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Oscilaciones de cuerpos rígidos

Uno de los movimientos más importantes observados en la naturaleza corresponde a el movimiento vibratorio o también llamado oscilatorio. Por ejemplo a nivel microscópico una partícula oscila cuando se mueve periódicamente con respecto a su posición de equilibrio o los electrones de una antena radiante o receptora oscilan rápidamente. A nivel macroscópico el movimiento de un péndulo, o bien cuando un cuerpo cuelga en el extremo de un resorte estirado una vez que se suelta, comienza a oscilar. Consideremos una partícula que oscila moviéndose alternativamente en ambos lados de su posición de equilibrio, de manera que el movimiento recibe el nombre de movimiento armónico simple. La relación empírica que describe el movimiento armónico simple es conocida como la Ley de Hooke y se expresa de la forma:

XKF −= (1) En donde: F: Fuerza restauradora a la deformación. K : Constante de restitución (depende del material deformado). X : Deformación. El signo (-) corresponde a la naturaleza de la fuerza restauradora. Es decir si el cuerpo se desplaza hacia la izquierda la fuerza aplicada (perturbativa) es hacia la derecha y viceversa. La relación (1) es el caso especial de una relación más general, correspondiente a los fenómenos que ocurren en la deformación de los cuerpos elásticos, descubierta por R. Hooke (1660). Los resortes y tros cuerpos “elásticos” obedecen dicha ley. Una limitante es que la deformación no se encuentre más allá de su limite elástico, en donde ya no es posible que el material recupere su forma original cuando deja de obrar la fuerza aplicada. En este tipo de movimiento se considera que las fuerzas disipativas no existen o bien son despreciables, por ejemplo la fuerza de fricción. Movimiento armónico simple La ecuación de movimiento de un oscilador armónico simple esta dada por la ecuación (1) representando dicha ecuación en su forma diferencial, resulta:

xktdxdm −=2

2

La relación anterior se puede escribir de la forma:

02

2

=+ xktdxdm (2)

2

Una solución para la ecuación diferencial (2) esta dada por la función:

( )δ±= twAtx cos)( (3) Si consideran los parámetros A, ω y δ constantes. En donde: A: amplitud del movimiento oscilatorio. ω: frecuencia angular de oscilación. δ : fase de oscilación. Entonces. De manera que la velocidad de oscilación esta dada por la expresión:

( )δω ±−== twsenAtdtxdvx

)( (4)

La aceleración esta dada:

( )δω ±−== twAtdtxdax cos)( 2

2

2

(5)

Sustituyendo (5) en la relación (3), resulta:

( ) ( )δωδω ±−=±− tAmktwA coscos2

Por comparación de la ecuación anterior se obtiene:

mk

=2ω (6)

Dado que el periodo de oscilación esta dado por:

ωΠ

=2T (7)

De (6) y (7), resulta:

kmT Π= 2 (8)

O bien, en términos de la frecuencia ν del oscilador.

3

mk

T Π=

Π==

21

21 ω

ν (9)

Ejemplo. Un cuerpo oscila con movimiento armónico simple de acuerdo con la ecuación:

mts

ciclostx ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ Π+Π=

33cos6)(

Calcular: a) La elongación para t = 2 seg. b) La velocidad para t = 2 seg. c) La aceleración para t = 2 seg. d) La fase. e) la frecuencia. f) El periodo. Solución. a)

( ) ( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ Π+Π==

323cos6)2( s

sciclosmstx

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ Π+Π==

36cos)6()2( mstx

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ Π==

319cos)6()2( mstx

( ) mstx 94.06)2( ==

mstx 64.5)2( ==

b)

( ) ( ) ( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ Π+Π⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛Π−==

323362 s

sciclossen

sciclosmstvx

4

( ) ( ) ( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ Π+Π⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛Π−==

323362 s

sciclossen

sciclosmstvx

( ) ( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ Π+Π⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛Π−==

36362 sen

sciclosmstvx

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ Π⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Π−==

319182 sen

smstvx

( ) ( ) ( )smstvx 34.0182 Π−==

( )smstvx 24.192 −==

b)

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ Π+Π⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛Π−=

323cos3)6(

2

ss

cicloss

ciclosmax

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ Π+Π⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Π−=

36cos9)6( 2

22

sciclosmax

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ Π⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

319cos82.88)6( 2

2

sciclosmax

( )94.092.532 2 ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

smax

2501smax −=

d)

