Probabilidad y Estadística Primer semestre de 2013 U.N.G.S

UNGS - Probabilidad y Estadística - Primer semestre 2013

Práctica 4: Variables aleatorias discretas

1. Un municipio contrata una empresa para realizar pruebas de dos tipos de impureza a los pozos de agua de la ciudad. Laempresa reporta que el 20% de los pozos no presentan impurezas, el 40% tienen la impureza de tipo A y el 50% tiene ladel tipo B (y obviamente algunos pozos presentan ambas impurezas). Si un pozo de agua es elegido al azar, encuentre ladensidad discreta de la variable Y : el número de impurezas encontradas en el agua.

2. Una urna contiene 4 bolillas numeradas de la siguiente forma, dos tienen el número 1, una el número 2 y la última elnúmero 3. Se extrae una bolilla y se anota el número, se la devuelve a la urna y se extrae otra bolilla y se anota el número.Sea X la suma de ambos valores, Y el mínimo de ambos valores y Z el máximo de ambos valores. Encuentre la densidaddiscreta de cada una de estas variables.

3. Sea X una v.a. tal que RX = {1,2,3} con la siguiente distribución de probabilidad

P(X = 1) = 0.2 P(X = 2) = 0.5 P(X = 3) = 0.3

i) Hacer el histograma correspondiente a la distribución de probabilidad de X .

ii) Calcular la función de ditribución acumulada y graficarla.

iii) Calcular P(X > 1), P(X2 ≥ 4)

4. Sea X una v.a. con rango RX = {1, . . . ,6} y tal que

P(X = n) = c13(

23)n−1

Determinar c para que P sea efectivamente una distribución de probabilidades.

5. Sea X una v.a. cuyo rango son todos los números naturales tal que P(X = n) =12n para todo n natural.

i) Verificar que P es efectivamente una distribución de probabilidades.

ii) Calcular P(X es par)

iii) Calcular P(X ≥ 4)

iv) Calcular P(X es divisible por 3).

6. Un experimento se repite 4 veces seguidas en forma independiente y supongamos que la probabilidad de que el experimento

resulte exitoso en la repetición i-ésima es igual ai

i+1para i entre 1 y 4. Sea X la variable aleatoria que mide la cantidad

de veces que el experimento es exitoso. Calcular P(X = 2) y P(X = 3).

7. El gerente de un almacén en una fábrica ha construído la siguiente distribución de probabilidad para la demanda diaria Yde una herramienta en particular ( Y : número de veces utilizada dicha herramienta, en un día) .

y 0 1 2p(y) 0.1 0.5 0.4

Le cuesta a la fábrica $10 cada vez que utiliza tal herramienta. Encuentre la media y la varianza del costo diario para eluso de tal herramienta.

8. En un negocio de electrodomésticos, el 25% de los clientes que compran a crédito incurren en atrasos en el pago de lascuotas, según los registros de la empresa. Si esta situación se mantiene en el tiempo, ¿cuál es la probabilidad de que entrelos próximos 10 clientes que compren a crédito, más de 3 incurran en mora?

9. Un depósito contiene artículos de los cuales el 20 por ciento son defectuosos. Se selecciona una muestra de 5 artículos conreemplazo y sea X la cantidad de artículos defectuosos. Hallar la distribución de probabilidad de X , graficar el histogramay calcular E(X).

10. Dos personas lanzan una moneda 4 veces cada una. ¿ Cuál es la probabilidad de que ambas personas obtengan el mismonúmero de caras?

11. Se tira un dado equilibrado varias veces hasta que aparece un cuatro por primera vez. Sea X la cantidad de tiros necesarioshasta que aparece el primer cuatro.

i) Hallar el RX y la función de probabilidades de X .

ii) Calcular P(X es par)

iii) Hallar P(X ≤ 5) y P(X > 2).

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12. Un juego consiste en lo siguiente: se tira una moneda equilibrada hasta que aparece la primera cara. Si la cara aparece enel primer tiro, se gana $1, si la primera cara aparece en el segundo tiro no se gana ni se pierde y si aparece después delsegundo tiro se pierde $2. Hallar la distribución de la variable G= ganancia o pérdida del juego y calcular su esperanza yvarianza.

13. Se tira un dado equilibrado hasta que aparece el número cuatro por tercera vez.

i) ¿Cuál es la probabilidad de que el tercer cuatro aparezca en el lanzamiento número 15?

ii) Si sabemos que en los primeros 10 lanzamientos aparecieron 2 cuatros, ¿Cuál es la probabilidad de que el tercercuatro aparezca en el lanzamiento número 15?

