parte iii-modelos de optimizacin de redes v2

5/10/2018 Parte III-Modelos de Optimizacin de Redes v2 - slidepdf.com

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Curso Herramientas Logísticas I

Parte III:Modelos de Optimización de Redes

Aplicados a Problemas de Distribución,

Suministro y Actividades de Proyectos.

Prof. Renato González Disla

Maestria en Gestion LogisticaPUCMM



Agenda

• Conceptos de Grafos y Redes• Algunos algoritmos importantes.• Traveling Salesman Problem (TSP)

• El problema de la ruta más corta.• Árbol de expansión mínima y máxima.• Problema del flujo máximo.• Problema del flujo de costo mínimo y Problemas de

Trasbordo.• Bin Packing Problem (BPP)• Redes de Administración de Proyectos.• El problema de la ruta crítica y los métodos Pert/CPM.



Grafos y Redes

• La historia se inicia en laciudad de Konigsberg(Prusia) en el año 1750

• El matemático suizo Leonard

Euler se planteo el problemade los puentes de la ciudad,que consistía en demostrar siera posible atravesar todoslos puentes y regresar alpunto de origen en una de las

márgenes del rio sin pasardos veces por el mismopuente.

• Esto dio origen a la Teoría deGrafos y a la Topología



Grafos y Redes

• Una red o grafo consiste de unconjunto de puntos (llamadosnodos o vértices) y unconjunto de líneas (llamadosarcos, ligaduras, aristas) queunen pares de puntos.

• Es un par de conjuntos – G=(V, E) que satisfacen E [V]2,

V es el conjunto de nodos y E elde arcos compuestos de dos

elementos de V, v={v1,v2}. – |V|=n es el orden de G.

• Una red es completa si susnodos están conectados dos ados y su conectividad es

– n(n-1)/2

•a•b

•e•

c•d

•V= {a,b,c,d,e} nodos de G

•E = { {a,b}, {a,c}, ..., {c,e} } arcos de G

•n = \V\=5 orden de G

•d(a)=d(b)=…=d(e) =4,

•n(n-1)/2 conectividad maxima



Grafos y Redes

• Dos nodos se denominanadyacentes o vecinos sicomparten un arco.

• El grado de un nodo d(vi) esel numero de arcos incidentes

en el.• La suma de todos los grados

de los nodos en V es el doblede arcos E de G:

• La cantidad de nodos es iguala ala cantidad de arcos mas 1:|V|=|E| +1.

•a•b

•e•

c•d

•V= {a,b,c,d,e} nodos de G

•E = { {a,b}, {a,c}, ..., {c,e} } arcos de G

•n = \V\=5 orden de G

•d(a)=d(b)=…=d(e) =4,

•n(n-1)/2 conectividad maxima



Grafos y Redes

• Si G es un grafo tal que Epertenece a VxV se dice queG es un grafo dirigido dondeE es el conjunto de pares

ordenados (u, v) en elconjunto cartesiano VxV.

• Una trayectoria o ruta entredos nodos es una sucesión de

arcos distintos concatenadosque unen los dos nodos.

• En una red dirigida existennodos origen (a), destino (d) yde trasbordo (b).

•a•b

•e

•c

•d

•a->b->c Trayectoria dirigida o

•P= {(a,b), (b,c)}

•n(n-1) Conectividad maxima



Grafos y Redes

• Un ciclo es una trayectoriaque comienza y termina en elmismo nodo.

• Dos nodos están conectados

si la red contiene al menosuna trayectoria entre ellos.• Un grafo conexo es una red

en que cada par de nodos estaconectado.

• Un árbol de expansión es unared conexa para los n nodos.Es de amplia aplicación enoptimización de redes dedistribución y transporte

•a->d->b->a ciclo

•P= {(a,d), (d,b), (b,a)}

•a•b

•e

•c

•d



Grafos y Redes

• Un ciclo Hamiltoniano es unciclo que contiene todos losnodos del grafo o red.

