tema 10 problemas

8/12/2019 TEMA 10 Problemas

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X - 23Manual de ptica Geomtrica. J.V. Santos ([email protected])

2. Una lente de 10 cm de focal y dimetro 5 cm est situada a 30 cm de un objeto y detrs de ellase sita un diafragma de 3 cm de dimetro. Hallar la posicin y tamao de: P.E., P.S., L.E.y L.S. Hasta qu tamao del objeto la imagen estar situada en los campos de iluminacinplena, media y lmite?. Distancia lente-diafragma = 5 cm.

fig. 1

1 1 1 1

5

1

10

10

s s f

s AD cm

=

=

= = +s

1) Clculo de la posicin de la imagen O':

1 1 1 1

10

1

3015

=

+ = +

= + =

s f ss cm LO

2) Determinacin de PS, DA y PE : la imagen de las lentes y diafragmas que menor ngulo subtienda desde el puntoimagen O' ser PS. En este caso, tanto la lente L como el diagrama D son imgenes de s mismos por no existirlentes a la derecha de ellos. Calculamos los ngulos y subtendidos por D y por L desde O':

tg r

COtg

r

O

D L =

= = =

= =15

100 15

2 5

150166

,, ;

,,

y por ser < el diafragma D es PS y tambin DA.

La PE es la anti-magen del DA (que es D) a travs de la lente L. Su posicin es:

y su tamao: y y s

s

s

scmD PE=

=

= = = 3

10

56.

3) Determinacin de DC, LE y LS : como D es DA, la lente L ha de ser DC y tambin LE y LS por no existir lentesa su derecha ni a su izquierda.


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O'

L D

LS

PS

5 cm 10 cm

2,5 cm

planoimagen

r'

1,5 cmA C

P'

M'

T'

fig. 2

4) Clculo de los campos imagen: aplicando la relacin de semejanza a los pares de tringulos , y que tienen,respectivamente, los ngulos iguales en la fig. 2, se obtiene:

r r

C

r r

O

rr cmL D L P P P

=

+

=

+ =

5 2 3 2

5

5 2

150 5,

r

C

r r

O

rr cmL L M M M=

+

=

+ =

5 2

5

5 2

155

r r

AC

r r

AO

rr cmL D L LIM LIM LIM

+=

+

+=

+ =

5 2 3 2

5

5 2

159 5,

El tamao objeto que corresponde a cada uno de estos campos se determina a travs del aumento del sistema:

=

=

=

= y

y

s

s

15

300 5,

y como: =

=

= r

r

r

r

r

r

p

p

m

m lin

lim

tomando valores absolutos queda:

rp= 2.r'p= 2.(0, 5) = 1 cm ; rm= 2.r'm= 2.(5) = 10 cm ; rlim= 2. r'lim= 2.(9, 5) =19 cm.


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....3. Detrs de una lente de focal 20 cm y dimetro 10 cm estn situados dos diafragmas; el primero, de 2 cmde dimetro, a 30 cm y el segundo de 3 cm de dimetro a 60 cm. Para un objeto situado a 40 cm por

delante de la lente calcular las ubicaciones y tamaos de DA, PE, PS, DC, LE, y LS. Calcular los camposde iluminacin plena, media y lmite sobre la imagen. Explicar la paradoja existente al calcular estosmismos campos sobre el objeto.

5 cm

E

fig. 11 1 1

s s f=

a. Posicin de la imagen.

Por estar situado el objeto a una distancia de la lente doble de la focal, la imagen est situada al otro lado de la lentea la misma distancia y es del mismo tamao que el objeto:

1 1 1 1

20

1

4040

=

+ = +

= +

s f ss cm

= = =

= =yy

ss

y y4040

1

b. Determinacin del DA, PE y PS.

Por estar situada la imagen y' a laizquierdadel diafragma D2, ste no va alimitar los rayos que llegan al planoimagen por lo queno interviene para nadaen este sistema, para esta posicin delobjeto. Tanto el diafragma D1 como lalente L son imgenes de s mismos por nohaber ms lentes en el sistema. De ellosdos, el que subtienda menor ngulo desdeO' ser PS:

tg r

AO

tgr

CO

L

D

=

= =

=

= =

5

400125

1

100 101

,

,

y por ser < , el diafragma D1es PS ytambin DA por ser imagen de s mismo.La PE es la anti-imagen del DA (D1) a

travs de la lente:

en la que: s' = AC = + 30 cm y f ' = + 20 cm

quedando al sustituir y operar: s = ADw

'1= APE= - 60 cm

y su tamao: y = y '.s/s'

siendo: y' = D= 2 cm ; s = APE= - 60 cm ; s' = AC = + 30 cm

con lo que: y = 2.(- 60)/30 = - 4 cm = PE


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c. Determinacin del DC, LE y LS.

Puesto que el diafragma D1es DA y al no afectar para nada la existencia del diafragma D 2 , la lente L ha de ser DCy tambin LE y LS por no existir ms lentes en el sistema.

d. Clculo de los campos imagen.

La recta que une los bordes del mismo lado de la LS y la PS, define en su interseccin con el plano imagen el campoimagen de iluminacin plena. En la figura 2, de la semejanza de los tringulos en , y se deduce:

tg 'rp

)% r

L

AO )'

rL

& rD

ACY

rp

)% 5

40 '

5 & 130

Y rp

)' 1/3 cm

tg 'rL

AC'

rL

% rm

)

AO )Y

530

'5 % r

m)

40 Y r

m)

' 5/3 cm

tg 'rL % rD

AC'

rL % r)lim

AO )Y 5

% 130

'5 % r)lim

40 Y r)lim ' 3 cm

1 cm

5 cm

fig. 2

e. Clculo de los campos objeto.

Si se trataran de calcular los campos objeto uniendo bordes del mismo lado de PE y LE (campo de plena?, rayo 3),borde de LE con centro de PE (campo de media?, rayo 2) y bordes opuestos de LE y PE (campo lmite?, rayo 1), seobtendra (ver fig. 2) que el campo de plena sera mayor que el lmite, lo cual no tiene sentido. Esta situacin paradjica

se presenta siempre que el objeto est situado entre LE y PE y fue estudiada en la parte terica (puntos 6.1 y 6.2 de laspgs. X-12 y 13) , correspondiendo en realidad los puntos P, M y T a los bordes de los campos objeto de iluminacinplena, media y lmite respectivamente.


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4. Considrese un sistema de proyeccin constituido por un doblete de dos lentes delgadas defocales f'1= 20 cm y f

'2= 10 cm separadas por una distancia de 10 cm. La primera lente tiene

un radio de 6 cm y la segunda de 3 cm. Un plano objeto est situado delante de la primera lentea una distancia de 20 cm. Determinar:

a) la posicin y tamao del diafragma de apertura, pupila de entrada y pupila de salida.b) la posicin y tamao del diafragma de campo, lucarna de entrada y lucarna de salida.c) el campo de plena iluminacin y el campo total imagen.d) trazar grficamente el haz de rayos que sale desde un punto objeto, situado en el borde del

campo de plena iluminacin.

=

=

= r

r

r

r

r

r

p

p

m

m

lim

lim

No obstante, no se presenta esta situacin paradjica si se calculan los campos objeto a partir del aumento ya quelos campos imagen son imagen de los campos objeto:

y como en este caso, segn se ha visto, el aumento es ' = - 1, tomando valores absolutos queda:

r P= r'P= l/3 cm ; rm= r'm= 5/3 cm ; rlim= r'lim= 3 cm

a. Determinacin del DA, PE y PS.

Desde el punto objeto O, la anti-imagen que menor ngulo subtienda es PE. La lente L1es anti-imagen de s mismapor no existir lentes a su izquierda. Calculamos la anti-imagen de L2a travs de L1:

a.1. Posicin:

1 1 1 1

10

1

20 20 1 2s s f s cm L L= = = + =

s

a.2. Tamao: y = y'.s/s' = 6.(20)/10 = 12 cm = ( L

'2) (ya que y' es el dimetro de L2= 6 cm)

De estos resultados sededuce que la lente L1y la anti-imagen de L2 tienen igualtamao (6 cm) por lo que la queest ms lejos, que es la anti-imagen L

'2 , es la que va a

subtender menor ngulo desdeO.

En consecuencia, lareferida anti-imagen es PE. Elobjeto que ha dado lugar a esaanti-imagen, es decir L2, es DAy como la imagen de L2es ellamisma por no existir lentes a suderecha, L2es tambin PS.


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=

=

=

r

r

r

r

r

r

p

p

m

m

T

T

b. Determinacin del DC, LE y LS.

