portafolio de matemática i (profesor aquilino miranda)

7/21/2019 Portafolio de Matemática i (Profesor Aquilino Miranda)

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UNIVERSIDAD SANTA MARÍA LA ANTIGUA

SEDE CHIRIQUÍ

FACULTAD DE ARQUITECTURA Y DISEÑO

ESCUELA DE ARQUITECTURA

PORTAFOLIO DIGITAL

ASIGNATURA: MATEMÁTICA I (CÓDIGO 5966)

ELABORADO POR: AQUILINO MIRANDA (PROFESOR DE LA CÁTEDRA)

CÉDULA: 4-739-1613



INTRODUCCIÓN

El cálculo es considerado como el primer gran logro de la matemática moderna; con

su aplicación se han podido lograr descubrimientos científicos importantes en los

siglos pasados. La ciencia y la tecnología recurren al cálculo para expresar leyes

físicas en términos matemáticos precisos y para estudiar las consecuencias de estas

leyes. Desde su desarrollo hasta el presente, el cálculo ha sido el principal lenguaje

para cuantificar en la ciencia y la tecnología y provee las herramientas matemáticas

que necesita un estudiante de ingeniería para continuar sus conocimientos y

entender los adelantos científicos.



TABLA DE CONTENIDO

Hoja de vida.

Planificación de la asignatura.

Rúbricas

Página web del docente.

Módulo instruccional.

Prácticas formativas propuestas.

Talleres sumativos propuestos.

Exámenes parciales.

Problemas para las exposiciones



HOJA DE VIDA

Nombre completo: Aquilino Miranda CerceñoCédula: 4-739-1613Nacionalidad: Panameño.Lugar y fecha de nacimiento: David, 23 de abril de 1986Dirección: Alto BoqueteCelular y Whatsapp: 6821-2768Correo electrónico: [email protected] y horario de trabajo: Colegio Daniel Octavio Crespo,

La Concepción, Bugaba de 12:30 pm a 6:10 pm.Horario disponible: Jornada matutina de 8:00am a 11:30 am

Preparación Académica (primaria y secundaria)

Estudios Primarios: Escuela de Divalá. Divalá, 1993-1998

Estudios de Premedia. Primer Ciclo de Divalá. Divalá, 1999-2011Bachiller en Ciencias. Colegio Daniel Octavio Crespo. La Concepción, 2002-2004

Estudios universitarios

Licenciatura en Matemática. Unachi. David, 2005-2009 (Índice académico, 2.4)

Profesor de Educación Media con especialización en Matemática. Unachi. SedeBoquete, 2010 (Índice académico, 2.9)

Especialista en Docencia Superior. Universidad Tecnológica Oteima. David 2010-Í

mailto:[email protected]





Didáctica diferencial de las dificultades de aprendizaje. 240 horas, Cetes,Chiriquí.

Técnico Superior en Psicología Educativa. Centro Técnico de Estudios

Superiores. 2009 English basic low. 40 horas. Universidad Tecnológica Oteima, 2010 Técnico Superior en Didáctica de la Matemática. Instituto Superior Nueva Luz.

2010 Planificación didáctica basada en formación por competencias para docentes. 40

horas, Meduca. Técnico Superior en Didáctica y Tecnología Educativa. Instituto Superior Nueva

Luz. 2011 Matemáticas Financieras. Inadeh virtual, 80 horas, Inadeh. Estrategias técnicas para el desarrollo y aplicación de la planificación didáctica.

40 horas, Meduca. Potenciando habilidades y destrezas en las escuelas multigrados a través del

modelo pedagógico ENEA. 40 horas, Meduca. 2012

Uso, manejo e interpretación de los programas de estudio. 40 horas, Meduca.2012

Hacia una práctica pedagógica eficaz y desarrollo de competencias aplicando lametodología ENEA en las escuelas multigrados, 40 horas. Meduca, 2013

Integración de recursos y herramientas tecnológicas para la educación fase 1.Proyecto entre pares Panamá, 2013.

Integración de recursos y herramientas tecnológicas para la educación fase 2.

Proyecto entre pares Panamá, 2013. Estrategias innovadoras para el desarrollo de los contenidos curriculares

dirigido a docentes. 40 horas, Meduca. 2014



Experiencia Laboral

Profesor de Matemática en el Instituto Guadalupano. Boquete, 2009

Profesor de Matemática en la Escuela secundaria oficial nocturna de Boquete.2010 Profesor de estadística y álgebra en el técnico de informática del instituto

superior nueva luz. 2012. Profesor de Matemática en el Instituto Profesional y Técnico Agropecuario de

Chichica. 2011 a 2013. Profesor de Matemática en el Instituto Laboral Nueva Luz. 2010, 2013

Profesor de Cálculo I, Cálculo II, Cálculo III, Matemática Financiera, MatemáticaAgropecuaria, Estadística y Probabilidad. Universidad Tecnológica Oteima.Desde el 2011

Profesor de Matemática en el Colegio Daniel Octavio Crespo. Desde el 2014

Referencias Laborales

Liz Araúz. Secretaria del Instituto Nueva Luz. Teléfono: 6275-1675Yesenia González (coordinadora de la escuela de informática en Oteima). Teléfono:6678-1767

Oteima. Teléfono: 6618-9350

Referencias Personales

Profesora Cynthia Mojica. Teléfono: 6934-8498

Señor Omar Pitty. Teléfono: 6985-1790



UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTA MARÍA LA ANTIGUAVICERRECTORÍA ACADÉMICA

PROGRAMA ANALÍTICO DE ASIGNATURAS

1. DATOS GENERALES:

Facultad: Arquitectura ydiseño

Escuela: Arquitectura Periodo: segundocuatrimestre 2015

Denominación de la asignatura: matemática I Código: 5966

Créditos: 4 Horas: 5 Teóricas: 3 Prácticas:2

Horas semanales:5

Prerrequisitos: ninguno Ubicación en el plan deestudio:

Área de formación: básica, apoyo, especialización.

Docente: Aquilino Miranda

Correo electrónico: [email protected]

2. JUSTIFIACIÓN

Matemática I es un curso básico en el área de ingeniería. Estudia el cálculodiferencial, el cual analiza los problemas de calcular razones de cambios. Seutiliza para crear modelos matemáticos que nos ayudan a entender el universo



proporciona las bases para un trabajo posterior y de excelencia.

Se requiere ofrecer a los estudiantes las condiciones óptimas para que realicen

sus estudios, toda vez que en la actualidad las necesidades exigen la proporciónde mejores profesionales.

4. OBJETIVOS

Objetivo General.

Conocer y aplicar los conceptos y técnicas del cálculo diferencial en la soluciónde problemas geométricos y físicos. Además, desarrollar la capacidad deanálisis del estudiante en la formulación y solución de problemas matemáticos

Objetivos específicos.

Determinar el límite de una función. Obtener la derivada de funciones algebraicas. Resolver problemas de aplicaciones de la derivada de funciones algebraicas Derivar funciones trigonométricas Derivar funciones trigonométricas y Exponenciales Integrar funciones algebraicas

Integrar funciones algebraicas por el metido de sustitución.



Derivadas de Función Trigonométrica

Derivada de Función Trigonométrica Inversa

Derivada de Función Logarítmica

Derivada de Función Exponencial

IntegralesFórmulas fundamentales de integración

Integración por sustitución.

6. ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS Y DE APRENDIZAJE

Estrategias Metodológicas

Presentación

Resolución de problemas Dinámica grupal Trabajo de investigación Talleres de trabajo. Método inductivo. Aprendizaje sociocultural.

Recursos Didácticos Texto de referencia. Proyector multimedia.



dominio codominio y gráficas.

21/5/2015 Parcial #1

25/5/2015 Práctica formativa sobre los límites unilateralesmediante tablas.

28/572015 Taller número dos sobre los límites unilaterales enExcel.

4/6/2015 Práctica formativa sobre los límites utilizando

teoremas.

8/6/2015 Práctica formativa sobre límites mediantefactorización.

11/6/2015 al 15/6/2015 Exposición número uno

18/6/2015 Práctica formativa sobre límites con raíces

22/6/2015 Parcial #2

25/6/2015 Práctica formativa sobre el cálculo de derivadasmediante la definición

29/6/2015 Práctica formativa sobre el cálculo de derivadas

utilizando los teoremas

2/7/2015 Talles #4 sobre la regla de la cadena



8. EVALUACIÓN

30 % Parciales (3 parciales)

20% Talleres grupales (5 talleres) 10% Portafolio digital. 10% Exposiciones orales (2 exposiciones) 30% Prueba Final

BIBLIOGRAFÍA

George B. Thomas Jr. / Maurice D. Weir / Joel Hass. Cálculo. Una variable.Pearson. 2010.

