probabilidad

Probabilidad

Álvaro José Flórez

1Escuela de Ingeniería Estadística

Facultad de Ingenierías

Febrero - Junio 2014

1 ¾Qué es la probabilidad?

2 De�nición de probabilidad

3 Conceptos de probabilidad

4 Reglas de probabilidad

5 Probabilidad Condicional

¾Cuál es la probabilidad de...

... que se obtenga una cara al lanzar una moneda?

... que al lanzar dos dados la suma sea superior a seis? obtener un par?

... que un bebe recién nacido en la ciudad sea hombre?

... que al seleccionar al azar un estudiante de ingeniería sea mujer?

... que Falcao se recupere antes del mundial?

... ganarse el baloto? ... casarse antes de los 30 años? ... que llueva mañana?

.... ganar el curso de fundamentos de estadística?

Probabilidad

Expresión del grado de certeza de que ocurrirá un determinado suceso

en un ambiente de incertidumbre (aleatorio). Este grado de certezaes basado en experiencia o compresión de la estructura del fenómenoestudiado.

Hay una probabilidad del 50% de obtener un número par al lanzarun dado

Es muy probable que apruebe el curso de fundamentos deestadística

Es poco probable que me gane el baloto

Probabilidad

Expresión del grado de certeza de que ocurrirá un determinado suceso

en un ambiente de incertidumbre (aleatorio). Este grado de certezaes basado en experiencia o compresión de la estructura del fenómenoestudiado.

• Cuanto mayor es el grado de certeza de que ocurrirá el suceso,mayor será la probabilidad.

• La probabilidad se determina como un valor entre 0 y 1, donde0 indica que el suceso no ocurre y 1 que el suceso ocurre concerteza.

En el fondo, la teoría de probabilidades es solo sentido común

expresado con números. Laplace

Importancia en la estadística

La probabilidad tiene un papel crucial en la aplicación de la inferenciaestadística porque una decisión, cuyo fundamento se encuentra en lainformación contenida en una muestra aleatoria, puede estar equivocada.Sin una adecuada compresión de las leyes básicas de la probabilidad, esdifícil utilizar la metodología estadística de manera efectiva.

¾Cómo es posible que la media obtenida de una muestra de unos pocoshogares de todos los del país, pueda ser una estimación precisa del

promedio de toda la población?

... Si diferentes muestras darían valores distintos promedios (x̄)

La variabilidad muestral no es fatal (Azar no signi�ca ausencia de

regularidad)

AleatoriedadLlamamos a un fenómeno aleatorio si los resultados individualesson inciertos y, sin embargo, existe una distribución regular de losresultados después de un gran número de repeticiones.

Fig: Proporción de caras del lanzamiento de 3 monedas

2 4 6 8 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Lanzamientos

Pro

porc

ión

de c

aras

Aleatoriedad

Fig: Proporción de caras del lanzamiento de 3 monedas

0 100 200 300 400 500

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Lanzamientos

Pro

porc

ión

de c

aras

El comportamiento del azar es impredecible con pocas repeticiones peropresenta un comportamiento regula y predecible con muchas repeticiones

Importancia en la estadística

El nexo que une la teoría de la probabilidad y la estadística esla noción de variable aleatoria, mostrando de esta manera cómopuede emplearse la teoría de la probabilidad para extraer conclusionesprecisas acerca de una población sobre la base de una muestraextraída de ella.

Extraer pautas donde hay (aparentemente) azar. Cuando se decideque la hay, se hace con una cierta seguridad. Lo que signi�ca que sedeja un margen para el posible error. Error, que aunque indicativode nuestra ignorancia, está al menos acotado dentro de unos ciertoslímites.

De�nición de probabilidad

Probabilidad Clásica (Laplace)Si un experimento que está sujeto al azar, puede ocurrir de n manerasmutuamente excluyentes e igualmente verosímiles (probables) y si nA

de estas poseen un atributo A, la probabilidad de A es la fracciónnA/n

Al lanzar un dado ¾Cuál es la probabilidad de que el resultado seapar?