14. La probabilidad de que el lanzamiento de un cohete sea exitoso es 0.8. Supóngase que se hacen ensayos hasta que ocurren3 lanzamientos exitosos.

i) ¿Cuál es la probabilidad de que sean necesarios 6 intentos?.

ii) ¿Cuál es la probabilidad de que sean necesarios menos de 6 intentos?

iii) Si cada ensayo de lanzamiento cuesta 5000 y cada ensayo que falla tiene un costo adicional de 500. Calcular el costoesperado de todo el procedimiento.

15. En cierta loteria un jugador elige 6 números del 1 al 53, luego la loteria elige los 6 números ganadores. Calcular laprobabilidad de ganar la grande. Si X = número de coincidencias, hallar la distribución de probabilidad de X , graficar elhistograma y calcular E(X).

16. Se tiene una urna con N bolillas, r de las cuales son negras y el resto blancas; de la cual se extraen n bolillas sin reposición.Si definimos la variable aleatoria X = número de bolillas negras extraídas.

i) Calcular P(X > 2) si N = 10, r = 4 y n = 6. Rta : 1942

ii) Calcular P(X = 0), P(X = 1) y P(X = 2) de forma exacta y usando la aproximación binomial si N = 100, r = 25 yn = 5.

17. En cierta empresa de informática el 20% de las ventas se realizan al contado, el 30% con tarjeta de débito y el 50% restantecon tarjeta de crédito en cuotas. Si se eligen 20 ventas al azar

i) ¿Cuál es la probabilidad de que 8 sean al contado, 1 sea con débito y 11 con crédito? ¿Y de que 4 sean al contado y5 con débito?

ii) ¿Cuál es la probabilidad de que 13 sean con crédito? ¿Y de que 10 sean con débito o crédito? ¿Qué distribucionesusa?

18. Se tira un dado equilibrado 4 veces seguidas. Sea Xi la v.a. que cuenta la cantidad de veces que aparece el número i ( parai entre 1 y 6).

i) Calcular P(X1 +2X5 = 3) y P(3X2 > X4).Para los siguientes ítems pensar en la distribución binomial:

ii) Hallar la distribución de probabilidades de Xi (i = 1, . . . ,6) y calcular su esperanza y varianza.

iii) Hallar la distribución de probabilidades de X1 +X2 y calcular su esperanza y varianza.

iv) Hallar la distribución de probabilidades de X1 +X2 +X3 y calcular su esperanza y varianza.

v) Halla la distribución de probabilidades de X1 +X2 + . . .+X6.

19. Sea X una variable aleatoria con distribución Poisson de parámetro λ. Sabiendo que P(X = 0) = 0.2, hallar λ y calcularP(X > 2).

20. Sea X una v.a. con distribución Poisson tal que P(X = 2) =23

P(X = 1). Calcular P(X = 0) y P(X = 3).

21. El número de imperfecciones que tiene una placa fotográfica sigue la distribución de Poisson de parámetro 0,1 imperfec-ciones por cm2.

i) Si de tal placa se toma una muestra de 30 cm2, ¿cuál es la probabilidad de que esa muestra contenga exactamente tresirregularidades?

ii) Si ahora se toma en forma independiente 5 muestras de 30 cm2, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente dos deellas contengan a lo sumo una irregularidad?

22. Supongamos que la probabilidad de que un artículo producido por una máquina sea defectuoso es 0.2. Se seleccionan 35artículos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que no se encuentre más de un artículo defectuoso entre los 35 seleccionados?Usar distribución binomial y Poisson y comparar resultados.

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23. Suponiendo que el 0.1% de la población tiene cierto tipo de accidentes al año, si se eligen 10.000 personas al azar ¿Cuáles la probabilidad de que no más de 5 de estas personas tenga un accidente de este tipo el próximo año?.

24. Supongamos que un libro de 585 páginas contiene 43 errores tipográficos. Si esos errores están distribuidos aleatoriamentea lo largo del libro, ¿cuál es la probabilidad de que 10 páginas seleccionadas al azar estén libres de errores? (Sug: suponerque X= número de errores por cada 10 páginas tiene distribución Poisson).

25. Al formar números binarios con n dígitos, la probabilidad de que aparezca un dígito incorrecto es 0.002. Si los erroresson independientes, ¿cuál es la probabilidad de encontrar cero, uno o más de un dígito incorrecto en un número binario de25 dígitos?. Si la computadora genera 106 de tales número de 25 dígitos por segundo, ¿cuál es la probabilidad de que seforme un número incorrecto durante cualquier periodo de un segundo?

26. Sean X1, . . . ,Xn v.a. independientes con la misma distribución:

P(Xi = 1) = p P(Xi = 0) = 1− p

i) Calcular la distribución de probabilidades de la v.a. X = X1 + . . .+Xn

ii) Calcular E(X) y V (X).

iii) ¿Qué nombre tiene la variable aleatoria X?

iv) Sea Y =Xn

. Calcular E(Y ) y V (Y ).