Robert A. Adams. Cálculo. Pearson. 2009. Delia Galván.. Cálculo diferencial: un enfoque constructivista para el

desarrollo de competencias mediante la reflexión y la interacción. CENGAGELearning. 2012.

Ron Larson / Robert Hostetler et al. Cálculo esencial. CENGAGE Learning.2010.

James Stewart. Cálculo. Trascendentes tempranas. CENGAGE Learning.2012.

Francisco Soler / Reinaldo Núñez / Moisés Aranda. Cálculo con aplicaciones.

Pearson. 2008. Dennis Zill / Warren Wright. Cálculo Combo. McGraw-Hill. 2011.

Ron Larson / Bruce Edwards. Cálculo Combo. Mc Graw-Hill. 2010. Frank Ayres. Cálculo. McGraw-Hill. 2010. Louis Leithold. El Cálculo 7. Alfaomega. 2007.



RÚBRICA

Criterio Excelente(3)

Bueno (2.5) Regular (2) Por mejorar(1)

Puntuación

Orden,organización ynomenclatura

algebraica.

El trabajo espresentadode unamaneraordenada,clara yorganizadaque es fácilde leer. Laterminología

y notacióncorrectasfueronsiempreusadashaciendofácil de

entender loque fuehecho.

El trabajo espresentadode unamaneraordenada yorganizadaque es, porlo general,fácil de leer.La

terminologíay notacióncorrectasfueron, porlo general,usadashaciendo

fácil deentender loque fueh h

El trabajo espresentadoen unamaneraorganizada,pero difícilde leer. Laterminologíay notacióncorrectas

fueronusadas, peroalgunasveces no esfácilentender loque fue

hecho.

El trabajo se vedescuidado ydesorganizado.Es difícil saberquéinformaciónestárelacionada.Hay poco uso omucho uso

inapropiado dela terminologíay la notación.



INSTRUMENTO: ESCALA ESTIMATIVA OBJETO DE EVALUACIÓN: TALLERES

TIPO DE EVALUACIÓN: HETEROVALUACIÓN, PUNTAJE TOTAL: ________

CRITERIOS DE

FORMA

CRITERIOS DE LOGRO

Nulo

(0 punto)

INICIAL

(0.50 punto)

BÁSICO

(1 punto)

AVANZADO

(1.5 puntos)

Responsabilidad ypuntualidad

orden y aseo

Trabajo en equipo yorganización

Nomenclatura ysimbología

CRITERIOS DE

FONDO

Nulo

(0 punto)

INICIAL

(3 puntos)

BÁSICO

(6 puntos)

AVANZADO

(10 puntos)



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MATEMÁTICA I



REPÚBLICA DE PANAMÁ


FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIALADMINISTRATIVA

MÓDULO INSTRUCCIONAL DE MATEMÁTICA 1

PROFESOR: AQUILINO MIRANDA



CONTENIDO DEL CURSO

UNIDAD DE REPASO (TEORÍA DE LAS FUNCIONES REALES Y BASES DELÁLGEBRA PARA EL CÁLCULO)

UNIDAD DE APRENDIZAJE #1 (LÍMITE DE UNA FUNCIÓN)1.1 Concepto.1.2 Definiciones.1.3 Concepto de límite intuitivamente.1.4 Propiedades y teoremas de los límites.

1.5 Cálculo de límites utilizando los teoremas.1.6 Cálculo de los límites con cocientes indeterminados.1.7 Cálculo de los límites cuando x tiende a infinito.

UNIDAD DE APRENDIZAJE #2 (LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN)2.1 Concepto.2.2 Teoremas.

2.3 Derivadas de funciones trigonométricas, logarítmicas y exponenciales.2.4 Regla de la cadena.2.5 Derivadas de orden superior.2.6 Derivación implícita.2.7 Pasos para el cálculo de derivadas implícitamente.2.8 Rectas tangentes.

2.9 Teorema de valor intermedio.2.10 Ceros de una función.2.11 Máximos y mínimos de una función.



INTRODUCCIÓN

El cálculo es considerado como el primer gran logro de la matemática moderna; con

su aplicación se han podido lograr descubrimientos científicos importantes en los

siglos pasados. La ciencia y la tecnología recurren al cálculo para expresar leyesfísicas en términos matemáticos precisos y para estudiar las consecuencias de estas

leyes. Desde su desarrollo hasta el presente, el cálculo ha sido el principal lenguaje

para cuantificar en la ciencia y la tecnología y provee las herramientas matemáticas

que necesita un estudiante de ingeniería para continuar sus conocimientos y

entender los adelantos científicos.

El presente módulo instruccional está estructurado en tres unidades. Cada unidad

está desarrollada con una gran variedad de ejemplos, ilustraciones y diversas

actividades de aprendizaje.

El módulo se caracteriza por una presentación clara de cada tema, de fácil

comprensión mediante el empleo de un vocabulario sencillo. Dicho módulo es un



MENSAJE AL PARTICIPANTE

Estimado(a) participante, bienvenido al segundo cuatrimestre del 2015. Te exhorto

a que durante este periodo pongas todo tu esfuerzo, capacidad e interés para el

logro satisfactorio de los objetivos propuestos y de esta forma puedas perfeccionar

tus capacidades de análisis y razonamiento que te ayudarán a ser un mejor

individuo y futuro profesional.



UNIDAD DE REPASO GENERAL DE LA TEORÍA DE LASFUNCIONES REALES Y BASES DEL ÁLGEBRA PARA EL

CÁLCULO

Actividad previa: Responde las siguientes interrogantes.

¿Qué es para ti una función?, ¿Sabes cómo se grafican las funciones?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Actividad lógica:

Objetivo: Recordar y aplicar las generalidadesde las funciones reales: dominio, codominio,gráficas y operaciones fundamentales en lasolución de problemas. Aplicar las bases delálgebra en la solución de problemas del cálculo.

Carlos es un estudiante que deseaba ir a un evento deportivo. Al llegar a laentrada había tres personas esperando para entrar: Luis, Ana y José. El guardia deseguridad hacía una pregunta y dependiendo de la respuesta si era correcta oincorrecta la persona entraba o no. El guardia le preguntó a Luis 18 y élrespondió 9 y pudo entrar, a Ana le preguntó 14 y ella respondió 7 y pudo entrar,a José le preguntó 8 y él respondió 4 y pudo entrar y por último a Carlos le



P.2 Concepto de función: es una relación a la cual se añade la condición de que acada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido. Dar unafunción es establecer una forma de hacer corresponder un valor y sólo uno a cada

valor de la variable. Se expresa de la forma y f x donde x es la variableindependiente, y (y) es la variable dependiente y f es la función. El campo devariabilidad de la (x) se llama dominio o campo y al de (y) se le llama codominio,



P.3 Notación de función: La notación y f x indica que y es una función de

x

Evaluación Formativa : Identifica si los siguientes diagramas corresponden a unafunción o simplemente a una relación.

DIAGRAMAS DIAGRAMAS

1

2

3

7

8

9

5

10

11

28

9



____________________________________ __________________________________

______________________________ ___________________________

Construya un diagrama que correspondaa una relación cualquiera

Construya un diagrama que correspondaa una función



P.6 Tipos de funciones: Existen diversos tipos de funciones las cuales definimos acontinuación.

P.6.1 Función Constante: es aquella endonde cada valor del dominio siempretendrá la misma imagen. Es decir,

( ) , f x C C R Su dominio es elconjunto de losnúmeros reales ysu recorrido es laconstante C.

P.6.2 Función Idéntica: Se denominafunción identidad, porque a cadanúmero del eje de abscisas lecorresponde el mismo número en el ejede ordenadas.Se representa

de la forma( ) f x x su

dominio ycodominioincluyen todoslos números

reales.

P.6.3 Función lineal: Una función es linealsi es de la forma

f x mx b

Donde m y b son

números oconstantes,

0m d i i

P.6.4 Función cuadrática: las funcionescuadráticas sonaquellas que seescriben de lasiguiente forma:

2 , 0 f x ax bx c a su dominio incluye



se hace cero y su recorrido excluye laimagen del o los valores que quedanfuera del dominio y esto se obtiene

despejando la variable dependiente entérmino de la independiente.P.6.7 Función exponencial: Se llaman asía todas aquellas funciones de la forma

( ) x f x b , en

donde la base

b, es unaconstante y elexponente lavariableindependiente.La definición de función exponencialexige que la base sea siempre positiva y

diferente de uno ( 0, 1)b b . La

condición que b sea diferente de uno seimpone, debido a que al reemplazar a b

por 1, la función xb se transforma en la

función constante ( ) 1 f x . La base no

puede ser negativa porque funciones dela forma 1/2( ) ( 9) f x no tendrían sentido

en los números reales. En la

P.6.8 Función logarítmica: Se llamafunción logaritmo de base (a), a lafunción

( ) log , 0, 1a f x x a a La funciónlogaritmomásutilizadaes la quetiene porbase al

número (e), de hecho cuando se hablade la función logaritmo sin especificarla base, es porque se trata del número(e) el cual es la base de los logaritmosnaturales. Dado que la funciónexponencial es la inversa de la funciónlogarítmica, el rango de la función

logarítmica es el dominio de la funciónexponencial de base (e), que es elconjunto de todos los números reales.



logarítmica, exponencial otrigonométrica.

cotangente.

