈Ì |B|

‖B‖[Ì ≡ = |B|Ì

‖B‖[Ì ≡ Ã= |B|Ì Ä ⁄

la norma L2(D) es la norma inducida sobre el producto interno ⟨B, @⟩ ≡ = B@Ì

10.3.2 Caso una variable y grado 1 (poligonales) Consideremos u:[0,1]→R Vamos a aproximarla por una poligonal. Dividimos I=[0,1] con una partición xj. sean: Ij=(xj-1,xj) h=máx|xj-xj-1| Sea uI la poligonal tal que uI(xj)=u(xj) ∀j=0,1,…,n Cuán buena sea la aproximación dependerá de la partición (h) y las propiedades de u. Nos interesa acotar el error ‖h hÐ‖[ËÌ y saber

si limÑ→‖h hÐ‖[ËÌ = 0 Vamos a pedir la condición de que u tenga derivada acotada. Sean _ = ‖h′‖[ËÌ

ω≡u-uI x∈Ij ⇒ |Ò′B| = |h^B hÐ′B| ≤ |h^B| + |hÐ′B| ≤ _ + |hÐ′B| = = _ + hBÓ hBÓ BÓ BÓ ≤ _ + _ = 2_

pues u es L-lipschitziana.


|h^B hÐ ′B| = |ÒB 0| = ÔÒB ÒBÓÔ = Õ= Ò′CÖCÖ× Õ ≤ 2_ÔBÓ BÓ Ô ≤ 2_ℎ ⇒

Ec. 10-13 ‖ Ù‖ÚËÙ ≤ f‖′‖ÚËÙÛ

O sea que si u’ es acotada la convergencia es de orden 1 en h. Veamos qué pasa si u” es acotada. Sean

ω≡u-uI x∈Ij ⇒ ω(xj-1)=ω(xj)=0 ⇒ ∃ θ∈Ij / ω’(θ)=0

Consideremos el intervalo (θ,x) o (x,θ) ⇒ ∃ ξ de ese intervalo tal que Ò"(ξ)=ω'x-ω'θx-θ

=ω’(x)

x-θ

⇒ ∀B ∈ Ó ∃ θ, ÞvÓ | ω'(x)=(x-θ)ω"Þ ⇒ |Ò′B|=|B ß||Ò"Þ| ≤ ℎ‖Ò"‖[ËÐ Como uI lineal en Ij ⇒ uI”=0 ⇒ ω”=u” ⇒ |Ò′B| ≤ ℎ‖h"‖[ËÐ Además |ÒB| = ÔÒB ÒBÓ Ô = Õ= Ò′C

CÖ× Õ ≤ ℎ‖Ò′‖[ËÐ ⇒ |ÒB| ≤ ℎ‖h"‖[ËÐ ∀ B ∈ Ó ⇒

Ec. 10-14 ‖ Ù‖ÚËÙ ≤ Ûf‖"‖ÚËÙ O sea que si u" es acotada, la interpolación con funciones lineale s a trozos converge con orden 2 en h. Para poder mejorar este orden 2 debemos interpolar con polinomios de mayor orden. Veremos que usando polinomios se grado k y si u(k+1) está acotada, entonces la convergencia es de orden k+1.

10.3.3 Caso una variable grado k Dados y0, y1, …, yk ∈ Ij ∃ un único polinomio de grado k / Pk(yi)=u(yi) ∀ i=0,1,2,…,k

10.3.3.1 Interpolación de Lagrange

El polinomio interpolador, Pk, puede expresarse como:

àá8 = â h@ãWã8áã

El error se puede acotar por

|h8 àá8| ≤ |Π8|åháæå[ËÐç + 1)!

siendo Π(8) = é(8 − @ã)á

ã

Pero ∀ 8 ∈ |Π8| ≤ Ñ ∙ Ñ ∙ 2ℎ ∙ ⋯ ∙ çℎ = êℎáæç! ⟹ Ec. 10-15 ‖ ìí‖ÚËÙ ≤ gîÛïðgåíðgåÚËÙíæg


10.3.3.2 Interpolación a trozos

Dada una partición de I, x0, x1, …, xn , para cada Ij tomamos k+1 puntos y0, y1, …, yk de Ij e interpolamos a u por esos puntos. Sea uI(x)=Pk(x) siendo Pk el polinomio interpolador en Ij si x∈Ij

10.3.4 Propiedades de la interpolación 1. Si u es un polinomio de grado menor o igual a k ⇒ uI=u en I

Demostración En cada intervalo el Pk es único y como u es polinomio de grado k ⇒ Pk=u en Ij ⇒ uI=u en Ij ⇒ uI

=u en I.

2. Dado u, en cada Ij existe un polinomio de grado k, q(x) /

‖h ¤‖[ËÐÖ ≤ ℎñæåháæå[ËÐÖç + 1)!

Demostración Sea q el polinomio de Taylor de grado k de u desarrollado en B ∈ Ó

¤(B) = â h(ó)(B) (B − B)óT!á

ó

∃ Þ ∈ Ó | h(B) − ¤(B) = h(áæ)(B) (B − B)áæ(ç + 1)!

⟹ ‖h − ¤‖[ËÐÖ ≤ ℎáæåh(áæ)å[Ë(Ð)(ç + 1)!

3. ∃ á | ‖hÐ‖[ËÐÖ ≤ á‖h‖[ËÐÖ Demostración

|hÐ(B)| = |àá(B)| ≤ â |h(@ã)Wã(B)|áã ≤ ‖h‖[ËÐÖ â |Wã(B)|á

ã ∀B ∈ Ó Si los ym se eligen equidistantes en Ij entonces

supÐÖ ô â |Wã(B)|áã õ = á

no depende de h (Ck=2k) ⇒ |hÐ(B)| ≤ á‖h‖[ËÐÖ ∀B ∈ Ó ⇒ ‖hÐ‖[ËÐÖ ≤ á‖h‖[ËÐÖ

10.3.5 Error de interpolación A partir de 1, 2 y 3 demostraremos que

Ec. 10-16 ‖ − Ù‖ÚË(Ù) ≤ ö′íÛíægå(íæg)åÚË(Ù)

Demostración Dado Ij tomo el q de la propiedad 2 y su interpolador qI que por la propiedad 1 es igual a q ‖h − hÐ‖[ËÐÖ = ‖h − ¤ + ¤Ð − hÐ‖[ËÐÖ = ‖(h − ¤) + (¤Ð − hÐ)‖[ËÐÖ ≤

≤ ‖h − ¤‖[ËÐÖ + ‖(h − ¤)Ð‖[ËÐÖ(3)≤ ‖h − ¤‖[ËÐÖ + á‖h − ¤‖[ËÐÖ =


= 1 + á)‖h − ¤‖[ËÐÖ(2)≤ (1 + á) ℎáæ(ç + 1)! å(h − ¤)(áæ)å[Ë(Ð) ⇒

⇒ ‖h − hÐ‖[ËÐÖ ≤ ^áℎáæåh(áæ) − ¤(áæ)å[ËÐÖ = ^áℎáæåh(áæ)å[ËÐÖ ∀Ó ⇒ ‖h − hÐ‖[Ë(Ð) ≤ ′áℎáæåh(áæ)å[Ë(Ð)

Este a teorema a puede extenderse al caso varias variables y a la norma L2

10.3.6 Pasaje a norma L2 Para la norma L2 la propiedad 3 no se cumple.

10.3.6.1 Teorema de Sobolev (en una variable) ‖h‖[Ë(Ð) ≤ ‖h‖[(Ð) + ‖h′‖[(Ð) Demostración Lo demostraremos para I=[0,1], para otros intervalo se hace cambio de variable.

h(B) − = h = = h(B) − h(@)9@

= = Ã= h^C Ä 9@

⇒

⇒ h(B) = = h + = Ã= h^C

Ä 9@ ⇒

|hB| ≤ = |h| + = = |h^|C

9@ ≤ = |h|

+ = = |h^|

= = |h|

+ = |h^|

Como la norma L2 es inducida sobre el producto interno, por Cauchy Schwartz ⟨, H⟩ ≤ ‖‖[ ‖‖[ , en particular si g≡1 =

≤ ‖‖[M÷,N Aplicando esto |hB| ≤ ‖h‖[M,N + ‖h^‖[M,N ∀BvM0,1N ⇒ ‖h‖[ËM,N ≤ ‖h‖[M,N + ‖h′‖[M,N

10.3.6.2 Propiedad 3 para norma L2

(I=[0,1], para otros intervalo se hace cambio de variable). Puede verse porque ‖‖[M,N ≤ ‖‖[ËM,N Sabemos que ‖hÐ‖[ËM,N ≤ á‖h‖[ËM,N ⟹ |hÐB| ≤ ‖hÐ‖[ËM,N ≤ á‖h‖[M,N + ‖h′‖[M,N

⟹ Ã= |hÐB|9B Ä ø ≤ Ã= yá‖h‖[M,N + ‖h^‖[M,N9B

Ä ø =

= 1 × yá‖h‖[M,N + ‖h^‖[M,N ø

⇒ ‖hÐ‖[M,N ≤ á‖h‖[M,N + ‖h^‖[M,N

10.3.6.2..1 NOTA ‖h‖[(Ð) + ‖h^‖[(Ð) ≡ ‖h‖ú(Ð) Norma de Sobolev

10.3.6.3 Propiedad 2 para norma L2 (Lema Bramble Hilbert)

Dada u existe q, un polinomio de grado k tal que ‖h − ¤‖[(Ð) + ‖h′ − ¤′‖[(Ð) + ⋯ + åh(áæ) − ¤(áæ)å[(Ð) ≤ ′áåh(áæ)å[(Ð)


No lo demostramos.