3Π

=δ

e)

Hz32

322

=Π

Π=

Π=

ων

5

f)

sHz

T23

32

11===

ν

Movimiento oscilatorio de un cuerpo doble

Considere el movimiento de un resorte debido a que se encuentra una masa en cada extremo como se muestra en la siguiente figura 1:

Figura 1 . Muestra el caso de dos cuerpos que oscilan acoplados a un resorte

El cambio de elongación: Δ X = X F – Xi En el presente caso:

Δ X = ( X1 – L ) – X2

Δ X = X1 – X2 – L

Si a) Δ X > 0, entonces XF > Xi por lo tanto el resorte esta estirado. b) Δ X = 0, entonces XF = Xi por lo tanto el resorte esta a su longitud normal (no estirado). c) Δ X < 0, entonces XF < Xi por lo tanto el resorte esta comprimido. Aplicando la segunda ley de Newton para M1 y M2, resultan:

M1 M2

X1

X2

k

L

F!

F!

-

6

xktdxdM −=2

2

1 (a)

xktdxdM =2

2

2 (b)

Dado que M1 y M2 están acoplados. Multiplicando M2 por (a) y M1 por (b), resulta:

xkMxkMtdxdMM

tdxdMM 122

2

212

2

12 −−=−

( )212

2

212

2

12 MMxktdxdMM

tdxdMM +−=−

( )2122

2

21

2

12 MMxktdxd

tdxdMM +−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

xktdxd

tdxd

MMMM

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+ 22

2

21

2

21

12 (10)

De la relación anterior, si se define:

21

12

MMMM+

=µ

En donde: µ se denomina la masa reducida del sistema. En donde se satisface:

( ) ( )2

212

221

2

tdLxxd

tdxxd −−

=−

Por lo cual se puede rescribir la ecuación diferencial (10) para el sistema de los dos resortes en la forma:

xktdxd

−=2

2

µ (11)

En donde se establecen para frecuencia y periodo de oscilación del sistema de dos resortes acoplados las siguientes relaciones:

7

µν

kΠ

=2

1 (12)

kT µ

Π= 2 (13)

Movimiento armónico amortiguado Se considera un movimiento armónico amortiguado cuando actúan fuerzas disipativas o de rozamiento en el oscilador. Considere el esquema que se muestra en la figura 2. Figura 2. Muestra el caso de un sistema que oscila en un medio en donde

actúan fuerzas disipativas. Considerando que en el movimiento de oscilación del resorte en el fluido actúan básicamente las siguientes fuerzas. a) Fuerza amortiguadora, dada por:

teconsbbtdxdbvbFa tan,0, =∠−=−= (14)

b) Fuerza restauradora:

m

k

Fluido

8

xkFa −= Aplicando la segunda ley de Newton al sistema, resulta:

2

2

tdxdm

tdxdbxk =−− (15)

Observando que la ecuación diferencial (15) corresponde a una ecuación lineal de segundo orden, es decir:

02

2

=++tdxdm

tdxdbxk

Resolviendo se encuentra que las raíces características de la ecuación están dadas de la forma :

mmkbb

r2

42

1−+−

=

mmkbb

r2

42

2−−−

=

De manera que las soluciones de la ecuación diferencial (15) son de la forma: Si: i) b2 – 4 k m > 0 ; entonces: trtr eBeAx 21 += .

ii) ) b2 – 4 k m = 0 ; entonces: ( )t

mb

etBAx⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+= 2

iii) b2 – 4 k m < 0 ; entonces: ( )tsenBtAext

mc

µµ +=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

cos2 En donde:

mbmk

24 2−

=µ > 0

De modo que en este caso por ejemplo el periodo de oscilación del sistema se puede escribir de la forma:

9

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

Π=

−

Π=

−

Π=

Π=

mkb

mk

mb

mkbmk

mT

41

2

4

24

2222

2

22µ

Reagrupando, resulta:

mkb

mk

mkb

mk

T

41

12

41

222

−

Π=

−

Π=

Es decir:

mkb

TT S

41

12

−

= (16)

En donde TS corresponde al periodo de oscilación para el sistema no amortiguado.

Péndulo simple

Considere una masa m puntual que esta suspendida de una cuerda inextensible de longitud L como se observa en la figura 3.

Figura 3. Muestra el diagrama de fuerzas para el caso de un péndulo simple.