Al lanzar dos monedas ¾Cuál es la probabilidad de obtener dos caras?


Los inconvenientes de de�nir la probabilidad de esta forma son:

• No es válida cuando los posibles resultados no sonequiprobables

• A veces no es posible contar los posibles resultados

Probabilidad Frecuentista (Bernouilli)Si un experimento se repite n veces bajo las mismas condiciones ynB de los resultados son favorables a un atributo B, el límite denB/n conforme n se vuelva grande, se de�ne como la probabilidaddel atributo B

De�niciones de probabilidad

Fig: Distribución muestral de la probabilidad de obtener una cara enlanzamiento de una moneda

10 lanzamientos

Proporción

Den

sida

d

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

01

23

45

100 lanzamientos

Proporción

Den

sida

d

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

02

46

850 lanzamientos

Proporción

Den

sida

d

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

01

23

45

6

1000 lanzamientos

Proporción

Den

sida

d

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

05

1015

20


Los inconvenientes de de�nir así la probabilidad son los siguientes:

• En algunas ocasiones no es posible realizar repeticiones delexperimento.

• Las condiciones bajo las cuales se realiza el experimentopueden variar a lo largo del tiempo.

Probabilidad Subjetiva o PersonalEl grado de creencia o convicción con respecto a la ocurrencia deuna a�rmación. Representa un juicio personal acerca de un fenómenoimpredecible.la probabilidad de un suceso puede, y debe, variar en función de la nueva

información recibida respecto del suceso

Estos grados de creencia tiene como única restricción el que pertenezcan

a una persona racional y coherente

Conceptos de probabilidad

Espacio Muestral (S)El conjunto de todos los resultados posibles de un experimentoaleatorio. Estos pueden ser �nitos, in�nitos numerables o continuos

EventoCualquier resultado o conjunto de resultados de un fenómenoaleatorio, es decir que A es un suceso si A ⊆ S.

Complemento (A′)El complemento de un evento A con respecto a S es el conjunto detodos los elementos de S que no están en A.


Unión (A ∪B)La unión de dos eventos A y B, es el evento que contiene a todoslos elementos que pertenecen a A o a B, o a ambos.

Intersección (A ∩B)La intersección de dos eventos A y B, es el evento que contiene atodos los elementos comunes de A y B.

Eventos mutuamente excluyentes (A ∩B = ∅)Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si estos eventos notienen ningún elemento en común.


Representación grá�ca de la relación entre eventos y el espaciomuestral (Diagrama de Venn)

Fig: Diagrama de Venn

• A ∩B =

• A ∩B ∩ C =

• A ∪B =

• A ∪ (B ∩ C) =

• A ∩B′ =


Representación grá�ca de la relación entre eventos y el espaciomuestral (Diagrama de Venn)

Fig: Diagrama de Venn

• A ∩B = 1,2

• A ∩B ∩ C = 1

• A ∪B = 1,2,3,4,6,7

• A ∪ (B ∩ C) = 1,2,3,4,7

• A ∩B′ = 4,7


Se tienen los sucesos A, B y C, exprese en lenguaje de la teoría deconjuntos las siguientes operaciones:

1 Ocurren A y al menos uno de los otros dos.

2 Ocurre A y uno sólo de los otros dos.

3 Ocurre uno de los tres, pero no dos a la vez.

4 Ocurre C, pero no lo hacen ni A ni B

5 Ocurren al menos dos de los tres

6 No ocurre ninguno de los tres.

Reglas de la probabilidad

1 La probabilidad de cualquier suceso A (P (A)) cumple que:

0 ≤ P (A) ≤ 1

2 Si S es el espacio muestral de un modelo de probabilidad,entonces:

P (S) = 1

3 Para cualquier suceso A,

P (A′) = 1− P (A)

