RESUMEN

En el presente trabajo de investigación consiste en la aplicación de los métodos de solución numérica de ecuaciones no lineales en los ámbitos relacionados con la carreta de Ingeniería de Minas específicamente en la etapa desarrollo de mina.

El problema de la investigación fue en analizar en qué momento y como los métodos de solución no lineales (método de la bisección, de la secante, falsa poción etc.) nos ayudaran a solucionar problemas que se presenten en la vida laboral de un ingeniero de minas. El problema por otro lado surge de que si estos métodos son factibles y cómodos a utilizar en los diversos problemas que se puedan presentar.

La investigación se realizó obteniendo información de diversas fuentes, como libros relacionas a los temas a tratar y páginas web q nos muestra los tipos de problemas a solucionar como ingeniero.

Llegando a las siguientes conclusiones que los métodos de solución numérica de ecuaciones no lineales es una herramienta importante y necesaria para la solución de algunos problemas en minería y se aprendió en qué casos específicos aplicarlos.

Problema

Como aplicaríamos los conocimientos adquiridos en la primera unidad del curso de Métodos Numéricos para resolver algún problema que se nos presente en nuestra futura vida como Ingeniero de Minas.

OBJETIVOS

Cuando y en qué tipo de problemas cotidianos en minería se aplicaran la solución los métodos de solución numérica de ecuaciones no lineales.

Demostrar la importancia que tiene el conocer los métodos de solución numérica de ecuaciones no lineales

Métodos de solución de ecuaciones no lineales

Los métodos de solución numérica de ecuaciones no lineales juegan un papel muy importante en el campo de la Ingeniería, puesto que permite resolver problemas que no tienen solución analítica, a pesar de disponer de la expresión matemática que los representa.

En análisis numérico un algoritmo de búsqueda de raíces es un método numérico o algorítmico para encontrar las soluciones aproximadas de una ecuación dada por la expresión f(x) = 0 para una función matemática f dada. A la solución x de la ecuación se le llama raíz o cero de la función.

Igualmente, resolver la ecuación f(x) = g(x) es análogo a resolver la ecuación f − g = 0, es decir, encontrar las raíces de la función f - g.

Métodos

Método de la bisección

Este método consta de un intervalo inicial que contenga alguna raíz de la ecuación (de forma que la función tome en los extremos de los mismos valores de distinto signo). Dicho intervalo inicial se va dividiendo sucesivamente por la mitad (se biseca) tomándose el intervalo que contiene a la raíz. A pesar de ser un método que siempre converge a una solución, converge muy lentamente.

Método de Newton

Asume que la función f sea continuamente derivable y que se conoce la derivada de la función. Este método puede no converger si se comienza con un valor muy alejado de la raíz. Sin embargo, si converge, lo hace mucho más rápido que el método de bisección (usualmente, de manera cuadrática), por eso el número de dígitos correctos se duplica en cada iteración. El método de Newton también es útil porque se generaliza para problemas de dimensiones más altas.

Reemplazando la derivada del método de Newton por un cociente incremental, obtenemos el método de la secante. Este método no requiere el cálculo (ni la existencia) de la derivada, pero el precio que se debe pagar es un orden de convergencia más bajo

Método de la falsa posición

Es un método que combina lo mejor del método de bisección y del método de la secante. El método corta el intervalo en dos partes como en el método de bisección, pero a diferencia de éste, lo corta por el valor obtenido aplicando el método de la secante a los extremos del intervalo, no siendo generalmente las partes iguales. El método converge siempre a una raíz de la ecuación, generalmente de forma más rápida que el método de bisección pero más lenta que el método de la secante.

xn+1=xn−f ( x )f ' ( x )

Método de secante

Es una variación del método de Newton-Raphson donde en vez de calcular la derivada de la función en el punto de estudio, teniendo en mente la definición de derivada, se aproxima la pendiente a la recta que une la función evaluada en el punto de estudio y en el punto de la iteración anterior. Este método es de especial interés cuando el coste computacional de derivar la función de estudio y evaluarla es demasiado elevado, por lo que el método de Newton no resulta atractivo.

Aplicación de la solución de ecuaciones no lineales en la ingeniería de minas

En el área de planeamiento de mina ya sea en reservorios de agua, canales, etc.