P.6.11 Función irracional: una función quecontenga la raíz indicada de una expresiónalgebraica se llama irracional.

GRÁFICAS, DOMINIO Y CODOMINIO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

( ) ( ) f x sen x

Dominio: todos los números reales.

Recorrido: 1,1

( ) cos( ) f x x

Dominio: todos los números reales.

Recorrido: 1,1

( ) tan( ) f x x ( ) cot( ) f x x



Dominio: R - {múltiplos impares de pi/2}

Rango: (-infinito, -1] U [1, +infinito)

Dominio: R - {múltiplos de pi}Rango: (-infinito, -1] U [1, +infinito)

Evaluación Formativa: Analiza la definición, asóciala con el términocorrespondiente ylocaliza dicho términoen la sopa de letras.

funciones de la

forma ( ) x f x b

cada valor del

dominio siempretendrá la mismaimagen.

porque a cada

número del eje deabscisas le



( ) log , 0, 1a f x x a a

( )( ) , ( ) 0

( )

f xh x g x

g x

f x mx b

1 0( ) ...n

n f x a x a x a

2 , 0 f x ax bx c a

P.7 Gráficas de las funciones lineales: Las gráficas de las funciones linealessiempre son líneas rectas y se construyen en el plano cartesiano. Para graficarfunciones lineales se construye una tabla, donde cada valor de x que es la variablesindependiente, generar un valor o imagen para y o f(x) que es la variabledependiente.

PLANO CARTESIANO

Segundo cuadrante (-,+) primer cuadrante (+,+)



0, 0 3 0 1 1

2, 2 3 2 1 6 1 7

3, 3 3 3 1 9 1 10

4, 4 3 4 1 12 1 11

x f

x f

x f

x f

Luego se ubican todos los pares de puntos en el plano cartesiano, dando comoresultado la siguiente gráfica:



Dada a función cuadrática 2 , 0 f x ax bx c a el vértice ,V x y se

obtiene de la siguiente forma: 2

b

x a

24

4

ac b

y a

Ejemplo: Graficar 2 2 3 f x x x

Calculemos primero el vértice, para este caso tenemos que 1, 2, 3a b c

Luego,

2 21

2 2 1 2

b x

a

22 4 1 3 24 12 4 164

4 4 1 4 4

ac b y

a

De donde el vértice es 1, 4

Luego asignamos algunos valores para la variable x, donde cada valor de xgenerará un valor para f(x).

2

2

2

2, 2 2 2 2 3 4 4 3 5

1, 1 1 2 1 3 1 2 3 0

0 0 0 2 0 3 0 0 3 3

x f

x f

f



Ejemplo: Graficar 22 f x x

Calculemos primero el vértice, para este caso tenemos que 2, 0, 0a b c

Luego, 0 0

02 2 2 4

b x

a

22 4 2 0 04 0 0 00

4 4 2 8 8

ac b y

a

D d d l é ti 0 0 L i l l l i bl



Evaluación formativa: grafica las funciones, además determina su dominio y

codominio 22 5 f x x x 22 2 f x x P.9 Gráfica de las funciones irracionales: para graficar funciones irracionales, loprimero que tenemos que hacer es determinar su dominio, para saber cuáles sonlos valores que podemos sustituir en la función.

Ejemplo: graficar la función( ) 2 5 f x x Solución: busquemos su dominio,

5 52 5 0 2 5 ,2 2

f x x x D



P.10 Gráfica de las funciones exponenciales ( ) x f x b . Dependiendo de la base,

si es positiva o negativa la gráfica está formada por una o dos ramasrespectivamente.

ACTIVIDAD FORMATIVAGrafica las siguientes funciones, determina su dominio y codominio.

2 5 f x x 22 4 f x x x ( ) 3 6 f x x

3 2( ) 5 3 2 f x x x x ( ) 3

x f x



0.5 30(0.5) 15 15 15 0

1 30(1) 15 30 15 15

1.5 30(1.5) 15 45 15 30

2 30(2) 15 60 15 45

8 30(8) 15 240 15 225

x y

x y

x y

x y

x y

Respuesta: Al transcurrir 8 horas el algodonero habrá recogido 225kg

EVALUACIÓN FORMATIVA

1. En un día por el alquiler de un auto cobran una cuota fija de B/.50 yadicionalmente B/.2 por kilómetro recorrido. Escribe la ecuación canónica querepresenta esta función ¿cuánto dinero hay que pagar para hacer un recorrido de150 K ? i l d B/ 100 kiló í?



puede ser modelada por20.000234( 80) 1.5 y x , donde x es la distancia

desde la izquierda del campo y y es la altura del campo. ¿Cuál es el ancho delcampo?

A) 80 pies B) 1.5 pies C) 234 pies D) 160 pies

5. Una granjera tiene 1000 pies de cerca y un campo muy grande. Pone una cercaformando un área rectangular con dimensiones x pies y 500 – x pies. ¿Cuál es elárea del rectángulo más grande que puede ella crear?

A) 62,500 pies2 B) 250,000 pies2 C) 1,000 pies2 D) 500 pies2

6. Se te da la siguiente información de precio y cantidad. Escribe una ecuación querepresente la ganancia anual P para un precio s . El costo de producción por artículoes de $30.

PreciodeVentas

Cantidadvendidaq

100 7000



REPASO GENERAL DE ÁLGEBRA PARA EL CÁLCULO

El estudio de esta unidad se deja al estudiante (todos estos temas

fueron tratados en el álgebra del colegio)CASO # 1 FACTOR COMÚN MONOMIO

Factorizar los siguientes polinomios aplicando el factor común monomio.

3 4 28 4 6ax bx cx

Se observa claramente que 8, 4 y 6 tienen en común el # 2, pues es el máximocomún divisor que tienen los tres, y además cada término del polinomio tienen en

común la letra x pero con diferentes potencias, cuando esto sucede se toma la

que tiene el exponente menor en este caso2 x , éstos son los únicos elementos

comunes que tienen los términos del polinomio ahora se procede a dividir cada

término del polinomio entre lo común, de la siguiente manera:

Para3 4 28 4 6ax bx cx se tiene que:

Se divide número o simplifica número entre número ylas letras que son iguales se dividen entre ellas, si

hay alguna letra que solamente aparece en un lado en este caso la a que sólo estáa iba se le adiciona a la esp esta p es no se p ede simplifica con nada

33 2

2

84 4

2

axax ax

x



Solución: el máximo común divisor de 10, 5 y 20 es 5 y de las letras para la x sumenor exponente es 1 y para la y su menor exponente es 2. Para este caso el

término común es

2

5 xy Ahora procedemos a dividir:

3 2

3 1 2 2 2 0 2 2

2

102 2 2 1 2

5

x y x y x y x x

xy

2 3

2 1 3 22

515

x y x y xy xy

4

1 1 4 2 0 2 2 2

2

204 4 4 1 4

5

xy x y x y y y

xy

Luego, 3 2 2 3 4 2 2 210 5 20 5 2 4 x y x y xy xy x xy y

Factorizar:2 2 2 2 218 54 36mxy m x y my

Solución: el máximo común divisor de 18, 54 y 36 es 18 y de las letras que son

Comunes para la m el menor exponente es 1 y para la y su menor exponente es2, la x no es común en los tres términos.



Luego,

2 2 2 2 2 2 218 54 36 18 ( 3 2)mxy m x y my my x mx

CASO # 2 FACTOR COMÚN POLINOMIO

Se sigue el mismo procedimiento que el caso anterior, solamente que para estecaso resultará como elemento común un polinomio y no un monomio.

Ejemplos:

Factorizar los siguientes polinomios aplicando el factor común polinomio.

a)

2 5 x a b m a b w a b a b

Solución: todos los términos tienen en común el polinomio a b

Luego dividimos.