Al ser la lente L2el DA, la lente L1ha de ser DC y tambin LE por no tener lentes a su izquierda. La imagen delDC a travs de la lente L2es la LS que, en este caso, est en el infinito por estar el DC en el foco objeto (F2) de L2.

c. Clculo de los campos objeto.

Uniendo bordes del mismo lado de LE y de PE se obtiene el campo de plena en la interseccin con el plano objeto.Puesto que segn se ha visto los dimetros de LE y de PE son iguales, el radio del campo de plena rPtambin va a serigual a ellos:

rP= rLE= rPE= 6 cm

Uniendo bordes opuestos de LE y PE se obtiene el campo total o campo lmite rT. De la figura se deduce:

tg 'r

T

OL'

rL1

L LY

rT

30 '

610

Y rL

' 18cm

d. Clculo de los campos imagen.

Dado que la LS est en el infinito no es posible calcular los campos imagen por el procedimiento anlogo al seguidopara los campos objeto. No obstante, calculando el aumento se pueden calcular los campos imagen ya que los camposimagen son la imagen de los campos objeto, por lo que:

El aumento del sistema es el producto de los aumentos de cada lente:

= =

1 21

1

2

2

. s

s

s

sy como el objeto est en F1, la imagen que forma la primera lente est en el infinito, siendo entonces s

'1= s2= 4,

quedando el aumento indeterminado (4/4).Para calcular el aumento se ha de conocer la posicin de los planos principales H y H' y la del objeto y de la imagen

respecto de estos planos principales. Mediante las expresiones (33) y (41) del tema VII:

H1H 'e. 1

e & f1)

% f2

'10.(&20)

10 & 20 & 10 ' % 10 cm

H2)H) '

e.f2)

e & f1)

% f2

'10.(10)

10 & 20 & 10 ' & 5 cm

con lo que la posicin del objeto referida a H es: a = HO = HH1+ H1O = - 10 + (-20) = - 30 cmCalculando la focal del sistema mediante la expresin (30) del tema VII:

f) '& f1

). 2)

e & f1)

% f2

' & 20.(10)10 & 20 & 10

' % 10 cm

la posicin de la imagen referida al plano H' queda:

1

a

1

f

1

a

1

10

1

30 a H O 15 cm

=

+ = +

= = +

y el aumento: ' = a'/a = +15/-30 = - 1/2

Tomando valores absolutos, los campos imagen quedan:

r'P= '.rP= (1/2).6 = 3 cm ; r'

T= '.rT= (1/2).18 = 9 cm


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5. Se utiliza un doblete para obtener sobre una pantalla la imagen de un objeto en el infinito. Este dobleteest formado por dos lentes delgadas idnticas de distancia focal f'1= f

'2= 12 cm y separadas por una

distancia d. La pantalla est a una distancia 2d/3 de la segunda lente. La primera lente y la pantalla

tienen el mismo radio r = 8 cm.1. Calcular d (escoger la solucin que d el sistema ms compacto).2. Sabiendo que la segunda lente no es el DA, cul es el radio mnimo de esta lente para que no limite

el campo y la pantalla aparezca uniformemente iluminada?.3. Calcular el campo objeto.

fig. 1

1

s )&

1s

'1

f)Y

12d/3

&1

f1)

& d'

112

Y d2 & 42.d % 216 ' 0

tg '

rPS

& rpantalla

CF)'

x

L2F) Y

16 & 8

4 % 6 % 6 '

x

4 Y x '

2cm

1. Clculo de la distancia entre lentes d.

Por estar el objeto en el infinito, la primera imagen se vaa formar en F '1. Esta imagen, a su vez, es objeto para lasegunda lente que ha de formar la imagen final en F' delsistema a una distancia

De la figura se deduce:

L1F'

1+ F'

1L2= L1L2= d f'

1+ (-s2) = d

s2= f'1- d

y sustituyendo en la frmula de las lentes:

ecuacin que presenta dos soluciones, d1= 6 cm y d2= 36 cm, de las que tomamos la primera por hacer al sistema mscompacto: d = 6 cm.

2. Clculo del radio de la lente L2para que no limite el campo.

De acuerdo con el enunciado, la lente L2no es DA ni tampoco va a ser DC ya que no debe limitar el campo. Laforma correcta de limitar el campo (ver pg. X-21) es colocar el DC sobre una imagen intermedia o sobre la imagen finalevitndose as el vieteado y apareciendo la imagen uniformemente iluminada. Para conseguir esto en el sistema quenos ocupa en este problema, ha de ser la propia pantalla la que acte como DC con lo que tambin ser LS. Enconsecuencia, la lente L1va a ser DA y tambin PE. Su imagen a travs de L2es la PS cuya posicin y tamao pasamosa calcular.

Posicin: 1/s' = 1/f'- 1/s siendo: s = L2L1= - 6 cm y f ' = f'

2= + 12 cm

con lo que al sustituir queda: s' = L2L'

1= - 12 cm

Tamao: y' = y.s'/s siendo: y = rL1= 8 cm

quedando: y' = 8.(-12) / (-6) = 16 cm = r PS

El tamao que ha de tener la lente L2 para que no limite el campo viene definido por el punto P en el que la lneaque une bordes del mismo lado de LS y PS corta al plano de la lente L2(ver fig. 2). De esta forma toda la pantalla estaruniformemente iluminada. De la figura se deduce:

quedando el radio de la lente: r L2= rL1+ x = 8 + 2 = 10 cm


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PEDA

LSDC

PS

LE

PANTALLA

Plano imagen

fig. 2

3. Clculo del campo objeto.

Por estar la LE y el objeto en el infinito, el campo objeto va a venir dado por la expresin de la pg, X - 17:

tg = rLS/ f 'siendo f ' la focal del sistema:

f) '& f1

).f2)

e & f1)

% f2

' & 12.(12)6 & 12 & 12

' 8 cm

y como rLS= 8 cm, queda: tg = 8/8 = 1 = 45o

y el campo objeto total es: 2. = 90o

Tambinse puede calcular el campo teniendo en cuenta que un rayo que abandona el sistema en direccin centro PS - borde LS(ver fig. 2) ha tenido que incidir en l en direccin centro PE - borde LE, por lo que el ngulo es el campo objetobuscado:

tg = rpantalla/CF' = 8/16 = 1/2 y tambin: tg = y/CL2= y/12

e igualando: y/12 = 1/2 y = 6 cm

y el campo objeto queda: tg = y/L1L2= 6/6 = 1 = 45o


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6. Sea un sistema formado por dos lentes divergentes delgadas de focales f'1= f'2= - 10 cm situadasa 10 cm de distancia y ambas con un dimetro de 10 cm. El plano imagen est situado entrelas dos lentes a 2,5 cm de la segunda. Determinar DA, PE, PS, DC, LE, LS as como el campo

lmite de iluminacin sobre la imagen.

a. Determinacin del DA, PE y PS.

La imagen que subtienda menor ngulo desde el punto imagen ONser PS. La lente L 2es imagen de s mismaporno existir lentes a su derecha. Calculamos la imagen de L1a travs de L2:

Posicin: 1/sN= l/fN+ 1/s en la que: s = L2L1= -10 cm y fN= f'

2= -10 cmquedando: sN= -5 cm = L2L

'1

Tamao: yN= y.sN/s en la que: y = L1

= 10 cmquedando: yN= 10.(-5)/(-10) = 5 cm = L '1

Calculamos los ngulos subtendidos por L '1y L2 desde O':

tg 'L

)

1

BO )'

5/25 & 2,5

' 1

tg 'rL2

)

'10/22 5

' 2

y por ser < , la imagen L '1es PS. El objeto que ha dado lugar a esaimagen, que es L1, es DA y como L1 no tiene lentes a su izquierdatambin es PE:

L '1/PS ; L1/DA /PE

b. Determinacin del DC, LE y LS.

Puesto que la lente L1es DA, la lente L2ha de ser DC y tambin LSpor no existir lentes a su derecha. La anti-imagen de L2a travs de L1esla LE, que calculamos:

Posicin: 1/s = 1/s ' - 1/f ' en la que: s' = L1L2= + 10 cm y f ' = - 10 cm

quedando: s = + 5 cm = L1L

'2= L1(LE)

Tamao: y = y '.s/s ' en la que: y ' = L2= 10 cm, quedando: y =10.(5)/10 = 5 cm = L

2= LE

c. Clculo del campo imagen de iluminacin lmite.