En el área de logística

Etapa de desarrollo en una mina

El proceso de construcción de un centro de la minería y la infraestructura para apoyar la instalación se conoce como desarrollo de la mina.

xr=xu−f ( xu ) (x l−xu )f (xl )− f (xu )

xn+1=xn−f (xn ) (xn− xn−1 )f (xn )−f (xn−1 )

Desarrollo de la mina puede implicar muchas actividades como: La preparación de la mina en la limpieza de árboles y voladura de rocaLa construcción de las instalaciones mineras como marcos de cabeza, edificios de la administración o talleres mecánicosLa creación de infraestructuras como líneas eléctricas y subestaciones, carreteras o línea de agua

Requerimientos Antes de comenzar el desarrollo, se deben cumplir ciertos

requisitos. Estos requisitos incluyen: Presentar un Aviso de Proyecto Estado de la Exploración Mineral

y de la Sección de Desarrollo. La consulta con todas las partes necesarias. La presentación de un plan de cierre con el acompañamiento de

la garantía financiera y el logro de la certificación. Adquirir todos los necesarios permisos / autorizaciones de los

ministerios, organismos y organizaciones gubernamentales.

RESERVORIO DE ALMACENAMIENTO

La importancia del reservorio radica en garantizar el funcionamiento hidráulico del sistema y el mantenimiento de un servicio eficiente, en función a las necesidades de agua proyectadas y el rendimiento admisible de la fuente.

Un sistema de abastecimiento de agua potable requerirá de un reservorio cuando el rendimiento admisible de la fuente sea menor que el gasto máximo horario (Qmh).

En caso que el rendimiento de la fuente sea mayor que el Qmh no se considera el reservorio, y debe asegurarse que el diámetro de la línea de conducción sea suficiente para conducir el gasto máximo horario (Qmh), que permita cubrir los requerimientos de consumo de la población. En algunos proyectos resulta más económico usar tuberías de menor diámetro en la línea de conducción y construir un reservorio de almacenamiento.

En el desarrollo del capítulo se presentan las consideraciones básicas que permiten definir metodológicamente el diseño hidráulico y además se muestra un ejemplo de cálculo estructural de un reservorio de almacenamiento típico para poblaciones rurales.

Ejercicios relacionados

Ejercicio 1.

Por un canal trapezoidal fluye agua tratada procedente de una mina a una tasa de Q = 20 m3/s. La profundidad crítica y para dicho canal satisface la ecuación

Donde g = 9.81m/s2, Ac = área de la sección transversal (m2), y B = ancho del canal en la superficie (m). Para este caso, el ancho y el área de la sección transversal se relacionan con la profundidad y por medio de:

Resuelva para la profundidad crítica con el uso de los métodos a) bisección, y b) falsa posición. En los incisos a), Haga elecciones iniciales de xl = 0.5 y xu = 2.5, y ejecute iteraciones hasta que el error aproximado caiga por debajo del 1% o el número de interacciones supere a 10.

Solución.

La función a evaluar es:

f ( y )=1−4009.81(3 y+ y2 /2 )3

(3+ y )

Grafica de la función

-40

-30

-20

-10

0

10

0 0.5 1 1.5 2 2.5

(a) usando bisección la primera interacción es:

xr=0 .5+2 .5

2=1.5

f (0 .5 ) f (1 .5 )=−32 .2582 (−0 .030946 )=0 .998263

Entonces xl = 1.5. Segundo interaction

xr=1.5+2 .5

2=2

ε a=|2−1.52

|100%=25%

f (1.5) f (2)=−0.030946 (0 .601809 )=−0 .018624

Entonces xu = 2. Todas las interacciones están en la siguiente tabla:

Se obtiene la raíz 1.5078125 con un error aproximado de 0.52%.