10.3.6.4 Error de interpolación en norma L2

Para I=[0,1] ‖h hÐ‖[Ð = ‖h ¤ + ¤Ð hÐ‖[Ð = ‖h ¤ + ¤Ð hÐ‖[Ð ≤ ≤ ‖h ¤‖[Ð + ‖h ¤Ð‖[Ð3≤ ‖h ¤‖[Ð+ á‖h ¤‖[Ð + ‖h ¤′‖[Ð ≤ ≤ 1 + á)‖h − ¤‖[(Ð) + ‖(h − ¤)′‖[(Ð)(2)≤ (1 + á)áåh(áæ)å[(Ð) ⇒

⇒ ‖h − hÐ‖[(Ð) ≤ "áåh(áæ)å[(Ð) para I=[0,1]

Para Ij=(x j-1, x j) Hay que usar el cambio de variable B = BÓ + @BÓ − BÓ ©¨¦ @v, BvÓ

Dada u en Ij le asociamos hû en I / h(B) = hû(@)

Se cumple que hÐ(B) = hûÐ(@) = hÐü (@) Además

‖hû‖[(Ð) = Ã= |hû@|9@ Ä ø = Ã= |hB|BÓ BÓ 9B

Ä ø = ‖h‖[ÐÖ?BÓ BÓ

⇒ ‖hû‖[Ð = BÓ BÓ ø ‖h‖[ÐÖ

Para las derivadas h^B = hû′@BÓ BÓ h"B = hû"@BÓ BÓ ⋯ háæB = hûáæ@BÓ BÓ áæ

⇒ åhûáæå[Ð = BÓ BÓ áæ ø åháæå[ÐÖ

Aplicando esto a la desigualdad del caso I åh hÐûûûûûûûûå[Ð ≤ "áåhûáæå[Ð ⇒ BÓ BÓ ø ‖h hÐ‖[ÐÖ ≤ "áBÓ BÓ áæ ø åháæå[ÐÖ ⇒ ‖h hÐ‖[ÐÖ ≤ "áBÓ BÓ áæåháæå[ÐÖ ≤ "áℎáæåháæå[ÐÖ Sumando los cuadrados ∀Ij y haciendo raíz cuadrada, obtenemos que para cualquier I con partición de finura h:

Ec. 10-17 ‖ Ù‖ÚfÙ ≤ ö"íÛíægåíægåÚfÙ

Análogamente puede demostrarse para las derivadas:

Ec. 10-18 ‖′ Ù′‖ÚfÙ ≤ ö"íÛíåíægåÚfÙ

O sea que la convergencia es de orden k+1 en h para u y de orden k en h para u’ siendo k el grado de la interpolación usada.

10.3.7 Caso 2 variables - interpolación en el plano


10.3.7.1 Particiones triangulares

Sea Ω⊂R2 acotado, si Ω no es polígono podemos aproximarlo por uno. Dividimos Ω mediante una partición en triángulos tales que: Ω = þ <á

∀T ≠ <ó ∩ <Ó = ô h¦ 7éS8T©Rh¦ WU9¨

o sea que un vértice de un triángulo no puede estar en el medio de un lado de otro. Para cada triángulo Tk definimos hk como el diámetro del menor círculo que lo contenga. Definimos para la partición ℎ ≡ max∀áKℎáY Vamos a estudiar la interpolación de u en cada triángulo por polinomios de grado total k en las dos variables.

àá = K£¨WT¦¨T¨: 9R HSU9¨ total ≤ çY = £ | £(B, @) = â UóÓBó@ÓóæÓá

Para que exista polinomio interpolador y sea único, los puntos por los que se interpola no pueden elegirse de cualquier manera.

Grado 1 Por ejemplo para k=1 si queremos interpolar por tres puntos alineados, el polinomio interpolador de grado total 1 en x e y por estos tres puntos no es único, a pesar de que dim(P1)=3 Si los puntos no están alineados entonces sí hay unicidad. Se dice que V1, V2, V3 es un conjunto “unisolvente", pues ∃ p∈P1

único tal que £() = h()£() = h()£() = h()

Para demostrarlo basta ver que éste es un sistema de ecuaciones lineales cuya matriz es

= 1 B @1 B @1 B @ y det A ≠0

Grado 2 Primero veremos como ejemplo que tomáramos en un triángulo equilátero como puntos de interpolación los que dividen los lados en tercios. Estos puntos están sobre un círculo cuya ecuación es de la forma p(x, y)=0. Siendo p de grado total 2 y p(x, y) no idénticamente nulo. Esto demuestra que no es único el polinomio interpolador de grado 2 por V1, V2, V3, V4, V5, V6 a pesar que dim(P2)=6 Tomemos ahora como puntos de interpolación los vértices de un triángulo y los puntos medios de sus lados. El polinomio interpolador de


grado 2 por V1,..., V6 es único si y solo si p(V1)=p(V2)=…=p(V6)=0 implica p≡0 (Obsérvese que dim(P2)=6) Demostración Sea p∈P2 | p(V1)=p(V2)=…=p(V6)=0 Como p(V1)=p(V2)=p(V3)=0 , siendo p cuadrática y nula en 3 puntos alineados entonces p es nulo en toda la recta que contiene a V1, V2 y V3 Sea l(x,y)=0 la ecuación de esa recta ( l∈P1), entonces p(x,y)=l(x,y)q(x,y) con q∈P1 pero 0 = à = W¤ @ W ≠ 00 = à = W¤ @ W ≠ 00 = à = W ¤ @ W ≠ 0 ⇒ ¤ = 0¤ = 0¤ = 0

y como V4 , V5 y V6 no alineados entonces q≡0 por tanto p≡0 . Por lo tanto V1, V2, V3, V4, V5, V6 es unisolvente en P2. Es fácil ver que el interpolador sobre un triángulo adyacente coincide con éste en el lado común, ya que son de grado 2 y coinciden en 3 puntos de una recta.

Grado 3

En este caso dim àá = áæáæ = ææ = 10

Sea p∈P3 / p(Vi)=0 ∀i, como en cada lado del triángulo p es cúbico y se anula en 4 puntos entonces p=0 en los tres lados ⇒ p(x, y)=l1(x, y)l2(x, y)l3(x, y)q(x, y) Siendo

l1(x, y)=0 l2(x, y)=0 l3(x, y)=0

las ecuaciones de los tres lados. Como l1∈P1, l2∈P1 y l2∈P1 ⇒ q es de grado 0 ⇒ 0=p(V10)=l1(V10) l2(V10) l3(V10) q(V10) y l1(V10) ≠ 0, l2(V10) ≠ 0, l3(V10) ≠ 0 ⇒ q(V10)=0 ⇒ q≡0 pues es de grado 0. Es fácil demostrar que el polinomio interpolador sobre un triángulo adyacente coincide en éste en el lado común, ya son de grado 3 y coinciden en 4 puntos de una recta.

Polinomios base En cada caso la base de Pk que conviene usar está formada por polinomios Lagrangianos, que valen 1 en un nodo y 0 en los demás.

10.3.7.1..1 GRADO 1 Si li(V)=0 es la ecuación del lado i ⇒ :RU ó | ó() = 1Wó(ó ) Wó()

siendo Vi el vértice opuesto al lado i ⇒ óÓ = 0 :T T ≠ 1 :T T =

10.3.7.1..2 GRADO 2 En este caso dado un nodo cualquiera, existen dos rectas tales que no pasan por ese nodo y pasan por todos los demás. Sean l1(V)=0 y l2(V)=0 las ecuaciones de esas rectas ⇒ :RU | () = ( ⇒ Ó = t0 :T T ≠ 11 :T T = 1


10.3.7.2 Particiones rectangulares

á = K£¨WT¦¨T¨: 9R H9¨ ≤ ç R¦ ©U9U 7USTUVWRY = £ | £(B, @) = â â UóÓBó @ÓáÓ

áó

dim(Qk)=(k+1)2

Grado 1 En el caso de rectángulos, si elegimos los 4 vértices como nodos podemos interpolar con funciones bilineales (de Q1) si los lados son paralelos a los ejes coordenados. V1, V2, V3, V4 es unisolvente en Q1 ya que si q∈Q1 | q(V1)=q(V2)=q(V3)=q(V4)=0 entonces como q(V1)=q(V2)=0 y q lineal en el lado V1V2 (pues queda y constante) entonces q ≡0 en ese lado.

Por lo mismo q≡0 en el lado V3V4 Entonces para cualquier punto V* tomo la recta vertical que pasa por él y q se anula en la intersección con los lados V1V2 y V3V4 y como q lineal en esa recta (pues x=cte) entonces q(V)=0 por tanto q≡0 Si los lados no son paralelos a los ejes (si se rota) aparecerían términos cuadráticos. Si tomamos V1, V2, V3, V4 en los centros de los lados, no es unisolvente en Q1

Grado 2 Este conjunto de nodos es unisolvente en Q2 (dim(Q2)=9). Si se elimina el punto central y eliminamos el término en x2y2 tenemos un conjunto unisolvente en Q*2

Polinomios base Lo más conveniente es tomar como funciones base los productos de los polinomios de Lagrange en x y en y por las coordenadas xi e yi de los nodos. Ejempo - Grado 2 Nij(x,y)=lix(x)ljy(y) Siendo lix(x) el i-simo polinomio de Lagrange por x0, x1 y x2 ljy(x) el j-simo polinomio de Lagrange por y0, y1 e y2

10.3.8 Caso 3 variables - interpolación en el espacio.

Las particiones pueden hacerse en tetraedros o en hexaedros. Los casos son similares al plano, por ejemplo, tomado como nodos los vértices de un tetraedro se puede interpolar con polinomios de grado total 1. Tomando los vértices de un prisma cuyas aristas sean paralelas a los ejes se pueden usar funciones trilineales.

10.3.9 Error de interpolación Nos interesa saber el orden de convergencia con h→0


Vamos a tener que pedir que las particiones sean regulares, o sea que cuando h→0 las proporciones de los elementos se mantengan. Para un elemento (triángulo, rectángulo, tetraedro, etc.) Sean

he el diámetro de la menor bola (círculos o esfera) que lo contiene ρe el diámetro de la mayor bola contenida.