1 1 0

1 x a b

x a b x a b x xa b

1 1 0

1

m a b

m a b m a b m ma b

2 b



21 1 02 2 2 2

22 2 2 1 2

x m n x m n x m n x x

m n

1 1 02

2 2 2 1 2m n

m n m nm n

2

2 1 x m n

x m n x m nm n

Luego,

22 2

2

2

2 2 2 2

2 2

4

x m n m n x m n m n x x m n

m n x xm xn

m n x xm xn

Factorizar: 2 2 24 3 3 2 22 4 6a b x y a b x y a b x y

Solución:

2, 4 y 6 tienen en común el 2 que es su máximo común divisor también tienen enel signo menos, la a y su menor exponente es 2 y de la b su menor exponente es

2



222 2 02 2 1 1 0 0

22

63 3 3 1 1 1 3

2

a b x ya b x y a b x y

a b x y

Luego,

2 2 2 24 3 3 2 2 2 2 22 4 6 2 2 3a b x y a b x y a b x y a b x y a b ab

CASO # 3 FACTORIZACIÓN DE LA FORMA x m x n

Este caso se aplica a polinomios de la forma2 x bx c

Para Factorizar estos polinomios se deben buscar dos números que son únicos,cuya multiplicación sea igual a c, es decir el término libre y cuya suma o resta seaigual a b, es decir al coeficiente numérico de x. Para este caso de factorización sedeben recordar las leyes de los signos para la suma y la multiplicación.

Ejemplos: Factorizar: 2 5 6 x x

Luego, 2 5 6 2 3 x x x x

Se observa claramente que 2 3 6 y que 2 3 5

Factorizar: 2 4 21 x x



Se observa claramente que 15 y que 5 3 8

CASO # 4 FACTORIZACIÓN MEDIANTE LA FÓRMULA GENERAL

2 4

2

b b ac x

a , este caso únicamente se puede aplicar a polinomios de la

forma2 , 0ax bx c a

Factorizar:26 2 x x De donde:

6, 1, 2a b c

Aplicando la fórmula general obtenemos:

Luego del valor obtenido de la raíz, se tomauno positivo y uno negativo y se obtienen los dos valores de x.

1 7 8 2

12 12 3 x

,1 7 6 1

12 12 2 x

2

1 1 4 2

2

1 1 48

12

1 4912

1 7

12

x

x

x

x



UNIDAD DE APRENDIZAJE #1LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

1.1 Concepto: El concepto de límite en Matemáticas tiene el sentido de “lugar”hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito. Ennotación simbólica tenemos que dada una función f x y un punto x a se dice

que el límite de f x cuando x se acerca al valor “a” es L y se denota como:

lim x a

f x L

Dado 0 , existe 0 tal que siempre que x a , entonces ( ) f x L Lo

que viene a expresar esta formulación matemática es que si “x” está

“suficientemente cerca” de a, entonces su imagen f x también está muy próxima

a L.

Objetivo: Calcular el límite de una funciónpor diversos métodos según sea el caso.



Propiedad: Para que una función f x tenga límite en x a es necesario y

suficiente que existan ambos límites laterales y coincidan, es decir:

lim ( ) lim ( ) lim ( ) x a x a x a

f x f x f x

1.3 Concepto de límite intuitivamente: Fundamentalmente puede decirse que unlímite es algo que no puede sobrepasarse. En otras palabras sería el estado final deuna cosa.

Analicemos un ejemplo sencillo: 3 1

( ) , 1

1 f

x f x D R

x

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

( ) f x 13 7 3 1 1 ?

7 13 21

Para este ejemplo el único número que no debe usarse en la tabla es el uno, pero sí

pueden usarse infinitos números entre el 1 y el 0, y entre el 1 y el 2.

x 0.5 0.75 0.9 0.99 0.999 1 1.0001 1.001 1.01 1.1 1.25 1.5

( ) f x 1.750 2.313 2.710 2.970 etc ?

etc 3.003 3.03 3.31 3.813 4.75

Se observa claramente que ( ) f x se aproxima al número tres por la izquierda y de

igual forma por la derecha de donde se puede concluir que

3

1

1lim 3

1x

x

x



Si ( ) , f x c c R entonces, lim x a

c c

Múltiplo escalar lim lim x a x abf x b f x donde b es un número real.

Suma o Resta de funciones lim lim lim x a x a x a

f x g x f x g x

Producto de funciones lim lim lim x a x a x a

f x g x f x g x

Cociente de funciones

limlim

lim x a

x a

x a

f x f x

g x g x

El lim ( ) lim ( )n

n x a x a

f x f x

1.5 Cálculo del límite de una función utilizando los teoremas.

Ejemplos: Calcular2

2lim 2 3 5 x

x x

Para calcular el límite

simplemente sustituimos la x por surespectivo valor.

Calcular2

1lim 2 8

x x x

Para calcular el límite simplementesustituimos la x por su respectivovalor.



00 , 0n

n , , 0

0

nn ,

0

0 Cuando esto sucede

obligatoriamente hay que factorizar si es un polinomio, y si interviene raíces, semultiplica por el conjugado.

Calcular

2

3

9lim

3 x

x

x

Al evaluar este límite el resultado es 00

y

como son polinomios, tenemos queFactorizar.

2

3

3

3

9lim

33 3

lim3

lim 3

3 36

x

x

x

x

x x x

x

x

Calcular

2

22

4lim

3 2 x

x

x x

Al evaluar este límite el resultado es0

0 y como son polinomios, tenemos

que Factorizar.

2

22

2

4lim

3 22 2

lim2 1

x

x

x

x x x x

x x

2

2lim

1

2 2

2 1

x

x

x



2

21

1

8 7lim

21 7

lim1 2

x

x

x x

x x x x

x x

1

7lim

2

1 71 2

6

3

2

x

x

x

ACTIVIDAD FORMATIVA

Calcule los siguientes límites.

2

1lim 4 2 1 x

x x

2

4

16lim

4 x

x

x

2

22

5 6lim

4 x

x x

x

22

lim 2 7 x

x x

2

24lim2 x

x x

2

239 18lim

9 x x x

x

Calcular

2

21

7 9 2lim

5 2 3 x

x x

x x

Debemos factorizar ambos polinomios.2

2

7 9 2lim

x x 27 7 9 2 x x 25 5 2 3 x x



2

22

2

2

6 14 4lim

8 12 8

2 6 2lim2 8 4

6 2lim

8 4

6 2 2 12 2

8 2 4 16 4

10 1

20 2

x

x

x

x x

x x

x x x x

x

x

2

2

6 6 14 4

6

6 14 6 246

6 12 6 2

6

6 2 6 2

6

2 6 2

x x

x x

x x

x x

x x

2

2

8 8 12 8

8

8 12 8 64

8

8 16 8 4

8

8 2 8 4

8

2 8 4

x x

x x

x x

x x

x x

Calcular

2

25

2 11 5lim

4 18 10 x

x x

x x

Debemos factorizar ambos polinomios.

2

25

5

5

2 11 5lim

4 18 10

5 2 1lim

5 4 2

2 1

lim 4 2

2 5 1 10 1

x

x

x

x x

x x

x x

x x

x

x

2

2

2 2 11 5

2

2 11 2 10

2

2 10 2 12

2 5 2 1

x x

x x

x x

x x

2

2

4 4 18 10

4

4 18 4 40

4

4 20 4 24

4 5 4 2

x x

x x

x x

x x



2 2 2

2 2 21 22

2 32 2 2

2 2 247 1

3

3 8 4 6 2 6 2lim , lim , lim

2 7 6 10 3 1 9 15 6

2 15 7 5 2 3 3 10 8lim , lim , lim

49 11 12 3 5 12

x x x

x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x

EVALUACIÓN SUMATIVA (3 INTEGRANTES)

Calcula los siguientes límites: puntos, resolución de los problemas 40 puntos (10puntos cada uno)Criterios de evaluación: orden y aseo 2

2 2 2 2

2 2 2 29 1 1 7

2 63 2 3 12 4 8 2 4 70lim , lim , lim , lim

5 36 5 3 2 8 12 20 5 30 35 x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x x

Calcular2

1 3lim

2 x

x

x

Solución: como es un límite indeterminado donde

intervienen raíces, tenemos que multiplicar por el conjugado.

2 2

2 2

2

1 3 1 3 1 3lim lim

2 2 1 3

1 3lim

2 1 3

x x

x

x x x

x x x

x

x x



0 0

2 20

0

0

0

2 2lim lim

2 2 2 2 2 2

2 2lim2 2

2 2lim

2 2

2 2lim

lim 2 2

2 0 2 2 2 2 2

x x

x

x

x

x

x x x

x x x

x x x

x x

x

x x

x

x

Calcular

3

2

1 3lim

1 2 3 x

x

x

Solución: como es un límite indeterminado donde

intervienen raíces, tenemos que multiplicar por el conjugado.