(b) usando falsa posición, la primera iteración es

xr=2 .5−0.81303(0 .5−2 .5)−32.2582−0 .81303

=2 .45083

f (0 .5 ) f (2 .45083)=−32.25821(0 .79987)=−25 .80248

Entonces xu = 2.45083. La segunda iteración es:

xr=2 .45083−0 .79987 (0 .5−2 .45083)−32 .25821−0 .79987

=2 .40363

ε a=|2.40363−2. 450832 .40363

|100%=1 .96%

i xl f(xl) xu f(xu) xr f(xr) a1 0.5 32.2582 2.5 0.813032 1.5 0.0309462 1.5 0.03095 2.5 0.813032 2 0.601809 25.00%3 1.5 0.03095 2 0.601809 1.75 0.378909 14.29%4 1.5 0.03095 1.75 0.378909 1.625 0.206927 7.69%5 1.5 0.03095 1.625 0.206927 1.5625 0.097956 4.00%6 1.5 0.03095 1.5625 0.097956 1.53125 0.036261 2.04%7 1.5 0.03095 1.53125 0.036261 1.515625 0.003383 1.03%8 1.5 0.03095 1.515625 0.003383 1.5078125 0.013595 0.52%

f (0 .5 ) f (2 .40363)=−32.2582(0 .78612)=−25 .35893

Se encuentra que xu = 2.40363todas las demás iteraciones están en la siguiente tabla:

i xl f(xl) xu f(xu) xr f(xr) a

1 0.5 32.2582 2.50000 0.81303 2.45083 0.79987

2 0.5 32.2582 2.45083 0.79987 2.40363 0.78612 1.96%

3 0.5 32.2582 2.40363 0.78612 2.35834 0.77179 1.92%

4 0.5 32.2582 2.35834 0.77179 2.31492 0.75689 1.88%

5 0.5 32.2582 2.31492 0.75689 2.27331 0.74145 1.83%

6 0.5 32.2582 2.27331 0.74145 2.23347 0.72547 1.78%

7 0.5 32.2582 2.23347 0.72547 2.19534 0.70900 1.74%

8 0.5 32.2582 2.19534 0.70900 2.15888 0.69206 1.69%

9 0.5 32.2582 2.15888 0.69206 2.12404 0.67469 1.64%

10 0.5 32.2582 2.12404 0.67469 2.09077 0.65693 1.59%

La raíz no da un aproximado de 2.09077 con un error de 1.59%.

Ejercicio 2.

Un ingeniero de minas en la etapa de planeamiento de mina necesita diseñar un tanque esférico (véase la figura) para almacenar agua para el campamento de la mina. El volumen de líquido que puede contener se calcula con

Donde V = volumen [m3], h = profundidad del agua en el tanque [m], y R = radio del tanque [m].

Solución.

f (h)=π Rh2−( π3 )h3−V

Utilizando el método de la falsa posición resolvimos este problema

i xl xu f(xl) f(xu) xr f(xr) f(xl)f(xr) a

1 03.0000

0 -30 26.54867 1.59155 -10.3485 310.45424

2 1.591553.0000

0 -10.348 26.54867 1.98658 -1.01531 10.50688 19.885%

3 1.986583.0000

0 -1.0153 26.54867 2.02390 -0.07591 0.07708 1.844%

El resultado puede ser verificado mediante la sustitución en la ecuación de volumen

V=π (2 .0239)23(3 )−2 .0239

3=29.92409

CONCLUSIONES

Se logró solucionar algunos problemas de la etapa de desarrollo de mina utilizando métodos de solución de ecuaciones no lineales.

Se demostró la importancia y beneficio nos da conocer los métodos de solución de ecuaciones no lineales.

Los conocimientos adquiridos en la primera unidad de Métodos números serán de mucha ayudad en nuestra futura vida profesional.

BIBLIOGRAFÍA

Howard Hartman, Jan Mutmansky, introducción a la ingeniería de Minas, segunda edición.

Richard Burden, Douglas Faires, Análisis Numérico, séptima

edición.

Steven C. Chapra Raymond P. Canale, Métodos numéricos para ingenieros, quinta edición.

Linkografía

http://www.researchgate.net/publication/ 41476316_Aplicaciones_en_la_ingeniera_de_los_mtodos_de_solucin_numrica_de_ecuaciones_no_lineales

https://es.wikipedia.org/wiki/Resoluci%C3%B3n_num %C3%A9rica_de_ecuaciones_no_lineales

ÍNDICE

1. ………………………………………………………………………Resumen

2. ……………………………………………………………………….Problema

3. ………………………………………………………………………...Objetivos

4. ………………………………………………………………..Métodos de solución de ecuaciones no lineales.

5. ………………………………………….Etapa de desarrollo en una mina

6. ……………………………………………………Ejercicios relacionados

7. ……………………………………………………………………Conclusiones

8. …………………………………………………………………….Bibliografía