Si se sigue la norma prctica dada en la pgina X-10 para ladeterminacin del campo lmite se obtendra, en este caso, quer'P> r

'L, lo cual no tiene sentido. Esto sucede siempre que la imagen

est situada entre LS y PS (ver pgina X-13). En realidad el punto Lcorresponde al borde del campo lmite y la distancia O'L es el radio deeste campo (r'L):

tg r r

O C

r r

BC

rr O L cm

LS L LS PS

L L

=

=

=

= =

5

2 5

5 2 5

53 75

,

,,


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7. Un sistema est constituido por dos lentes de focales f'1= 1 cm y f'2= 3 cm separadas entre sipor una distancia de 4,5 cm. A 6,5 cm a la derecha de la segunda lente hay un diafragma de

18 cm de dimetro y a 2,5 cm a la izquierda de la misma lente hay otro diafragma de 1 cm dedimetro. Si el plano objeto est a 3 cm a la izquierda de la primera lente y conociendo eldimetro de L2, = 10 cm, calcular:a) El radio mnimo de L1para que actuando como diafragma de campo permita tener un

campo objeto de iluminacin media de 1,5 cm.b) Cul ser el campo total imagen para un punto situado en el borde del campo de media

iluminacin?.c) Hacer el trazado grfico a travs de PE, PS y DA para un haz de luz que parte de un punto

situado en el borde del campo de media iluminacin.

a. Clculo de la posicin de la imagen.

1/s ' = l/f ' + 1/s en la que: f ' = f'1= 1 cm y s = s1= L10 = - 3 cm

quedando al operar: s '1= + 1,5 cm = L10'1

resultado del que se deduce que la imagen O '1que forma la lente del objeto O, est situada a 3 cm a la izquierda dela lente L2o sea, en su foco objeto. Como consecuencia, la imagen final formada por L2est en el infinito.

b. DC y LE.

Segn el enunciado, la lente L1es el DC y como no tiene lentes a su izquierda tambin es LE:

L1/DC /LEc. Determinacin del DA, PE y PS.

Puesto que el plano imagen est en el infinito, si se calculan las imgenes de todos los elementos del sistema(excepto L1que es DC y por tanto no va a ser DA) a travs de las lentes que tienen a su derecha, la que tenga menordimetro ser PS. A tal efecto, D2y L2son imgenes de s mismospor no tener lentes a su derecha. Calculamos laposicin y tamao de la imagen de D1:

Posicin: 1/s' = 1/s + 1/f ' en la que: f ' = f '2= + 3 cm y s = L2D1= - 2,5 cm

quedando al operar: s ' = - 15 cm = L2D'

1= BE

Tamao: yN= y.sN/s en la que: y = D1

= 1 cm

quedando: y ' = 1.(-15)/(-2,5) = 6 cm = D '1

Dado que D2= 18 cm y L2= 10 cm, resulta que D '1< L2< D2 por lo que D'

1es PS y el objeto del cual esimagen, es decir D1, es DA:

D '1/PS ; D1/DA

La anti-imagen de D1a travs de L1es la PE: D '

1/PE . Por estar D1a doble distancia de la focal de L1, su anti-imagen es equidistante de la lente teniendo el mismo tamao que D1, por lo que:

Posicin de la PE: L1(PE) = L1D '

1= AC = - 2 cm

Tamao de la PE: PE= 1 cm


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d. Clculo del radio de la lente L1.

Una vez determinados los diafragmas, pupilas y lucarnas, se puede calcular el radio de L1(ver figura):

tg = rm/OC = rL1/CA 1,5/1 = rL1/2 rL1= 3 cm

e. Clculo de la LS.

Es la imagen del DC (que es la lente L1) a travs de L2:

Posicin: 1/s' = 1/f ' + 1/s en la que: f ' = f '2= + 3 cm y s = L2L1= - 4,5 cm

quedando al operar: s ' = + 9 cm = L2L'

1= L2(LS) = BG .

Tamao: y ' = y.s '/s en la que: y = L1= 6 cm

quedando: y ' = 6.(9)/-4,5 = -12 cm = L '1= LS

f. Clculo del campo total imagen de iluminacin media.

Por estar la imagen en el infinito se ha de calcular el campo angular de media. Este campo queda definidopor el ngulo 'Mque forma con el eje la lnea que une un borde de la LS y el centro de la PS. El ngulo

'Mes, como

puede apreciarse en el trazado de rayos, el que forman con el eje los rayos que emergen del sistema procedentes delpunto M, borde del campo objeto de iluminacin media.

tg )M 'L

'LS

' ' 0,25 Y )M ' 14,040

y el campo total: 2 'M= 28.08o

PS

PE DA

LS

DCLE

planoobjeto

L1

'

E O A B GC

M

'

L2

D2

L1

'D1'D1

MrM

D1


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8. Se quiere fotografiar un objeto situado a distancia finita para lo cual se emplea un dispositivo

formado por los siguientes elementos: dos lentes convergentes de 50 mm de dimetro cuyoscentros pticos estn separados 20 mm; la pelcula que queremos impresionar con plenailuminacin a 25 mm de la segunda lente tiene un radio de 10 mm y, finalmente, colocamos undiafragma a 30 mm por delante de la primera lente, de dimetro 50 mm.Si las distancias focales de las lentes son 20 y 10 mm respectivamente, calcular:a) DA, PE, PS, DC, LE y LS.b) Realizar el trazado grfico para un punto situado en el borde del campo objeto de

iluminacin plena.

a.1. Determinacin de DA, PE y PS.

Calculando la imagen de las monturas de las lentes y de los diafragmas a travs de las lentes que tengan a suderecha, ser PS la que menor ngulo subtienda desde el punto imagen O'.

a.1.1. Imagen de L1a travs de L2.

Puesto que el objeto (L1) est a doble distancia (s = - 20 mm) que la focal de la lente L2(f'

2= + 10 mm), la imagen(L '1) es equidistante de L2(s' = BA' = + 20 mm) y tiene el mismo tamao (L '1 = L1= 50 mm).

a.1.2. Imagen de D a travs de las dos lentes.

Calcularemos en primer lugar la imagen de D a travs de L1. A esta primera imagen intermedia la llamaremos D'

1.

Posicin : 1/s'

1= l/f'

1+ 1/s1 en la que: s1= AC = - 30 mm y f'

1= + 20 mmquedando al operar: s '1= AD

'1= + 60 mm

Aumento: '1= s'

1/s1= + 60/(-30) = - 2

A continuacin calculamos la imagen de esta imagen intermedia a travs de L2a la que llamaremos D ':

Posicin de D': 1/s '2= 1/f'

2+ l/s2 en la que: s2= BD'

1= AD'

1- AB = 60 - 20 = + 40 mm y f'

2= + 10 mm

quedando al sustituir y operar: s '2= BC ' = + 8 mm

Aumento: '2= s'

2/s2= 8/40 = + 0,2

y como el aumento total del sistema es el producto de los aumentos, el tamao de la imagen D' queda:

' = '1'

2= (- 2)(+ 0,2) = - 0,4 = D'/D D'= - 0,4.D = (- 0,4)50 = - 20 mm

Con estos resultados y con ayuda de la figura de la pgina siguiente podemos calcular el ngulo subtendido por cadaimagen, significando que la lente L2es imagen de s mismapor no existir lentes a su derecha.

tgA O BO BA

tgBO

tgC O BO BC

L

L

D

=

=

=

=

=

= =

=

=

=

=

1

2

2 50 2 25

25 205

2 50 2

251

2 20 2 1025 8

0 59,


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30 mm 20 mm 25 mm

planoimagen

10 mm

25 mm

D

L1D'

'L1

C A B C' O'

DCLS

DAPE

PS

A'

L2

Por ser < < , se deduce que D' es el que subtiende menor ngulo y en consecuencia D' es PS. Por ser D'imagen del diafragma D, ste es DA y por no existir lentes a la izquierda de D tambin va ser PE:

D' /PS ; D /DA /PE

a.2. Determinacin de DC, LE y LS.

La forma correcta de limitar el campo es colocando el DC en la imagen final o en una imagen intermedia con lo quela LE estar sobre el objeto, teniendo el msmo tamao que l y la LS estar sobre la imagen teniendo el mismo tamaoque ella (ver Pag. X-21).

En los dispositivos fotogrficos el DC es el propio marco de la pelcula. En consecuencia, al estar DC en el planoimagen, el marco de la pelcula es tambin LS por no existir lentes detrs de ella y los tres campos, de plena, de mediay lmite son iguales y la imagen quedar impresionada con plena iluminacin:

rDC= rLS= O 'P ' = 10 mm = r'

P= r'

M= r'

L

La LE es la anti-imagen del DC, es decir, la anti-imagen del marco de la pelcula a travs de las dos lentes que tienea su izquierda.

a.2.1. Anti-imagen del DC a travs de L2:

Posicin: 1/s2= 1/s'

2 - 1/f'

2 en la que: s'

2= BO' = 25 mm y f'

2= + 10 mm

quedando al sustituir y operar: s2= BO* = - 16,66 mm

siendo O* la anti-imagen del DC formada por L2.