Entonces vamos a pedir que ∃ K independiente de h tal que Ñ ≤

cuando h →0 o sea que no se achaten demasiado. Vamos a demostrar que en cualquier triángulo de la partición, T, se cumple ‖h hÐ‖[> ≤ ℎñæ‖áæh‖[> siendo C independiente de h (dependerá de k y K) y ‖áæh‖[> = â óBó

ÓBÓ h[>óæÓáæ

Vamos a trabajar en un triángulo de referencia, <, de vértices (0,0), (1,0) y (0,1)

10.3.9.1 Teorema de Sobolev ‖h‖[Ë> ≤ ‖h‖[> + ‖∇h‖[> + ‖h‖[> Se demuestra similar al caso 1 dimensión.

10.3.9.2 Lema Bramble Hilbert

Dada u ∃ q∈Pk tal que ‖h ¤‖[> + ‖∇h ¤‖[> + ‖h ¤‖[> + ⋯ + ‖áæh ¤‖[>≤ ′‖áæh‖[> C’ depende solo de k En el caso general, de n - dimensiones, debe ser k>n/2

10.3.9.3 Propiedad 3

∀@ ∈ < |hÐ@| = â hÓÓ@È Ó ≤ ‖h‖[Ë> â ÔÓ@ÔÈ

Ó

Como estamos en < ⇒ ∑ åÓåÈÓ = " no depende de ningún h, sólo depende de k ⇒ |hÐ@| ≤ "‖h‖[Ë> ≤ "‖h‖[> + ‖∇h‖[> + ‖h‖[> Por el teorema de Sobolev. Integrando los cuadrados y haciendo raíz y como el área de < es 1/2 :

‖hÐ‖[> ≡ Ã= |hÐ|> Ä ⁄ ≤ ]"‖h‖[> + ‖∇h‖[> + ‖h‖[>

⇒∃ C”’ que sólo depende de k tal que ‖hÐ‖[> ≤ "′‖h‖[> + ‖∇h‖[> + ‖h‖[>

10.3.9.4 Acotación del error

Caso


q y qI son iguales, entonces ‖h hÐ‖[> = ‖h ¤ + ¤Ð hÐ‖[> ≤ ‖h ¤‖[> + ‖h ¤Ð‖[> ≤ Por propiedad 3 ≤ ‖h ¤‖[> + "′‖h ¤‖[> + ‖∇h ¤‖[> + ‖h ¤‖[> ≤ ≤ 1 + "′)‖h − ¤‖[(>) + ‖∇(h − ¤)‖[(>) + ‖(h − ¤)‖[(>) ≤ Por lema B-H ≤ (1 + "′)′‖áæh‖[(>) = (ç)‖áæh‖[(>) ⇒

Ec. 10-19 ‖ − Ù‖Úf() ≤ ö(í)åíægåÚf

Caso general T Vamos a usar una transformación afín que transforma a < en T ∃ B y c tales que ∀ ∈ < c = x() = + ∈ < OJO – Para que no se invierta el sentido del triángulo debe ser det B>0 Además a u en T le asociamos hû en < tal que ∀ ∈ < hû() = h(c) = h( + )

10.3.9.4..1 Propiedad A ‖hû‖[(>) = |det | ‖h‖[ Demostración

‖hû‖[> = Ã= |hû|> 9Ä ⁄ = Ã= |hc||det | 9c> Ä ⁄ =

= |det | Ã= |hc|9c> Ä ⁄ = |det | ‖h‖[

10.3.9.4..2 Propiedad B ‖∇hû‖[> ≤ ‖‖ |det | ‖∇h‖[ ‖‖ = ]∑ VóÓ es la norma Euclidea

Demostración :


‖∇hû‖[> = Ã= |∇hû|> 9Ä ⁄ = Ã= |∇h ∘ x|9> Ä ⁄ =

= Ã= |∇h ∘ x ⋅ a#|9> Ä ⁄ = Ã= |∇hc ⋅ ||det | 9c> Ä ⁄ ≤

= |det | Ã= |∇hc|‖‖ 9c> Ä ⁄ = ‖‖ |det | Ã= |∇h|> Ä ⁄ =

= ‖‖ |det | ‖∇h‖[ 10.3.9.4..3 Propiedad C para derivadas superiores ‖áæhû‖[> ≤ ‖‖ áæ|det | ‖áæh‖[ Vamos a cambiar la Norma euclidea ‖‖ por otra norma, que es equivalente a menos de una constante: ‖‖ ≡ sup$||$|K|7|Y = 1%& sup$||$|'K|7|Y 10.3.9.4..4 Propiedad D

Vamos a ver qué relación hay entre ‖‖, det B y hT>ρT sean @, @ ∈ < que están en los extremos de un diámetro del círculo de diámetro %& ⇒ |@ @| = %& sus transformados según F son B, B ∈ <

Sea 7 = @ @ ⇒ |7| = |@ @| = %&7 = @ @ = @ @ = x@| x@ = B B ⇒ ⇒ |7| = |B B| ≤ ℎ> pues x1, x2∈T ⇒ ‖‖ ≡ ' sup$||$|'K|7|Y ≤ ' ℎ> ⇒ ‖‖ ≤ Ñ('

10.3.9.4..5 Propiedad E 9R8 = ||ÔÔ = 2|| (|T|=área de T)

Demostración


|<| = = 1 9B> = = 1 |9R8|9@> = |9R8| = 1 9@> = |9R8|ÔÔ Acotación del error Sabíamos que para < ‖h hÐ‖[> ≤ ç‖áæh‖[> Entonces por propiedad A: ‖h hÐ‖[ = |det |‖hû hûÐ‖[ ≤ |det |ç‖áæhû‖[> ≤ (por propiedad C) ≤ |det |ç ‖‖ áæ|det | ‖áæh‖[ = ç‖‖ áæ‖áæh‖[ ≤

pero la norma euclidea de B es equivalente a la otra a menos una constante ‖h hÐ‖[ ≤ ç‖‖ áæ‖áæh‖[ ≤ ′ç‖‖áæ‖áæh‖[ ≤ (por propiedad D) ≤ ′ç Áℎ>%& Âáæ ‖áæh‖[ = ′ç%&áæ ℎáæ‖áæh‖[ = "çℎáæ‖áæh‖[ Sumando los cuadrados ∀T tenemos

Ec. 10-20 ‖ Ù‖Úf· ≤ ö"íÛíægåíægåÚf·

También se puede probar que ‖∇h hÐ‖[ ≤ %> ℎ>áæ‖áæh‖[ y si la partición es regular,

Ñ(( ≤ y KC=C' ⇒ ‖∇h hÐ‖[ ≤ ′ℎ>á ‖áæh‖[ ≤ ^ℎá‖áæh‖[ Sumando

Ec. 10-21 ‖³ Ù‖Úf· ≤ ö^ÛíåíægåÚf·

O sea que la convergencia es de orden k+1 en h para u y de orden k en h para ∇u siendo k el grado de la interpolación usada.

10.4 Métodos de Elementos Finitos Trataremos de hallar una función, u*, que aproxime a la solución de problema, u, tan bien como la interpolante de u, uI. Como ejemplo vamos a ver el problema de minimizar Jh ≡ = |∇h|· = h·

en = Kh: Ω → P | h = 0 R¦ Γ = ∂ΩY Si planteamos que la variación de J debe ser nula, llegamos a = ∇u ⋅ ∇u¥ = = fu¥ ∀u | u = 0 R¦ Γ En lugar de minimizar J en V, vamos a tomar una partición de Ω y minimizamos J en Ñ = K7 | 7 R: 9R HSU9¨ ç R¦ ©U9U 8STá¦HhW¨, 7 ©¨¦8T¦hU R¦ Ω y 7 = 0 R¦ ΓY En este caso al plantear ∂J(uh)=0 llegamos a: = ∇uÑ ⋅ ∇uÑ¥ = = fuÑ¥ ∀uÑϵVÑ Si N1, N2, ..., NN es una base de Vh


⇒/0102uÑB = â uÓÓBÓ

hÑB = â hóóBó

Entonces

Ec. 10-22

= ∇3â hóóBó 4 ⋅ ∇3â uÓÓBÓ 4¥ = = f 3â uÓÓBÓ 4¥ ∀u, u, ⋯ , u5ϵR5 En particular si tomamos como φ las funciones de la base, o sea (φ1, φ2, …, φN) de la base canónica RN

= ∇3â hóóBó 4 ⋅ ∇ÓB¥ = = fÓB¥ ∀ = 1, 2, … ,

Ec. 10-23

⇒ â = ³7(c) ⋅ ³78(c)· = = 978(c)· ∀8 = g, f, … ,7

Si definimos

Ec. 10-24 = y:8 | :8 = b ³7(c) ⋅ ³78(c)·

Ec. 10-25 = y8 | 8 = b 978(c)·

= yhÓ

entonces = da la solución del problema. Con otros funcionales se puede llegar a sistemas de ecuaciones no lineales.

10.4.1 Propiedades de A 1) A simétrica y definida positiva, o sea = > @ 7>7 > 0 ∀7 o bien

UóÓ = UÓó @ ∑ UóÓ7ó7Ó > 0Ó 2) La mayoría de los aij son nulos, a menos que los nodos i y j sean cercanos (de

elementos adyacentes) Como A es simétrica y definida positiva entonces el sistema de ecuaciones es compatible determinado entonces podemos hallar y por tanto podemos hallar uh. Luego veremos que uh aproxima a u con el mismo orden de convergencia que uI.

10.4.1.1 Ejemplo (1 variable)

Minimizar Jh = = ç|h′| − = h

con u(0)=α y u(1)=β

J(h) = 0 ⇔ 99w J(h + wu) = 0 ∀u | u(0) = u(1) = 0 99w = = ç(h′ + wu′) − = (h + wu)

> = = ç(h′ + wu′)u′ − = u


en ε=0 = çh′u′ = u

= 0 ∀u | u(0) = u(1) = 0 Vamos a trabajar con "elementos lineales". O sea tomaros una partición de [0,1] xi / xi=hi, h=1/(N+1), i=0, 1,.., N y usaremos uvÑ = ?u | u 9R HSU9¨ 1 R¦ ©U9U Ó, u ©¨¦8T¦hU R¦ M0,1N @ u(0) = u(1) = 0@ la base canónica de Vh es N1, N2, ..., NN / Ni(xj)=δij y Ni poligonal (continua y lineal en cada Ij)

Obsérvese que si no tuviéramos alguna de las condiciones de contorno u(0)=α u(1)=β, entonces no pediríamos que φ(0)=φ(1)=0 y por lo tanto Vh tendría dimensión mayor pues habría elementos en la base de la forma

por ahora no consideraremos las condiciones de contorno, por lo que incluiremos estos elementos en la base.

