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Unidad II. ProbabilidadIntroducción

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Objetivo General

En ocasiones cuando se habla de probabilidad o posibilidad de que un evento ocurra, se pierde la credibilidad acerca del evento en cuestión, pero

¿es posible tener siempre la certeza total en todo proyecto o actividad ¿es posible tener siempre la certeza total en todo proyecto o actividad que se desea realizar?,que se desea realizar?, es muy difícil tenerla, debido a que el llevar a efecto un proyecto cualquiera por más simple que este sea, éste está sujeto a una gran diversidad de factores que afectan su ocurrencia, ¿entonces que es lo más aconsejable para predecir su ¿entonces que es lo más aconsejable para predecir su ocurrencia?,ocurrencia?, la probabilidad es la que nos ayuda en estos casos, ya que basándose en estadísticas, podemos cuantificar la posibilidad de ocurrencia de los eventos y por consiguiente tomar una buena decisión basados en esta información.


Definiciones de ProbabilidadLa probabilidad se encarga de

evaluar todas aquellas actividades en donde se tiene incertidumbre acerca de los resultados que se pueden esperar, esto quiere decir que la probabilidad está presente en casi en todas las actividades que se pretenda realizar, ejemplos:

-Cualquier proyecto de Ingeniería o de otras áreas

-Competencias deportivas

-Juegos de azar, etc.

La Teoría de la Probabilidad constituye la base o fundamento de la Estadística, ya que las ingerencias que hagamos sobre la población o poblaciones en estudio se moverán dentro de unos márgenes de error controlado, el cual será medido en términos de probabilidad.


Definiciones de Probabilidad

p Pr E hn

Supongamos que un suceso E tiene h posibilidades de ocurrir entre un totoal de n posibilidades, cada una de las cuales tiene la misma oportunidad de ocurrir que las demás. Entonces, la probabilidad de que ocuarra E (o sea éxito) se denota por:

Definición Clásica

La probabilidad de que no ocurra E (o sea, un fracaso) se denota por:

q Pr no E n hn

1 hn

1 p 1 Pr E


Cálculo de Probabilidades Espacio Muestral (Conjunto Universal)

El espacio muestral de un experimento es el conjunto de todos los posibles resultados distintos del experimento.

Ejemplos:1. Se lanza al aire un dado normal (perfectamente equilibrado), enumere los posibles resultados de este experimento.

Ω= 1, 2, 3, 4, 5, 6 2. Se lanza al aire dos veces una moneda normal, defina su espacio muestral.

Ω = AA, AS, SA, SS


Cálculo de Probabilidad Evento A.

El evento A es un subconjunto del espacio muestral.

Observese que los resultados de cada uno de estos experimentos son fenómenos aleatorios. Es por eso que un resultado de cualquier experimento con frecuencias se denomina Evento Aleatorio. Los Eventos aleatorios se clasifican como simples y compuestos.

Evento Simple

Es el resultado de un solo ensayo en cualquier experimento particular.

Evento Compuesto

Es un subconjunto del espacio muestral, que contiene dos o más eventos aleatorios simples.


Tipos de Eventos Como se observa los experimentos y eventos probabilísticos se pueden expresar con la notación de conjuntos y a continuación se enumeran algunas operaciones que es posible realizar con los eventos.

Evento mutuamente excluyentes o disjuntos.

Aquellos que no pueden ocurrir al mismo tiempo.

Dos eventos son mutuamente excluyentes si y solo sí, la intersección de los dos conjuntos es el conjunto vacio.

$500.00

$50.00$100.00

Ejemplo: Una caja contiene 6 billetes de $500.00, 3 de $50.00 y 1 de $100.00. Determine la probabilidad de que, al extraer al azar uno de éstos, éste sea de $100.00


Tipos de Eventos

Eventos Independientes

Éstos no se ven afectados por otros, por ejemplo, el color de mis zapatos y la probabilidad de que llueva hoy en la tarde.

Ejemplo: Una caja contiene 6 billetes de $500.00, 3 de $50.00 y 1 de $100.00. Determine la probabilidad de que, al extraer al azar uno de éstos, éste sea de $100.00


Tipos de Eventos Eventos Dependientes

Cuando un evento afecta la probabilidad de que suceda otro; por ejemplo, si un trabajo se hace descuidadamente, es más probable que resulte mal.

Ejemplo: Una caja contiene 6 billetes de $500.00, 3 de $50.00 y 1 de $100.00. Determine la probabilidad de que, al extraer al azar dos de éstos, ambos sean de $500.00

Eventos No Excluyentes entre si

Cuando la ocurrencia de uno de ellos no impide que suceda también otro, por ejemplo, que una persona sea doctor y que tenga más de 35 años.

Ejemplo: De un grupo de 45 estudiantes Universitarios, 28 estudian inglés y 16 estudian francés, ademas de que 12 no estudian idiomas. Determine la probabilidad de que al entrevistar al azar a un alumno del grupo, éste estudie inglés y francés.


Ejercicio:En un salón de clase hay 15 alumnos, 7 de los cuáles son de tercer semestre,

5 son de cuarto semestre y 3 son de quinto semestre de la carrera de Ingeniería Química, de los cuales 4, 2 y 1 respectivamente dominan el Inglés, si se selecciona un alumno al azar de este grupo,

a. ¿cuál es la probabilidad de que el alumno seleccionado sea de quinto semestre?,

b. ¿cuál es la probabilidad de que sea de tercero o cuarto semestre?, c. ¿cuál es la probabilidad de que el alumno seleccionado sea de tercer

semestre y domine el inglés?, d. ¿cuál es la probabilidad de que el alumno seleccionado no domine el

inglés?, e. Diga si los eventos T y Q son mutuamente excluyentes, diga si los eventos

Q e I son mutuamente excluyentes?

T = evento de que un alumno sea de tercer semestreCu = evento de que un alumno sea de cuarto semestreQ = evento de que un alumno sea de quinto semestreI = evento de que un alumno domine el inglés


Conclusiones Suma y multiplicación de

probabilidades.

En el caso de eventos no excluyentes entres sí, debe considerarse que la probabilidad de que ocurran ambos eventos está incluida en ellos, por lo que debe restarse esa probabilidad de la suma directa, esto se conoce como Regla general de la suma de probabilidades

BA

P A B P A P B P A B


Conclusiones Suma y multiplicación de

probabilidades

Si los eventos son dependientes, deben considerarse las probabilidades de que ocurra un segundo evento, ya ocurrió un primero, esto se conoce como Regla de la multiplicación de probabilidades.

P(A|B) indica la probabilidad de que ocurra el evento A, si ya se sabe que ocurrió el evento B.

P A B P A P B A

P B A P B P A B


Suma y Multiplicación de ProbabilidadesRegla general de la suma de

probabilidades

Para eventos mutuamente excluyentes:

Para eventos no excluyentes entre sí:

Para eventos complementarios:

P B A P B P AP A B P A P B

P B A P B P A BP A B P A P B A

Regla General de la Multiplicación de Probabilidades.

Para eventos independientes:

Para eventos dependientes:P A B P A P B P A B

P A B P A P B

P A ' 1 P A


Principios fundamentales de la Probabilidad

P A 0

Kolmogorov dió una definición axiomática de probabilidad. Es decir, a introducir rigor matemático en el concepto de probabilidad, de forma que se pudiera desarrollar una teoría sólida sobre el concepto definido.

Así, llamaremos probabilidad a una aplicación

tal que :

Axioma 1: Para todo suceso A de A sea:

Axioma 2: Sea P(Ω) = 1

P : A 0, 1

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