4 Si A y B son dos suceso cualesquiera se veri�ca que:

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)

5 Si A ⊆ B entonces P (A) ≤ P (B)

Reglas de la probabilidad

1 Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces:

P (A ∪B) = P (A) + P (B)

2 Si A, B y C son eventos cualesquiera, entonces:

P (A ∪B ∪ C) =P (A) + P (B) + P (C)− P (A ∩B)− P (A ∩ C)

− P (B ∩ C) + P (A ∩B ∩ C)

3 Si A1, A2, . . . , Ak son eventos mutuamente excluyentes,entonces:

P (A1 ∪A2 ∪ . . . ∪Ak) = P (A1) + P (A2) + . . . + P (Ak)

Ejemplo

Al lanzar dos dados y se tiene los siguientes eventos:

A: La suma de los dos dados es igual a 7B: El resultado de los dados sean menores que 5

¾Cuál es la probabilidad de A ∪B?

Un sistema que contiene dos componentes A y B, y se conecta demanera que este funciona si cualquier componente funciona. Se sabeque la probabilidad de que A funcione es P (A) = 0,9 y la de B esP (B) = 0,8 y la probabilidad de ambos es P (A ∩ B) = 0,72 ¾Cuáles la probabilidad de que el sistema trabaje?

Ejemplo

De las 100 personas que asisten a un congreso 40 hablan francés, 40inglés, 51 castellano, 11 francés e inglés, 12 francés y castellano y 13inglés y castellano. Se eligen al azar una persona y se desea saber:

• ¾Cuál es la probabilidad de que no hable francés?

• ¾Cuál es la probabilidad de que hable castellano?

• ¾Cuál es la probabilidad de que entienda sólo en castellano?

• ¾Cuál es la probabilidad de que sólo hable un idioma?

• ¾Cuál es la probabilidad de que hable los tres idiomas?

Ejemplo

De las 100 personas que asisten a un congreso 40 hablan francés, 40inglés, 51 castellano, 11 francés e inglés, 12 francés y castellano y 13inglés y castellano. Se eligen al azar una persona:

Si se selecciona una persona que habla castellano ¾Cuál es laprobabilidad de que hable ingles también?

La probabilidad condicionada establece laprobabilidad de un suceso (la persona habla

inglés) bajo la condición de que se conoceotro suceso (la persona habla español)

Probabilidad Condicional

Sean A y B dos eventos que se encuentran en un espacio muestralS de manera tal que P (B) > 0. La probabilidad condicional de A alocurrir el evento B, se puede calcular como:

P (A|B) =P (A ∩B)

P (B), P (B) > 0

De aquí se puede observar que:

P (A ∩B) = P (A)P (B|A)

La probabilidad condicional permite una alteración de la probabilidadde un evento a la luz de mayor información.

Ejemplo

De las 100 personas que asisten a un congreso 40 hablan francés, 40inglés, 51 castellano, 11 francés e inglés, 12 francés y castellano y 13inglés y castellano. Se eligen al azar una persona:

Si se selecciona una persona que habla castellano ¾Cuál es laprobabilidad de que hable ingles también?

A los habitantes de una gran ciudad se les hizo una encuesta conel propósito de determinar el número de lectores de El País y ElTiempo. Los resultados de la encuesta fueron los siguientes: 40%de los habitantes leen El País, el 36% lee El Tiempo y un 18% leeambos periódicos. Si se selecciona al azar a un lector de El Tiempo,¾Cuál es la probabilidad de que también lea El País?


Dos eventos A y B son estadísticamente independientes, si y solo si:

P (A|B) = P (A)

De este resultado se obtiene que:

P (A ∩B) = P (A)P (B)

P (B|A) = P (B)


Regla multiplicativa

Si, en un experimento, los eventos A1, A2, . . . , Ak pueden ocurrir,entonces:

P (A1 ∩A2 ∩ . . . ∩Ak) =P (A1)P (A2|A1)P (A3|A2A1) . . .