Como debe ser b çh^u^ = b u ∀uvÑ en particular debe cumplirse para los elementos de la base, con lo cual

= çh^′ó

= = ó

∀T = 0, 1, 2, … , + 1

pero podemos sustituir

h(B) = â hÓÓ(B)5æÓ

Nótese que acá incluimos N0 y NN+1 pues u(x) no se anula en 0 ni en 1 sino que vale α y β, por tanto u0=α y uN+1=β, entonces


= ç 3â hÓ′ÓB5æÓ 4′ó

= = ó ∀T 0, 1, 2,… , ' 1

⇒ âhÓ Ã= ç′Ó′ó Ä5æ

A = ó ∀T 0, 1, 2,… , ' 1

que es un sistema de la forma B con

yUóÓ|UóÓ = ç^Ó^ó ∀T, 0, 1, 2, … , ' 1

B MóN|ó = fó ∀T 0, 1, 2,… , ' 1

10.4.2 Cálculo de la matriz A Como el intervalo [0,1] está dividido en N+1 intervalos (elementos) Ie=[xe-1,xe] podemos escribir

UóÓ = ç^Ó^ó â= ç^Ó^óÐ

5æ

âUóÓ5æ

Siendo yUóÓ |UóÓ = ç^Ó^óÐ

Entonces

C â5æ

Ae se llama matriz de rigidez elemental del elemento e, Cuando son varias dimensiones hay que tener ojo de no confundir la numeración de los nodos con la numeración de los elementos.

10.4.2.1 Matrices elementales

Observando la forma de Ni(x) y Ni’(x) vemos que de una función base y su derivada solo son no nulas en los elementos que contienen a su nodo asociado

Por lo tanto UóÓ b ç^Ó^óCC× será nulo excepto para ( i=e ó

i=e-1) y (j=e ó j=e-1) o sea que la fila y columna correspondan a nodos del elemento Ie Por lo tanto la matriz Ae será de la forma:


Lo que se hace es calcular sólo la submatriz de 2x2 no nula e irlas sumado (∀e) en la matriz A en la posición correcta (fila y columna i=e-1 y j=e) U , = = ç^^ D

D× = = k Á1ℎÂÁ−1ℎ ÂDD×

= −1ℎ = kF

U , = = ç^ ^ DD× = = k Á−1ℎ Â Á−1ℎ ÂD

D× = 1ℎ= kF

U, = U , = −1ℎ = kF

U, = = ç^^DD× = 1ℎ= kF

entonces la submatriz, es Ñ b çF 1 −1−1 1

en la práctica b kF debe calcularse numéricamente.

Por la regla del punto medio podemos aproximar

= kF ≈ ℎç ÁB + B 2 Â ≡ ℎç

La submatriz queda: ñÑ 1 −1−1 1 en las filas y columnas e-1 y e

Sumando ∀e=1, 2,.., N+1

= 1ℎ#$$$$% ç −ç 0 ⋯ 0 0−ç ç + ç −ç ⋯ 0 00 −ç ç + ç ⋯ 0 0⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮0 0 0 ⋯ ç5 + ç5æ −ç5æ0 0 0 ⋯ −ç5æ ç5æ ./

///0

10.4.3 Cálculo del vector f

ó = = ó = â= óÐ

5æ = âó5æ

Si

B = MóN | ó = = óÐ ∀T = 0, . . . , + 1

entonces

B = â B5æ

fe se llama vector elemental de fuerzas equivalentes del elemento e.

10.4.3.1 Vectores elementales

Como Ni es nulo excepto en los elementos e-1 y e entonces los fie son todos nulos excepto

para i=e ó i=e-1, los cuales valen, por la regla del punto medio:


= = Ð ≅ ℎ ÁB + B 2 Â ÁB + B 2 Â = ℎ = ℎ2

= = Ð ≅ ℎ ÁB + B 2 Â ÁB + B 2 Â = ℎ = ℎ2

⇒ = ≅ ℎ2 ó = 0 ∀T ≠ R 1, R El subvector no nulo es

Ñ 11 en las columnas e-1 y e

Sumando ∀e=1, 2,.., N+1

B = ℎ2#$$$$% + + ⋮5 + 5æ5æ ./

///0

Ahora podemos plantear Au=f con =#$$$$%hhh⋮h5h5æ./

///0

Nótese que la k-sima ecuación queda 1ℎ M−çh + ç + çæh çæhæN = ℎ2 + æ

O sea 1ℎ Mçh h çæhæ hN = + æ2

O sea ç h h ℎ çæ hæ hℎ ℎ = + æ2

que es igual al esquema de diferencias finitas para (ku ')'=f

10.4.4 Ensamblado del sistema global Para ensamblar el sistema global se calcula la matriz A y el vector f en forma similar a como se describió en 0 para sistemas discretos, sumando los coeficientes de las matrices elementales en la fila y columna correspondiente a la numeración global de los nodos correspondientes y sumando los coeficientes de los vectores f elementales en la fila correspondiente a la numeración global de los nodos.

10.5 Condiciones de contorno

10.5.1 Condiciones de Dirichlet Es cuando se fija el valor de u en la frontera. Como vimos en este caso las φ deben anularse en el nodo correspondiente, entonces la función base de ese nodo no va y debe eliminarse la ecuación de ese nodo. Además la incógnita ui de ese nodo es conocida, entonces se pasa la columna por ui restando al 2° miembro.


La eliminación de las columnas y filas correspondientes a los nodos con condición de Dirichlet se llama reducción del sistema.

10.5.2 Condiciones de Newmann Si queremos que k(x)u'(x)=β en x=1, al no fijar u(1) entonces debe ser Fu’(1)=0. En nuestro ejemplo esta condición queda k(x)u’(1)=0, pero queremos que sea k(x)u'(x)=β Para ello debemos cambiar F de forma que Fu’(1)= k(x)u'(x)-β. Para ello restamos βu'(x) de F, quedando el funcional ah = = ç|h′|

= h Kh^ = = ç|h^|

= h = Kh^

=

= = ç|h^| = h

Kh1 + Kh0 Como u(0) está fijada por la otra condición de contorno, sumarla al funcional no cambia el mínimo. Para simplificar entonces minimizamos ah = = ç|h′|

= h Kh1

y al plantear la variación de J nula en ε=0 queda = çh′u′ = u

βu1 = 0 ∀u | u0 = 0 la matriz A queda igual, pero al vector F se le suma el vector M K1K1⋮K5æ1N = M00⋮KN Como hay condición de Dirichlet en 0, eliminamos la primera ecuación y hacemos u0=α La última ecuación queda y se suma β en el 2° miembro. Si hubiera condición de Neumann en 0 y en 1, entonces quedarían todas las ecuaciones, sumando α en el 2° miembro de la 1° y β en el 2° miembro de la última. Para poder resolver el sistema se deberá fijar u en algún nodo, pues la solución puede variar en una constante y seguir siendo solución. Fijando algún ul entonces determinamos una solución. La resolución del sistema de ecuaciones, cuando se obtienen matrices grandes, simétricas y definidas positivas, conviene hacerla por métodos iterativos.

10.5.2.1 Ejemplo (2 Variables)

En este ejemplo veremos que con una malla uniforme se llega a un esquema equivalente al método de diferencias finitas.

−∆h = R¦ M0,1N × M0,1Nh = H R¦ Γ~z~ = H R¦ Γ ∆h ≡ div∇h = ∇h

Equivale a minimizar Jh = = |∇h|¥ = h¥ = Hh¿

con u=g1 en Γ1. La variación del funcional es Jh = = ∇h∇u¥ = u¥ = Hu¿ debe ser Jh = 0 ∀u | u0 = 0 en Γ


⇒ = ∇h∇u¥ = = u¥ + = Hu¿ ∀u | u0 = 0 en Γ En este ejemplo Ω=[0,1]x[0,1]

Particionamos en triángulos según el dibujo y numeramos por un lado los nodos y por otro lado los triángulos de e=1 a M (M=72) en un programa se deberá guardar una matiz de conectividad de 3xM que en cada columna tiene los números de nodos que tiene el triángulo correspondiente a esa columna. RWR 1 2 3 4 ⋯ R ⋯ 71 72

1 1 2 2 ⋯ T ⋯ 41 419 2 10 3 ⋯ ⋯ 49 428 9 9 10 ⋯ ç ⋯ 48 49 Se anotan en sentido antihorario. En un programa para calcular cada integral se hace un cambo de variable a < y se calcula la integral en < con las funciones base en <. Nosotros acá vamos a calcular directamente en Te. En Te la función base asociada al nodo i es

Ni | ó(Bó, @ó) = 1ó(BÓ, @Ó) = 0ó(Bá, @á) = 0 y ó(B, @) = Pó + KóB + Qó@

Por lo tanto R1 Bó @ó1 BÓ @Ó1 Bá @áS R∝óKóQóS = 100

Que puede resolverse con la regla de Cramer dando


∝ó= Õ CU U CÖ Ö C ÕÕ CU U CÖ Ö C Õ = CÖ CÖ∆ Kó = VV1 1 @T1 0 @1 0 @çVV

VV1 BT @T1 B @1 Bç @çVV= @@ç2∆R Qó = VV1 BT 11 B 01 Bç 0VV

VV1 BT @T1 B @1 Bç @çVV= BçB2∆R

si los nodos i, j y k estaban en sentido antihorario

∆= 1 Bó @ó1 BÓ @Ó1 Bá @á = |<| > 0

Análogamente se calculan ∝Ó ,KÓ ,QÓ @ ∝á ,Ká,Qá Cálculo de A Hay que calcular las matrices elementales = MUã N | Uã = = ∇ ⋅ ∇ã> ∀W, = 1, 2, … ,49

pero los únicos elementos no nulos son aquellos que corresponden a l y m, nodos vértices de Te, o sea l y m ∈i, j, k. En ese caso Uã = = ÁB ãB + @ ã@ Â> = = KKã + QQã > = ∆KKã + QQã ⇒ Uã = ∆KKã + QQã :T W,vKT, , çY La submatriz la Ae no nula es TWU T ç

