Principio de los trabajos virtuales (D ‘Alembert)La introducción de ligaduras en el sistema mecánico lleva al concepto defuerza de vínculo, que es justamente la que se ejerce sobre la partícula paraforzar el cumplimiento de la ligadura. Esta fuerza de vínculo se diferenciade la denominada fuerza aplicada que es aquella determinada independiente-mente de cualquier otra fuerza, dando sólo las posiciones (y a veces tambiénlas velocidades) de las partículas.Un problema con la condición anterior lo dan las fuerzas de rozamiento. Silas condiciones del problema son tales que el rozamiento es suficiente para impedir que haya deslizamiento (rozamiento estático), la fuerza de rozamientose considera entonces de vínculo. Si pudiera haber deslizamiento (rozamiento dinámico) deberíamos considerar al rozamiento como una fuerza aplicadaanómala (ya que no cumple con ser independiente de otras fuerzas dado quesu magnitud depende de la fuerza de vínculo normal), pero ya no puede serconsiderada fuerza de vínculo.

El trabajo virtual de una fuerza es entonces el trabajo que ella realiza enel desplazamiento virtual.Finalmente, el principio de los trabajos virtuales de D .Alembert postulaque la suma de los trabajos virtuales de todas las fuerzas de vínculo deun sistema es nula, para cualquier conjunto de desplazamientos virtuales,compatibles con los vínculos, de las partículas del sistema.

Notamos Ri a la fuerza de vínculo (total o neta) que actúa sobre lapartícula i, y Fi a la fuerza aplicada (también total o neta) que actúa sobreesta partícula. Si xi es el desplazamiento virtual de la partícula i, el principio de D´Alembert asegura que (el punto simboliza el producto escalar devectores)

para todos los δxi compatibles con los vínculos.

Ecuaciones de LaGrange de primer orden

Si escribimos la ecuación de movimiento de la partícula i denotando ambos tipos de fuerzas actuantes

multiplicamos escalarmente esta ecuación por el desplazamiento virtual xide la partícula y sumamos para todas las partículas, el principio de D’Alembert nos dice que podemos escribir (pasando todo al lado izquierdo)

1

2

Como existen vínculos los desplazamientos de las distintas partículas no sonindependientes entre sí (recuérdese que aquí los desplazamientos virtualesdeben respetar los vínculos). Supongamos tener m vínculos holónomos entrelas partículas, que pueden escribirse como m relaciones entre las posicionesde las partículas

donde se ha puesto de manifestó que las relaciones de vínculo pueden depender explícitamente del tiempo, como se discutió más arriba. La condiciónde que los desplazamientos respeten los vínculos se escribe entonces

3

4

Donde ∆ invertido representa el gradiente respecto de las coordenadas de partícula i.Si los vínculos no son holónomos, de cualquier manera pueden expresarse engeneral de forma diferencial como en la ecuación anterior sólo que en lugar de la gradiente de Gr aparecerá una cantidad vectorial Air (x1; x2; :::; xN; t). Escribimos entonces en general para vínculos holónomos o no las m condiciones sobre los desplazamientos 1=<r<=m

5

La idea es multiplicar cada una de las relaciones (5) por una funciónescalar desconocida λr (x1; x2; :::; xN; t) (multiplicador de LaGrange) y sumar todas ellas para escribir (cambiando el orden de las sumatorias)

que a su vez podemos sumar a (2.2) para escribir (agrupando todo)

6

7

para los m componentes no independientes de los desplazamientos δxi. De esta manera, en (7) sólo sobreviven las 3N - m componentes independientes que, son por ser arbitrarias, indican que debe ser nulo cada uno de losfactores que las multiplica. Así, para todas las partículas se debe satisfacerla ecuación anterior que reescribimos

8

9

denominadas ecuaciones de LaGrange de primera especie.En particular, si comparamos (9) con la ecuación (1) vemos que lasfuerzas de vínculo están dadas por