P (Ak|A1A2 . . . Ak−1)

Si los eventos son independientes, entonces

P (A1 ∩A2 ∩ . . . ∩Ak) = P (A1)P (A2)P (A3) . . . P (Ak)

Ejemplo

Un sistema contiene cinco componentes que se encuentranconectados entre sí como lo muestra la siguiente �gura, dondelas probabilidades indican la seguridad de que el componentefuncione adecuadamente. Si se supone que el funcionamiento de uncomponente en particular es independiente del de las demás, ¾Cuáles la probabilidad de que el sistema trabaje?

Ejemplo

Se sacan tres cartas de una baraja ordinaria, si se de�nen lossiguientes eventos: La primera carta es un as de diamantes (A),la segunda es de diamantes (cualquiera) (B), la tercer carta es negray mayor que 3 pero menor que 7 (C). ¾Cuál es la probabilidad deque se den los tres eventos?

En un juego de tiro al blanco, la probabilidad de que el jugador 1 deen el blanco es 1/6, la del jugador 2 es de 1/4 y la del jugador 3 esde 1/3. Si cada uno dispara una sola vez, de forma independiente,al blanco. ¾Cuál es la probabilidad de que el blanco sea alcanzadosolamente una vez?

Teorema de Probabilidad Total

Si los eventos B1, B2, . . . , Bk constituyen una división del espaciomuestral S, de tal forma que P (Bk) 6= 0 para i = 1, 2, . . . , kentonces para cualquier evento A de S:

P (A) =

k∑i=1

P (Bi ∩A) =

k∑i=1

P (Bi)P (A|Bi))

Ejemplo

Una planta armadora recibe microcircuitos provenientes de tresdistintos fabricantes B1, B2 y B3. El 50% del total se compraa B1 mientras que a B2 y B3 se les compra un 20% y 30%respectivamente. El porcentaje de circuitos defectuosos para B1,B2 y B3 es 5, 10 y 12% respectivamente. Si todos los circuitosse almacenan en la planta sin importar quién fue el proveedor.

Determinar la probabilidad de que una unidad armada en la plantacontenga un circuito defectuoso.

Si se selecciona al azar un circuito y sale defectuoso, ¾Cuál es laprobabilidad de qué sea del fabricante B1?

Regla de Bayes

Si los eventos B1, B2, . . . , Bk constituyen una división del espaciomuestral S, de tal forma que P (Bk) 6= 0 para i = 1, 2, . . . , k,entonces para cualquier evento A en S, tal que P (A) 6= 0

P (Br|A) =P (Br ∩A)∑ki=1 P (Bi ∩A)

=P (Br)P (A|Br))∑ki=1 P (Bi)P (A|Bi)

Ejemplo

Se sabe la prueba del polígrafo que se le aplica a un sospechosoes 90% �able cuando la persona es culpable y 99% cuando esinocente. Si de un grupo de 10 sospechosos de un crimen (entre ellosel culpable) se selecciona uno y el polígrafo indica que es culpable¾Cuál es la probabilidad que este no sea el individuo que cometió elcrimen?

Si el polígrafo indica que es inocente ¾Cuál es la probabilidad de queeste individuo sea inocente?

¾Cuál es la probabilidad de que el polígrafo acierte?

Ejercicio

Un taxi se vio implicado en un accidente nocturno con choque yhuida posterior. Hay dos compañías de taxis en la ciudad, la Verde yla Azul. El 85% de los taxis de la ciudad son Verdes y el 15% Azules.Un testigo del accidente identi�có el taxi como Azul. El tribunalcomprobó la �abilidad del testigo bajo las mismas circunstanciasque había la noche del accidente y llegó a la conclusión de que eltestigo identi�caba correctamente cada uno de los colores en el 80%de las ocasiones. Luego de las declaraciones del testigo ¾Cuál es laprobabilidad de que el taxi implicado en el accidente fuera en efectoazul?

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