Polinomios

Definiciones

Expresión algebraica

Racional Irracional

Entera Fraccionaria

monomio

polinomio

P(x) = 3x4 +2x3 – x2 + 8x +10

Q(x;y) = 5xy3 +10x

R(x;y;z) = 2zy4 + 2x3 – xy2 + 8xz + z

PolinomioSe denomina así a una expresión algebraica racional entera.

Ejemplos

Todo polinomio puede constar de uno o más monomios

M(x) = 3x4

Q(x;y) = 5xy3

R(x;y;z) = -xy4z2

MonomioEs la expresión algebraica racional en la que se prevén solamente dos operaciones respecto a sus variables: multiplicación y elevación a la potencia natural.

Ejemplos

NOTACIÓN DE UN POLINOMIO

Un polinomio en variable X y Y se puede representar así:

Se lee:“P de x e y” el cual significa:“P” depende de x e yY además:x;y Son variablesa,b,c Son constantesm,n,p,s Son exponentes

Casos de Polinomios

1) 2x + 3y4

2) -4a2b – b2c

3) 6x2 - 3x + 8

4) -x2yz + 3y - 5

BINOMIOS

TRINOMIOS

Grados de un polinomio

Grado relativo con respecto a una variable

(mayor exponente de la variable)

84653 2081);;( yzxzyxzyxP

GR(x)= GR(y)= GR(z)=4 5 8

GA = 10 GA = 8 GA = 3

8x7y3 – 3x4y4 + 6xy2

GA = 10

Grado absoluto de un polinomio(mayor grado absoluto de los

términos)

Ejemplo 1

214224 435);( yxyxyxyxQ mm

Si se sabe que el grado relativo a x es 5 halla:

a)El valor de m

b)El grado absoluto del polinomio

Solución:

Ejemplo 2

2124324 435);( yxyxyxyxQ n

Si se sabe que el grado absoluto del polinomio es 9 halla: n2 + 1

Por lo tanto:

2 1 2 92 63

nnn

Solución:

2 2 1

9 1 10

1 3n

2 1 10n

Ejercicio 1

5 2 3 5 1( ; ) 3 5a a a a aP x y x y x y x y

Si se sabe que el grado del polinomio es 11 halla: 3GR(x) - GR(y)

Respuesta: 17

Polinomios especiales

CONCEPTO

• Son aquellas expresiones enteras cuyas características (grado, coeficientes y variables) y por la forma cómo se representan, guardan ciertas propiedades implícitas que las hacen notables.

Polinomios especiales

polinomio

ordenado

homogéneo

idéntico

completo

opuesto

nulo

Polinomio ordenado

x4y3 + 2x2y5 – 3xy8

Polinomio ordenado respecto a “x” en forma decreciente

Polinomio ordenado respecto a “y” en forma creciente.

La variable que presenta esta característica se denomina ORDENATRIZ

Ejemplo:

La variable “x” es ordenatriz decreciente de P.

La variable “y” es ordenatriz creciente de P.

x4y3 + 2x2y5 – 3x1y8

7 2 5 4 3 6 9( , ) 6 5 8 4P x y x y x y x y y

Polinomio completo

Polinomio completo con respecto a x.

Es incompleto respecto a y

x4y + 3x2y5 – 3x3 +xy4 – 5x0

x4y + 3x2y5 – 3x3 +xy4 – 5

x4y + 3x2y5 – 3x3 +xy4 – 5x0

COROLARIOSCOROLARIO 1:

En todo polinomio completo de una variable, el número de términos es igual al grado de la expresión aumentado en 1

Ejemplo:

# de términos = G(P) + 1

# de términos = 4 + 1=5

3 5 2 4( ) 4 7 5 6 2 8P x x x x x x

COROLARIOSCOROLARIO 2:

En todo polinomio ordenado y completo de una variable, la diferencia de grados (en valor absoluto) de dos términos consecutivos, es igual a la unidad:

Ejemplo:

1( ) ( ) 1k kgrado t grado t

6 5 4 3 21 2 3 4 5 6( ) oP x a x a x a x a x a x a x a

1T 2T 3T 4T 5T 6T 7T

3 4( ) ( ) 4 3 1grado t grado t

Polinomio homogéneo

Polinomio homogéneo de grado 8

6x5y3 – 3x4y4 + 6x6y2

GA = 8 GA = 8 GA = 8

Un polinomio de dos o más términos y más de una variable es homogéneo, si dichos términos presentan el mismo grado absoluto, denominado grado de homogeneidad

Polinomios idénticos

Si P y Q son idénticos,

entonces a = 5; b = 2; c = -8

P(x) = ax3 + bx2 + c

Q(x) = 2x2 +5x3 – 8

PQ

Polinomio opuesto

Si P(x;y) = x4y3 + 2x2y5 – 3xy8

el polinomio opuesto de P es:

-P(x;y) = – x4y3 – 2x2y5 + 3xy8

Polinomio idénticamente nulo

P(x) = ax3 + bx2 - ca = b = c = 0

P(x) = ax3 + bx2 - c

P(x) 0

Ejercicio 1

caabb xxxxR 272 25)(

Si se sabe que el polinomio es completo y ordenado en forma ascendente, calcula el valor de 2abc. Indica el grado del polinomio.

Respuestas:a)2abc = 160b)GA = 2

Ejercicio 2

xcbxaxxxxdxP 12392642)( 2323

Si se sabe que el polinomio es idénticamente nulo, calcula el valor de -7(a+b+c+d)

Respuesta: 84

Ejercicio 3

yxyxxyxR abb 22712 262);(

Si se sabe que el polinomio es homogéneo, calcula el valor de a – b.

Respuesta: -1

PRACTICA Calcular la suma de los valores de “n” para los cuales la

expresión es un polinomio:

Para que valor o valores de “n” la expresión de las variables “x” y “y” es racional entera.

Del polinomio: si el GA(P) =11; GR(x) – GR(y)=5. Hallar el valor de 2m+n.

Determinar el valor de a + b si el polinomio:

Es de grado 28 y la diferencia de grados relativos a: x e y sea igual a 6.

12810 2

2 2( , ) 4 3n

nP x y x y

7 2 10( 3) ( 2)n n nn x x y n y

3 2 2 3( , ) 15 n m n mP x y x y x y

2 3 1 2 4 2 2 2( , ) a b a b a b a b a b a bQ x y x y x y x y

PRACTICA Hallar ab(a+b) si el polinomio:

Es homogéneo Determinar la suma de coeficientes si el polinomio:

Es completo y ordenado. De un polinomio Q(x,y) completo, homogéneo de grado

8 y ordenado crecientemente respecto a x, se han tomado tres términos consecutivos que son:

Obtener el GR(y) en el término M

2 2 8( , ) 5a b a b b a b a bP x y x y x y x y

( ) ( ) ( ) ( )m n n p m pQ x p x y m x y n x y mnp

2 2... ...a b b ax y M x y