∆ M KT2 + QT2 βTβ + γTγ βTβç + γTγçββT + γγT K2 + Q2 βTβç + γTγβçβT + γçγT βçβT + γγT Kç2 + Qç2N©¨Wh¦UTç

Por conveniencia de cálculo debe tratarse de que estos elementos se alejen lo menos posible de la diagonal principal, o sea que las diferencias entre i, j y k deben ser mínimas. Ello se logra numerando los nodos en un orden tal que en cada elemento los índices de sus nodos difieran poco. Si consideramos por ejemplo el elemento 2 ∆= ℎ2

K = ℎ2ℎ 2ø = 1ℎ Q = 0K = ℎ2ℎ 2ø = 1ℎ Q = −ℎ2ℎ 2ø = 1ℎ

K! = 0 Q! = ℎ2ℎ 2ø = 1ℎ

entonces queda


TWU 1 2 9 ℎ2

#$$$$% 1ℎ + 0 −1ℎ + 0 0 + 0−1ℎ + 0 1ℎ + 1ℎ 0 + −1ℎ0 + 0 0 + −1ℎ 0 + 1ℎ ./

///0©¨Wh¦U

129

O sea

TWU 1 2 9 = 1 −1 0−1 2 −10 −1 1

©¨Wh¦U129

Para el elemento 1 ∆= ℎ2

K = 0 Q = −1ℎK! = 1ℎ Q! = 0K" = −1ℎ Q" = 1ℎ

TWU 1 9 8

1 0 −10 1 −1−1 −1 2 ©¨Wh¦U198

Estas dos matrices elementales las vamos sumando para obtener A.

=

#$$$$$$$% 2 −1 0 0 0 0 0 −1 0 0 ⋯−1 4 1 0 0 0 0 0 −2 0 ⋯⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮0 0 0 0 −1 4 1 0 0 0 ⋯0 0 0 0 0 −1 2 0 0 0 ⋯−1 0 0 0 0 0 0 4 2 0 ⋯0 2 0 0 0 0 0 2 8 −2 ⋯0 0 2 0 0 0 0 0 2 8 ⋯⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ./

//////0

Cálculo de F Hay que calcular los vectores elementales Fe

MfN | f = = fN>

estos elementos son nulos excepto el subvector correspondiente a los nodos del triángulo, o sea para l ∈ i, j, k que podemos calcular por la regla del trapecio para triángulos:

= ó> ≅ |<|3 ó + 0 + 0 = ℎ6 ó ⇒ = Ñ RóÓáSTç


Para los elementos 1 y 2 = YZ

#$$$$$$$$%000000"!⋮ .////////0

= YZ

#$$$$$$$$%000000!⋮ .////////0

Estos vectores se van sumando para obtener F

' ℎ

#$$$$$$$$%00000"!⋮ .////////0

Si se completan todas las cuentas se llega a un sistema igual al que se obtiene por diferencias finitas.

10.6 Elementos usuales En el método planteado en 10.4 suelen usarse para Vh bases como la que se usa en 10.4.1.1 y en 10.5.2.1, es decir funciones de forma Lagrangianas, que valen 1 en un nodo y son nulas en los demás nodos del elemento. Más adelante en 10.8 veremos que cuando se usa interpolación con polinomios de grado total k la convergencia es de orden hk+1 en u. Esto significa que lo que importa es el mayor grado para el cual el polinomio es de grado completo. La inclusión de términos de grado superior no mejora la convergencia si no se completa el grado superior. Debido a eso veremos que en elementos 2D y 3D a veces se descartan nodos de los elementos para disminuir la cantidad total de nodos (y por tanto el tamaño del sistema de ecuaciones) sin sacrificar convergencia, pues con esto se eliminan términos del grado incompleto sin afectar el grado completo.

10.6.1 Elementos unidimensionales Los elementos más usuales son segmentos lineales de dos nodos (uno en cada extremo del elemento) y cuadráticos de tres nodos (uno en cada extremo y otro en el centro del elemento). La base de Vh que se utiliza es la que contiene a las funciones de forma usadas para interpolación a trozos. Segmento lineal (2 nodos)

( )

( ))(

1)(

2

)(1)(

2

)(2

)(1

)(2)(

1

ee

ee

ee

ee

xx

xxxN

xx

xxxN

−−

=

−−

=

Segmento cuadrático (3 nodos)


( ) ( )( )( )( )

( ) ( )( )( )( )

( ) ( )( )( )( ))(

2)(

3)(

1)(

3

)(2

)(1)(

3

)(3

)(2

)(1

)(2

)(3

)(1)(

2

)(3

)(2

)(2

)(1

)(3

)(2)(

1

eeee

eee

eeee

eee

eeee

eee

xxxx

xxxxxN

xxxx

xxxxxN

xxxx

xxxxxN

−−−−=

−−−−

=

−−−−=

10.6.1.1 Funciones de forma locales y globales

Las funciones de forma que hemos definido dentro de cada elemento son llamadas funciones de forma locales y las usaremos cuando calculemos las integrales dentro de un elemento para calcular la matriz de rigidez elemental. Sin embargo en ecuaciones como Ec. 10-22 o Ec. 10-23 que involucran integrales en todo el campo, para cada nodo consideramos una función de forma global “tipo sombrero” (también llamada función base por ser parte de la base de Vh), definida en todo el campo y que es igual a las funciones de forma locales correspondiente al nodo en los elementos que lo contienen y nula en los demás elementos. Para elementos unidimensionales lineales, las gráficas de las funciones base tienen formas triangulares como se muestra en la figura.

10.6.2 Elementos bidimensionales

10.6.2.1 Elementos triangulares

Al igual que en la interpolación a trozos, en el MEF se hace un cambio de variable en las integrales para llevar los elementos triangulares a un triángulo estándar. En ese triángulo estándar la base de Vh que se utiliza es la que contiene a las funciones de forma usadas para interpolación a trozos. Triángulos lineales (3 modos)

( )( )( ) hhgN

ghgN

hghgN

==

−−=

,

,

1,

3

2

1

Triángulos cuadráticos (6 nodos)


( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )hghhgN

ghhgN

hgghgN

hhhgN

gghgN

hghghgN

−−==

−−=−=−=

−−−−=

14,

4,

14,

2,

2,

12,

6

5

4

21

3

21

2

21

1

Nótese que los polinomios son de grado completo en el caso de triángulos.

10.6.2.2 Elementos cuadriláteros

En forma análoga, también se hace un cambio de variable para llevarlo al cuadrado estándar y se usan las mismas funciones de forma que en interpolación en el cuadrado estándar: Cuadriláteros lineales (4 nodos)

( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )hghgN

hghgN

hghgN

hghgN

+−=++=−+=−−=

11,

11,

11,

11,

41

4

41

3

41

2

41

1

Cuadrilátero cuadrático serendípito (8 nodos)

Cuadrilátero cuadrático Lagrangiano (9 nodos) No suele utilizarse porque el agregado del nodo central no cambia el grado total y por tanto no mejora la convergencia, mientras que aumenta la cantidad de variables en el sistema.

10.6.2.3 Funciones de forma locales y globales

También debemos distinguir entre las funciones de forma locales que acabamos de ver (definidas dentro de un elemento) y las funciones de forma globales “tipo sombrero” o funciones base (definidas en todo el campo). Para elementos triangulares lineales las gráficas de las funciones base tienen formas piramidales como se muestra en la figura.

10.6.3 Elementos tridimensionales También se hace un cambio de variable en las integrales para llevar los elementos estándar y se usan las mismas funciones de forma que en interpolación a trozos. Los elementos tetraédricos tendrán polinomios de grado completo mientras que las cuñas y hexaédricos van a tener algunos términos de grado superior incompleto. Debido a esto suelen usarse elementos serendípitos que tienen menos nodos y el mismo grado total.

10.7 Integración numérica En general las integrales involucradas en el cálculo de A y F deben calcularse por métodos numéricos. Cuando se usan elementos de grado k , para que no se afecte el orden de convergencia con respecto a la integración exacta, se deben usar fórmulas de integración numérica que sean exactas para polinomios de grado 2k-2 en cada variable para elementos


triangulares o tetraédricos, y de grado 2k-1 en cada variable para elementos rectangulares o hexaédricos. Por tanto, para triángulos lineales se puede usar la regla del punto medio (que usa el punto central) y para triángulos cuadráticos la regla para grado total 2 (que usa los puntos medios de cada lado), sin embargo suelen usarse fórmulas de 3 y 6 puntos para mejorar la precisión.

Para tetraedros lineales se puede usar la regla del punto medio (que usa el punto central) y para tetraedros cuadráticos la fórmula para grado 2 (que usa cuatro puntos interiores), pero para mayor precisión suelen usarse fórmulas de 4 y 15 puntos.

Para cuadriláteros lineales se puede usar la regla del punto medio (que usa el punto central) y para cuadriláteros cuadráticos la fórmula para Gauss con 4 puntos.

Sin embargo, para obtener mejor precisión suelen usarse fórmulas con 4 puntos para cuadriláteros lineales y nueve para cuadriláteros cuadráticos.

Para hexaedros lineales se puede usar la regla del punto medio (que usa el punto central) y para hexaedros cuadráticos la fórmula para Gauss con 8 puntos, pero suelen usarse fórmulas de 8 puntos y 27 puntos para mejorar la precisión.