• Un grafo es hamiltoniano siexiste al menos un ciclo

hamiltoniano.• Se usa para la solución del“Traveling SalesmanProblem (TSP)”:

– Un vendedor debe visitar todaslas ciudades de la red pasando

una sola vez por cada una y enel ciclo de menor costo de lared.

– Se usan algoritmos sofisticadospara su solución (heurísticos,genéticos, etc.).

– Es un problema NP-Hard de la

computación

•a->b-> c -> d ->e -> a

ciclo Hamiltoniano

•P= {(a,b), (b,c), (c,d), (d e), (e a)}

•a•b

•e

•

c•d



Grafos y Redes

• “Traveling SalesmanProblem (TSP)” - Casosimétrico 4 nodos y 6

arcos: – Posee 6 posibles cicloshamiltonianos:• A B D C A costo• A C D B A costo• A B C D A• A D B CA• A D C B A• A C B D A

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/30/Weighted_K4.svg



Grafos y Arboles

•a

•b

•f •e

•c

•d

•a es el nodo raiz

•a,c son nodos internos

•b,d,e,f son nodos terminales

•

n nodos implica n-1 arcos

Un Árbol es un grafoconexo que no posee

ciclos y se expresacomo T=(V, E).

En T hay un únicocamino o ruta entre elnodo raíz y cualquierotro nodo.



Grafos y Arboles

• Un árbol con raíz es un árboldirigido con exactamente unvértice v en V cuyo grado deentrada es cero y el grado de

entrada de todos los otrosnodos es uno. Existe unarelación de padre a hijosentre los nodos.

• En un árbol raíz los nodoscuyo grado de salida es cerose denominan hojas o nodosterminales. Los demás sonlos nodos internos o no

terminales.

•a

•b

•f •e

•c

•d

•a es el nodo raiz

•a,c son nodos internos

•b,d,e,f son nodos terminales

•n nodos implica n-1 arcos



Árboles Binarios Regulares

• Un Arbol Binario Regular esaquel en que cada nodo internotiene exactamente 2 hijos.

• Los árboles m-narios regularesson aquellos en que cada nodointerno tiene m hijos.

• La altura (h) de un árbol m-narioes la longitud de la ruta máximaentre el nodo raíz y los nodosterminales.

•a

•b

•

e

•c

•

d

•a

•

b

•

e

•

c

•

d

•f •g



• Un ciclo es una trayectoria que comienza ytermina en el mismo nodo. Puede ser dirigidoo no dirigido.

• Dos nodos están conectados si la redcontiene al menos una trayectoria no dirigidaentre ellos.

• Una red conexa es una red en que cada par

de nodos esta conectado.• Un árbol de expansión es una red conexa

para los n nodos.

REDES:Terrminologia Basica



• Considere una red conexa y no dirigida condos nodos especiales llamados origen ydestino. A cada ligadura o arco le asociamos

una distancia no negativa. El objetivo esencontrar la ruta mas corta (la trayectoria conla mínima distancia total) del origen al destino.

El Problema de la Ruta masCorta




• Determinar que ruta, desde la entrada del parque O a la estación T(mirador) es la que tiene la distancia total mas corta para el transporte delos visitantes en un línea de tren. Los nodos intermedios son estacionesde vigilancia los arcos están dados en kms.




La ruta optima es O A B E D T y su distancia mínima es 13 Kms.




• Se usa el Excel Solver para la solución, quien aplica elMétodo Simplex de Redes. Ver Ejemplo resuelto:• Las variables de decisión Xij representan el flujo

del viaje del nodo i al nodo j. Las decisiones serefieren a cuales arcos deben incluirse en latrayectoria que se recorre, es de valor 1 si seincluye o 0 si no.

• Se puede pensar en cada nodo como que tiene un

flujo de 1 si esta en la ruta seleccionada.• El flujo neto generado en un nodo es el flujo que

sale menos el flujo que entra, de manera que elflujo de entrada es 1 en el origen, -1 en el destino y

0 en los nodos intermedios.