3 3 3

32 2

223

2

322

3

1 3 1 3 1 3 1 2 3lim lim

1 2 3 1 2 3 1 2 31 3

1 3 1 2 3lim

1 31 2 3

1 9 1 2 3li

x x

x

x x x x

x x x x

x x

x x

x x




Calcula los siguientes límites:

2

4 9 0 3

2 81 2 4 1 2lim , lim , lim , lim

35 3 2 6 x x x x

x x x x

x x x x

EVALUACIÓN SUMATIVA (3 INTEGRANTES)

Calcula los siguientes límites: puntos, resolución de los problemas 40 puntos (10puntos cada uno). Criterios de evaluación: orden y aseo 2

4

21 0 4 7

3 2 16 4 2 2 3lim , lim , lim , lim

493 5 4 2 2 x x x x

x x x x

x x x x

1.7 Límites cuando x . Dadas dos funciones ( ), ( ) f x g x entonces

( )lim , ( ) 0

( ) x

f x g x

g x depende de los siguientes casos:

( )si el grado de ( ) es menor que el grado de ( ) lim 0( ) x

f x f x g x g x

( )i l d d ( ) l d d ( ) li

f xf



3 2

3 2 5 5 5 5

5 3 25 3 2

5 5 5 5 5

2 3 4 5

2 3 4 5

2 3 4 5

2 3 4 5

4 2 7 94 2 7 9

lim lim8 3 5 18 3 5 1

4 2 7 9

lim3 1 5 1

8

4 2 7 9

3 1 5 18

0 0 0 0 008 0 0 0 0 8

x x

x

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x

x x x x

x x x x

Calcular

3 2

5 3 2

4 2 7 9lim

8 3 5 1 x

x x x

x x x x

Solución: debemos dividir cada término tanto

del numerador y del denominador entre la mayor potencia de toda la función.4 3 2

4 3 2 4 4 4 4

3 23 2

2 5 7 32 5 7 3lim lim

6 4 8 26 4 8 2 x x

x x x x x x x x x x x xx x xx x x



Calcular

3 2

3 2

5 8 7 4lim

10 6 2 3 x

x x x

x x x

Solución: debemos dividir cada término tanto del

numerador y del denominador entre la mayor potencia de toda la función.

3 2

3 2 3 3 3 3

3 23 2

3 3 3 3

2 3

2 3

2 3

2 3

5 8 7 45 8 7 4

lim lim10 6 2 310 6 2 3

8 7 45

lim 6 2 310

8 7 45

6 2 210

5 0 0 0 5 1

10 0 0 0 10 2

x x

x

x x x x x x x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x

x x x

Calcular

29 16

lim 2 10 x

x

x

Solución: debemos dividir cada término tanto del

numerador y del denominador entre la mayor potencia de toda la función.



EVALUACIÓN FORMATIVACalcula los siguientes límites:

4 2 3 2 4 3 2

3 2 3 2 5 4 3

2

12 9 3 1 14 4 6 5 3 3 11 30 22lim , lim , lim5 5 10 7 7 2 8 3 2 10 6 2

10lim

x x x

x

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

x x

x

Problema de aplicación: Se sabe que el precio de un artículo a través del tiempo

en “x” meses está dado por la función8

( ) ax

f x x b

si se sabe que el precio de este

artículo en el próximo mes será de B/.6.50 y el siguiente será de b/.6.00, se deseasaber: a) El precio del artículo para este mes, b) ¿En qué mes el precio será deB/.5.50? c) ¿Qué ocurre con el precio a largo plazo?

Solución: sea x: el tiempo en meses y f: el precio en B/. Consideremos el mesactual como x=0, luego el próximo mes será x=1 y el siguiente mes al próximo x=2y a lo largo del tiempo x se aproxima a infinito.

Primero debemos determinar el valor de “a” y el de “b” dentro de la función.

Por dato del problema el precio de este artículo el próximo mes será de B/.6.50,

8 1 8 8li

ax a a



Luego formamos un sistema de ecuaciones para encontrar dichas incógnitas,

6.50 1.5 2 6.50 1.5 2 13 3

2 6.00 4 2 6.00 4 2 6.00 4

a b a b a b

a b a b a b

De donde se deduce

77 7 1, 6.50(1) 1.5 1.5 6.50 5

7b b b a a a

Luego la función precio está dada por5 8

( )

1

x f x

x

a) El precio del artículo para este mes está dado por:

0

5 8 5(0) 8 8lim / .8.00

1 0 1 1 x

x B

x

b) ¿En qué mes el precio será de B/.5.50?

5 85.50 5 8 5.50( 1) 5 8 5.50 5.50 8 5.50 5.50 5

1

x x x x x x x

x

Luego,

2.500.50 2.50 5

0.50 x x x por lo tanto dentro de 5 meses el precio

será de B/.5.50c) ¿Qué ocurre con el precio a largo plazo?

5 8 855 8 5 0 5

lim / .5.001 11 1 0 1

1 x

x x x x B

x x



3) Cierta función de costos se define por24 100

( )5

xC x

x

donde “x” es el número

de artículos producidos (en cientos) y C es el costo de la producción (en miles de

dólares), Encontrar5 3 0

lim ( ) , lim ( ) , lim ( ) x x x

C x C x C x

“UNIDAD DE APRENDIZAJE #2 “LA DERIVADA DE UNAFUNCIÓN”

2.1 Concepto de derivada: sea f una función definida en un intervalo abierto que

contiene la variable “a”, entonces la derivada de “f” en “a”, denotada por ' f a

está dada por:

0' lim

h

f a h f a f a

h

Si este límite existe.

2.2 Teoremas sobre las derivadas de funciones

Objetivos: Calcular la derivada de una función.

Aplicar la derivada para determinar la pendiente deuna recta y para resolver problemas de optimización

(máximos y mínimos)



Ejemplos:

Derivar 25 1 y x x

2

'' 2 2

' 2

' 2 2

' 2

5 1

5 ' 1 5 1

1 1 5 2

1 2 103 1 10

y x x

y x x x x

y x x x

y x x x y x x

Derivar3

4 2 1 y x x

3

3 1

2

2

4 2 1

' 4 3 2 0

' 4 3 2

' 12 2

y x x

y x

y x

y x

Derivar 2

5 2

3

x y

x x

2

2 2

22

2

22

5 2

3

5 2 ' 3 5 2 3 ''

3

5 3 5 2 2 3'

3

x y

x x

x x x x x x y

x x

x x x x y

x x

Derivar

2

2

3 4

5

x x y

x x

2

2

2 2 2 2

22

2 2

22

3 4

5

3 4 ' 5 3 4 5 ''

5

6 4 5 3 4 2 5'

5

x x y y

x x

x x x x x x x x y

x x

x x x x x x y



2.3 Derivada de las funciones trigonométricas, logarítmicas y exponenciales.

( ) f x senx cos x tan x cot x sec x csc x

( ) f x

cos x

senx

2sec x

2csc x

sec tan x x

csc cot x x

( ) f x xe axe

ln x xa loga x

( ) f x

xe axae 1 x

´ ln x x a a ´

ln x

x a

Derivar ( )1 cos

senx f x

x

2

2

2

2

2 2

´ 1 cos 1 cos ´´( )

1 cos

cos 1 cos cos´( )

1 cos

cos cos´( )1 cos

cos cos

senx x senx x f x

x

x x senx x f x

x

x x senx senx f x

x

x x sen x

Derivar5( ) 2 ln tan x x f x x x e

5

2 5

( ) 2 ln tan

1( ) 2 ln 2 sec 5

x x

x x

f x x x e

f x x e x

Derivar ( ) x f x e senx

( ) xf



Observación: muchas veces, para derivar una función compuesta, debe aplicarse laregla de la cadena más de una vez.

Fórmulas generalizadas para la variable “U”

( ) f x senu cosu tanu cot u secu cscu

( ) f x

ćosu u ú senu 2´secu u

2ćscu u

sec tanu u u

csc cotu u u

( ) f x ue axe ln u ua nu loga u

( ) f x ´ uu e axae

ú

u

´ lnuu a a 1 ńnu u

´

ln

u

u a

Derivar 4

( ) 3 5 f x x

4

4 1

3

3

( ) 3 5

( ) 4 3 5 3 5

( ) 4 3 5 3( ) 12 3 5

f x x

f x x x

f x x f x x

Derivar2

3( ) x f x e

2

2

2

3

2 3

3

( )

( ) 3

( ) 2

x

x

x

f x e

f x x e

f x xe



existe su primera derivada f´(x), en el caso de que se pueda obtener, la derivada dela función obtenida de aplicar la derivada se le llama segunda derivada:

( ) Es la función.

( ) ( ) Es la derivada de la función.

´ ( ) ( ) ( ) Es la derivada de

f xd

f x f xdx

d d d f x f x f x

dx dx dx

la derivada de la función.