10.8 Convergencia del método de elementos Finitos

10.8.1 Caso 1 variable Sean: u la solución exacta uI su interpolada de grado k en cada Ij uh aproximación de elementos finitos de grado k en cada Ij Sabemos que ∃ C, C’ tales que ‖h hÐ‖[Ð ≤ ℎáæåháæå[Ð ‖h hÐ′‖[Ð ≤ ′ℎáåháæå[Ð Vamos a ver que ‖h hÑ‖ y ‖h hÑ′‖ también puede acotarse así. Demostración Vamos a considerar a modo de ejemplo el problema h" = R¦ = MU, VNhU = hV = 0

que equivale a

(*) b h′u′[\ = b u[\ ∀uv ≡ Ku | uU = uV = 0 Y En el MEF en lugar de resolver esto restringimos a las φ que son de grado k en cada elemento y hallamos uh. = hÑ′uÑ′[

\ = = uÑ[\ ∀uÑvÑ ≡ ?u 9R HSU9¨ ç R¦ ©U9U Ó | uU = uV = 0@

como u cumple * ∀φ∈V, en particular también cumple para las φh = h′uÑ′[

\ = = uÑ[\ ∀uÑvÑ

Restando con la ecuación de uh tenemos la ecuación del error , = h hÑ′uÑ′[

\ = 0 ∀uÑvÑ

O sea que el error de u'h es ortogonal al subespacio Vh, entonces u'h es la proyección de u ortogonal a Vh con ⟨h, 7⟩ = b h′7′ En particular elegimos uÑ = hÐ hÑ, que es de grado k en cada Ij, entonces = h hÑ′hÐ hÑ′[

\ = 0

Consideremos ahora


‖h hÑ′‖[Ð = = |h hÑ′|[\ = = h hÑ′h hÑ′[

\ =

= = h hÑ′Mh hÐ + hÐ hÑN′[\ = = h hÑ′Mh hÐ′ + hÐ hÑ′N[

\ =

= = h hÑ′h hÐ′[\ + = h hÑ′hÐ hÑ[

\= = h hÑ′h hÐ′[\

]≤ ]≤ ‖h hÑ′‖[Ð‖h hÐ′‖[Ð ⇒ ‖h hÑ′‖[Ð ≤ ‖h hÐ′‖[Ð ≤ ′ℎáåháæå[Ð ⇒ ⇒ ∃^| ‖h hÑ′‖[Ð ≤ ′ℎáåháæå[Ð

Nótese que el error de uh ©¨¦ ‖h‖ = ‖h′‖[Ð es menor que el de la interpolada (en realidad pudo usarse v polinomial cualquiera en lugar de uI) Análogamente se demuestra para varias variables que ∃^| ‖∇h hÑ‖[¥ ≤ ′ℎá‖áæh‖[¥

10.8.1.1 Acotación de ∥u-uh∥

Sea φ | φ(a)=φ(b)=0 y –φ”=u-uh ‖h hÑ‖[Ð = = h hÑ[\ = = h hÑh hÑ[

\ =

Integrando por partes = = h hÑu"[\ = h hÑu′|\[ + = h hÑ′u′[

\ = = h hÑ′u′[\

Pues u=uh en a y en b

⇒ ‖h hÑ‖[Ð = = h hÑ′u′[\

Pero según la ecuación del error = h hÑ′uÑ′[

\ = 0 ∀uÑvÑ

en particular para φh=φI , entonces ‖h hÑ‖[Ð = = h hÑ′u′[\ = h hÑ′uÐ′[

\ = = h hÑ′u uÐ′[\ ≤^_

≤ ‖h hÑ′‖[Ð‖u uÐ′‖[Ð ≤ ^Ñåzðå`aℎ‖u"‖[Ð ⇒ ‖h hÑ‖[Ð ≤ "ℎáæåháæå[Ð‖u"‖[Ð = "ℎáæåháæå[Ð‖h hÑ‖[Ð ⇒ ⇒ ‖h hÑ‖[Ð ≤ "ℎáæåháæå[Ð


10.8.2 Caso varias variables Como ejemplo consideremos t∆h = R¦ Ωh = 0 R¦ Γ Es parecido a la demostración anterior.

Sea u | Δu = h hÑ R¦ Ωu = 0 R¦ Γ

‖h hÑ‖[¥ = = h hÑh hÑ¥ = = h hÑΔu¥ =

= = h hÑ∇ ∙ ∇u¥ =b° = ∇h hÑ ∙ ∇u¥ = h hÑ∇u ∙ ¦¿ =

= = ∇h hÑ ∙ ∇u¥

Pues u=uh en Γ podemos restarle la ecuación del error con φh=φ

I : = ∇h hÑ ∙ ∇uÐ¥ = 0

= ∇h hÑ ∙ ∇u uÐ¥ ≤ = ∇h hÑ ∙ ∇u¥ = ∇h hÑ ∙ ∇uÐ¥ =

= = ∇h hÑ ∙ ∇u uÐ¥ ≤^_ ‖∇h hÑ‖[¥‖∇u uÐ‖[¥ ≤ ≤ ′ℎá‖áæh‖[¥"ℎ‖u‖[¥ Pero si Ω es convexo entonces ‖u‖[¥ ≤ "′‖∆u‖[¥ ⇒ ‖h hÑ‖[¥ ≤ ℎáæåáæhå[¥‖∆u‖[¥ = ∗ℎáæåáæhå[¥‖h hÑ‖[¥ ⇒ ‖h hÑ‖[¥ ≤ ∗ℎáæ‖áæh‖[¥ O sea que la convergencia es de orden k+1 para uh y orden k para ∇u

10.9 Método de los residuos ponderados Vamos a ver que a partir de la formulación diferencial del problema (llamada forma fuerte) podemos llegar al mismo esquema de elementos finitos que llegábamos a partir de la formulación variacional. Consideremos el problema de Poisson: t∆h = R¦ Ωh = 0 R¦ Γ este problema equivale a hallar u tal que

= ∆h u = 0 ∀u¥ h = 0 R¦ Γ

Ésta es la forma débil del problema original. En particular se va a verificar para φh del espacio de elementos finitos (8) = ∆h uÑ¥ = 0 ∀uÑ ∈ Ñ

O sea

8 (-∆u-f) se llama “residuo” de la ecuación


= uÑ¥ = = ∆huÑ¥ = = ∇ ∙ ∇huÑ¥ ∀uÑ ∈ Ñ

Usando el teorema de Green = uÑ¥ = = ∇h ∙ ∇uÑ¥ = ∇h uÑ ∙ ¦¿ = = ∇h ∙ ∇uÑ¥ ∀uÑ ∈ Ñ

Pues φh en nula en Γ. Hacemos la aproximación de buscar un uh∈Vh que verifique esa igualdad = ∇hÑ ∙ ∇uÑ¥ = = uÑ¥ ∀uÑ ∈ Ñ

que es la misma que teníamos en el método de elementos finitos (9) En este caso, al igual que antes, hemos usado el mismo espacio de elementos finitos, Vh, para las φh y para las uh. Este es el método de Galerkin. Los métodos de Petrov - Galerkin toman distintos espacios para las φh y para las uh. El método de los Residuos Ponderados tiene la ventaja de que hay ecuaciones diferenciales que no tienen una formulación variacional equivalente. A estas ecuaciones igual puede aplicarse el método de residuos ponderados.

10.10 Métodos no conformes Estos métodos usan funciones φ que sean continuas en cada elemento pero pueden ser discontinuas en la frontera entre elementos. En este caso ya no se puede usar el teorema de Green en Ω pues φ discontinua en Ω

10.10.1 Ejemplo (1 variable) -u"=f en [a,b] equivale a = h"u[

\ = = u[\ ∀u WT¦RUW U 8S¨¨:

⇒ = u[\ = = h"u[

\ = â d= h"uCÖCÖ× e5æ

Ó = â d= h′u′CÖCÖ× h′u|CÖ×CÖ e5æ

Ó =

= â d= h′u′CÖCÖ× e5æ

Ó âhû|CÖ×CÖ5æÓ = = hû^[

\ âyh^BÓuBÓ h^BÓ uBÓ æ =5æÓ

= = hû^[\ h^VuV + hÛuU â h^BÓyuBÓæ uBÓ 5æ

Ó

La sumatoria sería nula si φ fuera continua.

10.10.2 Ejemplo (varias variables) En varias variables podemos aplicar Green en cada elemento pero luego al sumar, las integrales en las fronteras entre elementos no se ven a cancelar. t∆h = R¦ Ωh = 0 R¦ Γ equivale a

= ∆hu¥ = = u¥ ∀u WT¦RUW R¦ ©U9U RWRR¦8¨h = 0 R¦ Γ

9 Las φh se llaman funciones de peso y se toman de una base de Vh


⇒ = u¥ = = ∆hu¥ = â Ã= ∆hu Ä> = â Ã= ∇h ∙ ∇u = h¦> u 9¸¹ Ä> =

= = ∇h ∙ ∇u¥ â Ã= h¦> u 9¸¹ Ä>

Donde ~z~( = ∇h ∙ ¦

⇒ = u¥ = = ∇h ∙ ∇u¥ = h¦> u 9¸¿ = h¦> uæ u 9¸¿∗ =

⇒ = u¥ = = ∇h ∙ ∇u¥ = h¦> uæ u 9¸¿∗

Pues = h¦> u 9¸¿ = 0

Siendo Γ = ΩΓ∗ = dþ Ω> e Ω

uæ u = :UW8¨ 9R 9T:©¨¦8T¦hT9U9 R¦ Γ∗

o sea que la solución de la ecuación diferencia, si φ es discontinua, no cumple = ∇hÑ ∙ ∇uÑ¥ = = u¥ Pues = h¦> uæ u 9¸¿∗ ≠ 0

Pero los métodos no conformes consisten en buscar uh lineal en cada elemento que cumpla â Ã= ∇hÑ ∙ ∇u Ä> = = u¥ ∀u WT¦RUW R¦ ©U9U RWRR¦8¨

Así planteado el problema no tiene solución única, lo cual puede verse, por ejemplo, si f=0 ,

pues cualquier uh constante en cada elemento cumple ∑ b ∇hÑ ∙ ∇u > = 0 pues ∇hÑ = 0

aunque no sea la función nula. Para tener unicidad lo que se hace es buscar uh lineal en cada triángulo y continua en el punto medio de cada lado de T â Ã= ∇hÑ ∙ ∇u Ä> = = u¥

∀φ lineal en cada T y continua en los puntos medios de los lados de T y φ=0 en ∂(Ω) Ahora hay unicidad de solución, pues para el sistema homogéneo:

Si ∑ b ∇hÑ ∙ ∇u > = 0 ∀φ lineal en cada T y continua en

los puntos medios de los lados de T y φ=0 en ∂(Ω) entonces ∇uh=0 en cada T. Entonces uh constante en cada T y, como debe ser continua en los puntos medios de los lados, ese valor constante debe ser el mismo para todos los triángulos, por tanto uh es constante en Ω y como es nula en ∂(Ω) entonces es nula en todo Ω.