Tamao de esta anti-imagen: y2= y'

2.s2/s'

2 en la que: y'

2= rDC= O 'P ' = 10 mm

quedando: y2= 10.(-16,66) / 25 = - 6,66 mm


15/40


planoimagen

D

D'

CA B

C'O'

DCLS

DAPE

PS

A'

LE

O

planoobjeto

P'

O*

L1

'L1

L2

P

a.2.2. Anti-imagen de O* a travs de L1:

Posicin: 1/s1= 1/s'

1- 1/f'

1 en la que: s'

1= AO* = AB - O*B = 20 - 16,66 = + 3,33 mm

y f'1= + 20 mm

quedando al sustituir: s1= AO = + 4 mm

por lo que el plano objeto y la LE estn situados a 4 mm a la derecha de la lente L1 siendo el objeto virtual.

Tamao: y1= y'

1.s/s'1 en la que: y

'1= y2= - 6,66 mm

quedando al sustituir y operar: y1= (- 6,66).4 / 3,33 = - 8 mm = rLE= rP= rM= rL

b. Trazado grfico para el punto P situado en el borde del campo objeto de iluminacin plena.

El rayo --


16/40


9. Sea un sistema constituido por dos lentes delgadas y dos diafragmas. Las dos lentes son positivas defocales 7,5 y 2,5 cm respectivamente. El dimetro de la segunda lente es 4 cm y la separacin entreambas es 5 cm. Los diafragmas estn situados a continuacin de la lente L2: el de 1 cm de dimetro

est a 0,5 cm de L2y el de 4 cm de dimetro dista del primer diafragma 2 cm.a) Calcular el radio mnimo de L1para que actuando como diafragma de campo permita tener un

campo imagen de iluminacin lmite de 1 cm para un objeto que se encuentra en el infinito.b) Cul ser el campo total objeto para un rayo que al incidir sobre el sistema focalice en el extremo

del campo de iluminacin lmite? Qu sucede si se incide con un ngulo mayor?c) Realizar el trazado de rayos grfico para un objeto cuya imagen est en el punto focal imagen del

sistema.

a.l. Clculo de la posicin del plano imagen.

Por estar el objeto en el infinito, la imagen est en el plano focal imagen F' del sistema, cuya posicin respectode la segunda lente viene dada por la expresin (35) de la pg. VII-11:

H)

2F)

'f

)

2 (e & f)

1)

e & f)

1 % f2

'2,5 (5 & 7,5)

5 & 7,5 % (& 2,5) ' % 1,25 cm

por lo que F' y el plano imagen estn situados a 1,25 cm a la derecha de la lente L2.De este resultado se deduce que el diafragma D2no interviene para nada en el sistema ya que, por estar situado

a la derecha del plano imagen, siendo sta real, no limita los rayos. Por ello en lo que sigue no se tendr en cuenta.

a.2. Clculo de PS y LS.

La lente L1es DC y, en consecuencia, no va a ser DA. Del resto de los elementos (L2y D) ser DA aqul cuyaimagen subtienda menor ngulo desde el punto imagen O' (fig. a). Teniendo en cuenta que tanto L 2como D sonimgenes de s mismospor no tener lentes a su derecha, calculamos los ngulos que subtienden desde O':

tg = rD/CO' = 0,5/0,75 = 0,66 ; tg = rL2/BO' = 2/1,25 = 1,60

y por ser < , es: D1/PS /DA.

La LS es la imagen del DC, es decir, la imagen de L1a travs de L2: L'

1/LS

y por estar L1a doble distancia que F2, la imagen de L1a travs de L2es equidistante y del mismo tamao que L1porlo que la LS est situada a 5 cm a la derecha de L2:

L2L'1= L2(LS) = BE = + 5 cm

Como no se conoce el dimetro de L1no se puede calcular, de momento, el de su imagen, es decir, el de la LS.

a.3. Clculo del dimetro de L1.

Por estar el plano imagen entre PS y LS, la lnea que une el borde de la PS (punto S) con el borde del campo lmite(punto L), define el tamao de la LS en su interseccin con el plano en el que est situada la LS (punto P).

tg 'rLS

& rPS

CE'

r)

L & rPS

CO )

en la que: CE = BE - BC = 5 - 0,5 = 4,5 cm

y CO' = BF' - BC = 1,25 - 0,5 = 0,75 cm


17/40


2 cm

0,5 cm

5 cm2 cm

fig. a

quedando al sustituir:

rLS

& 0,5

4,5 '

1 & 0,50,75

Y rLS

' 3,5 cm ' rL

)

1

y como, segn se ha dicho, L1y su imagen L'1tienen igual tamao, el radio de la lente L1es tambin 3,5 cm.

b. Clculo del campo objeto.

Cuando el objeto est en el infinito, el campo objeto de iluminacin lmite viene dado por el ngulo (fig. b) queforma la lnea que une bordes opuestos de PE y LE con el eje. En consecuencia, es preciso determinar la PE, que es la

anti-imagen del DA, es decir, la anti-imagen del diafragma D, a travs de las dos lentes L2y L1.

Anti-imagen de D a travs de L2:

Posicin: 1/s2= 1/s'

2- 1/f'

2

en la que: s'2= L2D = BC = 0,5 cm y f'

2= + 2,5 cm

quedando al sustituir: s2= + 0,625 cm

Tamao: y2= y'2.s2/s'2 en la que: y'2= rD= 0,5 cm

quedando: y2= 0,625 cm


18/40


fig. b

DAPS

PE

D

Q

D

DCLE LS

L1

FO

L1

L2

Q

fig. c

Anti-imagen de y2a travs de L1:

Posicin: 1/s1= 1/s'1- 1/f'1

en la que: s'1=AB + s2= 5 +O,625 = 5,625 cm y f'1= + 7,5 cm

quedando al sustituir: s1= + 22,50 cm = L1D

' = L1(PE) = AG

Tamao: y1= y'1.s1/s'1 en la que y'1= y2= 0,625 cm

quedando al sustituir: y1= 2,5 cm = rPE= rD

Calculada la PE y con ayuda de la figura, calculamos el campo objeto lmite:

tg 'rL1

% rPE

AG

y sustituyendo:

tg '3,5 % 2,5

22,5 ' 0,27 Y ' 14,93o

quedando el campo total: 2. = 29,86o

Los rayos que incidieran con un ngulo mayor que no alcanzaran elplano imagen.

c. Trazado grfico.

Como la imagen est en el punto focal F', el objeto ha de estar situado sobre el eje en el infinito, por lo que los rayosllegan al sistema paralelos entre s y al eje. Los rayos que inciden sobre la lente L1en direccin a los bordes de la PE,han de emerger de L2en direccin a F' y al borde del mismo lado de la PS (por ser positivo el aumento entre PE y PS),lo que permite trazar la direccin del rayo entre los puntos P y Q de ambas lentes.


19/40


10. En un banco ptico disponemos del siguiente sistema de lentes delgadas: una lente defocal f'1= 3 cm y dimetro 5 cm, separada 10 cm de otra de focal f

'2= -4 cm y dimetro 4 cm

y un diafragma de dimetro 2 cm situado a 2 cm a la derecha de esta ltima. Si el planoobjeto se encuentra a 7 cm a la izquierda de la primera lente, se pide:a) Localizar DA, PE, PS, DC, LE y LS.b) Calcular el campo objeto de iluminacin plena, el de media y el lmite.c) Realizar el trazado grfico a travs de diafragmas y pupilas para localizar la imagen, a

travs de todo el sistema, de un punto situado en el extremo del campo objeto de plena.

a.1. Determinacin del DA, PE y PS.

Calculando la anti-imagen de cada elemento, la que menor ngulo subtienda desde el punto objeto O ser PE.La lente L1es anti-imagen de s mismapor no tener lentes a su izquierda.

Anti-imagen de L2a travs de L1:

Posicin: 1/s = l/s' - 1/f '

en la que: s' = L1L2= AB = + 10 cm y f ' = f'

1= + 3 cm

quedando: s = L1L '

2= AB' = - 4,28 cm

Tamao: y = y'.s/s' en la que: y' = L2= 4 cm

quedando: y = 4.(-4,28)/10 = - 1,71 cm L2 = 1,71 cm rL2 = 1,71 cm

Anti-imagen del diafragma D: hay que calcular en primer lugar la anti-imagen de D a travs de L2 (que llamaremos D*)y luego la anti-imagen de esta anti-imagen D* a travs de L1.