De manera similar se puede obtener las derivadas de mayor orden, sin embargo esnecesario aclarar que las derivadas de una función dependen de las característicasde la función y es posible, y frecuentemente sucede, que algunas derivadas existenpero no para todos los ordenes pese a que se puedan calcular con las formulas. Esnecesario considerar los teoremas expuestos en la sección de los teoremas.

Hallar la cuarta derivada

de5 2( ) 1 f x x x

Solución:

5 2

4

( ) 1

( ) 5 2

f x x x

f x x x

Hallar la tercera derivada de5 4( ) 3 4 ( ) f x x x sen x

Solución:

5 4

4 3

( ) 3 4 ( )

( ) 15 16 cos( )

f x x x sen x

f x x x x

Hallar la cuartaderivada de

2 3( ) x x f x e e

Solución:2 3( ) x x f x e e



2.7 Pasos para determinar la derivación implícita:

Derivar ambos lados de la igualdad con respecto a “x”.

Agrupar todos los ´ y al lado izquierdo de la igualdad.

Factorizar todos los ´ y y por último despejar ´ y y esa será la derivada.

Derivar implícitamente2 22 4 2 x y y

Solución:

2 4 ´ 4 ´ 0

( 4 4) 2

x yy y

y y x

Derivar implícitamente3 2 25 2 4 y y y x

Solución:

2

2

2

2

3 ´ 2 ´ 5 4 0

3 ´ 2 ´ 5 ´ 4

(3 2 5) 4

4

´ 3 2 5

y y yy y x

y y yy y x

y y y x

x

y y y

Derivar implícitamente2 2 1 xy x x y

Solución:

2 2

2

2

2

2

1

2 ´ 2 1 ´

2 ´ ´ 1 2

´ 2 1 1 2

1 2´

2 1

xy x x y

y xyy x y

xyy y x y

y xy x y

x y y

xy

Derivar implícitamente2 23 2 3 x y x y

Solución:

6 2 3 2 ´2 ´ 2 ´ 3 6

(2 2 ) 3 6

x y yy y yy x

Derivar implícitamente2 2 2 3 2 x y xy x

Solución:

2 2 ´ 2 2 ´ 3

2 ´ 2 ´ 2 3 2

´ 2 2 2 3 2

2 2 3´

2 2

x yy y xy

yy xy y x

y y x y x

y x y

y x



2.8 rectas tangentes: La derivada de la función ( ) f x en el punto “P” es igual a la

pendiente de la recta tangente en ese punto. Las coordenadas del punto “P” son

1 1

( , ( )) x f x , es decir que el punto “P” forma parte de la gráfica de la función. La

pendiente “m” es igual a la tangente del ángulo que forman la función ( ) f x y la

recta tangente. 1( ) tan f x m La ecuación de la recta tangente en el punto

“P” es 1 1( ) y m x x f x

Dada la función2( ) f x x

Hallar la ecuación de la recta tangente

en el punto 1 3 x

Solución: calculemos 1 f x

2

(3) 3 9f

Dada la función3 2( ) 2 5 2 f x x x

Hallar la ecuación de la recta tangente en el

punto1

2 x Solución: calculemos 1

f x

3 2

( 2) 2 2 5 2 2

( 2) 16 20 2 20 18 2

f

f

Ahora procedemos a derivar la función.2( ) 6 10 f x x x Evaluamos 1 2 x ,

2( ) 6 2 10( 2)

( ) 24 20 4

f x

f x



2.9 Teorema del valor intermedio en las derivadas: sea f una función continua

en un intervalo cerrado ,a b y su supongamos que ( ) ( ) f a f b entonces

para cada valor “z” tal que ( ) ( ) f a z f b existe un valor “x” dentro del intervalo

abierto ,a b tal que ( ) f x z La misma conclusión se obtiene en el caso de que

( ) ( ) f b f a En palabras más simples, según el teorema del valor intermedio, si

una función f es continua en un dominio y tiene un valor máximo “m” y un valor

mínimo “n”, la función f toma todos los valores intermedios entre m y n.

Si consideramos la función2( ) 1 f x x en el intervalo 2,2 observamos que:

x -2 -1 0 1 2

( ) f x 3 0 -1 0 3

2.10 Los ceros de una función: corresponde a las raíces de la función, donde sugráfica toma el valor de “0”, es decir que la gráfica intercepta al eje “x”. En muchas

ocasiones para determinar los ceros de la función es necesario aplicar algunosmétodos de factorización.

Se observa claramente que los puntos

2,3 , 2,3 son valores máximos de la

función y que 0, 1 es un punto mínimo.

Hallar los ceros de la función Hallar los ceros de la función3 4( )

1 2 f x

x x



existe un intervalo abierto ,a b

que contiene a “c” tal que

( ) ( ), ( , ) f c f x x a b

Teorema: Si ( ) y f x es

continua para todos los valoresde “x” en un intervalo abierto

,a b y tiene un extremo relativo

(máximo o mínimo) en

x c donde ( , )c a b entonces

( ) 0 "o" f (c) no existe. f c

El recíproco de este teorema es falso. En general los valores de “x” para los cuales

( ) 0 "o" f (c) no existe f c se denominan valores críticos de la función.

2.12 Funciones crecientes y decrecientes: Si ( ) f x es mayor que cero en un

intervalo “I” para todo valor x I entonces ( ) f x es creciente en ese intervalo. Si

( ) f x es mayor que cero en un intervalo “I” para todo valor x I entonces ( ) f x

es decreciente en ese intervalo.



Si ( ) 0 f x para todo “x” en ,a b entonces f es creciente en ,a b

Si ( ) 0 f x para todo “x” en ,a b entonces f es decreciente en ,a b

Si ( ) 0 f x para todo “x” en ,a b entonces f es constante en ,a b

2.13 Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos: Supongamos que

f es continua en el intervalo ,a b y que “c” es el único valor crítico de f en

,a b entonces:

Decimos que existe un máximo relativo en x c si antes de “c” la función es

creciente y después de “c” la función es decreciente. Es decir si ( ) f x pasa de

positivo a negativo.

Decimos que existe un mínimo relativo en x c si antes de “c” la función es

decreciente y después de “c” la función es creciente. Es decir si ( ) f x pasa de

negativo a positivo.

Si no hay cambios de signo en laprimera derivada antes y después

del valor crítico, entonces lafunción f tiene un punto de

inflexión en x c Un punto de



Observación: Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada esmayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función. Una funcióntiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que encualquier otro punto del dominio de la función.

2.14 Concavidad hacia arriba y hacia abajo (criterio de la segunda derivada):

Sea ( ) f x una función continua en un intervalo “I”, se dice que ( ) f x es cóncava

hacia arriba en dicho intervalo si ´ ( ) 0 f x para cualquier “x” elemento del

intervalo. Se dice que ( ) f x es cóncava hacia abajo en dicho intervalo si

´ ( ) 0 f x para cualquier “x” elemento del intervalo.

Ejemplo: Trazar la gráfica de3( ) 27 4 f x x x determine su dominio,

codominio, construya la gráfica, los máximos, mínimos, intervalos de crecimientoy concavidad.

Solución:



seleccionaremos el -4, el -1 y el 5, no nos interesa el valor que resultará alsustituir, solamente nos interesa el signo de los valores resultantes.

2( 4) 3( 4) 27 3(16) 27 48 27 21 f

2( 1) 3( 1) 27 3(1) 27 3 27 24 f

2( 4) 3(5) 27 3(25) 27 75 27 48 f

-

Ahora vamos a determinar la imagen de cada uno de los valores críticos, para estorecurrimos a la función original.

3

3

(3) (3) 27(3) 4 27 81 4 50

( 3) ( 3) 27( 3) 4 27 81 4 58

f

f

De donde se forman las parejas de puntos (3, 50), 3, 58

Con la ayuda de la recta real podemos deducir que la función crece en los

intervalos , 3 , 3, y decrece ( 3,3) Recuerde que Una función

( ) f x es creciente en un intervalo I (donde es continua) si ( ) 0 f x para



seleccionaremos el -2, y el 3, no nos interesa el valor que resultará al sustituir,solamente nos interesa el signo de los valores resultantes.

´ ( 2) 6( 2) 12

´ (3) 6(3) 18

f

f

-

La gráfica de f es cóncava hacia abajo en (− ∞,0). La gráfica de f es cóncava haciaarriba en (0,+∞)

Puntos de inflexión: Los puntos de inflexión son aquellos donde cambia laconcavidad. x = 0 es un punto de inflexión pues allí la gráfica cambia su

concavidad, en este caso de creciente a decreciente.Gráfica EVALUACIÓN FORMATIVA

Dadas las siguientesfunciones determina sudominio, codominio, traza la

gráfica, determina susmáximos, mínimos,intervalos de crecimiento y



En ocasiones es preciso considerar las restricciones que se tengan en el problema,ya que éstas generan igualdades entre las variables que permiten la obtención de lafunción de una variable que se quiere minimizar o maximizar. En este tipo deproblemas se debe contestar correctamente las siguientes preguntas:_ ¿Qué se solicita en el problema?_ ¿Qué restricciones aparecen en el problema?