Como funciones base se usan las mismas de antes pero como nodos se toman los puntos medios de los lados. Ahora tendremos más nodos que antes, pues cada triángulo aporta dos nodos nuevos. Se usan las bases asociadas a estos nodos tanto para las φ como para interpolar uh en cada T.

10.10.3 Patch test Si u es lineal en cada T y continua en los puntos medios entonces â = ∇h ∙ ∇φ>> = = φ¥ ∀u WT¦RUW R¦ ©U9U < @ ©¨¦8T¦hU R¦ W¨: £h¦8¨: R9T¨:

Demostración = h¦> uæ u 9¸¿∗ = â = h¦> uæ u 9¸g

Como u lineal en cada triángulo su derivada es constante ~z~( = ç = h¦> uæ u 9¸¿∗ = â ç = uæ u 9¸g = â|ç|uæ u = 0

Pues la regla del punto medio es exacta para φ+-φ- que es lineal y como φ es continua en los puntos medios, (φ+-φ-)(ml)=0 Entonces = u¥ = = ∇h ∙ ∇u¥ = h¦> uæ u 9¸¿∗ = = ∇h ∙ ∇u¥

Por lo tanto â = ∇h ∙ ∇φ>> = = φ¥ ∀u WT¦RUW R¦ ©U9U < @ ©¨¦8T¦hU R¦ W¨: £h¦8¨: R9T¨:

Se puede demostrar que para u no lineales la igualdad no se cumple pero la diferencia es de orden 2 en h. Esto implica que el esquema es consistente (10) ya que la solución exacta satisface el esquema de cálculo salvo un término de orden superior.

10.10.4 Convergencia

â‖∇hÐ hÑ‖[> = â = ∇hÐ hÑ ∙ ∇hÐ hÑ>> =

= â = ∇hÐ h + h hÑ ∙ ∇hÐ hÑ>> =

= â Ã= ∇hÐ h ∙ ∇hÐ hÑ> + = ∇h hÑ ∙ ∇hÐ hÑ> Ä> =

= â = ∇hÐ h ∙ ∇hÐ hÑ>> + â = ∇h ∙ ∇hÐ hÑ>> â = ∇hÑ ∙ ∇hÐ hÑ>> ≤

Por Cauchy Schuartz y tomando φ=uI-uh ≤ â‖∇hÐ h‖[‖∇hÐ hÑ‖[> + â = ∇h ∙ ∇φ>> â = ∇hÑ ∙ ∇φ>> ≤

Por Cauchy Schwartz para el producto escalar

≤ dâ‖∇hÐ h‖[> e ø dâ‖∇hÐ hÑ‖[

> e ø + â = ∇h ∙ ∇φ>> â = ∇hÑ ∙ ∇φ>>

10 Consistencia no implica convergencia que es que la solución tienda a la exacta cuando h→0.


= dâ‖∇hÐ h‖[> e

ødâ‖∇hÐ hÑ‖[

> e ø + â = ∇h ∙ ∇φ>> = u¥

Pues las uh se buscaron de modo que ∑ b ∇hÑ ∙ ∇φ>> = b u¥ ∀φ lineal en cada T y continua en los puntos medios, cosa que cumple en particular φ=uI-uh ⇒ â‖∇hÐ hÑ‖[

> ≤ ≤ dâ‖∇hÐ h‖[

> e ø dâ‖∇hÐ hÑ‖[> e ø + Õâ = ∇h ∙ ∇φ>> = u¥ Õ

Dividiendo por la segunda sumatoria

⇒ dâ‖∇hÐ hÑ‖[> e ø ≤ dâ‖∇hÐ h‖[

> e ø + ∑ b ∇h ∙ ∇φ>> b φ¥ ∑ ‖∇hÐ hÑ‖[> ø

Pero como uI lineal en cada T: ‖∇h hÐ‖[¥ ≤ ^ℎ‖h‖[¥ ⇒ ‖∇hÐ hÑ‖[¥ ≤ ^ℎ‖h‖[¥ + ∑ b ∇h ∙ ∇φ>> b φ¥ ‖∇hÐ hÑ‖[¥

Como vimos en el Patch Test, el numerador del último término se anula cuando u es lineal en cada triángulo y es de orden 2 en h en otro caso. Con lo cual quedaría: ‖∇hÐ hÑ‖[¥ ≤ "ℎ‖h‖[¥ Como ‖∇h hÑ‖[¥ = ‖∇h hÐ + hÐ hÑ‖[¥ ≤ ‖∇h hÐ‖[¥ + ‖∇hÐ hÑ‖[¥ Entonces ‖∇h hÑ‖[¥ ≤ ∗ℎ‖h‖[¥ O sea que la convergencia de ∇u es de orden h.

10.11 Métodos mixtos Se usan en sistemas de ecuaciones diferenciales parciales y consiste en usar para unas funciones incógnita distintas funciones base que para otras funciones incógnitas.

10.11.1 Ejemplo - Ecuaciones de Navier-Sokes ∆h + h ∙ ∇h + ∇£ = Donde: hB = hB, @, , hB, @, , hB, @, es la velocidad £B = £B, @, es la presión B = B, @, es la fuerza aplicada sobre el fluido Para fluidos incompresibles la ecuación de continuidad es 9T7 h = 0 Y la condición de contorno puede ser h = 0 R¦ Ω Estas ecuaciones vectoriales dan 4 escalares:

h∆hó + h ∙ ∇hó + ~®~CU = ó R¦ Ω T = 1,2,3∇ ∙ h = 0 R¦ Ωh = 0 R¦ Ω

La ecuación de Stokes no lleva el término h ∙ ∇h y queda


/12∆hó + £Bó = ó R¦ Ω T = 1,2,3

∇ ∙ h = 0 R¦ Ωh = 0 R¦ Ω

Este problema no corresponde a la minimización, de un funcional sino a un punto de ensilladura. Podemos derivar el método de elementos finitos directamente de las ecuaciones diferenciales por el método de residuos ponderados. Usamos como funciones de peso u = 7, ¤ Multiplicamos cada ecuación por una componente de u e integramos en Ω. (11)

/0102= Á∆hó + £BóÂ u7ó¥ = = ó7ó¥ ∀7ó|7ó = 0 en Ω T = 1,2,3

= ∇ ∙ h¤¥ = 0 ∀¤

usando el teorema de Green en las 1as ecuaciones

/0102= ∇hó ∙ ∇7ó¥ = £ 7óBó¥ = = ó7ó¥ ∀7ó|7ó = 0 en Ω T = 1,2,3

= ∇ ∙ h¤¥ = 0 ∀¤

O sea (12)

1/0102= ∇h ∙ ∇7¥ − = £∇ ∙ 7

¥= = 7¥ ∀7|7 = 0 en Ω

= ∇ ∙ h¤¥ = 0 ∀¤

Este problema corresponde al punto de ensilladura de Jh, £ = = |∇h|¥ − = £∇ ∙ h¥ = ∙ h¥

pues es mínimo en unas variables y máximo en otras. La variación respecto a h es 0 = zJh, £ = = ∇h ∙ ∇7¥ = £∇ ∙ 7¥ = 7¥ ∀7|7 = 0 en Ω que es la primer ecuación. La variación respecto a p es 0 = ®Jh, £ = = ∇ ∙ h¤¥ = 0 ∀¤

que es la segunda ecuación. también puede verse como un mínimo condicionado a ∇ ∙ h = 0

tomando 7| ∇ ∙ 7 = 0 ⇒ b £∇ ∙ 7¥ = 0

11 ∇ ∙ h = 9T7h 12 ∇h es la jacobiana de h


⇒ 2 = ∇h ∙ ∇7¥ = 7¥ = 0 ∀7|7 = 0 en Ω @ ∇ ∙ 7 = 0 R¦ Ω∇ ∙ h = 0 Es más fácil resolver 1 que 2 pues no se imponen restricciones a u (pero en 2 no aparece la incógnita p). Estos problemas pueden resolverse por un método mixto, que usa una bases para hÑ y 7 y otra base para p y q.

