Espacio Muestral Es el conjunto de todos los posibles resultados

de interés de un experimento dado, y se le denota normalmente mediante la letra S.

Ejemplos:1.- Experimento: Se lanza una moneda.Espacio muestral = total de formas en como

puede caer la moneda, o sea dos formas de interés, que caiga sol o que caiga águila. (Si cae de canto no es de interés y se repite el lanzamiento).

S = s, a

2.- Experimento: Se lanza un dado.Espacio muestral = total de caras en que puede

caer el dado, o sea seis formas de interés:S = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Los eventos aleatorios se denotan normalmente con las letras mayúsculas A, B, C, ...

Son subconjuntos de S, esto es, A, B, C,… ⊂ S

Los eventos aleatorios son conjuntos que pueden contener un solo elemento, una infinidad de elementos, y también no contener ningún elemento.

Al número de puntos muestrales de S se le representa por N(S)

Eventos aleatorios que aparecen con gran frecuencia en el cálculo de probabilidades:

Evento seguro.- Siempre se verifica después del experimento aleatorio, son los mismos del espacio muestral.

E = S y N(E) = N(S)

Evento Imposible.- Es aquel que nunca se verifica como resultado del experimento aleatorio. No tiene elementos de interés para su fenómeno. Es un subconjunto de S, y la única posibilidad es que el evento imposible sea el conjunto vacío.

Φ ⊂ S, y N(Φ) = 0

Evento Elemental.- Es el evento E que contiene exactamente un punto muestral de S, esto es, N(E) = 1.

Cada elemento del espacio muestral, es un evento elemental. También se le denomina como punto muestral.

Si s1, s2 ∈ S entonces s1, s2 son

eventos elementales.

Ejemplos (1) y (2): En el experimento 1, S = s, a , s y a son sucesos elementalesN(S) = 2

A = Que caiga sol = s , N(A) = 1B = Que caiga águila = a , N(B) = 1

En el experimento 2, S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 1, 2, 3, 4, 5 y 6 son

sucesos elementales, y N(S) =6A = Que caiga un uno = 1 B = Que caiga un dos = 2 : : :F = Que caiga un seis = 6

Evento Compuesto.- Es el evento E que contiene más de un punto muestral de S, por tanto

N(E) > 1Evento contrario a un evento A: También se

denomina evento complementario de A y es el evento que se verifica si, como resultado del experimento aleatorio, no se verifica A.

Ya que los eventos son conjuntos, este evento se denota con el símbolo Ac o bien Ā, y se define como:

Ejemplo: Experimento: Se lanza una moneda tres veces.Espacio Muestral: Ω = (S,S,S), (S,S,A), (S,A,S), (A,S,S), (A,A,S), (A,S,A),

(S,A,A), (A,A,A) , N(Ω) = 8, S es el evento seguro.

Evento simple: B:Que salgan tres soles; B = (S,S,S) , N(B) = 1

Evento compuesto: E: Que salgan al menos dos soles;E = (S,S,S), (S,S,A), (S,A,S), (A,S,S) , N(E) = 4

Evento imposible: φ (conjunto vacio). N(φ) = 0

Si un espacio muestral contiene n puntos muestrales, hay un total de 2n subconjuntos o eventos ( se le conoce como conjunto potencia ).

Por tanto para el ejemplo anterior existen: 28 = 256, eventos posibles.

Para el caso del experimento: se tira una moneda, el espacio muestral es de 2 puntos muestrales S = A, S, por lo que se tienen 22 = 4 subconjuntos

y el conjunto potencia es: (A,S), (A), (S), φ (conjunto vacio).

Operaciones Básicas con Eventos Aleatorios

Ya que los eventos aleatorios son subconjuntos del conjunto Ω, espacio muestral, se pueden aplicar las conocidas operaciones con conjuntos, a los eventos, como son la unión, la intersección y la diferencia de eventos.

OPERACIÓN EXPRESION DESCRIPCION

UNION A ∪ B Unión de eventos originales: es el evento que sucede si y solo si A sucede o B sucede o ambos

suceden INTERSECCION A ∩ B Intersección de los eventos

originales, es el evento que sucede si y sólo si A y B suceden simultáneamente.

DIFERENCIA A - B La diferencia de los eventos originales A y B, es el evento que sucede solo en A pero no en B.

Gráficamente estas operaciones se pueden representar a través de los diagramas de Venn.

Sea Ω el espacio muestral y A y B eventos tal que A, B ⊂ Ω gráficamente se puede expresar como:

S

A B

Fig. 1 Los eventos A y B no tienen elementos del espacio muestral en común.

S

A B

Fig 2. Los eventos A y B tienen elementos del espacio muestral en común.

De acuerdo a lo indicado en las figuras 1 y 2, la unión de dos eventos se presenta de dos formas diferentes: cuando los eventos son mutuamente excluyentes (que no tienen elementos en común) y cuando entre los eventos hay elementos comunes.

Definición.- Se dice que dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, cuando no pueden ocurrir simultáneamente, es decir, A ∩ B = ∅, lo que ocurre en la fig. 1.

Ejemplo:Experimento: Se lanza un dado.Espacio muestral = total de caras en que puede caer el

dado, o sea seis formas de interés:S = 1,2,3,4,5,6 , N(S) = 6Sean A, B, C los eventos:A: Que caiga un número impar = 1, 3, 5 , N(A) = 3B: Que caiga un número mayor de 2 y menor que 5 = 3,

4 , N(B) = 2C: Que caiga un número par = 2, 4, 6 , N(C) = 3

A ∪B = 1, 3, 5 ∪ 3, 4 = 1,3,4,5, N(A ∪B) = 4 A ∪ C = 1, 3, 5 ∪ 2,4,6 = 1,2,3,4,5,6=S, N(A ∪C) = N(S) = 6B ∪ C = 3, 4 ∪ 2, 4, 6 = 2,3,4,6, N(B ∪ C) = 4 A ∪B ∪ C = 1, 3, 5 ∪ 3, 4 ∪ 2,4,6 = 1,2,3,4,5,6=S, N(A ∪B ∪ C) = 6

S

AB

C

1

5

34

26

A – B = = 1, 3, 5 - 3, 4 = 1, 5 , N(A – B) = 2 A – C = 1, 3, 5 - 2,4,6 = 1,3,5 = A, N( A – C) = N(A) = 3 B – C = 3, 4 - 2,4,6 = 3 , N(B-C) = 1

S

AB

C

1

5

34

26

Ac = 2, 4, 6 = C N(Ac ) = N( C )= 3Bc = 1, 2, 5, 6 N(Bc ) = 4Cc = 1, 3, 5 = A N(Cc ) = N(A) = 3

S

AB

C

1

5

34

26