La respuesta correcta a la primera pregunta nos lleva a definir la función quedeberá ser minimizada o maximizada. La respuesta correcta a la segunda preguntadará origen a (al menos) una ecuación que será auxiliar para lograr expresar a la

función deseada precisamente como una función de una variable.

Ejemplo: ¿Qué longitud y anchura debe tener un rectángulo de 100 pies deperímetro para que su área sea máxima?

2 2 Perimetro x x y y P x y

A

y

y

xx




1) Una ventana tiene forma de un rectángulo coronado por untriángulo equilátero. Encuentre las dimensiones del rectángulo

para que la ventana permita la máxima entrada de luz (espacio,área), si el perímetro de la misma debe ser 12 metros.

Recuerde que el perímetro de una figura plana se obtienesumando las longitudes de sus lados, el área de un rectángulo esigual al producto de dos de sus lados contiguos y el área de un

triángulo equilátero 23

longitud de un lado4 A

2) El costo total en miles de dólares de pedido y almacenaje de “x” automóviles es:

1( ) 4 720 921600C x x x Determine el tamaño del pedido que minimiza el

costo total de la producción.

3) Una caja con tapa y base cuadrada debe tener un volumen de 380cm el preciodel material utilizado para la base es de B/.3.00 por centímetro cuadrado y elutilizado para los lados y la tapa es de B/.2.00 calcular las dimensiones de la cajapara que resulte lo más económico posible.



UNIDAD DE APRENDIZAJE #3

(LA INTEGRAL INDEFINIDA)

3. La Integral Indefinida: Una función ( ) F x cuya derivada en un cierto punto

“x” es ( ) ( ) F x f x decimos que ( ) F x es la primitiva e integral indefinida de

( ) f x . La integral indefinida de una función no es única.

Ejemplo:

2 2 2, 5, 4 x x x son las primitivas o integrales indefinidas de lafunción ( ) 2 f x x .

3.1 Fórmulas fundamentales de integración: Algunas de las expresiones quefiguran a continuación se deducen de forma inmediata de las fórmulas o reglas de

derivación. El símbolo utilizado para las integrales es

TABLA DE LAS FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN MÁS UTILIZADAS

Competencia: Resuelve problemas relacionadoscon la integral indefinida y las técnicas deintegración, mediante algoritmos establecidos.



11 cot ln se xdx nx c 12 sec ln sec tan xdx x x c

13 csc ln csc cot xdx x x c 14 2sec tan xdx x c

15 sec tan sec x xdx x c 16

2cos cot xdx x c

17 csc cot csc x xdx x c

18 x xe dx e c 19 ,

ln

x

x aa dx c a oa 20

1

21

dx sen x c

x

211

2 tan

1

dx x c

x

221

2sec

1

dx x c

x x

23 ( ) ( ) x D f x dx f x

24 1ax axe dx e ca

3.2 Cálculo de Primitivas: Determinar las primitivas de una función ( ) f x ,

implica determinar las funciones ( ) F x que al derivarlas dan como resultado ( ) f x .

Ejemplo Calc la 3dx Sol ción 3 3dx x c



Solución:

( 2/3) 1 1/32/3 3

2/33 2

2 2 22 2 6

2 1/ 31

3

dx x xdx x dx c c x c

x x

Ejemplo: Calcular 32 3 5 2cos x x x dx

Solución:

3 3

4 2

4 2

2 3 5 2cos 2 3 5 2cos

2 35 24 2

35 2

2 2

x x x dx x dx xdx dx xdx

x x x senx c

x x x senx c

Ejemplo: Calcular

2 2 xdx

x

Solución:

2 2

2

2 2

2

2ln2

x xdx dx dx

x x x

dx xdx

x x

x c



MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE3.3 Integración por cambio de variable o sustitución simple: Muchasintegrales no pueden obtenerse directamente a partir de las fórmulas deintegración, pero si se pueden calcular haciendo un cambio de variables osustitución adecuada.

3.4 Teorema de cambio de variable: Si ( )u g x es una función de x y F

es una antiderivada de f , entonces

Usando la regla de la cadena para integrales, podemos generalizar todas las

fórmulas de integración vistas anteriormente cuando ( )u g x

Observación: al momento de hacer el cambio de variable se debe hacer “u” igual ala función que al derivarla obtengamos una expresión similar a la otra función.

Ejemplo: Calcule la siguiente integral

2 2( 1) 2 x x dx

Solución: Sea2 1u x , entonces derivando obtenemos; 2du xdx

Ahora sustituimos y obtenemos la siguiente integral:

( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( )) f g x g x dx f u du F u c F g x c



Solución: Sea2 1u x , entonces derivando obtenemos;

2 2

dudu xdx xdx Ahora sustituimos y obtenemos la siguiente integral:

322 3

22 2

11 11

2 2 2 3 6

xu u x x dx du u du c c

Calcule la siguiente integral: 2 1 x dx

Solución: Sea 2 1u x ,

Entonces derivando obtenemos; 2 2

du

du dx dx


3

3/2 31/2

2 11 1 1 22 1

2 2 2 3/ 2 2 3 3

xu u u x dx du u du c c c



4/33 32 2 1/3 1/3

4/3 42 23

5 55 1 5 1 5

2 2 2 4 / 3

5 3 151 1

2 4 8

du u x x dx x x dx u u du c

x c x c

Calcular la siguiente integral:

2

23

1

xdx

x

Solución: Sea31u x , entonces derivando obtenemos;

2 233

dudu x dx x dx


2 12

2 2 2 33

1/ 3 1 1 1 1 1 1

3 3 3 1 3 3 11

x du du udx u du c c c

u u u x x

EVALUACIÓN FORMATIVAIndicaciones: Calcular las siguientes integrales.

22 4 5 2 3

24 3 , , 4 , , 1

4 1 9

dx xdx x xdx x x dx x x dx x x



Calcular las siguientes integrales aplicando el teorema de cambio de variable.

3

132 2 2

4

, 5 1 , 2 9 , 7cos 4 , 3 4

1

xdx x x dx x x dx x dx x x dx

x

2 1 x xdx

4 cos sen x dx



UNIVERSIDAD SANTA MARÍA LA ANTIGUACURSO DE MATEMÁTICA 1 * PRUEBA DIAGNÓSTICA (NO SUMATIVA)

Participante: _____________________, cédula: ________________

Profesor: Aquilino Miranda Fecha: 11/5/2015 tiempo aproximado: 60minutos.

Objetivo: determinar los conocimientos que poseen los participantes sobre temaselementales y básicos para el desarrollo de un curso de matemática a nivel

superior.I Parte (conocimientos teóricos y de leyes): Llene los espacios con la respuestacorrecta.

¿Cuáles son las 4 operaciones fundamentales que utilizamos en el diario vivir?____________________; ______________________, __________________, ____________________,

+*+=_______

+*-=_______

-*-=_______

-*+=_______

-/-=_______

+/-=_______



La respuesta al dividir el cero entre cualquier número distinto de cero es _________,¿Existe la raíz cuadrada de un número negativo? _______

¿Existe la raíz cuadrada del cero? _________

En una fracción ¿cómo se llama al número que aparece arriba de la rayafraccionaria? __________________

¿Cómo se le llama al número que aparece debajo de la raya fraccionaria?__________________

¿Cuántos cuadrantes tiene el plano cartesiano? ________

¿Cuál es el elemento neutro de la suma? ______

¿Cuál es el elemento neutro del producto? ______

¿Cuál es la operación contraria de la división? ______________

¿Cuál es la operación contraria de la suma? _________________

¿Cuál es la operación contraria a la radicación? _____________

¿Cuál es la operación contraria a la multiplicación? __________________

¿Cuál es la operación contraria a la resta? ____________________

¿Cuál es la operación contraria a la potenciación?________________

Nombre de las fracciones que tienen diferentes denominadores __________________,Nombre de las fracciones que tienen denominadores iguales _______________________




LICENCIATURA EN ARQUITECTURA

PARCIAL #1 DE MATEMÁTICA I (10% DE LA NOTA FINAL)

Nombre: _______________________ Cédula: ___________ Fecha: ___________

Profesor: Aquilino Miranda Valor 75 puntos Puntuación obtenida: ________

Objetivo: Demostrar conocimientos adquiridos sobre la teoría de las funciones,

dominio, codominio y gráficas.