1. Anti-imagen de D a travs de L2:

Posicin: 1/s = 1/s' - 1/f '

en la que: s' = L2D = BC = + 2 cm y f ' = f'

2= - 4 cm

quedando: s = + 1,33 cm = L2D*

Tamao: y = y'.s/s' en la que: y' = D= 2 cm

quedando: y = 2.(1,33)/2 = + 1,33 cm = D*2. Anti-imagen de D* a travs de L1:

Posicin: 1/s = 1/s' - 1/f '

en la que: s' = L1D* = L1L2+ L2D* = 10 + 1,33 cm = 11,33 cm y f ' = f'

1= + 3 cm

quedando: s = - 4,08 cm = L1D

' = AC'

Tamao: y = y'.s/s' en la que: y' = D*= 1,33 cm

quedando: y = 1,33.(- 4,08)/11,33 = + 0,48 cm = D'

rD' = 0,48/2 = 0,24 cm


20/40


fig. b

planoL1

D

'

L2

D'

A B C

B' C'

O

4,08 cm

4,28 cm

7 cm 10 cm2 cm

2,5 cm2 cm

1 cm0,85 cm

0,24 cm

L2

fig. a

Conocidas las posiciones y tamaos de todas las anti-imgenes y con ayuda de la fig.a, calculamos los ngulos

que subtienden desde O (fig. a):

tg

tg

tg

=

=

=

=

=

=

= =

=

0 24

7 4 080 082

4 7

0 85

7 4 280 314

17 45

2 5

70 357

19 65

,

,,

,

,

,,

,

,,

,

resultados de los que por ser < < se deduceque la anti-imagen de D (D

') es la PE, por lo que D

es DA y tambin PS por no tener lentes a suderecha:

D

' /PE ; D /DA /PS


21/40


a.2. Determinacin de DC, LE y LS.

Puesto que D

' es PE, del resto de las anti-imgenes (L1y L

'2), la que menor campo de plena determine con la

PE ser LE. Calculamos el campo de plena determinado por L1, que es OP1, y por L '

2, que es OP2(fig. b):

tg n 'rPE

% OP1

OC)'

rL1

& rPE

C)A

0,24 % OP12,92

'2,5 & 0,24

4,08 Y OP1 ' 1,38 cm

tg 'OP2 & rPE

OC)'

OP2 & rL )27

OB )

OP2 & 0,24

2,92 '

OP2 & 0,855

2,72 Y OP2 ' 9,22 cm

resultado del que se deduce que L1es LE por determinar menor campo de plena (OP1) que L '

2(OP2). Por ser anti-imagende s misma, L1es tambin DC:

L1/DC /LE

La LS es la imagen de L1a travs de L2siendo su posicin:

1/s ' = 1/s + 1/f ' en la que: s = L2L1= BA = - 10 cm y f ' = f'

2= - 4 cm

quedando al sustituir: s '= - 2,86 cm = L2L '1= BA '

y su tamao: y ' = y.s '/s en la que: y = L1= 5 cm

quedando al sustituir: y' = 5.(-2,86)/(-10) = + 1,43 cm = L'1= LS

b. Clculo de los campos objeto.

b.1. Campo de plena: uniendo bordes del mismo lado de PE y LE (fig. c):

tg 'rp

% rPE

OC)

'rp

% rL1

OA

Yrp

% 0,24

2,92

'rp

% 2,5

7

Y rp

' OP ' 1,38 cm

b.2. Campo de media: uniendo un borde de LE con el centro de PE :

tg 'r

m

OC)'

rm

% rL1

OAY

rm

2,92 '

rm

% 2,5

7 Y r

m ' OM ' 1,79 cm

b.3. Campo lmite: uniendo un borde de LE con el opuesto de la PE:

tg 'rL

& rPE

OC)'

rL

% rL1

OAY

rL

& 0,24

2,92 '

rL

% 2,5

7 YrL ' OL ' 2,20 cm


22/40


plano

D

D'

A B C

C'

O

'

LE

DCPSDA

LS

PE

PM

L

A'

plano

O'

P'

fig. c

11. Un sistema est formado por dos lentes convergentes idnticas, de focal f'1= f'2= 5 cm y radio

R y un diafragma colocado entre las dos. Para un objeto situado en el foco objeto del sistema,a 10 cm por delante de la primera lente, calcular:a) la separacin que debe existir entre las lentes y la ubicacin del diafragma para que no

exista vieteado.b) el tamao mnimo del diafragma y de las lentes para que se pueda observar la imagen de

un objeto de 1 cm de altura.c) el campo imagen.

c. Construccin de la imagen del punto P, borde del campo de plena.

El aumento entre PE y PS es negativo mientras que entre LE y LS es positivo. En consecuencia, el rayo queincide en el sistema por los bordes inferiores de PE y LE ha de abandonarlo por el borde superior de PS y el inferiorde LS.

Como segundo rayo se ha utilizado el rayoque, si bien no alcanzar el plano imagen por no pasar por la PE,nos permite localizar la imagen sin el empleo de rayos auxiliares. Este rayo incide sobre el sistema en direccin alcentro de la LE (punto A) por lo que ha de salir en direccin al centro de la LS (punto A'). Las prolongaciones de losrayosyemergentes convergen en el punto imagen P ', siendo OP ' el radio del campo imagen de iluminacin plena.

a. Clculo de la separacin entre lentes y posicin del diafragma.

La imagen final, por estar O en el foco F del sistema, va a estar en el infinito, lo que requiere que la imagenintermedia y '1, que forma la primera lente, est situada en el foco objeto F2de la segunda.

Posicin y tamao de y '1:

Por estar el objeto y situado a doble distancia de la focal objeto de la lente L1, su imagen y '1a travs de esta lenteest situada a doble distancia de la focal imagen, teniendo su mismo tamao, por lo que:


23/40


L1O'

1= 10 cm ; y'

1= 1 cm

y la separacin entre lentes: e = L1O'

1+ O'

1L2= 10 + 5 = 15 cm.

Para que no exista vieteado, la LS ha de estar sobre la imagen final y tener su mismo tamao (ver pg. X-21).Como en este sistema la imagenfinalest en el infinito, all debe estar tambin la LS para lo cual es necesario que elDC est en F2, sobre la imagen intermedia y

'1, teniendo su mismo tamao. En consecuencia, el diafragma de campo D,

est a 10 cm a la derecha de L1y tiene un radio de 1 cm:

D /DC ; L1D = 10 cm ; rD= rDC= 1 cm

DC

'

F/O

15 cm5 cm

10 cm

2,5 cm

R

R/2

fig. a

La LS, como queda dicho, est en el infinito. La LE, anti-imagen del DC a travs de L1, est sobre el objeto (y)teniendo su mismo tamao (fig. b):

rLE= y = 1 cm

b. Clculo del tamao de las lentes.

Para calcular el radio R de las lentes es preciso conocer el DA, la PE y la PS . Puesto que D es DC, del resto delos elementos del sistema (L1y L2), la anti-imagen que menor ngulo subtienda desde O ser PE (fig. a). Como la lenteL1es anti-imagen de s mismapor no existir lentesa su derecha, nicamente se ha de calcular la anti-imagen de L2:

Posicin: 1/s' - 1/s = 1/f '

siendo: s ' = L1L2= + 15 cm y f ' = f'

1= + 5 cm

con lo que al sustituir queda: s = L1L '

2= - 7,5 cm

Tamao: y = y '.s /s ' siendo: y '= rL2= R cm

quedando: y = R.(-7,5) / 15 = - R/2 cm rL'2 = R/2


24/40


Calculamos a continuacin el ngulo subtendido por L1y por L '

2(fig. a):

tg ' R10

; tg ' R/22,5

'R

5

por ser < , la lente L1es PE y tambin DA por ser anti-imagen de s misma.

La PS es la imagen del DA (L1) a travs de L2:

Posicin: 1/s' = 1/f ' + 1/s siendo: s = L2L1= - 15 cm y f ' = f'

2= + 5 cm

con lo que al sustituir queda: s' = L2L'

1= 7,5 cm

Tamao: y' = y.s'/s siendo: y = rL1= R

quedando: y' = R.(7,5) / (- 15) = - R/2 rPS= R/2

LE DC

PSDAPE

fig. b

En la fig. b se ha trazado el rayo principal --


25/40


12. Una cmara fotogrfica tiene un objetivo compuesto por dos lentes de radio R separadas 5cm. En el punto medio entre las dos existe un diafragma iris cuyo radio puede variar entre0 y R/2. La pelcula (de 10 mm de radio) est situada a 1,5 cm de L2 y el sistema ha de

trabajar con AR: 1:1,4 proporcionando una imagen con aumento -3/4. Sabiendo que elobjeto que se quiere fotografiar dista 18,5 cm de la pelcula, calcular: a) las focales de laslentes y la posicin del objeto respecto de L1, b) el tamao del diafragma, c) el tamao mximode objeto que se puede fotografiar, d) el valor de R para que dicho objeto se puedafotografiar a plena iluminacin, e) trazar el haz de rayos que parte del borde del objeto.

fig. 1

En una cmara fotogrfica el diafragma de apertura (DA) es un diafragma iris, cuyo dimetro se puede variar enfuncin de las condiciones ambientales. Por otra parte, los lmites de la pelcula fotogrfica definen el diafragma decampo (DC) por lo que ste y la lucarna de salida (LS) estn sobre la imagen en posicin y tamao, y la lucarna deentrada (LE) est sobre el objeto teniendo tambin su mismo tamao, evitndose as el "vieteado" o "campo decontorno" (ver pg. X-21).

a. Clculo de la focal de cada lente.