El Problema del Arbol deExpansion Minima

• Un árbol deexpansión Trepresenta unconjunto de nodos

conexos nocíclicos quepertenecen algrafo G.

• En el grafo o reddel problema deSeervada Parkidentificamos lossiguientes arbolesde expansión



El Problema del Arbol deExpansion Minima

• El problema consiste en determinar de todoslos posibles arboles de expansión del grafo G el

que posee longitud mínima.• En le caso del problema de la Seervada Park

consiste en instalar un sistema de red telefónicaque enlace cada uno de los nodos usando la

menor cantidad de cables telefónicos




Algoritmo del árbol de expansión mínima (Seervada Park)No. Paso Nodos Resueltos Nodos No Resueltos

mas cercanosDistancias Distancia Minima Nodo Mas Cercano Conexion Arbol de

Expancion Min

1 O A 2 2 A OA

B 5C 4

2 O, A B 2,5 2 B AB

C 4

D 7

3 O, A, B C 1 1 C BC

E 3

D 4,7

4 O, A, B, C D 4,7 3 E BE

E 3,4

5 O, A, B, C, E D 1,4,7 1 E ED

6 O, A, B, C, E T 5, 7 5 T DT

Total 14




• El árbol Tresultante es:

• OA, AB, BC, BE,ED y DT• La longitud es de

14 Km querepresenta ladistancia mas cortapara extender las

líneas telefónicas.



Problema del Flujo Maximo

Consiste en determinar la mayor cantidad de trafico(optimo) que puedo hacer fluir por una red de sufuente a su destino, dada las restricciones máximasde recursos por tramos o arcos entre los nodos delas rutas.

En el caso de Seervada Park consiste en determinardurante la temporada pico las rutas de viajes de

transvias desde la entrada O del parque al mirador T,de manera que el numero de viajes de ida diariossea maximo. Los nodos restantes son los nodos detransbordo. Es una red dirigida.




Es un problema depropagación lineal y se usa elalgoritmo de trayectoriasaumentadas .Una red residual muestra las

capacidades restantes unavez se han asignados flujos alos arcos de la red original.

Una trayectoria de aumento

es una ruta dirigida del nodofuente al nodo destino en lared residual, tal que todos losarcos en la misma tienencapacidad residual mayor que

cero.




Se aplica el metodo simplex de redes usando Solver

Ver ejemplo del libro de Hillier pag. 395



Problema de Trasbordoo de Flujo de Costo Minimo

Es una generalización del problema deTransporte y de asignación, en el cual pueden

haber sitios de oferta o de demanda, o ambascosas a la vez (puntos de trasbordo). En esteproblema es posible que cualquier suplidorsea también demandante de los recursos a

trasbordar.El algoritmo es útil para la determinación de lamejor ubicación de almacenes temporales.