Indicaciones Generales: Trabaje en forma clara y ordenada, exprese su respuesta

final con bolígrafo, de lo contrario sus reclamos no procederán; no tache ni utilice

líquido corrector.

Criterios de Evaluación: trabajar en silencio y sin utilizar el celular (3 puntos)

______ (en tal caso de no cumplir con este criterio se le retirará la prueba con un

equivalente a F), orden y aseo (2 puntos) _______, contenido y procedimiento (70

puntos) ________

I Parte. Coloca en el espacio el tipo de función. (10 puntos)

( ) 3 6 f x x __________________2( ) 3 5 1 f x x x








Objetivo: Demostrar conocimientos adquiridos sobre el cálculo de límites

indeterminados de la forma cero sobre cero.

Indicaciones Generales: “Trabaje en forma clara y ordenada, exprese su respuesta


líquido corrector. No puede utilizar la calculadora ni el celular, trabaje en silencio,

no están permitidas las consultas sobre el procedimiento de los problemas, de ser

sorprendido copiándose o intentando copiarse se le retirará la prueba

inmediatamente con un equivalente a cero”

Criterios de Evaluación: orden y aseo (5 puntos) ______ Procedimiento para

resolver cada uno de los problemas (95 puntos) ________

I Parte. Calcule los siguientes límites aplicando los métodos de factorización que

sean necesarios (40 puntos)

2

24

16lim

7 27 4

x

,

2

32

6 17 10lim

8

x x

,

2

26

4 22 12lim

3 20 12x

x x

x x








Objetivo: Demostrar conocimientos adquiridos sobre el cálculo de derivadas.



líquido corrector. No puede utilizar la calculadora ni el celular, trabaje en silencio,

no están permitidas las consultas sobre el procedimiento de los problemas, de ser

sorprendido copiándose o intentando copiarse se le retirará la prueba

inmediatamente con un equivalente a cero”

I Parte. Calcule las siguientes derivadas aplicando los teoremas de derivación

(45 puntos)

5 4 3 2( ) 7 4 6 8 5 3 f x x x x x x ,6 35 44

( ) f x x x x

cos 1 1 y x senx ,

2

3 2

2 4

3

x x y

x x

,

25 43

1 5( ) 2 3ln

10 4

x x x f x e e e x

f x h f x



(INDIVIDUAL, 5% DE LA NOTA FINAL)Cada participante resolverá el problema en el tablero (traer su propio marcador),explicando brevemente cada paso, no debe llevar material de apoyo. Además debe traer elproblema resuelto de forma digital para compartir el archivo con sus compañeros para que

sea anexado al portafolio, al final todos deben tener en su portafolio todos los problemas.

# Problema Estudiante # Problema Estudiante

1

2

27

5 32 21lim

6 44 14 x

x x

x x

12

2

2 5

11 47 40lim

2 2 60 x

x x

x x

2

2

2 5

8 43 15

lim 7 31 20 x

x x

x x

13

2

21 2

6 7 5lim

10 9 2 x

x x

x x

3

2

21

2

6 3 3lim

8 2 1 x

x x

x x

14

2

2 1

12 3 9lim

11 18 7 x

x x

x x

4

2

2 9

11 93 54lim

9 91 9 x

x x

x x

15

2

2 12

7 86 24lim

6 69 36 x

x x

x x

5

2

21

4

8 6 2lim

12 7 1 x

x x

x x

16

2

21 3

12 1lim

15 8 1 x

x x

x x

6

2

2 2

12 19 10lim

9 11 14 x

x x

x x

17

2

2 10

10 105 50lim

5 40 100 x

x x

x x

7

2

2 3 22 16lim5 31 72 x x x x x

18

2

21

4

8 18 5lim 12 13 4 x x x x x

2



PROBLEMAS PARA LAS EXPOSICIONES(INDIVIDUAL, 5% DE LA NOTA FINAL, FECHA: 3/8/2015)

Cada participante resolverá el problema en el tablero (traer su propio marcador),explicando brevemente cada paso, no debe llevar material de apoyo. Además debe traer el

problema resuelto de forma digital para compartir el archivo con sus compañeros para quesea anexado al portafolio, al final todos deben tener en su portafolio todos los problemas.

# Problema Estudiante # Problema Estudiante

1 3

24 1 x x dx 121

2

xdx

x

2

2

35

2 x dx

x 13 2 3cos(5 ) x x dx

323 (2 ) x sen x dx 14

23 4 x x dx

422 3 2 x x dx 15 3 cos sen x x dx

5

2

34

2 7 x dx

x 16 3 25 1 x x dx

6 2cos(3 ) x dx 17

2 2

1

xdx

x

7

3

542

xdx

x 18

73 4

3 x x dx

4

27 2 5 d 52 d





EXAMEN FINAL DE MATEMÁTICA I (30% DE LA NOTA FINAL)

TIPO I

Nombre: _______________________ Cédula: ______________ Fecha: ___________


Objetivo: Demostrar conocimientos adquiridos sobre la teoría de las funciones

reales: gráficas, dominio, codominio, tabla de valores, cálculo de límites, derivadas

e integrales. Indicaciones Generales: “Trabaje en forma clara y ordenada, exprese su respuesta


líquido corrector. Trabaje en silencio, no están permitidas las consultas sobre el

procedimiento de los problemas, de ser sorprendido copiándose o intentando

copiarse se le retirará la prueba inmediatamente con un equivalente a cero”

Criterios de Evaluación: trabajar en silencio absoluto (2 puntos) ______

Orden y aseo (2 puntos) _______, Procedimiento para resolver los problemas paso a

paso (96 puntos) ________

I Parte (9 puntos): gráfica, dominio y codominio. Observación: utilice seis valorespara la tabla



IV (9 puntos). Calcule la siguiente derivada aplicando la definición

0' lim

h

f x h f x f x

h

,

5 2( )

3

x f x

x

V. Parte (9 puntos). Cálculo de la derivada de una función compuesta, aplicando laregla de la cadena.

3

3 25( ) 4 2 5 f x x x

VI parte (9 puntos). Rectas tangentes. Aplique la derivada para determinar la

ecuación de la recta tangente a la curva2

1( ) 2 4 1, 2 f x x x x

VII parte (10 puntos). Criterios de la primera y segunda derivada para máximos ymínimos.

Para la siguiente función: f(x) = x 3 – 6x 2 + 9x + 5 Determine los númeroscríticos en la primera y segunda derivada, máximo, mínimo, intervalos decrecimiento, intervalo de decrecimiento, intervalos de concavidad y punto deinflexión (no es necesario construir la gráfica).

VIII Parte (10 puntos). Problemas de optimización (análisis). Utilice las derivadaspara resolver los siguientes problemas:

Una ventana tiene forma de un rectángulo coronado por un triángulo equilátero.Encuentre las dimensiones del rectángulo para que la ventana permita la máximaentrada de luz (espacio área) si el perímetro de la misma debe






TIPO II

Nombre: _______________________ Cédula: ______________ Fecha: ___________



reales: gráficas, dominio, codominio, tabla de valores, cálculo de límites, derivadas

e integrales. Indicaciones Generales: “Trabaje en forma clara y ordenada, exprese su respuesta








I Parte (9 puntos): gráfica, dominio y codominio. Observación: utilice seis valorespara la tabla




0' lim

h

f x h f x f x

h

,

6 3( )

4

x f x

x

V. Parte (9 puntos). Cálculo de derivadas de funciones compuestas, aplicando laregla de la cadena.

4

3 27( ) 8 2 9 f x x x



1( ) 2 3 2, 2 f x x x x




Una ventana tiene forma de un rectángulo coronado por un triángulo equilátero.Encuentre las dimensiones del rectángulo para que la ventana permita la máximaentrada de luz (espacio área) si el perímetro de la misma debe

Í






TIPO IIINombre: _______________________ Cédula: ______________ Fecha:

___________



reales: gráficas, dominio, codominio, tabla de valores, cálculo de límites, derivadase integrales.









I P (9 ) áfi d i i d i i Ob ió ili i l




0' lim

h

f x h f x f x

h

,

2 5( )

6

x f x

x

V. Parte (9 puntos). Cálculo de derivadas de funciones compuestas, aplicando laregla de la cadena.

33 28( ) 7 5 4 f x x x



1( ) 2 2 5, 2 f x x x x




Una ventana tiene forma de un rectángulo coronado por un triángulo equilátero.Encuentre las dimensiones del rectángulo para que la ventanapermita la máxima entrada de luz (espacio área) si el perímetro



EVIDENCIAS DE LAS ACTIVIDADES ENVIADAS AL [email protected]



LIBRETA DE ASISTENCIA



LIBRETA DE CALIFICACIONES

portafolio de matemática i (profesor aquilino miranda)

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