Sea O la posicin del objeto, O'1la de la imagen que forma la primera lente y O 2la de la imagen final formada porla segunda lente sobre la pelcula fotogrfica. Segn los datos del enunciado es (fig. 1):

s1= L1O = - 12 cm

s'2= L2O2= + 1,5 cm

Para poder determinar las focales es precisoconocer la posicin s'1de la imagen intermedia O'1.En la figura-1:

L1O'1+ O'1L2= L1L2

s'1- s2 = + 5 . . . . . . . . . . . (1)

Por otra parte, el aumento del sistema seobtiene como producto del aumento de cada lente:

= =

1 21

1

2

2

s

s

s

s

. . . . . (2)=

= s

s

1

212

15 3

4

,

y resolviendo el sistema formado por lasecuaciones (1) y (2) se llega a:

s'1= + 6 cm ; s2= + 1 cm

Conocidos s '1y s2se pueden calcular las focales:

1 1 1 1

6

1

124

1 1 1 1

15

1

1

3

1 1 1

1

2 2 2

2

=

=

= +

=

= =

f s sf cm

f s s

f cm

,resultado del que se deduce que la primera lente es convergente y la segunda divergente.


26/40


b. Clculo del tamao del diafragma.

La apertura relativa es la relacin entre el dimetro de la pupila de entrada (PE) y la focal imagen del sistema (f'):

A Rf

PE. .=

por lo que, para determinar iPE, se hace preciso calcular previamente f ' (ver expresin 30 del tema VII):

=

+=

+= +f

f f

e f fcm1 2

1 2

4 3

5 4 33

.( )

con lo que, al sustituir queda: PE A R f= = =( . ) .,

. ,1

1 43 2 14

y el radio de la P.E.: rPE= PE/ 2 = 1,07 cm

La PE es la anti-imagen del DA (D) a travs de la lente L1 por lo que la posicin y tamao de ambos estnrelacionados por las expresiones:

1/sN- 1/s = 1/f N y N= yN/y = sN/sen las que: sN= L1D = posicin del diafragma D (que es DA) = + 2,5 cm

s = L1(PE) = posicin de la PE

fN= focal imagen de la lente L1= + 4cm

yN= radio del diafragma D (que es DA)

y = radio de la PE = rPE= 1,07 cm

valores que sustituidos en las expresiones anteriores ofrecen los resultados:

s = L1(PE) = + 6,66 cm ; yN= rDA= rD= 0,40 cm

de los que se deduce que la PE est situada a 6,66 cm a la derecha de la lente L1o, lo que es lo mismo, a 0,16 cm a laderecha del plano imagen (ver fig.3).

c. Clculo del tamao mximo de objeto que se puede fotografiar.

En cualquier sistema el tamao del objeto y de la imagen estn relacionados mediante el aumento:

N= yN/y = - 3/4

y como el tamao de la imagen yNque se puede fotografiar viene condicionado por el tamao de la pelcula fotogrficaque, segn el enunciado, es de 10 mm de radio, el tamao del objeto es:

y = - 4.(10)/3 = - 13,3 mm = - 1,33 cm

siendo el tamao total de objeto que se puede fotografiar:

2y = 2,66 cm.d. Clculo del radio r de las lentes.

El rayo de luz que incide sobre el sistema en direccin PE-LE (fig. 2) delimita, en su interseccin con el plano objeto(punto P), el campo objeto de iluminacin plena. Al propio tiempo, este rayo est definiendo directamente el tamao

mnimo (r1) que ha de tener la lente L1e indirectamente el de la lente L2ya que en su interseccin con el plano quecontiene a su anti-imagen L

w

'2(punto A) define el tamao (r2) de sta.


27/40


fig. 2

De la fig. 2 se deduce:

tg ' 1,33 & 1,0718,66

'r1 & 1,07

6,66 '

r2)

& 1,07

26,66

r1 ' 1,16 cm ; r2) ' 1,44 cm

Teniendo en cuenta que la posicin de la anti-magen Lw

'2(cuyo clculo omitimos) es:

L L cm1 2 20s

=

el tamao (r2) de la lente L2viene dado por la expresin del aumento:

= r2/r2= 5/(-20) Y *r2*= 0,36 cm

y como, segn el enunciado, los radios de ambas lentes han de ser iguales, el tamao mnimo que pueden tener ha deser el de la mayor, es decir, el de la lente L

1

, por lo que:

R = 1,16 cme. Trazado grfico.

Para poder realizar el trazado grfico es preciso conocer la posicin y tamao de la pupila de salida (PS). Teniendoen cuenta que DA es el objeto y PS su imagen a travs de la lente L2:

1/s' - 1/s = 1/f'

siendo: s = L2D = - 2,5 cm y f'= f '2= -3 cm

con lo que: s'= L2D = L2(PS) = -1,36 cm

resultado del que se deduce que la PS est situada a 1,36 cm a la izquierda de la lente L 2.


28/40


'

DA

PS

PE

DC

LSLE

Planoobjeto

Planoimagen

D

D'

D'y

y'

L1L2

F1 F2

fig. 3

El tamao de la PS se calcula a partir del aumento entre DA y PS:

'= y'/y = s'/s

siendo: y = r DA= 0,4 cm ; s = - 2,5 cm ; s'= -1,36 cm

quedando al sustituir: y' = rPS= (0,4).(-1,36)/(-2,5) = 0,22 cm

El aumento del sistema, segn el enunciado, es negativo. Como la LE est situada sobre el objeto y la LS sobre laimagen, los rayos que incidan en el sistema por un borde de la LE lo abandonan por el borde opuestode la LS.

El aumento entre PE y DA es positivo, por lo que los rayos que incidan en el sistema en direccin a un borde dela PE van a pasar por el borde del mismo ladodel DA.

El aumento entre DA y PS es positivo, por lo que los rayos que pasen por un borde del DA van a abandonar elsistema en direccin al borde del mismo ladode la PS.

Comentario al trazado de rayos realizado:

El rayo -


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13. Dado un sistema ptico formado por una lente convergente de radio R y focal f' y undiafragma de radio R/2 situado en el plano focal imagen de la lente, razonar para quposiciones del objeto, L es el DA y para qu posiciones D es el DA.

2f

2f

2f

2f

2f

Consideremos un punto objeto O en distintas posiciones cada vez ms alejadas de una lente convergente. Sea P unpunto situado a doble distancia de la focal objeto. Su imagen P' est situada a doble distancia de la focal imagen (verproblema n 18 del tema III).

a. Si el objeto O est entre el foco F y la lente L (fig. a), losrayos que incidan por el borde de la lente emergendivergentes dando lugar a una imagen virtual O', no pudiendosalvar el obstculo que representa el diafragma D, por lo queste es DA.

b. Si el objeto est situado en F (fig. b), los rayos emergenparalelos al eje y tampoco pueden pasar por el diafragma Dpor lo que tambin D es DA.

c. Si el objeto est entre F y P (fig. c), la imagen, como puede

demostrarse fcilmente, est a mayor distancia que P' y losrayos que inciden por el borde de la lente no pueden pasarpor D, por lo que ste sigue siendo DA.

d. Si el objeto est a la distancia s = 2f (figura d), la imagenest a una distancia s' = 2f', siendo en valor absoluto 2f =2f'. Por ser el radio de la lente doble del radio del diafragma,los rayos que incidan por el borde de L van a pasar tambinpor el borde de D y puesto que ambos producen la mismalimitacin de rayos, la funcin de DA la cumplen ambos: sedice entonces que haypupila espacial.

e. Por ltimo, si el objeto est situado entre el punto P y elinfinito (fig. e), la imagen est situada entre F' y P' y, eneste caso, habra rayos (como los rayos -


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14. Un sistema ptico est formado por dos lentes de igual focal, 10 cm, y dimetros 5 cm y 2,5cm respectivamente. La separacin entre ambas es igual a su distancia focal y el objeto estcolocado en el foco objeto de la primera lente. Calcular las posiciones y tamaos de las

pupilas y lucarnas y los campos objeto e imagen. Trazar grficamente el haz que sale delpunto objeto situado en el borde del campo de iluminacin plena, media y lmite.