Problema de Trasbordoo de Flujo de Costo Minimo



1

3

2

4

5

67

9

96

10

3

6

7

3

8

Ciudad Origen Costo

Ciudad Destino

Ciudad Trasbordo

Problema de Trasbordo

8



Determinación de los costos de transporte usando la rutamás barata

1

3

2

4

5

67

9

96

10

3

6

7

3

8

Costo

Origen Destino Ruta Minino

1 2 1-2 9

1 3 1-3 91 7 1-2, 2-4, 4-5, 5-7 26

4 2 4-2 6

4 3 4-5, 5-3 9

4 7 4-5, 5-7 9


8



Determinaciòn de los costos de transporte usando la rutaMàs barata

1

3

2

4

5

67

9

96

10

3

6

7

3

8

Costo


1 2 1-2 9

1 3 1-3 91 7 1-2, 2-4, 4-5, 5-7 26

4 2 4-2 6

4 3 4-5, 5-3 9

4 7 4-5, 5-7 9

Origen 2 3 7 Oferta

1 9 9 26 20

4 6 9 9 10

Demanda 15 8 7

DestinoTabla de costos de transporte


8



Determinaciòn de los costos de transporte usando la rutaMàs barata

1

3

2

4

5

67

9

96

10

3

6

7

3

8

Costo


1 2 1-2 9

1 3 1-3 91 7 1-2, 2-4, 4-5, 5-7 26

4 2 4-2 6

4 3 4-5, 5-3 9

4 7 4-5, 5-7 9

Origen 2 3 7 Oferta

1 9 9 26 20

4 6 9 9 10

Demanda 15 8 7


Origen 2 3 7 Oferta

1 12 8 20

4 3 7 10

Demanda 15 8 7

Solucion finalDestino


8



Determinación de los costos de transporte usando la rutamás barata

1

3

2

4

5

67

9

96

10

3

6

7

3

8

Origen 2 3 7 Oferta

1 9 9 26 20

4 6 9 9 10

Demanda 15 8 7


Origen 2 3 7 Oferta

1 12 8 20

4 3 7 10

Demanda 15 8 7

Solucion finalDestino


8



Redes para Administracion deProyectos y Rutas Criticas

• Un proyecto se puede representar por mediode una red dirigida, donde:

• Las actividades se representan por nodos

• Los arcos representan el orden deprecedencia y/o sucesión de las actividades

• Cada actividad tiene asignada un tiempo de

realización denominado duración deactividad (D).• Existe una actividad origen denominada

inicial y una de destino denominada final.




• Tiempo de inicio y terminación mas cercanos son lostiempos de inicio y terminación de una actividad sinosuceden retrasos en el proyecto (ES, EF).

• Tiempo de terminación e inico mas lejanos son lostiempos de inicio y terminación de una actividad conlos retrasos máximos (LS, LF).

• La holgura (S) es la diferencia entre el tiempo deinicio mas cercano y el mas lejano o entre el tiempo

de terminación mas lejano y el mas cercano.• La ruta critica la representan la serie de actividades

que tienen holgura cero, y significa que son lasactividades mas sensibles al tiempo total del proyecto.




• El inicio mas cercano (ES) de una actividad esel mas largo entre los tiempos de terminaciónmas cercanos (EF) de sus actividadespredecesoras.

• EF = ES + D• El tiempo de terminación mas lejano (LF) de

una actividad es el mas corto entre los tiempos

de inicios mas lejanos (LS) de sus actividadessucesoras.

• LS = LF - D

R d Ad i i i d




R d Ad i i i d




S A CB

D

I

0 24

7

6

54 010E F T

Actividad Duracion

(semanas)

ActividadesPredecesora

s ActividadesSucesoras

InicioCercano

(ES)

InicioLejano

(LS) TerminacionCercana (EF)

Terminacion Lejana

(LF) Holgura

(S)

S 0 A 0 0 0

A 2 S B 0 2 0

B 4 A C 2 6 0

C 10 B D,E,I 6 16 0

D 6 C F 16 22 1

E 4 C F 16 20 3

I 7 C F 16 23 0

F 5 D,E,I T 23 28 0

T 0 F 28 28 0

R d Ad i i i d




S A CB

D

I

0 24

7

6

54 010E F T

Actividad Duración

(semanas) Actividades

Predecesoras ActividadesSucesoras

InicioCercano

(ES)

InicioLejano

(LS)

TerminaciónCercana

(EF)

Terminación Lejana

(LF) Holgura (S)

S 0 A 0 0 0 0 0

A 2 S B 0 0 2 2 0 B 4 A C 2 2 6 6 0

C 10 B D,E,I 6 6 16 16 0

D 6 C F 16 17 22 23 1

E 4 C F 16 19 20 23 3

I 7 C F 16 16 23 23 0

F 5 D,E,I T 23 23 28 28 0

T 0 F 28 28 28 28 0

R d Ad i i t i d




R d Ad i i t i d



Thanks

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