10.11.1.1 Aproximación por elementos finitos de 1

Buscamos uh y ph / uh y ph polinomiales a trozos y

/0102= ∇hÑ ∙ ∇7Ñ¥ = £Ñ∇ ∙ 7Ñ¥ = = 7Ñ¥ ∀7Ñ R¦ RW R:£U©T¨ 9R ix |7Ñ = 0 en Ω

= ∇ ∙ h¤Ñ¥ = 0 ∀¤Ñ R¦ RW R:£U©T¨ 9R ix

Vamos a ver en qué condiciones tenemos estabilidad. Como el problema es lineal, para que haya estabilidad basta que ‖∇hÑ‖[¥ + ‖£Ñ‖[¥ ≤ åå[¥ Tomemos 7Ñ = hÑ¤Ñ = £Ñ

/0102= ‖∇hÑ‖¥ 0 = = ∙ hÑ¥ ≤^_ åå[¥‖hÑ‖[¥

= ∇ ∙ h£Ñ¥ = 0

‖∇hÑ‖[¥ ≤ åå[¥‖hÑ‖[¥ y como hÑ = 0 R¦ Ω y Ω acotado entonces ∃^| ‖hÑ‖[¥ ≤ ′‖∇hÑ‖[¥ ∃^| ‖∇hÑ‖[¥ ≤ åå[¥′‖∇hÑ‖[¥ ⇒ ‖∇hÑ‖[¥ ≤ ′åå[¥

Entonces hay estabilidad para la u. Para demostrar la estabilidad para la p debemos pedir que se cumpla la condición de estabilidad le Babuska Brezzi (BB) que es que ∃ α>0 independiente de h tal que

P‖£Ñ‖[¥ ≤ sup$Yb ∇ ∙ 7Ñ£Ñ¥‖∇7Ñ‖[¥ ∀£ÑvÑ

si esa condición se cumple

⇒ ∃7Ñ | P‖£Ñ‖[¥ ≤ b ∇ ∙ 7Ñ£Ñ¥‖∇7Ñ‖[¥ ∀£ÑvÑ

pero = ∇hÑ ∙ ∇7Ñ¥ = £Ñ∇ ∙ 7Ñ¥ = = 7Ñ¥ ∀7Ñ R¦ RW R:£U©T¨ 9R ix |7Ñ = 0 en Ω ⇒ = £Ñ∇ ∙ 7Ñ¥ = = ∇hÑ ∙ ∇7Ñ¥ = 7Ñ¥

⇒ P‖£Ñ‖[¥ ≤ b ∇hÑ ∙ ∇7Ñ¥‖∇7Ñ‖[¥ b 7Ñ¥‖∇7Ñ‖[¥ ≤^_


≤ ‖∇hÑ‖[¥ + ‖7Ñ‖[¥‖∇7Ñ‖[¥ åå[¥ ≤ ‖∇hÑ‖[¥ + åå[¥ ⇒ ‖£Ñ‖[¥ ≤ j‖∇hÑ‖[¥ + P åå[¥

Y como ‖∇hÑ‖[¥ ≤ ′åå[¥ ⇒ ∃" | ‖£Ñ‖[¥ ≤ "åå[¥

en estas condiciones se puede probar que ‖∇h hÑ‖[¥ + ‖£ £Ñ‖[¥ ≤ P kl∇ h hÐl[¥ + ‖£ £Ð‖[¥m o sea que si queremos que haya convergencia de orden hk debemos usar para u interpolación de grado hk y para p interpolación de grado hk-1. Pero esto es así si se cumple la condición de BB. Vamos a ver en qué condiciones se cumple. Como en la ecuación sólo está ∇p, entonces p puede variar en una constante, por tanto

podemos elegir los ph para que b £Ñ¥ = 0 y para esas ph se puede probar que existe 7 solución del problema \ ∇ ∙ 7Ñ = £Ñ7Ñ = 0 R¦ Ω tal que ‖∇7‖[¥ ≤ ‖£Ñ‖[¥ con C independiente de ph y 7.

Entonces = £Ñ∇ ∙ 7Ñ¥ = = £Ñ¥ = ‖£Ñ‖[¥ ≥ ‖£Ñ‖[¥ ‖∇7‖[¥

⇒ ∃7 y P = 1 > 0 | P‖£Ñ‖[¥ ≤ b £Ñ∇ ∙ 7Ñ¥‖∇7‖[¥

Esta no es la condición de BB a menos que podamos sustituir v por una vh del espacio de EF. Podemos hacerlo si tomamos una interpolación de v, vI tal que

1 = £Ñ∇ ∙ 7¥ = = £Ñ∇ ∙ 7Ð¥ ∀£Ñ

y 2 l∇7Ðl[¥ ≤ ‖∇7‖[¥ con independiente de ℎ

10.11.1.2 Caso convergencia de orden 1

Ya habíamos visto que si se cumplía la condición de BB, para tener convergencia de orden 1 había que tomar: para ph polinomios de grado ≥0

para vh polinomios de grado ≥1

(Notar que las ph pueden ser discontinuas pero las vh no pues aparece ∇ ∙ 7) pero si tomamos uh polinomial de grado 1 entonces ∇ ∙ hÑ es polinomial de grado 0 y como

debe cumplirse b ∇ ∙ hÑ¤Ñ¥ = 0 ∀¤Ñ £¨WT¦¨TUW 9R HSU9¨ 0 entonces

para ¤Ñ = ∇ ∙ hÑ ⇒ b ∇ ∙ hÑ¥ = 0 ⇒ ∇ ∙ hÑ = 0 R¦ Ω entonces no se cumple (1) Para solucionar este problema tomaremos para vh polinomios de grado 2 y construiremos una interpolación que cumpla 1 y 2. Como en cada T ph es constante entonces para que se culpa 1. = £Ñ∇ ∙ 7Ð¥ = £Ñ = ∇ ∙ 7Ð¥ = £Ñ = ∇ ∙ 7¥ = = £Ñ∇ ∙ 7¥

Si


= ∇ ∙ 7Ð¥ = = ∇ ∙ 7¥ ⇔b° = 7Ð ∙ ¦>9¸¹ = = 7 ∙ ¦>9¸~>

Entonces debemos construir una interpolación que cumpla: = 7Ð ∙ ¦>9¸¹ = = 7 ∙ ¦>9¸~>

Interpolacion (caso 2 variables) Como vI será de 2° grado, tenemos que fijar 6 coeficientes para cada componente, total 12 coeficientes 1) Determinamos los valores en los vértices 7ÓÐ£ó = 7Ó£ó T = 1,2,3 = 1,2

son, 6 condiciones 2) Determinamos vI en los puntos medios de los lados para que

= 7ÓÐ9¸ = = 7Ó9¸ W = 1,2 = 1,2,3 ⇒ = 7Ð ∙ ¦>9¸¹= = 7 ∙ ¦>9¸~>

Entonces se verifica (1). El orden de convergencia es 1 porque los ph son de grado 0. Si queremos orden de convergencia 2 tendremos que usar ph de grado 1 y para que se cumpla la condición de BB, vh debe sr de grado 2 más una función burbuja (de grado 3). La función burbuja b(x) es de grado 3 y vale 0 en los lados del triángulo.

b(x)=λ1(x)λ2(x)λ3(x) Siendo

λ1(x)=0 la ecuación del lado 1 λ2(x)=0 la ecuación del lado 2 λ3(x)=0 la ecuación del lado 3

la parte de 2° grado se construye igual que antes y se le suma a cada componente la función burbuja por un coeficiente a determinar. Como ph es de 1er grado, la igualdad (1) queda = U + VB + ©B∇ ∙ 7> = = U + VB + ©B∇ ∙ 7Ð>

que se cumplirá si se cumplen: = ∇ ∙ 7> = = ∇ ∙ 7Ð>

= B∇ ∙ 7> = = B∇ ∙ 7Ð>

= B∇ ∙ 7> = = B∇ ∙ 7Ð>

La primer igualdad se cumple pues b(x)=0 en ∂T, entonces en ∂T sólo queda la parte de 2° grado que ya vimos que cumple = 7Ð ∙ ¦>9¸¹ = = 7 ∙ ¦>9¸~>

Y se eligen los coeficientes de la función burbuja en cada componente de 7Ð para que se cumplan las otras igualdades. Sí se usaran solo presiones continuas entonces se pueden tomar vh e grado 2 y ph de grado 1 y se cumple la condición de BB. (En este caso en lugar de aumentar el espacio de las vh hemos achicado el de las ph) . Se puede demostrar que existe la interpolación vI pero no se sabe cuál es.


10.12 Integración reducida El uso de funciones con divergencia nula se llama bloqueo. = ∇ ∙ hÑ¥ = 0 ⇔ ∇ ∙ hÑ = 0 R¦ Ω

La integración reducida remplaza la integral por una regla de integración que no es exacta para el grado usado. Entonces b ∇ ∙ hÑopqrD = 0 no implica ∇ ∙ hÑ = 0 R¦ Ω.

Así habrá más funciones que cumplan b ∇ ∙ hÑopqrD = 0 Algunos métodos mixtos se pueden ver como métodos de integración reducida, que se usan para evitar el bloqueo.

10.13 Sistemas no en régimen

10.13.1 Problemas parabólicos

10.13.1.1 Ejemplo - Ecuación del calor.

hh8 ∆h = R¦ Ω × 0, <h = 0 R¦ Ω × 0, <h = h R¦ Ω × K0Y

Donde u=u(x,t) es la temperatura y x es la distancia t es el tiempo

Lo usual es usar un método de EF para las variables espaciales y reemplazar ~z~ por un

cociente incremental. (Otra posibilidad es usar elementos finitos en todas las variables.) Usando residuos ponderados, para cada t multiplicamos por la función de peso φ e integramos = h8 u¥ = ∆hu¥ = = u¥

y usando Teorema de Green = h8 u¥ + = ∇h ∙ ∇u¥ = = u¥ £hR: = ∇h ∙ u¹¥ = 0 @U ¤hR u = 0 R¦ Ω

Particionamos Ω y usamos EF sustituyendo u y φ por uh y φh. El problema es hallar uh tal que = hÑ8 uÑ¥ + = ∇hÑ ∙ ∇uÑ¥ = = uÑ¥ ∀uÑ 9RW R:£U©T¨ 9R ix | uÑ = 0 R¦ Ω Como

/0102hÑB, 8 = â hó8óB5æ

óuÑB = â uóóB5æ

ó

= dâ hó88 óB5æó eÓB¥ + = dâ hó8∇óB5æ

ó e ∙ ∇ÓB¥ = = ÓB¥ ∀ = 1,⋯ ,


â Ãhó88 = óBÓB¥ Ä5æó + â Ãhó8 = ∇óB ∙ ∇ÓB¥ Ä5æ

ó = = ÓB¥ ∀ = 1,⋯ ,

Definiendo:

= yVóÓ | VóÓ = = óBÓB¥

x = yÓ | Ó = = ÓB¥

= yUóÓ | UóÓ = = ∇óB ∙ ∇ÓB¥

Entonces

h88 + h8 = que es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias con valor inicial hB, 0 = hB y se puede resolver por algún método de Runge-Kutta por ejemplo usando diferencias hacia atrás obtenemos un método implícito 1Δ8 h − h + h =

Á 1Δ8+ Âh = + 1Δ8h

Usando diferencias hacia adelante tenemos un método explícito pero requiere ∆t menores. 1Δ8 hæ − h + h = 1Δ8hæ = + Á 1Δ8 − Âh

10-problemas de campo

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