θ

P cos θ θ

P sen θ

P

x = L θ

L

M

10

A partir del diagrama de Fuerzas que actúan en el diagrama anterior se observa que la fuerza restauradora esta dada por:

θsengMFR −= (17)

Ahora, si se satisface la aproximación:

θθ =sen Que se satisface para ángulos pequeños: θ < 15 o, entonces la relación (17) se puede escribir de la forma:

θgMFR −= Es decir, de la forma:

LxgMFR −= (18)

Comparando las relaciones (18) y (1), resulta:

LgMk =

Sustituyendo la relación anterior con la ecuación (8), resulta que el periodo de oscilación de un péndulo simple para ángulos pequeños esta dado, por:

gLT Π= 2 (19)

11

Péndulo de Torsión Corresponde a un disco que oscila suspendido en su centro de masa por un alambre fijo, como se muestra en la figura 4.

Figura 4. Se muestra en forma esquemática la oscilación de un disco delgado que cuelga de un alambre delgado.

El péndulo de Torsión oscila entre Q y R barriendo un ángulo de 2 θm; en donde: θm: amplitud angular de movimiento. En analogía con la Ley de Hooke, la fuerza restauradora de Torsión esta dada por:

θτ k−= (20) k: constante de Torsión que depende de la naturaleza física del alambre. La ecuación de movimiento del sistema esta dado por:

αθτ Ik =−= (21) Es decir:

o

R P

Q

θm θm

12

2

2

tddIk θ

θ =− (22)

O bien:

θθ

Ik

tdd

−=2

2

(23)

Resolviendo la ecuación diferencial (22), se obtiene:

( )δωθθ += tm cos (24) Entonces:

( )δωωθθ

+−= ttd

dm cos2

2

2

(25)

Entonces de (23), (24) y (25) resulta:

( ) ( )δωωθδωθ +−=+− tItk mm coscos 2 Por simple comparación de la relación anterior se obtienen que la frecuencia angular esta dada por:

Ik

=ω (26)

El periodo de oscilación esta dado por:

kIT Π= 2 (27)

13

El péndulo físico En el presente caso se considera que un cuerpo de masa M que oscila alrededor de un punto P. Como se ilustra en la figura 5.

Figura 5. Muestra esquemáticamente la oscilación de un punto P que se encuentra en una superficie de masa M.

El momento restaurador para un desplazamiento angular θ esta dado por:

Pr!""

×−=τ

θτ senFr!!!

×−=

θτ sengMr−= (28)

Para pequeños desplazamientos angulares sen θ ≈ θ; es decir para pequeñas amplitudes de oscilación, resulta:

θτ gMr−= (29)

P

C.M.

θ

θ P!

d

14

Comparando con la relación (20) y (29), se obtiene:

K = M g d (30)

Ahora de la ecuación (27) y (30), resulta:

dgMI

kIT Π=Π= 22

Es decir:

dgMIT Π= 2 (31)

Observe que para amplitudes mayores para θ > 15o el péndulo físico en general tiene movimiento armónico pero no simple. Caso especial. Considere una masa puntual m suspendida en el extremo de un hilo con peso despreciable e inextensible de longitud l. ¿Calcule de este péndulo físico con estas características el periodo de oscilación? Solución: A partir del modelo:

dgMIT Π= 2

En este caso particular: Ι = m l 2 M = m d = l Sustituyendo variables en el modelo, resulta:

glT Π= 2

Observe que la relación anterior corresponde a el periodo de oscilación de un péndulo simple. Ejemplo.

15

El periodo de un disco delgado de radio 0.102 m realiza oscilaciones pequeñas alrededor de un eje que pasa por su periferia de 0.784 s. ¿Encontrar el valor de g en ese punto? Solución. Considere un disco delgado uniforme de radio r como se muestra en la siguiente figura. El momento de inercia del disco con respecto al centro esta dado por:

2

21 rMICM =

Para el caso del momento de inercia en el punto P, entonces:

222

21 rMrMrMII CMT +=+=

Por lo tanto:

2

23 rMIT =

Considerando el periodo de oscilación del péndulo físico, resulta:

gr

rgM

rM

dgMIT

2322

3

222

Π=Π=Π=

Despejando g de la relación anterior se obtiene:

2

26Trg Π

=

Sustituyendo valores, resulta:

28.9smg =

P

C

r

16

Consideraciones energéticas del movimiento armónico simple Para el movimiento armónico simple la función de desplazamiento esta dada por:

( )δω += tAtx cos)(

Por lo tanto la energía potencial para el caso de movimiento armónico simple esta dado por:

( ) ( )2

2

0 00

xkdxxkdxxkdxxFxUx xx

==−−=−= ∫ ∫∫

Es decir:

( ) 2

21 xkxU = (32)

Por lo tanto:

( ) ( )δω += tAkxU 22 cos21 (33)

Para el caso de la energía cinética: Dado que:

2

21 vMK = (34)

Ahora:

( ) ( ) ( )δωω +−== tsenAtdtxdtv

Sustituyendo la ecuación anterior en (34), resulta:

( )δωω += tsenAMK 222

21 (35)

Consideraciones generales. a) La energía potencial tiene un valor máximo:

( ) 2max 2

1 AkxU = (36)

Ya que: ( )[ ]1cos1 ≤+≤− δω t .

17

b) La energía cinética tiene un valor máximo:

222max 2

121 AkAMK == ω (37)

Ya que:

( )[ ]11 ≤+≤− δω tsen .

y mk

=2ω

La energía mecánica total esta dada por:

( ) ( ) ( )δωωδω +++=+= tsenAMtAkKxUE 22222

21cos

21

( ) ( )δωδω +++= tsenAktAkE 2222

21cos

21

( ) ( )[ ]δωδω +++= ttAkE 222 coscos21

Es decir:

222

21

21 AMAkE ω== (38)

La ecuación (38) se puede rescribir de la forma:

222

21

21

21 AkxkvMUKE =+=+=

Entonces:

222 AkxkvM =+

( )22222 xAkxkAkvM −=−=

Por lo tanto:

( )22 xAMkv −±= (39)

De la ecuación (39), se obtiene:

( ) AAMkA

Mkxv ω==== 2

max 0

Si v = 0, entonces A = x

18

Ejemplo 1 Un cuerpo cuya masa es de 4.9 Kg. cuelga de una balanza de resorte y oscila con un periodo de 0.5 s ¿Cuánto quedara acortado el resorte al quitar el peso? Solución: El acortamiento del resorte al quitar el Peso, esta dado por:

kPxdeciresxkP == , (a)

A partir de la expresión (13) despejando k, resulta:

( )2

22Tmk Π

= (b)

Sustituyendo (b) en (a), resulta:

2

2

2

2

44 Π=

Π=

Tgm

TPx

Sustituyendo valores en la ecuación anterior, resulta:

mx 062.0=

Ejemplo 2 Un cilindro macizo va unido a un resorte horizontal con masa despreciable que puede rodar sin resbalar sobre una superficie horizontal, como se muestra en la figura siguiente. La constante de restitución del resorte es de 3 N / m. Si se suelta a partir del reposo y posteriormente es resorte esta estirado 0.25 m. ¿Encontrar la energía cinética de rotación y translación del cilindro cuando pasa por el punto de equilibrio?

K ω

19

Solución: La energía mecánica total esta dada por la expresión:

transcineticarotcineticaM EEE += Sustituyendo.

222

21

21

21 vmIAk += ω

Desarrollando:

22

2

21

21

21 vm

rvIAk +⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

222

2

21

221

21 vm

rvrmAk +⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2222

43

21

41

21 vmvmvmAk =+=

Es decir:

transcineticaEvmvmAk23

21

23

43

21 222 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛==

Despejando:

3

2AkE transcinetica =

Sustituyendo valores:

JoulesE transcinetica 0625.0=

Ahora, dado que:

transcineticarotcineticaM EEE +=

Sustituyendo:

JoulesEAk rotcinetica 0625.021 2 +=

Entonces:

JoulesAkE rotcinetica 0625.021 2 −=

20

( ) JoulesmmNE rotcinetica 0625.025.03

21 2 −⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=

JoulesJoulesE rotcinetica 0625.009375.0 −=

JoulesE rotcinetica 03125.0=

BIBLIOGRAFÍA. -Alonso M y Finn E Física Vol. I Mecánica Edit. Addison- Wesley Iberoamericana (1970). - McGill D. y King W Mecánica para ingeniería y sus aplicaciones II Dinámica Edit. Grupo editorial Iberoamericana (1991). -Resnick R., Holliday D., Física vol. 1, CECSA, 1993.

José Jesús MENA DELGADILLO