O O

10 cm 10 cm 10 cm

DAPS

DCLE

2,5 cm

1,25 cm

'

L1

L2

F1 F1F2 F2'

fig. 1

a. PUPILAS Y LUCARNAS.

En la figura 1 se observa que, por estar el plano objeto en F1, todos los rayos que parten del punto objeto O emergende la lente L1paralelos al eje deforma que nicamente los rayos -


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2. Clculo de los campos de iluminacin plena.

El rayo -


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15. Un sistema afocal compuesto por dos lentes del mismo tamao (radio R) y potencias +5dt y -10 dt, tiene un diafragma de radio R/4 situado a 5 cm detrs de L2. Para un objeto

en el infinito, calcular los campos objeto e imagen en funcin de R, y el aumento delsistema. Al colocar una pantalla en el foco objeto de L2, se observa una zona deiluminacin mxima de 1 cm de radio, cul es el valor de R?. Trazar el haz de rayos quedetermina el campo medio.

10 cm 5 cm 5 cm

R

R/4

D

L1L2

F2

'F1

fig. 1

PLANTEAMIENTO.

Para que un sistema formado por dos lentes seaafocalel foco imagen F'1de la primera ha de coincidir conel foco objeto F2de la segunda (fig.1). En un sistemaafocal los focos F y F'estn en el infinito y por ello la

imagen de un objeto situado en el infinito va a estartambin en el infinito. En consecuencia los campos objetoe imagen a determinar son angulares. Para su clculo espreciso determinar los diafragmas, pupilas y lucarnas delsistema.

Las focales de las lentes son:

f '1= 1/P1= 1/5 = 0,2 m = + 20 cm

f '2= 1/P2= 1/-10 = -0,1 m = -10 cm

a. DIAFRAGMA DE APERTURA Y PUPILAS.

Por estar la imagen en el infinito, la PS es la imagen del elemento del sistema (montura de lente o diafragma) mspequea. Tanto D como L2son imgenes de s mismas al no existir lentes a su derecha por lo que nicamente es precisoel clculo de la imagen de L1a travs de L2:

Posicin: 1/s'= 1/f '2+ 1/s = 1/(-10) + 1/(-10) = -2/10 ; s'= - 5 cm = L2L'1

Tamao: y'= y.s'/s = R.(-5)/(-10) = R/2 = r L'1

Puesto que el tamao de L1es R, el de D es R/4 y el de L'1es R/2, el diafragma D va a serpupila de salida (PS) por

ser el menor y tambin diafragma de apertura(DA) por ser imagen de s mismo al no existir lentes a su derecha.La pupila de entrada (PE) es la anti-imagen de D a travs de las dos lentes:

1: anti-imagen de D a travs de L2:

Posicin: 1/s = 1/s'- 1/f '2= 1/5 - 1/(-10) = 3/10 ; s = +3,33 cm

Tamao: y = y'.s/s'= (R/4).3,33/5 = R/6

2: anti-imagen a travs de L1:

Posicin: 1/s = 1/s'- 1/f '1= 1/(10+3,33) - 1/20 = 0,025 ; s = + 40 cm = L1(PE)

Tamao: y = y'.s/s'= (R/6).40/13,33 = R/2 = r PE


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LS PS

R/2

A B

R/4

10 cm

M

fig. 2

b. DIAFRAGMA DE CAMPO Y LUCARNAS.

Puesto que D es DA, una de las dos lentes ha de ser DC y lo ser aquella cuya imagen determine, junto con la PS,menor campo angular de iluminacin plena. La lente L

2es "imagen de s misma", mientras que L'

1,ya calculada, es la

imagen de L1a travs de L2. Al ser el radio de L'1menor (R/2) que el de L2(R) y teniendo en cuenta su posicin, no espreciso realizar ningn clculo para concluir que L'1va a subtender menor ngulo que L2desde un borde del mismo ladode la PS (fig. 3) determinando un campo angular de plena menor que el determinado por L2por lo que L'1es lucarnade salida (LS) y L1es diafragma de campo(DC).

c. CALCULO DE LOS CAMPOS.

c.1. Campos imagen.

Campo angular imagen de iluminacin plena. Es el ngulo 'p que forma con el eje la lnea que une bordes del mismolado de la PS y LS (fig. 2):

tg r r

B

R R RP

LS PS =

=

= 2 4

10 40Campo angular imagen de iluminacin media. Es el ngulo 'm que forma con el eje la lnea que une un borde de laLS con el centro de la PS (fig. 2):

tg rB

R R RM

LS = = = = 210 20

240

Campo angular imagen de iluminacin lmite. Es el ngulo ('L) que forma con el eje la linea que une bordes opuestosde LS y PS:

tg r r

AB

R R RL

LS PS = +

= +

= 2 4

10

3

40c.2. Campos objeto.

Los campos angulares objeto e imagen estn relacionados con el aumento angular mediante la expresin:

= = =

tg

tg

tg

tg

tg

tg

P

P

M

M

L

L


34/40


PD

'

DCLE

DAPS

LSPE

A

C

B

C'

L1L1L2

F2F2

P

M

L

D

fig. 3

por lo que, conocidos los campos imagen, se pueden calcular los campos objeto si se conoce el aumento angular.

Para ello tomaremos, de la expresin anterior, la igualdad:

=

tgtg

M

M

y calcularemos el campo angular objeto de media mpara, una vez conocido, calcular el aumento angular '.

De la figura 3 se deduce que: tg r

F C

R RM

LE =

= =2 40

2

80

con lo que el aumento queda: = = 2 40

402

R

R

y los campos de plena y lmite:

tg tg R R

tg tg R R

PP

LL

=

= =

=

= =

40

2 80

3 40

2

3

80

d. CLCULO DEL RADIO DE LA ZONA DE ILUMINACIN MXIMA.

La zona de mxima iluminacin que se observa al colocar una pantalla en F2es debida a los rayos que procedende los puntos del objeto situados en el campo de iluminacin plena, zona que queda delimitada por la interseccin delrayo -


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16. A 5 cm de una lente de -10 dt y 5 cm de radio, existe un diafragma de 5 cm de dimetro.Para un objeto virtual situado a 2f, calcular:a) posicin y tamao de pupilas y lucarnas.

b) Tamao de los campos de iluminacin objeto e imagen.c) Trazar el haz de rayos que parte del borde del campo de iluminacin media.Explicar el trazado.

fig. 1

a. Clculo de la posicin de la imagen.

Por ser la distancia objeto doble de la focal objeto (s = 2f), la distancia imagen va a ser tambin doble de la focalimagen f':

1 1 1 1 1

2

1 1

2

1

22

=

+ =

+ =

+

=

=

s f s f f f f fs f

b. Clculo del aumento. =

=

=

=

s

s

f

f

f

f

2

2

2

21

y como consecuencia los campos imagen van a ser iguales a los campos objeto.

c.Determinacin de la P.E., del D.A. y de la P.S.

Desde el punto imagen O' (fig. 1) la imagen de loselementos del sistema (lente L o diafragma D) que menorngulo subtiende es la PS. En este sistema, tanto L como D son"imgenes de s mismas" por no existir ms que una lente. Alser D menor que L y por estar D situado a mayor distancia de

O', no es preciso realizar ningn clculo para concluir que eldiafragma D subtiende menor ngulo que la lente L desde O'por lo que D es PS y tambin DA. Su anti-imagen D

7' es la PE

cuya posicin y tamao calculamos:

Posicin: 1/s = 1/s' - 1/f'

en la que: s'= LD = + 5 cm

f ' = 1/P = 1 / (-10) = - 0,1 m = - 10 cm

y al sustituir queda: s = LD7

' = + 3,33 cm

por lo que la PE est situada a 3,33 cm a la derecha de la lente.

Tamao: y'/y = s'/s

en la que: y' = D= dimetro del diafragma D = 5 cm

y: s'= L(PS) = + 5 cm ; s = L(PE) = 3,33 cm

quedando al sustituir: y = PE= 3,33 cm rPE= 3,33 / 2 = 1,66 cm

d.Determinacin del D.C., la L.E. y la L.S.

Por ser D diafragma de apertura, la lente L ha de ser diafragma de campo DC y tambin LE y LS al no existir otraslentes en el sistema.


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fig. 2

e. Clculo de los campos objeto.

e.1. Campo objeto de iluminacin plena.

El radio del campo de plena (rP) queda definido por el punto P en el que se produce la interseccin con el plano

objeto de la lnea que une bordes del mismo lado de LE y PE (fig. 2).

En el tringulo AGP:

tg AG

GP

f

GO OP

tgOP

= =+

==+

2

20

5

En el tringulo AEB:

tg AB

BE r r

tg

LE PE

= =

==

=

3 33

3 33

5 1 661

,

,

,

y al igualar ambos valores de tg queda:

OP = 15 cm = rP

e.2. Campo objeto de iluminacin media.

El radio de este campo (rm) queda definido por la interseccin con el plano objeto de la lnea que une un borde deLE con el centro de PE.

En el tringulo AMG:

tg AG

GM GO OM OM = =

+=

+

20 20

5

En el tringulo CMO:

tg CO

OM OM OM

= =

=20 3 33 16 66, ,

y al igualar ambas expresiones de tg queda: OM = 25 cm = rm

e.3. Campo objeto de iluminacin lmite.

Su radio (rL) queda definido por el punto L en el que se produce la interseccin con el plano objeto de la lnea queune bordes opuestos de LE y PE.

En el tringulo ALG:

tg AG

GL GO OL OL = =

+=

+

20 20

5


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fig. 3

En el tringulo AHB:

tg AB

BH r rLE PE = =

+=

+=

3 33 3 33

5 1 660 5

, ,

,,

y al igualar ambas expresiones de tg queda: OL = 35 cm = rL

f. Campos imagen.

Segn se ha dicho en el punto b), los campos imagen son iguales a los campos objeto por ser el valor absoluto delaumento la unidad, por lo que:

r'P= 15 cm ; r'm= 25 cm ; r'L= 35 cm

g. Trazado para un punto situado en el borde del campo de media.

Por tratarse de un objeto virtual los rayos no parten de l sino que inciden sobre el sistema en direccin hacia l.En la fig. 3 el punto O1es el borde del campo objeto de iluminacin media por ser la interseccin con el plano objetode la lnea que une un borde de LE con el centro C de la PE. El rayo -


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17. Detrs de una lente de focal 20 cm y dimetro 10 cm, estn situados dos diafragmas, el primero de2 cm de dimetro a 30 cm y el segundo de 3 cm de dimetro a 60 cm. Para un objeto situado a 40cm delante de la lente, calcular:a) las posiciones y tamaos de D.A., P.E. y P.S.b) las posiciones y tamaos de D.C., L.E. y L.S.c) los campos de iluminacin plena, media y lmite objeto e imagen.

Por estar el objeto O a una distancia s = 2.f de la lente, la imagen O' es equidistante (s'= 2f') y tiene su mismotamao ('= -1). En consecuencia el diafragma D2no limita los rayos que proceden de O, no interviniendo para nadaen este sistema.

a) P.S., D.A. y P.E: calculando los ngulos gy subtendidos por D1y por la lente:

tg g= 1/10 = 0,1 ; tg = 5/40 = 0,13

y por ser g< , D1es PS y DA. La PE es la anti-imagen de D1que pasamos a calcular:

1/s = 1/s'- 1/f' = 1/30 - 1/20s = -60 cm = LP

y el radio de la PE es: y'/y = s'/sen la que y' = rDA= 1 cm, por lo que:

y = 1.(-60)/30 = -2 cm = rPE

b) D.C., L.E. y L.S.: por ser D1el DA del sistema,la lente ha de ser DC y tambin LE y LS por noexistir ms lentes.

c) Clculo de los campos objeto: por estar el planoobjeto situado entre PE y LE, la lnea que unebordes opuestos de LE y PE define, en suinterseccin con el plano objeto, el radio del campode plena (rP), mientras que la que une bordes delmismo lado define el campo lmite (rL). Llamando Ral radio de la lente:

c.1) Campo objeto de iluminacin plena.

tg R r

PL

r r

PO

rr cmPE P PE P P =

+=

+ +=

+=; ; ,

5 2

60

2

200 33

c.2) Campo objeto de iluminacin media:

tg r

PO

R

PL

rr cmM M M = = = =; ; ,

20

5

601 67

c.3) Campo objeto de iluminacin lmite.

tg R r

PL

r r

PO

rr cmPE L PE L L =

=

=

=; ;

5 2

60

2

203

d) Clculo de los campos imagen: por tener el aumento valor unidad, los campos objeto e imagen son iguales:

r'P= 0,33 cm ; r'M= 1,67 cm ; r'L= 3 cm


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9. LISTADO DE PROBLEMAS.

1. Dos lentes delgadas de focales + 8 cm y + 6 cm respectivamente y dimetros de 5 cm, estn separadas una distanciade 4 cm. Equidistante entre ambas lentes hay un diafragma de 2,5 cm de dimetro y delante de la primera lente ycon su centro a 10 cm de ella se ha colocado un objeto de 4 cm de altura sobre el eje ptico. Hallar: a) la posiciny tamao de la PE, b) de la PS, c) posicin y tamao de la imagen dada por el sistema.

SOLUCIN DA PE PS Imagen

Elemento D D7

' D'

Posicin L1D = + 2 cm L1D7'= +2,66 cm L2D'= - 3 cm L2O'= + 5,14 cm

Tamao (i) 2,5 cm 3,33 cm 3,75 cm y'= - 2,28 cm

2. Un sistema est formado por dos lentes delgadas convergentes L1y L2 separadas 5 cm. Sus dimetros son 6 cm y4 cm respectivamente y sus distancias focales f1= 9 cm y f2= 3 cm. Si se coloca un diafragma de 1 cm de dimetroentre ellas a 2 cm de L2, hallar: a) DA, b) las ubicaciones y tamaos de PE y PS, c) DC, LE y LS. Todo ello paraun punto objeto situado en el eje, a 12 cm a la izquierda de L1.

SOLUCIN DA PE PS DC LE LS

Elemento D D7

D L2 L7

2 L2

Posicin L1D =+3 cm

L1D7

=+4,5 cm

L2D=- 6 cm

L1L2=+ 5 cm

L1L7

2=+11,25 cm

L1L2=+ 5 cm

Tamao (i) 1 cm 1,5 cm 3 cm 4 cm 9 cm 4 cm

3. Un sistema est formado por una lente delgada divergente de focal f= - 10 cm y dimetro til 10 cm. Detrs de lalente en el sentido de la luz incidente hay un diafragma a 5 cm y de 5 cm de dimetro. Si el sistema opera con objeto

virtual situado a 10 cm de la lente, hallar la PE, la LE y el campo objeto lmite.

SOLUCIN DA PE PS DC LE LS CAMPO LMITE

Elemento D D7

D L L L

Posicin LD7

= + 3,33 cm

Tamao (i) 3,33 cm 29,90 cm


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4. Una lente delgada, de dimetro til 10 cm y de focal f= - 10 cm, tiene a 10 cm delante de ella un diafragma de 10cm de dimetro. Si el sistema as formado opera con objeto virtual situado a 10 cm por detrs de la lente, calcular:diafragma de apertura, pupila de entrada, pupila de salida, diafragma de campo, lucarna de entrada y lucarna desalida, as como los campos objeto de iluminacin media y lmite. Localizar la imagen realizando una marcha de

rayos.

SOLUCIN DA PE PS DC LE LS r M rL

Elemento D D D L L L

Posicin LD= - 5 cm

Tamao (i) 5 cm 10 cm 15 cm

5. Sea un sistema constitudo por dos lentes de igual tamao (i= 10 cm) y focal f= -10 cm, separadas entre s 20 cm.A 5 cm a la derecha de la primera lente (L1) hay un diafragma (D1) de 3 cm de dimetro y a 4 cm a la izquierda dela segunda lente hay otro diafragma (D2) de 5 cm de dimetro. En el punto medio entre las dos lentes se encuentraun objeto virtual. Hallar para iluminacin media DC, DA, PE, PS, LE, LS, as como el campo objeto de iluminacinmedia.

SOLUCIN DA PE PS DC LE LS r M

Elemento D1 D7

1 D1 D2 D7

2 D2

Posicin

(cm)

L1D1=

+ 5

L1D7

1=

+3,33

L2D1=

- 6

L2D2=

- 4

L1D7

2=

+ 6,15

L2D2=

-2,86

Tamao(icm)

3 2 1,2 5 1,92 3,57 2,27

6. Un ojo emtrope en reposo (desacomodado) de 4 mm de pupila est colocado a 20 mm de una lente de dimetro15 mm y f = 30 mm. Un objeto anterior a la lente se va acercando hasta que se ve claramente. Cul ser el tamaototal del objeto que puede verse y cul el tamao que se ver sin disminucin de iluminacin?.

SOLUCIN: a) 14,25 mm = radio del campo objeto lmite.b) 8,25 mm = radio del campo objeto de iluminacin plena.

tema 10 problemas

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